Мэдэгдэж буй дисперстэй хэвийн тархалтын математик хүлээлтийн итгэлийн интервал. Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал

MS EXCEL дээр бүтээцгээе итгэлийн интервалтохиолдолд тархалтын дундаж утгыг тооцоолох мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэзөрүү.

Мэдээж сонголт итгэлийн түвшиншийдэж байгаа асуудлаас бүрэн хамаарна. Тиймээс агаарын зорчигчийн онгоцны найдвартай байдалд итгэх итгэлийн түвшин нь худалдан авагчийн цахилгаан чийдэнгийн найдвартай байдалд итгэх итгэлээс өндөр байх ёстой.

Асуудлын томъёолол

-аас гэж бодъё хүн амавсан дээжхэмжээ n. гэж таамаглаж байна стандарт хэлбэлзэл Энэ хуваарилалт мэдэгдэж байна. Үүн дээр үндэслэн зайлшгүй шаардлагатай дээжүл мэдэгдэх зүйлийг үнэлэх түгээлтийн дундаж(μ, ) ба тохирохыг байгуулна хоёр талт итгэлийн интервал.

Онооны тооцоо

-аас мэдэгдэж байгаачлан статистик(үүнийг тэмдэглэе X дундаж) байна дундаж утгыг шударга бус тооцоолсонэнэ хүн амба N(μ;σ 2 /n) тархалттай байна.

Анхаарна уу: Хэрэв та барих шаардлагатай бол яах вэ итгэлийн интервалхуваарилах тохиолдолд тэр биш хэвийн үү?Энэ тохиолдолд аврах ажилд ирдэг бөгөөд энэ нь хангалттай гэж хэлдэг том хэмжээтэй дээжхуваарилалтаас n байх биш хэвийн, статистикийн түүврийн тархалт X дундажболно ойролцоогоорхаргалзах хэвийн тархалт N(μ;σ 2 /n) параметрүүдтэй.

Тэгэхээр, цэгийн тооцоо дундаж түгээлтийн утгуудбидэнд байна - энэ жишээ дундаж, өөрөөр хэлбэл X дундаж. Одоо эхэлцгээе итгэлийн интервал.

Итгэлийн интервалыг бий болгох

Ихэвчлэн тархалт ба түүний параметрүүдийг мэдсэнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн бидний заасан интервалаас утгыг авах магадлалыг тооцоолж болно. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе: өгөгдсөн магадлалаар санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах интервалыг ол. Жишээлбэл, шинж чанаруудаас хэвийн тархалт 95% -ийн магадлалтайгаар санамсаргүй хэмжигдэхүүн тархсан нь мэдэгдэж байна ердийн хууль, ойролцоогоор +/- 2-ын хязгаарт багтах болно дундаж утга(тухай нийтлэлийг үзнэ үү). Энэ интервал нь бидний хувьд прототип болно итгэлийн интервал.

Одоо бид хуваарилалтыг мэдэж байгаа эсэхийг харцгаая , Энэ интервалыг тооцоолох уу? Асуултанд хариулахын тулд бид тархалтын хэлбэр, түүний параметрүүдийг зааж өгөх ёстой.

Бид түгээлтийн хэлбэрийг мэддэг - энэ бол хэвийн тархалт (бидний тухай ярьж байгааг санаарай түүврийн хуваарилалт статистик X дундаж).

μ параметр нь бидэнд мэдэгддэггүй (үүнийг зөвхөн ашиглан тооцоолох хэрэгтэй итгэлийн интервал), гэхдээ бидэнд тооцоо бий X дундаж,үндэслэн тооцсон дээж,ашиглаж болох юм.

Хоёрдахь параметр - түүврийн дундаж стандарт хазайлт бид үүнийг мэдэгдэж байгаа гэж үзэх болно, энэ нь σ/√n-тэй тэнцүү байна.

