Чиг үүрэг y = f (x)нь Х олонлогийн х элемент бүр Y олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг у элементтэй холбогдох хууль (дүрэм) юм.
X элемент ∈ Xдуудсан функцийн аргументэсвэл бие даасан хувьсагч.
Элемент y ∈ Үдуудсан функцийн утгаэсвэл хамааралтай хувьсагч.
X олонлогийг дууддаг функцийн домэйн.
Элементүүдийн багц y ∈ Ү, X олонлогт урьдчилсан дүрстэй, гэж нэрлэдэг талбай эсвэл функцийн утгуудын багц.
Бодит функцийг дуудна дээрээс хязгаарласан (доороос), хэрэв тэгш бус байдал бүгдэд нийцэх M тоо байвал:
.
Тооны функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв M тоо байвал бүгдэд нь:
.
Дээд ирмэгэсвэл үнэн зөв дээд хязгаар
Бодит функцийг дээрээс нь утгын хүрээг хязгаарладаг хамгийн бага тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хүн бүрийн хувьд, аль ч хүнд функцийн утга нь s'-ээс хэтэрсэн аргумент байдаг s тоо юм: .
Функцийн дээд хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Тус тусад нь доод ирмэгэсвэл яг доод хязгаарБодит функцийг утгын хүрээг доороос нь хязгаарладаг хамгийн том тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хүн бүрийн хувьд, аль ч хүнд функцийн утга нь i'-ээс бага аргумент байдаг i тоо юм: .
Функцийн инфимумыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно.
.
Функцийн хязгаарыг тодорхойлох
Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох
Төгсгөлийн цэгүүд дэх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд
Функцийг тухайн цэгээс бусад тохиолдолд төгсгөлийн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл. нэг цэгт, хэрэв аль нэгнийх нь хувьд -аас хамааран ийм зүйл байгаа бөгөөд бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал биелнэ.
.
Функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.
Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.
Нэг талын хязгаарлалт.
Нэг цэг дэх зүүн хязгаар (зүүн талын хязгаар):
.
Нэг цэгийн баруун хязгаар (баруун гар талын хязгаар):
.
Зүүн ба баруун хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
;
.
Хязгааргүй цэг дээрх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд
Хязгааргүй цэгүүдийн хязгаарыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.
.
.
.
Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар нэрлэдэг.
;
;
.
Цэгийн хөршийн тухай ойлголтыг ашиглах
Хэрэв бид цэгийн цоорсон хөршийн тухай ойлголтыг оруулбал төгсгөлтэй ба хязгааргүй алслагдсан цэгүүд дэх функцийн төгсгөлийн хязгаарын нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч болно.
.
Энд төгсгөлийн цэгүүд
;
;
.
Хязгааргүй цэгийн аль ч хөрш цоорсон байна:
;
;
.
Хязгааргүй функцийн хязгаар
Тодорхойлолт
Функцийг цэгийн цоорсон ойролцоо (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) тодорхойлъё. Функцийн хязгаар f (x) x → x гэж 0
хязгааргүйтэй тэнцүү, хэрэв дурын тооны хувьд М > 0
, δ M тоо байна > 0
, M-ээс хамааран цоорсон δ M - цэгийн хөршид хамаарах бүх x-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал явагдана.
.
Хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв.
.
Эсвэл цагт.
Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.
Та мөн дараахтай тэнцүү тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг оруулж болно:
.
.
Функцийн хязгаарын түгээмэл тодорхойлолт
Цэгийн ойр орчмын тухай ойлголтыг ашиглан бид функцийн төгсгөлтэй ба хязгааргүй хязгаарын бүх нийтийн тодорхойлолтыг өгч болно, энэ нь хязгаарлагдмал (хоёр талт ба нэг талт) болон хязгааргүй алслагдсан цэгүүдэд хамаарна.
.
Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох
Функцийг зарим X олонлог дээр тодорхойлъё: .
a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэгцэг дээр:
,
x-д нийлэх ямар нэгэн дарааллын хувьд 0
:
,
Элементүүд нь X олонлогт хамаарах: ,
.
Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичье.
.
