Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a, b, c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Яг нэг үндэстэй байх;
3. Хоёртой янз бүрийн үндэс.

Энэ нь квадрат тэгшитгэл ба шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Та энэ томъёог цээжээр мэдэх хэрэгтэй. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлох боломжтой. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн итгэдэг тул тэдгээрийн шинж тэмдгүүдийн тоог огт илэрхийлдэггүй. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5х 2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичээд ялгагчийг олъё.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шинжилдэг.
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Хамгийн сүүлд үлдсэн тэгшитгэл нь:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэг - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжоо хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та үүнийг ойлговол хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ шилжье. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Үндсэн үндэс томъёо квадрат тэгшитгэл

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Хэрэв та томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнхдээ сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Дахин хэлэхэд, дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг бичээрэй - тун удахгүй та алдаанаасаа салах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэр томъёоны аль нэг нь дутуу байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b = c = 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 = 0 хэлбэртэй байна. Ийм тэгшитгэл нь нэг язгууртай нь ойлгомжтой: x = 0.

Үлдсэн тохиолдлуудыг авч үзье. b = 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг олж авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тоон дээр байдаг тул сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн (−c /a) ≥ 0-д утга учиртай болно. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдал хангагдсан бол хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c /a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар дискриминант шаардлагагүй - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c /a) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2 утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв энэ нь сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж байна

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр тэгшитгэлийн заримыг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5х 2 + 30 = 0;
3. 4х 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бусад аргуудыг ашигладаг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томъёогоор шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг хүлээн авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ математикийн программыг ашигласнаар та боломжтой квадрат тэгшитгэлийг шийдэх.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг хоёр аргаар харуулдаг.
- ялгаварлагч ашиглах
- Виетийн теоремыг ашиглах (боломжтой бол).

Түүгээр ч барахгүй хариулт нь ойролцоо биш харин яг тодорхой харагдаж байна.
Жишээлбэл, \(81x^2-16x-1=0\) тэгшитгэлийн хувьд хариултыг дараах хэлбэрээр харуулна.

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ба үүн шиг биш: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та элсэлтийн дүрмийг сайн мэдэхгүй бол квадрат олон гишүүнт, бид танд тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.
Түүнээс гадна бутархай тоог зөвхөн аравтын бутархай хэлбэрээр төдийгүй энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайгаар бутархайбүхэлд нь цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та орж болно аравтын бутархайүүнтэй адил: 2.5x - 3.5x^2

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл бүтэн хэсэгбутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан: &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Квадрат тэгшитгэл ба түүний үндэс. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Тэгшитгэл бүр
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
шиг харагдаж байна
\(ax^2+bx+c=0, \)
Энд x нь хувьсагч, a, b, c нь тоо юм.
Эхний тэгшитгэлд a = -1, b = 6 ба c = 1.4, хоёрдугаарт a = 8, b = -7 ба c = 0, гуравдугаарт a = 1, b = 0 ба c = 4/9 байна. Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэл.

Тодорхойлолт.
Квадрат тэгшитгэл ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, \(a \neq 0 \).

a, b, c тоонууд нь квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд юм. a тоог эхний коэффициент, b тоог хоёр дахь коэффициент, c тоог чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл бүрд \(a\neq 0\) x хувьсагчийн хамгийн том чадал нь квадрат байна. Тиймээс нэр нь: квадрат тэгшитгэл.

Зүүн тал нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт тул квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

x 2 коэффициент нь 1-тэй тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Жишээлбэл, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлүүд нь тэгшитгэлүүд юм
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ах 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлд b эсвэл c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг гэнэ. бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Тэгэхээр -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм. Эхнийх нь b=0, хоёр дахь нь c=0, гурав дахь нь b=0, c=0.

Гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл байдаг.
1) сүх 2 +c=0, энд \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, энд \(b \neq 0 \);
3) сүх 2 =0.

Эдгээр төрөл бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

\(c \neq 0 \) ax 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний чөлөөт гишүүнийг дараах руу шилжүүлнэ. баруун талтэгшитгэлийн хоёр талыг дараах байдлаар хуваана.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Баруун сум x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) учраас \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Хэрэв \(-\frac(c)(a)>0\) бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

Хэрэв \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг \(b \neq 0 \)-ээр шийдэхийн тулд үүнийг өргөжүүлнэ үү. зүүн талхүчин зүйлээр тооцож тэгшитгэлийг авна
\(x(ax+b)=0 \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \төгсгөл(массив) \баруун. \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх) (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \төгсгөл(массив) \баруун\)

Энэ нь \(b \neq 0 \)-д зориулсан ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл үргэлж хоёр үндэстэй байна гэсэн үг.

ax 2 =0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх тул нэг язгуур 0 байна.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициент хоёулаа тэгээс ялгаатай квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзье.

