Янз бүрийн аргаПифагорын теоремын баталгаа
9 "А" ангийн сурагч
Хотын боловсролын байгууллага 8-р дунд сургууль
Шинжлэх ухааны зөвлөх:
математикийн багш,
Хотын боловсролын байгууллага 8-р дунд сургууль
Урлаг. Новорождественская
Краснодар муж.
Урлаг. Новорождественская
ТАЙЛБАР.
Пифагорын теорем нь геометрийн явцад хамгийн чухал гэж тооцогддог бөгөөд анхаарал хандуулах ёстой. Энэ нь геометрийн олон асуудлыг шийдвэрлэх суурь, ирээдүйд геометрийн онолын болон практик хичээлүүдийг судлах үндэс суурь болдог. Теорем нь түүний гадаад төрх байдал, нотлох аргуудтай холбоотой түүхийн баялаг материалаар хүрээлэгдсэн байдаг. Геометрийн хөгжлийн түүхийг судлах нь энэ сэдвийг хайрлах сэтгэлийг төрүүлж, танин мэдэхүйн сонирхол, ерөнхий соёл, бүтээлч байдлыг хөгжүүлэх, мөн судалгааны ур чадварыг хөгжүүлдэг.
Хайлтын үйл ажиллагааны үр дүнд ажлын зорилго нь Пифагорын теоремыг нотлох мэдлэгийг нөхөж, нэгтгэх явдал байв. Сургуулийн сурах бичгийн хуудсуудаас давж, сэдвийн талаархи мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх, нотлох янз бүрийн аргуудыг олж, авч үзэх боломжтой байв.
Цуглуулсан материал нь Пифагорын теорем бол геометрийн агуу теорем бөгөөд онолын болон практикийн асар их ач холбогдолтой гэдгийг бидэнд улам баталдаг.
Оршил. Түүхийн лавлагаа 5 Үндсэн хэсэг 8
3. Дүгнэлт 19
4. Ашигласан уран зохиол 20
1. ТАНИЛЦУУЛГА. ТҮҮХИЙН ЛАВЛАГАА.
Үнэний мөн чанар нь бидний хувьд үүрд мөнхөд оршино.
Түүний ойлголтод ядаж нэг удаа бид гэрлийг олж харвал,
Тэгээд олон жилийн дараа Пифагорын теорем
Бидний хувьд, түүний хувьд энэ нь маргаангүй, өө сэвгүй юм.
Баярлахын тулд Пифагор бурхдад тангараг өргөв.
Хязгааргүй мэргэн ухаанд хүрэхийн тулд,
Тэрээр мөнхийн хүмүүсийн ачаар зуун бухыг нядлав;
Тэрээр хохирогчийн араас залбирч, магтаалыг өргөв.
Тэр цагаас хойш бухнууд үнэртэхэд тэд түлхэж,
Энэ зам хүмүүсийг дахин шинэ үнэн рүү хөтөлдөг.
Тэд ууртайгаар архирдаг тул сонсох нь утгагүй юм,
Ийм Пифагор тэдэнд үүрд айдас төрүүлэв.
Шинэ үнэнийг эсэргүүцэх хүчгүй бухнууд,
Юу үлдэх вэ? - Зүгээр л нүдээ аних, архирах, чичрэх.
Пифагор теоремоо хэрхэн нотолсон нь тодорхойгүй байна. Тэр үүнийг Египетийн шинжлэх ухааны хүчтэй нөлөөн дор нээсэн нь тодорхой юм. Пифагорын теоремын онцгой тохиолдол - 3, 4, 5 талтай гурвалжны шинж чанарууд нь Пифагорыг төрөхөөс өмнө пирамид барьдаг хүмүүст мэдэгдэж байсан бөгөөд тэрээр өөрөө Египетийн тахилч нартай 20 гаруй жил суралцаж байжээ. Пифагор өөрийн алдартай теоремоо баталж, бурхдад бух, бусад эх сурвалжийн мэдээлснээр 100 бухыг тахил өргөсөн гэсэн домог хадгалагдан үлджээ. Гэсэн хэдий ч энэ нь Пифагорын ёс суртахууны болон шашны үзэл бодлын талаархи мэдээлэлтэй зөрчилдөж байна. Утга зохиолын эх сурвалжаас "Амьтад алж идэхийг ч хориглодог байсан, учир нь амьтад бидэнтэй адил сүнстэй байдаг" гэж уншиж болно. Пифагор зөвхөн зөгийн бал, талх, хүнсний ногоо, хааяа загас иддэг байв. Энэ бүхэнтэй холбогдуулан дараах бичлэгийг илүү үнэмшилтэй гэж үзэж болно: "... тэр ч байтугай тэр тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз нь хөлтэй тохирч байгааг олж мэдсэн ч тэрээр улаан буудайн зуурсан гурилаар хийсэн бухыг тахил өргөсөн."
Пифагорын теоремын алдар нэр нь маш их бөгөөд түүний нотлох баримтыг уран зохиолоос ч, жишээлбэл, Английн алдарт зохиолч Хакслийн "Залуу Архимед" өгүүллэгээс олж болно. Үүнтэй ижил нотолгоо, гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны онцгой тохиолдлын хувьд Платоны "Мено" харилцан ярианд өгөгдсөн.
"Гэр" үлгэр.
"Алс хол, онгоц хүртэл нисдэггүй газар бол геометрийн орон юм. Энэ ер бусын улсад нэг гайхалтай хот байсан - Теорем хот. Нэг өдөр би энэ хотод ирсэн үзэсгэлэнтэй охинГипотенуз гэж нэрлэдэг. Өрөө хөлслөх гэсэн ч хаана ч өргөдлөө өгөөгүй. Эцэст нь тэр эвдэрсэн байшинд ойртож, тогшив. Өөрийгөө зөв өнцөг гэж нэрлэсэн нэгэн эр түүнд хаалгыг нээж, Гипотенузыг түүнтэй хамт амьдрахыг урив. Гипотенуз баруун өнцөг болон түүний Катетес нэртэй хоёр хүүгийн амьдардаг байшинд үлджээ. Түүнээс хойш Зөв өнцгийн байшин дахь амьдрал шинэ байдлаар өөрчлөгдсөн. Гипотенуз цонхон дээр цэцэг тарьж, урд талын цэцэрлэгт улаан сарнай тарьсан. Байшин нь тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй байв. Хоёр хөл нь Гипотенузад үнэхээр дуртай байсан бөгөөд түүнийг гэрт нь үүрд үлдэхийг хүссэн. Орой нь энэ найрсаг гэр бүл гэр бүлийн ширээний ард цуглардаг. Заримдаа зөв өнцөг хүүхдүүдтэйгээ нуугдаж тоглодог. Ихэнхдээ тэр харах хэрэгтэй болдог бөгөөд Гипотенуз нь маш чадварлаг нуугдаж байдаг тул үүнийг олоход маш хэцүү байдаг. Нэгэн өдөр баруун өнцөг тоглож байхдаа нэгэн сонирхолтой шинж чанарыг анзаарав: хэрэв тэр хөлөө олж чадвал гипотенузыг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Тиймээс Зөв өнцөг энэ загварыг маш амжилттай ашигладаг гэж би хэлэх ёстой. Пифагорын теорем нь энэ тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарт суурилдаг."
(А.Окуневын “Хичээл өгсөнд баярлалаа, хүүхдүүд ээ” номноос).
Теоремын инээдэмтэй томъёолол:
Хэрэв бидэнд гурвалжин өгвөл
Түүнээс гадна, зөв өнцгөөр,
Энэ нь гипотенузын квадрат юм
Бид үргэлж амархан олох боломжтой:
Бид хөлийг дөрвөлжин,
Бид хүч чадлын нийлбэрийг олдог -
Бас ийм энгийн байдлаар
Бид үр дүнд хүрэх болно.
