Аль талуудын өнцөг нь нөгөө талын талуудын үргэлжлэл юм. Босоо болон зэргэлдээх өнцөг

Хичээл 8. Босоо өнцөг. Хэрэв нэг өнцгийн талууд нь нөгөөгийн талуудын үргэлжлэл бол хоёр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг. ТЕОРЕМ. Босоо өнцөг нь тэнцүү байна. Баталгаа: = = 180 Үүнтэй адил = = = 3 2 = 4 Бодлогын шийдэл: 64, 66 Гэрийн даалгавар: догол мөр 11, 66, 67

Математикийн диктант. Сонголт 1. 1. Өгүүлбэрийг гүйцээнэ үү: “Хэрэв 1 ба 2 өнцгүүд зэргэлдээ байвал тэдгээрийн нийлбэр нь...” 2. 30 градусын өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг хурц, мохоо эсвэл зөв байх уу? 3. Хоёр өнцгийн нийлбэр 180 градус байна. Эдгээр өнцөг нь заавал зэргэлдээ байх уу? 4. AM ба CE шугамууд тэдгээрийн хооронд орших О цэг дээр огтлолцоно. Та босоо өнцгийг олж авсан уу? Хэрэв тийм бол тэдгээрийг нэрлэ. 5. Түүнтэй босоо өнцөг нь 34 градус байвал ямар өнцөг байх вэ? 6. Хоёр шулууны огтлолцолоос үүссэн дөрвөн өнцгийн нэг нь 140 градустай тэнцүү байна. Үлдсэн өнцөг нь юу вэ? 7. Хоёр булан нь нийтлэг оройтой, эхний өнцөг нь 40 градус, хоёр дахь нь 140 градус байна. Эдгээр өнцөг нь босоо байна уу? Сонголт 2. 1. Өгүүлбэрийг гүйцээнэ үү: “Нэг тал нь нийтлэг бол хоёр өнцгийг зэргэлдээ гэнэ, нөгөө нь...” 2. 130 градусын өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг хурц, мохоо эсвэл зөв байх уу? 3. Нийтлэг тал нь 180 градустай хоёр өнцгийн нийлбэр. Эдгээр өнцөг нь заавал зэргэлдээ байх уу? 4. Оюутан 2 босоо өнцөг барьсан. Үүний үр дүнд хэдэн хос шугам үүссэн бэ? 5. Хоёр өнцөг нь нийтлэг оройтой бөгөөд эдгээр өнцөг тус бүр нь 60 градус байна. Эдгээр өнцөг нь босоо байх ёстой юу? 6. Хоёр шулууны огтлолцолоос үүссэн дөрвөн өнцгийн нэг нь 80 градустай тэнцүү байна. Үлдсэн өнцөг нь юу вэ? 7. Түүнтэй босоо өнцөг нь 120 градус байвал ямар өнцөг байх вэ?

Хариултууд. 1. 180 градустай тэнцүү 2. мохоо өнцөг 3. Үгүй 4. AOC ба EOM өнцөг, AOE ба COM градус ба 40 градус 7. Тийм 1. Нэмэлт цацраг 2. Хурц өнцөг 3. Үгүй 4. Нэг хос 5. Үгүй ба 100 градусын градус

Геометр бол маш олон талт шинжлэх ухаан юм. Энэ нь логик, төсөөлөл, оюун ухааныг хөгжүүлдэг. Мэдээжийн хэрэг, нарийн төвөгтэй байдлаасаа болоод их хэмжээнийТеорем, аксиом, сургуулийн сурагчдад тэр бүр таалагддаггүй. Үүнээс гадна нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн стандарт, дүрмийг ашиглан дүгнэлтээ байнга нотлох шаардлагатай байдаг.

Зэргэлдээх болон босоо өнцөг нь геометрийн салшгүй хэсэг юм. Тэдний шинж чанар нь тодорхой бөгөөд нотлоход хялбар байдаг тул олон сургуулийн сурагчид тэднийг биширдэг нь лавтай.

Булан үүсэх

Хоёр шулууныг огтолж эсвэл нэг цэгээс хоёр туяа татахад аливаа өнцөг үүсдэг. Тэдгээрийг нэг үсэг эсвэл гурван үсэг гэж нэрлэж болох бөгөөд энэ нь өнцгийг бий болгох цэгүүдийг дараалан зааж өгдөг.

Өнцөг нь градусаар хэмжигддэг бөгөөд (тэдгээрийн утгаас хамааран) өөр өөрөөр нэрлэж болно. Тэгэхээр, зөв ​​өнцөг, хурц, мохоо, задарсан байдаг. Нэр бүр нь тодорхой хэмжүүр эсвэл түүний интервалтай тохирч байна.

