9. Тасралтгүй санамсаргүй утга, түүний тоон шинж чанар
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр функц ашиглан тодорхойлж болно. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний интеграл магадлалын тархалтын функцтэгшитгэлээр тодорхойлогдсон функц гэнэ 
.
Интеграл функц нь өгдөг ерөнхий аргадискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хуваарилалт. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд. Бүх үйл явдлууд: ижил магадлалтай, энэ интервал дээрх интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү байна. Жишээ нь, жишээ 26-д заасан салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид:
Ийнхүү авч үзэж буй функцийн интеграл функцийн график нь хоёр туяа, Окс тэнхлэгтэй параллель гурван сегментийн нэгдэл юм.
Жишээ 27. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь интеграл магадлалын тархалтын функцээр тодорхойлогддог
.
Интеграл функцийн графикийг байгуулж, туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0.5;1.5) интервалд утгыг авах магадлалыг ол.
Шийдэл. Интервал дээр 
график нь шулуун шугам y = 0. 0-ээс 2 хүртэлх зайд тэгшитгэлээр өгөгдсөн парабол байна. 
. Интервал дээр 
График нь y = 1 шулуун шугам юм.
Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0.5;1.5) интервалд утгыг авах магадлалыг томъёог ашиглан олно.
Ийнхүү, .
Интеграл магадлалын тархалтын функцийн шинж чанарууд:
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өөр функц ашиглан тодорхойлох нь тохиромжтой, тухайлбал: магадлалын нягтын функц
.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний таамагласан утга интервалд багтах магадлал 
, тэгш байдлаар тодорхойлогдоно 
.
Функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй. Геометрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд орох магадлал нь тархалтын муруй, Ox тэнхлэг ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан харгалзах муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. 
.
Магадлалын нягтын функцийн шинж чанарууд:
9.1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон үзүүлэлтүүд
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэҮргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн (дундаж утга) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно 
.
M(X) -ээр тэмдэглэнэ А. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь үүнтэй төстэй салангид хэмжигдэхүүн, шинж чанарууд:
Зөрчилдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж нэрлэдэг хүлээгдэж буй үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх квадрат, өөрөөр хэлбэл. . Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг томъёогоор тодорхойлно 
.
Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.
Сүүлийн шинж чанар нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олоход ашиглахад маш тохиромжтой.
Стандарт хазайлтын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар нэвтрүүлсэн. Үргэлжилсэн стандарт хазайлтХ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. 
.
Жишээ 28. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын нягтын функцээр тодорхойлогддог 
(10;12) интервалд, энэ интервалаас гадуур функцийн утга 0. 1) параметрийн утгыг ол. А, 2) математикийн хүлээлт M(X), дисперс 
, стандарт хазайлт, 3) интеграл функц 
интеграл ба дифференциал функцийн графикийг бүтээх.
1). Параметрийг олохын тулд Атомъёог ашиглана уу 
. Бид авах болно. Тиймээс, 
.
2). Математикийн хүлээлтийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана 
.
Бид зөрүүг томъёог ашиглан олох болно. 
, өөрөөр хэлбэл .
Үүнийг олж авах томъёог ашиглан стандарт хазайлтыг олъё 
.
3). Интеграл функцийг магадлалын нягтын функцээр дараах байдлаар илэрхийлнэ. 
. Тиймээс, 
цагт 
, = 0 үед 
u = 1 үед 
.
Эдгээр функцүүдийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4. ба зураг. 5.
Зураг 4 Зураг 5.
9.2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын жигд тархалт
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн магадлалын тархалт жигдинтервал дээр түүний магадлалын нягт нь энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд энэ интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. . Энэ тохиолдолд үүнийг харуулах нь амархан 
.
Хэрэв интервал 
интервалд агуулагддаг, тэгвэл 
.
Жишээ 29.Агшин зуурын дохионы үйл явдал нэг цагаас таван цагийн хооронд тохиолдох ёстой. Сигнал хүлээх хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X. Үдээс хойш хоёроос гурван цагийн хооронд дохио илрэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь жигд тархалттай бөгөөд томьёог ашиглан үдээс хойш 2-3 цагийн хооронд дохио байх магадлал нь тэнцүү байна. 
.
Боловсролын болон бусад уран зохиолд энэ нь ихэвчлэн уран зохиолд тэмдэглэгдсэн байдаг 
.
9.3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын хэвийн тархалт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг түүний магадлалын тархалтын хуулийг магадлалын нягтаар тодорхойлдог бол түүнийг хэвийн гэж нэрлэдэг. 
. Ийм хэмжээний хувьд А- хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, 
- стандарт хэлбэлзэл.
Теорем. Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархалттай тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал 
томъёогоор тодорхойлно 
, Хаана 
- Лаплас функц.
Энэ теоремын үр дагавар юм гурвын дүрэмсигма, өөрөөр хэлбэл. Ердийн тархалттай, тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь интервал дахь утгыг авдаг нь бараг тодорхой юм 
. Энэ дүрмийг томъёоноос гаргаж авч болно 
, энэ нь томьёолсон теоремын онцгой тохиолдол юм.
Жишээ 30.Телевизийн ашиглалтын хугацаа нь Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд ердийн тархалтын хуульд хамаарах бөгөөд баталгаат хугацаа нь 15 жил, стандарт хазайлт нь 3 жил байна. Зурагт 10-20 жил ажиллах магадлалыг ол.
Шийдэл. Бодлогын нөхцлийн дагуу математикийн хүлээлт А= 15, стандарт хазайлт.
Олъё . Тиймээс ТВ-ийн 10-20 жил ажиллах магадлал 0.9-ээс их байна.
9.4 Чебышевын тэгш бус байдал
Тохиолдог Чебышевын лемма. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авч, математикийн хүлээлттэй бол аливаа эерэг В
.
Үүнийг эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр гэж үзвэл бид үүнийг олж авна 
.
Чебышевын теорем. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь хязгаарлагдмал дисперстэй бол 
ба математикийн хүлээлт M(X), дараа нь аливаа эерэг 
тэгш бус байдал нь үнэн юм
.
Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг 
.
Жишээ 31.Багц эд анги үйлдвэрлэсэн. Эд ангиудын дундаж урт нь 100 см, стандарт хазайлт нь 0.4 см байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсгийн урт нь дор хаяж 99 см байх магадлалаас доогуур тооцоол. 101 см-ээс ихгүй байна.
Шийдэл. Зөрчил. Математикийн хүлээлт 100. Тиймээс тухайн үйл явдлын магадлалыг доороос нь тооцоолох 
Чебышевын тэгш бус байдлыг хэрэглэцгээе 
, Дараа нь 
.
10. Математик статистикийн элементүүд
Статистикийн нэгтгэлнэгэн төрлийн объект эсвэл үзэгдлийн багцыг нэрлэх. Тоо ПЭнэ олонлогийн элементүүдийг цуглуулгын эзэлхүүн гэж нэрлэдэг. Ажиглагдсан утгууд 
X шинж чанар гэж нэрлэдэг сонголтууд. Хэрэв сонголтуудыг нэмэгдүүлэх дарааллаар байрлуулсан бол бид авна дискрет вариацын цуврал. Бүлэглэх тохиолдолд интервалаар сонголт нь болж хувирна интервалын өөрчлөлтийн цуврал. Доод давтамж tОнцлог утгууд нь тухайн хувилбартай хүн амын тоог ойлгодог.
Статистикийн популяцийн давтамж ба эзлэхүүний харьцааг нэрлэдэг харьцангуй давтамжтэмдэг: 
.
Сонголтуудын хоорондын хамаарал вариацын цувралба тэдгээрийн давтамжийг нэрлэдэг түүврийн статистик тархалт. Статистикийн тархалтын график дүрслэл байж болно олон өнцөгтдавтамж
Жишээ 32.Нэгдүгээр дамжааны 25 оюутны дунд судалгаа явуулснаар тэдний насны талаарх дараах мэдээллийг олж авлаа. 
. Зохиох статистикийн тархалтоюутнуудыг насаар нь ялгаж, хэлбэлзлийн мужийг олж, давтамжийн олон өнцөгтийг байгуулж, харьцангуй давтамжийн тархалтын цувралыг эмхэтгэ.
