“Математикч зураач, яруу найрагчийн нэгэн адил хэв маягийг бүтээдэг. Мөн түүний хээ нь илүү тогтвортой байвал санаанаас бүрдсэн учраас л... Зураач, яруу найрагчийн хээ шиг математикч хүний хээ нь үзэсгэлэнтэй байх ёстой; Өнгө, үгийн нэгэн адил санаанууд бие биетэйгээ нийцэх ёстой. Гоо сайхан бол хамгийн эхний шаардлага: муухай математикт дэлхий дээр хаана ч байхгүй».
G.H.Hardy
Эхний бүлэгт анхдагч зүйлүүд нэлээд байдаг гэж тэмдэглэсэн энгийн функцууд, үүнийг цаашид илэрхийлэх боломжгүй үндсэн функцууд. Үүнтэй холбогдуулан тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь анхан шатны функцууд гэж бид үнэн зөв хэлж чадах функцүүдийн ангиуд асар их практик ач холбогдолтой болж байна. Энэ ангиллын функцүүд орно оновчтой функцууд, хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн харьцааг илэрхийлдэг. Олон асуудал нь рационал бутархайг нэгтгэхэд хүргэдэг. Тиймээс ийм функцуудыг нэгтгэх чадвартай байх нь маш чухал юм.
2.1.1. Бутархай рационал функцууд
Рационал бутархай(эсвэл бутархай рационал функц) хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн хамаарал гэж нэрлэгддэг:
хаана ба олон гишүүнт байна.
Үүнийг эргэн санацгаая олон гишүүнт (олон гишүүнт, бүхэл бүтэн оновчтой функц) n-р зэрэгхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг
Хаана 
- бодит тоо. Жишээлбэл,
- нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт;
– дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт гэх мэт.
Рационал бутархай (2.1.1) гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв зэрэг нь зэргээс доогуур байвал, i.e. n<м, эс бөгөөс бутархайг дуудна буруу.
Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт (бүхэл хэсэг) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) нийлбэрээр илэрхийлж болно.Бутархай бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг салгахдаа олон гишүүнтийг "булангаар" хуваах дүрмийн дагуу хийж болно.
Жишээ 2.1.1.Дараах буруу рационал бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг ол.
A) 
, б) 
.
Шийдэл . a) "Булан" хуваах алгоритмыг ашиглан бид олж авна
Тиймээс бид авдаг
.
б) Энд бид мөн "булангийн" хуваах алгоритмыг ашигладаг.
Үүний үр дүнд бид авдаг
.
Дүгнэж хэлье. Ерөнхий тохиолдолд рационал бутархайн тодорхойгүй интегралыг олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн интегралын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Олон гишүүнтийн эсрэг деривативуудыг олох нь хэцүү биш юм. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөв рационал бутархайг голчлон авч үзэх болно.
2.1.2. Хамгийн энгийн рационал бутархай ба тэдгээрийн интеграл
Зөв оновчтой бутархайн дотроос дөрвөн төрөл байдаг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар ангилдаг хамгийн энгийн (анхны) рационал бутархай:
|
3) |
4) |
,
,бүхэл тоо хаана байна, 
, өөрөөр хэлбэл квадрат гурвалжин 
жинхэнэ үндэс байхгүй.
1 ба 2-р төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх нь тийм ч их бэрхшээл учруулахгүй.
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Одоо 3-р төрлийн энгийн бутархайн интеграцийг авч үзье, гэхдээ бид 4-р төрлийн бутархайг авч үзэхгүй.
Маягтын интегралаас эхэлье
.
Энэ интегралыг ихэвчлэн тусгаарлах замаар тооцдог бүтэн дөрвөлжинхуваарьт. Үр дүн нь дараах хэлбэрийн хүснэгтийн интеграл юм
эсвэл 
.
Жишээ 2.1.2.Интегралуудыг ол:
A) 
, б) 
.
Шийдэл . a) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг сонгоно уу:
Эндээс бид олдог
б) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тиймээс,
.
Интегралыг олохын тулд
Та хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт тусгаарлаж, интегралыг хоёр интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж болно: эхнийх нь орлуулах замаар 
гадаад үзэмж дээр ирдэг
,
ба хоёр дахь нь - дээр дурдсан.
Жишээ 2.1.3.Интегралуудыг ол:
.
Шийдэл
. анзаараарай, тэр 
. Тоолуур дахь хуваарийн деривативыг салгая.
Эхний интегралыг орлуулах аргыг ашиглан тооцоолно 
:
Хоёр дахь интегралд бид хуваагч дахь төгс квадратыг сонгоно
Эцэст нь бид авдаг
2.1.3. Зөв оновчтой бутархай тэлэлт
энгийн бутархайн нийлбэрийн хувьд
Аливаа зөв рационал бутархай 
энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай. Дээд алгебраас харахад олон гишүүнт бүр бодит коэффициенттэй байдаг
Рационал функц гэдэг нь олон гишүүнт буюу олон гишүүнтийн үржвэрийн тоо ба хуваагч хэлбэрийн бутархай юм.
