Дараа нь a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Тэг нэмэхэд тоо өөрчлөгдөхгүй, харин эсрэг тоонуудын нийлбэр нь тэг болно.
Энэ нь дурын рационал тооны хувьд: a + 0 = a, a + (- a) = 0 байна гэсэн үг юм.
Рационал тоог үржүүлэх нь мөн солих болон ассоциатив шинж чанартай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, a, b, c нь дурын рационал тоо бол ab - ba, a(bc) - (ab)c.
1-ээр үржүүлэх нь рационал тоог өөрчлөхгүй, харин тоо болон түүний урвуу үржвэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Энэ нь дурын рационал тооны хувьд бид дараах байдалтай байна гэсэн үг юм.
a) x + 8 - x - 22; в) a-m + 7-8+м;
б) -х-а + 12+а -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - х.
1190. Тооцоолох тохиромжтой аргыг сонгоод илэрхийллийн утгыг ол.
1191. ab = ba үржүүлэхийн солих шинж чанарыг үгээр томъёолж, дараах үед шалгана уу.
1192. a(bc)=(ab)c үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанарыг үгээр томъёолж, дараах үед шалгана уу.
1193. Тохиромжтой тооцоолох дарааллыг сонгохдоо илэрхийллийн утгыг ол.
1194. Хэрэв та үржүүлбэл ямар тоо (эерэг эсвэл сөрөг) авах вэ?
a) нэг сөрөг тоо, хоёр эерэг тоо;
б) хоёр сөрөг, нэг эерэг тоо;
в) 7 сөрөг ба хэд хэдэн эерэг тоо;
г) 20 сөрөг ба хэд хэдэн эерэг? Дүгнэлт хийх.
1195. Бүтээгдэхүүний тэмдгийг тодорхойл.
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) Б биеийн тамирын заалВитя, Коля, Петя, Серёжа, Максим нар цугларав (Зураг 91, а). Хөвгүүд тус бүр өөр хоёрыг л мэддэг болох нь тогтоогджээ. Хэн хэнийг мэдэх вэ? (Графикийн ирмэг нь "бид бие биенээ мэддэг" гэсэн утгатай.)
б) Нэг айлын ах, эгч нар хашаанд алхаж байна. Эдгээр хүүхдүүдийн аль нь хөвгүүд, аль нь охид вэ (Зураг 91, б)? (Графикийн тасархай ирмэг нь "Би эгч" гэсэн утгатай, хатуу хэсэг нь "Би ах" гэсэн утгатай.)
1205. Тооцоол:
1206. Харьцуул:
a) 2 3 ба 3 2; б) (-2) 3 ба (-3) 2; в) 1 3 ба 1 2; d) (-1) 3 ба (-1) 2.
1207. 5.2853-аас мянганы нэг хүртэлх тойрог; өмнө зуутын нэг; аравны нэг хүртэл; нэгж хүртэл.
1208. Асуудлыг шийд:
1) Мотоцикльчин дугуйчинг гүйцэж байна. Одоо тэдний хооронд 23.4 км зай бий. Мотоциклийн хурд нь дугуйчны хурдаас 3.6 дахин их байдаг. Мотоцикльчин нэг цагийн дараа дугуйчинг гүйцэх нь мэдэгдэж байгаа бол дугуйчин ба мотоциклийн хурдыг ол.
2) Автобусыг машин гүйцэж байна. Одоо тэдний хооронд 18 км зай бий. Автобусны хурд нь суудлын автомашины хурдтай адилхан. Хэрэв машин нэг цагийн дараа автобусыг гүйцэх нь мэдэгдэж байгаа бол автобус болон машины хурдыг ол.
1209. Илэрхийллийн утгыг ол.
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
ашиглан тооцоогоо шалгана уу бичил тооцоолуур.
1210. Тохиромжтой тооцоолох дарааллыг сонгоод илэрхийллийн утгыг ол. 
1211. Илэрхийллийг хялбарчлах:
1212. Илэрхийллийн утгыг ол.
1213. Дараах алхмуудыг дагана уу.
1214. Оюутнуудад 2,5 тонн төмрийн хаягдал цуглуулах үүрэг өгсөн. Тэд 3.2 тонн төмрийн хаягдал цуглуулжээ. Сурагчид даалгавраа хэдэн хувиар биелүүлж, хэдэн хувиар давсан бэ?
