Тэгшитгэл гэж юу вэ, тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш түвшинд өсгөхөд үр дүн нь анхныхтай тэнцүү биш тэгшитгэл болно.

Ер нь ямар ч тэгшитгэл байдаг математик загвараяга жин (хөшүүрэг, тэнцүү гар, рокер - олон нэр байдаг), зохион бүтээсэн эртний Вавилон 7000 жилийн өмнө эсвэл бүр эрт. Түүгээр ч барахгүй хамгийн эртний захуудад хэрэглэж байсан аяга жинлүүр нь тэгшитгэлийн үлгэр жишээ болсон гэж би боддог. Хэрэв та ямар ч тэгшитгэлийг хоёр зэрэгцээ саваагаар холбосон үл ойлгогдох тоо, үсгийн багц хэлбэрээр биш, харин масштаб шиг харвал бусад бүх зүйлд асуудал гарахгүй.

Аливаа тэгшитгэл нь тэнцвэртэй масштабтай адил юм

Бидний амьдралд өдөр бүр олон тооны тэгшитгэлүүд гарч ирдэг ч тэгшитгэл гэж юу болох, түүний утгыг ойлгох нь улам бүр багассаар байна. Ямар ч байсан том охиндоо энгийн математик тэгшитгэлийн утгыг тайлбарлахыг оролдохдоо ийм сэтгэгдэл төрсөн.

x + 2 = 8 (500.1)

Тэдгээр. Сургуульд мэдээжийн хэрэг тэд ийм тохиолдолд олохын тулд тайлбарладаг X, та баруун талаас 2-ыг хасах хэрэгтэй:

x = 8 - 2 (500.3)

Энэ бол мэдээжийн хэрэг туйлын зөв үйлдэл, гэхдээ яагаад хасах хэрэгтэй, жишээлбэл нэмэх, хуваах шаардлагагүй талаар сургуулийн сурах бичигт тайлбар байдаггүй. Та зүгээр л сурах хэрэгтэй гэсэн дүрэм бий:

Тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэхэд тэмдэг нь эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.

10 настай сургуулийн хүүхэд энэ дүрмийг хэрхэн ойлгох, түүний утга учир юу болохыг та бодож, шийдэх хэрэгтэй. Түүгээр ч барахгүй миний ойр дотны хүмүүс тэгшитгэлийн утгыг хэзээ ч ойлгодоггүй, харин шаардлагатай зүйлийг (мөн дээр дурдсан дүрмийг) цээжилдэг байсан бөгөөд дараа нь үүнийг Бурханы хүссэнээр хэрэгжүүлдэг байв. Энэ байдал надад таалагдаагүй тул би энэ нийтлэлийг бичихээр шийдлээ (миний бага охин өсч байна, хэдэн жилийн дараа тэр үүнийг дахин тайлбарлах болно, энэ нь манай сайтын цөөн хэдэн уншигчдад хэрэгтэй байж магадгүй юм) .

Би сургуульд 10 жил сурсан ч техникийн хичээлтэй холбоотой дүрэм, тодорхойлолтыг хэзээ ч сурч байгаагүй гэдгээ шууд хэлмээр байна. Тэдгээр. Хэрэв ямар нэгэн зүйл тодорхой бол тэр нь санаанд үлддэг, гэхдээ тодорхойгүй бол ямар ч байсан мартагдах юм бол утга учрыг нь ойлгохгүй шахаж байх нь юу вэ? Түүнээс гадна, хэрэв би ямар нэг зүйлийг ойлгохгүй байгаа бол энэ нь надад хэрэггүй гэсэн үг юм (хэрэв би сургуульд ямар нэг зүйлийг ойлгоогүй бол энэ нь миний буруу биш, харин багш, сурах бичиг, сурах бичиг, багш нарын буруу гэдгийг би саяхан ойлгосон. ерөнхий боловсролын систем).

Энэ арга нь надад бага наснаасаа бүх төрлийн тоглоом, зугаа цэнгэлд дутагдаж байсан маш их чөлөөт цагийг өгсөн. Үүний зэрэгцээ физик, химийн янз бүрийн олимпиадад оролцож, математикийн бүсийн уралдаанд ч түрүүлж байсан. Гэвч цаг хугацаа өнгөрч, хийсвэр ойлголттой хичээлүүдийн тоо нэмэгдэж, үүний дагуу миний дүн буурсан. Хүрээлэнгийн эхний жилд хийсвэр ойлголттой хичээлүүдийн тоо үнэмлэхүй дийлэнх байсан бөгөөд мэдээж би бүрэн С ангийн оюутан байсан. Гэвч дараа нь хэд хэдэн шалтгааны улмаас лекц, тэмдэглэлийн тусламжгүйгээр материалын бат бөх байдлыг даван туулах шаардлагатай болж, би үүнийг ойлгосон үед бүх зүйл жигдэрч, дипломоор төгссөн. Гэсэн хэдий ч энэ нь одоо энэ тухай биш, харин заасан онцлогоос шалтгаалан миний ойлголт, тодорхойлолтууд сургуульд зааснаасаа эрс ялгаатай байж болох тухай юм.

Одоо үргэлжлүүлье

Хамгийн энгийн тэгшитгэл, масштабтай аналоги

Үнэн хэрэгтээ хүүхдүүдэд янз бүрийн объектуудыг харьцуулж сургадаг сургуулийн өмнөх насныТэд яаж ярихаа мэдэхгүй хэвээр байх үед. Тэд ихэвчлэн геометрийн харьцуулалтаас эхэлдэг. Жишээлбэл, хүүхдэд хоёр шоо үзүүлсэн бөгөөд хүүхэд аль шоо том, аль нь жижиг болохыг тодорхойлох ёстой. Хэрэв тэд ижил байвал энэ нь хэмжээсийн тэгш байдал юм. Дараа нь даалгавар нь илүү төвөгтэй болж, хүүхдэд объектуудыг харуулдаг янз бүрийн хэлбэрүүд, өөр өөр өнгө, ижил зүйлийг сонгох нь хүүхдэд улам бүр хэцүү болж байна. Гэсэн хэдий ч бид даалгаврыг тийм ч их хүндрүүлэхгүй, харин зөвхөн нэг төрлийн тэгш байдалд анхаарлаа хандуулах болно - мөнгөний жин.

Жин нь ижил хэвтээ түвшинд байх үед (500.1-р зурагт жингийн сумыг улбар шар ба цэнхэр, давхцаж байгаа бол хэвтээ түвшинг хар тод зураасаар харуулсан), энэ нь жингийн баруун талын хайруулын тавган дээр зүүн талынхтай ижил жинтэй байна гэсэн үг юм. Хамгийн энгийн тохиолдолд эдгээр нь 1 кг жинтэй жин байж болно.

Зураг 500.1.

Тэгээд бид хамгийн энгийн 1=1 тэгшитгэлийг олж авдаг.Гэхдээ энэ тэгшитгэл нь зөвхөн надад зориулагдсан, математикт ийм илэрхийллийг тэгш байдал гэж нэрлэдэг боловч мөн чанар нь өөрчлөгддөггүй. Жингийн зүүн талын хайруулын тавган дээрх жинг авч, дээр нь алим, тэр ч байтугай хадаас, улаан түрс хүртэл тавиад, жин нь ижил хэвтээ түвшинд байвал энэ нь 1 кг гэсэн үг юм. жингийн баруун талд үлдсэн 1 кг жинтэй тэнцүү заасан бүтээгдэхүүний аль нэг нь. Энэ килограммыг худалдагчийн тогтоосон үнийн дагуу төлөх л үлдлээ. Өөр нэг зүйл бол та үнэд дургүй, эсвэл жингийн үнэн зөв эсэхэд эргэлзэж магадгүй юм - гэхдээ эдгээр нь математиктай шууд холбоогүй эдийн засаг, эрх зүйн харилцааны асуудал юм.