Жишээ 1. Алхам 2.
.
Бид тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг энэ тусдаа бутархайд байхгүй, харин бусад үр дүнд бий болсон олон гишүүнтүүдээр үржүүлнэ.
Бид хаалтуудыг нээж, анхны интегралын тоологчийг үүссэн илэрхийлэлтэй тэнцүүлнэ.
Тэгш байдлын хоёр талд бид x-ийн ижил чадалтай нэр томъёог хайж, тэдгээрээс тэгшитгэлийн системийг зохиодог.
.
Бид бүх x-ийг цуцалж, ижил тэгшитгэлийн системийг авна.
.
Тиймээс интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон эцсийн өргөтгөл нь:
.
Жишээ 2. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
.
Одоо бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхлэв. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.
Одоо та тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийн коэффициентийг функцийн анхны илэрхийллийн тоологч дахь харгалзах зэрэгтэй тэнцүүлж, өмнөх алхам дээр олж авсан илэрхийлэл дэх ижил төстэй коэффициентүүдийг тэнцүүлнэ.
Бид үүссэн системийг шийддэг:
Тэгэхээр эндээс
.
Жишээ 3. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
Бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.
Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Бид x-ийг багасгаж, тэнцүү тэгшитгэлийн системийг авна.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид энгийн бутархайн нийлбэр болгон интегралын эцсийн задралыг олж авна.
.
Жишээ 4. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
.
Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалж, энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагчтай болгосны дараа олж авсан хуваагч дахь илэрхийлэлтэй анхны бутархайн хуваагчийг хэрхэн тэнцүүлэхийг бид өмнөх жишээнүүдээс аль хэдийн мэдэж байсан. Тиймээс зөвхөн хяналтын зорилгоор бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг танилцуулж байна.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид энгийн бутархайн нийлбэр болгон интегралын эцсийн задралыг олж авна.
Жишээ 5. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
.
Бид бие даан энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүртэгчтэй адилтгадаг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
.
Бид энгийн бутархайн нийлбэр болгон интегралын эцсийн задралыг олж авна.
.
Жишээ 6. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
Бид өмнөх жишээнүүдийн адил энэ хэмжээгээр ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
.
Бид энгийн бутархайн нийлбэр болгон интегралын эцсийн задралыг олж авна.
.
Жишээ 7. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
.
Үр дүнгийн хэмжээтэй тодорхой үйлдлүүдийн дараа дараахь тэгшитгэлийн системийг авах шаардлагатай.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид энгийн бутархайн нийлбэр болгон интегралын эцсийн задралыг олж авна.
.
Жишээ 8. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.
.
Тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд автоматжуулсан үйлдлүүдэд зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Зарим тохиолдолд шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусалдаг хиймэл техник байдаг. Бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, бид энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүрдэгчтэй тэнцүүлж, олж авна.
СЭДЭВ: Рационал бутархайн интегралчлал.
Анхаар! Интегралчлалын үндсэн аргуудын нэг болох рационал бутархайн интеграцийг судлахдаа нарийн нотолгоо хийхийн тулд цогц муж дахь олон гишүүнтүүдийг авч үзэх шаардлагатай. Тиймээс зайлшгүй шаардлагатай урьдчилан судлах нийлмэл тооны зарим шинж чанар, тэдгээрт хийх үйлдлүүд.
Энгийн рационал бутархайн интеграл.
Хэрэв П(z) Тэгээд Q(z) Эдгээр нь нийлмэл мужид олон гишүүнт байвал рационал бутархай болно. гэж нэрлэдэг зөв, хэрвээ зэрэг П(z) бага зэрэг Q(z) , Мөн буруу, хэрвээ зэрэг Р зэрэгээс багагүй Q.
Аливаа буруу бутархайг дараах байдлаар илэрхийлж болно. 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
а Р(z) – зэрэг нь градусаас бага олон гишүүнт Q(z).
Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь зөв бутархай учраас олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл хүчний функц, зөв бутархайн интегралд ордог.
Тодорхойлолт 5. Хамгийн энгийн (эсвэл энгийн) бутархай нь дараах төрлийн бутархай байна.
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Тэд хэрхэн нэгтгэж байгааг олж мэдье.
3) 
(өмнө нь судалж байсан).
Теорем 5. Зөв бутархай бүрийг энгийн бутархайн нийлбэрээр (баталгаагүй) төлөөлж болно.
Дүгнэлт 1. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн бодит язгуурууд байгаа бол бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1-р төрлийн энгийн бутархайнууд л байх болно.