1215. Машин 240 км явсан. Үүнээс 180 км-ийг хөдөөгийн замаар, үлдсэн замыг нь хурдны замаар алхсан. Улс орны замд 10 км тутамд бензин зарцуулалт 1.6 литр, хурдны замд 25% бага байна. 10 км замд дунджаар хэдэн литр бензин зарцуулсан бэ?
1216. Тосгоноос гарч явахдаа дугуйчин гүүрэн дээгүүр явган зорчигчийг нэг чиглэлд явж байгааг анзаарч, 12 минутын дараа түүнийг гүйцэв. Дугуйчны хурд 15км/цаг, тосгоноос гүүр хүртэлх зай 1км800м бол явган хүний хурдыг олоорой?
1217. Дараах алхмуудыг дагана уу.
a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
б) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
в) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).
Хүмүүс рационал тоонуудтай аажмаар танилцаж эхэлсэн. Эхлээд объектуудыг тоолоход натурал тоо гарч ирэв. Эхлээд тэд цөөхөн байсан. Ийнхүү саяхан болтол Торресийн хоолой (Шинэ Гвинейг Австралиас тусгаарладаг) арлуудын уугуул оршин суугчид өөрсдийн хэлээр "урапун" (нэг) ба "оказ" (хоёр) хоёрхон тооны нэртэй байжээ. Арлынхан “Оказа-урапун” (гурав), “Оказа-Оказа” (дөрөв) гэх мэтээр тоолдог. Уугуул иргэд долоогоос эхлэн бүх тоог “олон” гэсэн утгатай үгээр нэрлэжээ.
Эрдэмтэд зуут гэсэн үг 7000 гаруй жилийн өмнө, мянга-6000 жилийн өмнө, 5000 жилийн өмнө гарч ирсэн гэж үздэг. Эртний Египетболон дотор Эртний Вавилоннэр нь асар их тоогоор гарч ирдэг - нэг сая хүртэл. Гэвч удаан хугацааны туршид байгалийн тоон цувааг төгсгөлтэй гэж үздэг байсан: хүмүүс хамгийн их тоо байдаг гэж боддог байв.
Эртний Грекийн хамгийн агуу математикч, физикч Архимед (МЭӨ 287-212) асар их тоог дүрслэх аргыг бодож олжээ. Архимедийн нэрлэж чадах хамгийн том тоо нь түүний хувьд маш том тоо байв дижитал бичлэгДэлхийгээс Нар хүртэлх зайнаас хоёр мянга дахин урт тууз хэрэгтэй болно.
Гэвч тэд ийм асар их тоог хараахан бичиж чадаагүй байв. Энэ нь 6-р зуунд Энэтхэгийн математикчдын дараа л боломжтой болсон. Тэг тоог зохион бүтээсэн бөгөөд тооны аравтын бутархайд нэгж байхгүй байгааг илэрхийлж эхэлсэн.
Олзыг хуваах, дараа нь үнэ цэнийг хэмжихэд болон бусад ижил төстэй тохиолдлуудад хүмүүс "эвдэрсэн тоо"-ийг нэвтрүүлэх хэрэгцээтэй тулгарсан - энгийн бутархай. Дундад зууны үеийн фракцууд дээр хийсэн үйлдлүүдийг хамгийн их гэж үздэг байв цогцолбор газарматематик. Өнөөдрийг хүртэл Германчууд хүнд хэцүү байдалд орсон хүний тухай "бутархай болсон" гэж хэлдэг.
Бутархайтай ажиллахад хялбар болгохын тулд аравтын бутархайг зохион бүтээсэн бутархай. Европт тэдгээрийг X585 онд Голландын математикч, инженер Саймон Стевин танилцуулсан.
Сөрөг тоо нь бутархай тооноос хожуу гарч ирэв. Урт хугацаандИйм тоонуудыг "байхгүй", "худлаа" гэж үзсэн нь үндсэндээ эерэг болон эерэг гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн тайлбартай холбоотой юм. сөрөг тоонууд"Өмч - өр" нь төөрөгдөлд хүргэсэн: та "өмч" эсвэл "өр" -ийг нэмж эсвэл хасаж болно, гэхдээ "өмч" ба "өр" гэсэн бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг хэрхэн ойлгох вэ?