Учир нь Бид μ-г мэдэхгүй бол +/- 2 интервалыг байгуулна стандарт хазайлт-аас биш дундаж утга, мөн түүний мэдэгдэж буй тооцооноос X дундаж. Тэдгээр. тооцоолох үед итгэлийн интервалбид тэгж таамаглахгүй X дундаж+/- 2 мужид багтана стандарт хазайлтμ-ээс 95% -ийн магадлалтай байх ба интервалыг +/- 2 гэж үзнэ. стандарт хазайлт-аас X дундаж 95%-ийн магадлалтайгаар μ-г хамарна - нийт хүн амын дундаж,хаанаас авдаг дээж. Эдгээр хоёр мэдэгдэл нь тэнцүү боловч хоёр дахь мэдэгдэл нь бидэнд бүтээх боломжийг олгодог итгэлийн интервал.

Нэмж дурдахад интервалыг тодруулцгаая: тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ердийн хууль, 95% магадлал нь +/- 1.960 интервалд багтдаг стандарт хазайлт,+/- 2 биш стандарт хазайлт. Үүнийг томъёогоор тооцоолж болно =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), см. жишээ файлын хуудасны интервал.

Одоо бид бий болгоход үйлчлэх магадлалын мэдэгдлийг томъёолж болно итгэлийн интервал:
"Тийм магадлал хүн ам гэсэн үг-аас байрладаг түүврийн дундаж 1,960" дотор түүврийн дундаж стандарт хазайлт", 95% -тай тэнцүү".

Мэдэгдэлд дурдсан магадлалын утга нь тусгай нэртэй байна -тай холбоотойач холбогдлын түвшин α (альфа) энгийн илэрхийллээр итгэлцлийн түвшин =1 -α . Манай тохиолдолд ач холбогдлын түвшин α =1-0,95=0,05 .

Одоо энэ магадлалын мэдэгдэлд үндэслэн бид тооцоолох илэрхийлэл бичнэ итгэлийн интервал:

Энд Z α/2 – Стандарт хэвийн тархалт(санамсаргүй хэмжигдэхүүний энэ утга z, Юу П(z>=Z α/2 )=α/2).

Анхаарна уу: Дээд α/2-квантильөргөнийг тодорхойлдог итгэлийн интервалВ стандарт хазайлт жишээ дундаж. Дээд α/2-квантиль Стандарт хэвийн тархалтүргэлж 0-ээс их байх нь маш тохиромжтой.

Манай тохиолдолд α=0.05, дээд α/2-квантиль 1.960-тай тэнцэнэ. Бусад чухал түвшний хувьд α (10%; 1%) дээд α/2-квантиль Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) эсвэл хэрэв мэдэгдэж байгаа бол томъёог ашиглан тооцоолж болно итгэлцлийн түвшин, =NORM.ST.OBR((1+итгэлцлийн түвшин)/2).

Ихэвчлэн барилга барих үед дундаж утгыг тооцох итгэлийн интервалуудзөвхөн ашиглах дээд α/2-тоо хэмжээмөн бүү ашигла доод α/2-тоо хэмжээ. Учир нь энэ нь боломжтой юм Стандарт хэвийн тархалт x тэнхлэгт тэгш хэмтэй ( түүний тархалтын нягтралтухай тэгш хэмтэй дундаж, өөрөөр хэлбэл. 0). Тиймээс тооцоо хийх шаардлагагүй бага α/2-квантиль(энэ нь зүгээр л α гэж нэрлэгддэг /2-квантиль), учир нь тэнцүү байна дээд α/2-тоо хэмжээхасах тэмдэгтэй.

Х утгын тархалтын хэлбэрээс үл хамааран харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгааг эргэн санацгаая X дундажтараасан ойролцоогоор Сайн байна N(μ;σ 2 /n) (тухай нийтлэлийг үзнэ үү). Тиймээс, in ерөнхий тохиолдол, дээрх илэрхийлэл итгэлийн интервалнь зөвхөн ойролцоо тоо юм. Хэрэв x утгыг хуваарилсан бол ердийн хууль N(μ;σ 2 /n), дараа нь илэрхийлэл итгэлийн интервалүнэн зөв байна.

