"Квадрат тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны түлхүүр үг нь "квадрат" юм. Энэ нь тэгшитгэл нь заавал хувьсагч (ижил x) квадратыг агуулсан байх ёстой бөгөөд гурав дахь (эсвэл түүнээс дээш) зэрэглэлийн x байх ёсгүй гэсэн үг юм.
Олон тэгшитгэлийн шийдэл нь яг шийдэхэд хүрдэг квадрат тэгшитгэл.
Энэ бол өөр тэгшитгэл биш харин квадрат тэгшитгэл гэдгийг тодорхойлж сурцгаая.
Жишээ 1.
Хуваагчаас салж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг үржүүлье
Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлж, нөхцөлүүдийг X-ийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар эрэмбэлье
Одоо бид энэ тэгшитгэл нь квадрат гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна!
Жишээ 2.
Зүүн ба баруун талыг дараах байдлаар үржүүлнэ.
Энэ тэгшитгэл нь анхнаасаа байсан ч квадрат биш юм!
Жишээ 3.
Бүгдийг үржүүлье:
Аймшигтай юу? Дөрөв, хоёрдугаар зэрэг... Гэсэн хэдий ч бид орлуулалт хийвэл бид энгийн квадрат тэгшитгэлтэй болохыг харах болно:
Жишээ 4.
Тэнд байгаа юм шиг байна, гэхдээ сайтар харцгаая. Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлье:
Хараач, энэ нь багассан - одоо энэ нь энгийн шугаман тэгшитгэл юм!
Одоо дараах тэгшитгэлүүдийн аль нь квадрат, аль нь биш болохыг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.
Жишээ нь:
Хариултууд:
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин.
Математикчид бүх квадрат тэгшитгэлийг дараахь төрлүүдэд хуваадаг.
- Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлүүд (жишээ дээрх шиг). Үүнээс гадна бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг өгсөн- эдгээр нь коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд юм (жишээ нь нэг дэх тэгшитгэл нь зөвхөн бүрэн биш, бас буурсан байна!)
- Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэлүүд:
Зарим элемент дутуу байгаа тул тэдгээр нь бүрэн бус байна. Гэхдээ тэгшитгэлд үргэлж x квадрат байх ёстой!!! Үгүй бол энэ нь квадрат тэгшитгэл байхаа больсон, гэхдээ өөр тэгшитгэл байх болно.
Тэд яагаад ийм хуваагдал гаргав? X квадрат байгаа юм шиг санагдаж байна, зүгээр. Энэ хуваагдлыг шийдлийн аргуудаар тодорхойлно. Тэд тус бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая - тэдгээр нь хамаагүй хялбар юм!
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд байдаг:
- , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
- , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
- , энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.
1. i. Яагаад гэвэл бид яаж олборлохыг мэддэг Квадрат язгуур, тэгвэл энэ тэгшитгэлээс илэрхийлье
Илэрхийлэл нь сөрөг эсвэл эерэг байж болно. Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх тул: хэрэв, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.
Хэрэв тийм бол бид хоёр үндэстэй болно. Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь та үүнээс бага байж болохгүй гэдгийг мэдэж, үргэлж санаж байх ёстой.
Зарим жишээг шийдэхийг хичээцгээе.
Жишээ 5:
Тэгшитгэлийг шийд
Одоо зүүн, баруун талаас үндсийг нь гаргаж авах л үлдлээ. Эцсийн эцэст та үндсийг хэрхэн яаж задлахаа санаж байна уу?
Хариулт:
Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!!!
Жишээ 6:
Тэгшитгэлийг шийд
Хариулт:
Жишээ 7:
Тэгшитгэлийг шийд
Өө! Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг
үндэс байхгүй!
Үндэсгүй ийм тэгшитгэлийн хувьд математикчид тусгай дүрсийг гаргаж ирэв - (хоосон багц). Мөн хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хариулт:
Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Бид үндсийг нь задлаагүй тул энд ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 8:
Тэгшитгэлийг шийд
Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:
Тиймээс,
Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
Хариулт:
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл (хэдийгээр тэд бүгд энгийн, тийм үү?). Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:
Бид энд жишээнүүдээс татгалзах болно.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн тэгшитгэл гэдгийг бид танд сануулж байна
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь эдгээрээс арай илүү хэцүү (бага зэрэг) юм.
Санаж байна уу, Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно! Бүр бүрэн бус.
Бусад аргууд нь үүнийг хурдан хийхэд тусална, гэхдээ квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудал байвал эхлээд ялгаварлагч ашиглан шийдлийг эзэмш.
1. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх.
Энэ аргыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм.
Хэрэв, тэгшитгэл нь үндэстэй байна. Онцгой анхааралалхам хий. Дискриминант () нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.
- Хэрэв, дараа нь алхам дахь томъёо багасна. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн үндэстэй байх болно.