10-р ангид алгебр, анализ, геометрийн эхлэлийг судалж байхдаа 8-р ангид авч үзсэн Пифагорын теоремыг батлах аргаас гадна нотлох өөр аргууд байдаг гэдэгт итгэлтэй болсон. Би тэдгээрийг анхааралдаа авахаар толилуулж байна.
2. ҮНДСЭН ХЭСЭГ.
Теорем. Тэгш өнцөгт гурвалжинд дөрвөлжин байдаг
Гипотенуз нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
1 АРГА.
Олон өнцөгтийн талбайн шинж чанарыг ашигласнаар бид гипотенуз ба тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн хооронд гайхалтай холбоо тогтоох болно.
Баталгаа.
а, вба гипотенуз -тай(Зураг 1, а).
Үүнийг баталцгаая c²=a²+b².
Баталгаа.
Гурвалжинг хажуу талтай дөрвөлжин болгож дуусгая a + bЗурагт үзүүлсэн шиг. 1, б. Энэ квадратын S талбай (a + b)² байна. Нөгөө талаас, энэ дөрвөлжин дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжнаас бүрдэх бөгөөд тус бүр нь ½ талбайтай. ай, мөн талтай дөрвөлжин -тай,тиймээс С = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
Тиймээс,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Теорем нь батлагдсан.
2 АРГА.
"Ижил төстэй гурвалжин" сэдвийг судалсны дараа би гурвалжны ижил төстэй байдлыг Пифагорын теоремыг батлахад ашиглаж болохыг олж мэдсэн. Тухайлбал, би тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз болон хөл ба оройноос татсан өндрийн хоорондох гипотенузын сегменттэй пропорциональ дундаж юм гэсэн мэдэгдлийг ашигласан. зөв өнцөг.
Тэгш өнцөгт C, CD – өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье (Зураг 2). Үүнийг баталцгаая АС² +NE² = AB²
.
Баталгаа.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн тухай мэдэгдэлд үндэслэн:
AC =, SV =.
Үр дүнгийн тэгшитгэлийг квадрат болгож нэмье:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), энд AD+DB=AB, тэгвэл
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Нотлох баримт бүрэн байна.
3 АРГА.
Пифагорын теоремыг батлахын тулд та тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинусын тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Зураг руу харцгаая. 3.
Нотолгоо:
Өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжныг ABC гэж үзье C. Тэгш өнцөгтийн оройноос CD өндрийг зуръя.
Өнцгийн косинусын тодорхойлолтоор:
cos A = AD/AC = AC/AB. Тиймээс AB * AD = AC²
Үүний нэгэн адил,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Тиймээс AB * BD = BC².
Үүссэн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмээд AD + DB = AB гэдгийг тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.
АС² + нар² = AB (AD + DB) = AB²
Нотлох баримт бүрэн байна.
4 АРГА.
“Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарал” сэдвийг судалсны дараа Пифагорын теоремыг өөр аргаар баталж чадна гэж бодож байна.
Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье а, вба гипотенуз -тай. (Зураг 4).
Үүнийг баталцгаая c²=a²+b².
Баталгаа.
нүгэл B=өндөр чанартай ; cos B= a/c , Дараа нь үр дүнгийн тэгшитгэлийг квадрат болгосноор бид дараахь зүйлийг авна.
нүгэл² B=ин²/с²; cos² IN= a²/c².
Тэдгээрийг нэмбэл бид:
нүгэл² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², энд sin² IN+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², тиймээс,
c²= a² + b².
Нотлох баримт бүрэн байна.
5 АРГА.
Энэ нотолгоо нь хөл дээр баригдсан квадратуудыг огтолж (Зураг 5) ба үүссэн хэсгүүдийг гипотенуз дээр барьсан квадрат дээр байрлуулахад үндэслэсэн болно.
6 АРГА.
Хажуу талд нь нотлох үүднээс Нарбид барьж байна BCD ABC(Зураг 6). Ижил төстэй дүрсүүдийн талбайнууд нь тэдгээрийн ижил төстэй шугаман хэмжээсүүдийн квадратуудтай холбоотой болохыг бид мэднэ.
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасвал бид олж авна
c2 = a2 + b2.
Нотлох баримт бүрэн байна.
7 АРГА.
Өгсөн(Зураг 7):
ABC,= 90° , нар= a, AC=b, AB = c.
Нотлох:c2 = a2 +b2.
Баталгаа.
Хөлийг нь тавь б А.Сегментийг үргэлжлүүлье NEцэг тутамд INгурвалжин байгуулна BMDИнгэснээр оноо МТэгээд Ашулуун шугамын нэг талд хэвтэнэ CDмөн үүнээс гадна, BD =б, BDM= 90°, ДМ= a, тэгвэл BMD= ABCхоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг. А цэгүүд ба Мсегментүүдтэй холбох AM.Бидэнд байгаа М.Д. CDТэгээд А.С. CD,шулуун гэсэн үг АСшугамтай зэрэгцээ М.Д.Учир нь М.Д.< АС, дараа нь шулуун CDТэгээд А.М.зэрэгцээ биш. Тиймээс, AMDC-тэгш өнцөгт трапец.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд ABC ба BMD 1 + 2 = 90 ° ба 3 + 4 = 90 °, гэхдээ = = тул 3 + 2 = 90 °; Дараа нь AVM=180° - 90° = 90°. Энэ нь трапец хэлбэртэй болсон AMDCнь давхцдаггүй гурван тэгш өнцөгт гурвалжинд, дараа нь талбайн аксиомоор хуваагдана
(a+b)(a+b)
Тэгш бус байдлын бүх гишүүнийг -д хуваавал бид гарна
Аb + c2 + ab = (a +б) , 2 ab+ c2 = а2+ 2аб+ b2,
c2 = a2 + b2.
Нотлох баримт бүрэн байна.
8 АРГА.
Энэ арга нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөл дээр суурилдаг ABC.Тэрээр харгалзах квадратуудыг байгуулж, гипотенуз дээр барьсан квадрат нь хөл дээр баригдсан квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү болохыг нотолж байна (Зураг 8).
Баталгаа.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC,гэсэн үг, FBC = DBA.
Тиймээс, FBC=АНУ(хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг).
2) 
,
Энд AL DE, учир нь BD нь нийтлэг суурь, DL-нийт өндөр.
3) 
, FB нь суурь учраас, AB- нийт өндөр.
4) 
5) Үүнтэй адилаар үүнийг баталж болно 
6) Нэр томьёог нэр томъёогоор нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.
, BC2
= AB2 + AC2
.
Нотлох баримт бүрэн байна.
9 АРГА.
Баталгаа.
1) Болъё ABD- тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузтай тэнцүү квадрат (зураг 9). ABC= s, BC = a, AC =б).
2) зөвшөөр Д.К МЭӨТэгээд DK = нар,учир нь 1 + 2 = 90 ° (тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг шиг), 3 + 2 = 90 ° (дөрвөлжингийн өнцөг шиг), AB= Б.Д(дөрвөлжингийн талууд).
гэсэн үг, ABC= BDK(гипотенуз ба хурц өнцгөөр).
3) зөвшөөр EL Д.К., А.М. Э.Л. ABC = BDK = DEL = EAM (хөлтэй.) гэдгийг амархан баталж болно АТэгээд б).Дараа нь KS= CM= М.Л.= Л.К.= А -б.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (а - б),-тай2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Нотлох баримт бүрэн байна.
10 АРГА.
