Танил байх, ... харилцаатай байх
нөгөө хоёр өгөгдсөн тооноос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Хэрэв a ба дараа нь N өгөгдсөн бол тэдгээрийг илтгэгчээр олно. Хэрэв N ба дараа нь a-г х зэрэглэлийн үндсийг авч (эсвэл түүнийг зэрэгт өсгөж) өгвөл. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд бид x-ийг олох хэрэгтэй болсон тохиолдлыг авч үзье.
N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .
Тодорхойлолт. N тооны а суурийн логарифм нь N тоог авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ
Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгчийг N-ийн логарифм гэж олно. Бичлэгүүд
ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; бодит байдал дээр энэ нь логарифмын ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтЛогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифмын тоо N эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь тэгш байдлыг агуулдаг. Энд байгаа нөхцөл нь чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно, учир нь тэгш байдал нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.
Жишээ 1. Хай
Шийдэл. Тоо авахын тулд та 2-р суурийг өсгөх ёстой.
Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр тэмдэглэл хийж болно.
Жишээ 2. Ол.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифмын тоог рационал илтгэгчтэй суурийн зэрэглэлээр төлөөлүүлэн хүссэн логарифмийг хялбархан олсон. IN ерөнхий тохиолдол, жишээ нь, for, гэх мэт, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуудалд анхаарлаа хандуулъя. 12-р зүйлд бид өгөгдсөн эерэг тооны бодит хүчийг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг өгсөн. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.
Логарифмын зарим шинж чанарыг харцгаая.
Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.
Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор бидэнд байгаа ба хаанаас
Үүний эсрэгээр, дараа нь тодорхойлолтоор үзье
Өмч 2. Аль ч суурийн нэгээс логарифм нь тэгтэй тэнцүү.
Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс
Q.E.D.
Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .
Логарифмын дараагийн шинж чанарыг томъёолохын өмнө a, b хоёр тоо нь хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг хэлье. Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол тэдгээрийг c-ийн эсрэг талд байрладаг гэж хэлэх болно.
Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын нэг талд байвал логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын эсрэг талд байвал логарифм нь сөрөг байна.
3-р өмчийн нотолгоо нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн чадал нэгээс их байх дээр үндэслэсэн болно. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал хүч нь нэгээс бага байна.
Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй:
Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээ хийхээр хязгаарлагдах болно, үлдсэнийг нь уншигч өөрөө авч үзэх болно.
Тэгэхэд экспонент нь сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тиймээс энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байна.
Жишээ 3. Доорх логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг олж мэд.
Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэг талын нэг талд байрладаг тул;
б) 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; энэ тохиолдолд суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;
в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;
G); Яагаад?
г); Яагаад?
Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, тэдгээрийн коэффициент, зэрэглэлийг олох боломжийг олгодог.
Property 4 (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм энэ үндэс нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмуудыг ижил суурьтай.
Баталгаа. Өгөгдсөн тоонууд эерэг байг.
Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмийг тодорхойлсон тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.
Эндээс бид олох болно
Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.
Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёрын үржвэрийн логарифм сөрөг тоонуудутга учиртай, гэхдээ энэ тохиолдолд бид авдаг
Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн үнэмлэхүй утгуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
5-р шинж чанар (хэсгийн логарифм авах дүрэм). Эерэг тоонуудын хуваагчийн логарифм нь ижил суурь дээр авсан ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Баталгаа. Бид байнга олдог
Q.E.D.
Property 6 (чадлын логарифмын дүрэм). Аливаа эерэг тооны чадлын логарифм нь тухайн тооны логарифмыг илтгэгчээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Баталгаа. Тооны үндсэн таних тэмдгийг (26.1) дахин бичье.
Q.E.D.
Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь радикалын логарифмыг язгуурын илтгэгчид хуваасантай тэнцүү байна.
Энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг өмч 6 хэрхэн ашиглах, хэрхэн ашиглах талаар төсөөлж нотлох боломжтой.
Жишээ 4. Логарифмыг a суурь болгон авна уу:
a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);
б) (энэ гэж таамаглаж байна).
Шийдэл, a) Энэ илэрхийлэлд бутархай тоонд шилжих нь тохиромжтой.