Шийдэл. Судалгаанаас олж авсан өгөгдлийг ашиглан бид түүврийн статистикийн тархалтыг бий болгоно
|
Вариацын түүврийн муж 23 – 17 = 6. Давтамжийн олон өнцөгт байгуулахын тулд координат бүхий цэгүүдийг байгуулна. 
ба тэдгээрийг цувралаар холбоно.
Харьцангуй давтамжийн тархалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.
|
10.1.Вариацын цувааны тоон шинж чанар
Түүврийг X онцлогийн давтамжийн цуваагаар өгье.
|
|
|
|
||
|
|
|
Бүх давтамжийн нийлбэр тэнцүү байна П.
Түүврийн арифметик дундажтоо хэмжээг нэрлэнэ үү 
.
Зөрчилэсвэл X шинж чанарын утгуудын арифметик дундажтай харьцуулахад тархалтын хэмжүүрийг утга гэнэ. 
. Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур, i.e. .
Стандарт хазайлтыг түүврийн арифметик дундажтай харьцуулсан харьцааг хувиар илэрхийлнэ. хэлбэлзлийн коэффициент:
.
Эмпирик харьцангуй давтамжийн тархалтын функцутга тус бүрээр үйл явдлын харьцангуй давтамжийг тодорхойлдог функцийг дууд 
, өөрөөр хэлбэл 
, Хаана 
- сонголтуудын тоо, бага X, А П- дээжийн хэмжээ.
Жишээ 33.Жишээ 32-ын нөхцөлд тоон шинж чанарыг ол 
.
Шийдэл. Томъёог ашиглан түүврийн арифметик дундажийг олъё, тэгвэл .
X шинж чанарын дисперсийг томъёогоор олно: , өөрөөр хэлбэл . Түүврийн стандарт хазайлт нь 
. Өөрчлөлтийн коэффициент нь 
.
10.2. Харьцангуй давтамжаар магадлалын тооцоолол. Итгэлийн интервал
Үүнийг хэрэгжүүлээсэй Пбие даасан туршилтууд, тус бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна Р. Энэ тохиолдолд харьцангуй давтамж нь туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлалаас үнэмлэхүй утгаараа -ээс ихгүй байх магадлал нь Лапласын интеграл функцийн утгаас хоёр дахин их байх магадлалтай. 
.
Интервалын тооцоостатистик популяцийн тооцоолсон параметрийг хамарсан интервалын төгсгөл болох хоёр тоогоор тодорхойлогддог ийм тооцоог дуудна.
Итгэлийн интервал
өгөгдсөн интервал гэж нэрлэдэг итгэх магадлал 
статистикийн хүн амын тооцоолсон параметрийг хамарна. Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг орлуулах томъёог авч үзье Ртүүний ойролцоо утгатай 
түүвэр өгөгдлөөс олж авсан, бид олж авна: 
. Энэ томьёог харьцангуй давтамжаар магадлалыг тооцоход ашигладаг. Тоонууд 
Тэгээд 
доод ба дээд гэж нэрлэдэг итгэлцлийн хил хязгаар, - өгөгдсөн итгэлийн магадлалын хамгийн их алдаа 
.
Жишээ 34. Үйлдвэрийн цех нь гэрлийн чийдэн үйлдвэрлэдэг. 625 чийдэнг шалгахад 40 нь гэмтэлтэй байсан. Үйлдвэрийн цехээс үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй гэрлийн чийдэнгийн хувь хэмжээг 0.95-ын итгэлтэй магадлалаар ол.
Шийдэл. Даалгаврын нөхцлийн дагуу. Бид томъёог ашигладаг 
. Хавсралтын 2-р хүснэгтийг ашиглан Лапласын интеграл функцийн утга 0.475-тай тэнцүү байх аргументийн утгыг олно. Бид үүнийг ойлгодог 
. Ийнхүү, . Тиймээс бид 0.95 магадлалаар цехийн үйлдвэрлэсэн согогийн эзлэх хувь өндөр, тухайлбал 6.2% -иас 6.6% хооронд хэлбэлзэж байна гэж хэлж болно.
10.3. Статистик дахь параметрийн тооцоолол
Судалгаанд хамрагдаж буй нийт хүн амын тоон шинж чанарыг X гэж үзье ( хүн ам) Байгаа хэвийн тархалт.
Хэрэв стандарт хазайлт нь мэдэгдэж байгаа бол итгэлийн интервал, математикийн хүлээлтийг хамарсан А 
, Хаана П- дээжийн хэмжээ, 
- арифметик дундаж жишээ, тнь Лапласын интеграл функцийн аргумент бөгөөд үүнд 
. Энэ тохиолдолд тоо 
үнэлгээний нарийвчлал гэж нэрлэдэг.
Хэрэв стандарт хазайлт тодорхойгүй бол түүврийн өгөгдлөөс Оюутны тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүтээх боломжтой. П– 1 градусын эрх чөлөө, энэ нь зөвхөн нэг параметрээр тодорхойлогддог Пмөн үл мэдэгдэх зүйлээс хамаардаггүй АМөн . Жижиг дээжийн хувьд ч оюутны t-тархалт 
нэлээд хангалттай үнэлгээ өгдөг. Дараа нь математикийн хүлээлтийг хамарсан итгэлийн интервал Аөгөгдсөн итгэлтэй магадлал бүхий энэ шинж чанарыг нөхцөл байдлаас олно 
, энд S нь зассан дундаж квадрат, 
- Өгөгдлөөс олдсон оюутны коэффициент 
хавсралтын 3-р хүснэгтээс.
Энэ шинж чанарын стандарт хазайлтыг итгэх магадлал бүхий итгэлцлийн интервалыг дараах томъёогоор олно: ба , энд 
утгын хүснэгтээс олж болно q
дагуу.
10.4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг судлах статистик аргууд
Y-ийн X-ийн корреляцийн хамаарал нь нөхцөлт дундажийн функциональ хамаарал юм 
-аас X.Тэгшитгэл 
X дээрх Y-ийн регрессийн тэгшитгэлийг илэрхийлнэ, ба 
- X-ийн Y дээр регрессийн тэгшитгэл.
Корреляцийн хамаарал нь шугаман эсвэл муруй шугаман байж болно. Шугаман корреляцийн хамаарлын хувьд шулуун регрессийн шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. 
, налуу хаана байна А X дээрх Y регрессийн шулуун шугамыг X дээрх Y регрессийн түүврийн коэффициент гэж нэрлээд тэмдэглэнэ 
.
Жижиг түүврийн хувьд өгөгдлийг бүлэгт оруулаагүй, параметрүүд 
аргын дагуу олддог хамгийн бага квадратуудхэвийн тэгшитгэлийн системээс:
, Хаана П- харилцан хамааралтай хэмжигдэхүүний хос утгын ажиглалтын тоо.
Сонгодог шугаман коэффициентхамаарал 
Ү ба X хоорондын нягт хамаарлыг харуулж байна. Корреляцийн коэффициентийг томъёогоор олно 
, ба 
, тухайлбал:
X дээрх Y шулуун регрессийн шугамын жишээ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
X ба Y шинж чанаруудын олон тооны ажиглалтаар хоёр оролт бүхий корреляцийн хүснэгтийг ижил утгатай эмхэтгэсэн. Xажиглагдсан 
удаа, ижил утгатай цагтажиглагдсан 
удаа, ижил хос 
ажиглагдсан 
нэг удаа.
Жишээ 35. X ба Y тэмдгүүдийн ажиглалтын хүснэгтийг үзүүлэв.
|
X дээрх шулуун регрессийн Y шулууны түүврийн тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Судалгаанд хамрагдсан шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг Х дээр Ү-ийн регрессийн шулуун шугамын тэгшитгэлээр илэрхийлж болно: . Тэгшитгэлийн коэффициентийг тооцоолохын тулд тооцооллын хүснэгтийг байгуулъя.
Ажиглалтын дугаар. |
|
|
||
Бүлэг 6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.
§ 1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт ба тархалтын функц.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд ихэвчлэн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг илэрхийлдэг.