Хэрэв бид x цэгийн зүүн талын хөршийг X олонлог гэж авбал 0 , дараа нь бид зүүн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв энэ нь баруун гартай бол бид зөв хязгаарын тодорхойлолтыг авна. Хэрэв бид хязгааргүй дэх цэгийн ойр орчмыг X олонлог гэж авбал бид хязгааргүй дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна.
Теорем
Функцийн хязгаарын Коши ба Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Баталгаа
Функцийн хязгаарын шинж чанарууд ба теоремууд
Цаашилбал, авч үзэж буй функцүүд нь төгсгөлтэй тоо буюу тэмдэгтүүдийн аль нэг болох цэгийн харгалзах хөршид тодорхойлогддог гэж бид таамаглаж байна: . Энэ нь бас нэг талын хязгаарын цэг байж болно, өөрөөр хэлбэл, эсвэл хэлбэртэй байна. Хөрш нь хоёр талын хязгаарын хувьд хоёр талтай, нэг талын хязгаарын хувьд нэг талтай байдаг.
Үндсэн шинж чанарууд
Хэрэв функцийн утгууд f (x)хязгаартай тооны цэгийг өөрчлөх (эсвэл тодорхойгүй болгох) x 1, x 2, x 3, ... x n, тэгвэл энэ өөрчлөлт нь дурын x цэг дэх функцийн хязгаарын оршихуй ба утгад нөлөөлөхгүй. 0 .
Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол x цэгийн цоорсон хөрш байна 0
, үүн дээр функц f (x)хязгаарлагдмал:
.
Функцийг x цэг дээр байг 0
хязгаарлагдмал тэг бус хязгаар:
.
Дараа нь интервалаас ямар ч c тооны хувьд x цэгийн ийм цоорсон хөрш байна 0
юуны төлөө,
, Хэрэв ;
, Хэрэв .
Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр , тогтмол байвал .
Х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа бол 0
,
Тэр .
Хэрэв , мөн цэгийн зарим хөрш дээр
,
Тэр .
Ялангуяа, хэрэв цэгийн зарим хөршид
,
дараа нь хэрэв , дараа нь ба ;
хэрэв , дараа нь ба .
Хэрэв x цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр бол 0
:
,
мөн хязгаарлагдмал (эсвэл тодорхой тэмдгийн хязгааргүй) тэнцүү хязгаарууд байдаг:
, Тэр
.
Үндсэн шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын үндсэн шинж чанарууд."
Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд
Цэгийн зарим цоорсон хэсэгт функцууд болон тодорхойлогдоно. Мөн хязгаарлагдмал хязгаар байг:
Мөн .
Мөн C нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тоо байг. Дараа нь
;
;
;
, Хэрэв .
Хэрэв, тэгвэл.
Арифметик шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд".
Функцийн хязгаар оршихуйн Коши шалгуур
Теорем
Төгсгөлийн эсвэл хязгааргүй х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр тодорхойлогдсон функцийн тулд 0
, энэ үед хязгаарлагдмал хязгаартай байсан бөгөөд энэ нь ямар ч ε-д шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм > 0
х цэгийн ийм цоорсон хөрш байсан 0
, аль ч цэг болон энэ хөршийн хувьд дараах тэгш бус байдал байна:
.
Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар
Хязгаарын теорем нарийн төвөгтэй функц
Функцийг хязгаартай болгоод цэгийн цоорсон хөршийг цэгийн цоорсон хөрш рүү зур. Функцийг энэ хөрш дээр тодорхойлж, хязгаартай байг.
Энд эцсийн буюу хязгааргүй алслагдсан цэгүүд байна: . Хөршүүд болон тэдгээрийн холбогдох хязгаар нь хоёр талт эсвэл нэг талтай байж болно.
Дараа нь нийлмэл функцийн хязгаар байгаа бөгөөд энэ нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Цогцолбор функцийн хязгаарын теоремыг функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл хязгаараас өөр утгатай үед хэрэглэнэ. Энэ теоремыг хэрэгжүүлэхийн тулд функцийн утгуудын багц нь тухайн цэгийг агуулаагүй цэгийн цоорсон хөрш байх ёстой.
.
Хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал хязгаарын тэмдгийг аргументад хэрэглэж болно тасралтгүй функц:
.
Дараах нь энэ тохиолдолд тохирох теорем юм.
