5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x илэрхийлэл нь тоо, хувьсагч ба тэдгээрийн зэрэглэлийн үржвэр юм. Ийм илэрхийлэл гэж нэрлэдэг мономиалууд. Тоо, хувьсагч, тэдгээрийн хүчийг мономиал гэж үзнэ.

Жишээлбэл, 8, 35,y, y 2 гэсэн илэрхийллүүд нь мономиалууд юм.

Мономиалын стандарт хэлбэрэхний ээлжинд тоон хүчин зүйл болон янз бүрийн хувьсагчийн зэрэглэлийн үржвэрийн хэлбэрээр мономиал гэж нэрлэдэг. Аливаа мономиал нь түүнд орсон бүх хувьсагч, тоонуудыг үржүүлснээр стандарт хэлбэрт хүргэж болно. Мономиалыг стандарт хэлбэрт оруулах жишээ энд байна.

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Стандарт хэлбэрээр бичигдсэн мономиалын тоон коэффициентийг нэрлэдэг коэффициентмономиал. Жишээлбэл, мономиалын коэффициент -12сx 6 y 5 нь -12-тэй тэнцүү байна. x 7 = 1x 7 ба -xy = -1xy байх тул x 3 ба -xy мономиалуудын коэффициентийг 1 ба -1-тэй тэнцүү гэж үзнэ.

Мономиалын хүчээртүүнд орсон бүх хувьсагчийн илтгэгчийн нийлбэрийг нэрлэнэ. Хэрэв мономиал нь хувьсагч агуулаагүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь тоо бол түүний зэрэг нь тэгтэй тэнцүү гэж тооцогддог.

Жишээлбэл, мономиал 8x 3 yz 2-ын зэрэг нь 6, мономиал 6x-ийн зэрэг нь 1, мономиал -10-ийн зэрэг нь 0 байна.

Олон гишүүнтмономиалуудын нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Олон гишүүнт бүрдүүлэгч нэг гишүүнтүүдийг олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр 4x 2 y - 5xy + 3x -1 олон гишүүнтийн гишүүд нь 4x 2 y, -5xy, 3x ба -1 болно.

Олон гишүүнт хоёр гишүүнээс бүрдсэн бол хоёр гишүүн, гурваас бүрдсэн бол гурвалсан гишүүн гэнэ. Нэг гишүүнийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзнэ.

7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 олон гишүүнт 7x 3 y 2 ба - 2y 2 x 3 гэсэн нэр томьёо нь ижил үсгийн хэсэгтэй тул ижил гишүүн болно. Үсгийн хэсэггүй -12 ба 6 гэсэн нэр томьёо ч мөн адил төстэй. Олон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёог олон гишүүнтийн ижил төстэй гишүүд, олон гишүүнт ижил төстэй гишүүдийг багасгахыг олон гишүүнт ижил төстэй гишүүдийн бууралт гэж нэрлэдэг.

7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6 олон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёог жишээ болгон өгье.

олон гишүүнт гэж нэрлэдэг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт, хэрэв түүний нөхцөл бүр стандарт хэлбэрийн мономиал бөгөөд энэ олон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёо агуулаагүй бол.

Аливаа олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулж болно. Үүнийг хийхийн тулд та гишүүн бүрийг стандарт хэлбэрээр танилцуулж, ижил төстэй нэр томъёог авчрах хэрэгтэй.

Олон гишүүнт зэрэгстандарт хэлбэр нь түүнд багтсан мономиалуудын хамгийн том эрх юм.

Дурын олон гишүүнтийн зэрэг нь стандарт хэлбэрийн ижил тэнцүү олон гишүүнтийн зэрэг юм.

Жишээлбэл, 8х 4 у 2 - 12 + 4х 2 у - 3у 2 х 4 + 6 - 5у 2 х 4 олон гишүүнтийн зэрэгийг олъё:

8х 4 у 2 - 12 + 4х 2 у - 3у 2 х 4 + 6 - 5у 2 х 4 = 4х 2 у -6.

Анхдагч олон гишүүнтэд зургаа дахь зэрэглэлийн нэг гишүүнт багтдаг боловч ижил төстэй гишүүнчлэлүүдийг багасгахад бүгдийг нь багасгаж, үр дүн нь гурав дахь зэрэгтэй олон гишүүнт байсан гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь анхны олон гишүүнт 3-р зэрэгтэй гэсэн үг юм!

Тэмдэглэлд зориулсан асуултууд

P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4 олон гишүүнт өгөгдсөн. P(1)-ийг тооцоол.