Мэдээжийн хэрэг, тэр холын цагт аяга хайрс гарч ирэхэд бүх зүйл илүү хялбар байсан. Нэгдүгээрт, нэг килограмм жингийн хэмжүүр байхгүй байсан ч жингийн хэмжүүрт тохирсон мөнгөн нэгжүүд байсан, жишээлбэл, талант, шекел, фунт, гривен гэх мэт. фунт - мөнгөний нэгж ба фунт - жингийн хэмжүүр, гривен гэж байдаг - мөнгөний нэгж, нэг удаа гривен жингийн хэмжүүр байсан бөгөөд авъяас чадвар нь зөвхөн мөнгөний нэгж биш гэдгийг би саяхан мэдсэн үед. -д дурдсан эртний иудейчүүд Хуучин гэрээ, гэхдээ бас эртний Вавилонд батлагдсан жингийн хэмжүүр бүх зүйл байрандаа орсон).

Илүү нарийн, эхлээд жингийн хэмжүүрүүд, ихэвчлэн үр тариа байсан үр тариа, тэгээд л эдгээр хэмжүүрт тохирсон мөнгө гарч ирэв. Жишээлбэл, 60 тариа нь нэг шекелтэй, 60 шекел нь нэг минад, 60 мина нь нэг таланттай тохирч байв. Тиймээс анх санал болгож буй мөнгө хуурамч эсэхийг шалгахын тулд жинлүүрийг ашигладаг байсан бөгөөд дараа нь жин нь мөнгө, жин ба тооцоолол, цахим жин, хуванцар карттай тэнцэх хэрэгсэл болж гарч ирсэн боловч энэ нь асуудлын мөн чанарыг өөрчилсөнгүй.

Тэр алс холын үед худалдагч тодорхой нэг бүтээгдэхүүн хэр үнэтэй болохыг дэлгэрэнгүй тайлбарлах шаардлагагүй байв. Борлуулж буй бүтээгдэхүүнийг жингийн нэг хайруулын тавган дээр тавихад хангалттай байсан бөгөөд худалдан авагч нь хоёр дахь дээр нь мөнгө тавьсан - энэ нь маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой, тэр ч байтугай нутгийн аялгууг мэддэг байх шаардлагагүй, та дэлхийн хаана ч худалдаа хийх боломжтой. Гэхдээ тэгшитгэл рүү буцаж орцгооё.

Хэрэв бид (500.1) тэгшитгэлийг жингийн байрлалаас авч үзвэл жингийн зүүн талд үл мэдэгдэх тооны килограмм ба өөр 2 килограмм, баруун талд 8 килограмм байна гэсэн үг юм.

x + 2кг, = 8кг, (500.1.2)

Анхаарна уу: IN энэ тохиолдолдДоогуур зураас нь жингийн доод хэсгийг илэрхийлдэг бөгөөд цаасан дээр тооцоолохдоо энэ зураас нь жингийн ёроолтой илүү төстэй байж болно. Түүгээр ч барахгүй математикчид эрт дээр үеэс тусгай тэмдэгтүүдийг гаргаж ирсэн байдаг - хаалт, тиймээс ямар ч хаалт нь тэгшитгэлийн утгыг ойлгох эхний үе шатанд масштабын тал гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч би илүү тодорхой болгохын тулд доогуур зураасыг үлдээх болно.

Тэгэхээр бид тодорхойгүй тооны килограммыг олж мэдэхийн тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Зөв! Жинлүүрийн зүүн ба баруун талаас 2 кг жин хасвал жин нь ижил хэвтээ түвшинд байх болно, өөрөөр хэлбэл бид тэгш эрхтэй хэвээр байх болно.

х + 2кг, - 2кг = 8кг, - 2кг (500.2.2)

Тус тусад нь

x, = 8кг - 2кг, (500.3.2)

x, = 6 кг, (500.4.2)

Зураг 500.2.

Ихэнхдээ математик нь килограммаар биш, харин зарим хийсвэр хэмжээсгүй нэгжүүдээр ажилладаг бөгөөд дараа нь (500.1) тэгшитгэлийн шийдлийг, жишээ нь ноорог дээр бичих нь иймэрхүү харагдах болно.

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x, = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

Үүнийг Зураг 500.2-т тусгасан болно.

Анхаарна уу: Албан ёсоор илүү сайн ойлгохын тулд (500.2) тэгшитгэлийн дараа дараах хэлбэрийн өөр тэгшитгэлийг оруулах ёстой. x + 2 - 2, = 8 - 2,Энэ нь үйл ажиллагаа дуусч, бид дахин жингийн тэнцвэрийн аягатай харьцаж байна гэсэн үг юм. Гэхдээ миний бодлоор шийдвэрийн талаар ийм бүрэн бүтэн бичлэг хийх шаардлагагүй.

Цэвэр номонд тэгшитгэлийн шийдлийн товчилсон тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэгшитгэлийг судлах эхний үе шатанд миний бодлоор зайлшгүй шаардлагатай масштабын тэмдгүүдийг товчилсон төдийгүй бүхэл бүтэн тэгшитгэлүүд байдаг. Тиймээс сурах бичигт өгсөн жишээнүүдийн дагуу (500.1) тэгшитгэлийн шийдлийн товчилсон хувилбар нь дараах байдлаар харагдах болно.

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

Үүний үр дүнд бид масштабтай аналогийг ашиглан сурах бичигт санал болгосонтой харьцуулан шийдвэрлэх арга, эсвэл энэ шийдлийг бүртгэх хэлбэрээр нэмэлт тэгшитгэлийг (500.2) эмхэтгэсэн. Миний бодлоор энэ бол тэгшитгэл, үүнээс гадна ойролцоогоор энэ хэлбэрээр бичигдсэн, өөрөөр хэлбэл. масштабын бэлгэдлийн тэмдэглэгээтэй - энэ бол тэгшитгэлийн утгыг ойлгоход чухал ач холбогдолтой дутуу холбоос юм.

Тэдгээр. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид эсрэг тэмдэгтэй зүйлийг хаана ч шилжүүлэхгүй, харин тэгшитгэлийн зүүн, баруун талуудтай ижил математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

Яг одоо тэгшитгэлийн шийдлийг дээр дурдсан товчилсон хэлбэрээр бичих нь заншил болжээ. (500.1.1) тэгшитгэлийн дараа (500.3.1) тэгшитгэл нэн даруй гарч ирдэг тул урвуу тэмдгийн дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн утгыг судлахаас илүү олон хүмүүст санахад хялбар байдаг.

Анхаарна уу: Бичлэгийн товчилсон хэлбэрийг эсэргүүцэх зүйл надад байхгүй. Дэвшилтэт хэрэглэгчид энэ маягтыг илүү богиносгож болох боловч тэгшитгэлийн ерөнхий утгыг аль хэдийн тодорхой ойлгосны дараа үүнийг хийх ёстой.

Өргөтгөсөн тэмдэглэгээ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн дүрмийг ойлгох боломжийг танд олгоно.

1. Хэрэв бид ижил математикийн үйлдлүүдийг зүүн ба баруун талтэгшитгэл, дараа нь тэгш байдал хэвээр байна.

2. Харж байгаа тэгшитгэлийн аль хэсэг нь зүүн, аль нь зөв байх нь хамаагүй, бид тэдгээрийг чөлөөтэй сольж болно.

