Логарифмын товч шинж чанарууд. Логарифм томъёо

Логарифм гэж юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.

Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Надад итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын дотор та:

1. Та ойлгох болно логарифм гэж юу вэ.

2. Бүтэн ангиллын экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж сур. Та тэдний талаар юу ч сонсоогүй байсан ч гэсэн.

3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.

Түүгээр ч барахгүй, үүний тулд та зөвхөн үржүүлгийн хүснэгт болон тоог хэрхэн хүчирхэг болгох талаар мэдэх хэрэгтэй.

Чамд эргэлзэж байх шиг байна... За за, цагаа тэмдэглээрэй! Яв!

Эхлээд энэ тэгшитгэлийг толгой дээрээ шийд:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Танил байх, ... харилцаатай байх

нөгөө хоёр өгөгдсөн тооноос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Хэрэв a ба дараа нь N өгөгдсөн бол тэдгээрийг илтгэгчээр олно. Хэрэв N ба дараа нь a-г х зэрэглэлийн үндсийг авч (эсвэл түүнийг зэрэгт өсгөж) өгвөл. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд бид x-ийг олох хэрэгтэй болсон тохиолдлыг авч үзье.

N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .

Тодорхойлолт. N тооны а суурийн логарифм нь N тоог авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ

Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгчийг N-ийн логарифм гэж олно. Бичлэгүүд

ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; бодит байдал дээр энэ нь логарифмын ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтЛогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифмын тоо N эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь . Энд байгаа нөхцөл нь чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно, учир нь тэгш байдал нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.

Жишээ 1. Хай

Шийдэл. Тоо авахын тулд та 2-р суурийг өсгөх ёстой.

Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр тэмдэглэл хийж болно.

Жишээ 2. Ол.

Шийдэл. Бидэнд байгаа

1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифмын тоог рационал илтгэгчтэй суурийн зэрэглэлээр төлөөлүүлэн хүссэн логарифмийг хялбархан олсон. IN ерөнхий тохиолдол, жишээ нь, for, гэх мэт, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуудалд анхаарлаа хандуулъя. 12-р зүйлд бид өгөгдсөн эерэг тооны бодит хүчийг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг өгсөн. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.

Логарифмын зарим шинж чанарыг харцгаая.

Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор бидэнд байгаа ба хаанаас

Үүний эсрэгээр, дараа нь тодорхойлолтоор үзье

Өмч 2. Аль ч суурийн нэгээс логарифм нь тэгтэй тэнцүү.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс

Q.E.D.

Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .

Логарифмын дараагийн шинж чанарыг томъёолохын өмнө a ба b хоёр тоо нь хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг хэлье. Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол тэдгээрийг c-ийн эсрэг талд байрладаг гэж хэлэх болно.

Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын нэг талд байвал логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын эсрэг талд байвал логарифм нь сөрөг байна.

3-р өмчийн нотолгоо нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн чадал нэгээс их байх дээр үндэслэсэн болно. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал хүч нь нэгээс бага байна.

Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй:

Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээ хийхээр хязгаарлагдах болно, үлдсэнийг нь уншигч өөрөө авч үзэх болно.

Тэгэхэд экспонент нь сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тиймээс энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байна.

Жишээ 3. Доорх логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг ол.

Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэг талын нэг талд байрладаг тул;

б) 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; энэ тохиолдолд суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;

в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;

G); Яагаад?

г); Яагаад?

Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, коэффициент, тэдгээрийн зэрэглэлийг олох боломжийг олгодог.

Property 4 (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм энэ үндэс нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмуудыг ижил суурьтай.

Баталгаа. Өгөгдсөн тоонууд эерэг байг.

Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмийг тодорхойлсон тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.

Эндээс бид олох болно

Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёрын үржвэрийн логарифм сөрөг тоонуудутга учиртай, гэхдээ энэ тохиолдолд бид авдаг

Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн үнэмлэхүй утгуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

5-р шинж чанар (хэсгийн логарифм авах дүрэм). Эерэг тоонуудын логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмуудын ялгааг ижил суурьтай тэнцүү байна. Баталгаа. Бид байнга олдог

Q.E.D.