Олон гишүүнтийн зэргийг тодорхойл: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

7-р ангид алгебрийн хичээлийн хүрээнд шинэ ойлголт, сэдвүүдтэй танилцана. Математик хэмээх сонирхолтой төөрдөг байшинд шинэ хаалга тэдэнд нээгдэнэ. Үүнд мономиал ба олон гишүүнтийн судалгаа, тэдгээрийн хэрэглээ орно.

Энэ юу вэ?

Эхлээд ойлголтуудыг ойлгоцгооё. Математикт олон тодорхой илэрхийлэл байдаг бөгөөд тэдгээрийн олонх нь өөрийн гэсэн тогтмол нэртэй байдаг. Эдгээр үгсийн нэг нь мономиал үг юм. Энэ нь тоонуудын үржвэр, хувьсах хэмжигдэхүүнээс бүрдэх математикийн нэр томъёо бөгөөд тус бүр нь тухайн бүтээгдэхүүнд тодорхой хэмжээгээр илэрч болно. Олон гишүүнт,тодорхойлолтын дагуу энэ нь алгебрийн илэрхийлэл, энэ нь мономиалуудын нийлбэр юм. Ихэнхдээ авчрах шаардлага гардаг мономиалтүүний стандарт хэлбэрт. Үүнийг хийхийн тулд та мономиал дахь бүх тоон хүчин зүйлийг үржүүлж, үр дүнгийн тоог эхний байранд тавих хэрэгтэй. Дараа нь ижил үсгийн суурьтай бүх хүчийг үржүүлнэ. Олон гишүүнтийг мөн стандарт хэлбэрт оруулдаг бөгөөд энэ нь тоон хүчин зүйл болон янз бүрийн хувьсагчийн чадвараас бүрдэх бүтээгдэхүүн юм.

Усан доорх чулуулаг

Эхлээд харахад тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй мэт санагдаж болох ч орчин үеийн сургуулийн сурагчдын хувьд дүр зургийг бүдгэрүүлэх хэд хэдэн нөхцөл байдал бий. Олон тооны эд зүйлс сургуулийн сургалтын хөтөлбөр, хичээлийн цагийн нийт хомсдол, олон хүүхдийн хүмүүнлэгийн сэтгэлгээ, түүнчлэн үндсэн ядаргаа нь шинэ материалыг сурахад маш хэцүү болгодог. Хүүхэд ямар нэг зүйлийг ойлгоогүй, багшаас асуухаас ичиж, айдаг ч тэр сэдвийг өөрөө эзэмшиж чадахгүй, бэрхшээл эхэлдэг.

Асуудлыг шийдэж байна

Эдгээр бэрхшээлээс зайлсхийх хэд хэдэн арга байдаг. Юуны өмнө, сургуулийн сурагчдын эцэг эхчүүд хүүхдээ ерөнхийд нь хөтөлбөр, ялангуяа хамрагдсан сэдвүүдийг хэрхэн даван туулж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь хүүхдэд хатуу хяналт, хяналт тавих хэлбэр байж болохгүй, харин суралцахад хариуцлагатай, нухацтай хандах хандлагыг төлөвшүүлэх зорилготой байх ёстой. Үүний гол түлхүүр нь итгэлцсэн харилцаа, гэхдээ айдас биш юм.

Сургуулийн нэлээд түгээмэл нөхцөл байдал бол хүүхэд шинэ сэдвийг бүрэн ойлгоогүй, ангийнханы доог тохуу, багшийн дургүйцлээс айдаг, тиймээс түүний эргэлзсэн байдлын талаар чимээгүй байхыг илүүд үздэг. Багш нартай харилцах харилцаа ч харилцан адилгүй байдаг тул харамсалтай нь бүх багш нар хүүхдүүдэд хандах хандлагыг олж чаддаггүй нь практикээс харагдаж байна. Мөн хэд хэдэн гарах сонголтууд байдаг:

• зочилно нэмэлт ангиудсургууль дээр, хэрэв байгаа бол;
• багштай хичээл хийх;
• боловсролын тусгай нөөцийг ашиглан интернетээр дамжуулан сургалт.

Эхний хоёр тохиолдолд цаг хугацаа, санхүүгийн эх үүсвэрээс шалтгаалсан сул талууд байдаг, ялангуяа сургалтын явцад. Гурав дахь нь тохиромжтой, учир нь энэ сургалтын сонголт:

• үнэ төлбөргүй;
• та ямар ч тохиромжтой цагт суралцах боломжтой;
• оюутны сэтгэл зүйн таагүй байдал, шоолохоос айх гэх мэт зүйл байхгүй.
• Хэрэв ямар нэг зүйл анх удаа тодорхойгүй байвал та үргэлж видео хичээлийг дахин үзэх боломжтой.