- Хэрэв тийм бол бид алхам дээр ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж чадахгүй. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.
Дараа нь тэгшитгэлдээ буцаж очоод зарим жишээг харцгаая.
Жишээ 9:
Тэгшитгэлийг шийд
1-р алхамбид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
Алхам 3.
Хариулт:
Жишээ 10:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.
Хариулт:
Жишээ 11:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь бид ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн үндэс байхгүй.
Одоо бид ийм хариултыг хэрхэн зөв бичихээ мэддэг болсон.
Хариулт:үндэс байхгүй
2. Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэрлэх.
Хэрэв та санаж байгаа бол бууруулсан гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрөл байдаг (a коэффициент нь тэнцүү байх үед):
Ийм тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг.
Үндэс нийлбэр өгсөнквадрат тэгшитгэл тэнцүү, язгуурын үржвэр тэнцүү байна.
Жишээ 12:
Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь .
Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бид эхний тэгшитгэлийг авна:
Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:
Системийг зохиож, шийдье:
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.
системийн шийдэл нь:
Хариулт: ; .
Жишээ 13:
Тэгшитгэлийг шийд
Хариулт:
Жишээ 14:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийг өгсөн бөгөөд энэ нь:
Хариулт:
Квадрат тэгшитгэл. ДУНДАЖ ТҮВШИН
Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?
Өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - зарим тоо, ба.
Тоо нь хамгийн өндөр буюу эхний коэффициентквадрат тэгшитгэл, - хоёр дахь коэффициент, A - чөлөөт гишүүн.
Яагаад? Учир нь хэрэв тэгшитгэл шууд шугаман болж хувирвал, учир нь алга болно.
Энэ тохиолдолд, мөн тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ сандал дээрх тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Хэрэв бүх нөхцөл байгаа бол тэгшитгэл бүрэн байна.
Төрөл бүрийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:
Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье - тэдгээр нь илүү хялбар байдаг.
Бид дараах төрлийн тэгшитгэлүүдийг ялгаж чадна.
I., энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.
II. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
III. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
Одоо эдгээр дэд төрөл бүрийн шийдлийг авч үзье.
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:
Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх болно. Тийм учраас:
хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;
хэрэв бид хоёр үндэстэй бол
Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Санаж байх ёстой гол зүйл бол үүнээс бага байж болохгүй.
Жишээ нь:
Шийдэл:
Хариулт:
Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!
Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг
үндэс байхгүй.
Асуудлыг шийдэх арга байхгүй гэдгийг товч бичихийн тулд бид хоосон багц дүрсийг ашигладаг.
Хариулт:
Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.
Хариулт:
Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:
Хэрэв хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм.
Тэгэхээр энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.
Жишээ:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож үндсийг нь олцгооё.
Хариулт:
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:
1. Ялгаварлан гадуурхагч
Квадрат тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх нь амархан, гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм. Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийдэж болно гэдгийг санаарай! Бүр бүрэн бус.
Үндсийн томъёонд ялгаварлагчаас үндсийг анзаарсан уу? Гэхдээ ялгаварлагч нь сөрөг байж болно. Юу хийх вэ? Бид 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ялгаварлагч нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.
- Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол:
- Хэрэв тэгшитгэл нь ижил үндэстэй бөгөөд үнэндээ нэг үндэстэй бол:
Ийм үндэсийг давхар үндэс гэж нэрлэдэг.
- Хэрэв, дараа нь ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж аваагүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.
Яагаад өөр өөр тооны үндэс байж болох вэ? -руу хандъя геометрийн мэдрэмжквадрат тэгшитгэл. Функцийн график нь парабол юм:
Квадрат тэгшитгэл болох онцгой тохиолдолд . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь абсцисса тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэгүүд гэсэн үг юм. Парабол нь тэнхлэгтэй огт огтлолцохгүй, эсвэл нэг (параболын орой нь тэнхлэг дээр байрлах үед) эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болно.
Үүнээс гадна коэффициент нь параболын салбаруудын чиглэлийг хариуцдаг. Хэрэв параболын мөчрүүд дээш, харин доошоо чиглэнэ.
Жишээ нь:
Шийдэл:
Хариулт:
Хариулт: .
Хариулт:
Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.
Хариулт: .
2. Вьетагийн теорем
Виетийн теоремыг ашиглахад маш хялбар: та зөвхөн үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү хос тоог сонгох хэрэгтэй бөгөөд нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.
Виетийн теоремыг зөвхөн ашиглах боломжтой гэдгийг санах нь чухал юм багасгасан квадрат тэгшитгэл ().
Хэд хэдэн жишээг харцгаая:
Жишээ №1:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь . Бусад коэффициентүүд: ; .
Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь:
Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:
Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.
системийн шийдэл нь:
Тиймээс, мөн бидний тэгшитгэлийн үндэс юм.
Хариулт: ; .
Жишээ №2:
Шийдэл:
Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн хос тоог сонгоод, тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.