Property 6 (чадлын логарифмын дүрэм). Аливаа эерэг тооны чадлын логарифм нь тухайн тооны логарифмыг илтгэгчээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Тооны үндсэн таних тэмдгийг (26.1) дахин бичье.

Q.E.D.

Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь радикалын логарифмыг язгуурын илтгэгчид хуваасантай тэнцүү байна.

Энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг өмч 6 хэрхэн, хэрхэн ашиглахыг төсөөлж батлах боломжтой.

Жишээ 4. Логарифмыг a суурь болгон авна уу:

a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);

б) (энэ гэж таамаглаж байна).

Шийдэл, a) Энэ илэрхийлэлд бутархай тоонд шилжих нь тохиромжтой.

(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:

Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгдэж байгааг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхдээ тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.

Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигладаг (29-р зүйлийг үз).

Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциал гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээс тухайн тоог олох үйлдэл юм. Үндсэндээ потенциаци нь тийм биш юм тусгай арга хэмжээ: энэ нь суурийн хүчийг (тооны логарифмтай тэнцүү) өсгөхөд хүргэдэг. "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.

Потенциацилахдаа логарифмын дүрэмтэй урвуу дүрмийг ашиглах ёстой: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм, логарифмын зөрүүг хуваалтын логарифмээр солих гэх мэт. Ялангуяа, хэрэв урд талын хүчин зүйл байвал. логарифмын тэмдгийн дагуу, дараа нь потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор экспонентын зэрэгт шилжих ёстой.

Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол

Шийдэл. Дөнгөж хэлсэн потенциацийн дүрэмтэй холбогдуулан бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгийн өмнө байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч болгон шилжүүлнэ; бид авдаг

Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:

Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг олж авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р хэсэг).

Property 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их байвал илүү их тоотом логарифмтай (мөн бага тоо нь багатай), хэрэв суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн бага тоо нь том хэмжээтэй).

Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифм авах дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд хоёр тал нь эерэг байна.

Тэгш бус байдлыг нэгээс их суурьтай болгоход тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах ба нэгээс бага суурьтай тэнцүү бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).

Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмуудыг авч үзвэл бид гарах тохиолдлыг авч үзье.

(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс

Дараах тохиолдолд уншигч үүнийг өөрөө олох болно.

Нийгэм хөгжиж, үйлдвэрлэл ээдрээтэй болохын хэрээр математик ч хөгжсөн. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжих хөдөлгөөн. Нэмэх, хасах аргыг ашигладаг энгийн нягтлан бодох бүртгэлээс бид тэдгээрийг олон удаа давтах замаар үржүүлэх, хуваах тухай ойлголттой болсон. Үржүүлэхийн давтагдах үйлдлийг багасгах нь экспонентацийн ойлголт болсон. Тоонуудын суурь ба экспонентацийн тооноос хамаарах анхны хүснэгтүүдийг Энэтхэгийн математикч Варасена 8-р зуунд эмхэтгэсэн. Тэдгээрээс та логарифм үүсэх цагийг тоолж болно.

Түүхэн ноорог

16-р зуунд Европ дахин сэргэсэн нь механикийн хөгжилд түлхэц өгсөн. Т их хэмжээний тооцоолол шаарддаголон оронтой тоог үржүүлэх, хуваахтай холбоотой. Эртний ширээ нь маш сайн үйлчилгээтэй байсан. Тэд нарийн төвөгтэй үйлдлүүдийг илүү энгийн зүйлээр солих боломжтой болсон - нэмэх, хасах. Математикч Майкл Стифелийн 1544 онд хэвлэгдсэн олон математикчдын санааг хэрэгжүүлсэн ажил нь урагшлах том алхам байв. Энэ нь хүснэгтийг зөвхөн анхны тоо хэлбэрээр төдийгүй дурын рациональ тоонуудын хувьд ашиглах боломжтой болгосон.

1614 онд шотланд хүн Жон Непьер эдгээр санааг хөгжүүлж байхдаа "тооны логарифм" гэсэн шинэ нэр томъёог анх нэвтрүүлсэн. Шинэ нарийн төвөгтэй хүснэгтүүдсинус ба косинусын логарифм, түүнчлэн шүргэгчийг тооцоолоход зориулагдсан. Энэ нь одон орон судлаачдын ажлыг ихээхэн бууруулсан.