Нотлох баримтыг "Пифагорын өмд" гэж хошигносон дүрс дээр хийж болно (Зураг 10). Үүний санаа нь хажуу тал дээр барьсан квадратуудыг хамтдаа гипотенузын квадратыг бүрдүүлдэг тэнцүү гурвалжин болгон хувиргах явдал юм.
ABCсумаар харуулсан шиг хөдөлгөж, байрлалаа авна KDN.Үлдсэн зураг AKDCBталбайн тэнцүү талбай AKDCэнэ бол параллелограмм AKNB.
Параллелограммын загварыг хийсэн AKNB. Бид ажлын агуулгад үзүүлсэн шиг параллелограммыг дахин байрлуулна. Параллелограммыг тэнцүү талбайтай гурвалжин болгон хувиргахыг харуулахын тулд сурагчдын өмнө бид загвар дээрх гурвалжныг таслан доош нь хөдөлгөнө. Тиймээс талбайн талбай AKDCтэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү болж хувирав. Үүний нэгэн адил бид квадратын талбайг тэгш өнцөгтийн талбай болгон хувиргадаг.
Хажуу талдаа барьсан квадратын хувьд өөрчлөлт хийцгээе А(Зураг 11,a):
a) квадратыг тэнцүү параллелограмм болгон хувиргасан (Зураг 11.6):
б) параллелограмм дөрөвний нэгээр эргэлддэг (Зураг 12):
в) параллелограммыг тэнцүү тэгш өнцөгт болгон хувиргасан (Зураг 13): 11 АРГА.
Нотолгоо:
PCL -шулуун (Зураг 14);
КЛОА= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= б 2;
АКГБ= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Нотлох баримт дууслаа .
12 АРГА.
Цагаан будаа. Зураг 15 нь Пифагорын теоремын өөр нэг анхны нотолгоог харуулж байна.
Энд: C зөв өнцөгтэй ABC гурвалжин; шугамын сегмент Б.Ф.перпендикуляр NEба үүнтэй тэнцүү сегмент BEперпендикуляр ABба үүнтэй тэнцүү сегмент МЭперпендикуляр АСүүнтэй тэнцүү; оноо F, C,Днэг мөрөнд хамаарах; дөрвөлжин ADFBТэгээд ASVEхэмжээтэй тэнцүү, оноос хойш ABF = ECB;гурвалжин ADFТэгээд ACEхэмжээтэй тэнцүү; тэнцүү дөрвөлжин гурвалжинг хоёуланг нь хас ABC,бид авдаг
, c2 = a2 +
b2.
Нотлох баримт бүрэн байна.
13 АРГА.
Нэг талдаа өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь тэнцүү байна ,
өөр нэгтэй, ,
3. ДҮГНЭЛТ.
Хайлтын үйл ажиллагааны үр дүнд ажлын зорилго нь Пифагорын теоремыг нотлох мэдлэгийг нөхөж, нэгтгэх явдал байв. Сургуулийн сурах бичгийн хуудаснаас давж, үүнийг батлах, сэдвийн талаархи мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх янз бүрийн арга замыг хайж олох, авч үзэх боломжтой байв.
Пифагорын теорем бол геометрийн агуу теорем бөгөөд онол, практикийн асар их ач холбогдолтой гэдгийг миний цуглуулсан материал надад бүр ч илүү баталж байна. Эцэст нь хэлэхэд би хэлмээр байна: Пифагорын гурвалсан теоремын алдартай болсон шалтгаан нь түүний гоо үзэсгэлэн, энгийн байдал, ач холбогдол юм!
4. АШИГЛАСАН Уран зохиол.
1. Хөгжилтэй алгебр. . Москва "Шинжлэх ухаан", 1978 он.
2. "9-р сарын 1" сонины долоо хоног тутмын сургалт, арга зүйн хавсралт, 24/2001.
3. Геометр 7-9. гэх мэт.
4. Геометр 7-9. гэх мэт.
(Берлиний музейн 6619 папирусын дагуу). Канторын хэлснээр, харпедонапт буюу "олс татагч" нь 3, 4, 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг ашиглан зөв өнцгийг бүтээжээ.
Тэдний барилгын аргыг хуулбарлахад маш хялбар байдаг. 12 м урт олс авч, нэг үзүүрээс 3 м, нөгөө талаас 4 метрийн зайд өнгөт туузыг холбоно. Зөв өнцөг нь 3 ба 4 метрийн урттай талуудын хооронд байх болно. Жишээлбэл, бүх мужаануудын ашигладаг модон дөрвөлжин ашигладаг бол тэдний барилгын арга нь илүүц болно гэж Харпедонаптичуудыг эсэргүүцэж болно. Үнэн хэрэгтээ ийм хэрэгсэл олддог Египетийн зургууд, жишээлбэл мужааны цехийг дүрсэлсэн зургуудыг мэддэг.
Вавилончуудын дунд Пифагорын теоремын талаар бага зэрэг мэддэг. Хаммурапигийн үеэс, өөрөөр хэлбэл МЭӨ 2000 онд хамаарах нэгэн бичвэрт. д. , тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын ойролцоо тооцоог өгөв. Эндээс бид Месопотамид тэд дор хаяж зарим тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжингаар тооцоо хийх боломжтой байсан гэж дүгнэж болно. Нэг талаас Египет, Вавилоны математикийн талаарх мэдлэгийн өнөөгийн түвшинд тулгуурлан, нөгөө талаас Грекийн эх сурвалжийг шүүмжлэлтэй судалсны үндсэн дээр Ван дер Ваерден (Голландын математикч) ийм байх магадлал өндөр байна гэж дүгнэжээ. Гипотенузын квадрат дээрх теоремыг Энэтхэгт МЭӨ 18-р зууны үед мэддэг байсан. д.
МЭӨ 400 орчим. МЭӨ, Проклусын хэлснээр Платон алгебр, геометрийг хослуулан Пифагорын гурвалсан гурвыг олох аргыг өгсөн. МЭӨ 300 орчим. д. Пифагорын теоремын хамгийн эртний аксиоматик нотолгоо нь Евклидийн элементүүдэд гарч ирэв.
Найрлага
Геометрийн томъёолол:
Теоремыг анх дараах байдлаар томъёолсон.
Алгебрийн томъёолол:
Өөрөөр хэлбэл, гурвалжны гипотенузын уртыг -аар, хөлний уртыг ба -аар тэмдэглэнэ.
Теоремын томъёолол хоёулаа тэнцүү боловч хоёр дахь томъёолол нь илүү энгийн бөгөөд энэ нь талбайн тухай ойлголтыг шаарддаггүй. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь мэдэгдлийг талбайн талаар юу ч мэдэхгүй, зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын уртыг хэмжих замаар шалгаж болно.
Пифагорын теоремыг эсрэгээр нь:
Баталгаа
Асаалттай Энэ мөчЭнэхүү теоремын 367 нотолгоог шинжлэх ухааны ном зохиолд тэмдэглэсэн байдаг. Магадгүй Пифагорын теорем бол ийм гайхалтай тооны баталгаатай цорын ганц теорем юм. Ийм олон янз байдлыг зөвхөн геометрийн теоремын үндсэн ач холбогдлоор тайлбарлаж болно.
Мэдээжийн хэрэг, үзэл баримтлалын хувьд бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь: талбайн аргын нотолгоо, аксиоматик ба чамин нотолгоо (жишээлбэл, ашиглах). дифференциал тэгшитгэл).
Ижил төстэй гурвалжингаар
Алгебрийн томъёоллын дараах нотолгоо нь аксиомуудаас шууд бүтээгдсэн хамгийн энгийн баталгаа юм. Ялангуяа дүрсийн талбайн тухай ойлголтыг ашигладаггүй.