MS EXCEL-д итгэх интервалын тооцоо

Асуудлыг шийдье.
Цахим бүрэлдэхүүн хэсгийн оролтын дохионд хариу өгөх хугацаа нь чухал шинж чанартөхөөрөмжүүд. Инженер 95% -ийн итгэлийн түвшинд хариу өгөх дундаж хугацааны итгэлийн интервалыг бий болгохыг хүсдэг. Өмнөх туршлагаас харахад хариулах хугацааны стандарт хазайлт нь 8 мс гэдгийг инженер мэддэг. Хариу өгөх хугацааг үнэлэхийн тулд инженер 25 хэмжилт хийсэн бөгөөд дундаж утга нь 78 мс байсан.

Шийдэл: Инженер хариу өгөх хугацааг мэдэхийг хүсч байна электрон төхөөрөмж, гэхдээ тэр хариу өгөх хугацаа нь тогтмол утга биш, харин өөрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг ойлгодог. Тиймээс түүний найдаж болох хамгийн сайн зүйл бол энэ хуваарилалтын параметр, хэлбэрийг тодорхойлох явдал юм.

Харамсалтай нь, асуудлын нөхцлөөс бид хариу өгөх цагийн хуваарилалтын хэлбэрийг мэдэхгүй байна (энэ нь заавал байх албагүй) хэвийн). , энэ хуваарилалт бас тодорхойгүй байна. Зөвхөн түүнийг л мэддэг стандарт хэлбэлзэлσ=8. Тиймээс бид магадлалыг тооцоолж, барьж чадахгүй итгэлийн интервал.

Гэсэн хэдий ч бид хуваарилалтыг мэдэхгүй байна цаг тусдаа хариу үйлдэлдагуу бид мэднэ CPT, түүврийн хуваарилалт хариу өгөх дундаж хугацааойролцоогоор байна хэвийн(нөхцөл гэж бид таамаглах болно CPTявуулж байна, учир нь хэмжээ дээжнэлээд том (n=25)) .

Түүнээс гадна, дундажэнэ хуваарилалт тэнцүү байна дундаж утганэг хариултын хуваарилалт, өөрөөр хэлбэл. μ. А стандарт хэлбэлзэлЭнэ тархалтын (σ/√n) -ийг =8/ROOT(25) томъёогоор тооцоолж болно.

Мөн инженер хүлээн авсан нь мэдэгдэж байна цэгийн тооцоопараметр μ 78 мс-тэй тэнцүү (X дундаж). Тиймээс, одоо бид магадлалыг тооцоолж болно, учир нь Бид хуваарилалтын хэлбэрийг мэддэг ( хэвийн) ба түүний параметрүүд (X avg ба σ/√n).

Инженер мэдэхийг хүсч байна хүлээгдэж буй үнэ цэнэ μ хариу өгөх хугацааны хуваарилалт. Дээр дурдсанчлан энэ μ нь тэнцүү байна хариултын дундаж хугацааны түүврийн тархалтын математикийн хүлээлт. Хэрэв бид ашигладаг бол хэвийн тархалт N(X avg; σ/√n), тэгвэл хүссэн μ нь ойролцоогоор 95% магадлалтай +/-2*σ/√n мужид байх болно.

Ач холбогдолын түвшинтэнцүү 1-0.95=0.05.

Эцэст нь зүүн, баруун хилийг олъё итгэлийн интервал.
Зүүн хүрээ: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Баруун хил: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

Зүүн хүрээ: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
Баруун хүрээ: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

Хариулах: итгэлийн интервалцагт 95% итгэлийн түвшин ба σ=8сектэнцүү байна 78+/-3.136 мс.

IN Sigma хуудсан дээрх жишээ файлмэдэгдэж, тооцоо, барилгын хэлбэрийг бий болгосон хоёр талт итгэлийн интервалдур зоргоороо дээжөгөгдсөн σ ба ач холбогдлын түвшин.