Гэсэн хэдий ч ийм эргэлзээ, эргэлзээтэй байсан ч эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэх, хуваах дүрмийг 3-р зуунд санал болгосон. Грекийн математикч Диофантус (хэлбэрээр: "Хасах, нэмсэн зүйлээр үржүүлбэл, хасагдахыг өгдөг; хасалтаар хасагдсан нь нэмсэнийг өгдөг" гэх мэт), хожим Энэтхэгийн математикч Бхаскар (XII зуун) "Өмч", "өр" гэсэн ойлголтуудад ижил дүрмийг илэрхийлсэн ("Хоёр өмч буюу хоёр өрийн бүтээгдэхүүн нь өмч; өмч ба өрийн бүтээгдэхүүн нь өр юм." Хуваалтад ижил дүрэм хамаарна).
Сөрөг тоон дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд нь эерэг тоонуудтай ижил байдаг (жишээлбэл, нэмэх, үржүүлэх нь солих шинж чанартай байдаг). Эцэст нь өнгөрсөн зууны эхэн үеэс сөрөг тоо эерэг тоотой тэнцэх болсон.
Хожим нь математикт шинэ тоо гарч ирэв - иррациональ, төвөгтэй болон бусад. Та ахлах сургуульд байхдаа тэдний талаар мэддэг.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, 6-р ангийн математик, Ахлах сургуулийн сурах бичиг
6-р ангийн математикийн хуанлийн төлөвлөгөөний дагуу ном сурах бичиг татаж авах, сургуулийн хүүхдүүдэд туслах онлайн
Тооны тухай ойлголт нь объектыг тоон талаас нь тодорхойлдог хийсвэрлэлийг хэлнэ. Анхан шатны нийгэмд ч гэсэн хүмүүс объектыг тоолох хэрэгцээтэй байсан тул тоон тэмдэглэгээ гарч ирэв. Хожим нь тэд шинжлэх ухааны хувьд математикийн үндэс болсон.
Математикийн үзэл баримтлалтай ажиллахын тулд юуны өмнө ямар төрлийн тоо байгааг төсөөлөх шаардлагатай. Тоонуудын хэд хэдэн үндсэн төрөл байдаг. Энэ:
1. Байгалийн - объектыг дугаарлах үед олж авдаг зүйлүүд (тэдгээрийн байгалийн тооллого). Тэдний олонлогийг Н гэж тэмдэглэв.
2. Бүхэл тоо (тэдгээрийн олонлогийг Z үсгээр тэмдэглэсэн). Үүнд натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг тоо, сөрөг бүхэл тоо, тэг орно.
3. Рационал тоо (Q үсэг). Эдгээрийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба хуваагч нь бүхэл тоо, хуваагч нь натурал тоотой тэнцүү байна. Бүгд бүхэлдээ бөгөөд оновчтой гэж ангилдаг.
4. Бодит (тэдгээрийг R үсгээр тэмдэглэсэн). Эдгээрт рационал ба иррационал тоонууд орно. Рационал тооноос олж авсан тоонууд янз бүрийн үйл ажиллагаа(логарифмыг тооцоолох, үндсийг задлах) нь өөрөө оновчтой биш юм.
Тиймээс жагсаасан багцуудын аль нэг нь дараахь зүйлийн дэд хэсэг юм. Энэхүү дипломын ажлыг диаграмм хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Эйлерийн тойрог. Энэхүү загвар нь хэд хэдэн төвлөрсөн зуувануудаас бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь нөгөөгийнхөө дотор байрладаг. Дотор, хамгийн жижиг зууван (талбай) нь багцыг илэрхийлдэг натурал тоонууд. Энэ нь бүхэлдээ хамрагдсан бөгөөд бүхэл тоонуудын багцыг илэрхийлсэн мужийг багтаасан бөгөөд энэ нь эргээд оновчтой тооны мужид агуулагддаг. Бусад бүх зүйлийг багтаасан гаднах, хамгийн том зууван нь массивыг илэрхийлдэг
Энэ нийтлэлд бид оновчтой тоонуудын багц, тэдгээрийн шинж чанар, онцлогуудыг авч үзэх болно. Өмнө дурьдсанчлан, одоо байгаа бүх тоонууд (эерэг, сөрөг ба тэг) тэдгээрт хамаарна. Рационал тоонууд нь дараах шинж чанартай хязгааргүй цуваа үүсгэдэг.
Энэ багцыг захиалсан, өөрөөр хэлбэл, энэ цувралаас ямар ч хос тоог авснаар бид аль нь илүү том болохыг олж мэдэх боломжтой;
Ийм тооны аль ч хосыг авч үзвэл бид тэдгээрийн хооронд дор хаяж нэгийг байрлуулж, улмаар тэдгээрийн бүхэл цувралыг байрлуулж болно - ингэснээр оновчтой тоо нь хязгааргүй цувралыг илэрхийлнэ;
Ийм тоон дээрх бүх дөрвөн арифметик үйлдлийг хийх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн үр дүн нь үргэлж тодорхой тоо байдаг (мөн оновчтой); үл хамаарах зүйл бол 0 (тэг) -д хуваагдах - боломжгүй юм;
Аливаа рационал тоог аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Эдгээр бутархай нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн байж болно.