Болъё ABCтэгш өнцөгт гурвалжин байдаг C. Эндээс өндрийг зуръя Cба түүний суурийг гэж тэмдэглэнэ Х. Гурвалжин ACHгурвалжинтай төстэй ABCхоёр буланд. Үүний нэгэн адил гурвалжин CBHтөстэй ABC. Тэмдэглэгээг танилцуулснаар
бид авдаг
Юутай тэнцүү вэ
Үүнийг нэмбэл бид олж авна
, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юмТалбайн аргыг ашиглан нотлох баримтууд
Доорх нотлох баримтууд нь хэдийгээр илэрхий энгийн боловч тийм ч энгийн зүйл биш юм. Тэд бүгд талбайн шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүний нотолгоо нь Пифагорын теоремын нотолгооноос илүү төвөгтэй байдаг.
Эквикомплементаар нотлох
- 1-р зурагт үзүүлсэн шиг тэгш дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжинг зохион байгуулъя.
- Хажуу талтай дөрвөлжин вхоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90°, шулуун өнцөг нь 180° тул квадрат юм.
- Бүх зургийн талбай нь нэг талаас талтай (a + b) квадратын талбайтай, нөгөө талаас дөрвөн гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. дотоод талбайн талбай.
Q.E.D.
Евклидийн нотолгоо
Евклидийн нотлох санаа нь дараах байдалтай байна: гипотенуз дээр баригдсан талбайн тал хувь нь хөл дээр баригдсан квадратуудын хагас талбайн нийлбэр, дараа нь талбайн талбайтай тэнцүү гэдгийг батлахыг хичээцгээе. том ба хоёр жижиг дөрвөлжин тэнцүү байна.
Зүүн талд байгаа зургийг харцгаая. Үүн дээр бид тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал дээр квадратуудыг барьж, AB гипотенузтай перпендикуляр C өнцгийн оройноос s туяа татсан бөгөөд энэ нь гипотенуз дээр баригдсан ABIK квадратыг BHJI ба HAKJ гэсэн хоёр тэгш өнцөгт болгон таслав. тус тус. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбайнууд нь харгалзах хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайтай яг тэнцүү байна.
DECA квадратын талбай нь AHJK тэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү гэдгийг батлахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид туслах ажиглалтыг ашиглана: Гурвалжны талбай нь ижил өндөр ба суурьтай. өгөгдсөн тэгш өнцөгт нь өгөгдсөн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна. Энэ нь гурвалжны талбайг суурь ба өндрийн үржвэрийн тал хувь гэж тодорхойлсоны үр дагавар юм. Энэхүү ажиглалтаас харахад ACK гурвалжны талбай нь AHK гурвалжны талбайтай тэнцүү байна (зураг дээр харуулаагүй), энэ нь эргээд AHJK тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна.
ACK гурвалжны талбай нь DECA квадратын талтай тэнцүү гэдгийг одоо баталцгаая. Үүний тулд хийх ёстой цорын ганц зүйл бол ACK ба BDA гурвалжны тэгш байдлыг нотлох явдал юм (Учир нь BDA гурвалжны талбай нь дээрх шинж чанарын дагуу талбайн талбайн талтай тэнцүү). Энэ тэгш байдал нь тодорхой байна: гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг. Тухайлбал - AB=AK, AD=AC - CAK ба BAD өнцгүүдийн тэгш байдлыг хөдөлгөөний аргаар батлахад хялбар: бид CAK гурвалжинг цагийн зүүний эсрэг 90° эргүүлэхэд хоёр гурвалжны харгалзах талуудыг асуулт давхцах болно (дөрвөлжингийн орой дээрх өнцөг нь 90 ° байдаг тул).
BCFG дөрвөлжин ба BHJI тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлын үндэслэл нь бүрэн төстэй юм.
Ийнхүү гипотенуз дээр баригдсан дөрвөлжин талбай нь хөл дээр баригдсан дөрвөлжин талбайнуудаас бүрддэг болохыг бид нотолсон. Энэхүү нотлох санааг дээрх хөдөлгөөнт дүрслэлээр улам тодруулсан болно.
Леонардо да Винчигийн нотолгоо
Баталгаажуулах гол элементүүд нь тэгш хэм ба хөдөлгөөн юм.
Зургийг авч үзье, тэгш хэмээс харахад сегмент нь квадратыг хоёр ижил хэсэгт хуваасан (гурвалжин нь барилгын хувьд тэнцүү тул).
Цэгийг тойрон цагийн зүүний эсрэг 90 градус эргүүлэх замаар бид сүүдэрлэсэн дүрсүүдийн тэгш байдлыг харж байна.
Одоо бидний сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь жижиг дөрвөлжин (хөл дээр барьсан) ба анхны гурвалжны талбайн хагасын нийлбэртэй тэнцүү байх нь тодорхой байна. Нөгөө талаас, энэ нь том дөрвөлжин талбайн тал (гипотенуз дээр баригдсан) болон анхны гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Тиймээс жижиг дөрвөлжин талбайн нийлбэр тал нь том дөрвөлжин талбайн талтай тэнцүү тул хөл дээр барьсан талбайн талбайн нийлбэр нь дөрвөлжин талбайн талбайн хэмжээтэй тэнцүү байна. гипотенуз.
Хязгааргүй жижиг аргаар нотлох
Дифференциал тэгшитгэлийг ашигласан дараах нотолгоог 20-р зууны эхний хагаст амьдарч байсан Английн алдарт математикч Хардитай холбодог.
Зурагт үзүүлсэн зургийг хараад хажуугийн өөрчлөлтийг ажиглаж байна а, бид хязгааргүй жижиг талын өсөлтийн хувьд дараах хамаарлыг бичиж болно -тайТэгээд а(гурвалжингийн ижил төстэй байдлыг ашиглан):
Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан бид олдог
Илүү ерөнхий илэрхийлэлхоёр хөлийн өсөлтийн үед гипотенузыг өөрчлөх
Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж, анхны нөхцлийг ашиглан бид олж авна
Ингэснээр бид хүссэн хариултдаа хүрнэ
Эндээс харахад эцсийн томъёоны квадрат хамаарал нь гурвалжны талууд ба өсөлтүүдийн хоорондох шугаман пропорциональ байдлаас шалтгаалан гарч ирдэг бол нийлбэр нь янз бүрийн хөлийн өсөлтөөс бие даасан хувь нэмэртэй холбоотой байдаг.
Хэрэв бид аль нэг хөл нь томрохгүй гэж үзвэл илүү энгийн нотолгоо олж авах боломжтой энэ тохиолдолдхөл). Дараа нь интеграцийн тогтмолыг олж авна
Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт
Гурван талдаа ижил төстэй геометрийн дүрсүүд
Ижил төстэй гурвалжны ерөнхий дүгнэлт, ногоон хэлбэрийн талбай A + B = цэнхэр C талбай
Ижил тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг ашигласан Пифагорын теорем
Евклид ажилдаа Пифагорын теоремыг ерөнхийд нь тодорхойлсон Эхлэл, хажуу тал дээрх квадратуудын талбайг ижил төстэй геометрийн дүрсүүдийн талбар болгон өргөжүүлэх:
Хэрэв та үүнтэй төстэй барилга байгууламж барих юм бол геометрийн дүрсүүд(Евклидийн геометрийг үз) тэгш өнцөгт гурвалжны тал дээр байрлуулбал хоёр жижиг дүрсийн нийлбэр нь том зургийн талбайтай тэнцүү байх болно.
Энэхүү ерөнхий ойлголтын гол санаа нь ийм геометрийн дүрсийн талбай нь түүний аль ч шугаман хэмжээсийн квадрат, ялангуяа аль ч талын уртын квадраттай пропорциональ байх явдал юм. Тиймээс талбайтай ижил төстэй тоонуудын хувьд А, БТэгээд Cурттай талууд дээр барьсан а, бТэгээд в, бидэнд байгаа:
Гэхдээ Пифагорын теоремын дагуу а 2 + б 2 = в 2 тэгвэл А + Б = C.