Магадлалын орон зайд (W, S, P) тодорхойлогдсон x(w) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна Үргэлжилсэн(Үнэхээр тасралтгүй) W, хэрэв сөрөг бус функц байгаа бол аль ч х-ийн хувьд Fx(x) тархалтын функцийг интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Функцийг функц гэж нэрлэдэг магадлалын тархалтын нягт.
Тодорхойлолт нь тархалтын нягтын функцийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.
1..gif" өргөн "97" өндөр "51">
3. Тасралтгүй байдлын цэгүүдэд тархалтын нягт нь тархалтын функцийн деривативтай тэнцүү байна: .
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах интервалд орох магадлалыг тодорхойлдог тул тархалтын нягт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлдог.
5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлал тэг: . Тиймээс дараахь тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна.
Тархалтын нягтын функцийн графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй, ба тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Тэгвэл геометрийн хувьд x0 цэг дээрх Fx(x) тархалтын функцийн утга нь тархалтын муруй ба х тэнхлэгээр хязгаарлагдах ба x0 цэгийн зүүн талд байрлах талбай юм.
Даалгавар 1.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна.
С тогтмолыг тодорхойлж, Fx(x) тархалтын функцийг байгуулж, магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Тогтмол С нь бидэнд байгаа нөхцөлөөс олддог.
үүнээс C=3/8.
Fx(x) түгээлтийн функцийг бий болгохын тулд интервал нь аргумент x (тоон тэнхлэг)-ийн утгын мужийг гурван хэсэгт хуваадаг болохыг анхаарна уу: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" өргөн "264" өндөр "49">
хагас тэнхлэг дээрх x нягт тэг учраас. Хоёр дахь тохиолдолд
Эцэст нь, сүүлийн тохиолдолд, x>2 үед,
Хагас тэнхлэгт нягтрал алга болдог тул. Тиймээс түгээлтийн функцийг олж авна
Магадлал Томъёог ашиглан тооцоолъё. Тиймээс,
§ 2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэТасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, томъёогоор тодорхойлно.
баруун талын интеграл үнэмлэхүй нийлбэл.
Тархалт x томъёог ашиглан тооцоолж болно 
, мөн түүнчлэн, салангид тохиолдолд, томъёоны дагуу https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд 5-р бүлэгт өгөгдсөн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.
Асуудал 2. Бодлого 1-ийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн хувьд математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол .
Шийдэл.
Энэ нь гэсэн үг
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" өргөн "184" өндөр "69 src=">
Нягтын график жигд хуваарилалтзургийг үзнэ үү. .
Зураг.6.2. Түгээлтийн функц ба тархалтын нягт. нэгдсэн хууль
Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц Fx(x) нь тэнцүү байна
Fx(x)= 
Хүлээлт ба зөрүү; .
Экспоненциал (экпоненциал) тархалт.Сөрөг бус утгыг авдаг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалттай тэнцүү бол l>0 параметртэй экспоненциал тархалттай байна.
рx(x)= 
Цагаан будаа. 6.3. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц ба тархалтын нягт.
Экспоненциал тархалтын тархалтын функц нь хэлбэртэй байна
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" өргөн="17" өндөр="41">.gif" өргөн="13" өндөр="15"> ба түүний тархалтын нягт нь тэнцүү бол
.
Дамжуу гэдэг нь ердийн хуулийн дагуу тархсан бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний олонлогийг параметр болон параметрүүдтэй илэрхийлнэ.
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь тэнцүү байна
.
Цагаан будаа. 6.4. Тархалтын функц ба хэвийн тархалтын нягт
Хэвийн тархалтын параметрүүд нь математикийн хүлээлт юм https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Онцгой тохиолдолд хэзээ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> хэвийн тархалтыг гэнэ. Стандарт, мөн ийм тархалтын ангиллыг https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
ба түгээлтийн функц
Ийм интегралыг аналитик аргаар тооцоолох боломжгүй (үүнийг "квадрат" хэлбэрээр авдаггүй) тул функцэд зориулж хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн болно. Энэ функц нь 4-р бүлэгт танилцуулсан Лаплас функцтэй холбоотой
,
дараах хамаарлаар 
. Дурын параметрийн утгуудын хувьд https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах хамаарлыг ашиглан Лаплас функцтэй холбоотой:
.
Иймд ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.
.
Сөрөг бус х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг h=lnx логарифм нь хэвийн хуульд захирагдаж байвал логнормаль тархалттай хэмжигдэхүүн гэнэ. Логнормаль тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба дисперс нь Mx= ба Dx= байна.
Даалгавар 3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> гэж өгье.
Шийдэл.Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Лапласын тархалт fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> функцээр өгөгдсөн ба эгц нь gx=3 байна.
Зураг.6.5. Лапласын тархалтын нягтын функц.
Санамсаргүй хувьсагч x нь тархсан байна Вейбуллийн хууль, хэрэв энэ нь https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">-тэй тэнцүү хуваарилалтын нягтын функцтэй бол
Weibull түгээлт нь олон техникийн төхөөрөмжүүдийн гэмтэлгүй ажиллах хугацааг зохицуулдаг. Энэ профайлын даалгаварт чухал шинж чанар l(t)= хамаарлаар тодорхойлогддог t насны судлагдсан элементүүдийн бүтэлгүйтлийн түвшин (нас баралтын түвшин) l(t) юм. Хэрэв a=1 байвал Вейбуллийн тархалт экспоненциал тархалт, хэрэв a=2 бол тархалт гэж нэрлэгддэг тархалт болж хувирна. Рэйли.
Вейбуллийн тархалтын математик хүлээлт: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, Г(а) нь Эйлер юм. функц..
IN янз бүрийн даалгаварХэрэглээний статистикт "тасалсан" гэж нэрлэгддэг хуваарилалт ихэвчлэн тохиолддог. Жишээлбэл, жилийн орлого нь татварын хуулиар тогтоосон тодорхой босго c0-ээс давсан хүмүүсийн орлогын хуваарилалтыг татварын алба сонирхож байна. Эдгээр хуваарилалт нь Паретогийн тархалттай ойролцоогоор таарч байна. Парето хуваарилалтфункцээр өгөгдсөн
Fx(x)=P(x
Энд https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Даалгавар 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтыг ол.
Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна
Дараа нь функц интервал дээрх монотон ба дифференциал функц бөгөөд урвуу функцтэй 
үүсмэл нь тэнцүү Тиймээс,
§ 5. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос
x ба h хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье. Дараа нь хос (x, h) нь хавтгай дээрх "санамсаргүй" цэгийг тодорхойлно. (x, h) хосыг дуудна санамсаргүй векторэсвэл хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Хамтарсан хуваарилалтын функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h ба функцийг F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> гэж нэрлэдэг. үе мөчний нягтрал x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг ийм функц гэнэ 
.
Хамтарсан тархалтын нягтын энэхүү тодорхойлолтын утга нь дараах байдалтай байна. Хавтгай дээрх мужид "санамсаргүй цэг" (x, h) унах магадлалыг гурван хэмжээст дүрс буюу гадаргуугаар хязгаарлагдсан "муруй" цилиндрийн эзэлхүүнээр тооцоолно https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" өргөн="211" өндөр="39 src=">
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хамгийн энгийн жишээ бол хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн юм багц дээр жигд хуваарилалтА. Хязгаарлагдмал M олонлогийг талбайгаар өгье.Энэ нь дараах үений нягтар тодорхойлогддог (x, h) хосын тархалтаар тодорхойлогдоно.
Даалгавар 5.Хоёр хэмжээст санамсаргүй вектор (x, h) гурвалжин дотор жигд тархсан байг. x>h тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Заасан гурвалжны талбай нь тэнцүү байна (Зураг No. үзнэ үү). Хоёр хэмжээст жигд тархалтын тодорхойлолтын ачаар x, h санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна.