Жишээ 1.
Дүгнэлт 2. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгуур дунд зөвхөн олон бодит язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1 ба 2-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно. :
Жишээ 2.
Дүгнэлт 3. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн нийлмэл нийлмэл язгуурууд байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно.
Жишээ 3.
Дүгнэлт 4. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн олон нийлмэл нийлмэл язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3 ба 4-р бутархай л байх болно. төрөл:
Өгөгдсөн өргөтгөлүүдийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана. Үл мэдэгдэх коэффициент агуулсан өргөтгөлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлэв Хоёр олон гишүүнтийн тэгш байдал үүснэ. Үүнээс шаардлагатай коэффициентүүдийн тэгшитгэлийг дараахь байдлаар авна.
1. тэгш байдал нь X-ийн аль ч утгын хувьд үнэн (хэсэгчилсэн утгын арга). Энэ тохиолдолд дурын тооны тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд тэдгээрийн аль ч m нь үл мэдэгдэх коэффициентийг олох боломжийг олгодог.
2. коэффициентүүд нь X-ийн ижил зэрэгтэй давхцдаг (арга тодорхойгүй коэффициентүүд). Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг олдог m - үл мэдэгдэх m - тэгшитгэлийн системийг олж авна.
3. хосолсон арга.
Жишээ 5. Бутархайг томруулна уу 
хамгийн энгийн рүү.
Шийдэл:
А ба В коэффициентийг олъё.
Арга 1 - хувийн үнэ цэнийн арга:
Арга 2 - тодорхойгүй коэффициентийн арга:
Хариулт: 
Рационал бутархайг нэгтгэх.
Теорем 6. Аливаа рационал бутархайн тодорхойгүй интеграл нь хуваарь нь 0-тэй тэнцүү биш аль ч интервал дээр байдаг бөгөөд рационал бутархай, логарифм, арктангенс гэх мэт энгийн функцээр илэрхийлэгддэг.
Баталгаа.
Рационал бутархайг дараах хэлбэрээр төсөөлье. 
. Энэ тохиолдолд сүүлийн гишүүн нь зөв бутархай байх ба 5-р теоремын дагуу энгийн бутархайн шугаман хослолоор төлөөлүүлж болно. Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь олон гишүүнтийн интеграл болж буурдаг С(x)
ба энгийн бутархай, эсрэг деривативууд нь теоремд заасан хэлбэртэй байна.
Сэтгэгдэл. Энэ тохиолдолд гол бэрхшээл бол хуваагчийг хүчин зүйл болгон задлах, өөрөөр хэлбэл түүний бүх үндсийг хайх явдал юм.
Жишээ 1. Интегралыг ол
Өмнөх догол мөрөнд дурдсан бүх зүйл нь оновчтой бутархайг нэгтгэх үндсэн дүрмийг боловсруулах боломжийг бидэнд олгодог.
1. Хэрэв рационал бутархай буруу байвал олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ (2-р догол мөрийг үзнэ үү).
Энэ нь буруу рационал бутархайг олон гишүүнт ба зөв рационал бутархай интеграл болгон бууруулна.
2. Зөв бутархайн хуваагчийг үржүүлэх.
3. Зөв рационал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалдаг. Энэ нь зөв рационал бутархайг энгийн бутархай интеграл руу багасгадаг.
Жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1. олох.
Шийдэл. Интегралын доор буруу рационал бутархай байна. Бүх хэсгийг нь сонгоод бид авна
Тиймээс,
Үүнийг тэмдэглээд зөв рационал бутархайг өргөжүүлье
энгийн бутархай руу:
(томъёо (18)-ыг үзнэ үү). Тийм ч учраас
Тиймээс бид эцэст нь байна
Жишээ 2. Хай
Шийдэл. Интегралын доор зөв рационал бутархай байна.
Үүнийг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл (томъёо (16)-г үзнэ үү) бид олж авна
Энэ сэдвээр танилцуулсан материал нь "Рационал бутархай. Рационал бутархайг энгийн (энгийн) бутархай болгон задлах" сэдвийн мэдээлэлд үндэслэсэн болно. Энэ материалыг уншихаасаа өмнө ядаж энэ сэдвийг сайтар судалж үзэхийг танд зөвлөж байна. Үүнээс гадна бидэнд тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно.
Хэд хэдэн нэр томъёог сануулъя. Тэдгээрийг холбогдох сэдвээр хэлэлцсэн тул энд би товч томъёололоор хязгаарлагдах болно.
$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ хоёр олон гишүүнтийн харьцааг рационал функц буюу рационал бутархай гэнэ. Рационал бутархай гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется буруу.
Анхан шатны (хамгийн энгийн) рационал бутархай нь дөрвөн төрлийн рационал бутархай юм.