(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:
Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгддэгийг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхдээ тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.
Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигладаг (29-р зүйлийг үз).
Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциал гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээс тухайн тоог олох үйлдэл юм. Үндсэндээ хүчирхэгжүүлэх нь тийм биш юм тусгай арга хэмжээ: энэ нь суурийн хүчийг (тооны логарифмтай тэнцүү) өсгөхөд хүргэдэг. "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.
Потенциацийн үед та логарифмын дүрэмтэй урвуу дүрмийг ашиглах ёстой: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм, логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр солих гэх мэт.. Ялангуяа, хэрэв урд талын хүчин зүйл байвал. логарифмын тэмдгийн дагуу, дараа нь потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор экспонентын зэрэгт шилжих ёстой.
Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол
Шийдэл. Дөнгөж хэлсэн потенциацийн дүрэмтэй холбогдуулан бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгүүдийн урд байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч болгон шилжүүлнэ; бид авдаг
Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:
Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р зүйл).
Property 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их байвал илүү их тооилүү том логарифмтай (мөн бага тоо нь жижиг нь), хэрэв суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн бага тоо нь том хэмжээтэй).
Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифм авах дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд хоёр тал нь эерэг байна.
Тэгш бус байдлыг нэгээс их суурьтай болгоход тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах ба нэгээс бага суурьтай тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).
Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмуудыг авч үзвэл бид гарах тохиолдлыг авч үзье.
(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс
Дараах тохиолдолд уншигч үүнийг өөрөө олох болно.
Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргасан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон илтгэгчийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ нийтлэлийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.
Математик дахь тодорхойлолт
Логарифм гэдэг нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл ямар ч сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг "a" суурьтай нь "c" зэрэг гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.
Логарифмын төрлүүд
Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурав байна бие даасан төрөл зүйллогарифм илэрхийллүүд:
- Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
- Аравтын тоо a, суурь нь 10.
- a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.
Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.
Дүрэм ба зарим хязгаарлалт
Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоог тэгээр хувааж болохгүй, мөн үндсийг нь гаргаж авах боломжгүй жигд зэрэгтэйсөрөг тооноос. Логарифмууд нь мөн өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.
- "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
- хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?
Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.
Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авна. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.
Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
Таны харж байгаагаар хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Сөрөг хүчний хувьд дүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл бид log 2 (1/32) = -5 авна. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.
Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - үл мэдэгдэх "x" утга нь логарифмын тэмдгийн доор байгаа тул энэ нь логарифмын тэгш бус байдал юм. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.
Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) нэг буюу хэд хэдэн тодорхой хариултыг илэрхийлдэг явдал юм. тоон утгууд, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ ба энэ функцийн таслах цэгийг хоёуланг нь тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цувралэсвэл тооны багц.
Логарифмын тухай үндсэн теоремууд
Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.
- Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай харагдана: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
- Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд урьдчилсан нөхцөлнь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
- Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.
Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.
Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;
гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.
Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ
Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн шалгалтанд тэнцэхийн тулд та ийм даалгаврыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.
Харамсалтай нь шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй үл мэдэгдэх утгаЛогарифм гэж байдаггүй ч математикийн тэгш бус байдал эсвэл логарифм тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбарчлах эсвэл хүргэж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй ерөнхий дүр төрх. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.
Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Шийдлийн хувьд байгалийн логарифмуудта логарифмын таних тэмдэг эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй
Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.
- Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг өргөжүүлэх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно их ач холбогдол b тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон хувиргана. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй, шийдэгдээгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.
Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар
Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифмууд" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.
Асуудлын жишээ, шийдлийг албаны хүмүүсээс авсан Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.
Өгөгдсөн лог 2 (2х-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.
- Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөлгүй байхын тулд бүх логарифмуудыг ижил суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
- Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайтад хүсэлт гаргахад бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
- Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай гэж үзвэл - хуульд заасны дагуу шүүх ажиллагаа, шүүх ажиллагаа болон/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийгмийн эрүүл мэндийн бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Нийгэм хөгжиж, үйлдвэрлэл ээдрээтэй болохын хэрээр математик ч хөгжсөн. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжих хөдөлгөөн. Нэмэх, хасах аргыг ашигладаг энгийн нягтлан бодох бүртгэлээс бид тэдгээрийг олон удаа давтах замаар үржүүлэх, хуваах тухай ойлголттой болсон. Үржүүлэхийн давтагдах үйлдлийг багасгах нь экспонентацийн ойлголт болсон. Тоонуудын суурь ба экспонентацийн тооноос хамаарах анхны хүснэгтүүдийг Энэтхэгийн математикч Варасена 8-р зуунд эмхэтгэсэн. Тэдгээрээс та логарифм үүсэх цагийг тоолж болно.