Эдгээр математик үйлдлүүд нь юу ч байж болно. Бид дээр үзүүлсэн шиг зүүн болон баруун талаас ижил тоог хасаж болно. Бид тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд ижил тоог нэмж болно, жишээлбэл:

x - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x, = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

Бид хоёр талыг ижил тоогоор хувааж эсвэл үржүүлж болно, жишээлбэл:

3х, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x, = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

Бид хоёр хэсгийг нэгтгэж эсвэл ялгаж чадна. Бид зүүн ба баруун хэсгүүдэд хүссэн бүхнээ хийж чадна, гэхдээ хэрэв эдгээр үйлдэл нь зүүн ба баруун хэсэгт ижил байвал тэгш байдал хэвээр байх болно (масс нь хэвтээ түвшинд хэвээр байх болно).

Мэдээжийн хэрэг, та үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг аль болох хурдан бөгөөд энгийнээр тодорхойлох боломжтой үйлдлүүдийг сонгох хэрэгтэй.

Энэ үүднээс авч үзвэл урвуу үйлдлийн сонгодог арга нь илүү энгийн мэт санагддаг, гэхдээ хүүхэд сөрөг тоог хараахан судлаагүй бол яах вэ? Үүний зэрэгцээ эмхэтгэсэн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

5 - x = 3 (500.8)

Тэдгээр. Сонгодог аргыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдэхдээ хамгийн богино тэмдэглэгээг өгөх боломжит шийдлүүдийн нэг нь дараах байдалтай байна.

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

Хамгийн гол нь (500.8.3) тэгшитгэл (500.8.4)-тэй яг адилхан болохыг хүүхдэд яаж тайлбарлах вэ?

Энэ нь энэ тохиолдолд ашиглах үед ч гэсэн гэсэн үг юм сонгодог аргабичихдээ хэмнэлт хийх нь утгагүй бөгөөд эхлээд сөрөг тэмдэгтэй зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх утгыг арилгах хэрэгтэй.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5 - 3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Бүрэн оруулга дараах байдлаар харагдах болно.

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Би дахиад нэмнэ. Шийдлийн бүрэн бүртгэл нь багш нарт биш, харин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг илүү сайн ойлгоход хэрэгтэй. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг солих үед бид масштабын үзэл бодлыг худалдан авагчийн байр сууринаас худалдагчийн байр сууринаас өөрчилсөн мэт боловч тэгш байдал хэвээр үлдэнэ.

Харамсалтай нь би охиндоо энэ шийдлийг ноорог хэлбэрээр ч бүрэн бичиж үлдээж чадаагүй. Тэр "бидэнд ингэж заагаагүй" гэсэн хатуу маргаантай байдаг. Үүний зэрэгцээ эмхэтгэж буй тэгшитгэлийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэж, үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд ямар үйлдэл хийх шаардлагатайг тааварлах хувь буурч, үнэлгээ буурдаг. Би үүнийг юу хийхээ мэдэхгүй байна ...

Анхаарна уу: орчин үеийн математикт тэгшитгэл ба тэгшитгэлийг ялгах нь заншилтай байдаг. 1 = 1 нь зүгээр л тоон тэгшитгэл бөгөөд хэрэв тэгш байдлын аль нэг хэсэгт олох шаардлагатай үл мэдэгдэх зүйл байвал энэ нь аль хэдийн тэгшитгэл юм. Миний хувьд утгыг ингэж ялгах нь нэг их утга учиргүй, харин тухайн материалын ойлголтыг улам хүндрүүлдэг. Аливаа тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэж нэрлэж болох бөгөөд аливаа тэгшитгэл нь тэгшитгэл дээр суурилдаг гэдэгт би итгэдэг. Үүнээс гадна асуулт гарч ирнэ: x = 6, энэ нь аль хэдийн тэгш байдал уу эсвэл тэгшитгэл хэвээр байна уу?

Хамгийн энгийн тэгшитгэл, цаг хугацааны зүйрлэл

Мэдээжийн хэрэг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ масштабтай аналоги нь цорын ганц зүйл биш юм. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлыг цаг хугацааны үүднээс авч үзэж болно. Дараа нь (500.1) тэгшитгэлээр тодорхойлсон нөхцөл дараах байдлаар сонсогдоно.

Бид үл мэдэгдэх тоо хэмжээг нэмсний дараа XӨөр 2 нэгж, бид одоо 8 нэгжтэй (одоогоор). Гэсэн хэдий ч, ямар нэг шалтгааны улмаас бид хэд байгааг сонирхдоггүй, харин өнгөрсөн цаг дээр хэд байсныг сонирхдог. Үүний дагуу, эдгээр нэгжүүдээс хэд нь бидэнд байгааг олж мэдэхийн тулд бид эсрэг үйлдэл хийх хэрэгтэй, жишээлбэл. 8-аас 2-ыг хасах (500.3-р тэгшитгэл). Энэ арга нь сурах бичигт заасан зүйлтэй яг таарч байгаа боловч миний бодлоор энэ нь масштабтай зүйрлэхтэй адил тодорхой биш юм. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлын талаархи санал бодол өөр байж болно.

Хаалттай тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Би энэ нийтлэлийг зун, охиноо 4-р ангиа төгсөхөд бичсэн боловч зургаан сар хүрэхгүй хугацааны дараа сургууль дээр дараахь хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэхийг даалгасан.

(97 + 75: (50 - 5х)) 3 = 300 (500.10)

Ангид хэн ч энэ тэгшитгэлийг шийдэж чадаагүй, гэхдээ миний санал болгож буй аргыг ашиглахад үүнийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ тэмдэглэгээний бүрэн хэлбэр нь хэтэрхий их зай эзэлнэ.

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5х), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5х), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5х = 50 - 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5х, = 50 - 25, (500.10.16)

5х, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Гэсэн хэдий ч, энэ үе шатанд ийм бүрэн хэлбэрбичлэг хийх шаардлагагүй. Бид давхар хаалтанд орсон тул зүүн ба баруун талд математикийн үйлдлүүдийн хувьд тусдаа тэгшитгэл үүсгэх шаардлагагүй тул шийдлийг ноорог дээр бичих нь иймэрхүү харагдах болно.

97 + 75: (50 - 5х) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5х), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5х), · (50 - 5х) = 3, · (50 - 5х) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5х = 50 - 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5х, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Нийтдээ энэ үе шатанд анхны тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 14 тэгшитгэл бичих шаардлагатай байв.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдлийг цэвэр хуулбараар бичих нь дараах байдалтай байж болно.

97 + 75: (50 - 5х) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5х) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5х = 50 - 25 (500.10.16)

5х = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Тэдгээр. Тэмдэглэгээний товчилсон хэлбэрээр бид 12 тэгшитгэл үүсгэх шаардлагатай хэвээр байна. Бичлэгийн хэмнэлт хамгийн бага боловч тавдугаар ангийн сурагч шаардлагатай үйлдлүүдийг ойлгоход асуудалтай байж магадгүй юм.

P.S.Давхар хаалтанд ороход л миний охин миний санал болгож буй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг сонирхож эхэлсэн боловч түүний бичих хэлбэрт, тэр ч байтугай ноорог дээр ч гэсэн 2 дахин бага тэгшитгэл байсаар байна, учир нь тэр төгсгөлийг алгасдаг. (500.10.4), (500.10. 7) гэх мэт тэгшитгэлүүд болон бичлэг хийх үед дараагийнх руу шууд зай гарна. математик үйл ажиллагаа. Үүний үр дүнд түүний ноорог дээрх оруулга иймэрхүү харагдаж байв.

