Биквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлүүд

Зорилтууд:

1. Сэдвийн талаархи мэдлэг, чадварыг системчлэх, нэгтгэх: Гурав, дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн шийдэл.
2. Төрөл болон шийдвэрлэх аргын хувьд танил бус хэд хэдэн даалгаврыг гүйцэтгэснээр мэдлэгээ гүнзгийрүүлээрэй.
3. Математикийн шинэ бүлгийг судлах замаар математикийн сонирхлыг төлөвшүүлэх, тэгшитгэлийн график байгуулах замаар график соёлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн төрөл: нэгтгэсэн.

Тоног төхөөрөмж:график проектор.

Харагдац:"Вьетегийн теорем" хүснэгт.

Хичээлийн үеэр

1. Амаар тоолох

a) p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 олон гишүүнт x-a хоёр гишүүнд хуваагдсаны үлдэгдэл хэд вэ?

б) Куб тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байж болох вэ?

в) Гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

d) Хэрэв b нь квадрат тэгшитгэлийн тэгш тоо бол D ба x 1-ийн утга хэд вэ?

2. Бие даан хийх ажил (бүлэгээр)

Үндэс нь мэдэгдэж байгаа бол тэгшитгэл бичнэ үү (даалгаврын хариултыг кодлосон) "Вьетагийн теорем" ашигласан

1 бүлэг

Үндэс: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Тэгшитгэл зохиох:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(энэ тэгшитгэлийг дараа нь самбар дээрх 2-р бүлэг шийднэ)

Шийдэл . Бид 36 тоог хуваагчдаас бүхэл үндсийг хайдаг.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1-ийн тоо тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул =1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно. Хорнерын схемийн дагуу

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Хариулт: 1;-2;-3;6 язгуурын нийлбэр 2 (P)

2-р бүлэг

Үндэс: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Тэгшитгэл зохиох:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4х-20=0 (3-р бүлэг энэ тэгшитгэлийг самбар дээр шийднэ)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Хариулт: -1;2;2;5 язгуурын нийлбэр 8(P)

3 бүлэг

Үндэс: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Тэгшитгэл зохиох:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4-р бүлэг энэ тэгшитгэлийг дараа нь самбар дээр шийднэ)

Шийдэл. Бид 6 тоог хуваагчдаас бүхэл үндсийг хайдаг.

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Хариулт: -1;1;-2;3 Үндэсний нийлбэр 1(O)

4 бүлэг

Үндэс: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Тэгшитгэл зохиох:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0(энэ тэгшитгэлийг дараа нь самбар дээрх 5-р бүлэг шийднэ)

Шийдэл. Бид -36 тоог хуваагчдаас бүхэл язгуурыг хайдаг

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Хариулт: -2; -2; -3; 3 Үндэсний нийлбэр-4 (F)

5 бүлэг

Үндэс: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Тэгшитгэл бич

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(энэ тэгшитгэлийг дараа нь самбар дээрх 6-р бүлэг шийднэ)

Шийдэл . Бид 24 тоог хуваагчдаас бүхэл үндсийг хайдаг.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Хариулт: -1;-2;-3;-4 нийлбэр-10 (I)

6 бүлэг

Үндэс: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Тэгшитгэл бич

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13х 2 + 43x - 24 = 0 (энэ тэгшитгэлийг дараа нь самбар дээрх 1-р бүлэг шийднэ)

Шийдэл . Бид -24 тоог хуваагчдаас бүхэл үндсийг хайдаг.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Хариулт: 1;1;-3;8 нийлбэр 7 (L)

3. Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 тэгшитгэлийг шийд; Хэрэв язгууруудын аль нэг нь (-1)-тэй тэнцүү бол

Хариултыг өсөх дарааллаар бичнэ үү

R=P 3 (-1)=-1+3-м-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Нөхцөлөөр x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Хариулт: - 1; -5; 3

Өсөх дарааллаар: -5;-1;3. (b N S)

2. x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 олон гишүүнтийг x-1 ба x +2 хоёр гишүүнд хуваасны үлдэгдэл тэнцүү байвал бүх язгуурыг ол.

Шийдэл: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Тэгшитгэл бич

1 бүлэг. Үндэс: -4; -2; 1; 7;

2-р бүлэг. Үндэс: -3; -2; 1; 2;

3 бүлэг. Үндэс: -1; 2; 6; 10;

4 бүлэг. Үндэс: -3; 2; 2; 5;

5 бүлэг. Үндэс: -5; -2; 2; 4;

6 бүлэг. Үндэс: -8; -2; 6; 7.