CONFIDENCE.NORM() функц

Хэрэв утгууд дээжхүрээнд байна В20: В79 , А ач холбогдлын түвшин 0.05-тай тэнцүү; Дараа нь MS EXCEL томъёо:
=ДУНДЖ(B20:B79)-ИТГЭЛ.НОРМ(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
зүүн хилийг буцаах болно итгэлийн интервал.

Ижил хязгаарыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
=ДУНДЖ(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

Анхаарна уу: CONFIDENCE.NORM() функц нь MS EXCEL 2010 дээр гарч ирсэн. MS EXCEL-ийн өмнөх хувилбаруудад TRUST() функцийг ашигладаг байсан.

Математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал - энэ нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий нийт хүн амын математикийн хүлээлтийг агуулсан өгөгдлөөс тооцсон интервал юм. Математикийн хүлээлтийн байгалийн тооцоо нь түүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж юм. Тиймээс бид хичээлийн туршид "дундаж" ба "дундаж үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёог ашиглах болно. Итгэлийн интервалыг тооцоолох асуудалд ихэвчлэн "дундаж тооны итгэлийн интервал [тодорхой асуудлын утга] нь [бага утга]-аас [илүү утга] хүртэл байна" гэх мэт хариултыг ихэвчлэн шаарддаг. Итгэлийн интервалыг ашиглан та зөвхөн дундаж утгыг төдийгүй нийт хүн амын тодорхой шинж чанарын эзлэх хувийг үнэлж болно. Хичээл дээр бид шинэ тодорхойлолт, томъёонд хүрэх дундаж утга, тархалт, стандарт хазайлт, алдааны талаар авч үзнэ. Түүвэр ба популяцийн шинж чанар .

Дундаж утгын цэг ба интервалын тооцоо

Хэрэв популяцийн дундаж утгыг тоогоор (цэгээр) тооцсон бол ажиглалтын түүврээс тооцоолсон тодорхой дундаж утгыг популяцийн үл мэдэгдэх дундаж утгыг тооцоолно. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нийт хүн амын дундаж утгатай давхцахгүй. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг зааж өгөхдөө түүврийн алдааг нэгэн зэрэг зааж өгөх ёстой. Түүвэрлэлтийн алдааны хэмжүүр нь дундажтай ижил нэгжээр илэрхийлэгдсэн стандарт алдаа юм. Тиймээс дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: .

Хэрэв дундажийг тооцоолохдоо тодорхой магадлалтай холбоотой байх шаардлагатай бол популяцийн сонирхлын параметрийг нэг тоогоор биш харин интервалаар үнэлэх ёстой. Итгэлийн интервал гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий интервал юм Пхүн амын тооцоолсон үзүүлэлтийн утгыг олно. Энэ нь боломжтой байх итгэлийн интервал П = 1 - α санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олоод дараах байдлаар тооцоолно.

,

α = 1 - П, үүнийг статистикийн бараг бүх номын хавсралтаас олж болно.

Практикт популяцийн дундаж ба дисперс нь тодорхойгүй тул популяцийн дисперсийг түүврийн дисперсээр, олонлогийн дундажийг түүврийн дундажаар сольдог. Тиймээс ихэнх тохиолдолд итгэлийн интервалыг дараах байдлаар тооцдог.

.

Итгэлийн интервалын томъёог хэрэв хүн амын дундаж утгыг тооцоолоход ашиглаж болно

• хүн амын стандарт хазайлт мэдэгдэж байна;
• эсвэл хүн амын стандарт хазайлт тодорхойгүй боловч түүврийн хэмжээ 30-аас их байна.

Түүврийн дундаж нь хүн амын дунджийг бодитой бус тооцоолол юм. Хариуд нь түүврийн хэлбэлзэл популяцийн хэлбэлзлийн бодитой тооцоолол биш юм. Түүврийн дисперсийн томьёо дахь олонлогийн дисперсийн бодит үнэлгээг авахын тулд түүврийн хэмжээ n-ээр солих ёстой n-1.