(97 + 75: (50 - 5х)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5х), · (50 - 5х) = 3, · (50 - 5х) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, + 5х = 50 - 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Үүний үр дүнд бид ердөө 8 тэгшитгэл авсан бөгөөд энэ нь товчилсон шийдэлд шаардагдах хэмжээнээс ч бага юм. Зарчмын хувьд би дургүйцэхгүй, гэхдээ энэ нь ашигтай байх болно.

Энэ бол нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдэх тухай миний хэлэхийг хүссэн зүйл юм. Хоёр үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй болно

Тэгш байдлын талаар ерөнхий ойлголттой болж, тэдгээрийн нэг төрөл болох тоон тэгшитгэлтэй танилцсаны дараа та практик талаас нь авч үзэхэд маш чухал ач холбогдолтой өөр төрлийн тэгшитгэлийн талаар ярьж эхлэх боломжтой. Энэ нийтлэлд бид авч үзэх болно тэгшитгэл гэж юу вэ, мөн тэгшитгэлийн язгуур гэж нэрлэгддэг зүйл. Энд бид холбогдох тодорхойлолтыг өгөхөөс гадна тэгшитгэл, тэдгээрийн үндэсийн янз бүрийн жишээг өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Тэгшитгэл гэж юу вэ?

Тэгшитгэлийн зорилтот танилцуулга нь ихэвчлэн 2-р ангийн математикийн хичээлээс эхэлдэг. Энэ үед дараахь зүйлийг өгсөн болно тэгшитгэлийн тодорхойлолт:

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлнь олох шаардлагатай үл мэдэгдэх тоог агуулсан тэгшитгэл юм.

Тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх тоог ихэвчлэн жижиг тоогоор тэмдэглэдэг. Латин үсэг, жишээ нь, p, t, u гэх мэт боловч хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг үсэг нь x, y, z юм.

Ийнхүү тэгшитгэл нь бичгийн хэлбэрийн үүднээс тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэл нь заасан бичих дүрмийг дагаж мөрдөх үед тэгшитгэл юм - энэ нь утгыг олох шаардлагатай үсгийг агуулдаг.

Хамгийн анхны бөгөөд хамгийн олон жишээг өгье энгийн тэгшитгэлүүд. x=8, y=3 гэх мэт хэлбэрийн тэгшитгэлүүдээс эхэлье. Тоо, үсгийн хамт тэмдэг агуулсан тэгшитгэл нь арай илүү төвөгтэй харагдаж байна арифметик үйлдлүүджишээлбэл, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

- Хаалттай тэгшитгэлүүд гарч эхэлдэг, жишээлбэл, 2·(x−1)=18, x+3·(x+2·(x−2))=3 гэсэн ойлголттой болсны дараа тэгшитгэлийн олон янз байдал нэмэгддэг. Тэгшитгэлд үл мэдэгдэх үсэг хэд хэдэн удаа гарч ирж болно, жишээлбэл, x+3+3·x−2−x=9, үсэг нь тэгшитгэлийн зүүн талд, баруун талд эсвэл хоёр талд байж болно. тэгшитгэл, жишээ нь, x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 эсвэл 3·x−4=2·(x+12) .

Цаашид сурсны дараа натурал тоонуудБүхэл тоо, рациональ, бодит тоотой танилцаж, математикийн шинэ объектуудыг судалж байна: хүч, үндэс, логарифм гэх мэт эдгээр зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн төрөл улам бүр нэмэгдсээр байна. Тэдгээрийн жишээг нийтлэлээс харж болно тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдсургуульд сурдаг.

7-р ангид зарим тодорхой тоог илэрхийлдэг үсгүүдийн хамт өөр өөр утгыг авч болох үсгүүдийг авч үзэж эхэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хувьсагч гэж нэрлэдэг (өгүүллийг үзнэ үү). Үүний зэрэгцээ тэгшитгэлийн тодорхойлолтод "хувьсагч" гэсэн үгийг оруулсан бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлутгыг нь олох шаардлагатай хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь: x+3=6·x+7 тэгшитгэл нь x хувьсагчтай тэгшитгэл, 3·z−1+z=0 нь z хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Ижил 7-р ангийн алгебрийн хичээл дээр бид нэг биш, хоёр өөр үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан тэгшитгэлтэй тулгардаг. Тэдгээрийг хоёр хувьсагчийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Ирээдүйд тэгшитгэлд гурав ба түүнээс дээш хувьсагч байхыг зөвшөөрнө.

Тодорхойлолт.

Нэг, хоёр, гурав гэх мэт тэгшитгэлүүд. хувьсагч– эдгээр нь нэг, хоёр, гурав, ... үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичихдээ агуулсан тэгшитгэлүүд юм.

Жишээ нь: 3.2 x+0.5=1 тэгшитгэл нь нэг x хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд эргээд x−y=3 хэлбэрийн тэгшитгэл нь x ба y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бас нэг жишээ: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Ийм тэгшитгэл нь x, y, z гэсэн гурван үл мэдэгдэх хувьсагчтай тэгшитгэл болох нь ойлгомжтой.

Тэгшитгэлийн үндэс нь юу вэ?

Тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь энэ тэгшитгэлийн язгуурын тодорхойлолттой шууд холбоотой. Тэгшитгэлийн язгуур нь юу болохыг ойлгоход туслах зарим үндэслэлийг хийцгээе.

Нэг үсэгтэй (хувьсагч) тэгшитгэл байна гэж бодъё. Хэрэв энэ тэгшитгэлийн оруулгад орсон үсгийн оронд тодорхой тоог орлуулсан бол тэгшитгэл нь тоон тэгшитгэл болж хувирна. Түүгээр ч зогсохгүй, үүссэн тэгш байдал нь үнэн эсвэл худал байж болно. Жишээ нь: a+1=5 тэгшитгэлийн а үсгийн оронд 2-ын тоог орлуулбал 2+1=5 гэсэн буруу тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. Хэрэв энэ тэгшитгэлд а-ын оронд 4-ийн тоог орлуулбал 4+1=5 зөв тэгшитгэл гарч ирнэ.

Практикт дийлэнх тохиолдолд тэгшитгэлд орлуулалт нь зөв тэгш байдлыг өгдөг хувьсагчийн утгуудыг сонирхож байна; эдгээр утгыг уг тэгшитгэлийн үндэс эсвэл шийдэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлийн үндэс- энэ нь үсгийн (хувьсагч) утга бөгөөд үүнийг орлуулснаар тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирдаг.

Нэг хувьсагч дахь тэгшитгэлийн язгуурыг мөн тэгшитгэлийн шийдэл гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн шийдэл ба тэгшитгэлийн үндэс нь ижил зүйл юм.

Энэ тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая. Үүний тулд a+1=5 дээр бичсэн тэгшитгэл рүү буцъя. Тэгшитгэлийн язгуурын тодорхойлсон тодорхойлолтын дагуу 4 тоо нь энэ тэгшитгэлийн язгуур юм, учир нь энэ тоог a үсгийн оронд орлуулснаар 4+1=5 зөв тэгшитгэл гарч ирдэг ба 2 тоо нь түүний биш юм. язгуур, учир нь 2+1= 5 хэлбэрийн буруу тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Энэ үед “Аливаа тэгшитгэл язгууртай юу, өгөгдсөн тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?” гэсэн хэд хэдэн байгалийн асуулт гарч ирнэ. Бид тэдэнд хариулах болно.

Үндэстэй тэгшитгэл, үндэсгүй тэгшитгэл хоёулаа байдаг. Жишээлбэл, x+1=5 тэгшитгэл нь 4 үндэстэй, харин 0 x=5 тэгшитгэл нь үндэсгүй, учир нь энэ тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд ямар ч тоог орлуулахаас үл хамааран 0=5 гэсэн буруу тэгшитгэл гарах болно. .