Үйл явдал нь олонлогтой тохирч байна 
онгоцонд, өөрөөр хэлбэл хагас онгоц. Дараа нь магадлал
Хагас B хавтгайд холбоосын нягтрал https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> багцаас гадуур тэг байна. хагас хавтгай В нь хоёр олонлогт хуваагддаг ба https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> болон , хоёр дахь интеграл нь тэнцүү байна. тэг, учир нь тэнд үе мөчний нягт тэгтэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас
Хэрэв хосын (x, h) хамтарсан тархалтын нягтыг өгвөл x ба h бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг гэнэ. хувийн нягтралДараахь томъёог ашиглан тооцоолно.
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" өргөн "224" өндөр "23 src=">
рx(х), рh(у) нягтралтай тасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бие даасан байдал нь
Даалгавар 6.Өмнөх бодлогын нөхцөлд x ба h санамсаргүй векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд бие даасан эсэхийг тодорхойлно уу?
Шийдэл. Хэсэгчилсэн нягт ба . Бидэнд байгаа:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" өргөн "283" өндөр "61 src=">
Мэдээжийн хэрэг, бидний тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> нь x ба h хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан нягт бөгөөд j( x, y) нь хоёр аргументын функц юм
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" өргөн "184" өндөр "152 src=">
Даалгавар 7.Өмнөх асуудлын нөхцөлд тооцоол.
Шийдэл.Дээрх томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
.
Гурвалжныг төлөөлж байна
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" өргөн "479" өндөр "59">
§ 5. Хоёр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягт
x ба h нь нягтралтай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт x + h-ийг томъёогоор тооцоолно эргэлт
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Нийлбэрийн нягтыг тооцоол.
Шийдэл. x ба h нь параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархсан тул тэдгээрийн нягт нь тэнцүү байна.
Тиймээс,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Хэрэв x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">сөрөг, тиймээс . Тиймээс хэрэв https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Тиймээс бид хариултыг авсан:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нь ихэвчлэн 0 ба 1 параметрүүдээр тархдаг. x1 ба x2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд хэвийн байна. a1, a2 параметртэй тархалтууд.x1 + x2 нь хэвийн тархалттай болохыг батал. x1, x2, ... xn санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархсан ба бие даасан бөгөөд ижил нягтын функцтэй байна.
.
Утгын тархалтын функц ба тархалтын нягтыг ол:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)
Санамсаргүй хувьсагч x1, x2, ... xn нь бие даасан бөгөөд [a, b] интервалд жигд тархсан байна. Хэмжигдэхүүний тархалтын хуваарилалтын функц ба нягтын функцийг ол
x(1) = min (x1,x2, ... xn) ба x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> гэдгийг батал.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Кошигийн хуулийн дагуу тархсан Олно: a) коэффициент a; б) түгээлтийн функц; в) интервалд унах магадлал (-1, 1). X-ийн математикийн хүлээлт байхгүй гэдгийг харуул. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь l (l>0) параметртэй Лапласын хуульд хамаарна: a коэффициентийг ол; тархалтын нягтын график, хуваарилалтын функцийг байгуулах; Mx ба Dx-г олох; үйл явдлын магадлалыг ол (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Тархалтын нягтын томъёог бичээд Mx, Dx-ийг ол.
Тооцооллын даалгавар.
Санамсаргүй А цэг нь R радиустай тойрогт жигд тархалттай байна. Тойргийн төв хүртэлх цэгээс r зайны математик хүлээлт ба дисперсийг ол. r2 утга нь сегмент дээр жигд тархсан болохыг харуул. 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), магадлалыг тооцоол 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. 
Тогтмол С, тархалтын функц F(x), , дисперс ба магадлалыг тооцоол.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын функцтэй. 
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал, математикийн хүлээлт, дисперс ба магадлалыг тооцоолох Функцийг шалгах = 
санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц байж болно. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол: Mx ба Dx. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Тархалтын нягтыг бичнэ үү. Түгээлтийн функцийг ол. Хэсэг болон сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг ол. Тархалтын нягт x нь тэнцүү байна
.
Тогтмол c, тархалтын нягт h = ба магадлалыг ол
P (0.25 Компьютерийн доголдолгүй ажиллах хугацааг l = 0.05 параметртэй (цагт алдаа) экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилдаг, өөрөөр хэлбэл нягтралын функцтэй байдаг. p(x) = Тодорхой асуудлыг шийдэхийн тулд машиныг 15 минутын турш асуудалгүй ажиллуулах шаардлагатай. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад алдаа гарвал шийдэл дууссаны дараа л алдааг илрүүлж, асуудлыг дахин шийддэг. Олно: а) асуудлыг шийдвэрлэх явцад нэг ч доголдол гарахгүй байх магадлал; б) асуудлыг шийдвэрлэх дундаж хугацаа. 24 см урт саваа хоёр хэсэгт хуваагдана; Бид таслах цэгийг бариулын бүхэл бүтэн уртын дагуу жигд хуваарилсан гэж үзэх болно. Ихэнх савааны дундаж урт хэд вэ? 12 см урттай хэсгийг санамсаргүй байдлаар хоёр хэсэгт хуваана. Зүссэн цэг нь сегментийн бүх уртын дагуу жигд тархсан байна. Сегментийн жижиг хэсгийн дундаж урт хэд вэ? Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сегмент дээр жигд тархсан байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг ол a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); в) h3 =. Хэрэв x нь тасралтгүй тархалтын функцтэй болохыг харуул F(x) = P(x Х ба h хоёр бие даасан хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын функц ба тархалтын функцийг хэрчмүүд дээр жигд тархалтын хуультай, тус тус ол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд сегментүүд болон тус тусад нь жигд тархсан байна. x+h нийлбэрийн нягтыг тооцоол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан бөгөөд нягтралтай экспоненциал тархалттай байдаг Түгээлтийн функцсанамсаргүй хувьсагч Xфункц гэж нэрлэдэг Ф(X), тус бүрээр илэрхийлнэ Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал X-аас бага утгыг авна X:. Чиг үүрэг Ф(X) гэж заримдаа нэрлэдэг интеграл тархалтын функц,эсвэл хуваарилалтын салшгүй хууль. Санамсаргүй утга Xдуудсан Үргэлжилсэн, хэрэв түүний тархалтын функц нь аль ч цэг дээр тасралтгүй бөгөөд тусдаа цэгүүдээс бусад газар бүрт дифференциалагдах боломжтой бол. ЖишээТасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд: эргүүлэгчийн өгөгдсөн хэмжээсийг эргүүлж буй хэсгийн диаметр, хүний өндөр, сумны нислэгийн хүрээ гэх мэт. Теорем.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний аливаа бие даасан утгын магадлал тэг байна Үр дагавар.Хэрэв Xнь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд орох магадлал Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xзөвхөн хоорондын утгыг авч болно Аөмнө б(Хаана АТэгээд б- зарим тогтмолууд), дараа нь түүний тархалтын функц нь бүх утгуудын хувьд тэгтэй тэнцүү байна Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын функцүүдийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын функцүүдэд бас хангагдана. Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох нь цорын ганц арга биш юм. Магадлалын нягт
(түгээлтийн нягтралэсвэл нягтрал)
Р(X) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтархалтын функцийн дериватив гэж нэрлэдэг Магадлалын нягт Р(X), түүнчлэн түгээлтийн функц Ф(X), нь хуваарилалтын хуулийн нэг хэлбэр боловч хуваарилалтын функцээс ялгаатай нь зөвхөн төлөө оршино Үргэлжилсэнсанамсаргүй хэмжигдэхүүн. Магадлалын нягтыг заримдаа гэж нэрлэдэг дифференциал функц буюу дифференциал тархалтын хууль. Магадлалын нягтын графикийг тархалтын муруй гэж нэрлэдэг. Үл хөдлөх хөрөнгөТасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт: Цагаан будаа. 8.1 Цагаан будаа. 8.2 4.