ба: тэд нийтдээ өгдөг.
ба: тэд нийтдээ өгдөг. Хүлээн авахын тулд зүгээр л бодож буй үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай: мөн эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн.
Хариулт:
Жишээ №3:
Шийдэл:
Тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн сөрөг утгатай тул үндэсийн үржвэр нь байна сөрөг тоо. Энэ нь зөвхөн нэг үндэс нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал л боломжтой. Тиймээс үндэсийн нийлбэр нь тэнцүү байна тэдгээрийн модулиудын ялгаа.
Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн, ялгаа нь дараахтай тэнцүү хос тоог сонгоцгооё.
ба: тэдгээрийн ялгаа тэнцүү - тохирохгүй байна;
ба: - тохиромжгүй;
ба: - тохиромжгүй;
ба: - тохиромжтой. Үлдсэн зүйл бол нэг үндэс нь сөрөг гэдгийг санах явдал юм. Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой тул бага модультай үндэс нь сөрөг байх ёстой: . Бид шалгаж байна:
Хариулт:
Жишээ №4:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэлийг өгсөн бөгөөд энэ нь:
Чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс үндэсийн бүтээгдэхүүн нь сөрөг байна. Энэ нь тэгшитгэлийн нэг үндэс сөрөг, нөгөө нь эерэг байх үед л боломжтой юм.
Үржвэр нь тэнцүү тооны хосуудыг сонгоод аль үндэс нь сөрөг тэмдэгтэй байх ёстойг тодорхойлъё.
Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн үндэс нь эхний нөхцөлд тохиромжтой:
Хариулт:
Жишээ №5:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэлийг өгсөн бөгөөд энэ нь:
Үндэсний нийлбэр нь сөрөг, энэ нь ядаж нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ тэдний бүтээгдэхүүн эерэг учраас энэ нь хоёр үндэс нь хасах тэмдэгтэй гэсэн үг юм.
Үржвэр нь дараахтай тэнцүү хос тоонуудыг сонгоцгооё.
Мэдээжийн хэрэг, үндэс нь тоонууд ба.
Хариулт:
Зөвшөөрч байна, энэ муухай ялгаварлан гадуурхагчийг тоолохын оронд амаар үндсийг гаргах нь маш тохиромжтой. Виетийн теоремыг аль болох олон удаа ашиглахыг хичээ.
Гэхдээ үндсийг нь олоход хялбар, хурдасгахын тулд Виетийн теорем хэрэгтэй. Үүнийг ашиглахын тулд та үйлдлүүдийг автоматжуулах хэрэгтэй. Үүний тулд дахиад таван жишээг шийд. Гэхдээ хууран мэхлэх хэрэггүй: та ялгаварлагчийг ашиглаж болохгүй! Зөвхөн Виетийн теорем:
Бие даасан ажлын даалгаврын шийдэл:
Даалгавар 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Виетийн теоремын дагуу:
Ердийнх шигээ бид сонголтоо дараах хэсгээс эхлүүлнэ.
Хэмжээ нь тохиромжгүй;
: хэмжээ нь танд хэрэгтэй зүйл юм.
Хариулт: ; .
Даалгавар 2.
Дахин хэлэхэд бидний дуртай Вьета теорем: нийлбэр нь тэнцүү, үржвэр нь тэнцүү байх ёстой.
Гэхдээ энэ нь тийм биш байх ёстой тул, гэхдээ бид үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчилдөг: ба (нийт).
Хариулт: ; .
Даалгавар 3.
Хмм... Тэр хаана байна?
Та бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлэх хэрэгтэй:
Үндэсний нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
За, зогсоо! Тэгшитгэлийг өгөөгүй байна. Гэхдээ Виетийн теорем нь зөвхөн өгөгдсөн тэгшитгэлд хамаарна. Тиймээс эхлээд тэгшитгэл өгөх хэрэгтэй. Хэрэв та удирдаж чадахгүй бол энэ санаагаа орхиж, өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдээрэй. Квадрат тэгшитгэл өгөх нь тэргүүлэх коэффициентийг тэнцүү болгоно гэдгийг сануулъя.
Агуу их. Дараа нь үндэсийн нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Энд лийрийг хяруулснаар сонгоход хялбар байдаг: эцсийн эцэст энэ бол анхны тоо юм (тавтологийг уучлаарай).
Хариулт: ; .
Даалгавар 4.
Чөлөөт гишүүн сөрөг байна. Энэ юугаараа онцлог вэ? Үнэн хэрэгтээ үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх болно. Одоо сонгохдоо бид үндэсийн нийлбэрийг биш, харин тэдгээрийн модулиудын ялгааг шалгадаг: энэ ялгаа нь тэнцүү, гэхдээ бүтээгдэхүүн юм.