Үүний эсрэгээр, хэрэв бид үүнийг баталж чадвал А + Б = CПифагорын теоремыг ашиглахгүйгээр ижил төстэй гурван геометрийн дүрсийн хувьд бид эсрэг чиглэлд хөдөлж теоремыг өөрөө баталж чадна. Жишээлбэл, эхлэлийн төвийн гурвалжинг гурвалжин болгон дахин ашиглаж болно Cгипотенуз дээр ба ижил төстэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин ( АТэгээд Б), төв гурвалжинг өндрөөр нь хуваах замаар үүссэн нөгөө хоёр тал дээр баригдсан. Хоёр жижиг гурвалжны талбайн нийлбэр нь гурав дахь гурвалжны талбайтай тэнцүү байх нь ойлгомжтой. А + Б = Cмөн өмнөх нотолгоог биелүүлэх урвуу дараалал, бид Пифагорын теоремыг олж авна a 2 + b 2 = c 2 .
Косинусын теорем
Пифагорын теорем нь онцгой тохиолдолдурын гурвалжны талуудын уртыг холбодог косинусын ерөнхий теорем:
Энд θ нь талуудын хоорондох өнцөг юм аТэгээд б.
Хэрэв θ нь 90 градус бол cos θ = 0 бөгөөд томьёо нь ердийн Пифагорын теорем руу хялбарчлагдана.
Чөлөөт гурвалжин
Хажуу талуудтай дурын гурвалжны аль ч сонгосон буланд a, b, cТэгш өнцөгт гурвалжинг түүний суурийн θ дээрх тэнцүү өнцөг нь сонгосон өнцөгтэй тэнцүү байхаар бичье. Сонгосон өнцөг θ нь заасан талын эсрэг талд байрлана гэж үзье в. Үүний үр дүнд бид хажуугийн эсрэг талд байрлах θ өнцөг бүхий ABD гурвалжинг олж авав аболон үдэшлэг r. Хоёрдахь гурвалжин нь хажуугийн эсрэг талд байрлах θ өнцөгөөс үүсдэг бболон үдэшлэг -тайурт с, зураг дээр үзүүлсэн шиг. Сабит Ибн Курра эдгээр гурвалжны талууд дараах байдлаар хамааралтай гэж маргажээ.
θ өнцөг π/2-д ойртох тусам ижил өнцөгт гурвалжны суурь багасч, r ба s хоёр тал нь бага багаар давхцаж байна. θ = π/2 үед АХБ тэгш өнцөгт гурвалжин болно. r + с = вмөн бид Пифагорын анхны теоремыг олж авна.
Аргументуудын нэгийг авч үзье. ABC гурвалжин нь ABD гурвалжинтай ижил өнцөгтэй боловч урвуу дарааллаар байна. (Хоёр гурвалжин байна нийтлэг өнцөгВ оройд хоёулаа θ өнцөгтэй ба гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэрээр ижил гурав дахь өнцөгтэй байна) Үүний дагуу ABC нь доод зурагт үзүүлсэн шиг DBA гурвалжны ABD тусгалтай төстэй байна. Эсрэг талууд ба θ өнцөгтэй зэргэлдээх талуудын хоорондын хамаарлыг бичье.
Мөн өөр гурвалжны тусгал,
Бутархайг үржүүлээд эдгээр хоёр харьцааг нэмье.
Q.E.D.
Параллелограммаар дурын гурвалжны ерөнхий дүгнэлт
Дурын гурвалжны ерөнхий дүгнэлт,
ногоон талбай талбай = талбайцэнхэр
Дээрх зураг дээрх диссертацийн нотолгоо
Дөрвөлжингийн оронд гурван талдаа параллелограммыг ашиглан тэгш бус гурвалжны талаар нэмэлт ерөнхий дүгнэлт хийцгээе. (квадратууд нь онцгой тохиолдол юм.) Дээд талын зургаас харахад хурц гурвалжны хувьд урт талын параллелограммын талбай нь нөгөө хоёр талын параллелограммын нийлбэртэй тэнцүү байна. тал нь зурагт үзүүлсэн шиг бүтээгдсэн (сумаар заасан хэмжээсүүд нь ижил бөгөөд доод параллелограммын талыг тодорхойлно). Квадратуудыг параллелограммаар сольсон нь МЭ 4 онд Александрийн Паппусын томъёолсон Пифагорын анхны теоремтой маш төстэй юм. д.
Доод зураг нь нотлох баримтын явцыг харуулж байна. Гурвалжны зүүн талыг харцгаая. Зүүн ногоон параллелограмм нь ижил талбайтай зүүн талцэнхэр параллелограмм, учир нь тэдгээр нь ижил суурьтай бба өндөр h. Мөн зүүн ногоон параллелограмм нь нийтлэг суурьтай (дээд талд нь) тул дээд зурган дээрх зүүн ногоон параллелограммтай ижил талбайтай байна. зүүн гар талгурвалжин) ба гурвалжны тэр талд перпендикуляр нийт өндөр. Гурвалжны баруун талын ижил төстэй үндэслэлийг ашиглан бид доод параллелограмм нь хоёр ногоон параллелограммтай ижил талбайтай болохыг батлах болно.
Нарийн төвөгтэй тоо
Пифагорын теоремыг декартын координатын системийн хоёр цэгийн хоорондох зайг олоход ашигладаг бөгөөд энэ теорем нь бүх үнэн координатын хувьд хүчинтэй: зай схоёр цэгийн хооронд ( а, б) ба ( в, г) тэнцүү байна
Комплекс тоонуудыг бодит бүрэлдэхүүнтэй вектор гэж үзвэл томьёоны хувьд ямар ч асуудал гарахгүй x + би y = (x, y). . Жишээлбэл, зай с 0 + 1 хооронд биба 1 + 0 бивекторын модулаар тооцсон (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), эсвэл
Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй координат бүхий векторуудтай ажиллахын тулд Пифагорын томъёонд зарим сайжруулалт хийх шаардлагатай. -тэй цэгүүдийн хоорондох зай нийлмэл тоо (а, б) ба ( в, г); а, б, в, Мөн гбүх нарийн төвөгтэй, ашиглан томъёолъё үнэмлэхүй утгууд. Зай свекторын зөрүү дээр үндэслэсэн (а − в, б − г) дараах хэлбэрээр: ялгааг зөвшөөрөх а − в = х+i q, Хаана х- ялгааны бодит хэсэг, qнь төсөөллийн хэсэг бөгөөд i = √(−1). Үүний нэгэн адил, зөвшөөр б − г = r+i с. Дараа нь:
-ийн нийлмэл нийлмэл тоо хаана байна. Жишээлбэл, цэгүүдийн хоорондох зай (а, б) = (0, 1) Тэгээд (в, г) = (би, 0) , зөрүүг тооцоолъё (а − в, б − г) = (−би, 1) Хэрэв нарийн төвөгтэй коньюгатуудыг ашиглаагүй бол үр дүн нь 0 болно. Тиймээс сайжруулсан томъёог ашиглан бид олж авдаг
Модуль нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.
Стереометр
Гурван хэмжээст орон зайд зориулсан Пифагорын теоремын чухал ерөнхий дүгнэлт бол Ж.-П-ийн нэрээр нэрлэгдсэн де Гойгийн теорем юм. де Гойс: хэрэв тетраэдр нь зөв өнцөгтэй бол (шоо шиг) бол зөв өнцгийн эсрэг талын нүүрний талбайн квадрат нь бусад гурван нүүрний талбайн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ дүгнэлтийг "гэж дүгнэж болно. n- хэмжээст Пифагорын теорем":
Пифагорын теорем гурван хэмжээст орон зайдиагональ AD-ийг гурван тал руу холбодог.