Геометрийн хувьд магадлалын нягтын шинж чанарууд нь түүний график - тархалтын муруй нь абсцисса тэнхлэгээс доогуур биш бөгөөд тархалтын муруй ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн нийт талбай нь нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Жишээ 8.1.Цахилгаан цагны гар нь минут тутамд хурдацтай хөдөлдөг. Чи цаг руугаа харлаа. Тэд үзүүлж байна Аминут. Тэгвэл таны хувьд тухайн агшин дахь бодит цаг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх болно. Түүний тархалтын функцийг ол. Шийдэл.Жинхэнэ цагийн хуваарилалтын функц нь бүгдэд 0-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой ТУХАЙ Цагаан будаа. 8.3 Жишээ 8.2.Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц мөн үү Шийдэл. Энэ функцийн бүх утга нь сегментэд хамаарна Тэнцүү байдал нь дараахь зүйлийг агуулна. Тиймээс функц Жишээ 8.3.Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц мөн үү Шийдэл.Энэ функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц биш, учир нь хооронд Цагаан будаа. 8.5 Жишээ 8.4.Санамсаргүй утга Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн Коэффицентийг ол Аболон санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт X. Тэгш бус байдлын магадлалыг тодорхойл Шийдэл.Тархалтын нягт нь тархалтын функцийн эхний деривативтай тэнцүү байна Коэффицент Атэгш байдлыг ашиглан тодорхойлно Функцийн тасралтгүй байдлыг ашиглан ижил үр дүнг авч болно Тиймээс, Тиймээс магадлалын нягт нь хэлбэртэй байна Магадлал Жишээ 8.5.Санамсаргүй утга Xмагадлалын нягттай (Кошигийн хууль) Коэффицентийг ол Асанамсаргүй хэмжигдэхүүн болох магадлал Xинтервалаас тодорхой утгыг авна Шийдэл.Коэффицентийг олъё Атэгш байдлаас Тиймээс, Тэгэхээр, Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xинтервалаас тодорхой утгыг авна Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олъё П Цагаан будаа. 8.6 Шийдэл.График ашиглан бид өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын аналитик илэрхийллийг бичнэ. Түгээлтийн функцийг олцгооё. Хэрэв Хэрэв Хэрэв Хэрэв Тиймээс түгээлтийн функц нь хэлбэртэй байна
1-р бүлэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
§
1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтууд. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Тодорхойлолт
: Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд өөрийн боломжит багц утгуудаас зөвхөн нэг утгыг авдаг, урьдчилан мэдэгддэггүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаарна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дискрет ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй. Тодорхойлолт
: Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна салангид
(тасралттай) хэрэв түүний утгуудын багц нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй боловч тоолж болно. Өөрөөр хэлбэл, боломжит утгуудДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дахин дугаарлаж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно. Тодорхойлолт
: Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондох захидал харилцааг нэрлэнэ. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёр дахь мөрөнд эдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. үнэт зүйлс, жишээлбэл. Энд р1+ р2+…+ рn=1 Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол p1+ p2+…+ pn+… цуврал нийлж, нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд цэгүүдийг координаттай (xi; pi), i=1,2,...n дараалан холбосон тэгш өнцөгт координатын системд тасархай шугам байгуулна. Үүссэн мөрийг дуудна түгээлтийн полигон
(Зураг 1). Органик хими" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органик хими тус тус 0.7 ба 0.8 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн - оюутны тэнцэх шалгалтын тоог хуваарилах хуулийг гарга. Шийдэл.
Шалгалтын үр дүнд тооцсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгуудын аль нэгийг авч болно: x1=0, x2=1, x3=2. Эдгээр утгуудын магадлалыг олъё.Үйл явдлыг тэмдэглэе: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" өргөн "259" өндөр "66 src="> Тиймээс X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгөв. Хяналт: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. Түгээлтийн функц Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тодорхойлолтыг мөн тархалтын функцээр өгдөг. Тодорхойлолт: Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг x утга тус бүрээр тодорхойлдог F(x) функц гэж нэрлэдэг. F(x)=P(X<х) Геометрийн хувьд тархалтын функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) нь (-∞;+∞) дээр буурахгүй функц; 3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) цэгүүдэд зүүн талдаа үргэлжилсэн, бусад бүх цэгүүдэд тасралтгүй; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгвөл: Дараа нь F(x) тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1-ийн хувьд 0, x1 дээр р1< х≤ x2, F(x)= x2 дээр р1 + р2< х≤ х3 x>xn-д 1. Түүний графикийг 2-р зурагт үзүүлэв. §
3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар. Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм. Тодорхойлолт: Математикийн хүлээлт M(X)
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний бүх утгуудын үржвэр ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын нийлбэр юм. М(X) =
∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын шинж чанар болдог. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:
1)M(C)=C, энд C нь тогтмол утга; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн; 5)M(X±C)=M(X)±C, энд C нь тогтмол утга; Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын ойролцоо тархалтын түвшинг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг. Тодорхойлолт:
Зөрчил
Д
(
X
)
санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм.
Тархалтын шинж чанарууд:
1)D(C)=0, энд C нь тогтмол утга; 2)D(X)>0, энд X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн; 3)D(C X)=C2 D(X), энд C нь тогтмол утга; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн; Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. D(X)=M(X2)-(M(X))2, Энд M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn D(X) дисперс нь квадрат санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжээстэй бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс √D(X) утгыг мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тархалтын үзүүлэлт болгон ашигладаг. Тодорхойлолт: Стандарт хэлбэлзэл σ(X)
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэнэ. Даалгавар №2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог. P2, тархалтын функц F(x)-ийг олоод түүний графикийг мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур. Шийдэл:
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1-тэй тэнцүү тул Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 F(x)=P(X) тархалтын функцийг олъё Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: F(x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тооны тэнхлэгт дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал юм. Хэрэв x≤-1 бол (-∞;x) дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний ганц утга байхгүй тул F(x)=0; Хэрэв -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Хэрэв 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) x1=-1 ба x2=0 гэсэн хоёр утга байна; Хэрэв 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Хэрэв 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Хэрэв x>3 бол F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, учир нь x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 гэсэн дөрвөн утга (-∞;x) ба x5=3 интервалд ордог. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 дээр 0, -1 үед 0.1<х≤0, 0-д 0.2<х≤1, F(x)= 1-д 0.5<х≤2, 2 цагт 0.7<х≤3, x>3 үед 1 F(x) функцийг графикаар илэрхийлье (Зураг 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" өргөн "158 өндөр = 29" өндөр "29">≈1.2845. §
4. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Пуассоны хууль. Тодорхойлолт: бином
салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг X - n бие даасан давтан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох тоо, тус бүрт А үйл явдал p магадлалтай эсвэл q = 1-p магадлалаар тохиолдохгүй. Дараа нь P(X=m) - n туршилтаар А үйл явдлын яг m удаа тохиолдох магадлалыг Бернулли томъёогоор тооцоолно. Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Хоёртын хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор олно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Туршилт бүрт "тав гаргах" А үйл явдлын магадлал ижил бөгөөд 1/6-тай тэнцүү байна. , өөрөөр хэлбэл P(A)=p=1/6, дараа нь P(A)=1-p=q=5/6, энд - "А" оноо авч чадаагүй. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авч болно: 0;1;2;3. Бид Бернуллигийн томъёог ашиглан X-ийн боломжит утгуудын магадлалыг олно. Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Тэр. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна. Хяналт: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олцгооё. M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Даалгавар No4.Автомат машин эд ангиудыг тамгалдаг. Үйлдвэрлэсэн эд анги нь гэмтэлтэй байх магадлал 0.002 байна. Сонгогдсон 1000 хэсгээс дараах магадлалыг ол. a) 5 гэмтэлтэй; б) дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй. Шийдэл:
n=1000 тоо нь их, гэмтэлтэй хэсэг үүсэх магадлал p=0.002 бага, авч үзэж буй үйл явдлууд (хэсэг нь гэмтэлтэй болсон) бие даасан байдаг тул Пуассоны томъёо дараах байдалтай байна. Рn(m)= д-
λ
λм λ=np=1000 0.002=2-ийг олъё. a) 5 гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол (m=5): Р1000(5)= д-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б) Дор хаяж нэг гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол. А үйл явдал - "сонгосон хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй" эсрэг үйл явдал- "сонгосон бүх хэсгүүд нь гэмтэлгүй байна." Тиймээс P(A) = 1-P(). Тиймээс хүссэн магадлал нь тэнцүү байна: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар.
1.1
1.2.
Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог. p4, тархалтын функц F(X)-ийг олоод түүний графикийг, мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур. 1.3.
Хайрцагт 9 тэмдэглэгээ байгаа бөгөөд 2 нь бичихээ больсон. Санамсаргүй байдлаар 3 тэмдэглэгээ аваарай. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан тэмдэглэгээнүүдийн дунд бичих тэмдэглэгээний тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур. 1.4.
Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 6 сурах бичиг байдгаас 4 нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар 4 сурах бичгийг авдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан сурах бичгүүдийн дунд хавтасласан сурах бичгийн тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур. 1.5.
Тасалбар дээр хоёр даалгавар байна. Эхний асуудлыг зөв шийдэх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь тасалбар дахь зөв шийдэгдсэн асуудлын тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцож, мөн F(x) тархалтын функцийг олоод графикийг байгуул. 1.6.
Гурван буудагч бай руу буудаж байна. Нэг удаагийн сумаар бай онох магадлал нь эхний харваач 0.5, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэрэв буудагчид нэг удаад нэг удаа буудсан тохиолдолд бай онох тоо юм. M(X),D(X) тархалтын хуулийг ол. 1.7.
Сагсан бөмбөгийн тоглогч бөмбөгийг сагсанд шидэхэд шидэлт болгонд онох магадлал 0.8 байна. Оносон болгондоо 10 оноо авдаг бөгөөд алдсан тохиолдолд түүнд оноо өгөхгүй. Сагсан бөмбөгчний 3 цохилтоор авсан онооны тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X), түүнчлэн 10-аас дээш оноо авах магадлалыг ол. 1.8.
Картууд дээр нийт 5 эгшиг, 3 гийгүүлэгч үсэг бичигдсэн байна. 3 картыг санамсаргүй байдлаар сонгох ба авсан картыг буцааж өгөх болгонд. Санамсаргүй хувьсагч X нь авсан эгшгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж M(X),D(X),σ(X)-ийг ол. 1.9.
Дунджаар гэрээний 60% Даатгалын компанидаатгалын тохиолдол гарсантай холбогдуулан даатгалын дүнг төлдөг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон дөрвөн гэрээний дунд даатгалын төлбөрийг төлсөн гэрээний тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол. 1.10.
Радио станц нь дуудлагын дохиог (дөрвөөс илүүгүй) тодорхой интервалаар хоёр талын харилцаа холбоо тогтоох хүртэл илгээдэг. Дуудлагын дохионы хариуг хүлээн авах магадлал 0.3 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь илгээсэн дуудлагын тэмдгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж F(x)-ыг ол. 1.11.
3 түлхүүр байдаг бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь түгжээнд таардаг. Хэрэв оролдсон түлхүүр нь дараагийн оролдлогуудад оролцохгүй бол түгжээг онгойлгох оролдлогын тоо X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X)-ийг ол. 1.12.
Найдвартай байдлын үүднээс гурван төхөөрөмжийн бие даасан туршилтыг дараалан хийдэг. Дараагийн төхөөрөмж бүрийг зөвхөн өмнөх нь найдвартай болсон тохиолдолд л туршина. Төхөөрөмж бүрийн туршилтыг давах магадлал 0.9 байна. Туршсан төхөөрөмжүүдийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-тоо хуваарилах хуулийг гарга. 1.13
.Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x1=1, x2, x3, and x1 гэсэн гурван боломжит утгатай байна.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Электрон төхөөрөмжийн блок нь 100 ижил элементийг агуулдаг. Т хугацааны туршид элемент бүрийн эвдрэл гарах магадлал 0.002 байна. Элементүүд бие даан ажилладаг. T хугацаанд хоёроос илүүгүй элемент бүтэлгүйтэх магадлалыг ол. 1.15.
Сурах бичиг 50 мянган хувь хэвлэгджээ. Сурах бичиг буруу хавсаргасан байх магадлал 0.0002. Цуглуулга нь дараахь зүйлийг агуулсан байх магадлалыг ол. а) дөрвөн гэмтэлтэй ном, б) хоёроос бага гэмтэлтэй ном. 1
.16.
АТС-д минут тутамд ирж буй дуудлагын тоог Пуассоны хуулийн дагуу λ=1.5 параметртэй хуваарилдаг. Нэг минутын дараа дараахь зүйл ирэх магадлалыг ол. a) хоёр дуудлага; б) дор хаяж нэг дуудлага. 1.17.
Z=3X+Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол. 1.18.
Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг өгөв. Z=X+2Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол. Хариултууд:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2 үед 0, -2 үед 0.3<х≤0, F(x)= 0-д 0.5<х≤2, 2 цагт 0.9<х≤5, x>5 үед 1 -1 үед 0.3<х≤0, 0-д 0.4<х≤1, F(x)= 1-д 0.6<х≤2, 2 цагт 0.7<х≤3, x>3 үед 1 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0-д x≤0, 0-д 0.03<х≤1, F(x)= 1-д 0.37<х≤2, x>2-д 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 e-0.2≈0.999 1.15.
a) 0.0189; b) 0.00049 1.16.
a) 0.0702; б) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2-р бүлэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тодорхойлолт: Үргэлжилсэн
Тэд бүх боломжит утгууд нь тоон шугамын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй хүрээг бүрэн дүүргэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг. Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функц ашиглан тодорхойлж болно. Тодорхойлолт:Ф түгээлтийн функц
X тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x) функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь утга тус бүрийг xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> тодорхойлдог. Р Түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц гэж нэрлэдэг. Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функц нь аль ч цэг дээр тасралтгүй бөгөөд тусдаа цэгүүдээс бусад газар бүрт дифференциалагдах боломжтой. 3) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (a;b), [a;b], [a;b] интервалуудын аль нэгэнд орох магадлал нь F(x) функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. a ба b цэгүүдэд, өөрөөр хэлбэл. R(a)<Х 4) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нэг тусдаа утгыг авах магадлал 0 байна. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох нь цорын ганц арга биш юм. Магадлалын тархалтын нягт (тархалтын нягт) гэсэн ойлголтыг танилцуулъя. Тодорхойлолт
:
Магадлалын тархалтын нягт
е
(
x
)
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний тархалтын функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл: Магадлалын нягтын функцийг заримдаа дифференциал тархалтын функц эсвэл дифференциал тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. f(x) магадлалын нягтын тархалтын графикийг нэрлэнэ магадлалын тархалтын муруй
.
Магадлалын нягтын тархалтын шинж чанарууд:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" өргөн="14" өндөр ="62 src="> 0 үед x≤2, f(x)= c(x-2) 2-т<х≤6, x>6-д 0. Олно: a) c-ийн утгыг; б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах; в) P(3≤x<5) Шийдэл:
+
∞ a) Нормчиллын нөхцлөөс c-ийн утгыг олно: ∫ f(x)dx=1. Тиймээс -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x хэрэв 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" өргөн "14" өндөр "62"> x≤2 үед 0, F(x)= (x-2)2/16 дээр 2<х≤6, x>6-д 1. F(x) функцийн графикийг 3-р зурагт үзүүлэв https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 үед 0, 0-д F(x)= (3 арктан х)/π<х≤√3, x>√3-ийн хувьд 1. f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол. Шийдэл:
f(x)= F’(x) тул https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" өргөн "118" өндөр "24"> Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө нь авч үзсэн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна. Даалгавар №3. X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f(x) дифференциал функцээр тодорхойлно: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Бие даасан шийдлийн асуудлууд.
2.1.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог: x≤0 үед 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0, F(x)= - π/6 үед cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 хувьд 1. f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол, мөн түүнчлэн Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2 үед 0, f(x)= c x 2 үед<х≤4, x>4-д 0. 2.4.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтралаар тодорхойлогддог. x≤0 үед 0, f(x)= 0-д c √x<х≤1, x>1-д 0. Олно: a) c тоо; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x дээр, x үед 0. Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ(X); в) дөрөв дэх магадлал бие даасан туршилтууд X утга нь (1;4) интервалд хамаарах утгыг яг 2 дахин авна. 2.6.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. f(x)= 2(x-2) x үед, x үед 0. Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ (X); в) бие даасан гурван туршилтын үед X-ийн утга нь тухайн сегментийн утгаас яг 2 дахин их байх магадлал. 2.7.
f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн. https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" өргөн="43" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16" өндөр="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн. https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" өргөн="45" өндөр="36 src="> .jpg" өргөн="16" өндөр="15">[- π /4 ; π /4]. Олно: a) ямар нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын нягтрал байх функц байх c тогтмолын утгыг; б) тархалтын функц F(x). 2.9.