Түүхэн ноорог
16-р зуунд Европ дахин сэргэсэн нь механикийн хөгжилд түлхэц өгсөн. Т их хэмжээний тооцоолол шаарддаголон оронтой тоог үржүүлэх, хуваахтай холбоотой. Эртний ширээ нь маш сайн үйлчилгээтэй байсан. Тэд нарийн төвөгтэй үйлдлүүдийг илүү энгийн зүйлээр солих боломжтой болсон - нэмэх, хасах. Математикч Майкл Стифелийн 1544 онд хэвлэгдсэн олон математикчдын санааг хэрэгжүүлсэн ажил нь урагшлах том алхам байв. Энэ нь хүснэгтийг зөвхөн анхны тоо хэлбэрээр төдийгүй дурын рациональ тоонуудын хувьд ашиглах боломжтой болгосон.
1614 онд шотланд хүн Жон Непьер эдгээр санааг хөгжүүлж байхдаа "тооны логарифм" гэсэн шинэ нэр томъёог анх нэвтрүүлсэн. Шинэ нарийн төвөгтэй хүснэгтүүдсинус ба косинусын логарифм, түүнчлэн шүргэгчийг тооцоолоход зориулагдсан. Энэ нь одон орон судлаачдын ажлыг ихээхэн бууруулсан.
Гурван зууны турш эрдэмтэд амжилттай ашиглаж байсан шинэ хүснэгтүүд гарч ирэв. Өмнө нь маш их хугацаа өнгөрсөн шинэ ажиллагааалгебрийн хувьд энэ нь бүрэн хэлбэрээ олж авсан. Логарифмыг тодорхойлж, шинж чанарыг нь судалсан.
Зөвхөн 20-р зуунд тооны машин, компьютер бий болсноор хүн төрөлхтөн 13-р зууны турш амжилттай ажиллаж байсан эртний хүснэгтүүдийг орхисон.
Өнөөдөр бид a-ийн суурь болох b-ийн логарифмыг b-ийн хүчин чадал болох x тоог гэж нэрлэж байна. Үүнийг томъёогоор бичнэ: x = log a(b).
Жишээлбэл, log 3(9) нь 2-той тэнцүү байх болно. Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл энэ нь ойлгомжтой. Хэрэв бид 3-ыг 2-ын зэрэглэлд өсгөвөл бид 9-ийг авна.
Тиймээс томъёолсон тодорхойлолт нь зөвхөн нэг хязгаарлалтыг тогтоодог: a ба b тоонууд бодит байх ёстой.
Логарифмын төрлүүд
Сонгодог тодорхойлолтыг бодит логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд үнэндээ a x = b тэгшитгэлийн шийдэл юм. Сонголт a = 1 нь хил хязгаар бөгөөд сонирхолгүй. Анхаар: Аливаа хүчинд 1 нь 1-тэй тэнцүү байна.
Логарифмын бодит утгасуурь болон аргумент нь 0-ээс их байх үед л тодорхойлогддог бөгөөд суурь нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй.
Математикийн салбарт онцгой байр суурь эзэлдэглогарифмуудыг тоглуулж, тэдгээрийн суурийн хэмжээнээс хамааран нэрлэнэ:
Дүрэм ба хязгаарлалт
Логарифмын үндсэн шинж чанар нь дүрэм юм: бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна. log abp = log a(b) + log a(p).
Энэ мэдэгдлийн хувилбарын хувьд: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) байх болно, хуваах функц нь функцүүдийн зөрүүтэй тэнцүү байна.
Өмнөх хоёр дүрмээс харахад амархан: log a(b p) = p * log a(b).
