Логарифмын үндсэн томъёо. Тоон хамаарлын зарим жишээг өгье

b (b > 0) тооны логарифм нь a суурь (a > 0, a ≠ 1)– b-ийг авахын тулд а тоог өсгөх ёстой илтгэгч.

b-ийн суурь 10 логарифмыг ингэж бичиж болно бүртгэл(б), мөн e суурийн логарифм (натурал логарифм) байна ln(b).

Логарифмын асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг:

Логарифмын шинж чанарууд

Дөрвөн үндсэн байдаг логарифмын шинж чанарууд.

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 байг.

Property 1. Бүтээгдэхүүний логарифм

Бүтээгдэхүүний логарифм нийлбэртэй тэнцүү байналогарифмууд:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Property 2. Хэсгийн логарифм

Хэсгийн логарифмлогарифмын зөрүүтэй тэнцүү:

log a (x / y) = log a x – log a y

Property 3. Чадлын логарифм

Зэрэглэлийн логарифмхүч ба логарифмын үржвэртэй тэнцүү:

Хэрэв логарифмын суурь нь зэрэгтэй байвал өөр томьёо хэрэглэнэ.

Property 4. Үндэсийн логарифм

Чадлын n-р үндэс нь 1/n-ийн чадалтай тэнцүү тул энэ шинж чанарыг чадлын логарифмын шинж чанараас авч болно.

Нэг суурийн логарифмээс өөр суурийн логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Энэ томъёог логарифмын янз бүрийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Онцгой тохиолдол:

Логарифмуудыг харьцуулах (тэгш бус байдал)

Ижил суурьтай логарифмуудын доор f(x) ба g(x) гэсэн 2 функцтэй байх ба тэдгээрийн хооронд тэгш бус байдлын тэмдэг байна:

Тэдгээрийг харьцуулахын тулд эхлээд a логарифмын суурийг харах хэрэгтэй.

• Хэрэв a > 0 бол f(x) > g(x) > 0 байна
• Хэрэв 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Логарифмын тусламжтайгаар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: жишээ

Логарифмын асуудал 11-р ангийн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад 5-р даалгавар, 7-р даалгаварт багтсан тул та манай вэбсайтаас зохих хэсгүүдээс шийдлүүдтэй даалгавруудыг олох боломжтой. Мөн логарифм бүхий даалгавруудыг математикийн даалгаврын банкнаас олж болно. Та бүх жишээг сайтаас хайж олох боломжтой.

Логарифм гэж юу вэ

Логарифмыг сургуулийн математикийн хичээлд үргэлж хэцүү сэдэв гэж үздэг. Логарифмын олон янзын тодорхойлолт байдаг ч зарим нэг шалтгааны улмаас ихэнх сурах бичгүүдэд тэдгээрийн хамгийн төвөгтэй, амжилтгүй хэсгийг ашигладаг.

Бид логарифмыг энгийн бөгөөд тодорхой тодорхойлох болно. Үүнийг хийхийн тулд хүснэгт үүсгэцгээе:

Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй.

Логарифм - шинж чанар, томъёо, хэрхэн шийдвэрлэх

Хэрэв та доод шугамаас тоог авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.

Тэгээд одоо - үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:

х аргументийн суурь a нь х тоог авахын тулд а тоог өсгөх ёстой хүч юм.

Тэмдэглэл: log a x = b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь логарифм нь бодитой тэнцүү байна.

Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). Үүнтэй ижил амжилтаар 2 64 = 6 бүртгэл, учир нь 2 6 = 64.

Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ. Тиймээс, хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
бүртгэл 2 2 = 1	бүртгэл 2 4 = 2	бүртгэл 2 8 = 3	бүртгэл 2 16 = 4	бүртгэл 2 32 = 5	бүртгэл 2 64 = 6

Харамсалтай нь бүх логарифмыг тийм амархан тооцоолж чаддаггүй. Жишээлбэл, лог 2-г олохыг хичээ 5. Хүснэгтэнд 5-ын тоо байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь интервал дээр хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог хязгааргүй бичиж болно, хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь иррациональ болж хувирвал үүнийг орхих нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Эхэндээ олон хүмүүс үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байгааг андуурдаг. Ядаргаатай үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд зургийг хараарай.

Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, аргументыг олж авахын тулд суурь нь баригдсан байх ёстой. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - энэ нь зурган дээр улаанаар тодорсон байна. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Би оюутнууддаа энэ гайхалтай дүрмийг эхний хичээл дээр хэлдэг бөгөөд ямар ч төөрөгдөл гардаггүй.

Логарифмыг хэрхэн тоолох вэ

Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурах л үлдлээ. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.

1. Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь логарифмын тодорхойлолтыг багасгасан рационал илтгэгчээр градусын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.
2. Суурь нь нэгээс өөр байх ёстой, учир нь аль ч зэрэг нь нэг хэвээр байна. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар хүч гаргах ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!

Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

b тоонд (логарифмын утга) хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.

Гэсэн хэдий ч одоо бид логарифмын VA-г мэдэх шаардлагагүй зөвхөн тоон илэрхийллүүдийг авч үзэх болно. Асуудлыг зохиогчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал гарч ирэхэд DL-ийн шаардлага заавал байх болно. Эцсийн эцэст, үндэслэл, аргумент нь дээрх хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.

Одоо логарифмыг тооцоолох ерөнхий схемийг харцгаая. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:

1. a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
2. b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
3. Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.

Тэгээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй болж хувирвал энэ нь эхний шатанд аль хэдийн харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш чухал: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Үүнтэй адил аравтын бутархай: Хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй ердийнх рүү хөрвүүлбэл олон тооны алдаа гарах болно.

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ схем хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25

1. Суурь ба аргументыг тавын хүчин гэж төсөөлье: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Бид хариулт авсан: 2.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Бид хариулт авсан: 3.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Бид хариулт авсан: 0.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14

1. Суурь ба аргументыг долоон хүчин гэж төсөөлье: 7 = 7 1 ; 7 1 тул 14-ийг долоон зэрэглэлээр илэрхийлэх боломжгүй< 14 < 7 2 ;
2. Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
3. Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.

Сүүлийн жишээн дээрх жижиг тэмдэглэл. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдэгт яаж итгэлтэй байх вэ? Энэ нь маш энгийн - зүгээр л үндсэн хүчин зүйлд оруулаарай. Хэрэв өргөтгөл нь дор хаяж хоёр өөр хүчин зүйлтэй бол тоо нь яг тодорхой хүч биш юм.

Даалгавар. Тоонууд яг хүчинтэй эсэхийг олж мэд: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг тул энэ нь яг хүч биш юм;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 · 5 - дахин тодорхой хүч биш;
14 = 7 · 2 - дахин нарийн зэрэг биш;

Анхдагч тоонууд нь үргэлж өөрсдийнхөө яг хүч байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Аравтын логарифм

Зарим логарифм нь маш түгээмэл тул тусгай нэр, тэмдэгтэй байдаг.

аргументийн х нь 10-ын суурьтай логарифм, өөрөөр хэлбэл. X тоог авахын тулд 10-ын тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lg x.

Жишээлбэл, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.

Одооноос эхлэн сурах бичигт “Find lg 0.01” гэх мэт хэллэг гарч ирэхэд энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ бол аравтын бутархай логарифм юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ тэмдэглэгээг сайн мэдэхгүй бол та үүнийг үргэлж дахин бичиж болно:
log x = log 10 x

Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархай логарифмын хувьд ч үнэн байдаг.

Байгалийн логарифм

Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Зарим талаараа энэ нь аравтын тооноос ч илүү чухал юм. Бид байгалийн логарифмын тухай ярьж байна.

аргументийн х нь e-ийн суурийн логарифм, i.e. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: ln x.

Олон хүмүүс асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ бол иррационал тоо, түүний яг үнэ цэнэолж, бүртгэх боломжгүй. Би зөвхөн эхний тоонуудыг өгөх болно:
e = 2.718281828459…

Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгаа талаар бид дэлгэрэнгүй ярихгүй. Зөвхөн e нь натурал логарифмын суурь гэдгийг санаарай.
ln x = log e x

Тиймээс ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа зүйлийн натурал логарифм оновчтой тооүндэслэлгүй. Мэдээжийн хэрэг, нэгдмэл байдлаас бусад нь: ln 1 = 0.

Учир нь байгалийн логарифмуудэнгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.

Мөн үзнэ үү:

Логарифм. Логарифмын шинж чанарууд (логарифмын хүч).

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн илэрхийлэх вэ?

Бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг.