эргэлзээгүй эерэг талуудЭнд илүү олон зүйл байгаа тул эцэг эхчүүд хүүхдэдээ нэмэлт үйл ажиллагаа явуулах ийм сонголтыг санал болгож болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Оюутан эхэндээ энэ саналыг урам зоригтойгоор хүлээж авахгүй байх магадлалтай, гэхдээ үүнийг туршиж үзсэний дараа тэр давуу талыг нь үнэлэх болно. Жилээс жилд сургуулийн хичээлийн ачаалал нэмэгдэж, 7-р ангид энэ нь нэлээд ноцтой болсон.

Манай онлайн эх сурвалжаас хүүхэд өөрт нь хэцүү байж болох сэдвээр хичээлийг хялбархан олох боломжтой, жишээлбэл, "Олон гишүүнт. Стандарт хэлбэрт оруулав." Үүнийг ойлгосноор тэрээр цаашдын материалыг илүү энгийн бөгөөд амархан ойлгож, эзэмших боломжтой болно.

- олон гишүүнт. Энэ нийтлэлд бид олон гишүүнтийн талаархи анхны болон шаардлагатай бүх мэдээллийг тоймлох болно. Үүнд, нэгдүгээрт, олон гишүүнтийн нэр томъёоны тодорхойлолт, тухайлбал чөлөөт нэр томьёо болон ижил төстэй нэр томъёоны дагалддаг олон гишүүнтийн тодорхойлолт орно. Хоёрдугаарт, бид стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтүүд дээр анхаарлаа хандуулж, зохих тодорхойлолтыг өгч, тэдгээрийн жишээг өгөх болно. Эцэст нь бид олон гишүүнтийн зэргийн тодорхойлолтыг танилцуулж, түүнийг хэрхэн олох, олон гишүүнтийн нөхцлийн коэффициентүүдийн талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Олон гишүүнт ба түүний нэр томъёо - тодорхойлолт ба жишээ

7-р ангид олон гишүүнтийг мономиалуудын дараа шууд судалдаг тул энэ нь ойлгомжтой олон гишүүнт тодорхойлолтмономиалаар өгөгддөг. Олон гишүүнт гэж юу болохыг тайлбарлахын тулд энэ тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтмономиалуудын нийлбэр; Мономитийг олон гишүүнтийн онцгой тохиолдол гэж үздэг.

Бичсэн тодорхойлолт нь олон гишүүнтийн жишээг хүссэнээрээ өгөх боломжийг олгодог. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12 гэх мэт мономиалуудын аль нэг нь. олон гишүүнт юм. Мөн тодорхойлолтоор 1+x, a 2 +b 2 ба олон гишүүнт юм.

Олон гишүүнтийг тайлбарлахад хялбар болгох үүднээс олон гишүүнт нэр томъёоны тодорхойлолтыг оруулсан болно.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнт нэр томъёоолон гишүүнт бүрдүүлэгч мономиалууд юм.

Жишээлбэл, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 олон гишүүнт нь 3 x 4 , −2 x y , 3 ба −y 3 гэсэн дөрвөн гишүүнээс бүрдэнэ. Нэг гишүүнийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзнэ.

Тодорхойлолт.

Хоёр ба гурван гишүүнээс бүрдэх олон гишүүнтүүд тусгай нэртэй байдаг - биномТэгээд гурвалсантус тус.

Тэгэхээр x+y нь хоёр гишүүн, 2 x 3 q−q x x x+7 b нь гурвалсан тоо юм.

Сургууль дээр бид ихэвчлэн хамтран ажиллах шаардлагатай болдог шугаман бином a x+b , энд a ба b нь зарим тоонууд, x нь хувьсагч, түүнчлэн c квадрат гурвалжин a·x 2 +b·x+c, энд a, b, c нь зарим тоо, x нь хувьсагч юм. Шугаман биномуудын жишээ энд байна: x+1 , x 7,2−4 , энд жишээнүүд байна дөрвөлжин гурвалсан тоо: x 2 +3 x−5 ба .

Тэмдэглэгээ дэх олон гишүүнтүүд ижил төстэй нэр томъёотой байж болно. Жишээлбэл, 1+5 x−3+y+2 x олон гишүүнт 1 ба −3, түүнчлэн 5 x ба 2 x гэсэн ижил төстэй гишүүд байна. Тэд өөрсдийн гэсэн тусгай нэртэй байдаг - олон гишүүнтийн ижил төстэй нэр томъёо.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтийн ижил төстэй нэр томъёоолон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёог нэрлэдэг.