Тэгшитгэлийн язгуурын тооны хувьд тодорхой хязгаарлагдмал тооны язгууртай (нэг, хоёр, гурав гэх мэт) тэгшитгэл, хязгааргүй тооны язгууртай тэгшитгэл хоёулаа байдаг. Жишээ нь: x−2=4 тэгшитгэл нь нэг язгуур 6, x 2 =9 тэгшитгэлийн үндэс нь −3 ба 3 хоёр тоо, тэгшитгэл x·(x−1)·(x−2)=0 байна. 0, 1, 2 гэсэн гурван язгууртай ба x=x тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын тоо, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй олон үндэстэй.

Тэгшитгэлийн үндэсийг хүлээн зөвшөөрсөн тэмдэглэгээний талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй. Хэрэв тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол тэд ихэвчлэн "тэгшитгэлд үндэсгүй" гэж бичдэг, эсвэл хоосон олонлогын ∅ тэмдгийг ашигладаг. Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол тэдгээрийг таслалаар тусгаарлаж бичнэ, эсвэл ингэж бичнэ багцын элементүүдбуржгар хаалтанд. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс нь −1, 2, 4 тоонууд байвал −1, 2, 4 эсвэл (−1, 2, 4) гэж бичнэ. Мөн тэгшитгэлийн язгуурыг энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрнө. Жишээлбэл, тэгшитгэлд x үсэг орсон бөгөөд энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 3 ба 5 тоонууд байвал x=3, x=5 гэж бичиж болох ба x 1 =3, x 2 =5 гэсэн дэд тэмдэгтүүдийг ихэвчлэн нэмдэг. хувьсагч руу, тэгшитгэлийн тооны язгуурыг зааж байгаа мэт. Тэгшитгэлийн язгуурын хязгааргүй олонлогийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг бөгөөд боломжтой бол натурал N, бүхэл Z, бодит R тоонуудын олонлогийн тэмдэглэгээг мөн ашигладаг. Жишээлбэл, х хувьсагчтай тэгшитгэлийн язгуур нь бүхэл тоо байвал y хувьсагчтай тэгшитгэлийн үндэс нь 1-ээс 9 хүртэлх бодит тоо байвал гэж бичнэ.

Хоёр, гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд "тэгшитгэлийн язгуур" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн ашигладаггүй бөгөөд эдгээр тохиолдолд "тэгшитгэлийн шийдэл" гэж хэлдэг. Хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэхийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Холбогдох тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Хоёр, гурав гэх мэт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. хувьсагчхос, гурав гэх мэт. хувьсагчийн утгууд нь энэ тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тайлбарлах жишээг үзүүлье. x+y=7 гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авч үзье. x-ийн оронд 1-ийн тоог, у-ын оронд 2-ын тоог оруулаад 1+2=7 тэгшитгэлтэй болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь буруу, тиймээс x=1, y=2 хос утгууд нь бичсэн тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Хэрэв бид x=4, y=3 гэсэн хос утгыг авбал тэгшитгэлд орлуулсны дараа 4+3=7 зөв тэгшитгэлд хүрнэ, тиймээс энэ хос хувьсагчийн утгууд нь тодорхойлогдвол шийдэл болно. x+y=7 тэгшитгэлд.

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэл зэрэг хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэл нь үндэсгүй, хязгаарлагдмал тооны үндэстэй эсвэл хязгааргүй тооны үндэстэй байж болно.

Хос, гурав, дөрөв гэх мэт. Хувьсагчдын утгыг ихэвчлэн товч бичдэг бөгөөд тэдгээрийн утгуудыг хаалтанд таслалаар заадаг. Энэ тохиолдолд хаалтанд бичсэн тоонууд нь цагаан толгойн үсгийн дарааллын хувьсагчтай тохирч байна. Өмнөх x+y=7 тэгшитгэл рүү буцах замаар энэ цэгийг тодруулъя. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг x=4, y=3 гэж товчоор (4, 3) бичиж болно.

Сургуулийн математик, алгебр, анализын эхлэлийн хичээлд нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн үндсийг олоход хамгийн их анхаарал хандуулдаг. Энэ үйл явцын дүрмийг бид нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно. тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Ном зүй.

• Математик. 2 анги Сурах бичиг ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд нь adj. электрон тутамд тээвэрлэгч. 14 цагт 1-р хэсэг / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова гэх мэт] - 3-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2012. - 96 х.: өвчтэй. - (Оросын сургууль). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Тэгшитгэл гэж юу вэ

• Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ

• Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн дүрмүүд.

• Тэгшитгэлийн ангилал.

• Тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх зүйлийг үсгээр илэрхийлдэг тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлээс зөв тоон тэгшитгэл гарах үсгийн утгыг тэгшитгэлийн үндэс гэнэ.

Тэгшитгэлийг шийд

• Тэгшитгэлийг шийд - түүний бүх язгуурыг олох (эсвэл тэгшитгэл нь нэг үндэсгүй эсэхийг шалгах) гэсэн үг юм.

• Үл мэдэгдэх гишүүнийг олохын тулд нийлбэрээс мэдэгдэж буй гишүүнийг хасах хэрэгтэй (хэрэв a + x = b бол x = b - a)

• 7 + x = 23

• x = 23 – 7

• x = 16

• Үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд хасах болон зөрүүг нэмэх хэрэгтэй.

• (хэрэв x – a = d бол x = a + d)

• x-8 =5

• x = 8+5

• x=13

• Үл мэдэгдэх хасалтыг олохын тулд та хасахаас зөрүүг хасах хэрэгтэй

• (хэрэв a - x = b бол x = a-b)

• 9-ийн =1.3

• x = 9- 1.3

• x = 7.7

• Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй

• (хэрэв ax = b бол x = b: a)

• 0.2x = 6

• x = 6: 0.2

• x=30

• Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд та хуваагчийг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй (хэрэв x: a = b бол x = ab)

• x: 0.3 = 4

• x = 4 * 0.3

• x = 1.2

• Үл мэдэгдэх хуваагчийг олохын тулд та ногдол ашгийг хуваах хэсэгт хуваах хэрэгтэй

• (хэрэв a: x = b бол x = a: b)

• 0.8:x=-5

• x=0.8(-5)

• x=-0.16

• Зарим гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилсөн тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2х = -6

• x = -3

• Хоёр тал нь тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваагдвал тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй.

Тэгшитгэлийн шийдэл нь x = байна

• Тэгшитгэлийн шийдэл нь x = байна

• Тэгшитгэл (a 0, a нь f (x) = g (x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

• Орлуулах аргыг ашиглан хэлбэрийн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна

• Логарифмын тэмдгийн дор хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг логарифм гэнэ.

• Маягтын логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

• Ийм тэгшитгэл нь f(x) нэмэлт нөхцлөөр f(x)=g(x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна гэдэг дээр үндэслэсэн.

• Логарифмын тодорхойлолтын дагуу

• Нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэл нь үргэлж өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

• Нэг үл мэдэгдэх квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

• Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь тоо юм

• Хэрэв D > 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно

• Хэрэв D=0 бол тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна:

• Хэрэв D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй байна.

• Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэдэг нь коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэг байх тэгшитгэл юм. C=0 үед тэгшитгэл хэлбэрийг авна

• Буурсан квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү квадрат тэгшитгэл юм.

• Тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдийг тодорхойл

ВЬЕТТИЙН ТЕОРЕМ

• Хэрэв өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэстэй бол тэдгээрийн нийлбэр нь хасах тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. –р, тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь q чөлөөт нэр томъёо юм.

• Хэлбэрийн тэгшитгэлийг биквадрат гэж нэрлэдэг.