Логарифм гэдэг нь логарифмын тэмдгийн доорх тоог гаргахын тулд суурийг өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Иймд тодорхой c тоог логарифм болгон a суурь болгон илэрхийлэхийн тулд логарифмын тэмдгийн доор логарифмын суурьтай ижил суурьтай зэрэглэлийг тавьж, энэ c тоог илтгэгч болгон бичих хэрэгтэй.

Ямар ч тоог логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно - эерэг, сөрөг, бүхэл тоо, бутархай, оновчтой, иррационал:

Туршилт эсвэл шалгалтын стресстэй нөхцөлд a ба c-г төөрөгдүүлэхгүйн тулд та дараах цээжлэх дүрмийг ашиглаж болно.

доор байгаа нь доошоо, дээр байгаа нь дээшээ.

Жишээлбэл, та 2-ын тоог 3-ын суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.

Бидэнд 2 ба 3 гэсэн хоёр тоо байна. Эдгээр тоонууд нь суурь ба илтгэгч бөгөөд бид логарифмын тэмдгийн доор бичнэ. Эдгээр тоонуудын алийг нь зэрэглэлийн суурь хүртэл, аль нь дээш, илтгэгч хүртэл бичих ёстойг тодорхойлоход л үлдлээ.

Логарифмын тэмдэглэгээний 3-р суурь нь доод талд байгаа бөгөөд энэ нь бид хоёрыг 3-ын суурь дээр логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхэд бид мөн 3-ыг суурь руу нь буулгана гэсэн үг юм.

2 нь гурваас өндөр. Хоёрдугаар зэргийн тэмдэглэгээнд бид гурвын дээр, өөрөөр хэлбэл экспонент болгон бичнэ.

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифм

Логарифмэерэг тоо бдээр суурилсан а, Хаана a > 0, a ≠ 1, тоог өсгөх ёстой илтгэгч гэж нэрлэдэг а, олж авах б.

Логарифмын тодорхойлолтдараах байдлаар товчхон бичиж болно.

Энэ тэгш байдал нь хүчинтэй байна b > 0, a > 0, a ≠ 1.Үүнийг ихэвчлэн дууддаг логарифмын ижилсэл.
Тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ логарифмээр.

Логарифмын шинж чанарууд:

Бүтээгдэхүүний логарифм:

Хэмжилтийн логарифм:

Логарифмын суурийг орлуулах:

Зэрэглэлийн логарифм:

Үндэс логарифм:

Эрчим хүчний суурьтай логарифм:

Аравтын болон натурал логарифм.

Аравтын логарифмтоонууд энэ тооны логарифмыг 10 суурь болгон дуудаж   lg гэж бичнэ б
Байгалийн логарифмтоонуудыг тухайн тооны суурьтай харьцуулсан логарифм гэж нэрлэдэг д, Хаана д- ойролцоогоор 2.7-той тэнцүү иррационал тоо. Үүний зэрэгцээ тэд ln гэж бичдэг б.

Алгебр ба геометрийн бусад тэмдэглэл

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоонууд биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log a x ба log a y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг тестийн цаас. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Үүнийг анзаарахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифм лог a x-г өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо салцгаая аравтын логарифм, шинэ суурь руу шилжих:

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. log a a = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. log a 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоонууд биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а x+лог а y=лог а (x · y);
2. бүртгэл а x- бүртгэл а y=лог а (x : y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:

[Зургийн тайлбар]

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

[Зургийн тайлбар]

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nмаргаанд хэр зэрэг байр суурьтай байгаагийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоог ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

[Зургийн тайлбар]

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авна, гэхдээ энэ нь 4-ийн суурь -2 логарифм нь тэнцүү гэсэн үг биш юм. 2 хүртэл.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн талзөвхөн b>0, a>0 болон a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун хэсэгнь ямар ч b-д тодорхойлогдсон боловч a-аас огт хамаардаггүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.

Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.

Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Сургуулийн сурагчдад логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр томьёог бодлогогүй ашиглахаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.

Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх эсвэл f(x) ба g(x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.

Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.

Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Дахин хэлэхэд би үнэн зөв байхыг уриалмаар байна. Дараах жишээг авч үзье.

Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.

Шинэ суурь руу шилжих томъёо

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.

Хэрэв бид b тоог шинэ c суурь болгон сонговол бид чухал утгыг авна онцгой тохиолдолтомъёо (8):

Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Логарифмын зарим энгийн жишээ

Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.

Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).

Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1. Логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо эсвэл нэг тоо байгаа эсэхийг шалгана уу. Энэ аргамаягтын илэрхийлэлд хамаарна log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Гэсэн хэдий ч энэ нь зарим онцгой тохиолдлуудад тохиромжгүй:

   • Логарифм сөрөг тооямар ч үндэслэлээр тогтоогдоогүй (жишээлбэл, бүртгэл ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))эсвэл log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Энэ тохиолдолд "шийдэл байхгүй" гэж бичнэ үү.
   • Аль ч суурийн тэгийн логарифм нь мөн тодорхойгүй байна. Хэрэв та баригдвал ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), "шийдэл байхгүй" гэж бичнэ үү.
   • Нэгээс дурын суурь руу логарифм ( бүртгэл ⁡ (1) (\displaystyle \лог(1))) нь үргэлж тэг байдаг, учир нь x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)бүх үнэт зүйлсийн хувьд x. Энэ логарифмын оронд 1 гэж бичээд доорх аргыг бүү ашигла.
   • Жишээлбэл, логарифмууд өөр өөр суурьтай бол l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (лог_(3)(x))(лог_(4)(а)))), мөн бүхэл тоо болгон бууруулаагүй тохиолдолд илэрхийллийн утгыг гараар олох боломжгүй.

2. Илэрхийллийг нэг логарифм болгон хувирга.Хэрэв илэрхийлэл нь дээрхийн аль нэг нь биш бол онцгой тохиолдлууд, үүнийг нэг логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үүний тулд дараах томъёог ашиглана уу. log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Жишээ 1: Илэрхийлэлийг авч үзье бүртгэл ⁡ 16 бүртгэл ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\лог (2)))).
     Эхлээд дээрх томьёог ашиглан илэрхийллийг нэг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. бүртгэл ⁡ 16 бүртгэл ⁡ 2 = бүртгэл 2 ⁡ (16) (\ displaystyle (\ frac (\ log (16)) (\ log (2)))) = \ log _ (2) (16)).
   • Логарифмын "суурийг орлуулах" энэ томьёо нь логарифмын үндсэн шинж чанараас гаралтай.

3. Боломжтой бол илэрхийллийн утгыг гараар үнэлнэ үү.Олох log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), илэрхийллийг төсөөлөөд үз дээ " а? = x (\displaystyle a^(?)=x)", өөрөөр хэлбэл, дараах асуултыг асуу: "Та ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ а, олж авах x?. Энэ асуултад хариулахын тулд тооны машин шаардлагатай байж болох ч азтай бол та үүнийг гараар олох боломжтой.

   • Жишээ 1 (үргэлжлэл): Дахин бичнэ үү 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Та "?" тэмдгийн оронд ямар тоо байх ёстойг олох хэрэгтэй. Үүнийг туршилт, алдаагаар хийж болно:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Тэгэхээр бидний хайж буй тоо 4 байна: бүртгэл 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Хэрэв та хариултаа хялбарчилж чадахгүй бол логарифмын хэлбэрээр үлдээнэ үү.Олон логарифмыг гараар тооцоолоход маш хэцүү байдаг. Энэ тохиолдолд үнэн зөв хариулт авахын тулд танд тооцоолуур хэрэгтэй болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ангид асуудал шийдэж байгаа бол багш логарифмын хэлбэрээр хариулт өгөхөд сэтгэл хангалуун байх болно. Доор хэлэлцсэн аргыг илүү төвөгтэй жишээг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

   • жишээ 2: юу тэнцүү вэ log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Энэ илэрхийллийг нэг логарифм болгон хөрвүүлье: бүртгэл 3 ⁡ (58) бүртгэл 3 ⁡ (7) = бүртгэл 7 ⁡ (58) (\ displaystyle (\ frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))) =\ log_(7)(58)). Хоёр логарифмд нийтлэг 3 суурь алга болохыг анхаарна уу; Энэ нь ямар ч шалтгаанаар үнэн юм.
   • Илэрхийлэлийг хэлбэрээр дахин бичье 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)мөн утгыг олохыг оролдох уу?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Энэ хоёр тооны дунд 58 байгаа тул бүхэл тоогоор илэрхийлэгдэхгүй.
   • Бид хариултыг логарифм хэлбэрээр үлдээдэг. бүртгэл 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).