Бусад шинж чанарууд нь:
Сэтгэгдэл. Нийтлэг алдаа бүү хий - нийлбэрийн логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү биш юм.
Олон зууны турш логарифм олох ажиллагаа нь нэлээд цаг хугацаа шаардсан ажил байв. Математикчид ашигласан алдартай томъёоОлон гишүүнт тэлэлтийн логарифмын онол:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), энд n - натурал тоо 1-ээс их байх нь тооцооны үнэн зөвийг тодорхойлдог.
Бусад сууриудтай логарифмыг нэг баазаас нөгөөд шилжих тухай теорем болон үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг ашиглан тооцоолсон.
Энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практик асуудлыг шийдвэрлэх үедхэрэгжүүлэхэд хэцүү байсан тул бид урьдчилан эмхэтгэсэн логарифмын хүснэгтүүдийг ашигласан бөгөөд энэ нь бүх ажлыг ихээхэн хурдасгасан.
Зарим тохиолдолд тусгайлан боловсруулсан логарифм графикийг ашигласан бөгөөд энэ нь нарийвчлал багатай боловч хайлтыг ихээхэн хурдасгасан. хүссэн үнэ цэнэ. Хэд хэдэн цэг дээр бүтээгдсэн y = log a(x) функцийн муруй нь ердийн захирагч ашиглан өөр аль ч цэг дээрх функцийн утгыг олох боломжийг олгоно. Инженерүүд урт хугацааЭдгээр зорилгоор график цаас гэж нэрлэгддэг цаасыг ашигласан.
17-р зуунд аналог тооцоолох анхны туслах нөхцлүүд гарч ирэв 19-р зуундууссан дүр төрхийг олж авсан. Хамгийн амжилттай төхөөрөмжийг слайд дүрэм гэж нэрлэдэг. Төхөөрөмжийн энгийн байдлыг үл харгалзан түүний гадаад төрх нь бүх инженерийн тооцооллын үйл явцыг ихээхэн хурдасгасан бөгөөд үүнийг хэт үнэлэхэд хэцүү байдаг. Одоогийн байдлаар цөөхөн хүн энэ төхөөрөмжийг мэддэг.
Тооны машин, компьютер гарч ирснээр бусад төхөөрөмжүүдийн хэрэглээг утгагүй болгосон.
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Логарифм ашиглан янз бүрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь томъёог ашиглана.
- Нэг баазаас нөгөөд шилжих: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Өмнөх сонголтын үр дүнд: log a(b) = 1 / log b(a).
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь зүйлийг мэдэх нь зүйтэй.
- Суурь болон аргумент хоёулаа нэгээс их эсвэл бага байвал л логарифмын утга эерэг байх болно; хэрэв дор хаяж нэг нөхцөл зөрчсөн бол логарифмын утга сөрөг байна.
- Хэрэв логарифмын функцийг тэгш бус байдлын баруун ба зүүн талд хэрэглэж, логарифмын суурь нь нэгээс их байвал тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдана; тэгэхгүй бол өөрчлөгдөнө.
Жишээ асуудлууд
Логарифм ба тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэл шийдвэрлэх жишээ:
Логарифмыг зэрэгт байрлуулах сонголтыг авч үзье.
- Бодлого 3. 25^log 5(3)-ыг тооцоол. Шийдэл: асуудлын нөхцөлд оруулга нь дараахтай төстэй (5^2)^log5(3) эсвэл 5^(2 * log 5(3)). Үүнийг өөрөөр бичье: 5^log 5(3*2), эсвэл функцын аргумент болох тооны квадратыг функцийн өөрийнх нь квадрат (5^log 5(3))^2 гэж бичиж болно. Логарифмын шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийлэл нь 3^2-тэй тэнцүү байна. Хариулт: Тооцооллын үр дүнд бид 9-ийг авна.
Практик хэрэглээ
Энэ нь цэвэр математикийн хэрэгсэл болохоор хол санагдаж байна жинхэнэ амьдралЛогарифм нь бодит ертөнц дэх объектуудыг дүрслэхийн тулд гэнэт маш их ач холбогдолтой болсон. Ашиглагдаагүй шинжлэх ухааныг олоход хэцүү байдаг. Энэ нь зөвхөн байгалийн төдийгүй хүмүүнлэгийн мэдлэгийн салбарт бүрэн хамаатай.