• Ийм тэгшитгэлийг хувьсах аргыг өөрчлөх замаар шийддэг. Дараа нь үүнийг зааж өгье. Анхны тэгшитгэл нь ердийн квадрат тэгшитгэл гэсэн хэлбэртэй байна.

• Гурав дахь зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу

• тэдгээр. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь олонлогтой тэнцүү байна

• Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл нь дараах хоёр тэгшитгэлийн аль нэг нь юм.

• Эхний тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, хоёр дахь нь -

• хувьсагч Бидэнд байна: i.e. энгийн квадрат тэгшитгэлүүдийг олж авна.

• Х тооны модуль нь сөрөг биш бол өөрөө тоо, х тоо сөрөг байвал –x тоо юм. Зориулалт:

• Энэхүү тодорхойлолтын албан ёсны тэмдэглэгээ нь:

• Тэгшитгэлийг шийд:

Тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

• Тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

• sin x=a () хэлбэртэй байна

• cos x=a

• хүрэн x=a

• ctg x=a

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашиглан шийдэж болно

• Маягтын тригонометрийн тэгшитгэл

• синус ба косинусын хувьд ижил зэрэгтэй бүх гишүүнийг гэнэ

• нэгэн төрлийн. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг хуваавал харьцангуй тэгшитгэлд амархан буулгаж болно. Түүнээс гадна, хэрэв тийм бол ийм хуваагдал нь шийдлийг алдахад хүргэхгүй, учир нь утга нь тэгшитгэлийг хангахгүй байна. Хэрэв тийм бол түүнийг хаалтнаас гаргаж авна.

• Маягтын тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

• Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг арга бол баруун талд байгаа тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлдэг; үүний дараа зүүн

• Тригонометрийн функцийг үржвэр болгон задлах томъёо, градусыг багасгах томъёо, тригонометрийн функцийн үржвэрийг систем болгон хувиргах томъёог ашиглан тэгшитгэлийн нэг хэсгийг хүчин зүйлээр ангилдаг.

Бутархай рационал тэгшитгэл

• Рационал алгебрийн тэгшитгэл нь ба олон гишүүнт хэлбэртэй тэгшитгэл юм.

• Зөвхөн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд илэрхийлэл нь утга учиртай болно

• Энэ нь рационал тэгшитгэл нь нөхцөлийн дагуу шийдэлтэй байна гэсэн үг юм

Иррационал тэгшитгэл

• Хоёрдугаар зэргийн нэг радикал агуулсан тэгшитгэл

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг хүч болгон өсгөх.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш түвшинд өсгөхөд үр дүн нь анхныхтай тэнцэхгүй тэгшитгэл болно. Олж авсан үндсийг анхны тэгшитгэлд шууд шалгах нь гадны үндэсийг арилгахад тусалдаг, жишээлбэл. язгууруудыг эхний тэгшитгэлд ээлжлэн орлуулж, тоон тэгшитгэл зөв эсэхийг шалгана.

• Хоёр илэрхийллийн үржвэр (хэсэг) нь тэгтэй тэнцүү байна.

• Хэрэв илэрхийллүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь утга учиртай байвал хоёр илэрхийллийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байна. Албан ёсоор үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна.

• Тэгтэй тэнцүү хоёр илэрхийллийн категорийн албан ёсны тэмдэглэгээ:

• Хоёрдугаар зэргийн радикалын хоёр (гурван) тэмдгийг агуулсан тэгшитгэл

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох.

Нэгдүгээрт, тэгшитгэлийг радикалууд нэг хэсэгт, харин анхны тэгшитгэлийн үлдсэн гишүүд нөгөө хэсэгт байхаар өөрчлөх ёстой. Хэрэв тэгшитгэлд хоёр радикал байгаа бол үүнийг хийнэ. Хэрэв тэдгээрийн гурав нь байвал хоёр нь тэгшитгэлийн нэг хэсэгт үлдэж, гурав дахь нь нөгөөд шилжинэ. Дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, шаардлагатай хувиргалтыг хийнэ. Дараа нь радикал агуулаагүй тэгшитгэлийн бүх гишүүдийг тэгшитгэлийн нэг тал руу, үлдсэн радикалыг (одоо ганц л байна!) нөгөө тал руу шилжүүлнэ. Үүссэн тэгшитгэлийг дахин квадрат болгох ба үр дүн нь радикал агуулаагүй тэгшитгэл юм.

Гурав дахь ба түүнээс дээш зэрэглэлийн радикалуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд.

• Гурав дахь зэрэглэлийн радикалуудыг агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараахь таних тэмдгийг ашиглах нь ашигтай байж болно.

• Тэгшитгэлийг шийд:

• Шийдэл: Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг гуравдахь зэрэглэл болгон өсгөж, дээрх ижил төстэй байдлыг ашиглана уу.

• Анхны тэгшитгэлээс гарах хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь 1-тэй тэнцүү байгааг анхаарна уу. Үүнийг харгалзан үзээд ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид дараахь зүйлийг олж авна.

• Хаалт нээж, ижил төстэй гишүүдийг нэмж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Үүний үндэс нь x=5 ба x=-25/2. Хэрэв бид (тодорхойлолтын дагуу) сондгой язгуурыг сөрөг тооноос гаргаж авах боломжтой гэж үзвэл олж авсан тоо хоёулаа анхны тэгшитгэлийн шийдэл болно.

• Хариулт: 5.-25/2

Ямар үнэ цэнээр А

• Ямар үнэ цэнээр АТэгшитгэл нь нэг нь 1-ээс их, нөгөө нь бага хоёр үндэстэй юу?

• Шийдэл: Функцийг авч үзье.

• мөн түүний графикийн ноорог зурах. At a=0функц нь шугаман болж, тэнхлэгтэй хоёр огтлолцолтой байна Өө(тэгшитгэлийн үндэс y=0) батэвчиж чадахгүй.

• At a>0Функцийн график нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол юм. Үндэс оршин тогтнох зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бөгөөд энэ тохиолдолд цорын ганц нөхцөл нь:

• Хэрэв Үүний дагуу нөхцөл байдал (Зураг)

• Тиймээс асуудлын шийдлийг багцаар албан ёсоор өгсөн болно.

• Хариулт:

• Тэгшитгэлийн систем нь хоёр ба түүнээс дээш алгебрийн тэгшитгэлээс бүрдэнэ.

• Системийн шийдэлЭнэ нь орлуулсны дараа системийн тэгшитгэл бүрийг тоон эсвэл шууд утга болгон хувиргадаг хувьсах утгуудын багц юм.

• Системийг шийдэх -бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг.

Системийн график шийдэл

• Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга нь дараах байдалтай байна.

• Системийн тэгшитгэл бүрийн графикийг барьсан;

• Графикуудын огтлолцлын цэгүүдийг тодорхойлсон;

• Хариултыг тэмдэглэв: баригдсан графикуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд.

• Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга нь системийн яг шийдлийг өгдөггүй боловч үндэслэлийг нүдээр харуулахад тустай байдаг.

Шийдэл:

• Шийдэл:Эхний болон гурав дахь тэгшитгэлийн графикууд шулуун байна; Хоёр дахь тэгшитгэлийн график нь куб парабол юм (зураг). Гурван огтлолцох цэгээс зөвхөн нэг нь системийн тэгшитгэлийн бүх графикт нийтлэг байдаг.

• Хариулт:(0;0)

Тэгшитгэлийн тэгшитгэл

• Эхний тэгшитгэлийн бүх язгуур нь хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэс, хоёр дахь тэгшитгэлийн бүх язгуур нь эхний тэгшитгэлийн үндэс байвал тэгшитгэлийг эквивалент (эквивалент) гэж нэрлэдэг.

• Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт нь тэнцүү тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалт юм.

• 1) тэгшитгэлийн хоёр талд нэгэн зэрэг дурын тоог нэмэх (ялангуяа тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү тэмдэгтийн өөрчлөлтийг шилжүүлэх)

• 2) Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгэн зэрэг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх (болон хуваах).

• Мөн бодит тооны муж дахь тэгшитгэлийн хувьд:

• 3) Тэгшитгэлийн хоёр талыг ямар ч сондгой хэмжээнд өсгөх замаар

• 4) Тэгшитгэлийн хоёр талыг сөрөг биш тохиолдолд аль ч тэгш байгалийн хүчинд өсгөх

Ю.Н.Макарычев – “Алгебр. Сургуулийн сурах бичгийн нэмэлт бүлгүүд. 8-р анги." 2003 он

Ю.Н.Макарычев – “Алгебр. Сургуулийн сурах бичгийн нэмэлт бүлгүүд. 9-р анги." 2003 он

Илтгэлийг бэлтгэсэн:

• Шманова Виктория

• Деева Александра

• 11-р анги

• Хотын боловсролын байгууллага "1-р дунд сургууль"

• Шумиха

• 2007 он

• Дэлгэрэнгүй мэдээллийг 83524521413 утсаар авна уу

• Ерөнхий боловсролын 1-р сургуулийн багш нарт онцгой талархал илэрхийлье:

• Терегулова Ирина Викторовна

• Шманов Анатолий Иванович

Сургуулийн математикийн хичээл дээр хүүхэд "тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёог анх удаа сонсдог. Энэ юу вэ, хамтдаа үүнийг олохыг хичээцгээе. Энэ нийтлэлд бид шийдлийн төрөл, аргуудыг авч үзэх болно.

Математик. Тэгшитгэл

Эхлээд бид ойлголтыг өөрөө ойлгохыг санал болгож байна, энэ юу вэ? Математикийн олон сурах бичигт тэгшитгэл нь тэнцүү тэмдэг байх ёстой зарим илэрхийлэл юм. Эдгээр илэрхийлэл нь хувьсагч гэж нэрлэгддэг үсгүүдийг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн утгыг олох ёстой.

Энэ нь түүний утгыг өөрчилдөг системийн шинж чанар юм. Хувьсагчийн сайн жишээ нь:

• агаарын температур;
• хүүхдийн өндөр;
• жин гэх мэт.

Математикт тэдгээрийг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл, x, a, b, c... Математикийн даалгавар ихэвчлэн ийм байдаг: тэгшитгэлийн утгыг ол. Энэ нь эдгээр хувьсагчдын утгыг олох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Сортууд

Тэгшитгэл (энэ нь юу болохыг өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн) дараах хэлбэртэй байж болно.

• шугаман;
• дөрвөлжин;
• куб;
• алгебрийн;
• трансцендентал.

Бүх төрлүүдтэй илүү дэлгэрэнгүй танилцахын тулд бид тус бүрийг тусад нь авч үзэх болно.

Шугаман тэгшитгэл

Энэ бол сургуулийн сурагчдад танилцуулсан анхны төрөл юм. Тэд маш хурдан бөгөөд энгийн байдлаар шийдэгддэг. Тэгэхээр шугаман тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: ah=c. Энэ нь тийм ч тодорхой биш байгаа тул хэд хэдэн жишээ хэлье: 2x=26; 5х=40; 1.2x=6.

Тэгшитгэлийн жишээг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид нэг талдаа мэдэгдэж байгаа бүх өгөгдлийг, нөгөө талд нь үл мэдэгдэх өгөгдлийг цуглуулах хэрэгтэй: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Энд математикийн анхан шатны дүрмийг ашигласан: a*c=e, үүнээс c=e/a; a=e/c. Тэгшитгэлийн шийдлийг дуусгахын тулд бид нэг үйлдэл хийдэг (бидний тохиолдолд хуваах) x = 13; x=8; x=5. Эдгээр нь үржүүлэх жишээнүүд байсан, одоо хасах болон нэмэх үйлдлийг авч үзье: x+3=9; 10х-5=15. Бид мэдэгдэж буй өгөгдлийг нэг чиглэлд шилжүүлдэг: x=9-3; x=20/10. Сүүлийн үйлдлийг гүйцэтгэнэ: x=6; x=2.

Сонголтууд бас боломжтой шугаман тэгшитгэл, нэгээс олон хувьсагч ашигласан тохиолдолд: 2x-2y=4. Шийдвэрлэхийн тулд хэсэг бүрт 2у нэмэх шаардлагатай бөгөөд бид 2x-2y + 2y = 4-2y олж авна. зүүн тал-2y ба +2y тэнцүү тэмдэг цуцлагдаж, бидэнд: 2x=4-2y байна. Сүүлийн алхам бол хэсэг бүрийг хоёроор хуваах явдал юм, бид хариултыг авна: x нь хоёр хасах y-тэй тэнцүү.

Ахмес папирус дээр ч тэгшитгэлтэй холбоотой асуудлууд олддог. Энд нэг бодлого байна: тоо болон түүний дөрөв дэх хэсэг нь нийлбэр нь 15. Үүнийг шийдэхийн тулд бид дараах тэгшитгэлийг бичнэ: x нэмэх дөрөвний нэг x нь арван тавтай тэнцүү. Шийдлийн үр дүнд үндэслэн бид өөр нэг жишээг харж, хариултыг авна: x = 12. Гэхдээ энэ асуудлыг өөр аргаар, тухайлбал египетийн эсвэл өөрөөр нэрлэгдэх таамаглалын аргаар шийдэж болно. Папирус нь дараахь шийдлийг ашигладаг: дөрөв, дөрөвний нэгийг нь, өөрөөр хэлбэл нэгийг нь авна. Нийтдээ тэд тав өгдөг, одоо арван тавыг нийлбэрт хуваах ёстой, бид гурвыг авна, сүүлчийн алхам бол гурвыг дөрөвөөр үржүүлэх явдал юм. Бид хариултыг авдаг: 12. Уусмалд бид яагаад арван тавыг таваар хуваадаг вэ? Тиймээс бид хэдэн удаа арван тав, өөрөөр хэлбэл бидний авах ёстой үр дүн нь таваас бага болохыг олж мэднэ. Дундад зууны үед ийм байдлаар асуудлыг шийдэж байсан бөгөөд үүнийг худал байрлалын арга гэж нэрлэдэг байв.

Квадрат тэгшитгэл

Өмнө нь авч үзсэн жишээнүүдээс гадна бусад нь бий. Яг аль нь вэ? Квадрат тэгшитгэл, энэ юу вэ? Тэд сүх 2 +bx+c=0 шиг харагдаж байна. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд та зарим ойлголт, дүрмүүдтэй танилцах хэрэгтэй.

Эхлээд та b 2 -4ac томъёог ашиглан ялгагчийг олох хэрэгтэй. Шийдвэр гаргах гурван боломжит үр дүн бий:

• ялгаварлан гадуурхах нь тэгээс их;
• тэгээс бага;
• тэгтэй тэнцүү.

Эхний хувилбарт бид хоёр язгуураас хариултыг авах боломжтой бөгөөд эдгээр нь томъёоны дагуу олддог: -b+-дискриминантийн язгуурыг эхний коэффициентийг хоёр дахин хуваасан, өөрөөр хэлбэл 2a.

Хоёр дахь тохиолдолд тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Гурав дахь тохиолдолд үндсийг дараах томъёогоор олно: -b/2a.