Хурц өнцөг нь хэмжигдэхүүн нь 90 градусаас хэтрэхгүй өнцөг юм.

Мохоо өнцөг нь 90 градусаас их өнцөг юм.

Өнцгийн хэмжүүр нь 90 бол өнцгийг зөв гэж нэрлэдэг.

Энэ нь нэг тасралтгүй шулуун шугамаар үүсгэгдсэн бөгөөд түүний хэмжүүр нь 180 байвал түүнийг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь тал нь бие биенээ үргэлжилдэг нийтлэг талтай өнцгийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Тэд хурц эсвэл мохоо байж болно. Шугамын огтлолцол нь зэргэлдээ өнцөг үүсгэдэг. Тэдний шинж чанарууд нь дараах байдалтай байна.

1. Ийм өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байх болно (үүнийг нотлох теорем байдаг). Тиймээс, хэрэв нөгөө нь мэдэгдэж байгаа бол аль нэгийг нь хялбархан тооцоолж болно.
2. Эхний цэгээс харахад зэргэлдээх өнцгийг хоёр мохоо эсвэл хоёр хурц өнцгөөр үүсгэж болохгүй.

Эдгээр шинж чанаруудын ачаар өөр өнцгийн утгыг эсвэл ядаж тэдгээрийн хоорондын харьцааг харгалзан өнцгийн градусын хэмжүүрийг тооцоолох боломжтой байдаг.

Босоо өнцөг

Талууд нь бие биенийхээ үргэлжлэл байдаг өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг. Тэдний аль ч сорт нь ийм хос болж чаддаг. Босоо өнцөг нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг.

Шулуун шугамууд огтлолцох үед тэдгээр нь үүсдэг. Тэдгээрийн хамт зэргэлдээх өнцөг нь үргэлж байдаг. Нэг өнцөг нь нэгэн зэрэг зэргэлдээ, нөгөөд нь босоо байж болно.

Дурын шугамыг гатлахдаа өөр хэд хэдэн төрлийн өнцгийг мөн авч үздэг. Ийм шугамыг таслах шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь харгалзах, нэг талт, хөндлөн хэвтэх өнцөг үүсгэдэг. Тэд бие биетэйгээ тэнцүү. Тэдгээрийг босоо болон зэргэлдээх өнцгүүдийн шинж чанаруудын үүднээс авч үзэх боломжтой.

Тиймээс өнцгийн сэдэв нь маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой юм шиг санагддаг. Тэдний бүх шинж чанарыг санаж, батлахад хялбар байдаг. Өнцөг таарч байвал асуудлыг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагддаг тоон утга. Хожим нь нүгэл, косын судалгаа эхлэхэд та маш их цээжлэх хэрэгтэй болно нарийн төвөгтэй томъёо, тэдгээрийн дүгнэлт, үр дагавар. Тэр болтол та зэргэлдээх өнцгүүдийг олох хэрэгтэй хялбар оньсого тоглох боломжтой.

I БҮЛЭГ.

ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ.

§арван нэгэн. ЗАЛУУ БОЛОН БОСОО БУЛАНГУУД.

1. Зэргэлдээх өнцөг.

Хэрэв бид аль ч өнцгийн талыг оройноос нь цааш сунгавал бид хоёр өнцөг авна (Зураг 72). / Мөн нар ба / SVD, нэг тал нь BC нийтлэг, нөгөө хоёр A ба BD нь шулуун шугам үүсгэдэг.

Нэг тал нь нийтлэг, нөгөө хоёр нь шулуун шугам үүсгэдэг хоёр өнцгийг зэргэлдээ өнцөг гэнэ.

Зэргэлдээх өнцгийг мөн ийм аргаар олж авч болно: хэрэв бид шугамын аль нэг цэгээс туяа татвал (өгөгдсөн шугам дээр хэвтэхгүй) бид зэргэлдээ өнцгийг олж авна.
Жишээлбэл, / ADF болон / FDВ - зэргэлдээх өнцөг (Зураг 73).

Зэргэлдээх өнцөг нь олон янзын байрлалтай байж болно (Зураг 74).

Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь шулуун өнцгийг үүсгэдэг зэргэлдээх хоёр өнцгийн умма тэнцүү байна 2г.

Тиймээс зөв өнцгийг түүний хажуугийн өнцөгтэй тэнцүү өнцөг гэж тодорхойлж болно.

Зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгнийх нь хэмжээг мэдсэнээр түүний хажууд байгаа нөгөө өнцгийн хэмжээг олох боломжтой.

Жишээлбэл, зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэг нь 3/5 бол г, дараа нь хоёр дахь өнцөг нь тэнцүү байх болно:

2г- 3 / 5 г= л 2/5 г.

2. Босоо өнцөг.