Гурван зууны турш эрдэмтэд амжилттай ашиглаж байсан шинэ хүснэгтүүд гарч ирэв. Өмнө нь маш их хугацаа өнгөрсөн шинэ ажиллагааалгебрийн хувьд энэ нь бүрэн хэлбэрээ олж авсан. Логарифмын тодорхойлолтыг өгч, шинж чанарыг нь судалсан.

Зөвхөн 20-р зуунд тооны машин, компьютер бий болсноор хүн төрөлхтөн 13-р зууны турш амжилттай ажиллаж байсан эртний хүснэгтүүдийг орхисон.

Өнөөдөр бид a-ийн суурь болох b-ийн логарифмыг x тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь b-ийн хүчин чадал юм. Үүнийг томъёогоор бичнэ: x = log a(b).

Жишээлбэл, log 3(9) нь 2-той тэнцүү байх болно. Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл энэ нь ойлгомжтой. Хэрэв бид 3-ыг 2-ын зэрэглэлд өсгөвөл бид 9-ийг авна.

Тиймээс томъёолсон тодорхойлолт нь зөвхөн нэг хязгаарлалтыг тогтоодог: a ба b тоонууд бодит байх ёстой.

Логарифмын төрлүүд

Сонгодог тодорхойлолтыг бодит логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд үнэндээ a x = b тэгшитгэлийн шийдэл юм. Сонголт a = 1 нь хил хязгаар бөгөөд сонирхолгүй. Анхаар: Аливаа хүчинд 1 нь 1-тэй тэнцүү байна.

Логарифмын бодит утгасуурь болон аргумент нь 0-ээс их байх үед л тодорхойлогддог бөгөөд суурь нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй.

Математикийн салбарт онцгой байр суурь эзэлдэглогарифмуудыг тоглуулж, тэдгээрийн суурийн хэмжээнээс хамааран нэрлэнэ:

Дүрэм ба хязгаарлалт

Логарифмын үндсэн шинж чанар нь дүрэм юм: бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна. log abp = log a(b) + log a(p).

Энэ мэдэгдлийн хувилбарын хувьд: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) байх болно, хуваах функц нь функцүүдийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Өмнөх хоёр дүрмээс харахад амархан: log a(b p) = p * log a(b).

Бусад шинж чанарууд нь:

Сэтгэгдэл. Нийтлэг алдаа гаргах шаардлагагүй - нийлбэрийн логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү биш юм.

Олон зууны турш логарифм олох ажиллагаа нь нэлээд цаг хугацаа шаардсан ажил байв. Математикчид ашигласан сайн мэддэг томъёоОлон гишүүнт тэлэлтийн логарифмын онол:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), энд n - натурал тоо 1-ээс их байх нь тооцооны үнэн зөвийг тодорхойлдог.

Бусад суурьтай логарифмыг нэг баазаас нөгөөд шилжих тухай теорем болон үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг ашиглан тооцоолсон.

Энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практик асуудлыг шийдвэрлэх үедхэрэгжүүлэхэд хэцүү байсан тул бид урьдчилан эмхэтгэсэн логарифмын хүснэгтүүдийг ашигласан бөгөөд энэ нь бүх ажлыг ихээхэн хурдасгасан.

Зарим тохиолдолд тусгайлан боловсруулсан логарифм график ашигласан бөгөөд энэ нь нарийвчлал багатай боловч хайлтыг ихээхэн хурдасгасан. хүссэн үнэ цэнэ. Хэд хэдэн цэг дээр баригдсан y = log a(x) функцийн муруй нь ердийн захирагч ашиглан өөр ямар ч цэг дээрх функцийн утгыг олох боломжийг олгодог. Инженерүүд урт хугацааЭдгээр зорилгоор график цаас гэж нэрлэгддэг цаасыг ашигласан.