Рационал олонлогт хамаарах хоёр тоог харьцуулахын тулд та дараахь зүйлийг санах хэрэгтэй.
Тэгээс их эерэг тоо;
Аливаа сөрөг тоо үргэлж тэгээс бага байдаг;
Хоёр сөрөг рационал тоог харьцуулахдаа үнэмлэхүй утга (модуль) нь бага байх нь их байна.
Рационал тоонуудтай үйлдлүүд хэрхэн хийгддэг вэ?
Ижил тэмдэгтэй ийм хоёр тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн үнэмлэхүй утгыг нэмж, нийлбэрийн урд тавих хэрэгтэй. ерөнхий тэмдэг. -ээр тоо нэмэх өөр өөр шинж тэмдэгНэг нь том утгаас жижигийг хасч, үнэмлэхүй утга нь их байгаагийн тэмдгийг тавина.
Нэг оновчтой тоог нөгөө тооноос хасахын тулд эхний тоон дээр хоёр дахь тоог нэмэхэд хангалттай. Хоёр тоог үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн утгыг үржүүлэх хэрэгтэй үнэмлэхүй утгууд. Хүчин зүйлүүд ижил шинж тэмдэгтэй байвал үр дүн эерэг, өөр байвал сөрөг байх болно.
Хуваах нь ижил төстэй аргаар явагддаг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утгын хуваагчийг олж, үр дүнгийн өмнө ногдол ашиг ба хуваагчийн тэмдэг давхцаж байвал "+" тэмдэг, хэрэв "-" тэмдэг тавина. тэд таарахгүй байна.
Рационал тоонуудын хүч нь бие биетэйгээ тэнцүү хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр мэт харагдана.
Энэ нийтлэл нь тоймыг өгдөг рационал тоотой үйлдлийн шинж чанарууд. Нэгдүгээрт, бусад бүх шинж чанарууд дээр суурилсан үндсэн шинж чанаруудыг зарладаг. Үүний дараа рационал тоо бүхий үйлдлийн бусад түгээмэл хэрэглэгддэг шинж чанаруудыг өгсөн болно.
Хуудасны навигаци.
Жагсацгаая рационал тоотой үйлдлийн үндсэн шинж чанарууд(a, b ба c нь дурын рационал тоонууд):
- Нэмэлтийн солих шинж чанар a+b=b+a.
- Нэмэх хосолсон шинж чанар (a+b)+c=a+(b+c) .
- Нэмэлтээр саармаг элемент байгаа нь - тэг, ямар ч тоогоор нэмэхэд энэ тоо өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл a+0=a.
- Рационал тоо бүрийн хувьд a+(−a)=0 байх −a эсрэг тоо байдаг.
- Рационал тоог үржүүлэхийн солих шинж чанар a·b=b·a.
- Үржүүлэх хосолсон шинж чанар (a·b)·c=a·(b·c) .
- Үржүүлэхэд саармаг элемент байгаа нь нэгж, үржүүлснээр ямар ч тоо энэ тоог өөрчлөхгүй, өөрөөр хэлбэл a·1=a.
- Тэг биш рационал тоо болгонд a·a −1 =1 байх урвуу a −1 тоо байна.
- Эцэст нь, рационал тоонуудын нэмэх ба үржүүлэх нь нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын шинж чанартай холбоотой: a·(b+c)=a·b+a·c.
Рационал тоо бүхий үйлдлүүдийн жагсаасан шинж чанарууд нь үндсэн шинж чанартай байдаг, учир нь бусад бүх шинж чанарыг тэдгээрээс олж авах боломжтой.
Бусад чухал шинж чанарууд
Рационал тоо бүхий үйлдлийн үндсэн есөн шинж чанараас гадна маш өргөн хэрэглэгддэг хэд хэдэн шинж чанарууд байдаг. Тэдэнд өгье богино тойм.