Өөр нэг ерөнхий дүгнэлт: Пифагорын теоремыг стереометрид дараах хэлбэрээр хэрэглэж болно. Зурагт үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт параллелепипедийг авч үзье. Пифагорын теоремыг ашиглан BD диагональ уртыг олъё.
Энд гурван тал нь тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэдэг. AD диагональ уртыг олохын тулд бид хэвтээ диагональ BD ба босоо ирмэгийг AB ашигладаг бөгөөд үүний тулд бид Пифагорын теоремыг дахин ашигладаг.
эсвэл хэрэв бид бүгдийг нэг тэгшитгэлд бичвэл:
Энэ үр дүн нь векторын хэмжээг тодорхойлох гурван хэмжээст илэрхийлэл юм v(диагональ AD), түүний перпендикуляр бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийлэгдэнэ ( v k ) (харилцан перпендикуляр гурван тал):
Энэ тэгшитгэлийг олон хэмжээст орон зайд зориулсан Пифагорын теоремын ерөнхий дүгнэлт гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч үр дүн нь Пифагорын теоремыг дараалсан перпендикуляр хавтгайд тэгш өнцөгт гурвалжны дарааллаар давтан хэрэглэхээс өөр зүйл биш юм.
Вектор орон зай
Векторуудын ортогональ системийн хувьд тэгш байдал байдаг бөгөөд үүнийг Пифагорын теорем гэж нэрлэдэг.
Хэрэв эдгээр нь координатын тэнхлэгүүд дээрх векторын төсөөлөл юм бол энэ томъёо нь Евклидийн зайтай давхцаж байгаа бөгөөд векторын урт нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Хязгааргүй векторын системийн хувьд энэ тэгшитгэлийн аналогийг Парсевалын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Евклидийн бус геометр
Пифагорын теорем нь Евклидийн геометрийн аксиомуудаас гаралтай бөгөөд дээр дурдсан хэлбэрээрээ Евклидийн бус геометрийн хувьд хүчинтэй биш юм. (Өөрөөр хэлбэл, Пифагорын теорем нь Евклидийн параллелизмын постулаттай ижил төстэй зүйл болж хувирдаг) Өөрөөр хэлбэл, Евклидийн бус геометрт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарал нь Пифагорын теоремоос өөр хэлбэртэй байх ёстой. Жишээлбэл, бөмбөрцөг геометрийн хувьд тэгш өнцөгт гурвалжны бүх гурван тал (жишээ нь а, бТэгээд в), нэгж бөмбөрцгийн октантыг (найм дахь хэсэг) хязгаарладаг нь π/2 урттай бөгөөд энэ нь Пифагорын теоремтой зөрчилдөж байна. а 2 + б 2 ≠ в 2 .
Энд Евклидийн бус геометрийн хоёр тохиолдлыг авч үзье - бөмбөрцөг ба гипербол геометр; Энэ хоёр тохиолдолд, тэгш өнцөгт гурвалжны Евклидийн орон зайн хувьд, Пифагорын теоремыг орлуулсан үр дүн нь косинусын теоремоос гардаг.
Гэсэн хэдий ч гурвалжин тэгш өнцөгт байх шаардлагыг гурвалжны хоёр өнцгийн нийлбэр нь гуравдахьтай тэнцүү байх нөхцөлөөр сольсон тохиолдолд Пифагорын теорем гипербол ба эллипс геометрийн хувьд хүчинтэй хэвээр байна. А+Б = C. Дараа нь талуудын хоорондын хамаарал дараах байдалтай байна: диаметртэй тойргийн талбайн нийлбэр аТэгээд бдиаметртэй тойргийн талбайтай тэнцүү в.
Бөмбөрцөг геометр
Радиустай бөмбөрцөг дээрх дурын тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд Р(жишээлбэл, гурвалжин дахь γ өнцөг зөв байвал) талуудтай а, б, вТалуудын харилцаа дараах байдлаар харагдах болно.
Энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар гаргаж болно онцгой тохиолдолБүх бөмбөрцөг гурвалжинд хүчинтэй бөмбөрцөг косинусын теорем:
cosh нь гиперболын косинус юм. Энэ томьёо нь бүх гурвалжинд хүчинтэй гипербол косинусын теоремын онцгой тохиолдол юм.
Энд γ нь орой нь хажуугийн эсрэг талын өнцөг юм в.
Хаана g ijметрийн тензор гэж нэрлэдэг. Энэ нь албан тушаалын функц байж болно. Ийм муруйн орон зайд Риманы геометр зэрэг орно ерөнхий жишээ. Энэ томъёолол нь муруй шугаман координатыг ашиглах үед Евклидийн орон зайд бас тохиромжтой. Жишээлбэл, туйлын координатын хувьд:
Вектор урлагийн бүтээл
Пифагорын теорем нь вектор бүтээгдэхүүний хэмжээг илэрхийлэх хоёр илэрхийллийг холбодог. Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох нэг арга нь дараахь тэгшитгэлийг хангахыг шаарддаг.
Энэ томьёо нь цэгийн бүтээгдэхүүнийг ашигладаг. Баруун талтэгшитгэлийг Грам тодорхойлогч гэж нэрлэдэг аТэгээд б, энэ нь эдгээр хоёр векторын үүсгэсэн параллелограммын талбайтай тэнцүү байна. Энэ шаардлага, түүнчлэн вектор бүтээгдэхүүн нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд перпендикуляр байх шаардлагыг үндэслэнэ аТэгээд б 0 ба 1 хэмжээст орон зайн өчүүхэн тохиолдлоос бусад тохиолдолд хөндлөн үржвэрийг зөвхөн гурав ба долоон хэмжээстээр тодорхойлно. Бид өнцгийн тодорхойлолтыг ашигладаг n- хэмжээст орон зай:
Хөндлөн бүтээгдэхүүний энэ шинж чанар нь түүний хэмжээг дараах байдлаар өгдөг.
Пифагорын үндсэн тригонометрийн шинж чанараар бид түүний утгыг бичих өөр хэлбэрийг олж авдаг.
Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох өөр арга бол түүний хэмжээг илэрхийлэх илэрхийлэл юм. Дараа нь урвуу дарааллаар тайлбарласнаар бид скаляр бүтээгдэхүүнтэй холболтыг олж авна.
бас үзнэ үү
Тэмдэглэл
- Түүхийн сэдэв: Вавилоны математик дахь Пифагорын теорем
- ( , 351-р тал) 351-р тал
- ( , I боть, хуудас 144)
- Хэлэлцүүлэг түүхэн баримтууд(, 351-р тал) 351-д өгөгдсөн
- Курт фон Фриц (1945 оны 4-р сар). "Метапонтумын Гиппасын харьцуулшгүй байдлын нээлт". Математикийн он тооллын хоёрдугаар цуврал(Математикийн тэмдэглэл) 46 (2): 242–264.
- Льюис Кэррол, "Зангилаатай түүх", М., Мир, 1985, х. 7
- Асгер АабоэМатематикийн эхэн үеийн түүхийн хэсгүүд. - Америкийн Математикийн холбоо, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Python саналЭлиша Скотт Лоомис
- Евклидийнх Элементүүд: VI дэвтэр, VI санал 31: "Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд зөв өнцгөөс доошилсон талын дүрс нь зөв өнцгийг агуулсан талуудын ижил төстэй ба ижил төстэй дүрслэгдсэн дүрстэй тэнцүү байна."