(3;7) интервал дээр төвлөрсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x)= тархалтын функцээр тодорхойлно. Ийм магадлалыг ол санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 5-аас бага, б) 7-оос багагүй. 2.10.
Санамсаргүй хувьсагч X, интервал дээр төвлөрч (-1;4), F(x)= тархалтын функцээр өгөгдөнө. Ийм магадлалыг ол санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 2-оос бага, б) 4-өөс багагүй. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Олно: a) c тоо; b) M(X); в) магадлал P(X> M(X)). 2.12.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал тархалтын функцээр тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" өргөн="60" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16 өндөр=15" өндөр="15"> . Олно: a) M(X); б) магадлал P(X≤M(X)) 2.13.
Rem тархалтыг магадлалын нягтар тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0. f(x) нь үнэхээр магадлалын нягтын функц гэдгийг батал. 2.14.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Зураг 4) 2.16.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуулийн дагуу хуваарилдаг. зөв гурвалжин"(0;4) интервалд (Зураг 5). Бүх тооны шулуун дээрх f(x) магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол. Хариултууд
x≤0 үед 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0, π/6 үед F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, x> π/3-ийн хувьд 0. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна нэгдсэн хуульХэрэв магадлалын тархалтын нягт нь f(x) энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд түүний гадна талд 0-тэй тэнцүү байвал X-ийн бүх боломжит утгыг агуулсан тодорхой интервал (a;b) дээрх тархалт. x≤a-ийн хувьд 0, a-ийн хувьд f(x)=<х x≥b-ийн хувьд 0. f(x) функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Даалгавар №1.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Хай: a) магадлалын тархалтын нягт f(x) ба графикийг зурах; б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах; c) M(X),D(X), σ(X). Шийдэл:
Дээр авч үзсэн томьёог ашиглан a=3, b=7 гэсэн томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7, x>7-д 0 Түүний графикийг байгуулъя (Зураг 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 үед 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Зураг 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x үед 0<0, x≥0-ийн хувьд f(x)= λе-λх. Экспоненциал хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Тиймээс математикийн хүлээлт ба экспоненциал тархалтын стандарт хазайлт нь хоорондоо тэнцүү байна. X-ийн (a;b) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно. П(а<Х Даалгавар №2.Төхөөрөмжийн эвдрэлгүй ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг байна.Төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалтын хуультай гэж үзвэл дараахь зүйлийг ол. a) магадлалын тархалтын нягт; б) түгээлтийн функц; в) төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа 120 цагаас хэтрэх магадлал. Шийдэл:
Нөхцөлийн дагуу математикийн тархалт M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x байна.<0, a) x≥0-ийн хувьд f(x)= 0.01e -0.01x. b) x үед F(x)= 0<0, x≥0 үед 1-e -0.01x. в) Хүссэн магадлалыг түгээлтийн функцээр олно. P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Хэвийн хуваарилалтын хууль Тодорхойлолт:
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна хэвийн тархалтын хууль (Гауссын хууль),
Хэрэв түүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал: Энд m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Хэвийн тархалтын муруйг нэрлэнэ хэвийн буюу Гауссын муруй
(Зураг 7) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн хуулийн дагуу тархсан тархалтын функцийг Лаплас функцээр Ф (х) томъёогоор илэрхийлнэ. Лаплас функц хаана байна. Сэтгэгдэл:
Ф(х) функц нь сондгой (Ф(-х)=-Ф(х)) бөгөөд үүнээс гадна x>5 хувьд Ф(х) ≈1/2 гэж үзэж болно. F(x) тархалтын функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" өргөн "218" өндөр "33"> Хазайлын үнэмлэхүй утга эерэг тоо δ-аас бага байх магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно. Ялангуяа m=0-ийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана. "Гурван сигма дүрэм"
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь m ба σ параметртэй хэвийн тархалтын хуультай бол түүний утга (a-3σ; a+3σ) интервалд байх нь бараг тодорхой болно, учир нь https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" өргөн "157" өндөр "57 src=">a) б) томъёог ашиглая: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" өргөн "369" өндөр "38 src="> Ф(х) функцийн утгуудын хүснэгтээс Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413-ыг олно. Тэгэхээр, хүссэн магадлал: P(28 Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар
3.1.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-3;5) интервалд жигд тархсан байна. Хай: б) тархалтын функц F(x); в) тоон үзүүлэлтүүд; d) магадлал P(4<х<6). 3.2.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Хай: a) тархалтын нягт f(x); б) тархалтын функц F(x); в) тоон үзүүлэлтүүд; г) магадлал P(3≤х≤6). 3.3.
Хурдны зам дээр автомат гэрлэн дохио байдаг бөгөөд ногоон гэрэл 2 минут, шар 3 секунд, улаан 30 секунд асдаг. Машин хурдны замаар санамсаргүй байдлаар явдаг. Машин гэрлэн дохионы хажуугаар зогсолтгүй өнгөрөх магадлалыг ол. 3.4.
Метроны галт тэрэг 2 минутын зайтай тогтмол явдаг. Зорчигч санамсаргүй цагт тавцан руу ордог. Зорчигч галт тэргийг 50 секундээс илүү хүлээх магадлал хэд вэ? Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олоорой - галт тэрэг хүлээх хугацаа. 3.5.
Түгээлтийн функцээр өгөгдсөн экспоненциал тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ол. X үед F(x)= 0<0, x≥0-ийн хувьд 1-8х. 3.6.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлогддог. x үед f(x)= 0<0, x≥0 үед 0.7 e-0.7x. a) Харгалзан авч буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ үү. б) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(X) тархалтын функц болон тоон шинж чанарыг ол. 3.7.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилна. x үед f(x)= 0<0, x≥0 үед 0.4 e-0.4 x. Туршилтын үр дүнд X (2.5;5) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол. 3.8.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг. X үед F(x)= 0<0, x≥0 үед 1-0.6x Туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлалыг ол. 3.9.
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба стандарт хазайлт нь 8 ба 2 байна.Ол: a) тархалтын нягт f(x); b) туршилтын үр дүнд X (10;14) интервалаас утгыг авах магадлал. 3.10.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлт 3.5, дисперс нь 0.04 байхаар хэвийн тархсан байна. Хай: a) тархалтын нягт f(x); б) туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлал. 3.11.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, D(X)=1 гэсэн хэвийн тархалттай байна. |X|≤0.6 эсвэл |X|≥0.6 үйл явдлын аль нь илүү магадлалтай вэ? 3.12.
X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0 ба D(X)=1-ээр хэвийн тархсан байна.Нэг тестийн явцад аль интервалаас (-0.5;-0.1) эсвэл (1;2) утгыг авах магадлал өндөр вэ? 3.13.
Хувьцааны одоогийн үнийг M(X)=10 дентэй хэвийн тархалтын хуулийг ашиглан загварчилж болно. нэгж ба σ (X)=0.3 ден. нэгж Хай: a) одоогийн хувьцааны үнэ 9.8 денээс байх магадлал. нэгж 10.4 хоног хүртэл нэгж; б) "гурван сигма дүрэм" -ийг ашиглан одоогийн хувьцааны үнэ байрлах хил хязгаарыг ол. 3.14.
Бодисыг системчилсэн алдаагүйгээр жинлэнэ. Санамсаргүй жинлэлтийн алдаа нь σ=5g дундаж квадрат харьцаатай хэвийн хуульд хамаарна. Дөрвөн бие даасан туршилтанд гурван жинлэлтийн алдаа 3r үнэмлэхүй утгад гарахгүй байх магадлалыг ол. 3.15.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12.6-тай хэвийн тархалттай байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (11.4;13.8) интервалд орох магадлал 0.6826 байна. σ стандарт хазайлтыг ол. 3.16.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12 ба D(X)=36-тай хэвийн тархсан. Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох интервалыг 0.9973 магадлалаар ол. 3.17.
