ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР
УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА
ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛ
"ВОРОНЕЖИЙН УЛСЫН БАГШИЙН ИХ СУРГУУЛЬ"
АГЛЕБРА ГЕОМЕТРИЙН ТЭНХИМ
Нарийн төвөгтэй тоо
(сонгосон даалгавар)
ТӨГСӨГЧИЙН МЭРГЭШЛИЙН АЖИЛ
050201.65 математикийн мэргэжил
(050202.65 компьютерийн шинжлэх ухааны нэмэлт мэргэжлээр)
Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан
физик, математик
тэнхим
Шинжлэх ухааны зөвлөх:
ВОРОНЕЖ - 2008 он
1. Танилцуулга……………………………………………………...…………..…
2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)
2.1. Цогцолбор тоо алгебрийн хэлбэр….……...……….….
2.2. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар ………………
2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр
2.4. Комплекс тооны онолыг 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэлд ашиглах нь……………………………………………………………………
2.5. Цогцолбор тоо ба параметрүүд…………………………………………
3. Дүгнэлт…………………………………………………………………………….
4. Ашигласан материалын жагсаалт……………………………………………………
1. Танилцуулга
Математикийн хөтөлбөрт сургуулийн курстооны онолыг натурал тоо, бүхэл тоо, рациональ, иррационалийн олонлогийн жишээнүүдийг ашиглан нэвтрүүлсэн. зураг нь бүхэл тооны мөрийг дүүргэх бодит тоонуудын багц дээр. Гэхдээ аль хэдийн 8-р ангид сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодит тооны нийлүүлэлт хангалтгүй байна. Тиймээс бодит тоонуудын нөөцийг квадрат язгуур бүхий цогц тоонуудын тусламжтайгаар нөхөх шаардлагатай байв. сөрөг тоогэсэн утгатай.
Төгсөлтийн сэдэв болгон “Цогцолбор тоо” сэдвийг сонгосон шаардлага хангасан ажил, нийлмэл тооны тухай ойлголт нь сурагчдын тоон системийн талаарх мэдлэгийг өргөжүүлж, алгебрийн болон геометрийн агуулгын өргөн хүрээний бодлого, шийдвэрлэх тухай мэдлэгийг өргөжүүлдэг. алгебрийн тэгшитгэлямар ч зэрэг болон параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх тухай.
Энэхүү дипломын ажил нь 82 асуудлын шийдлийг авч үздэг.
"Цогцолбор тоо" үндсэн хэсгийн эхний хэсэг нь асуудлын шийдлийг агуулдаг нийлмэл тооалгебрийн хэлбэрээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд, алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоонуудын залгах үйлдлүүд, төсөөллийн нэгжийн хүч, цогцолбор тооны модулийг тодорхойлж, задлах дүрмийг мөн зааж өгсөн болно. квадрат язгуурнийлмэл тооноос.
Хоёрдахь хэсэгт нийлмэл хавтгайн цэг эсвэл вектор хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын геометрийн тайлбарын асуудлыг шийдэв.
Гурав дахь хэсэг нь тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын үйлдлийг авч үздэг. Ашигласан томьёо нь: Moivre болон нийлмэл тооны үндсийг задлах.
Дөрөв дэх хэсэг нь 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.
Сүүлийн хэсэг болох "Цогцолбор тоо ба параметрүүд"-ийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өмнөх хэсгүүдэд өгсөн мэдээллийг ашиглаж, нэгтгэнэ. Энэ бүлгийн хэд хэдэн асуудлыг параметр бүхий тэгшитгэлээр (тэгш бус байдал) тодорхойлсон цогц хавтгай дахь шугамын бүлгийг тодорхойлоход зориулагдсан болно. Дасгалын нэг хэсэгт параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (C талбар дээр). Нарийн төвөгтэй хувьсагч нь хэд хэдэн нөхцлийг нэгэн зэрэг хангадаг ажлууд байдаг. Энэ хэсгийн асуудлыг шийдвэрлэх нэг онцлог шинж чанар бол тэдгээрийн олонхыг хоёр дахь зэрэгтэй, иррациональ, тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлд (тэгш бус байдал, систем) оруулах явдал юм.