Энэ өгүүллээр бид биквадрат тэгшитгэлийг шийдэж сурах болно.

Тэгэхээр ямар төрлийн тэгшитгэлийг биквадрат гэж нэрлэдэг вэ?
Бүгд хэлбэрийн тэгшитгэл аа 4 + bx 2 + в = 0 , Хаана a ≠ 0, тэдгээр нь x 2-тэй харьцуулахад квадрат бөгөөд биквадрат гэж нэрлэдэгтэгшитгэл. Таны харж байгаагаар энэ оруулга нь квадрат тэгшитгэлийн оруулгатай маш төстэй тул бид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигласан томьёо ашиглан биквадрат тэгшитгэлийг шийдэх болно.

Зөвхөн бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл бид тэмдэглэнэ x 2 өөр хувьсагч, жишээ нь цагт эсвэл т (эсвэл латин цагаан толгойн бусад үсэг).

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдье x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

гэж тэмдэглэе x 2 дамжуулан цагт (x 2 = y ) ба y 2 + 4y – 5 = 0 тэгшитгэлийг авна.
Таны харж байгаагаар та ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэддэг болсон.

Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Х хувьсагч руугаа буцъя.

Бид x 2 = ‒ 5 ба x 2 = 1 гэдгийг олж мэдсэн.

Эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, харин хоёр дахь нь x 1 = 1 ба x 2 = ‒1 гэсэн хоёр шийдийг өгч байгааг бид анзаарч байна. Сөрөг үндсийг алдахаас болгоомжил (ихэнхдээ тэд x = 1 гэсэн хариултыг авдаг, гэхдээ энэ нь зөв биш).

Хариулт:- 1 ба 1.

Сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд 2х 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

x 2 = y, тэгвэл 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0 болно.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.

Дараа нь x 2 = 1 ба x 2 = 1.5.

Бид x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5 болно.

Хариулт: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0.5.

Дараа нь x 2 = - 2 ба x 2 = - 0.5 байна. Эдгээр тэгшитгэлийн аль нь ч шийдэлгүй гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:шийдэл байхгүй.

Бүрэн бус биквадрат тэгшитгэл- хэзээ юм б = 0 (сүх 4 + c = 0) эсвэл в = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл шиг шийдэгдэнэ.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд x 4 ‒ 25x 2 = 0

Үржвэр болгон ялгаж, хаалтнаас x 2-ыг гаргаж, дараа нь x 2 (x 2 ‒ 25) = 0 болно.

Бид x 2 = 0 эсвэл x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25 болно.

Дараа нь бид 0 үндэстэй болно; 5 ба - 5.

Хариулт: 0; 5; – 5.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд 5х 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (шийдэл байхгүй)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадвал биквадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна.

Хэрэв танд асуулт байгаа бол миний хичээлд бүртгүүлээрэй. Багш Валентина Галиневская.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн тухай ойлголт анх 7-р ангийн математикийн хичээл дээр бий болсон. Энэ төрлийн тэгшитгэлд хүргэдэг тодорхой асуудлуудыг шийдвэрлэх үйл явцыг авч үздэг.

Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг өнгөцхөн судалж байна. Хөтөлбөр нь хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системд анхаарлаа хандуулдаг.

Энэ нь тэгшитгэлийн коэффициентүүдэд тодорхой хязгаарлалт тавьсан асуудлыг бараг авч үзэхгүй байх шалтгаан болсон. “Тэгшитгэлийг натурал буюу бүхэл тоогоор шийдвэрлэх” гэх мэт даалгавруудыг шийдвэрлэх арга барилд хангалтгүй анхаарал хандуулдаг. Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, элсэлтийн шалгалтын тасалбарт ийм дасгалууд ихэвчлэн агуулагддаг нь мэдэгдэж байна.

Аль тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж тодорхойлдог вэ?

xy = 8, 7x + 3y = 13 эсвэл x 2 + y = 7 нь хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн жишээ юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье x – 4y = 16. Хэрэв x = 4, y = -3 бол энэ нь зөв тэгшитгэл болно. Энэ нь хос утгууд нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

Хоёр хувьсагчтай аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг (х; у) хос тоонуудын багц юм (үнэн тэгшитгэл болгон хувиргана).

Ихэнхдээ тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх зүйлийг олох системийг олж авахын тулд хувиргадаг.

Жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: xy – 4 = 4x – y.

Энэ жишээнд та хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та нэр томъёог бүлэглэж, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах хэрэгтэй.