Илүү нарийвчилсан танилцуулга хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийн жишээг харцгаая: гурван х квадрат хасах арван дөрөв x хасах тав нь тэгтэй тэнцүү. Эхлэхийн тулд, өмнө нь бичсэнчлэн бид ялгаварлагчийг хайж байна, манай тохиолдолд энэ нь 256-тай тэнцүү байна. Үр дүн нь тэгээс их байна гэдгийг анхаарна уу, тиймээс бид хоёр үндэсээс бүрдсэн хариултыг авах ёстой. Бид үүссэн ялгаварлагчийг үндсийг олох томъёонд орлуулна. Үүний үр дүнд бид: x нь тав, хасах гуравны нэг юм.

Квадрат тэгшитгэл дэх тусгай тохиолдлууд

Эдгээр нь зарим утгууд нь тэг (a, b эсвэл c), магадгүй нэгээс олон байж болох жишээнүүд юм.

Жишээлбэл, квадрат болох дараах тэгшитгэлийг авч үзье: хоёр x квадрат нь тэгтэй тэнцүү, энд b ба c нь тэгтэй тэнцүү болохыг харж байна. Үүнийг шийдэх гэж оролдъё, үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваавал: x 2 =0. Үүний үр дүнд бид x=0 болно.

Өөр нэг тохиолдол нь 16x 2 -9=0. Энд зөвхөн b=0 байна. Тэгшитгэлийг шийдье, чөлөөт коэффициентийг баруун тал руу шилжүүлье: 16x 2 = 9, одоо бид хэсэг бүрийг арван зургаад хуваана: x 2 = арван зургаа. Бид х квадраттай тул 9/16-ийн үндэс нь сөрөг эсвэл эерэг байж болно. Бид хариултыг дараах байдлаар бичнэ: x нь нэмэх/хасах дөрөвний гуравтай тэнцүү.

Өөр нэг боломжит хариулт бол тэгшитгэл нь огт үндэсгүй юм. Энэ жишээг харцгаая: 5x 2 +80=0, энд b=0. Шийдвэрлэхийн тулд үнэгүй гишүүнийг оруулаарай баруун тал, эдгээр үйлдлүүдийн дараа бид: 5x 2 = -80, одоо бид хэсэг бүрийг таваар хуваана: x 2 = хасах арван зургаа. Хэрэв бид ямар ч тоог квадрат болговол сөрөг утгыг авахгүй. Тиймээс бидний хариулт: тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Гурвалсан тэлэлт

Квадрат тэгшитгэлийн даалгавар нь бас ингэж сонсогдож болно: өргөжүүлэх квадрат гурвалжинүржүүлэгчээр. Үүнийг дараах томъёогоор хийж болно: a(x-x 1)(x-x 2). Үүнийг хийхийн тулд даалгаврын бусад хувилбарын нэгэн адил ялгаварлагчийг олох шаардлагатай.

Дараах жишээг авч үзье: 3x 2 -14x-5, гурвалсан тоог үржүүлээрэй. Бид ялгаварлагчийг бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан томьёо ашиглан олдог бөгөөд энэ нь 256-тай тэнцүү байна. 256 нь тэгээс их гэдгийг бид даруй тэмдэглэж, тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Өмнөх догол мөрийн нэгэн адил бид тэдгээрийг олох болно: x = тав ба хасах гуравны нэг. Гурвалсан гишүүнийг хүчинжүүлэх томъёог ашиглая: 3(x-5)(x+1/3). Хоёрдахь хаалтанд бид тэнцүү тэмдгийг авсан, учир нь томьёо нь хасах тэмдэг агуулсан, язгуур нь мөн сөрөг утгатай тул математикийн суурь мэдлэгийг ашиглан нийлбэрт нэмэх тэмдэг байна. Хялбаршуулахын тулд тэгшитгэлийн эхний ба гурав дахь гишүүнийг үржүүлж бутархайг нь гаргая: (x-5)(x+1).

Квадрат болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд

Энэ хэсэгт бид илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Нэг жишээгээр шууд эхэлцгээе:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Бид давтагдаж буй элементүүдийг анзаарч болно: (x 2 - 2x), үүнийг шийдэхийн тулд өөр хувьсагчаар солих нь бидэнд тохиромжтой, дараа нь ердийн квадрат тэгшитгэлийг нэн даруй шийдээрэй Ийм даалгаварт бид дөрвөн үндэс авах болно, энэ нь таныг айлгах ёсгүй. Бид a хувьсагчийн давталтыг тэмдэглэнэ. Бид дараахийг авна: a 2 -2a-3=0. Манай дараагийн алхамшинэ тэгшитгэлийн дискриминантыг олж байна. Бид 16-г авч, хоёр үндсийг олоорой: хасах нэг ба гурав. Бид орлуулалтыг хийж, эдгээр утгыг орлуулсны үр дүнд бид тэгшитгэлтэй болно: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Бид тэдгээрийг эхний хариултаар шийддэг: x нь нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь нь: x нь хасах нэг ба гуравтай тэнцүү. Бид хариултыг дараах байдлаар бичнэ: нэмэх / хасах нэг ба гурав. Дүрмээр бол хариултыг өсөх дарааллаар бичдэг.

Куб тэгшитгэл

Дахиад нэгийг харцгаая боломжит хувилбар. Энэ талаар юмкуб тэгшитгэлийн тухай. Тэдгээр нь иймэрхүү харагдаж байна: сүх 3 + b x 2 + cx + d =0. Бид доорх тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, гэхдээ эхлээд бага зэрэг онол. Тэдгээр нь гурван үндэстэй байж болох ба куб тэгшитгэлийн дискриминантыг олох томъёо байдаг.

Жишээ авч үзье: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зүгээр л хаалтанд х-г гаргаж өгнө: x(3x 2 +4x+2)=0. Бидний хийх ёстой зүйл бол тэгшитгэлийн язгуурыг хаалтанд оруулах явдал юм. Хаалтанд байгаа квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь тэгээс бага бөгөөд үүн дээр үндэслэн илэрхийлэл нь язгууртай болно: x=0.

Алгебр. Тэгшитгэл

Дараагийн үзэл бодол руу шилжье. Одоо бид товчхон авч үзэх болно алгебрийн тэгшитгэл. Даалгавруудын нэг нь дараах байдалтай байна: хүчин зүйл 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Хамгийн тохиромжтой арга бол дараах бүлэглэл байх болно: (3х 4 +3х 2)+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Бид эхний илэрхийллээс 8х 2-ыг 3х 2 ба 5х 2-ын нийлбэрээр илэрхийлсэн гэдгийг анхаарна уу. Одоо бид хаалт бүрээс нийтлэг хүчин зүйл болох 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) -ийг гаргаж авдаг. Бид нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг харж байна: x квадрат дээр нэмэх нь нэг, бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авдаг: (x 2 +1) (3x 2 +2x+5). Хоёр тэгшитгэл нь сөрөг дискриминанттай тул цаашид өргөтгөх боломжгүй.

Трансцендент тэгшитгэл

Бид танд дараах төрлүүдтэй ажиллахыг санал болгож байна. Эдгээр нь логарифм, тригонометр эсвэл экспоненциал гэх мэт трансцендент функцуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд юм. Жишээ нь: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 гэх мэт. Тригонометрийн хичээлээр тэдгээрийг хэрхэн шийдэж байгааг олж мэдэх болно.

Чиг үүрэг

Эцсийн алхам бол функцийн тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг авч үзэх явдал юм. Өмнөх сонголтуудаас ялгаатай нь энэ төрөл шийдэгдээгүй боловч үүн дээр үндэслэн график бүтээдэг. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг сайтар шинжлэх, барилгын ажилд шаардлагатай бүх цэгүүдийг олох, хамгийн бага ба хамгийн их оноог тооцоолох нь зүйтэй.