-д квадрат тэгшитгэлийг шийдье ерөнхий үзэлҮүний үр дүнд бид үндэсийн томъёог олж авдаг. Дараа нь энэ томьёог ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

ax 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд

Хоёр талыг а-д хувааснаар бид тэнцүү бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авна
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Хоёр гишүүний квадратыг сонгон энэ тэгшитгэлийг хувиргацгаая.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\баруун)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Баруун сум \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\баруун)^ 2 - \frac(c)(a) \Баруун сум \) \(\зүүн(x+\frac(b)(2a)\баруун)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Баруун сум \зүүн(x+\frac(b)(2a)\баруун)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Баруун сум \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Баруун сум x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Баруун сум \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ax 2 +bx+c=0 (“дискриминант” Латинаар – ялгаварлагч). Энэ нь D үсгээр тэмдэглэгдсэн, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Одоо бид дискриминант тэмдэглэгээг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог дахин бичнэ.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), энд \(D= b^2-4ac \)

Энэ нь тодорхой байна:
1) Хэрэв D>0 бол квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.
2) Хэрэв D=0 бол квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Хэрэв D Иймээс дискриминантын утгаас хамааран квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай (D > 0-ийн хувьд), нэг язгууртай (D = 0-ийн хувьд) эсвэл үндэсгүй (D хувьд) квадрат тэгшитгэлийг үүнийг ашиглан шийдвэрлэх үед. томъёоны хувьд дараах байдлаар хийхийг зөвлөж байна.
1) ялгаварлагчийг тооцоолж, тэгтэй харьцуулах;
2) хэрэв ялгаварлагч эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү бол язгуур томъёог ашиглана, хэрэв ялгаварлагч сөрөг бол үндэс байхгүй гэж бичнэ.

Вьетагийн теорем

Өгөгдсөн 2 -7х+10=0 квадрат тэгшитгэл нь 2 ба 5 үндэстэй. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 7, үржвэр нь 10. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 2-р коэффициентээс авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү болохыг харж байна. эсрэг тэмдэг, мөн үндэсийн үржвэр нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна. Үндэстэй аливаа бууруулсан квадрат тэгшитгэл ийм шинж чанартай байдаг.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Тэдгээр. Виетийн теорем нь x 2 +px+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурууд нь дараах шинж чанартай байна.
\(\зүүн\( \эхлэх(массив)(л) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \төгсгөл(массив) \баруун. \)

Ном зүйн тайлбар:Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Элков А.А., Шилненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд // Залуу эрдэмтэн. 2016. No 6.1. P. 17-20..2019.02).



Манай төсөл бол квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замуудын тухай юм. Төслийн зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тусгаагүй аргаар шийдэж сурах. Даалгавар: бүгдийг олох боломжит арга замуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар суралцах, эдгээр аргуудыг ангийнхандаа танилцуулах.

"Квадрат тэгшитгэл" гэж юу вэ?

Квадрат тэгшитгэл- хэлбэрийн тэгшитгэл сүх2 + bx + c = 0, Хаана а, б, в- зарим тоо ( a ≠ 0), x- үл мэдэгдэх.

a, b, c тоонуудыг квадрат тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэдэг.

• a нь эхний коэффициент гэж нэрлэгддэг;
• b-ийг хоёр дахь коэффициент гэж нэрлэдэг;
• в - чөлөөт гишүүн.

Квадрат тэгшитгэлийг анх хэн зохион бүтээсэн бэ?

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө мэддэг байсан. Эртний Вавилон. МЭӨ 1800-1600 оны хооронд үүссэн эртний Вавилоны шавар шахмалуудыг олсон нь квадрат тэгшитгэлийг судлах хамгийн эртний нотолгоо юм. Ижил шахмалууд нь тодорхой төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг агуулдаг.

Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед ч гэсэн газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжил, дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт байхгүй ба ерөнхий аргуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

МЭӨ 4-р зууны үеийн Вавилоны математикчид. эерэг язгууртай тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадратын нөхөх аргыг ашигласан. МЭӨ 300 орчим Евклид илүү ерөнхий геометрийн шийдлийн аргыг гаргаж ирэв. Сөрөг язгууртай тэгшитгэлийн шийдлийг алгебрийн томъёо хэлбэрээр олсон анхны математикч бол Энэтхэгийн эрдэмтэн юм. Брахмагупта(Энэтхэг, МЭ 7-р зуун).

Брахмагупта нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг гаргажээ.

ax2 + bx = c, a>0

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.