Өмнөх жишээнд 1 ба −3, мөн 5 x ба 2 x хос нь олон гишүүнтийн ижил төстэй гишүүд юм. Ижил нэр томьёотой олон гишүүнтүүдийн хэлбэрийг хялбарчлахын тулд ижил төстэй нэр томъёог багасгаж болно.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт

Олон гишүүнт, түүнчлэн мономитын хувьд гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг стандарт харагдах байдал. Холбогдох тодорхойлолтыг хэлье.

Үндэслэсэн энэ тодорхойлолт, бид стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтүүдийн жишээг өгч болно. Тэгэхээр 3 x 2 −x y+1 олон гишүүнт ба стандарт хэлбэрээр бичсэн. Мөн 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ба x+x y 3 x z 2 +3 z илэрхийлэл нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт биш, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь 3 x 2 ба −x 2 ижил төстэй нэр томъёог агуулдаг. хоёр дахь нь - мономиаль x·y 3 ·x·z 2 , хэлбэр нь стандартаас ялгаатай.

Шаардлагатай бол олон гишүүнтийг стандарт хэлбэр болгон бууруулж болно гэдгийг анхаарна уу.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнттэй холбоотой өөр нэг ойлголт бол олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүний тухай ойлголт юм.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнүсгийн хэсэггүй стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн гишүүн юм.

Өөрөөр хэлбэл стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт тоо агуулсан байвал түүнийг чөлөөт гишүүн гэнэ. Жишээлбэл, 5 нь x 2 z+5 олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүн боловч 7 a+4 a b+b 3 олон гишүүнт чөлөөт гишүүн байхгүй.

Олон гишүүнтийн зэрэг - үүнийг хэрхэн олох вэ?

Өөр нэг чухал дагалдах тодорхойлолтолон гишүүнтийн зэргийг тодорхойлоход оршино. Нэгдүгээрт, бид стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэглэлийг тодорхойлдог бөгөөд энэ тодорхойлолт нь түүний найрлагад байгаа мономиалуудын зэрэг дээр суурилдаг.

Тодорхойлолт.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэгнь түүний тэмдэглэгээнд орсон мономиалуудын хамгийн том хүч юм.

Жишээ хэлье. 5 x 3 −4 олон гишүүнтийн зэрэг нь 3-тай тэнцүү бөгөөд үүнд багтсан 5 x 3 ба −4 мономиалууд нь 3 ба 0 зэрэгтэй тул эдгээр тоонуудын хамгийн том нь 3 буюу олон гишүүнтийн зэрэг болно. тодорхойлолтоор. Мөн олон гишүүнтийн зэрэг 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 ба 1 тоонуудын хамгийн том нь 5-тай тэнцүү.

Одоо дурын хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэглэлийг хэрхэн олохыг олж мэдье.

Тодорхойлолт.

Дурын хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэгстандарт хэлбэрийн харгалзах олон гишүүнтийн зэрэг гэж нэрлэнэ.

Тиймээс, хэрэв олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрээр бичээгүй бөгөөд та түүний зэрэглэлийг олох шаардлагатай бол анхны олон гишүүнтийг стандарт хэлбэр болгон бууруулж, үүссэн олон гишүүнтийн зэргийг олох хэрэгтэй - энэ нь шаардлагатай болно. Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Олон гишүүнтийн зэргийг ол 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Шийдэл.

Эхлээд та олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Стандарт хэлбэрийн үр дүнд бий болсон олон гишүүнтэд −2·a 2 ·b 2 ·c 2 ба y 2 ·z 2 хоёр мономиал орно. Тэдний хүчийг олцгооё: 2+2+2=6 ба 2+2=4. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хүчнүүдийн хамгийн том нь 6 бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн хүч юм. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, улмаар анхны олон гишүүнтийн зэрэг., 2 x−0.5 x y+3 x+7 олон гишүүнтийн 3 х ба 7 .

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 7-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ A. G. Мордкович. - 17 дахь хэвлэл, нэмэх. - М.: Mnemosyne, 2013. - 175 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебрмөн эхэлсэн математик шинжилгээ. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

19. Томъёог авч үзье

Бид үүнийг "a ба b тоонуудын ялгаа" гэж уншдаг. Энэ томъёонд бид a тоог тэгээр сольж болно; дараа нь тэр эргэж ирнэ

0 – b эсвэл зүгээр л – b.