Функцийн тасралтгүй функцийн хязгаарын тухай теорем
g функцийн хязгаар байг (t)зэрэг t → t 0
, мөн энэ нь x-тэй тэнцүү байна 0
:
.
Энд t цэг байна 0
төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй алслагдсан байж болно: .
Мөн функцийг f гэж үзье (x) x цэг дээр тасралтгүй байна 0
.
Тэгвэл е цогц функцийн хязгаар байна (g(t)), мөн f-тэй тэнцүү байна (x0):
.
Теоремуудын нотолгоог хуудсанд өгсөн болно
"Цогц функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал".
Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцууд
Хязгааргүй жижиг функцууд
Тодорхойлолт
Хэрэв функцийг хязгааргүй жижиг гэж хэлдэг
.
Нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүнхязгаартай тооны хязгааргүй жижиг функцийн тоо нь хязгааргүй жижиг функц юм.
Хязгаарлагдмал функцийн бүтээгдэхүүнцэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгааргүй жижиг функц нь -д хязгааргүй жижиг функц юм.
Функц хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм
,
хаана - хязгааргүй жижиг функццагт.
"Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд".
Хязгааргүй том функцууд
Тодорхойлолт
Хэрэв функцийг хязгааргүй том гэж хэлдэг
.
Цэгийн зарим цоорсон хөрш дээрх хязгаарлагдмал функцийн нийлбэр буюу зөрүү, хязгааргүй том функцийн нийлбэр нь хязгааргүй юм. гайхалтай функццагт.
Хэрэв функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том бөгөөд функц нь цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагддаг бол .
.
Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээрх функц тэгш бус байдлыг хангаж байвал:
,
функц нь хязгааргүй бага байна:
, ба (цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр), дараа нь
.
Үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог хэсэгт үзүүлэв
"Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд".
Төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын хамаарал
Өмнөх хоёр шинж чанараас төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын холбоог дагаж мөрддөг.
Хэрэв функц нь үед хязгааргүй том бол функц нь -д хязгааргүй жижиг байна.
Хэрэв функц нь болон -ийн хувьд хязгааргүй жижиг бол функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том байна.
Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
,
.
Хэрэв хязгааргүй жижиг функц нь тодорхой тэмдэгтэй бол цэгийн зарим цоорсон хэсэгт эерэг (эсвэл сөрөг) байвал энэ баримтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Үүний нэгэн адил, хэрэв хязгааргүй том функц нь тодорхой тэмдэгтэй байвал дараахь зүйлийг бичнэ.
.
Дараа нь хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцүүдийн хоорондох бэлгэдлийн холболтыг дараахь харьцаагаар нэмж болно.
,
,
,
.
Хязгааргүй байдлын тэмдэгтэй холбоотой нэмэлт томъёог хуудаснаас олж болно
"Хязгааргүй цэгүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд."
Монотон функцүүдийн хязгаар
Тодорхойлолт
Зарим бодит X олонлог дээр тодорхойлсон функцийг дуудна хатуу нэмэгдэж байна, хэрэв бүгдэд нь дараах тэгш бус байдал хангагдвал:
.
Үүний дагуу, төлөө хатуу бууруулж байнафункцийн хувьд дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
.
Учир нь буурдаггүй:
.
Учир нь өсөхгүй:
.
Үүнээс үзэхэд хатуу өсөн нэмэгдэж буй функц нь бас буурахгүй байна. Хатуу буурч байгаа функц нь мөн өсөхгүй байна.
Функцийг дууддаг нэг хэвийн, хэрэв энэ нь буурахгүй эсвэл өсөхгүй байвал.
Теорем
Функц нь интервал дээр буурахгүй байг, энд .
Дээрээс нь M тоогоор хязгаарлагдсан бол: хязгаарлагдмал хязгаар байна. Дээрээс хязгаарлагдахгүй бол .
Хэрэв доороос m тоогоор хязгаарлагдах юм бол: тэгвэл хязгаарлагдмал хязгаар байна. Хэрэв доороос хязгаарлагдахгүй бол .
Хэрэв a ба b цэгүүд хязгааргүй байвал илэрхийлэл дэх хязгаарын тэмдэг нь .