17-р зуунд анхны туслах аналог тооцоолох нөхцөлүүд гарч ирэв 19-р зуундууссан дүр төрхийг олж авсан. Хамгийн амжилттай төхөөрөмжийг слайд дүрэм гэж нэрлэдэг. Төхөөрөмжийн энгийн байдлыг үл харгалзан түүний гадаад төрх нь бүх инженерийн тооцооллын үйл явцыг ихээхэн хурдасгасан бөгөөд үүнийг хэт үнэлэхэд хэцүү байдаг. Одоогийн байдлаар цөөхөн хүн энэ төхөөрөмжийг мэддэг.

Тооны машин, компьютер гарч ирснээр бусад төхөөрөмжүүдийн хэрэглээг утгагүй болгосон.

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Логарифм ашиглан янз бүрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь томъёог ашиглана.

• Нэг баазаас нөгөөд шилжих: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Өмнөх сонголтын үр дүнд: log a(b) = 1 / log b(a).

Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг мэдэх нь зүйтэй.

• Суурь болон аргумент хоёулаа нэгээс их эсвэл бага байвал л логарифмын утга эерэг байх болно; хэрэв дор хаяж нэг нөхцөл зөрчсөн бол логарифмын утга сөрөг байна.
• Хэрэв логарифмын функцийг тэгш бус байдлын баруун ба зүүн талд хэрэглэж, логарифмын суурь нь нэгээс их байвал тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдана; тэгэхгүй бол өөрчлөгдөнө.

Жишээ асуудлууд

Логарифм ба тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэл шийдвэрлэх жишээ:

Логарифмыг зэрэгт байрлуулах сонголтыг авч үзье.

• Бодлого 3. 25^log 5(3)-ыг тооцоол. Шийдэл: асуудлын нөхцөлд оруулга нь дараах (5^2)^log5(3) эсвэл 5^(2 * log 5(3))-тай төстэй байна. Үүнийг өөрөөр бичье: 5^log 5(3*2), эсвэл функцын аргумент болох тооны квадратыг функцийн өөрийнх нь квадрат (5^log 5(3))^2 гэж бичиж болно. Логарифмын шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийлэл нь 3^2-тэй тэнцүү байна. Хариулт: Тооцооллын үр дүнд бид 9-ийг авна.

Практик хэрэглээ

Энэ нь цэвэр математикийн хэрэгсэл учраас тийм ч хол юм шиг санагддаг жинхэнэ амьдраллогарифм гэнэт олж авсан их ач холбогдолбодит ертөнцийн объектуудыг дүрслэх. Ашиглагдаагүй шинжлэх ухааныг олоход хэцүү байдаг. Энэ нь зөвхөн байгалийн төдийгүй хүмүүнлэгийн мэдлэгийн салбарт бүрэн хамаатай.

Логарифмын хамаарал

Зарим жишээ хэлье тоон хамаарал:

Механик ба физик

Түүхээс харахад механик, физик нь үргэлж ашиглан хөгжиж ирсэн математик аргуудсудалгаа хийж, нэгэн зэрэг математик, түүний дотор логарифмыг хөгжүүлэх хөшүүрэг болсон. Физикийн ихэнх хуулиудын онолыг математикийн хэлээр бичдэг. Тодорхойлолтын хоёрхон жишээг хэлье физикийн хуулиудлогарифм ашиглан.

Пуужингийн хурд гэх мэт нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох асуудлыг Циолковскийн томъёогоор шийдэж болох бөгөөд энэ нь сансар судлалын онолын үндэс суурийг тавьсан юм.

V = I * ln (M1/M2), хаана

• V нь онгоцны эцсийн хурд юм.
• I - хөдөлгүүрийн тодорхой импульс.
• M 1 - пуужингийн анхны масс.
• M 2 - эцсийн масс.

Өөр нэг чухал жишээ- энэ нь термодинамик дахь тэнцвэрийн төлөвийг үнэлэх өөр нэг агуу эрдэмтэн Макс Планкийн томъёонд хэрэглэгддэг.

S = k * ln (Ω), хаана

• S - термодинамик шинж чанар.
• k – Больцманы тогтмол.
• Ω нь янз бүрийн мужуудын статистик жин юм.