- Лоуренс С.Лефф иш татсан ажил. - Барроны боловсролын цуврал. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Ховард Уитли Эвс§4.8:...Пифагорын теоремийн ерөнхий ойлголт // Математикийн агуу мөчүүд (1650 оноос өмнөх). - Америкийн Математикийн холбоо, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Табит ибн Корра (бүтэн нэр нь Табит ибн Курра ибн Марван Аль-Саби аль-Харрани) (МЭ 826-901) нь Евклидийн элементүүд болон бусад математикийн сэдвээр өргөнөөр бичсэн эмч юм.
- Айдын Сайли (1960 оны 3-р сар). "Табит ибн Куррагийн Пифагорын теоремийн ерөнхий дүгнэлт." Исис 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
- Жудит Д.Салли, Пол СаллиДасгал 2.10 (ii) // Иш татсан ажил. - P. 62. - ISBN 0821844032
- Ийм барилгын дэлгэрэнгүй мэдээллийг үзнэ үү Жорж ЖеннингсЗураг 1.32: Пифагорын ерөнхий теорем // Хэрэглээтэй орчин үеийн геометр: 150 дүрстэй. - 3 дахь. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Арлен Браун, Карл М.ПирсиЗүйл C: Дурын норм n-tuple ... // Шинжилгээний танилцуулга . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692Мөн 47-50-р хуудсыг үзнэ үү.
- Альфред Грей, Эльза Аббена, Саймон Саламон Mathematica-тай муруй ба гадаргуугийн орчин үеийн дифференциал геометр. - 3 дахь. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Ражендра БхатиаМатрицын шинжилгээ. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Стивен В.Хокинг иш татсан ажил. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Эрик В.ВейштейнХХЗХ-ны математикийн товч нэвтэрхий толь бичиг. - 2 дахь. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Александр Р. Прусс
Та квадрат язгуур болон иррационал тэгшитгэлийг (язгуур тэмдгийн доор үл мэдэгдэх тэгшитгэл) хэрхэн шийдвэрлэх талаар анх суралцаж эхлэхдээ тэдгээрийн практик хэрэглээг анх мэдэрсэн байх. Олборлох чадвар Квадрат язгуурПифагорын теоремыг ашиглан асуудлыг шийдэхийн тулд тооноос авах шаардлагатай. Энэ теорем нь аливаа тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урттай холбоотой байдаг.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн уртыг (зөв өнцгөөр нийлдэг хоёр тал) ба үсгээр, гипотенузын уртыг (зөв өнцгийн эсрэг байрлах гурвалжны хамгийн урт тал) дараах байдлаар тэмдэглэнэ. захидал. Дараа нь харгалзах уртууд дараах хамаарлаар холбогдоно.
Энэ тэгшитгэл нь тэгш өнцөгт гурвалжны нөгөө хоёр талын урт нь мэдэгдэж байгаа үед түүний хажуугийн уртыг олох боломжийг олгодог. Нэмж дурдахад энэ нь гурван талын уртыг урьдчилан мэдэж байгаа тохиолдолд тухайн гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин мөн эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Пифагорын теоремыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх
Материалыг нэгтгэхийн тулд бид Пифагорын теоремыг ашиглан дараах асуудлыг шийднэ.
Тиймээс, өгсөн:
- Нэг хөлний урт 48, гипотенуз 80 байна.
- Хөлийн урт 84, гипотенуз 91.
Шийдэл рүүгээ орцгооё:
a) Дээрх тэгшитгэлд өгөгдлийг орлуулснаар дараах үр дүн гарна.
48 2 + б 2 = 80 2
2304 + б 2 = 6400
б 2 = 4096
б= 64 эсвэл б = -64
Гурвалжны хажуугийн уртыг илэрхийлэх боломжгүй тул сөрөг тоо, хоёр дахь сонголтыг автоматаар устгана.
Эхний зургийн хариулт: б = 64.
б) Хоёр дахь гурвалжны хөлийн уртыг дараах байдлаар олно.
84 2 + б 2 = 91 2
7056 + б 2 = 8281
б 2 = 1225
б= 35 эсвэл б = -35
Өмнөх тохиолдлын адил сөрөг шийдвэрийг үгүйсгэдэг.
Хоёр дахь зургийн хариулт: б = 35
Бидэнд өгсөн:
- Гурвалжны жижиг талуудын урт нь тус тус 45 ба 55, том талууд нь 75 байна.
- Гурвалжны жижиг талуудын урт нь тус тус 28 ба 45, том талууд нь 53 байна.
Асуудлыг шийдье:
a) Өгөгдсөн гурвалжны богино талуудын уртын квадратуудын нийлбэр нь том хэсгийн уртын квадраттай тэнцүү эсэхийг шалгах шаардлагатай.
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Тиймээс эхний гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин биш юм.
б) Үүнтэй ижил үйлдлийг гүйцэтгэнэ:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Тиймээс хоёр дахь гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Эхлээд (-2, -3) ба (5, -2) координаттай цэгүүдээс үүссэн хамгийн том хэрчмийн уртыг олъё. Үүний тулд бид ашигладаг сайн мэддэг томъёоТэгш өнцөгт координатын системийн цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд:
Үүний нэгэн адил бид (-2, -3) ба (2, 1) координаттай цэгүүдийн хоорондох сегментийн уртыг олно.
Эцэст нь (2, 1) ба (5, -2) координат бүхий цэгүүдийн хоорондох сегментийн уртыг тодорхойлно.
Тэгш байдал нь дараах байдалтай байна.
тэгвэл харгалзах гурвалжин тэгш өнцөгт байна.
Тиймээс бид асуудлын хариултыг томъёолж болно: хамгийн богино урттай талуудын квадратуудын нийлбэр нь хамгийн урт талын квадраттай тэнцүү тул цэгүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжны орой юм.
Кабелийн уртыг олохын тулд суурь (хатуу хэвтээ байрлалтай), бэхэлгээ (хатуу босоо байрлалтай) ба кабель (диагональ сунасан) нь тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэдэг бөгөөд Пифагорын теоремыг ашиглаж болно.
Тиймээс кабелийн урт нь ойролцоогоор 3.6 метр болно.
Өгөгдсөн: R цэгээс P цэг хүртэлх зай (гурвалжны хөл) 24, R цэгээс Q цэг (гипотенуз) хүртэлх зай 26 байна.
Тиймээс Витад асуудлыг шийдвэрлэхэд нь тусалцгаая. Зурагт үзүүлсэн гурвалжны талууд нь тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэх ёстой тул гурав дахь талын уртыг олохын тулд Пифагорын теоремыг ашиглаж болно.
Тэгэхээр цөөрмийн өргөн нь 10 метр юм.
Сергей Валерьевич
Пифагорын теорем- Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг нь харилцааг тогтоодог
тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хооронд.
Үүнийг Грекийн математикч Пифагор нотолж, түүний нэрээр нэрлэсэн гэж үздэг.
Пифагорын теоремын геометрийн томъёолол.
Теоремыг анх дараах байдлаар томъёолсон.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбай нь квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
хөл дээр баригдсан.
Пифагорын теоремын алгебрийн томъёолол.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл гурвалжны гипотенузын уртыг тэмдэглэнэ в, мөн дамжин хөлний урт аТэгээд б:
Хоёр найрлага Пифагорын теоремтэнцүү байна, гэхдээ хоёр дахь томъёолол нь илүү энгийн, тийм биш юм
талбай гэсэн ойлголтыг шаарддаг. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь мэдэгдлийг тухайн газар нутгийн талаар юу ч мэдэхгүй байж шалгаж болно
тэгш өнцөгт гурвалжны зөвхөн талуудын уртыг хэмжих замаар.
Пифагорын теоремыг эргүүл.
Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол
зөв гурвалжин.