Энэ теоремыг илүү нягт томъёолж болно.
Функц нь интервал дээр буурахгүй байг, энд . Дараа нь a ба b цэгүүдэд нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.
Өсөхгүй функцийн ижил төстэй теорем.
-ийн интервал дээр функц нэмэгдэхгүй байг. Дараа нь нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.
Теоремын баталгааг хуудсанд үзүүлэв
"Монотон функцүүдийн хязгаар".
Лавлагаа:
Л.Д. Кудрявцев. За математик шинжилгээ. 1-р боть. Москва, 2003 он.
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.
Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дээрх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох ба бидний ачаар олон зүйлийг хийж болно онлайн үйлчилгээ- . Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө оруулаарай функцийн хувьсагчМөн түүний зорьж буй хязгаарыг харгалзан манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохТа тоон цуваа болон тогтмол илэрхийлэл агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд функцын олсон хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь олоход төвөгтэй аливаа асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, энэ нь функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаарын утга. Тооцоолж байна онлайн хязгаарлалт, та ашиглаж болно янз бүрийн аргаолж авсан үр дүнг шалгахын зэрэгцээ тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмүүд хязгаарлалтыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, бичиг хэргийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарыг бие даан тооцоолоход нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тооны дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.
Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарТэгээд дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтхэдхэн секундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Математик анализын судалгаа нь дараахь үеэс эхэлдэг хязгаар руу шилжих, хязгаарДээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг Онлайн хязгаарлалтын шийдэл, энэ нь сайт юм.
Цэг ба цэг дэх функцийн хязгаар
Функцийн хязгаар нь математик шинжилгээний үндсэн хэрэгсэл юм. Үүний тусламжтайгаар дараа нь функцийн тасралтгүй байдал, дериватив, интеграл, цувралын нийлбэрийг тодорхойлно.
Функцийг y гэж үзье=е(x)цэгийн зарим хөршид тодорхойлсон 
, магадгүй санааг эс тооцвол 
.
Нэг цэг дээрх функцийн хязгаарын хоёр ижил төстэй тодорхойлолтыг томъёолъё.
Тодорхойлолт 1 ("дарааллын хэлээр" эсвэл Гейний хэлснээр). Тоо бдуудсан функцийн хязгаар
y=е(x)
цэг дээр
(эсвэл хэзээ 
), хэрэв хүчинтэй аргументын утгуудын аль нэг дарааллын хувьд 
руу ойртож байна
(тэдгээр. 
), харгалзах функцийн утгуудын дараалал 
тоонд нийлдэг б(тэдгээр. 
).
Энэ тохиолдолд тэд бичдэг 
эсвэл 
цагт 
. Функцийн хязгаарын геометрийн утга: 
бүх оноо гэсэн үг X, цэгт хангалттай ойрхон байна
, функцийн харгалзах утгууд нь тооноос хүссэн хэмжээгээрээ ялгаатай байна б.
Тодорхойлолт 2 (" хэлээр", эсвэл Кошигийн хэлснээр). Тоо бдуудсан функцийн хязгаар
y=е(x)
цэг дээр
(эсвэл хэзээ 
), хэрэв ямар нэгэн эерэг тоо -ийн хувьд эерэг тоо байвал бүгдэд нь 
тэгш бус байдлыг хангаж байна 
, тэгш бус байдал хэвээр байна 
.
Бичнэ үү 
.
Энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар товч бичиж болно.
анзаараарай, тэр 
ингэж бичиж болно 
.
Г 
Функцийн хязгаарын геометрийн утга: 
, хэрэв тухайн цэгийн аль нэг хөрш бцэгийн ийм хөрш байдаг
энэ нь хүн бүрт зориулагдсан 
Энэ хөршөөс функцийн харгалзах утгууд е
(x) цэгийн хөршд хэвтэнэ б. Өөрөөр хэлбэл функцийн график дээрх цэгүүд y
=
е
(x) шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн 2 өргөнтэй туузан дотор хэвтэнэ цагт
= б + ,
цагт = б (Зураг 17). Мэдээжийн хэрэг, -ийн утга нь -ийн сонголтоос хамаардаг тул = () гэж бичдэг.