Хэцүү асуудлыг шийдэх олон нийтийн тэмцээн Энэтхэгт түгээмэл байсан. Хуучин Энэтхэгийн номнуудын нэгэнд ийм тэмцээнүүдийн талаар дараахь зүйлийг бичсэн байдаг: "Нар оддыг гялалзуулж хиртдэг шиг. сурсан хүналдар нэрийг хиртэх болно ард түмний хурал, алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх.” Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Алгебрийн зохиолд Аль-Хорезмишугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоонууд нь квадратуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c == ax2.

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн Аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалын техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр биднийхтэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми 17-р зууныг хүртэлх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Магадгүй тодорхой практикт энэ нь даалгаварт хамаагүй. Аль-Хорезмигийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэсэгчлэн шийдвэрлэхдээ тоон жишээнүүдшийдлийн дүрэм, дараа нь тэдгээрийн геометрийн нотолгоог гаргадаг.

Европ дахь Аль-Хорезмийн загвараар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэлбэрийг анх 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан болно. Италийн математикч Леонард Фибоначчи. Зохиогч нь асуудлыг шийдэх шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд анх удаа хандсан.

Энэ ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Энэ номны олон асуудлыг 14-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт ашигласан. Ерөнхий дүрэм b, c тэмдэг ба коэффициентүүдийн боломжит бүх хослолын хувьд x2 + bх = с нэг каноник хэлбэрт буулгасан квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг 1544 онд Европт томъёолсон. М.Штифель.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикчид Тарталиа, Кардано, Бомбелли 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. хүчин чармайлтын ачаар Жирард, Декарт, Ньютонболон бусад эрдэмтдийн үзэж байгаагаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь орчин үеийн хэлбэрийг авдаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

-аас квадрат тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.
2. Бүрэн квадратыг сонгох арга.
3. Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
4. График шийдэлквадрат тэгшитгэл.
5. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Виетийн теоремыг ашиглан багасгасан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү, нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү хоёр тоог олоход хангалттай гэдгийг санаарай.

Жишээ.x 2 -5x+6=0

Үржвэр нь 6, нийлбэр нь 5 тоонуудыг олох хэрэгтэй. Эдгээр тоо нь 3 ба 2 болно.

Хариулт: x 1 =2, x 2 =3.

Гэхдээ та энэ аргыг эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлд ашиглаж болно.

Жишээ.3x 2 +2х-5=0

Эхний коэффициентийг аваад чөлөөт гишүүнээр үржүүлнэ: x 2 +2x-15=0

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь үржвэр нь - 15, нийлбэр нь - 2 байх тоонууд байх болно. Эдгээр тоо нь 5 ба 3. Үндэс олохын тулд анхны тэгшитгэл, үүссэн үндсийг эхний коэффициентээр хуваана.

Хариулт: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

a≠0 байх ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр a 2 x 2 + abx + ac = 0 тэгшитгэлийг олж авна.

ax = y, эндээс x = y/a; дараа нь өгөгдсөнтэй тэнцэх y 2 + by + ac = 0 тэгшитгэлд хүрнэ. Бид 1 ба 2-ын үндсийг Виетийн теоремыг ашиглан олно.

Эцэст нь бид x 1 = y 1 /a ба x 2 = y 2 / a-г авна.

Энэ аргын тусламжтайгаар a коэффициентийг "шидсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг "шидэх" арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Коэффицент 2-г чөлөөт гишүүн рүү “шидээд” орлуулалт хийгээд y 2 - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийг гаргацгаая.

Вьетагийн урвуу теоремын дагуу

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Хариулт: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг a ≠ 0 өгье.

1. Хэрэв a+ b + c = 0 (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр тэг) бол x 1 = 1 байна.

2. Хэрэв a - b + c = 0, эсвэл b = a + c бол x 1 = - 1 болно.

Жишээ.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) тул x 1 = 1, x 2 = -208/345 болно.

Хариулт: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Жишээ.132x 2 + 247x + 115 = 0

Учир нь a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), тэгвэл x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Хариулт: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн бусад шинж чанарууд байдаг. гэхдээ тэдгээрийн хэрэглээ нь илүү төвөгтэй байдаг.

8. Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Зураг 1. Номограмм

Энэ бол хуучин бөгөөд одоо мартагдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга бөгөөд цуглуулгын 83-р хуудсанд байрлуулсан: Bradis V.M. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0. Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр түүний коэффициентүүдээс тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 1):

Итгэж байна OS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), 1-р зурагт гурвалжны ижил төстэй байдал САНТэгээд CDFБид пропорцийг авдаг

Энэ нь орлуулалт болон хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэлийг гаргана z 2 + pz + q = 0,болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг хэлнэ.