гэж үсэг ашиглан бичсэн өмчөөс эхэлье a·(−b)=−(a·b)эсвэл үржүүлэхийн солих шинж чанарын ачаар (−a) b=−(a b). Өөр өөр тэмдэг бүхий рационал тоог үржүүлэх дүрэм нь энэ өмчөөс шууд гардаг бөгөөд түүний нотолгоог мөн энэ зүйлд өгсөн болно. Энэ шинж чанар нь "нэмэхийг хасах нь хасах, хасах нэмэх нь хасах" гэсэн дүрмийг тайлбарладаг.
Энд дараах өмч байна. (−a)·(−b)=a·b. Энэ нь сөрөг рационал тоог үржүүлэх дүрмийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ өгүүллээс та дээрх тэгш байдлын нотолгоог олох болно. Энэ шинж чанар нь "хасах, хасах нь нэмэх" гэсэн үржүүлэх дүрэмтэй тохирч байна.
Дурын рационал тоог a-г тэгээр үржүүлэхэд анхаарлаа хандуулах нь гарцаагүй. a·0=0эсвэл 0 a=0. Энэ өмчийг баталъя. Аливаа рационал d-ийн хувьд 0=d+(−d) байвал a·0=a·(d+(−d)) гэдгийг бид мэднэ. Тархалтын шинж чанар нь үүссэн илэрхийллийг a·d+a·(−d) гэж дахин бичих боломжийг олгодог ба a·(−d)=−(a·d) , дараа нь a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Ингээд бид a·d ба -(a·d) -тэй тэнцүү хоёр эсрэг талын тооны нийлбэрт хүрсэн бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь тэгийг өгч байгаа нь a·0=0 тэнцүү болохыг баталж байна.
Дээр бид зөвхөн нэмэх, үржүүлэхийн шинж чанаруудыг жагсаасан байхад хасах, хуваах шинж чанаруудын талаар нэг ч үг хэлээгүйг анзаарахад хялбар байдаг. Энэ нь рационал тооны олонлог дээр хасах, хуваах үйлдлүүд нь нэмэх ба үржүүлэхийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогдсонтой холбоотой юм. Өөрөөр хэлбэл, a−b ялгаа нь a+(−b)-ийн нийлбэр бөгөөд a:b хэсэг нь a·b−1 (b≠0) үржвэр юм.
Хасах, хуваах эдгээр тодорхойлолтууд, түүнчлэн нэмэх, үржүүлэх үндсэн шинж чанаруудыг харгалзан та оновчтой тоонуудтай үйлдлийн аливаа шинж чанарыг баталж чадна.
Жишээ болгон, хасах үйлдэлтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг баталъя: a·(b−c)=a·b−a·c. Дараах тэгш байдлын гинжин хэлхээг хангана: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, энэ нь нотолгоо юм.
Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх
Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. www.site-ийн ямар ч хэсэг, үүнд дотоод материал болон гадаад дизайн, зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр ямар ч хэлбэрээр хуулбарлахыг хориглоно.
Энэ хичээл нь рационал тоог нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзнэ. Сэдвийг нарийн төвөгтэй гэж ангилдаг. Энд өмнө нь олж авсан мэдлэгийн бүх арсеналыг ашиглах шаардлагатай байна.
Бүхэл тоог нэмэх, хасах дүрэм нь рационал тоонуудад мөн хамаарна. Рационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох тоонууд гэдгийг санаарай a -энэ бол бутархайн тоо, бнь бутархайн хуваагч юм. Үүнд, бтэг байх ёсгүй.
Энэ хичээлээр бид бутархай ба холимог тоог нэг нийтлэг хэллэгээр улам бүр нэрлэх болно. рационал тоо.
Хичээлийн навигаци:Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол:
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгөгдсөн нэмэх нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд бутархайд хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ бутархай нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд үүнийг бичээгүйгээс үл үзэгдэх болно. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өөр өөр тэмдэгт бүхий оновчтой тоог нэмэхийн тулд том модулиас жижиг модулийг хасах хэрэгтэй бөгөөд үр дүнгийн хариултаас өмнө модуль нь том хэмжээтэй оновчтой тооны тэмдгийг тавина. Аль модуль нь их, аль нь бага болохыг ойлгохын тулд та эдгээр бутархайн модулиудыг тооцоолохын өмнө харьцуулах чадвартай байх хэрэгтэй.
Рационал тооны модуль нь рационал тооны модулиас их байна. Тиймээс бид -ээс хассан. Бид хариулт авсан. Дараа нь энэ бутархайг 2-оор бууруулснаар бид эцсийн хариултыг авсан.