Автомат машинаар үйлдвэрлэсэн эд анги нь түүний хяналттай параметрийн X хазайлт нь нэрлэсэн утгаас 2 хэмжилтийн модулиас хэтэрсэн тохиолдолд гэмтэлтэй гэж тооцогддог. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, σ(X)=0.7 байхаар хэвийн тархсан гэж үздэг. Машин нь гэмтэлтэй эд ангиудын хэдэн хувийг үйлдвэрлэдэг вэ? 3.18.
Хэсгийн X параметр нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү 2 математик хүлээлт, 0.014 стандарт хазайлтаар хэвийн тархсан байна. Х-ийн нэрлэсэн утгаас хазайх нь нэрлэсэн үнийн дүнгийн 1%-иас хэтрэхгүй байх магадлалыг ол. Хариултууд
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" өргөн "14" өндөр "110 src="> b) x≤-3-ийн хувьд 0, F(x)= зүүн"> 3.10.
a)f(x)=, b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. ТархалтҮхрийн тэнхлэгт хамаарах боломжит утгууд нь X тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно. Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь аль нэг асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан түгээлтийн нягтрал f(x) эсвэл түгээлтийн функц F(x) (жишээг үзнэ үү). Ихэвчлэн ийм даалгаварт та олох хэрэгтэй математикийн хүлээлт, стандарт хазайлт, f(x) ба F(x) функцүүдийн график график. Зааварчилгаа. Эх өгөгдлийн төрлийг сонгоно уу: тархалтын нягт f(x) эсвэл түгээлтийн функц F(x). Тархалтын нягт f(x)-ийг өгөгдсөн: F(x) тархалтын функц өгөгдсөн: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын нягтралаар тодорхойлно Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X гэж нэрлэдэг Үргэлжилсэн
, хэрэв түүний тархалтын функц F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг ол. Х нь интервал дээр жигд тархалттай, h нь l параметртэй экспоненциал тархалттай x ба h бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтыг ол. П-г олоорой 
, хэрэв x нь: a) a ба s2 параметртэй хэвийн тархалт; b) l параметртэй экспоненциал тархалт; в) сегмент дэх жигд тархалт [-1;1]. x, h-ийн хамтарсан тархалт нь квадрат жигд байна
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Магадлалыг ол 
. x ба h бие даасан байна уу? K= гурвалжин дотор x ба h санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хос жигд тархсан байна. x ба h нягтыг тооцоол. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан мөн үү? Магадлалыг ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд сегмент болон [-1,1] дээр жигд тархсан. Магадлалыг ол. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (x, h) нь (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) оройтой квадратад жигд тархсан байна. (1, -1) цэг дээрх хамтарсан тархалтын функцийн утгыг ол. Санамсаргүй вектор (x, h) эх цэг дээр төвтэй 3 радиустай тойрог дотор жигд тархсан байна. Хамтарсан тархалтын нягтын илэрхийлэл бич. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай эсэхийг тодорхойл. Магадлалыг тооцоолох. Хос санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь орой нь (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) цэгүүдтэй трапецын дотор жигд тархсан байна. Энэ хос санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ба бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нягтыг ол. x ба h хамааралтай юу? Санамсаргүй хос (x, h) нь хагас тойрог дотор жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. x ба h хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан нягт нь тэнцүү байна 
.
x, h нягтыг ол. x ба h-ийн хамаарлын асуултыг судал. Санамсаргүй хос (x, h) олонлог дээр жигд тархсан. x ба h нягтыг олж, тэдгээрийн хамаарлын асуудлыг судал. M(xh)-г ол. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x ба h нь бие даасан бөгөөд Find параметртэй экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.
.
Энэ интервал нь нээлттэй эсвэл хаалттай эсэхээс хамаарахгүй, i.e.
болон утгын нэгж 
.Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд
.
.
болон нэгж 
. Цаг хугацаа жигд урсдаг. Тиймээс бодит цаг хугацаа бага байх магадлал бага байна А+ 0.5 мин, 0.5-тай тэнцүү, учир нь дараа нь өнгөрсөн эсэх нь адилхан магадлалтай Ахагас минутаас бага эсвэл илүү. Бодит хугацаа бага байх магадлал А+ 0.25 мин, 0.25-тай тэнцүү (энэ хугацааны магадлал нь жинхэнэ хугацаа их байх магадлалаас 3 дахин бага) А+ 0.25 мин, тэдгээрийн нийлбэр нь эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр болох нэгтэй тэнцүү). Үүнтэй адил үндэслэлээр бид бодит цаг болох магадлал бага байгааг олж мэднэ А+ 0.6 мин, 0.6-тай тэнцүү. Ерөнхийдөө бодит цаг хугацаа бага байх магадлал бага байна А
+ + α
мин 
, тэнцүү байна α
. Тиймээс жинхэнэ цагийн хуваарилалтын функц нь дараах илэрхийлэлтэй байна.
on нь хаа сайгүй үргэлжилдэг ба дериватив нь хоёроос бусад бүх цэгүүдэд үргэлжилдэг: x = aТэгээд x = a+ 1. Энэ функцийн график дараах байдалтай байна (Зураг 8.3):
, өөрөөр хэлбэл 
. Чиг үүрэг Ф(X) буурахгүй байна: интервалд 
энэ нь тогтмол, тэгтэй тэнцүү, интервалд 
хооронд нэмэгддэг 
мөн тогтмол, нэгдэлтэй тэнцүү (8.4-р зургийг үз). Функц нь цэг бүрт тасралтгүй байна XТүүний тодорхойлолтын 0 талбар - интервал 
, тиймээс зүүн талдаа тасралтгүй, i.e. тэгш байдал хадгалагдана
,
.
,
.
тархалтын функцийн бүх шинж чанарыг хангана. Тиймээс энэ функц 
нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц юм X.
энэ нь буурч, тасралтгүй биш юм. Функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 8.5.
.
,
.
цэг дээр 
,
.
.
санамсаргүй хувьсагчийн цохилт Xтухайн хугацаанд томъёогоор тооцоолно
.
. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол.
,
.
.
, тэнцүү байна
Жишээ 8.6.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын график XЗурагт үзүүлэв. 8.6 (Симпсоны хууль). Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт ба тархалтын функцийн илэрхийлэл бич.
, Тэр 
.
, Тэр .
, Тэр
, Тэр
1.2.
p4=0.1; x≤-1 үед 0,
(Зураг 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a-д 0,
,
Ердийн муруй нь x=m шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, x=a үед хамгийн их утгатай, тэнцүү байна.
,
(Рэйлигийн тархалтын хууль - радио инженерчлэлд ашигладаг). M(x) , D(x) -г ол.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь өгөгдсөн интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг тооцоолоход хэрэглэгддэг.
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Түүнчлэн, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд түүний хил хязгаар нь энэ интервалд орсон эсэх нь хамаагүй:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Түгээлтийн нягтрал
тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг функц гэнэ
f(x)=F’(x) , тархалтын функцийн дериватив.Тархалтын нягтын шинж чанарууд
1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь x-ийн бүх утгын хувьд сөрөг биш (f(x) ≥ 0) байна.
2. Хэвийн байдал:
Нормчиллын нөхцлийн геометрийн утга: тархалтын нягтын муруйн доорх талбай нь нэгдэлтэй тэнцүү байна.
3. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн α-аас β хүртэлх интервалд орох магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно. 
Геометрийн хувьд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд (α, β) орох магадлал нь энэ интервал дээр суурилсан тархалтын нягтын муруйн доорх муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна.
4. Тархалтын функцийг нягтын хувьд дараах байдлаар илэрхийлнэ.
x цэг дээрх тархалтын нягтын утга нь энэ утгыг хүлээн авах магадлалтай тэнцүү биш бөгөөд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид зөвхөн өгөгдсөн интервалд унах магадлалын тухай ярьж болно. зөвшөөрөх)