Жишээ 1.Тодорхой хотын санамсаргүй түүврээр сонгогдсон 100 кафед ажиллагсдын дундаж тоо 4.6 стандарт хазайлттай 10.5 байна гэсэн мэдээллийг цуглуулсан. Кафены ажилчдын тоонд итгэх итгэлийн 95% интервалыг тодорхойл.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Тиймээс кафены ажилчдын дундаж тоо 95% -ийн итгэлцлийн интервал нь 9.6-11.4 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 2. 64 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй түүврийн хувьд дараах нийт утгыг тооцоолсон.

ажиглалтын утгын нийлбэр,

дундаж утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр .

Математикийн хүлээлтэд 95% итгэх интервалыг тооцоол.

Стандарт хазайлтыг тооцоолъё:

,

Дундаж утгыг тооцоолъё:

.

Бид итгэлцлийн интервалын илэрхийлэлд утгуудыг орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

Тиймээс энэ түүврийн математикийн хүлээлтийн 95%-ийн итгэлийн интервал 7.484-11.266 хооронд хэлбэлзэж байна.

Жишээ 3. 100 ажиглалтаас бүрдсэн санамсаргүй популяцийн түүврийн хувьд тооцоолсон дундаж нь 15.2, стандарт хазайлт нь 3.2 байна. Хүлээгдэж буй утгын хувьд 95%, дараа нь 99% итгэлийн интервалыг тооцоол. Хэрэв түүврийн хүч ба түүний хэлбэлзэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд итгэлцлийн коэффициент нэмэгдэх юм бол итгэлийн интервал нарийсч эсвэл өргөсөх үү?

Бид эдгээр утгыг итгэлцлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулна.

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,05 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 95%-ийн итгэлийн интервал 14.57-15.82 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бид эдгээр утгыг дахин итгэлийн интервалын илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

ач холбогдлын түвшний стандарт хэвийн тархалтын критик утга хаана байна α = 0,01 .

Бид авах:

.

Иймээс энэ түүврийн дундаж утгын 99% итгэлийн интервал 14.37-16.02 хооронд хэлбэлзэж байна.

Бидний харж байгаагаар итгэлийн коэффициент нэмэгдэхийн хэрээр стандарт хэвийн тархалтын критик утга нэмэгдэж, улмаар интервалын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд дунджаас хол байрлаж, улмаар математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервал нэмэгддэг. .

Тодорхой таталцлын цэг ба интервалын тооцоо

Зарим түүврийн шинж чанарын эзлэх хувийг гэж тайлбарлаж болно цэгийн тооцоо тодорхой татах хүч хнийт хүн амын дунд ижил шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ утгыг магадлалтай холбох шаардлагатай бол хувийн таталцлын итгэлцлийн интервалыг тооцоолох хэрэгтэй. хмагадлал бүхий популяцийн шинж чанар П = 1 - α :

.

Жишээ 4.Зарим хотод хоёр нэр дэвшигч байдаг АТэгээд Бхотын даргад нэр дэвшиж байна. Хотын 200 оршин суугчдаас санамсаргүй байдлаар санал асуулга явуулахад 46 хувь нь нэр дэвшигчийн төлөө саналаа өгнө гэж хариулжээ. А, 26% - нэр дэвшигчийн хувьд Б 28 хувь нь хэнд санал өгөхөө мэдэхгүй байна. Нэр дэвшигчийг дэмжиж буй хотын оршин суугчдын хувийн жингийн 95 хувийн итгэлийн интервалыг тодорхойл А.

Эхлэхийн тулд дараах тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Дараах нөхцөл байдлыг авч үзье. Популяцийн хувилбаруудыг математикийн хүлээлт $a$ ба стандарт хазайлт $\sigma$-тай хэвийн тархалттай байг. Жишээ дундаж энэ тохиолдолдсанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэх болно. $X$-ийн хэмжигдэхүүн хэвийн тархсан үед түүврийн дундаж нь мөн параметрүүдтэй хэвийн тархсан байна.