Тэгээс b-г хасах нь харьцангуй тоог хасах тухай бидний мэддэг зүйлийн дагуу эсрэг тэмдэгтэй авсан b тоог тэг дээр нэмнэ гэсэн үг юм. Иймд –b илэрхийллийг b тооны урвуу тэмдэг гэж ойлгох хэрэгтэй. Хэрэв жишээ нь b = +5 бол –b = –5; b = –4 бол –b = +4 гэх мэт.. Хэрэв +a илэрхийллийг бичвэл а тоотой тэнцүү тоо гэж ойлгох ёстой. Хэрэв a = +5 бол +a = +5; хэрэв a = –4 бол +a = 4 гэх мэт.

Тиймээс томъёо

Бид үр дүнг ялгахгүйгээр, эсвэл утгаараа ойлгож чадна

эсвэл утгаараа

Тиймээс бид хасахыг үргэлж нэмэхээр сольж, аливаа ялгааг хоёр тооны нийлбэр гэж ойлгож болно.
a – b нь a ба (–b) тоонуудын нийлбэр юм.
x – y нь x ба (–y) тоонуудын нийлбэр юм.
–a – b нь (–a) ба (–b) гэх мэт тоонуудын нийлбэр юм.

Арифметикийн үүднээс авч үзвэл хэд хэдэн нэмэх, хасах үйлдэл хийдэг томьёо, жишээлбэл,

a – b + c + d – e – f,

Одоо бид алгебрийн үүднээс авч үзвэл зөвхөн нийлбэр гэж ойлгож болно, тухайлбал:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Тиймээс ийм хэллэгийг "алгебрийн нийлбэр" гэж нэрлэх нь заншилтай байдаг.

20. Алгебрийн нийлбэрийг авч үзье

a – b – c эсвэл –3bc² + 2ab – 4a²b гэх мэт.

Эдгээр хэллэгийг нэрээр нь дуудах нь заншилтай байдаг олон гишүүнт, мөн энэ үг нь "нийлбэр" гэсэн үг эсвэл "алгебрийн нийлбэр" гэсэн нэрийг орлоно. Бид үүнийг мэднэ

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) гэх мэт.

Тус тусад нь нэр томъёо бүрийг олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг.

Эхний олон гишүүнт

(+a), (–b) ба (+c) гэсэн гурван нэр томъёоноос бүрдэнэ.

Хоёр дахь олон гишүүнт

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

(–abc), (–3bc²), (+2ab) болон (–4a²b) гэсэн дөрвөн нэр томъёоноос бүрдэнэ.

Дүнүүдийг ямар ч дарааллаар өөрчилж болно:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Нийлбэрийн энэ шинж чанарыг одоо өөрөөр илэрхийлж болно: олон гишүүнтийн нөхцлүүдийг дурын дарааллаар өөрчилж болно. Үүнийг дээр нь –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b олон гишүүнт дээр хийсэн бөгөөд үүнээс гадна (+2ab) нэр томъёо өмнө нь байхаар хийгдсэн. Энэ нь илэрхийллийг бага зэрэг хялбарчлах боломжийг олгосон: та урд нь + тэмдэг бичих шаардлагагүй. Мэдээжийн хэрэг, нэр томъёо бүрийг хаалтанд оруулахгүйгээр (дээрх шиг) ийм зохицуулалтыг нэн даруй хийх ёстой.

Өөр нэг жишээ:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Энэ олон гишүүнтийн эхний гишүүн нь анх (+1) байсан - нэгжийн өмнө + тэмдэг тэмдэглэгдсэн байсан; Бид энэ гишүүнийг эхнийхээс өөр газар нүүлгэх үед (дээрээс бид үүнийг сүүлчийн газар руу шилжүүлсэн), энэ + тэмдгийг алгасах боломжгүй.

Өмнөх жишээн дээр олон гишүүнтийн нөхцлүүдийг дахин цэгцлэх замаар бид тодорхой дараалалд хүрсэн болохыг бид анзаарч болно: эхний ээлжинд а үсэг бүхий нэр томъёог 4-р зэрэглэл рүү, дараагийн байранд a үсэг бүхий нэр томъёог оруулсан болно. 3-р зэрэглэлд, дараа нь 3-р зэрэглэлд 2-р зэрэглэлд a үсэгтэй нэр томъёо, дараа нь - 1-р зэрэглэлд, эцэст нь а үсэг байхгүй нэр томъёо ирдэг.