Цагаан будаа. 2 Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ.

1) тэгшитгэлийн хувьд z 2 - 9z + 8 = 0номограмм нь z 1 = 8.0 ба z 2 = 1.0 үндэсийг өгдөг

Хариулт: 8.0; 1.0.

2) Номограмм ашиглан бид тэгшитгэлийг шийддэг

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваавал z 2 - 4.5z + 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Номограмм нь z 1 = 4 ба z 2 = 0.5 үндэсийг өгдөг.

Хариулт: 4; 0.5.

9. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга.

Жишээ.X 2 + 10x = 39.

Эх хувилбарт энэ бодлогыг "Квадрат ба арван язгуур нь 39-тэй тэнцүү байна" гэж томъёолсон.

Х талтай дөрвөлжин талбайг авч үзье, тэгш өнцөгтүүдийг түүний тал дээр барьсан бөгөөд тэдгээрийн нөгөө тал нь 2.5 байх тул тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үүссэн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгож, буланд дөрвөн квадрат нэмнэ. тэнцүү квадрат, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна

Цагаан будаа. 3 x 2 + 10x = 39 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга

ABCD квадратын S талбайг: анхны квадрат х 2, дөрвөн тэгш өнцөгт (4∙2,5х = 10х) ба дөрвөн нэмэлт квадрат (6,25∙4 = 25) талбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x-ийг 39 тоогоор сольсноор бид S = 39+ 25 = 64 болно, энэ нь квадратын тал нь ABCD, өөрөөр хэлбэл. сегмент AB = 8. Анхны квадратын шаардлагатай х талын хувьд бид олж авна

10. Безоутын теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Безутын теорем. P(x) олон гишүүнтийг x - α хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь P(α)-тай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл, x = α үед P(x)-ийн утга).

Хэрэв α тоо нь P(x) олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт x -α-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Жишээ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)-ийг (x-1) хуваана: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, эсвэл x-3=0, x=3; Хариулт: x1 =2, x2 =3.

Дүгнэлт:Квадрат тэгшитгэлийг хурдан бөгөөд оновчтой шийдэх чадвар нь илүү төвөгтэй тэгшитгэл, жишээлбэл, бутархай рационал тэгшитгэл, өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэл, биквадрат тэгшитгэл, мөн ахлах сургуулийн тригонометр, экспоненциал, логарифм тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх олсон аргуудыг судалсны дараа бид ангийнхандаа стандарт аргуудаас гадна шилжүүлгийн аргаар (6) шийдэж, коэффициентийн (7) өмчийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг зөвлөж болно, учир нь тэдгээр нь илүү хүртээмжтэй байдаг. ойлгоход.

Уран зохиол:

1. Брэдис В.М. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.
2. Алгебр 8-р анги: 8-р ангийн сурах бичиг. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Суворова S. B. ed. С.А.Теляковский 15-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М.: Боловсрол, 2015 он
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. / Ред. В.Н. Залуу. - М.: Боловсрол, 1964 он.

Олон хүмүүс тийм биш учраас энэ сэдэв эхэндээ хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм энгийн томъёонууд. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг ойр ойрхон шийдсний дараа л боломжтой. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд бид хамгийн том зэрэглэлийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичсэн тохиолдолд тэдгээрийн тодорхой бичлэгийг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол элбэг байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.

Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

• шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
• хариулт нь нэг тоо байх болно;
• тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж ийм харагдахгүй ерөнхий томъёоквадрат тэгшитгэл. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бүрэн тэгшитгэл. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тэгэхээр зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн тэгшитгэлээс гадна бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд бас байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Дискриминантыг тооцоолохын тулд доор бичигдсэн тэгш байдлыг ашиглах шаардлагатай бөгөөд энэ нь дөрөв дэх тоотой байх болно.

Энэ томъёонд коэффициентийн утгыг орлуулсны дараа та тоонуудыг авч болно өөр өөр шинж тэмдэг. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. At сөрөг тооквадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.

Эхлээд авч үзье бүрэн бус тэгшитгэлхоёрдугаарт. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийдэгдэнэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.

Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авч болно. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

• Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, хамгийн сүүлд - зүгээр л тоо.

• Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Үүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

• Үүнтэй адилаар фракцаас салах нь зүйтэй. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.

Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний үндэс нь утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь дараахаас олно шугаман тэгшитгэл: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад амархан.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5x 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2х − x 2 = 0. Энд ба цаашлаад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэдгээрийг дахин бичихээс эхэлнэ. стандарт харагдах байдал: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахьийг ашиглах цаг болжээ. хэрэгтэй зөвлөгөөтэгээд бүгдийг хасах нэгээр үржүүлнэ. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.