Хими

Химийн шинжлэх ухаанд логарифмын харьцааг агуулсан томъёог ашиглах нь тийм ч ойлгомжтой биш юм. Хоёрхон жишээ хэлье:

• Нернстийн тэгшитгэл, бодисын идэвхжил, тэнцвэрийн тогтмолтай холбоотой орчны исэлдэлтийн потенциалын нөхцөл.
• Автолизийн индекс ба уусмалын хүчиллэг зэрэг тогтмол үзүүлэлтүүдийн тооцоог бидний үйл ажиллагаагүйгээр хийх боломжгүй юм.

Сэтгэл судлал, биологи

Мөн сэтгэл судлал үүнтэй ямар холбоотой вэ гэдэг нь тодорхойгүй байна. Мэдрэхүйн хүчийг энэ функцээр өдөөлтийн эрчмийн утгыг доод эрчимтэй урвуу харьцаа гэж сайн тодорхойлсон байдаг.

Дээрх жишээнүүдийн дараа биологид логарифмын сэдвийг өргөнөөр ашиглах болсон нь гайхах зүйлгүй болсон. Логарифмын спиральд тохирох биологийн хэлбэрүүдийн талаар бүхэл бүтэн боть бичиж болно.

Бусад бүс нутаг

Энэ функцтэй холбоогүй бол ертөнц оршин тогтнох боломжгүй мэт санагдаж, бүх хуулийг захирдаг. Тэр тусмаа байгалийн хуулиуд холбоотой байх үед геометрийн прогресс. MatProfi вэбсайт руу хандах нь зүйтэй бөгөөд дараах үйл ажиллагааны чиглэлээр ийм олон жишээ бий.

Жагсаалт төгсгөлгүй байж болно. Энэ функцийн үндсэн зарчмуудыг эзэмшсэний дараа та хязгааргүй мэргэн ухааны ертөнцөд орох боломжтой.

Өнөөдөр бид ярих болно логарифм томъёомөн бид заалт өгөх болно шийдлийн жишээнүүд.

Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Логарифмын томъёог шийдэхийн өмнө бүх шинж чанаруудыг сануулъя:

Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулах болно Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Логарифм a суурийн эерэг тоо b (log a b гэж тэмдэглэсэн) нь b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд a-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тодорхойлолтоор log a b = x буюу a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x гэж бичнэ.

Логарифм, жишээнүүд:

бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8

бүртгэл 7 49 = 2, учир нь 7 2 = 49

бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5

Аравтын логарифм- энэ бол энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. Үүнийг lg гэж тэмдэглэнэ.

бүртгэл 10 100 = 2, учир нь 10 2 = 100

Байгалийн логарифм- мөн энгийн логарифм, логарифм, гэхдээ суурь нь e (e = 2.71828... - иррационал тоо). ln гэж тэмдэглэсэн.

Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг цээжлэхийг зөвлөж байна, учир нь логарифм, логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрэгтэй болно. Томьёо тус бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.

• Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81

• Логарифмын тооны чадлын шинж чанарууд ба логарифмын суурийн суурь

  Логарифмын илтгэгч бүртгэлийн дугаарууд a b m = млог a b

  Логарифмын суурийн илтгэгч log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Шинэ суурь руу шилжих
  log a b = log c b/log c a,

  хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно

  дараа нь log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Таны харж байгаагаар логарифмын томъёонууд нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг харсны дараа бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Битгий алдаарай!

Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.

Жич: Бид сонголтоор өөр ангид боловсрол эзэмшиж, гадаадад суралцахаар шийдсэн.

a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авах боловч энэ нь логарифм нь 4-ийн суурь -2 гэсэн үг биш юм. 2-той тэнцүү байна.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн талзөвхөн b>0, a>0 болон a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун хэсэгнь ямар ч b-д тодорхойлогдсон боловч a-аас огт хамаардаггүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.

Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.

Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Сургуулийн сурагчдад логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр томьёог бодлогогүй ашиглахаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.

Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх үед эсвэл f (x) ба g (x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.

Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.

Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Дахин хэлэхэд би үнэн зөв байхыг уриалмаар байна. Дараах жишээг авч үзье.

Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.

Шинэ суурь руу шилжих томъёо

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.

Хэрэв бид b тоог шинэ c суурь болгон сонговол бид чухал утгыг авна онцгой тохиолдолтомъёо (8):

Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Логарифмын зарим энгийн жишээ

Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.

Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).

Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)