ЖишээҮүнийг нотол 
Шийдэл
. Дурын 0-г аваад = () 0-г олъё. X 
, тэгш бус байдал хэвээр байна 
. -аас хойш 
тэдгээр. 
, дараа нь авах 
, бид үүнийг хүн бүрт хардаг X, тэгш бус байдлыг хангаж байна 
, тэгш бус байдал хэвээр байна 
. Тиймээс, 
ЖишээҮүнийг нотлох е
(x) =
-тай, Тэр 
.
Шийдэл
. Учир нь 
та үүнийг авч болно 
. Дараа нь цагт 
бидэнд байгаа . Тиймээс, 
.
Функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо 
Тийм гэж үздэг Xтэмүүлдэг
ямар ч байдлаар: -ээс бага хэвээр байна
(зүүн талд
), -ээс их
(баруун талд
), эсвэл цэгийн эргэн тойронд хэлбэлздэг
.
Аргументыг ойртуулах арга байдаг тохиолдол байдаг Xруу
функцийн хязгаарын утгад ихээхэн нөлөөлдөг. Тиймээс нэг талын хязгаарлалтын тухай ойлголтуудыг нэвтрүүлсэн.
Тодорхойлолт. Тоо 
дуудсан функцийн хязгаар
y=е(x)
зүүн
цэг дээр
, хэрэв дурын тооны 0-ийн хувьд = () 0 гэсэн тоо байвал 
, тэгш бус байдал хэвээр байна 
.
Зүүн талд байгаа хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ 
эсвэл товчхон 
(Дирихлетийн тэмдэглэгээ) (Зураг 18).
Үүнтэй адилаар тодорхойлсон баруун талд байгаа функцийн хязгаар , тэмдэг ашиглан бичье:
Товчхондоо баруун талын хязгаарыг тэмдэглэв 
.
П 
Зүүн ба баруун талын функцийн хязгаарыг дуудна нэг талын хязгаарлалт
. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв байгаа бол 
, тэгвэл аль аль нь нэг талын хязгаарлалтууд байдаг, ба 
.
Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв хоёр хязгаарлалт байгаа бол 
Тэгээд 
мөн тэд тэнцүү, тэгвэл хязгаар бий 
Мөн .
Хэрэв 
, Тэр 
байдаггүй.
Тодорхойлолт. Функцийг зөвшөөр y=е(x) интервалаар тодорхойлогддог 
. Тоо бдуудсан функцийн хязгаар
y=е(x)
цагт
X , хэрэв ямар нэгэн тооны 0-д ийм тоо байгаа бол М
= М() 0, энэ нь бүгдэд зориулагдсан X, тэгш бус байдлыг хангаж байна 
тэгш бус байдал бий 
. Товчхондоо энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
Э 
хэрэв X +, дараа нь тэд бичнэ 
, Хэрэв X , дараа нь тэд бичдэг 
, Хэрэв 
=
, дараа нь тэдний ерөнхий утгыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг 
.
Энэхүү тодорхойлолтын геометрийн утга нь дараах байдалтай байна: for 
, тэр цагт 
Тэгээд 
харгалзах функцийн утгууд y=е(x) цэгийн хөршөөр унана б, өөрөөр хэлбэл Графикийн цэгүүд нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн 2 өргөн зурваст байрладаг 
Тэгээд 
(Зураг 19).
Функцийн хязгаар- тоо аХэрэв энэ хувьсах хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх явцад тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол зарим нэг хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаар болно. а.
Эсвэл өөрөөр хэлбэл тоо Ань функцийн хязгаар юм у = f(x)цэг дээр x 0, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас ямар нэгэн цэгийн дарааллын хувьд тэнцүү биш x 0, аль нь цэгт нийлдэг x 0 (lim x n = x0), харгалзах функцийн утгуудын дараалал нь тоонд нийлдэг А.
Хязгааргүй байх хандлагатай аргументыг өгвөл хязгаар нь тэнцүү байх функцийн график Л:
Утга Абайна функцийн хязгаар (хязгаарлалтын утга). f(x)цэг дээр x 0ямар нэг цэгийн дараалсан тохиолдолд 
, аль нь нийлдэг x 0, гэхдээ агуулаагүй x 0түүний элементүүдийн нэг болгон (жишээ нь цоорсон ойролцоо x 0), функцийн утгуудын дараалал 
-д нийлдэг А.