Олон гишүүнтийн нөхцлүүдийн энэ зохицуулалтыг "олон гишүүн нь а үсгийн буурах байдлаар байрласан" гэсэн үгээр илэрхийлэгдэнэ.

Энэ зохицуулалтын бусад жишээ энд байна:

3x 5 – 2ax 3 + b (х үсгийн буурах хэмжээгээр)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (a үсгийн буурах хэмжээгээр)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (b үсгийн буурах хэмжээгээр)
4х 4 – 3х 3 + 2х 3 (х үсгийн буурах хэмжээгээр).

Урвуу "өсөх зэрэг" зохицуулалтыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд сонгосон үсгийн зэрэг нь аажмаар нэмэгдэж, 1-р гишүүнд энэ үсэг огт байхгүй эсвэл бусад нэр томъёотой харьцуулахад хамгийн бага зэрэгтэй байдаг. Өмнөх жишээнүүдийн хоёр дахь жишээн дээр бид энд олон гишүүнт b үсгийн өсөх байдлаар байрласан гэж хэлж болно. Энд жишээнүүд байна:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (а үсгийн өсөх хэмжээгээр);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (х үсгийн өсөх хэмжээгээр);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (х үсгийн өсөх хэмжээгээр);
a 3 – 2ab + b 2 (б үсгийн өсөх эсвэл а үсгийн буурах зэрэгт);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (х үсгийн буурах зэрэгт эсвэл у үсгийн өсөх түвшинд).

21. Хоёр гишүүнтэй олон гишүүнтийг гэнэ бином(жишээ нь, 3a + 2b), гурван гишүүний тухай - гурвалсан (жишээлбэл, 2a² - 3ab + 4b²) гэх мэт. Нэг гишүүний нийлбэрийн тухай (нөгөө нэр томъёо нь тэг), эсвэл нэг гишүүний тухай ярьж болно. нэг гишүүний тухай олон гишүүнт. Дараа нь мэдээж "олон гишүүнт" гэсэн нэр нь тохиромжгүй, "мономил" гэсэн нэрийг ашигладаг. Аливаа олон гишүүнтийн гишүүн бүрийг тусад нь авч үзвэл мономиал байна. Хамгийн энгийн мономиалуудын жишээ энд байна.

2; -3а; a²; 4х³; -5х4; ab; ab²; -3abc; гэх мэт.

Дээр бичсэн бараг бүх мономиалууд нь хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрүүд бөгөөд тэдгээрийн ихэнх нь тоон болон цагаан толгойн аль аль нь байдаг. Жишээлбэл, мономиал –3abc нь тоон хүчин зүйл –3, үсэгний хүчин зүйл a, b, c; мономиаль 4x³-д тоон хүчин зүйл +4 (+ тэмдэг нь далдлагдсан) ба шууд утга x³ гэх мэт байна. Хэрэв бид хэд хэдэн тоон хүчин зүйлтэй (мөн цагаан толгойн үсгээр бичсэн) мономиал бичвэл дараах байдалтай адил болно.

,

Дараа нь тоон хүчин зүйлүүд ойролцоо байхаар хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах нь илүү тохиромжтой, i.e.

,

Эдгээр тоон хүчин зүйлсийг үржүүлж, авна

–4a²bc² (цэг, үржүүлэх тэмдгийг алгассан).

Мөн ихэнх тохиолдолд тоон хүчин зүйлийг урд нь бичдэг заншилтай байдаг. Тэд бичдэг:

4а, 4 биш
–3a²b, a²(–3)b биш

Мономиалын тоон хүчин зүйлийг коэффициент гэж нэрлэдэг.

Хэрэв тоон хүчин зүйлийг мономиал дээр бичээгүй бол, жишээлбэл, ab, та үүнийг үргэлж илэрхийлж болно. Үнэхээр

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ гэх мэт.

Тиймээс a², ab, ab² мономиалууд тус бүр нь 1 (илүү нарийвчлалтай: +1) коэффициенттэй байна. Хэрэв бид –ab, –a², –ab² гэх мэт мономиалуудыг бичвэл тэдгээр нь –1 коэффициенттэй байх ёстой.

22. Олон гишүүнт ба мономитын илүү төвөгтэй жишээнүүд.