Тэгэхээр, үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Виетийн теорем нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь жижиг үндэс нь хасах: ба, оноос хойш гэсэн үг юм.
Хариулт: ; .
Даалгавар 5.
Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Зөв, тэгшитгэлийг өг:
Дахин хэлэхэд: бид тооны хүчин зүйлсийг сонгох бөгөөд тэдгээрийн ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.
Үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Аль нь? Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хасах нь илүү том үндэстэй болно гэсэн үг юм.
Хариулт: ; .
Товчхондоо:
- Виетийн теоремыг зөвхөн өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлд ашигладаг.
- Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгон авч, амаар олж болно.
- Хэрэв тэгшитгэл өгөгдөөгүй эсвэл тэгшитгэл олдоогүй бол тохиромжтой хосчөлөөт нэр томъёоны үржүүлэгчид, энэ нь бүхэл үндэс байхгүй гэсэн үг бөгөөд та үүнийг өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдэх хэрэгтэй.
3. Бүрэн квадратыг сонгох арга
Хэрэв үл мэдэгдэхийг агуулсан бүх нэр томъёог үржүүлэх товчилсон томъёоноос авсан нэр томьёо хэлбэрээр - нийлбэрийн квадрат буюу зөрүү - хувьсагчдыг орлуулсны дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр гаргаж болно.
Жишээлбэл:
Жишээ 1:
Тэгшитгэлийг шийд: .
Шийдэл:
Хариулт:
Жишээ 2:
Тэгшитгэлийг шийд: .
Шийдэл:
Хариулт:
IN ерөнхий үзэлөөрчлөлт дараах байдлаар харагдах болно.
Энэ нь: .
Танд юу ч сануулахгүй байна уу? Энэ бол ялгаварлан гадуурхсан зүйл! Яг ийм байдлаар бид ялгах томъёог олж авсан.
Квадрат тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
Квадрат тэгшитгэл- энэ нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүн.
Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл.
Багасгасан квадрат тэгшитгэл- коэффициент байх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл: .
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл:
- Хэрэв коэффициент бол тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана.
- Хэрэв чөлөөт нэр томъёо байгаа бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
- хэрэв ба бол тэгшитгэл нь: .
1. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм
1.1. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :
1) Үл мэдэгдэхийг илэрхийлье: ,
2) Илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу:
- Хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол,
- Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
1.2. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :
1) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: ,
2) Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:
1.3. Маягтын бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, үүнд:
Энэ тэгшитгэл нь үргэлж нэг үндэстэй байдаг: .
2. Хэлбэрийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм хаана
2.1. Дискриминант ашиглан шийдэл
1) Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулъя: ,
2) Дискриминантыг томъёогоор тооцоолъё: , энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог заана.
3) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
- Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
- Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
- Хэрэв тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
2.2. Виетийн теоремыг ашиглан шийдэл
Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр (хэлбэрийн тэгшитгэл) тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. , А.
2.3. Бүрэн квадратыг сонгох аргын шийдэл
Хэрэв хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл үндэстэй бол түүнийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...
Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.
Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!
Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
- Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх 499 рубль.
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.
Дүгнэж хэлэхэд...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
Копьевская хөдөөгийн дунд сургууль
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга
Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,
математикийн багш
Копево тосгон, 2007 он
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
1.4 Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл
1.5 XIII - XVII зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Дүгнэлт
Уран зохиол
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед ч гэсэн газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд.
Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна, жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй.
Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжил, дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт байхгүй ба ерөнхий аргуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн.
Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн зэрэглэлийн тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн, тайлбарын хамт системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.
Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.
Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.
Асуудал 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"
Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл. 10 + x, нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл. 10-аад. Тэдний хоорондын ялгаа 2x .
Тиймээс тэгшитгэл:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Эндээс x = 2. Шаардлагатай тоонуудын нэг нь тэнцүү байна 12 , бусад 8 . Шийдэл x = -2Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байхгүй.
Хэрэв бид шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) тайлбарлав ерөнхий дүрэмНэг каноник хэлбэр болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд:
аа 2 + б x = c, a > 0. (1)
(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд, бусад А, мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.
IN Эртний ЭнэтхэгХүнд хэцүү асуудлыг шийдэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Хуучин Энэтхэгийн номнуудын нэгэнд ийм тэмцээнүүдийн талаар дараахь зүйлийг бичсэн байдаг: "Нар оддыг гялалзуулж хиртдэг шиг. сурсан хүнбусдын алдрыг хиртэх болно ард түмний хурал, алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх.” Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.
Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.
Асуудал 13.
“Сүрлэг сармагчингууд, усан үзмийн мод дагуух арван хоёр...
Эрх баригчид хоол идээд хөгжилдөв. Тэд үсэрч, унжиж эхлэв ...
Тэд талбай дээр байгаа, наймдугаар хэсэг.Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?
Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан. Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?
Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).
13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхашкара нэрийн дор бичжээ.
x 2 - 64x = -768
Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл
Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.