Кошигийн дагуу функцийн хязгаар.
Утга Абайх болно функцийн хязгаар f(x)цэг дээр x 0хэрэв урьдчилан авсан сөрөг бус тооны хувьд ε харгалзах сөрөг бус тоог олох болно δ = δ(ε) аргумент бүрийн хувьд x, нөхцөлийг хангаж байна 0 < | x - x0 | < δ , тэгш бус байдал хангагдана | f(x)A |< ε .
Хэрэв та хязгаарын мөн чанар, түүнийг олох үндсэн дүрмийг ойлговол энэ нь маш энгийн байх болно. Функцийн хязгаар гэж юу вэ f (x)цагт xтэмүүлж байна атэнцүү байна А, ингэж бичсэн байна:
Түүнээс гадна хувьсагчийн хандлагатай утга x, зөвхөн тоо биш, мөн хязгааргүй (∞), заримдаа +∞ эсвэл -∞ байж болно, эсвэл огт хязгааргүй байж болно.
Яаж гэдгийг ойлгохын тулд функцийн хязгаарыг ол, шийдлүүдийн жишээг үзэх нь дээр.
Функцийн хязгаарыг олох шаардлагатай f (x) = 1/xхаягаар:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Эхний хязгаарын шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л орлуулж болно xтүүний хандлагатай тоо, i.e. 2, бид авна:
Функцийн хоёр дахь хязгаарыг олъё. Энд орлуулна уу цэвэр хэлбэрОронд нь 0 xболомжгүй, учир нь Та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ бид тэгтэй ойролцоо утгыг авч болно, жишээлбэл, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 гэх мэт, мөн функцийн утга f (x)нэмэгдэх болно: 100; 1000; 10000; 100,000 гэх мэт. Тиймээс хэзээ гэж ойлгож болно x→ 0 Хязгаарын тэмдгийн доор байгаа функцийн утга хязгааргүй өсөх болно, i.e. хязгааргүй рүү тэмүүл. Юу гэсэн үг вэ гэхээр:
Гурав дахь хязгаарын тухайд. Өмнөх тохиолдолтой ижил нөхцөл байдал, үүнийг орлуулах боломжгүй юм ∞ хамгийн цэвэр хэлбэрээр. Хязгааргүй өсөлтийн асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй x. Бид 1000-ыг нэг нэгээр нь орлуулдаг; 10000; 100000 гэх мэтчилэн бидэнд функцийн утга байна f (x) = 1/xбуурах болно: 0.001; 0.0001; 0.00001; гэх мэтээр тэг рүү тэмүүлдэг. Тийм учраас:
Функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай 
Хоёр дахь жишээг шийдэж эхлэхэд бид тодорхойгүй байдлыг харж байна. Эндээс бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд зэрэглэлийг олдог - энэ бол x 3, бид үүнийг тоологч болон хуваагч дахь хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараах байдлаар бууруулна.
Хариулах 
Эхний алхам энэ хязгаарыг олох, оронд нь 1 утгыг орлуулна уу x, үр дүнд нь тодорхойгүй байдал үүсдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд тоологчийг үржвэрлэж, үндсийг олох аргыг ашиглан үүнийг хийцгээе квадрат тэгшитгэл x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Тиймээс тоологч нь:
Хариулах 
Энэ нь түүний тодорхой утгын тодорхойлолт эсвэл хязгаараар хязгаарлагддаг функц унадаг тодорхой хэсэг юм.
Хязгаарыг шийдэхийн тулд дараах дүрмийг баримтална уу.
Үүний мөн чанар, гол зүйлийг ойлгосон хязгаарыг шийдвэрлэх дүрэм, та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар үндсэн ойлголттой болно.
Тогтмол тоо Адуудсан хязгаар дараалал(x n ), хэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьдε > 0 бүх утгыг агуулсан N тоо байна x n, үүний хувьд n>N, тэгш бус байдлыг хангана
|x n - a|< ε. (6.1)
Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: эсвэл x n →а.
Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
оноо гэсэн үг x n, зарим n>N тооноос эхлэн интервал дотор хэвт (a-ε, a+ ε ), i.e. ямар ч жижиг зүйлд унахε - нэг цэгийн хөрш А.
Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх, эс бөгөөс - ялгаатай.
Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f(n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.
f(x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгэнэ функцийн тодорхойлолтын домэйн D(f), i.e. -аас өөр D(f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш ийм цэг а. Цэг а D(f) олонлогт хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно.
Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв аргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n ) чиглэнэ А, харгалзах дараалууд (f(x n)) ижил хязгаар А байна.
Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл " дэс дарааллын хэлээр”.
Тодорхойлолт 2. Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв, дурын жижиг эерэг тоог ε зааж өгснөөр, ийм δ-г олж болно>0 (ε-ээс хамаарна), энэ нь хүн бүрт зориулагдсан x, хэвтэж байнаε-тооны хөршүүд А, өөрөөр хэлбэл Учир нь x, тэгш бус байдлыг хангаж байна
0 <
х-а< ε
, f(x) функцийн утгууд оршиноε-А тооны хөрш, i.e.|f(x)-A|<
ε.
Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл “ε - δ хэлээр “.
Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв f(x) функц нь x →нь байна хязгаар, А-тай тэнцүү бол үүнийг маягтаар бичнэ
. (6.3)
(f(x n)) дараалал нь ямар ч ойртох аргын хязгаарлалтгүйгээр нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд xтаны хязгаарт А, тэгвэл бид f(x) функцтэй гэж хэлэх болно хязгааргүй хязгаар,мөн үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.
Хязгаар нь тэгтэй хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй жижиг.
Хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.
Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.
Теорем 1 . Хэрэв бүх хязгаарлалт байгаа бол
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Сэтгэгдэл. 0/0 гэх мэт илэрхийллүүд, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - жишээлбэл, хоёр хязгааргүй бага буюу хязгааргүй их хэмжээний харьцаа тодорхойгүй бөгөөд энэ төрлийн хязгаарыг олохыг "тодорхойгүй байдлыг илрүүлэх" гэж нэрлэдэг.
Теорем 2. (6.7)
тэдгээр. Тогтмол экспоненттай хүчин чадал дээр үндэслэн хязгаарт хүрч болно, ялангуяа, 
;
(6.8)
(6.9)
Теорем 3.
(6.10)
(6.11)
Хаана д » 2.7 - натурал логарифмын суурь. (6.10) ба (6.11) томъёог эхнийх гэж нэрлэдэг гайхалтай хязгаарболон хоёр дахь гайхалтай хязгаар.
(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ялангуяа хязгаар,
Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x > a, дараа нь x гэж бичнэ→a + 0. Хэрэв ялангуяа a = 0 бол 0+0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүнтэй адилаар хэрэв x→a ба нэгэн зэрэг x 
мөн зохих ёсоор дуудагдана баруун хязгаарТэгээд зүүн хязгаар функцууд f(x) цэг дээр А. f(x) функцийн хязгаар x→ байхын тулдa шаардлагатай бөгөөд хангалттай учраас 
. f(x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0
. (6.15)
Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
,
өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.
Хэрэв тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл бид үүнийг хэлнэ цагт x = x o функц f(x) Байгаа цоорхой y = 1/x функцийг авч үзье. Энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад. x = 0 цэг нь D(f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль ч хөршид, i.e. 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалд D(f) цэгүүд байдаг боловч энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f(x o)= f(0) утга тодорхойлогдоогүй тул x o = 0 цэгт функц тасралттай байна.
f(x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o бол хязгаар
,
Тэгээд цэг дээр зүүн талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар
.
Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талд байгаа түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.
Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f(x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.
1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f(x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f(x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн хагарал,эсвэл харайх.
2. Хэрэв хязгаар нь байвал+∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй, тэгвэл тэд дотор гэж хэлдэг цэгх о функц нь тасалдалтай байна хоёр дахь төрөл.
Жишээ нь, функц у = cot x at x→ +0 нь +∞-тэй тэнцүү хязгаартай, энэ нь x=0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг. y = E(x) функц (бүхэл хэсэг x) бүхэл абсцисс бүхий цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдалтай, эсвэл үсрэлттэй байдаг.
Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэн V . Тасралтгүй функцийг хатуу муруйгаар илэрхийлнэ.
Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Тухайлбал, нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу ордын өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, нянгийн тархалт гэх мэт ажлууд орно.
Ингээд авч үзье Я I. Перелманы жишээ, тооны тайлбарыг өгч байна днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий 
. Хадгаламжийн банкуудад жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв элсэлтийг илүү олон удаа хийвэл сонирхол бий болоход илүү их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. 100 үгүйсгэгчийг банкинд хадгалуулъя. нэгж жилийн 100% дээр үндэслэсэн. Хэрэв хүүгийн мөнгийг зөвхөн нэг жилийн дараа үндсэн капиталд нэмбэл энэ хугацаанд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо 100 үгүйсгэл юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв хүүгийн мөнгийг зургаан сар тутамд үндсэн капиталд нэмбэл. Зургаан сарын дараа 100 ден. нэгж 100 болж өснө×
1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150×
1.5 = 225 (денс. нэгж). Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж хувирна× (1 +1/3) 3 " 237 (дэн. нэгж). Хүүгийн мөнгийг 0.1 жил, 0.01 жил, 0.001 жил гэх мэтээр нэмэх нөхцөлийг нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (нэгж),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (нэгж),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. нэгж).
Хүү нэмэх нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртоно. Жилийн 100% хадгалуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. хязгаартай тул нийслэлд секунд тутамд нэмэгдэж байсан
Жишээ 3.1.Тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n =(n-1)/n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.
Шийдэл.Үүнийг бид юу ч байсан нотлох хэрэгтэйε > 0 бид юу ч авч байсан түүнд ямар нэгэн зүйл байгаа натурал тоо N, бүх n N хувьд тэгш бус байдал биелнэ|x n -1|< ε.
Ямар ч e > 0-г авъя. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тэгвэл N-ийг олохын тулд 1/n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.< д. Тиймээс n>1/ e Тиймээс N-ийг 1/-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно. e , N = E(1/ e ). Бид үүгээрээ хязгаар гэдгийг нотолсон.
Жишээ 3.2
. Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол 
.
Шийдэл.Нийлбэр теоремын хязгаарыг хэрэглэж гишүүн бүрийн хязгаарыг олъё. Хэзээ n→ ∞ гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x n, эхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах n 2, хоёр дахь нь дээр n. Дараа нь нийлбэр теоремын хязгаар ба нийлбэрийн хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.
.
Жишээ 3.3. 
. олох.
Шийдэл. 
.
Энд бид градусын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь суурийн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Жишээ 3.4
. олох ( 
).
Шийдэл.Бидэнд хэлбэрийн тодорхой бус байдал байгаа тул ялгааны хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй ∞-∞ . Томъёоны ерөнхий нэр томъёог өөрчилье:
.
Жишээ 3.5 . f(x)=2 1/x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.
Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дараалалаар ашиглая. 0-д нийлэх дарааллыг ( x n ) авъя, өөрөөр хэлбэл. f(x n)= утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1/n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар 
Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1/n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү тэмүүлдэг. 
Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 3.6 . Хязгааргүй гэдгийг батал.
Шийдэл.x 1 , x 2 ,..., x n ,... нь дараалал байг
. (f(x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?
Хэрэв x n = p n бол sin x n = sin p бүгдэд нь n = 0 nболон хязгаар Хэрэв
x n =2 p n+ p /2, тэгвэл sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 бүгдэд nулмаар хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.
Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох виджет
Дээд талын цонхонд sin(x)/x-ийн оронд хязгаарыг нь олохыг хүссэн функцээ оруулна уу. Доод цонхонд x-ийн хандлагатай тоог оруулаад Тооцооллын товчийг дарж, хүссэн хязгаараа аваарай. Хэрэв та үр дүнгийн цонхонд баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдлийг авах болно.
Функц оруулах дүрэм: sqrt(x)- Квадрат язгуур, cbrt(x) - шоо үндэс, exp(x) - илтгэгч, ln(x) - байгалийн логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - арктангенс. Тэмдгүүд: * үржүүлэх, / хуваах, ^ экспонентаци, оронд нь хязгааргүйХязгааргүй байдал. Жишээ нь: функцийг sqrt(tan(x/2)) гэж оруулсан.