$a$ утгыг $\гамма $ найдвартайгаар хамрах итгэлийн интервалыг олцгооё.

Үүний тулд бидэнд тэгш байдал хэрэгтэй

Үүнээс бид авдаг

Эндээс бид $Ф\left(t\right)$ функцийн утгуудын хүснэгтээс $t$-г хялбархан олох ба үүний үр дүнд $\delta $-г олох боломжтой.

$Ф\left(t\right)$ функцийн утгуудын хүснэгтийг эргэн санацгаая:

Зураг 1. Функцийн утгын хүснэгт $Ф\left(t\right).$

Үл мэдэгдэх $(\mathbf \sigma )$-ын математик хүлээлтийг тооцоолох итгэлийн интеграл.

Энэ тохиолдолд бид $S^2$ зассан хэлбэлзлийн утгыг ашиглана. Дээрх томьёоны $\sigma $-г $S$-р сольсноор бид дараах зүйлийг олж авна.

Итгэлийн интервалыг олох жишээнүүдийн жишээ

Жишээ 1

$X$ хэмжигдэхүүнийг $\sigma =4$ хэлбэлзэлтэй хэвийн тархалттай байг. Түүврийн хэмжээ $n=64$, найдвартай байдал нь $\гамма =0.95$ байна. Энэ тархалтын математик хүлээлтийг тооцоолох итгэлийн интервалыг ол.

Бид ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ интервалыг олох хэрэгтэй.

Бидний дээр дурдсанчлан

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ параметрийг томъёоноос олж болно

\[Ф\left(t\right)=\frac(\гамма )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

Хүснэгт 1-ээс бид $t=1.96$ болохыг олж мэднэ.

CB X нь ерөнхий олонлогийг бүрдүүлж, β нь үл мэдэгдэх параметр CB X гэж үзье. Хэрэв * дахь статистик тооцоолол нийцэж байвал түүврийн хэмжээ их байх тусам бид β-ийн утгыг илүү нарийвчлалтай олж авна. Гэсэн хэдий ч практик дээр бидэнд маш том дээж байдаггүй тул илүү нарийвчлалтай болохыг баталж чадахгүй.

b*-ийг c-ийн статистик тооцоо гэж үзье. Утга |in* - in| үнэлгээний нарийвчлал гэж нэрлэдэг. β* нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн тул нарийвчлал нь CB байх нь тодорхой байна. Жижиг эерэг тоо 8-ыг зааж өгье, тооцооны үнэн зөвийг |в* - в| 8-аас бага байсан, өөрөөр хэлбэл | in* - in |< 8.

Найдвартай байдал g эсвэл итгэх магадлалТооцоолсон тоо нь * -ийн | дахь тэгш бус байдлын g магадлал юм< 8, т. е.

Ихэвчлэн найдвартай байдлыг g-г урьдчилан тодорхойлсон бөгөөд g-ийг 1-тэй ойролцоо тоо гэж авдаг (0.9; 0.95; 0.99; ...).

Тэгш бус байдлаас хойш | in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Интервал (* - 8-д, * + 5-д) итгэлийн интервал гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл итгэлийн интервал нь y магадлал бүхий үл мэдэгдэх параметрийг хамардаг. Итгэмжлэх интервалын төгсгөлүүд нь санамсаргүй бөгөөд түүврээс хамаарч өөр өөр байдаг тул интервал (* - 8-д, * + 8-д) нь үл мэдэгдэх параметрийг хамардаг гэж хэлэх нь илүү зөв болохыг анхаарна уу. интервал.

Болъё хүн амнь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ээр өгөгдсөн бөгөөд стандарт хазайлт a нь мэдэгдэж байна. Үл мэдэгдэх нь математикийн хүлээлт a = M (X) юм. Өгөгдсөн y найдвартай байдлын хувьд a-д итгэх интервалыг олох шаардлагатай.