1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл. сүх 2 + c = б X.
2) "Квадрат нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. сүх 2 = c.
3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," i.e. аа = с.
4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", i.e. сүх 2 + c = б X.
5) "Квадрат ба үндэс нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. аа 2 + bx = s.
6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү" гэх мэт. bx + c = сүх 2.
Сөрөг тоог ашиглахаас зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалагийн техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэрүүд бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй байхын тулд жишээлбэл, эхний хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдлийг харгалздаггүй бөгөөд энэ нь тодорхой практик асуудлуудад энэ нь хамаагүй учраас магадгүй юм. Аль-Хорезми бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэсэгчлэн шийдвэрлэхдээ тоон жишээнүүдшийдлийн дүрмийг гаргаж, дараа нь геометрийн баталгааг гаргадаг.
Асуудал 14.“Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х 2 + 21 = 10х тэгшитгэлийн язгуурыг илэрхийлнэ).
Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ. 4-өөс үндсийг авбал 2. 5-аас 2-ыг хасна. , та 3-ыг авна, энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.
Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн аль-Хорезмигийн трактат бол бидэнд ирсэн анхны ном юм.
1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэл XIII - XVII bb
Европ дахь аль-Хорезмийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Исламын орнууд болон математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл Эртний Грек, илтгэлийн бүрэн, тодорхой байдлаар ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдэх шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд анх удаа хандсан. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII.
Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:
x 2 + bx = c,
коэффициент тэмдгийн бүх боломжит хослолын хувьд б , -тайЕвропт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.
Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг Вьетагийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолжээ. Б + Д, үржүүлсэн А - А 2 , тэнцүү байна Б.Д, Тэр Атэнцүү байна INба тэнцүү Д ».
Виетаг ойлгохын тулд бид үүнийг санах хэрэгтэй А, ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх гэсэн утгатай (манай X), эгшиг IN, Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь: хэрэв байгаа бол гэсэн утгатай
(а + б )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + б )x + a б = 0,
x 1 = a, x 2 = б .
Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентийн хамаарлыг илэрхийлэх ерөнхий томъёоТэмдэглэл ашиглан бичсэнээр Вьетнам тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад нэгдмэл байдлыг бий болгосон. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл хол хэвээр байна орчин үеийн дүр төрх. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлүүд олддог өргөн хэрэглээтригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал ба трансцендент тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг.
Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.
Дискриминантыг ашиглан зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бусад аргуудыг ашигладаг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.
Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.
D = b 2 – 4ac.
Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.
Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.
Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)
дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.
Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Хариулт: 2.
2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Хариулт: үндэс байхгүй.
2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Хариулт: – 3.5; 1.
Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.
Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн стандарт харагдах байдал
А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.
a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).
Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.
Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.
Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .
Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв 
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3
Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна. 
тэгшитгэл зураг 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3
Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.
Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томъёогоор шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг хүлээн авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
IN орчин үеийн нийгэмХувьсагчийн квадратыг агуулсан тэгшитгэлтэй үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвар нь үйл ажиллагааны олон салбарт хэрэг болох бөгөөд шинжлэх ухаан, техникийн хөгжилд практикт өргөн хэрэглэгддэг. Үүний нотлох баримтыг далайн болон голын хөлөг онгоц, нисэх онгоц, пуужингийн загвараас олж болно. Ийм тооцоог ашиглан хөдөлгөөний замнал хамгийн их байдаг өөр өөр бие, үүнд сансрын биетүүд орно. Квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээг зөвхөн эдийн засгийн таамаглал, барилга байгууламжийг төлөвлөх, барихад төдийгүй өдөр тутмын хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Тэд явган аялал, спортын арга хэмжээ, дэлгүүрт худалдан авалт хийх үед болон бусад нийтлэг нөхцөл байдалд хэрэгтэй байж болно.
Илэрхийлэлийг бүрэлдэхүүн хүчин зүйл болгон хувааж үзье
Тэгшитгэлийн зэрэг нь илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагчийн зэрэглэлийн хамгийн их утгаар тодорхойлогддог. Хэрэв энэ нь 2-той тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг квадрат гэж нэрлэдэг.
Хэрэв бид томъёоны хэлээр ярих юм бол заасан илэрхийлэл нь хэрхэн харагдахаас үл хамааран үргэлж хэлбэрт хүргэж болно. зүүн талилэрхийлэл нь гурван нэр томъёоноос бүрдэнэ. Үүнд: ax 2 (өөрөөр хэлбэл өөрийн коэффициенттэй квадрат хувьсагч), bx (коэффиценттэй квадратгүй үл мэдэгдэх) ба c (чөлөөт бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл энгийн тоо). Баруун талд байгаа энэ бүхэн 0-тэй тэнцүү байна. Ийм олон гишүүнтэд 2-р сүхээс бусад гишүүний аль нэг нь байхгүй бол түүнийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэнэ. Ийм асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг эхлээд олоход хялбар хувьсагчийн утгыг авч үзэх хэрэгтэй.