Логарифмын хамаарал
Тоон хамаарлын зарим жишээ энд байна:
Механик ба физик
Түүхээс харахад механик, физик нь үргэлж ашиглан хөгжиж ирсэн математик аргуудсудалгаа хийж, нэгэн зэрэг математик, түүний дотор логарифмыг хөгжүүлэх хөшүүрэг болсон. Физикийн ихэнх хуулиудын онолыг математикийн хэлээр бичдэг. Тодорхойлолтын хоёрхон жишээг хэлье физикийн хуулиудлогарифм ашиглан.
Пуужингийн хурд гэх мэт нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох асуудлыг Циолковскийн томъёогоор шийдэж болох бөгөөд энэ нь сансар судлалын онолын үндэс суурийг тавьсан юм.
V = I * ln (M1/M2), хаана
- V нь онгоцны эцсийн хурд юм.
- I - хөдөлгүүрийн тодорхой импульс.
- M 1 - пуужингийн анхны масс.
- M 2 - эцсийн масс.
Өөр нэг чухал жишээ- энэ нь термодинамик дахь тэнцвэрийн төлөвийг үнэлэх өөр нэг агуу эрдэмтэн Макс Планкийн томъёонд хэрэглэгддэг.
S = k * ln (Ω), хаана
- S - термодинамик шинж чанар.
- k – Больцманы тогтмол.
- Ω нь янз бүрийн мужуудын статистик жин юм.
Хими
Химийн шинжлэх ухаанд логарифмын харьцааг агуулсан томъёог ашиглах нь тийм ч ойлгомжтой биш юм. Хоёрхон жишээ хэлье:
- Нернстийн тэгшитгэл, бодисын идэвхжил, тэнцвэрийн тогтмолтай холбоотой орчны исэлдэлтийн потенциалын нөхцөл.
- Автолизийн индекс ба уусмалын хүчиллэг зэрэг тогтмолуудын тооцоог бидний үйл ажиллагаагүйгээр хийх боломжгүй юм.
Сэтгэл судлал, биологи
Сэтгэл судлал үүнтэй ямар холбоотой вэ гэдэг нь тодорхойгүй байна. Мэдрэхүйн хүчийг энэ функцээр өдөөлтийн эрчмийн утгыг доод эрчимтэй урвуу харьцаа гэж сайн тодорхойлсон байдаг.
Дээрх жишээнүүдийн дараа биологид логарифмын сэдвийг өргөнөөр ашиглах болсон нь гайхах зүйлгүй болсон. Логарифмын спиральд тохирох биологийн хэлбэрүүдийн талаар бүхэл бүтэн боть бичиж болно.
Бусад бүс нутаг
Энэ функцтэй холбоогүй бол ертөнц оршин тогтнох боломжгүй юм шиг санагдаж, бүх хуулийг захирдаг. Тэр тусмаа байгалийн хуулиуд холбоотой байх үед геометрийн прогресс. MatProfi вэбсайт руу хандах нь зүйтэй бөгөөд дараах үйл ажиллагааны чиглэлээр ийм олон жишээ бий.
Жагсаалт төгсгөлгүй байж болно. Энэ функцийн үндсэн зарчмуудыг эзэмшсэний дараа та хязгааргүй мэргэн ухааны ертөнцөд орох боломжтой.
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- бүртгэл а x+ бүртгэл а y=лог а (x · y);
- бүртгэл а x- бүртгэл а y=лог а (x : y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийн бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.
Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг тестийн цаас. Тийм ээ, улсын нэгдсэн шалгалтанд тесттэй төстэй илэрхийлэлүүдийг бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Үүнийг анзаарахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]
Хуваарь нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:
[Зургийн тайлбар] Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр гаргаж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:
[Зургийн тайлбар]
Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:
[Зургийн тайлбар]
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудал бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
[Зургийн тайлбар]Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
[Зургийн тайлбар]Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
[Зургийн тайлбар]Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд тоо nмэтгэлцээний зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.
Уг нь тоо гарвал яах бол бтоо ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]
log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
[Зургийн тайлбар]Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
- бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