Жишээ дундаж

нь xr = a-ийн статистик тооцоо юм.

Теорем. Санамсаргүй утга X нь хэвийн тархалттай ба M(XB) = a бол xB нь хэвийн тархалттай байна.

A (XB) = a, энд a = y/B (X), a = M (X). l/i

a-ийн итгэлцлийн интервал нь дараах хэлбэртэй байна.

Бид 8-ыг олдог.

Харьцааг ашиглах

Энд Ф(r) нь Лапласын функц бол бид:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

Лаплас функцийн утгуудын хүснэгтээс бид t-ийн утгыг олно.

Томилогдсон

T, бид F(t) = g-г авна, учир нь g өгөгдсөн тул by

Тэнцүү байдлаас бид тооцоолол үнэн зөв болохыг олж мэдэв.

Энэ нь a-ийн итгэлийн интервал дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг.

Х популяциас түүвэр өгсөн

нг	руу"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, тэгвэл итгэлийн интервал нь:

Жишээ 6.35. Түүврийн дундаж Xb = 10.43, түүврийн хэмжээ n = 100, стандарт хазайлт s = 5 гэдгийг мэдэж, 0.95 найдвартайгаар хэвийн тархалтын математикийн хүлээлтийг тооцох итгэлийн интервалыг ол.

Томьёог ашиглацгаая

Энэ тархалтын дисперс ба стандарт хазайлт s мэдэгдэж байгаа гэдгийг харгалзан, популяцийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг хэвийн тархалттай байг. Түүврийн дундажийг ашиглан үл мэдэгдэх математик хүлээлтийг тооцоолох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд даалгавар нь найдвартай байх математикийн хүлээлтэд итгэх интервалыг олох явдал юм. b. Хэрэв та итгэлцлийн магадлал (найдвартай байдал) b-ийн утгыг зааж өгвөл (6.9a) томъёог ашиглан үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн интервалд орох магадлалыг олж болно.

Энд Ф(t) нь Лаплас функц (5.17a).

Үүний үр дүнд бид D = s 2 дисперс нь мэдэгдэж байгаа бол математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервалын хил хязгаарыг олох алгоритмыг томъёолж болно.

1. Найдвартай байдлын утгыг тохируулах - b.
2. (6.14)-ээс Ф(t) = 0.5× b илэрхийлнэ. Ф(t) утгыг үндэслэн Лаплас функцийн t утгыг хүснэгтээс сонгоно (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).
3. (6.10) томъёог ашиглан e хазайлтыг тооцоол.
4. (6.12) томъёог ашиглан b магадлалын хувьд тэгш бус байдал биелэх итгэлийн интервалыг бич.

.

Жишээ 5.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн тархалттай байна. Хэрэв өгөгдсөн бол үл мэдэгдэх математик хүлээлт a-ийн найдвартай байдал b = 0.96 гэсэн тооцоололд итгэх итгэлийн интервалыг ол.

1) ерөнхий стандарт хазайлт s = 5;

2) түүврийн дундаж;

3) түүврийн хэмжээ n = 49.

Математикийн хүлээлтийн интервалын тооцооны (6.15) томъёонд А найдвартай b-ээс бусад бүх хэмжигдэхүүнүүд мэдэгдэж байна. t-ийн утгыг (6.14) ашиглан олж болно: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

Хавсралт 1-ийн хүснэгтийг ашиглан Лаплас функц Ф(t) = 0.48 харгалзах t = 2.06 утгыг ол. Тиймээс, . Тооцоолсон e-ийн утгыг томъёонд (6.12) орлуулснаар та итгэлийн интервалыг авах боломжтой: 30-1.47< a < 30+1,47.

Үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн найдвартай байдал b = 0.96 гэсэн тооцоололд шаардагдах итгэлийн интервал нь: 28.53-тай тэнцүү байна.< a < 31,47.