Хэрэв бид өнцгийн талуудыг оройноос нь цааш сунгавал бид босоо өнцгийг олж авна. 75-р зурагт EOF ба AOC өнцөг нь босоо байна; AOE болон COF өнцөг нь мөн босоо байна.

Нэг өнцгийн талууд нь нөгөө өнцгийн талуудын үргэлжлэл бол хоёр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг.

Болъё / 1 = 7 / 8 г(Зураг 76). Түүний хажууд / 2 нь 2-той тэнцүү байх болно г- 7 / 8 г, өөрөөр хэлбэл 1 1/8 г.

Үүнтэй адилаар та тэдгээр нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолж болно / 3 ба / 4.
/ 3 = 2г - 1 1 / 8 г = 7 / 8 г; / 4 = 2г - 7 / 8 г = 1 1 / 8 г(Диаграм 77).

Бид үүнийг харж байна / 1 = / 3 ба / 2 = / 4.

Та хэд хэдэн ижил асуудлыг шийдэж болох бөгөөд тэр болгонд ижил үр дүнд хүрэх болно: босоо өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч босоо өнцөг нь бие биентэйгээ үргэлж тэнцүү байхын тулд хувь хүнийг авч үзэх нь хангалтгүй юм тоон жишээнүүд, учир нь тодорхой жишээн дээр үндэслэн хийсэн дүгнэлтүүд заримдаа алдаатай байж болно.

Босоо өнцгийн шинж чанаруудын үнэн зөвийг үндэслэл, нотолгоогоор шалгах шаардлагатай.

Баталгаажуулалтыг дараах байдлаар хийж болно (Зураг 78).

/ a+/ в = 2г;
/ б+/ в = 2г;

(зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 2 тул г).

/ a+/ в = / б+/ в

(түүнчлэн зүүн талЭнэ тэгшитгэл нь 2-той тэнцүү байна г, мөн түүний баруун тал нь мөн 2-той тэнцүү байна г).

Энэ тэгш байдал нь ижил өнцгийг агуулдаг -тай.

Хэрэв бид ижил тоо хэмжээнээс тэнцүү дүнг хасвал тэнцүү дүн үлдэнэ. Үр дүн нь: / а = / б, өөрөөр хэлбэл босоо өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Босоо өнцгийн асуудлыг авч үзэхдээ эхлээд аль өнцгийг босоо гэж нэрлэдэгийг тайлбарлав. тодорхойлолтбосоо өнцөг.

Дараа нь бид босоо өнцгүүдийн тэгш байдлын талаар дүгнэлт (мэдэгдэл) хийж, нотлох баримтаар дамжуулан энэхүү дүгнэлтийн үндэслэлтэй гэдэгт итгэлтэй байсан. Хүчин төгөлдөр байдал нь нотлогдох ёстой ийм шүүлтүүдийг дууддаг теоремууд. Тиймээс энэ хэсэгт бид босоо өнцгийн тодорхойлолтыг өгч, мөн тэдгээрийн шинж чанарын талаархи теоремыг хэлж, нотолсон.

Ирээдүйд геометрийг судлахдаа бид теоремын тодорхойлолт, нотолгоотой байнга тулгарах болно.

3. Нийтлэг оройтой өнцгүүдийн нийлбэр.

Зураг дээр 79 / 1, / 2, / 3 ба / 4 нь шугамын нэг талд байрлах ба энэ мөрөнд нийтлэг оройтой байна. Дүгнэж хэлэхэд, эдгээр өнцөг нь шулуун өнцгийг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2г.

Зураг дээр 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ба / 5 нь нийтлэг оройтой. Дүгнэж хэлэхэд эдгээр өнцөг нь бүтэн өнцгийг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4г.

Дасгал.

1. Зэргэлдээх өнцгүүдийн нэг нь 0.72 г.Эдгээр зэргэлдээ өнцгүүдийн биссектрисаар үүсгэсэн өнцгийг тооцоол.

2. Зэргэлдээх хоёр өнцгийн биссектриса нь тэгш өнцөг үүсгэдгийг батал.

3. Хоёр өнцөг тэнцүү бол тэдгээрийн зэргэлдээх өнцөг нь мөн тэнцүү болохыг батал.

4. 81-р зурагт хэдэн хос зэргэлдээ өнцөг байгаа вэ?

5. Зэргэлдээх хос өнцөг нь хоёр хурц өнцөгөөс тогтох уу? хоёр мохоо өнцгөөс? зөв ба мохоо өнцгөөс? зөв ба хурц өнцгөөс?

6. Хэрэв зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэг нь зөв байвал түүнтэй зэргэлдээх өнцгийн хэмжээг юу гэж хэлж болох вэ?

7. Хоёр шулууны огтлолцол дээр нэг өнцөг зөв байвал бусад гурван өнцгийн хэмжээг юу гэж хэлж болох вэ?