Тоонуудыг хаалтанд оруулах, модуль нэмэх зэрэг зарим энгийн үйлдлүүдийг алгасаж болно. Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол:
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Рационал тоонуудын хоорондох хасах нь үйлдлийн шинж тэмдэг бөгөөд бутархайд хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ бутархай нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд үүнийг бичээгүйгээс үл үзэгдэх болно. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя. Үүнийг хийхийн тулд та хасалтын эсрэг тоог нэмэх хэрэгтэй гэдгийг сануулъя.
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Сөрөг оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Анхаарна уу.Рационал тоо бүрийг хаалтанд оруулах шаардлагагүй. Энэ нь оновчтой тоонууд ямар тэмдэгтэй байгааг тодорхой харахын тулд тав тухтай байлгах үүднээс хийгддэг.
Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол:
Энэ илэрхийлэлд бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байна. Даалгавраа хөнгөвчлөхийн тулд эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя. Үүнийг хэрхэн хийх талаар бид дэлгэрэнгүй ярихгүй. Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал хичээлээ давтахаа мартуузай.
Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа илэрхийлэл дараах хэлбэрийг авна.
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Бид жижиг модулийг том модулиас хасч, хариултын өмнө модуль нь илүү оновчтой тооны тэмдгийг тавьдаг.
Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичье.
Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол
Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар тооцоолъё: рационал тоонуудыг нэмж, үр дүнгээс рационал тоог хасна. 
Эхний үйлдэл:
Хоёр дахь үйлдэл:
Жишээ 5. Илэрхийллийн утгыг ол:
−1 бүхэл тоог бутархайгаар илэрхийлж, холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье:
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Бид жижиг модулийг том модулиас хасч, хариултын өмнө модуль нь илүү оновчтой тооны тэмдгийг тавьдаг.
Бид хариулт авсан.
Хоёрдахь шийдэл бий. Энэ нь бүхэл бүтэн хэсгүүдийг тусад нь нэгтгэхээс бүрдэнэ.
Тиймээс анхны илэрхийлэл рүү буцъя:
Тоо бүрийг хаалтанд оруулъя. Үүнийг хийхийн тулд холимог тоо нь түр зуурынх юм:
Бүхэл хэсгүүдийг тооцоолъё:
(−1) + (+2) = 1
Үндсэн илэрхийлэлд (−1) + (+2) оронд бид үүссэн нэгжийг бичнэ.
Үр дүнгийн илэрхийлэл нь . Үүнийг хийхийн тулд нэгж ба бутархайг хамт бичнэ үү.
Шийдлийг ингэж товчоор бичье.
Жишээ 6.Илэрхийллийн утгыг ол
Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье. Үлдсэнийг нь өөрчлөхгүйгээр дахин бичье:
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичье.
Жишээ 7.Илэрхийллийн утгыг ол
−5 бүхэл тоог бутархайгаар илэрхийлж, холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргая:
Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачъя. Тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа дараах хэлбэрийг авна.
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Эдгээр тоонуудын модулийг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
Тиймээс илэрхийллийн утга нь .
Энэ жишээг хоёр дахь аргаар шийдье. Анхны илэрхийлэл рүү буцъя:
Холимог тоог өргөтгөсөн хэлбэрээр бичье. Үлдсэнийг нь өөрчлөхгүйгээр дахин бичье:
Бид оновчтой тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулав.
Бүхэл хэсгүүдийг тооцоолъё:
Үндсэн илэрхийлэлд гарсан тоог −7 гэж бичихийн оронд
Илэрхийлэл нь холимог тоог бичих өргөтгөсөн хэлбэр юм. Бид эцсийн хариултыг бүрдүүлэхийн тулд −7 тоо ба бутархайг хамт бичнэ.
Энэ шийдлийг товчхон бичье:
Жишээ 8.Илэрхийллийн утгыг ол
Бид оновчтой тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулав.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Эдгээр тоонуудын модулийг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
Тэгэхээр илэрхийллийн утга нь байна
Энэ жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно. Энэ нь бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тусад нь нэмэхээс бүрдэнэ. Анхны илэрхийлэл рүү буцъя:
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Эдгээр тоонуудын модулийг нэмж, гарсан хариултын өмнө хасах тэмдэг тавья. Гэхдээ энэ удаад бид бүхэл хэсгүүдийг (−1 ба −2) бутархай болон аль алиныг нь нэмнэ
Энэ шийдлийг товчхон бичье:
Жишээ 9.Илэрхийлэлийг ол 
Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье:
Рационал тоог тэмдэгтэй нь хамт хаалтанд оруулъя. Рационал тоог хаалтанд оруулах шаардлагагүй, учир нь энэ нь аль хэдийн хаалтанд байна.