(a + b)² + 3(a – b)² ... энэ томъёо нь хоёр гишүүний нийлбэрийг илэрхийлнэ: эхнийх нь a ба b тоонуудын нийлбэрийн квадрат, хоёр дахь нь тооны үржвэр юм. 3 ижил тооны зөрүүний квадратаар. Тиймээс энэ томьёог бином гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой: эхний гишүүн нь (a + b)², хоёр дахь нь 3(a - b)². Хэрэв бид (a + b)² илэрхийлэлийг тусад нь авбал өмнөхийнх нь дагуу үүнийг мономиал гэж үзэх ёстой бөгөөд түүний коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... гурвалсан гишүүн (гурван гишүүний нийлбэр) гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой: эхний гишүүн a(b – 1) ) ба түүний коэффициент = +1 , хоёр дахь гишүүн –b(a – 1), түүний коэффициент = –1, гуравдугаар гишүүн –(a – 1)(b – 1), түүний коэффициент = – 1 байна.

Заримдаа олон гишүүнтийн гишүүний тоог зохиомлоор багасгадаг. Тиймээс гурвалсан

Жишээ нь, хоёр гишүүн гэж үзэж болно, жишээлбэл, a + b нь нэг гишүүн (нэг гишүүн) гэж тооцогддог. Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд хаалт ашиглана уу:

Дараа нь (a + b) нэр томъёо нь +1 гэсэн далд коэффициенттэй байна

[үнэхээр (a + b) = (+1)(a + b)].

Олон гишүүнт хүчин зүйл хийх шаардлагатай бөгөөд өгөгдсөн илэрхийллийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд илэрхийллийн бүх гишүүдэд орсон хувьсагчдыг хаалтнаас хас. Түүнээс гадна эдгээр хувьсагч нь хамгийн бага үзүүлэлттэй байх ёстой. Дараа нь олон гишүүнтийн коэффициент тус бүрийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тооцоол. Үүссэн тооны модуль нь нийтлэг үржүүлэгчийн коэффициент байх болно.

Жишээ. 5м³–10м²н²+5м² гаруй тархсан. m²-ийг хаалтны гадна талд байрлуул, учир нь Энэ илэрхийллийн гишүүн бүрт m хувьсагч байх ба түүний хамгийн бага илтгэгч нь хоёр байна. Нийтлэг үржүүлэгчийн коэффициентийг тооцоол. Энэ нь тавтай тэнцэнэ. Тиймээс энэ илэрхийллийн нийтлэг хүчин зүйл нь 5м² байна. Эндээс: 5м³–10м²н²+5м²=5м²(м–2н²+1).

Хэрэв илэрхийлэлд нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол түүнийг бүлэглэх аргыг ашиглан өргөжүүлж үзээрэй. Үүнийг хийхийн тулд нийтлэг хүчин зүйлтэй гишүүдийг бүлгүүдэд нэгтгэ. Бүлэг бүрийн нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гарга. Бүх үүссэн бүлгүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гарга.

Жишээ. a³–3a²+4a–12 олон гишүүнт хүчин зүйлс. Дараах байдлаар бүлэглэнэ: (a³–3a²)+(4a–12). Эхний бүлэгт нийтлэг хүчин зүйл a², хоёрдугаар бүлэгт нийтлэг хүчин зүйл 4-ийг гарга. Эндээс: a²(a–3)+4(a–3). a–3 олон гишүүнтийг хаалтнаас гаргаж аваад: (a–3)(a²+4) авна. Иймд a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Зарим олон гишүүнтүржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан хүчин зүйл ангилдаг. Үүнийг хийхийн тулд олон гишүүнтийг бүлэглэх эсвэл хаалтнаас нийтлэг хүчин зүйлийг хасах замаар хүссэн хэлбэрт оруулна. Дараа нь тохирох товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ. 4x²–m²+2mn–n² олон гишүүнтийг үржүүлээрэй. Сүүлийн гурван гишүүнийг хаалтанд нэгтгэж, хаалтнаас -1-ийг авна. Авах: 4x²–(m²–2mn+n²). Хаалтанд байгаа илэрхийллийг зөрүүний квадрат хэлбэрээр илэрхийлж болно. Эндээс: (2x)²–(m–n)². Энэ бол квадратуудын ялгаа бөгөөд бид үүнийг бичиж болно: (2x–m+n)(2x+m+n). Тиймээс 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Зарим олон гишүүнтүүдийг энэ аргыг ашиглан хүчин зүйлээр ангилж болно тодорхой бус коэффициентүүд. Тиймээс олон гишүүнт бүрийг (y–t)(my²+ny+k) хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд t, m, n, k нь тоон коэффициент юм. Үүний үр дүнд эдгээр коэффициентүүдийн утгыг тодорхойлох даалгавар ирдэг. Үүнийг дараах тэгшитгэл дээр үндэслэн хийнэ: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Жишээ. 2a³–a²–7a+2 олон гишүүнт хүчин зүйлс. Гурав дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт хоёр дахь хэсгээс дараах тэгшитгэлийг үүсгэнэ: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Тэдгээрийг систем болгон бичнэ үү. Үүнийг шийд. Та t=2 утгуудыг олох болно; n=3; k=–1. Тооцоолсон коэффициентүүдийг томъёоны эхний хэсэгт орлуулбал: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Эх сурвалжууд:

• Олон гишүүнт хүчин зүйл
• олон гишүүнтийг хэрхэн хүчинжүүлэх

Математикийн шинжлэх ухаантөрөл бүрийн бүтэц, тоонуудын дараалал, тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг судлах, тэгшитгэл зохиох, тэдгээрийг шийдвэрлэх. Энэ бол шинжлэх ухааны бусад салбарт судлагдсан бодит объектуудын ойролцоох шинж чанарыг тодорхой дүрсэлж чадах албан ёсны хэл юм. Ийм бүтцийн нэг нь олон гишүүнт юм.

Зааварчилгаа

Олон гишүүнт буюу (Грек хэлнээс "поли" - олон ба Латин "номен" - нэр) - үндсэн функцуудсонгодог алгебр ба алгебрийн геометр. Энэ нь нэг хувьсагчийн функц бөгөөд F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n хэлбэртэй, c_i тогтмол коэффициент, x нь хувьсагч юм.

Олон гишүүнтийг тэг, сөрөг ба нийлмэл тоог судлах, бүлэг, цагираг, зангилаа, олонлогийн онол гэх мэт олон салбарт ашигладаг. Олон гишүүнт тооцоог ашиглах нь янз бүрийн объектын шинж чанарыг илэрхийлэхийг ихээхэн хялбаршуулдаг.

Үндсэн тодорхойлолтууд:
Олон гишүүнт гишүүн бүрийг мономиал гэж нэрлэдэг.
Хоёр мономиалаас бүрдсэн олон гишүүнтийг бином буюу бином гэж нэрлэдэг.
Олон гишүүнт коэффициент - бодит эсвэл нийлмэл тоо.
Хэрэв коэффициент нь 1-тэй тэнцүү бол түүнийг нэгдмэл (багасгасан) гэж нэрлэдэг.
Мономиаль бүрийн хувьсагчийн зэрэг нь сөрөг бус бүхэл тоо бөгөөд хамгийн их зэрэг нь олон гишүүнтийн зэрэгийг тодорхойлдог бөгөөд түүний бүрэн зэрэг нь бүхэл тоо гэж нэрлэгддэг. нийлбэртэй тэнцүү байнабүх зэрэг.
Тэг градуст тохирох мономиалыг чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.
Бүгд ижил зэрэгтэй олон гишүүнтийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Зарим түгээмэл хэрэглэгддэг олон гишүүнтүүдийг тодорхойлсон эрдэмтний нэрээр нэрлэхийн зэрэгцээ тэдгээрийн тодорхойлсон функцүүдээр нэрлэдэг. Жишээлбэл, Ньютоны бином нь олон гишүүнтийг бие даасан гишүүн болгон задлахад зориулагдсан. Эдгээр нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс мэдэгдэж байгаа нийлбэр ба ялгааны квадратуудын тэмдэглэгээ юм (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 ба квадратуудын зөрүү (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Хэрэв бид олон гишүүнтийн тэмдэглэгээнд сөрөг градусыг зөвшөөрвөл олон гишүүнт эсвэл Лорентын цувралыг авна; Чебышевын олон гишүүнтийг ойролцоолох онолд ашигладаг; Гермитийн олон гишүүнт - магадлалын онолд; Лагранж - төлөө тоон интегралба интерполяци; Тейлор - функцийг ойролцоолох үед гэх мэт.

тэмдэглэл

Ном (Мастер ба Маргарита) болон кинонд (Сталкер) баатрууд математикийн асуудлыг шийдвэрлэх үед Ньютоны биномийг ихэвчлэн дурддаг. Энэ нэр томъёо нь алдартай тул хамгийн алдартай олон гишүүнт гэж тооцогддог.

Зөвлөгөө 3: 90-ийг хоёр үндсэн хүчин зүйл болгон хэрхэн хүчинжүүлэх вэ

Нэгээс өөр нийтлэг хуваагчгүй тоонуудыг харилцан анхны хүчин зүйлүүд гэнэ. Алгоритм нь маш энгийн тул үүнийг жишээгээр авч үзэхийг хичээ: 90 тоог хоёр үндсэн хүчин зүйл болгон хуваа.