Хэрэв илэрхийлэл нь баруун талдаа хоёр гишүүнтэй, тодруулбал ax 2 ба bx мэт харагдаж байвал х-г олох хамгийн хялбар арга бол хувьсагчийг хаалтанд оруулах явдал юм. Одоо бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно: x(ax+b). Дараа нь x=0, эсвэл асуудал нь дараах илэрхийллээс хувьсагч олоход ирдэг нь тодорхой болно: ax+b=0. Энэ нь үржүүлэх шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. Дүрэмд хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэг байвал 0 болно гэж заасан.
Жишээ
x=0 эсвэл 8x - 3 = 0
Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг олж авна: 0 ба 0.375.
Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь таталцлын нөлөөн дор биетүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлж болох бөгөөд тэдгээр нь координатын гарал үүсэл гэж авсан тодорхой цэгээс хөдөлж эхэлсэн. Энд математик тэмдэглэгээдараах хэлбэрийг авна: y = v 0 t + gt 2 /2. Шаардлагатай утгуудыг орлуулж, баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, байж болох үл мэдэгдэхийг олсноор та бие дээшлэх мөчөөс доош унах хүртэлх цаг хугацаа болон бусад олон хэмжигдэхүүнийг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ бид энэ талаар дараа ярих болно.
Илэрхийллийн факторинг
Дээр дурдсан дүрэм нь эдгээр асуудлыг илүү олон удаа шийдвэрлэх боломжийг олгодог хүнд хэцүү тохиолдлууд. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
X 2 - 33x + 200 = 0
Энэ квадрат гурвалжинбүрэн байна. Эхлээд илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйлээ авч үзье. Тэдгээрийн хоёр нь байна: (x-8) ба (x-25) = 0. Үүний үр дүнд бид 8 ба 25 гэсэн хоёр үндэстэй болно.
9-р ангид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд нь энэ аргыг зөвхөн хоёр дахь төдийгүй гурав, дөрөв дэх эрэмбийн илэрхийлэлд хувьсагч олох боломжийг олгодог.
Жишээ нь: 2х 3 + 2х 2 - 18х - 18 = 0. Баруун талыг хувьсагчтай хүчин зүйлүүдэд хуваахдаа (х+1), (х-3) ба (х+) гурав байна. 3).
Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болох нь тодорхой болно: -3; -1; 3.
Квадрат язгуур
Бүрэн бус хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн өөр нэг тохиолдол бол үсгийн хэлээр дүрслэгдсэн илэрхийлэл юм. баруун хэсэг ax 2 ба c бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүтээгдсэн. Энд хувьсагчийн утгыг олж авахын тулд чөлөөт нэр томъёог шилжүүлнэ баруун тал, үүний дараа тэгш байдлын хоёр талаас квадрат язгуурыг авна. онд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй энэ тохиолдолдИхэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх нэр томъёог огт агуулаагүй тэгш байдал, баруун тал нь сөрөг болж хувирсан илэрхийллийн хувилбарууд байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд дээрх үйлдлүүдийг үндэсээр хийх боломжгүй тул ямар ч шийдэл байхгүй. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.
Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь -4 ба 4 тоонууд байх болно.
Газрын талбайн тооцоо
Энэ төрлийн тооцоолол хийх хэрэгцээ эрт дээр үед гарч ирсэн, учир нь тэр үеийн математикийн хөгжил нь газрын талбайн хэмжээ, периметрийг хамгийн нарийвчлалтай тодорхойлох хэрэгцээ шаардлагаас ихээхэн хамаардаг байв.
Ийм төрлийн бодлого дээр үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх хэрэгтэй.
Тэгэхээр урт нь өргөнөөсөө 16 метр илүү тэгш өнцөгт газар байгаа гэж бодъё. Талбай нь 612 м2 гэдгийг мэдэж байвал сайтын урт, өргөн, периметрийг олох хэрэгтэй.
Эхлэхийн тулд эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бий болгоё. Талбайн өргөнийг x-ээр тэмдэглэвэл урт нь (x+16) болно. Бичсэн зүйлээс харахад талбай нь x(x+16) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь манай бодлогын нөхцлийн дагуу 612 байна. Энэ нь x(x+16) = 612 гэсэн үг юм.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, мөн энэ илэрхийллийг яг ийм байдлаар хийх боломжгүй. Яагаад? Хэдийгээр зүүн тал нь хоёр хүчин зүйлийг агуулж байгаа ч тэдгээрийн үржвэр нь 0-тэй огт тэнцүү биш тул энд өөр өөр аргыг ашигладаг.
Ялгаварлан гадуурхагч
Юуны өмнө шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийцгээе Гадаад төрхЭнэ илэрхийллийн дараах байдлаар харагдах болно: x 2 + 16x - 612 = 0. Энэ нь бид өмнө нь заасан стандартад тохирох хэлбэрээр илэрхийлэл хүлээн авсан гэсэн үг бөгөөд a=1, b=16, c=-612.
Энэ нь дискриминант ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ байж болно. Энд шаардлагатай тооцоосхемийн дагуу үйлдвэрлэгддэг: D = b 2 - 4ac. Энэхүү туслах хэмжигдэхүүн нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг олох боломжийг олгодог төдийгүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог. боломжит сонголтууд. Хэрэв D>0 байвал тэдгээрийн хоёр нь байна; D=0 хувьд нэг үндэс байна. тохиолдолд Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Үндэс ба тэдгээрийн томъёоны тухай
Манай тохиолдолд дискриминант нь тэнцүү байна: 256 - 4(-612) = 2704. Энэ нь бидний асуудал хариулттай болохыг харуулж байна. Хэрэв та k-г мэддэг бол квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг дараах томъёогоор үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ нь үндсийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.
Энэ нь танилцуулсан тохиолдолд: x 1 =18, x 2 =-34 гэсэн үг юм. Энэ хүндрэлийн хоёрдахь хувилбар нь шийдэл байж чадахгүй, учир нь газрын талбайн хэмжээсийг хасах хэмжигдэхүүнээр хэмжих боломжгүй, энэ нь x (өөрөөр хэлбэл талбайн өргөн) 18 м байна. Эндээс бид уртыг тооцоолно: 18. +16=34, периметр 2(34+ 18)=104(м2).
Жишээ ба даалгавар
Бид квадрат тэгшитгэлийн судалгаагаа үргэлжлүүлж байна. Тэдгээрийн хэд хэдэн жишээ, нарийвчилсан шийдлүүдийг доор өгөх болно.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Бүгдийг тэгш байдлын зүүн тал руу шилжүүлж, өөрчлөлт хийцгээе, өөрөөр хэлбэл стандарт гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрлийг авч, тэгтэй тэнцүүлэх болно.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Үүнтэй төстэй зүйлсийг нэмснээр бид ялгагчийг тодорхойлно: D = 49 - 48 = 1. Энэ нь бидний тэгшитгэл хоёр үндэстэй болно гэсэн үг юм. Дээрх томъёоны дагуу тэдгээрийг тооцоолъё, энэ нь эхнийх нь 4/3, хоёр дахь нь 1-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
2) Одоо өөр төрлийн нууцыг тайлцгаая.
Энд x 2 - 4x + 5 = 1 үндэс байгаа эсэхийг олж мэдье? Нарийвчилсан хариултыг авахын тулд олон гишүүнтийг харгалзах ердийн хэлбэр болгон бууруулж, дискриминантыг тооцоолъё. Дээрх жишээнд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь энэ нь асуудлын мөн чанар огт биш юм. Энэ тохиолдолд D = 16 - 20 = -4, энэ нь үнэхээр үндэс байхгүй гэсэн үг юм.
Вьетагийн теорем
Квадрат тэгшитгэлийг дээрх томьёо болон ялгаварлан гадуурхагчийг ашиглан квадрат язгуурыг сүүлчийнх нь утгаас авах нь тохиромжтой. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгыг олж авах олон арга бий. Жишээ нь: Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Түүнийг 16-р зуунд Францад амьдарч байсан бөгөөд математикийн авъяас чадвар, шүүх дэх харилцааныхаа ачаар гайхалтай карьер хийсэн хүний нэрээр нэрлэгдсэн. Түүний хөргийг нийтлэлээс харж болно.
Алдарт франц хүний анзаарсан загвар нь дараах байдалтай байв. Тэр тэгшитгэлийн язгуурууд нь тоогоор -p=b/a-д нийлдэг ба тэдгээрийн үржвэр нь q=c/a-тай тохирч байгааг нотолсон.
Одоо тодорхой ажлуудыг авч үзье.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Энгийн болгохын тулд илэрхийлэлийг өөрчилье:
x 2 + 7x - 18 = 0
Виетийн теоремыг ашиглая, энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгөх болно: язгууруудын нийлбэр нь -7, тэдгээрийн үржвэр нь -18 байна. Эндээс бид тэгшитгэлийн язгуур нь -9 ба 2 гэсэн тоонуудыг олж авна. Шалгасны дараа бид эдгээр хувьсагч утгууд нь илэрхийлэлд үнэхээр нийцэж байгаа эсэхийг шалгах болно.
Парабола график ба тэгшитгэл
Квадрат функц ба квадрат тэгшитгэлийн ойлголтууд хоорондоо нягт холбоотой. Үүний жишээг өмнө нь өгсөн. Одоо математикийн зарим оньсогонуудыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Тайлбарласан төрлийн аливаа тэгшитгэлийг нүдээр дүрсэлж болно. График хэлбэрээр зурсан ийм хамаарлыг парабола гэж нэрлэдэг. Түүний төрөл бүрийн төрлийг доорх зурагт үзүүлэв.
Аливаа парабол нь оройтой, өөрөөр хэлбэл мөчрүүд нь гарч ирдэг цэгтэй байдаг. Хэрэв a>0 бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрдэг бөгөөд a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Функцийн дүрслэл нь квадрат тэгшитгэлийг оруулаад аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг график гэж нэрлэдэг. Мөн x хувьсагчийн утга нь графикийн шугам 0x-тэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса координат юм. Оройн координатыг дөнгөж өгсөн x 0 = -b/2a томъёог ашиглан олж болно. Үүссэн утгыг функцийн анхны тэгшитгэлд орлуулснаар та y 0 буюу ординатын тэнхлэгт хамаарах параболын оройн хоёр дахь координатыг олж чадна.
Абсцисса тэнхлэгтэй параболын мөчрүүдийн огтлолцол
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх олон жишээ байдаг ч ерөнхий хэв маяг бас байдаг. Тэднийг харцгаая. a>0-ийн хувьд графикийн 0х тэнхлэгтэй огтлолцох нь зөвхөн 0 сөрөг утгыг авсан тохиолдолд л боломжтой болох нь тодорхой байна. Мөн а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Үгүй бол Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Параболын графикаас та мөн үндсийг тодорхойлж болно. Харин ч эсрэгээрээ. Өөрөөр хэлбэл, квадрат функцийн дүрслэлийг олж авахад амаргүй бол та илэрхийллийн баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Мөн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдсэнээр график байгуулах нь илүү хялбар болно.
Түүхээс
Квадрат хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг ашиглан хуучин цагт тэд зөвхөн математик тооцоолол хийгээд зогсохгүй геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлдог байв. Эртний хүмүүст физик, одон орон судлалын салбарт томоохон нээлт хийх, мөн зурхайн таамаглал гаргахад ийм тооцоо хэрэгтэй байв.
Орчин үеийн эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны оршин суугчид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн анхны хүмүүсийн нэг байв. Энэ нь манай эринээс дөрвөн зууны өмнө болсон. Мэдээжийн хэрэг, тэдний тооцоо одоо хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөс эрс өөр байсан бөгөөд илүү энгийн байсан. Жишээлбэл, Месопотамийн математикчид сөрөг тоо байдаг талаар ямар ч ойлголтгүй байсан. Тэд орчин үеийн сургуулийн сурагчдын мэддэг бусад нарийн ширийн зүйлийг мэддэггүй байв.
Магадгүй Вавилоны эрдэмтдээс ч эрт Энэтхэгийн мэргэн Баудхаяма квадрат тэгшитгэлийг шийдэж эхэлжээ. Энэ нь Христийн эрин үеэс найман зууны өмнө болсон. Түүний өгсөн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, шийдвэрлэх аргууд нь хамгийн энгийн байсан нь үнэн. Түүнээс гадна Хятадын математикчид ч эртний үед үүнтэй төстэй асуултуудыг сонирхож байсан. Европт квадрат тэгшитгэлийг зөвхөн 13-р зууны эхэн үеэс шийдэж эхэлсэн боловч хожим нь Ньютон, Декарт болон бусад олон эрдэмтэд бүтээлдээ ашигласан.
Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.
(1)
.
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
;
.
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэр (фактор) хэлбэрээр илэрхийлж болно.
.
Дараа нь бид бодит тоо гэж таамаглаж байна.
Ингээд авч үзье квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай болно.
;
.
Дараа нь квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторчилол:
.
Хэрэв дискриминант нь сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
;
.
Дараа нь
.
График тайлбар
Хэрэв та функцийг зурвал
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр огтолж байна.
үед график нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график х тэнхлэгийг огтолдоггүй.
Ийм графикуудын жишээг доор харуулав.
Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах
Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог ашигладаг:
,
Хаана
;
.
Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Энэ нь тэгшитгэл байгааг харуулж байна
-д тоглосон
Мөн .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох жишээ
Жишээ 1
(1.1)
.
Шийдэл
.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.
;
;
.
Эндээс бид квадрат гурвалжны үржвэрийг олж авна.
.
y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна.
Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр дайран өнгөрдөг.
Мөн .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).
Хариулт
;
;
.
Жишээ 2
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1)
.
Шийдэл
Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.
Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.
Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэгт хүрдэг:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Учир нь энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан болно:
,
тэгвэл ийм язгуурыг ихэвчлэн олон тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэдэгт итгэдэг.
.
Хариулт
;
.
Жишээ 3
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1)
.
Шийдэл
Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
(1)
.
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье:
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, . Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.
Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:
;
;
Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.
Хариулт
Жинхэнэ үндэс байхгүй. Нарийн төвөгтэй үндэс:
;
;
.