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Эдгээр тоонуудын модулийг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
Тэгэхээр илэрхийллийн утга нь байна
Одоо энэ ижил жишээг хоёр дахь аргаар, тухайлбал бүхэл тоог нэмэх замаар шийдэхийг оролдъё бутархай хэсгүүдтус тусад нь.
Энэ удаад товч шийдэл гаргахын тулд холимог тоог өргөтгөсөн хэлбэрээр бичих, хасах үйлдлийг нэмэхээр солих гэх мэт зарим алхмуудыг алгасаж үзье.
Бутархай хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан болохыг анхаарна уу.
Жишээ 10.Илэрхийллийн утгыг ол 
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Үүссэн илэрхийлэл нь сөрөг тоо агуулаагүй бөгөөд энэ нь алдааны гол шалтгаан болдог. Сөрөг тоо байхгүй тул бид хасалтын өмнөх нэмэхийг хасч, хашилтыг арилгаж болно.
Үр дүн нь тооцоолоход хялбар энгийн илэрхийлэл юм. Үүнийг өөрт тохирсон ямар ч аргаар тооцоолъё:
Жишээ 11.Илэрхийллийн утгыг ол
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Том модулиас жижиг модулийг хасаад, үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь илүү оновчтой тооны тэмдгийг тавина.
Жишээ 12.Илэрхийллийн утгыг ол 
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн оновчтой тооноос бүрдэнэ. Үүний дагуу та эхлээд хаалтанд байгаа алхмуудыг хийх хэрэгтэй.
Эхлээд бид илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь олж авсан үр дүнг нэмнэ.
Эхний үйлдэл:
Хоёр дахь үйлдэл:
Гурав дахь үйлдэл:
Хариулт:илэрхийллийн утга тэнцүү байна
Жишээ 13.Илэрхийллийн утгыг ол 
Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье:
Рационал тоог тэмдгийнх нь хамт хаалтанд оруулъя. Рационал тоог хаалтанд оруулах шаардлагагүй, учир нь энэ нь аль хэдийн хаалтанд байна.
Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачъя. Тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа дараах хэлбэрийг авна.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Том модулиас жижиг модулийг хасаад, үр дүнгийн хариултын өмнө модуль нь илүү оновчтой тооны тэмдгийг тавина.
Тиймээс илэрхийллийн утга тэнцүү байна
Аравтын бутархайг нэмэх, хасах аргыг авч үзье, эдгээр нь мөн рационал тоо бөгөөд эерэг эсвэл сөрөг байж болно.
Жишээ 14.−3.2 + 4.3 илэрхийллийн утгыг ол
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. Илэрхийлэлд өгөгдсөн нэмэх нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд аравтын бутархай 4.3-д хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэ аравтын бутархай өөрийн гэсэн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь бичигдээгүйн улмаас үл үзэгдэх юм. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
(−3,2) + (+4,3)
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өөр өөр тэмдэгт бүхий оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд том модулиас жижиг модулийг хасах хэрэгтэй бөгөөд үр дүнгийн хариултаас өмнө модуль нь том хэмжээтэй оновчтой тоог оруулна. Аль модуль нь том, аль нь жижиг болохыг ойлгохын тулд та эдгээр аравтын бутархайн модулиудыг тооцоолохын өмнө харьцуулах чадвартай байх хэрэгтэй.
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
4.3 тооны модуль нь −3.2 тооны модулиас их тул 4.3-аас 3.2-ыг хаслаа. Бид 1.1 гэсэн хариултыг авсан. Хариулт нь эерэг, учир нь хариултын өмнө модуль нь их байх рационал тооны тэмдэг байх ёстой. Мөн 4.3 тооны модуль нь −3.2 тооны модулиас их байна
Тиймээс −3.2 + (+4.3) илэрхийллийн утга 1.1 байна
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Жишээ 15. 3.5 + (−8.3) илэрхийллийн утгыг ол.
Энэ нь өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоог нэмэх явдал юм. Өмнөх жишээний нэгэн адил бид том модулиас жижигийг хасч, хариултын өмнө модуль нь илүү оновчтой тооны тэмдгийг тавина.
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Тиймээс 3.5 + (−8.3) илэрхийллийн утга нь −4.8 байна
Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Жишээ 16.−7.2 + (−3.11) илэрхийллийн утгыг ол.