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Хариулт: Бүх хос (x; 4), энд x нь дурын рационал тоо ба (-1; y), энд y нь дурын рационал тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Эхний алхам бол бүлэглэх явдал юм.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4х 2 – 4х +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Квадрат зөрүүний томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Хоёр сөрөг бус илэрхийллийг нийлбэрлэхдээ 2x – 1 = 0 ба y + 1 = 0 тохиолдолд л тэг гарна. Үүнд: x = ½ ба у = -1.

Хариулт: (1/2; -1).

(x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4 тэгшитгэлийг шийд.

Хаалтанд бүтэн квадратуудыг тодруулж, тооцооллын аргыг ашиглах нь оновчтой юм.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

Энэ тохиолдолд (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, мөн (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Дараа нь тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж дор хаяж 4 байна. Тухайн тохиолдолд тэгш байдал боломжтой.

(x - 3) 2 + 1 = 1 ба (y + 5) 2 + 4 = 4. Иймд x = 3, y = -5.

Хариулт: (3; -5).

Тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Тэгш байдлын баруун тал нь 5-д хуваагдвал 3 нь үлдэгдэл болно. Эндээс x 2 нь 5-д хуваагддаггүй гэсэн үг.5-д хуваагддаггүй тооны квадрат нь 1 эсвэл 4-ийн аль нэгний үлдэгдэл үлдээх ёстой гэдгийг мэддэг.Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: Ямар ч шийдэл байхгүй.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн зөв шийдлийг олоход хэцүү байгаа тул сэтгэлээр унах хэрэггүй. Тууштай байдал, дасгал сургуулилт үр дүнгээ өгөх нь гарцаагүй.

Бид танд тохиромжтой үнэ төлбөргүй санал болгож байна Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онлайн тооцоолуур.Та тодорхой жишээнүүдийг ашиглан тэдгээрийг хэрхэн шийдэж байгааг хурдан олж, ойлгож чадна.
Үйлдвэрлэх Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх, эхлээд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь оруул:
сүх 2 + bx + c = 0
Үүний дагуу маягтын талбаруудыг бөглөнө үү:

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ:	Үндэс төрлүүд:
1. Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэр болгон бууруул. Ерөнхий дүр төрх Аx 2 +Bx+C=0 Жишээ нь: 3x - 2x 2 +1=-1 -2x 2 +3x+2=0 болгож бууруулна. 2. Дискриминант D-г ол. D=B 2 -4*A*C . Бидний жишээнд D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Тэгшитгэлийн язгуурыг олох. x1=(-B+D 1/2)/2А. Манай тохиолдолд x1=(-3+5)/(-4)=-0.5 x2=(-B-D 1/2)/2А. Бидний жишээнд x2=(-3-5)/(-4)=2 Хэрэв B нь тэгш тоо бол ялгаварлагч ба үндэсийг томъёогоор тооцоолох нь илүү тохиромжтой. D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Энд K=B/2	1. Жинхэнэ үндэс. Түүнээс гадна. x1 нь x2-тэй тэнцүү биш D>0, A нь 0-тэй тэнцүү биш үед нөхцөл байдал үүсдэг. 2. Жинхэнэ үндэс нь адилхан. x1 нь x2-тэй тэнцүү D=0 үед нөхцөл байдал үүснэ. Гэхдээ A, B, C аль нь ч 0-тэй тэнцүү байх ёсгүй. 3. Хоёр нарийн төвөгтэй үндэс. x1=d+ei, x2=d-ei, энд i=-(1) 1/2 Нөхцөл байдал үүсэх үед D 4. Тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй. A=0, B ба C нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тэгшитгэл нь шугаман болно. 5. Энэ тэгшитгэл нь тоо томшгүй олон шийдэлтэй. A=0, B=0, C=0. 6. Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. A=0, B=0, C нь 0-тэй тэнцүү биш.

Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд энд хэд хэдэн зүйл байна Квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн жишээ.

Жишээ 1. Өөр өөр бодит язгууртай энгийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
x 2 + 3x -10 = 0
Энэ тэгшитгэлд
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Бид квадрат язгуурыг 1/2 тоо гэж тэмдэглэх болно!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Шалгахын тулд орлуулъя:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Жишээ 2. Бодит язгууруудыг тохирох квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – АС = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Орлуулж үзье
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Жишээ 3. Комплекс язгууртай квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг - үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, энд I нь -1-ийн квадрат язгуур юм

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх бүх боломжит тохиолдлууд энд байна.
Бидний онлайн тооцоолууртанд маш хэрэгтэй байх болно.
Хэрэв материал ашигтай байсан бол та чадна