Эсвэл өөрөөр хэлбэл:
Гурав дахин эерэг тоо бүрт а, бТэгээд в, ийм
хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий аТэгээд бба гипотенуз в.
Хоёр талт гурвалжны Пифагорын теорем.
Адил талт гурвалжны Пифагорын теорем.
Пифагорын теоремын баталгаа.
Одоогийн байдлаар энэ теоремын 367 нотолгоо шинжлэх ухааны ном зохиолд бүртгэгдсэн байна. Магадгүй теорем
Пифагор бол ийм гайхалтай тооны нотолгоотой цорын ганц теорем юм. Ийм олон янз байдал
геометрийн хувьд теоремын үндсэн ач холбогдлоор л тайлбарлаж болно.
Мэдээжийн хэрэг, үзэл баримтлалын хувьд бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдний хамгийн алдартай нь:
нотлох баримт талбайн арга, аксиоматикТэгээд чамин нотолгоо(Жишээлбэл,
ашиглах замаар дифференциал тэгшитгэл).
1. Ижил төстэй гурвалжин ашиглан Пифагорын теоремыг батлах.
Алгебрийн томъёоллын дараах нотолгоо нь бүтээгдсэн нотлох баримтуудаас хамгийн энгийн нь юм
аксиомуудаас шууд. Ялангуяа дүрсийн талбайн тухай ойлголтыг ашигладаггүй.
Болъё ABCтэгш өнцөгт гурвалжин байдаг C. Эндээс өндрийг зуръя Cболон тэмдэглэнэ
дамжуулан түүний үндэс Х.
Гурвалжин ACHгурвалжинтай төстэй AB C хоёр буланд. Үүний нэгэн адил гурвалжин CBHтөстэй ABC.
Тэмдэглэгээг танилцуулснаар:
бид авах:
,
-тай тохирч байна
Эвхсэн а 2 ба б 2, бид авна:
эсвэл , энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
2. Талбайн аргыг ашиглан Пифагорын теоремыг батлах.
Доорх нотлох баримтууд нь хэдийгээр илэрхий энгийн боловч тийм ч энгийн зүйл биш юм. Тэд бүгд
Пифагорын теоремийн нотолгоог бодвол илүү төвөгтэй талбайн шинж чанарыг ашиглах.
- Тэнцвэр нөхөх замаар нотлох.
Дөрвөн тэгш өнцөгтийг зохион байгуулъя
зурагт үзүүлсэн шиг гурвалжин
баруун талд.
Хажуу талтай дөрвөлжин в- дөрвөлжин,
хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90° тул ба
эвхээгүй өнцөг - 180 °.
Бүх зургийн талбай тэнцүү, нэг талаас,
талтай дөрвөлжин талбай ( a+b), нөгөө талаас дөрвөн гурвалжны талбайн нийлбэр ба
Q.E.D.
3. Пифагорын теоремыг хязгааргүй жижиг аргаар батлах.
Зурагт үзүүлсэн зургийг харахад ба
хажуугийн өөрчлөлтийг харж байнаа, Бид чадна
дараах хамаарлыг хязгааргүй гэж бич
жижиг хажуугийн нэмэгдлүүд-тайТэгээд а(ижил төстэй байдлыг ашиглан
гурвалжин):
Хувьсагчийг салгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
Хоёр талын өсөлтийн үед гипотенузын өөрчлөлтийн илүү ерөнхий илэрхийлэл:
Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж, анхны нөхцлүүдийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тиймээс бид хүссэн хариултдаа хүрнэ:
Харахад хялбар, эцсийн томъёонд квадрат хамаарал нь шугаман байдлаас болж гарч ирдэг
гурвалжны талууд ба өсөлтийн хоорондох пропорциональ, харин нийлбэр нь бие даасан байдалтай холбоотой.
янз бүрийн хөлний өсөлтөөс оруулсан хувь нэмэр.
Хэрэв хөлний аль нэг нь өсөхгүй гэж үзвэл илүү энгийн нотолгоо олж авах боломжтой
(энэ тохиолдолд хөл б). Интеграцийн тогтмолын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.
Пифагорын теорем
Үүний нэгэн адил CBH гурвалжин нь ABC-тэй төстэй. Тэмдэглэгээг танилцуулснаар 
1. Зурагт үзүүлсэн шиг тэгш дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжинг байрлуул. 
Евклидийн нотлох санаа нь дараах байдалтай байна: гипотенуз дээр баригдсан талбайн тал хувь нь хөл дээр баригдсан квадратуудын хагас талбайн нийлбэр, дараа нь талбайн талбайтай тэнцүү гэдгийг батлахыг хичээцгээе. том ба хоёр жижиг дөрвөлжин тэнцүү байна. Зүүн талд байгаа зургийг харцгаая. Үүн дээр бид тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал дээр квадратуудыг барьж, AB гипотенузтай перпендикуляр C өнцгийн оройноос s туяа татсан бөгөөд энэ нь гипотенуз дээр баригдсан ABIK квадратыг BHJI ба HAKJ гэсэн хоёр тэгш өнцөгт болгон таслав. тус тус. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн талбайнууд нь харгалзах хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайтай яг тэнцүү байна. DECA квадратын талбай нь AHJK тэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү гэдгийг батлахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид туслах ажиглалтыг ашиглана: Гурвалжны талбай нь ижил өндөр ба суурьтай. өгөгдсөн тэгш өнцөгт нь өгөгдсөн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна. Энэ нь гурвалжны талбайг суурь ба өндрийн үржвэрийн тал хувь гэж тодорхойлсоны үр дагавар юм. Энэхүү ажиглалтаас харахад ACK гурвалжны талбай нь AHK гурвалжны талбайтай тэнцүү байна (зураг дээр харуулаагүй), энэ нь эргээд AHJK тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна. ACK гурвалжны талбай нь DECA квадратын талтай тэнцүү гэдгийг одоо баталцгаая. Үүний тулд хийх ёстой цорын ганц зүйл бол ACK ба BDA гурвалжны тэгш байдлыг нотлох явдал юм (Учир нь BDA гурвалжны талбай нь дээрх шинж чанарын дагуу талбайн талбайн талтай тэнцүү). Энэ тэгш байдал нь ойлгомжтой, гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна. Тухайлбал - AB=AK,AD=AC - CAK ба BAD өнцгүүдийн тэгш байдлыг хөдөлгөөний аргаар нотлоход хялбар: бид CAK гурвалжинг цагийн зүүний эсрэг 90° эргүүлэхэд хоёр гурвалжны харгалзах талууд нь тодорхой байна. асуулт давхцах болно (дөрвөлжингийн орой дээрх өнцөг нь 90 ° байдаг тул). BCFG дөрвөлжин ба BHJI тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлын үндэслэл нь бүрэн төстэй юм. Ийнхүү гипотенуз дээр баригдсан дөрвөлжин талбай нь хөл дээр баригдсан дөрвөлжин талбайнуудаас бүрддэг болохыг бид нотолсон. 
Зургийг авч үзье, тэгш хэмээс харахад CI сегмент нь ABHJ квадратыг ижил хоёр хэсэгт хуваасан (ABC ба JHI гурвалжин нь барилгын хувьд тэнцүү тул). Цагийн зүүний эсрэг 90 градусын эргэлтийг ашигласнаар бид CAJI ба GDAB гэсэн сүүдэртэй тоонуудын тэгш байдлыг харж байна. Одоо бидний сүүдэрлэсэн зургийн талбай нь хөл дээр баригдсан талбайн тал болон анхны гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцэх нь тодорхой байна. Нөгөө талаас, энэ нь гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбайн хагастай тэнцүү бөгөөд анхны гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Нотолгооны сүүлчийн алхамыг уншигчдад үлдээнэ.