Энэ нь сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдэл юм. Сөрөг оновчтой тоонуудыг нэмэхийн тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмж, үр дүнгийн хариултын өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.
Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Тиймээс −7.2 + (−3.11) илэрхийллийн утга нь −10.31 байна.
Энэ жишээг товчхон бичиж болно:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Жишээ 17.−0.48 + (−2.7) илэрхийллийн утгыг ол.
Энэ нь сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдэл юм. Тэдний модулиудыг нэмж, гарсан хариултын өмнө хасах тэмдэг тавья. Илэрхийллийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд та модулийн оруулгыг алгасаж болно.
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Жишээ 18.−4.9 − 5.9 илэрхийллийн утгыг ол
Рационал тоо бүрийг тэмдгийн хамт хаалтанд оруулъя. −4.9 ба 5.9 оновчтой тоонуудын хооронд байрлах хасах нь үйлдлийн тэмдэг бөгөөд 5.9 тоонд хамаарахгүй гэдгийг бид анхаарч үздэг. Энэхүү оновчтой тоо нь өөрийн нэмэх тэмдэгтэй бөгөөд үүнийг бичээгүйгээс үл үзэгдэх болно. Гэхдээ бид үүнийг тодорхой болгохын тулд бичих болно:
(−4,9) − (+5,9)
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
(−4,9) + (−5,9)
Бид сөрөг рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авлаа. Тэдний модулиудыг нэмж, хариултын өмнө хасах тэмдэг тавьцгаая.
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Ингээд −4.9 − 5.9 илэрхийллийн утга нь −10.8 байна
−4,9 − 5,9 = −10,8
Жишээ 19. 7 − 9 илэрхийллийн утгыг ол.3
Тоо бүрийг тэмдгүүдийнх нь хамт хаалтанд хийцгээе.
(+7) − (+9,3)
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Ийнхүү 7 − 9.3 илэрхийллийн утга нь −2.3 байна
Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичье.
7 − 9,3 = −2,3
Жишээ 20.−0.25 − (−1.2) илэрхийллийн утгыг ол.
Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:
−0,25 + (+1,2)
Бид өөр өөр тэмдэгтэй рационал тоонуудын нэмэгдлийг олж авсан. Том модулиас жижиг модулийг хасаад хариултын өмнө модуль нь их байгаа тооны тэмдгийг тавина.
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Энэ жишээний шийдлийг товчхон бичье.
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Жишээ 21.−3.5 + (4.1 − 7.1) илэрхийллийн утгыг ол.
Хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийцгээе, дараа нь гарсан хариултыг −3.5 тоогоор нэмнэ
Эхний үйлдэл:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Хоёр дахь үйлдэл:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Хариулт:−3.5 + (4.1 − 7.1) илэрхийллийн утга нь −6.5 байна.
Жишээ 22.(3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) илэрхийллийн утгыг ол.
Хаалтанд байгаа алхмуудыг хийцгээе. Дараа нь эхний хаалтуудыг гүйцэтгэсний үр дүнд олж авсан тооноос хоёр дахь хаалтыг гүйцэтгэсний үр дүнд олж авсан тоог хасна.
Эхний үйлдэл:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Хоёр дахь үйлдэл:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Гурав дахь үйлдэл
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Хариулт:(3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) илэрхийллийн утга 6 байна.
Жишээ 23.Илэрхийллийн утгыг ол −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Рационал тоо бүрийг тэмдгүүдийн хамт хаалтанд оруулъя
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье.
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Илэрхийлэл нь хэд хэдэн нэр томъёоноос бүрдэнэ. Нэмэлт нэмэх хуулийн дагуу хэрэв илэрхийлэл нь хэд хэдэн гишүүнээс бүрддэг бол нийлбэр нь үйлдлийн дарааллаас хамаарахгүй. Энэ нь нэр томъёог ямар ч дарааллаар нэмж болно гэсэн үг юм.
Дугуйг дахин зохион бүтээхгүй, бүх нэр томъёог гарч ирэх дарааллаар нь зүүнээс баруун тийш нэмнэ үү.
Эхний үйлдэл:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Хоёр дахь үйлдэл:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Гурав дахь үйлдэл:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Хариулт:−3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 илэрхийллийн утга нь 1.
Жишээ 24.Илэрхийллийн утгыг ол
Орчуулъя аравтын−1.8 холимог тоогоор. Үлдсэнийг нь өөрчлөхгүйгээр дахин бичье:
