Гэр Урьдчилан сэргийлэх Квадрат гурвалсанаас төгс дөрвөлжин. Олон гишүүнт хүчин зүйлс

Квадрат гурвалсанаас төгс дөрвөлжин. Олон гишүүнт хүчин зүйлс

Энэ хичээлээр бид олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгохын өмнө судалсан бүх аргуудыг эргэн дурсаж, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг авч үзэх болно. шинэ арга- бүтэн квадратыг тодорхойлох арга, түүнийг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах.

Сэдэв:Олон гишүүнт хүчин зүйлс

Хичээл:Олон гишүүнт хүчин зүйлс. Бүрэн квадратыг сонгох арга. Аргын хослол

Өмнө нь судалж байсан олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох үндсэн аргуудыг эргэн санацгаая.

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах арга, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийн бүх гишүүнд байгаа хүчин зүйл. Нэг жишээг харцгаая:

Мономиал нь хүч ба тооны үржвэр гэдгийг санаарай. Бидний жишээн дээр хоёр нэр томъёо нь нийтлэг, ижил элементүүдтэй байдаг.

Тиймээс, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:

;

Гарсан коэффициентийг хаалтанд үржүүлснээр хасагдсан хүчин зүйлийн зөв эсэхийг шалгах боломжтой гэдгийг сануулъя.

Бүлэглэх арга. Олон гишүүнт нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Энэ тохиолдолд та гишүүдээ бүлгүүдэд хуваах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр бүлэг бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж аваад, бүлгүүдийн хүчин зүйлсийг хассаны дараа бүлэгт нийтлэг хүчин зүйл гарч ирэхийн тулд үүнийг задлахыг хичээх хэрэгтэй. бүх илэрхийлэл, мөн та задралыг үргэлжлүүлж болно. Нэг жишээг харцгаая:

Нэгдүгээр гишүүнийг дөрөв дэх, хоёр дахь нь тав, гурав дахь нь зургаа дахь гишүүнтэй бүлэглэе.

Бүлгүүдийн нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье:

Энэ илэрхийлэл нь одоо нийтлэг хүчин зүйлтэй болсон. Үүнийг гаргаж авцгаая:

Үржүүлэх товчилсон томъёоны хэрэглээ. Нэг жишээг харцгаая:

;

Илэрхийлэлийг дэлгэрэнгүй бичье:

Мэдээжийн хэрэг, бид хоёр илэрхийллийн квадратуудын нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэрийг хассан тул квадрат зөрүүний томъёо бидний өмнө байна. Томьёог ашиглая:

Өнөөдөр бид өөр аргыг сурах болно - бүрэн квадратыг сонгох арга. Энэ нь нийлбэрийн квадрат ба зөрүүний квадратын томьёонд суурилдаг. Тэдэнд сануулъя:

Нийлбэрийн квадратын томъёо (ялгаа);

Эдгээр томьёоны онцлог нь хоёр илэрхийллийн квадратууд болон тэдгээрийн давхар үржвэрийг агуулсан байдаг. Нэг жишээг харцгаая:

Илэрхийлэлийг бичье:

Тэгэхээр эхний илэрхийлэл нь , хоёр дахь илэрхийлэл нь .

Нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын томьёог үүсгэхийн тулд илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь хангалтгүй юм. Үүнийг нэмэх, хасах шаардлагатай:

Нийлбэрийн квадратыг гүйцээцгээе:

Үр дүнгийн илэрхийлэлийг өөрчилье:

Хоёр илэрхийллийн квадратуудын зөрүү нь тэдгээрийн үржвэр ба тэдгээрийн зөрүүний нийлбэр гэдгийг санаарай, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглацгаая.

Тэгэхээр, энэ аргаЮуны өмнө квадрат болох a, b илэрхийллийг тодорхойлох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл энэ жишээнд аль илэрхийлэл квадрат болохыг тодорхойлох шаардлагатай. Үүний дараа та давхар үржвэр байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд хэрэв байхгүй бол нэмэх, хасах нь жишээний утгыг өөрчлөхгүй, харин олон гишүүнтийг квадратын томъёог ашиглан хүчин зүйлээр ангилж болно. боломжтой бол квадратуудын нийлбэр буюу зөрүү ба зөрүү.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэх рүү шилжье.

Жишээ 1 - хүчин зүйлчлэл:

Квадрат хэлбэртэй илэрхийллүүдийг олцгооё.

Тэдний давхар бүтээгдэхүүн ямар байх ёстойг бичье.

Давхар үржвэрийг нэмж хасъя:

Нийлбэрийн квадратыг гүйцээж, ижил төстэй тоог өгье.

Үүнийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор бичье.

Жишээ 2 - тэгшитгэлийг шийд:

;

Тэгшитгэлийн зүүн талд гурвалсан тоо байна. Та үүнийг хүчин зүйл болгон тооцох хэрэгтэй. Бид квадрат зөрүүний томъёог ашигладаг:

Бидэнд эхний илэрхийллийн квадрат ба давхар үржвэр байгаа, хоёр дахь илэрхийллийн квадрат дутуу байна, үүнийг нэмж, хасъя:

Бүтэн квадратыг нугалж, ижил төстэй нэр томъёог өгье.

Квадратуудын зөрүүг томъёогоор ашиглая:

Тэгэхээр бидэнд тэгшитгэл байна

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Үүний үндсэн дээр дараах тэгшитгэлийг байгуулъя.

Эхний тэгшитгэлийг шийдье:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье:

Хариулт: эсвэл

;

Бид өмнөх жишээтэй ижил төстэй байдлаар ажиллана - ялгааны квадратыг сонгоно уу.

х дуудсан

1.2.3. Үржүүлэхийн товчилсон тэмдэглэгээг ашиглах

Жишээ. Хүчин зүйл x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Олон гишүүнт язгуурыг нь ашиглан үржүүлэх

Теорем. P x олон гишүүнт үндэс x 1 байг. Дараа нь энэ олон гишүүнтийг дараах байдлаар үржвэрлэж болно: P x x x 1 S x, энд S x нь зэрэг нь нэгээс бага олон гишүүнт юм.

утгыг ээлжлэн P x илэрхийлэлд оруулна. Бид x 2 үед та-

илэрхийлэл нь 0, өөрөөр хэлбэл P 2 0 болж хувирах бөгөөд энэ нь x 2 нь олон тооны үндэс гэсэн үг юм.

гишүүн. P x олон гишүүнтийг x 2-т хуваа.

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 х

x2 x12

12х 2412х 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Бүрэн квадратыг сонгох

Бүрэн квадратыг сонгох арга нь a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 гэсэн томъёог ашиглахад суурилдаг.

Бүрэн квадратыг тусгаарлах нь өгөгдсөн гурвалсан гишүүнийг хоёр гишүүний квадратын нийлбэр эсвэл зөрүү ба зарим тоон эсвэл цагаан толгойн илэрхийлэлийн b 2 хэлбэрээр илэрхийлсэн таних тэмдгийн хувиргалт юм.

Хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалжин нь хэлбэрийн илэрхийлэлийг өгдөг

ax 2 bx c , энд a , b ба c тоонууд өгөгдсөн бөгөөд a 0 .

Квадрат гурвалсан сүх 2 bx c-ийг дараах байдлаар хувиргацгаая.

x2:

коэффициент

Дараа нь бид b x илэрхийлэлийг 2b x (бүтээгдэхүүнийг 2 дахин) илэрхийлнэ

x ):a x

Хаалтанд байгаа илэрхийлэлд бид үүнээс тоог нэмж, хасдаг

Энэ нь тооны квадрат юм

Үүний үр дүнд бид:

Одоо анзаарч байна

Бид авдаг

4a 2

Жишээ. Бүрэн квадратыг сонгоно уу.

2 х 12

2х 2 4х 5 2х 2 2х 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Хэд хэдэн хувьсагчтай олон гишүүнтүүд

Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтэй адил хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийг нэмж, үржүүлж, натурал зэрэглэлд хүргэж болно.

Хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтийг таних чухал хувирал бол хүчин зүйлчлэл юм. Энд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах, бүлэглэх, товчилсон үржүүлгийн таних тэмдэг ашиглах, бүтэн квадратыг тусгаарлах, туслах хувьсагчдыг оруулах зэрэг хүчин зүйлчлэлийг ашигладаг.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 олон гишүүнт хүчин зүйлс.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Хүчин зүйл P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Бүлэглэх аргыг хэрэглэцгээе

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Хүчин зүйл P x ,y x 4 4y 4 . Бүрэн квадратыг сонгоцгооё:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд

Аливаа рационал илтгэгчтэй зэрэг нь дараах шинж чанартай байна.

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ар 1

br 1

a 0;b 0;r 1;r 2 нь дурын рационал тоонууд.

1. 8-ыг үржүүл

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Хүчин зүйлд хуваах

2х3

1.6. Өөрөө хийх дасгалууд

1. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан үйлдлийг гүйцэтгэнэ. 1) a 52;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2.

4) 1 x 3;

3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2;

8) а нб ка кб на нб ка кб н.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Товчилсон үржүүлгийн таних тэмдгийг ашиглан тооцоолно уу:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Тодорхойлолтыг нотлох:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Дараах олон гишүүнтүүдийг үржүүлээрэй.

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 м 4н 327 м 3н 445 м 5н 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 т 2 20тн 25н 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 сүх 3 45 сүх 2 45 сүх 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 т 3 27т 6 .

5. Хамгийн энгийн аргаар тооцоол:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Олон гишүүнтийн хэсэг ба үлдэгдлийг ол P x олон гишүүнт Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Олон гишүүнт гэдгийг батал x 2 2x 2 нь жинхэнэ үндэсгүй.

8. Олон гишүүнтийн язгуурыг ол:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Хүчин зүйл:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Бүрэн квадратыг тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийд:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Илэрхийллийн утгыг ол:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Тооцоол:

16 0,25

16 0,25

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл тооцоололд бутархайг нэгтгэх тохиромжтой томъёо байдаггүй. Тиймээс гунигтай хандлага бий: бутархай нь илүү боловсронгуй байх тусам түүний интегралыг олоход хэцүү байдаг. Үүнтэй холбогдуулан та янз бүрийн заль мэхийг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд би одоо танд хэлэх болно. Бэлтгэсэн уншигчид тэр даруй давуу талыг ашиглах боломжтой агуулгын хүснэгт:

  • Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга

Хиймэл тоологч хувиргах арга

Жишээ 1

Дашрамд хэлэхэд, авч үзсэн интегралыг хувьсагчийн аргыг өөрчлөх замаар шийдэж болно, гэхдээ шийдлийг бичих нь илүү урт болно.

Жишээ 2

Хай тодорхойгүй интеграл. Шалгалт хийх.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Хувьсах солих арга энд цаашид ажиллахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Анхаар, чухал! Жишээ №1, 2 нь ердийн бөгөөд байнга тохиолддог. Ялангуяа ийм интеграл нь бусад интегралуудыг шийдвэрлэх явцад, ялангуяа иррационал функцуудыг (үндэс) нэгтгэх үед үүсдэг.

Энэ тохиолдолд авч үзсэн техник нь бас ажилладаг хэрэв тоологчийн хамгийн дээд зэрэг нь хуваагчийн хамгийн дээд зэргээс их бол.

Жишээ 3

Тодорхой бус интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Бид тоологчийг сонгож эхэлдэг.

Тоолуурыг сонгох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1) Тоолуур дээр би зохион байгуулах хэрэгтэй, гэхдээ тэнд . Юу хийх вэ? Би үүнийг хаалтанд хийж: -ээр үржүүлнэ.

2) Одоо би эдгээр хаалтуудыг нээхийг оролдсон, юу болох вэ? . Хмм... энэ нь дээр, гэхдээ анх тоологчийн хувьд хоёр байхгүй. Юу хийх вэ? Та үржүүлэх хэрэгтэй:

3) Би хаалтуудыг дахин нээв: . Мөн анхны амжилт энд байна! Энэ нь зөв болсон! Гэхдээ асуудал нь нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн явдал юм. Юу хийх вэ? Илэрхийлэл өөрчлөгдөхөөс сэргийлэхийн тулд би өөрийн бүтэцдээ ижил зүйлийг нэмэх ёстой:
. Амьдрал илүү хялбар болсон. Тоолуур дээр дахин зохион байгуулах боломжтой юу?

4) Энэ нь боломжтой. Оролдоод үзье: . Хоёрдахь гишүүний хаалтыг нээ:
. Уучлаарай, гэхдээ өмнөх алхам дээр надад байсан, гэхдээ . Юу хийх вэ? Та хоёр дахь гишүүнийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.

5) Дахин хэлэхэд, шалгахын тулд би хоёр дахь улиралд хаалт нээнэ:
. Одоо энэ нь хэвийн: 3-р цэгийн эцсийн бүтээн байгуулалтаас гаралтай! Гэхдээ дахиад жижиг "гэхдээ" гэсэн нэмэлт нэр томъёо гарч ирсэн бөгөөд энэ нь би өөрийн илэрхийлэлд нэмэх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол бүх хаалтыг нээхэд бид интегралын анхны дугаарыг авах ёстой. Бид шалгаж байна:
Бүрээс.

Тиймээс:

Бэлэн. Сүүлийн үед би функцийг дифференциал дор оруулах аргыг ашигласан.

Хэрэв бид хариултын деривативыг олж, илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулбал бид яг анхны интеграл функцийг авна. Нийлбэр болгон задлах арга нь илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч руу хүргэх урвуу үйлдлээс өөр зүйл биш юм.

Ийм жишээн дэх тоологчийг сонгох алгоритмыг ноорог хэлбэрээр хамгийн сайн хийдэг. Зарим ур чадварын хувьд энэ нь оюун санааны хувьд ажиллах болно. Би 11-р зэрэглэлийн сонгон шалгаруулалтыг хийж байхдаа рекорд эвдэрсэн тохиолдлыг санаж байна, тоологчийн өргөтгөл нь Вердын бараг хоёр мөрийг эзэлсэн.

Жишээ 4

Тодорхой бус интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Энгийн бутархайн дифференциал тэмдгийг тооцох арга

Дараагийн төрлийн бутархайг авч үзье.
, , , (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш).

Үнэн хэрэгтээ арксин ба арктангенс бүхий хэд хэдэн тохиолдлыг аль хэдийн хичээл дээр дурдсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга. Ийм жишээг дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэж, хүснэгтийг ашиглан дараа нь нэгтгэх замаар шийддэг. Энд бас нэг юм ердийн жишээнүүдурт ба өндөр логарифмтай:

Жишээ 5

Жишээ 6

Эндээс интегралын хүснэгтийг авч, ямар томьёо болон байгааг харахыг зөвлөж байна Хэрхэнхувиргалт явагддаг. Анхаар, яаж, яагаадЭдгээр жишээн дэх квадратуудыг тодруулсан болно. Тухайлбал, 6-р жишээнд бид эхлээд хуваагчийг хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй , дараа нь дифференциал тэмдгийн доор авчир. Стандарт хүснэгтийн томъёог ашиглахын тулд энэ бүгдийг хийх шаардлагатай .

7, 8-р жишээнүүдийг өөрөө шийдэж үзээрэй, ялангуяа тэдгээр нь нэлээд богино тул:

Жишээ 7

Жишээ 8

Тодорхой бус интегралыг ол:

Хэрэв та эдгээр жишээнүүдийг шалгаж чадвал маш их хүндэтгэлтэй байна - таны ялгах чадвар маш сайн байна.

Бүтэн квадрат сонгох арга

Маягтын интегралууд (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш) шийдэгдсэн дөрвөлжин олборлох бүрэн арга, аль хэдийн хичээл дээр гарч ирсэн Графикийн геометрийн хувиргалт.

Үнэн хэрэгтээ ийм интегралууд нь бидний сая үзсэн дөрвөн хүснэгтэн интегралын аль нэгэнд нь буурдаг. Үүнийг мэддэг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хийдэг.

Томьёог яг энэ чиглэлд ашигладаг, өөрөөр хэлбэл аргын санаа нь илэрхийлэлийг хуваагч дахь зохиомлоор зохион байгуулж, дараа нь аль алинд нь хөрвүүлэх явдал юм.

Жишээ 9

Тодорхой бус интегралыг ол

Энэ хамгийн энгийн жишээ, аль нь нэр томъёотой - нэгжийн коэффициент(мөн зарим тоо эсвэл хасах биш).

Хуваагчийг харцгаая, энд бүх зүйл тохиолдлоос үүдэлтэй. Хуваагчийг хөрвүүлж эхэлцгээе:

Мэдээжийн хэрэг та 4-ийг нэмэх хэрэгтэй. Мөн илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд ижил дөрвийг хасна уу:

Одоо та томъёог хэрэглэж болно:

Хөрвүүлэлт дууссаны дараа ҮРГЭЛЖгүйцэтгэхийг зөвлөж байна урвуу цус харвалт: , бүх зүйл зүгээр, ямар ч алдаа байхгүй.

Тухайн жишээний эцсийн загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Бэлэн. "Үнэгүй"-г нэгтгэн дүгнэж байна нарийн төвөгтэй функцдифференциал тэмдгийн дор: зарчмын хувьд үл тоомсорлож болно

Жишээ 10

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна

Жишээ 11

Тодорхой бус интегралыг ол:

Урд талд нь хасах байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд бид хаалтнаас хасахыг авч, нэр томъёог шаардлагатай дарааллаар нь цэгцлэх хэрэгтэй: . Тогтмол("хоёр"-д энэ тохиолдолд) бүү хүр!

Одоо бид хаалтанд нэгийг нэмнэ. Илэрхийлэлд дүн шинжилгээ хийснээр бид хаалтны гадна нэгийг нэмэх шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрэв.

Энд бид томъёог авч, хэрэглэнэ:

ҮРГЭЛЖБид төслийг шалгана:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Цэвэр жишээ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Даалгаврыг улам хүндрүүлж байна

Жишээ 12

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энд нэр томъёо нь нэгжийн коэффициент байхаа больсон, харин "тав" гэсэн үг юм.

(1) Хэрэв тогтмол тоо байвал бид тэр даруй хаалтнаас гаргаж авдаг.

(2) Ерөнхийдөө энэ тогтмолыг интегралын гадна талд шилжүүлэх нь үргэлж дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй.

(3) Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл томъёогоор буух болно. Бид "хоёр" гэсэн нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй.

(4) Тийм ээ, . Энэ нь бид илэрхийлэл дээр нэмж, ижил бутархайг хасдаг гэсэн үг юм.

(5) Одоо бүтэн квадратыг сонго. IN ерөнхий тохиолдолБид бас тооцоолох хэрэгтэй, гэхдээ энд урт логарифмын томъёо байна , мөн үйлдлийг гүйцэтгэх нь ямар ч утгагүй бөгөөд яагаад гэдгийг доор тайлбарлах болно.

(6) Үнэндээ бид томъёог хэрэглэж болно , зөвхөн “X”-ийн оронд бидэнд байгаа нь хүснэгтийн интегралын хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Хатуухан хэлэхэд нэг алхам алдагдсан - интеграци хийхээс өмнө функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах ёстой: , гэхдээ би олон удаа тэмдэглэж байсанчлан үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог.

(7) Үндэс дор хариулахдаа бүх хаалтыг буцааж томруулахыг зөвлөж байна:

Хэцүү үү? Энэ бол интеграл тооцооллын хамгийн хэцүү хэсэг биш юм. Хэдийгээр авч үзэж буй жишээнүүд нь сайн тооцоолох техник шаарддаг тул тийм ч төвөгтэй биш юм.

Жишээ 13

Тодорхой бус интегралыг ол:

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Хуваарьт үндэстэй интегралууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг орлуулалтыг ашиглан авч үзсэн төрлийн интеграл болгон бууруулсан байдаг; та тэдгээрийн талаар нийтлэлээс уншиж болно. Комплекс интеграл, гэхдээ маш их бэлтгэлтэй оюутнуудад зориулагдсан.

Тоолуурыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах

Энэ бол хичээлийн эцсийн хэсэг боловч ийм төрлийн интегралууд нэлээд түгээмэл байдаг! Хэрэв та ядарсан бол маргааш уншсан нь дээр болов уу? ;)

Бидний авч үзэх интегралууд нь өмнөх догол мөрийн интегралтай төстэй бөгөөд тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна. (коэффициент , ба тэгтэй тэнцүү биш).

Энэ нь бидний тоологч дээр байна шугаман функц. Ийм интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Онлайн тооцоолуур.
Хоёр гишүүний квадратыг салгаж, дөрвөлжин гурвалсан тоогоор ялгах.

Энэ математикийн програм дөрвөлжин хоёр гишүүнийг квадрат гурвалсанаас ялгадаг, өөрөөр хэлбэл дараах өөрчлөлтийг хийдэг.
\(ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q \) ба квадрат гурвалжийг үржвэржүүлэх: \(ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) \)

Тэдгээр. \(p, q\) ба \(n, m\) тоонуудыг олох хүртэл асуудал гардаг.

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг харуулдаг.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та квадрат гурвалжинд орох дүрмийг мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.
Түүнээс гадна бутархай тоог зөвхөн аравтын бутархай хэлбэрээр төдийгүй энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайгаар бутархайбүхэлд нь цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та орж болно аравтын бутархайүүнтэй адил: 2.5x - 3.5x^2

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл бүтэн хэсэгбутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан: &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Нарийвчилсан шийдлийн жишээ

Хоёр гишүүний квадратыг тусгаарлах.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \баруун)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\зүүн (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \баруун)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \баруун)^2 \баруун)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Хариулт:$$2х^2+2х-4 = 2\зүүн(x+\frac(1)(2) \баруун)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \баруун сум a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\зүүн(x^2+x-2 \баруун) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \баруун) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Хариулт:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...


Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.



Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Хоёр гишүүний квадратыг дөрвөлжин гурвалсанаас тусгаарлах

Хэрэв дөрвөлжин гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+p) 2 +q хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол p ба q нь бодит тоо бол бид үүнийг дараахаас хэлнэ. квадрат гурвалсан, хоёр гишүүний квадратыг тодруулсан.

2х 2 +12х+14 гурвалсан тооноос бид хоёр гишүүний квадратыг гаргаж авдаг.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Үүнийг хийхийн тулд 6x-ийг 2*3*x-ийн үржвэр гэж төсөөлөөд дараа нь 3 2-ыг нэмж хасах хэрэгтэй. Бид авах:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Тэр. Бид дөрвөлжин хоёр гишүүнийг дөрвөлжин гурвалсанаас гаргаж ав, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Квадрат гурвалжны коэффициент

Хэрэв квадрат гурвалсан тэнхлэг 2 +bx+c нь a(x+n)(x+m) хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол n ба m нь бодит тоо бол үйлдлийг гүйцэтгэсэн гэж үзнэ. квадрат гурвалжны үржүүлэх.

Энэ хувиргалт хэрхэн хийгдсэнийг жишээгээр харуулъя.

Квадрат гурвалсан 2х 2 +4х-6-г үржүүлье.

А коэффициентийг хаалтнаас авч үзье, өөрөөр хэлбэл. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувиргацгаая.
Үүнийг хийхийн тулд 2x-ийг 3x-1x-ийн зөрүү, -3-ыг -1*3 гэж төсөөл. Бид авах:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Тэр. Бид квадрат гурвалжийг хүчинтэй болгов, мөн үүнийг харуулсан:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгох нь зөвхөн дараах тохиолдолд боломжтой гэдгийг анхаарна уу. квадрат тэгшитгэл, энэ гурвалжинд харгалзах нь үндэстэй.
Тэдгээр. манай тохиолдолд 2х 2 +4х-6 =0 квадрат тэгшитгэл язгууртай бол 2х 2 +4х-6 гурвалсан тоог үржүүлэх боломжтой. Үржүүлэх үйл явцад бид 2x 2 + 4x-6 = 0 тэгшитгэл нь 1 ба -3 гэсэн хоёр үндэстэй болохыг тогтоосон. эдгээр утгуудаар 2(x-1)(x+3)=0 тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй болон Улсын нэгдсэн шалгалтын тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн график зурах Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Орос сургуулиудын залуучуудын хэллэгийн толь бичиг ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталогийн жагсаалт даалгавруудын

Тодорхойлолт

2 x 2 + 3 x + 5 хэлбэрийн илэрхийлэлийг квадрат гурвалжин гэж нэрлэдэг. Ерөнхийдөө гурвалсан квадрат нь a x 2 + b x + c хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд a, b, c a, b, c нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

x 2 - 4 x + 5 квадрат гурвалсан тоог авч үзье. Үүнийг дараах хэлбэрээр бичье: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Энэ илэрхийлэл дээр 2 2-ыг нэмээд 2 2-ыг хасвал: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 болно. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, тэгэхээр x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Бидний хийсэн өөрчлөлтийг гэж нэрлэдэг "квадрат гурвалжнаас төгс квадратыг тусгаарлах".

9 x 2 + 3 x + 1 квадрат гурвалжнаас төгс квадратыг тодорхойл.

9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x` гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Үүссэн илэрхийлэлд `(1/2)^2`-г нэмж хасвал бид авна

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Квадрат гурвалжнаас төгс квадратыг тусгаарлах аргыг дөрвөлжин гурвалсан гишүүнийг үржүүлэхэд хэрхэн ашигладаг болохыг бид харуулах болно.

4 x 2 - 12 x + 5 квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй.

Бид квадрат гурвалсан тооноос төгс квадратыг сонгоно: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Одоо бид томъёог хэрэглэвэл a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , бид дараахийг авна: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

Квадрат гурвалсан тоог үржүүлээрэй - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Одоо бид 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 гэдгийг анзаарч байна.

9 x 2 - 12 x илэрхийлэлд 2 2 гэсэн нэр томъёог нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 х - 2 2 .

Бид квадратуудын зөрүүний томъёог ашигладаг, бидэнд байна:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Квадрат гурвалсан тоог 3 x 2 - 14 x - 5 гэж тооц.

Бид 3 x 2 илэрхийлэлийг ямар нэг илэрхийллийн квадрат хэлбэрээр илэрхийлж чадахгүй, учир нь бид үүнийг сургуульд хараахан судалж амжаагүй байна. Та үүнийг дараа даван туулах болно, 4-р даалгаварт бид судлах болно квадрат үндэс. Өгөгдсөн квадрат гурвалжийг хэрхэн хүчин зүйлээр тооцохыг үзүүлье:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Квадрат гурвалсан гишүүний хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд төгс квадрат аргыг хэрхэн ашиглахыг бид танд үзүүлэх болно.
x 2 - x + 3 квадрат гурвалжийг авч үзье. Бүрэн квадратыг сонгоно уу:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. `x=1/2` үед квадрат гурвалсан гишүүний утга `11/4` байх ба `x!=1/2` үед `11/4`-ийн утга дээр эерэг тоо нэмэгдэхийг анхаарна уу. `11/ 4`-ээс их тоо авах. Тиймээс, хамгийн бага утгаквадрат гурвалжин нь `11/4` бөгөөд `x=1/2` үед олно.

Квадрат гурвалжны хамгийн том утгыг ол - 16 2 + 8 x + 6.

Бид квадрат гурвалсан гишүүнээс төгс квадратыг сонгоно: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x=1/4` үед квадрат гурвалсан гишүүний утга 7 байх ба `x!=1/4` үед 7 тооноос эерэг тоог хасвал 7-оос бага тоо гарна. Тэгэхээр 7 тоо хамгийн өндөр үнэ цэнэквадрат гурвалсан ба энэ нь `x=1/4` үед олно.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлж, бутархайг багасга.

Бутархайн хуваагч х 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 гэдгийг анхаарна уу. Гурвалсан дөрвөлжин гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарлах аргыг ашиглан бутархайн хүртэгчийг үржвэрлэе. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Энэ бутархайг (x - 3)-аар бууруулсны дараа `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` хэлбэрт хүргэсэн бөгөөд бид `(x+5)/(x-3) авна. )`.

Олон гишүүнт x 4 - 13 x 2 + 36-г үржүүлээрэй.

Энэ олон гишүүнт бүрэн квадратыг тусгаарлах аргыг хэрэглэцгээе. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Сайт дээр шинэ

>

Хамгийн алдартай

© 2023. Шүдний зөвлөгөө өгөх портал.

АЛДАРТ ХЭСЭГ