Хэсэг тус бүр дэх материалыг танилцуулах нэг онцлог нь анхны оролт юм онолын үндэс, улмаар асуудлыг шийдвэрлэхэд тэдний практик хэрэглээ.
Төгсгөлд нь дипломын ажилашигласан уран зохиолын жагсаалтыг үзүүлэв. Тэдгээрийн ихэнх нь онолын материалыг хангалттай дэлгэрэнгүй, хүртээмжтэй танилцуулж, зарим асуудлын шийдлийг авч үзэх, практик даалгаварУчир нь бие даасан шийдвэр. Онцгой анхааралБи дараах эх сурвалжуудыг дурдахыг хүсч байна.
1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фиртов В.Е., Серебрякова И.В. Цогцолбор тоо, тэдгээрийн хэрэглээ: Сурах бичиг. . Материал сургалтын тусламжлекц, практик дасгал хэлбэрээр танилцуулсан.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Анхан шатны математикийн сонгосон бодлого, теоремууд. Арифметик ба алгебр. Уг номонд алгебр, арифметик, тооны онолтой холбоотой 320 бодлого орсон. Эдгээр даалгаврууд нь сургуулийн жишиг даалгавраас мөн чанараараа эрс ялгаатай.
2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)
2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо
Математик, физикийн олон асуудлын шийдэл нь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл
,Энд a0, a1, …, an нь бодит тоонууд юм. Тиймээс алгебрийн тэгшитгэлийн судалгаа нь нэг юм чухал асуудлуудматематикт. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэл сөрөг ялгаварлагч. Ийм тэгшитгэлийн хамгийн энгийн нь тэгшитгэл юм
.Энэ тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх замаар бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх шаардлагатай.
.Энэ язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэе
. Тиймээс, тодорхойлолтоор, эсвэл,иймээс,
. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Үүний тусламжтайгаар болон хос бодит тоонуудын тусламжтайгаар маягтын илэрхийлэл эмхэтдэг.Үүссэн илэрхийлэл нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг агуулж байсан тул цогц тоо гэж нэрлэв.
Тиймээс комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм
, ба нь бодит тоо бөгөөд нөхцөлийг хангасан тодорхой тэмдэг юм. Тоо нь нийлмэл тооны бодит хэсэг гэж нэрлэгддэг ба тоо нь түүний төсөөллийн хэсэг юм. , тэмдэг нь тэдгээрийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.Маягтын нийлмэл тоо
Эдгээр нь бодит тоонууд тул цогц тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг агуулдаг. Маягтын нийлмэл тоо
цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэлбэрийн хоёр нийлмэл тоо ба тэдгээрийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү гэж нэрлэдэг, i.e. Хэрэв тэгш байдал, .Нарийн төвөгтэй тоонуудын алгебрийн тэмдэглэгээ нь алгебрийн ердийн дүрмийн дагуу тэдгээрт үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог.
Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тойм өгүүллийн гол зорилго нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах явдал юм. Тиймээс нийлмэл тоог маягтын тоо гэж нэрлэнэ z = a + bi, Хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. i 2 = -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0Тэгээд b ≠ 0, дараа нь тоог ихэвчлэн цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.
Одоо нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүдийг танилцуулъя.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 i.
Ингээд авч үзье z = a + bi.
Комплекс тоонуудын багц нь бодит тоонуудын багцыг өргөтгөж, улмаар олонлогийг өргөтгөдөг рационал тоогэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжийг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z - бүхэл тоо, Q - рациональ, R - бодит, C - цогцолбор. 
Комплекс тоонуудын төлөөлөл
Алгебрийн тэмдэглэгээ.
Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичлэгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараах визуал зургийг ихэвчлэн ашигладаг 
Тригонометрийн хэлбэр.
Зурагнаас харахад тоо байна z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, тиймээс z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тэр z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо.
Үзүүлэн харуулах хэлбэр.
Ингээд авч үзье z = rcos(φ) + rsin(φ)i- тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоо, өөр хэлбэрээр бичнэ үү z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос гардаг тул бид олж авна шинэ дүрэмт хувцаснийлмэл тооны тэмдэглэгээ: z = reiφгэж нэрлэдэг заалт. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, Энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Дээд алгебрийн үндсэн теорем
Бид x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж төсөөлье. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь тодорхой болсон. Тиймээс, дээд алгебрийн үндсэн теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэг нийлмэл язгууртай байдаг. Эндээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем нь математикт маш чухал үр дүн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь яг n байна өөр өөр үндэсэв нэгдлийн n зэрэг.
Даалгаврын үндсэн төрлүүд
Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаваруудкомплекс тоонууд руу. Уламжлал ёсоор нийлмэл тоотой холбоотой бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.
- Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдлүүд хийх.
- Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн язгуурыг олох.
- Комплекс тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх.
- Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
- Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд нийлмэл тоог ашиглах.
Одоо авч үзье ерөнхий техникэдгээр асуудлуудын шийдэл.
Нарийн төвөгтэй тоо бүхий хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг боловч хэрэв нийлмэл тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр харуулсан бол энэ тохиолдолд та тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.
Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бидэнд квадрат тэгшитгэл байгаа гэж бодъё, хэрвээ түүний ялгаварлагч нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олж болно. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, өөрөөр хэлбэл, D = -1∙a 2, Хаана атодорхой тоо бол ялгаварлагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно D = (ia) 2, тиймээс √D = i|a|, дараа нь та ашиглаж болно сайн мэддэг томъёоквадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд.
Жишээ. Дээр дурдсан зүйл рүү буцъя. квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой: 
Цогцолбор тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх ажлыг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөх шаардлагатай бол та үүнийг шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хэрэв хүч нь илүү том бол (боодлын хувьд энэ нь ихэвчлэн илүү их байдаг) бол та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглана уу.
Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
z-г экспоненциал хэлбэрээр бичье: z = √2 e iπ/4.
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.
Комплекс тооноос үндсийг гаргаж авах нь экспонентацийн урвуу үйлдэл тул ижил төстэй аргаар гүйцэтгэнэ. Үндэс гаргаж авахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх язгуурыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох болно, бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулъя: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, тиймээс φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-д өөр өөр үндэс гарна.
Тиймээс 1, e i2π/3, e i4π/3 нь үндэс болно.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр: 
Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээг өгье.
Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).
Хэдийгээр энэ асуудлыг томъёолоход нарийн төвөгтэй тоонууд ороогүй ч тэдний тусламжтайгаар амархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг. 
Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрт орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийг нийлбэр болгон бууруулна.
Дүгнэлт
Цогцолбор тоо нь математикт өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд энэхүү тойм өгүүлэл нь цогцолбор тоон дээрх үндсэн үйлдлүүдийг судалж, хэд хэдэн төрлийн стандарт бодлогыг тайлбарлаж, товч тайлбарласан болно. ерөнхий аргуудТэдний шийдлүүдийн хувьд нарийн төвөгтэй тоонуудын чадварыг илүү нарийвчлан судлахын тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.
Уран зохиол
Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.
Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\]-г тооцоол.
Юуны өмнө нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэж байгааг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчилж, дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёог ашиглан үржүүлж, 10-р зэрэглэл рүү өсгөдөг. Энэ томьёо нь нийлмэл тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Бид авах:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг дагаж бид дараахь зүйлийг хийнэ.
Манай тохиолдолд:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлт \[(8\pi рад." мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ. \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлж, Мойврын томъёог ашиглана:
Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?
Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.