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Тэмдэглэл (текстийг илүү бүрэн ойлгоход тохиромжтой): show\hide
$p^2-4q нөхцөл яагаад хэрэгтэй вэ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Жишээлбэл, $x^2+5x+10$ илэрхийллийн хувьд бид дараахийг авна: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 оноос хойш< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Дашрамд хэлэхэд, энэ шалгалтын хувьд $x^2$-ийн өмнөх коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх шаардлагагүй. Жишээлбэл, $5x^2+7x-3=0$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 доллар. $D > 0$ тул $5x^2+7x-3$ илэрхийлэлийг үржвэрлэх боломжтой.
Рационал бутархайн (зөв ба буруу) жишээнүүд, түүнчлэн рационал бутархайг энгийн хэсэг болгон задлах жишээг олж болно. Энд бид зөвхөн тэдний нэгдмэл байдлын талаархи асуултуудыг сонирхох болно. Энгийн бутархайн интегралаас эхэлье. Тиймээс дээрх дөрвөн төрлийн энгийн бутархай бүрийг доорх томьёог ашиглан нэгтгэхэд хялбар байдаг. (2) ба (4) төрлийн бутархайг нэгтгэхдээ $n=2,3,4,\ldots$ гэж үздэгийг сануулъя. Томъёо (3) ба (4) нь $p^2-4q нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \төгсгөл(тэгшитгэл)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ийн хувьд $t=x+\frac(p)(2)$ орлуулалт хийгдсэн бөгөөд үүний дараа үүссэн интервал нь байна. хоёр хуваагдсан. Эхнийх нь дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар тооцоолох ба хоёр дахь нь $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ хэлбэртэй байна. Энэ интегралыг давталтын хамаарлыг ашиглан авна
\эхлэх(тэгшитгэл) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; N\төгсгөлд(тэгшитгэл)
Ийм интегралын тооцоог жишээ No7-д авч үзсэн болно (гурав дахь хэсгийг үзнэ үү).
Рационал функцүүдийн интегралыг тооцоолох схем (рационал бутархай):
- Хэрэв интеграл нь энгийн бол (1)-(4) томъёог хэрэглэнэ.
- Хэрэв интеграл нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж, дараа нь (1)-(4) томъёог ашиглан интеграци хийнэ.
Рационал бутархайг нэгтгэх дээрх алгоритм нь маргаангүй давуу талтай - энэ нь бүх нийтийнх юм. Тэдгээр. Энэ алгоритмыг ашиглан та нэгтгэж болно ямар чрационал бутархай. Тийм ч учраас тодорхой бус интеграл дахь бараг бүх хувьсагчийн өөрчлөлтүүд (Эйлер, Чебышев, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт) нь ийм өөрчлөлтийн дараа интервалын дор рационал бутархайг авахаар хийгдсэн байдаг. Дараа нь алгоритмыг түүнд хэрэглэнэ. Бид жижиг тэмдэглэл хийснийхээ дараа жишээнүүдийг ашиглан энэ алгоритмын шууд хэрэглээг шинжлэх болно.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Зарчмын хувьд энэ интегралыг томъёоны механик хэрэглээгүйгээр олж авахад хялбар байдаг. Хэрэв бид интеграл тэмдгээс $7$ тогтмолыг аваад $dx=d(x+9)$ гэж тооцвол бид дараахийг авна.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Нарийвчилсан мэдээлэл авахын тулд би сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна. Ийм интегралыг хэрхэн шийддэг талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Дашрамд хэлэхэд, томьёог "гараар" шийдвэрлэхдээ энэ догол мөрөнд ашигласан ижил өөрчлөлтүүдээр нотлогддог.
2) Дахин хэлэхэд хоёр арга бий: бэлэн томъёог ашиглах эсвэл үүнгүйгээр хийх. Хэрэв та томьёог хэрэглэвэл $ x $ (тоо 4) -ийн өмнөх коэффициентийг хасах шаардлагатай болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд энэ дөрвийг хаалтнаас гаргаж авъя:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\баруун)\баруун)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8). $$
Одоо томъёог хэрэглэх цаг болжээ:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \баруун )^7)+C. $$
Та томъёог ашиглахгүйгээр хийж болно. Тогтмол $4$-ыг хаалтнаас гаргаагүй ч гэсэн. Хэрэв бид $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахыг авна.
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Ийм интегралыг олох дэлгэрэнгүй тайлбарыг "Орлуулах замаар интеграл (дифференциал тэмдгийн дор орлуулах)" сэдвээр өгсөн болно.
3) Бид $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Энэ бутархай нь $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бүтэцтэй бөгөөд $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Гэхдээ энэ нь үнэхээр гурав дахь төрлийн энгийн бутархай мөн эсэхийг шалгахын тулд $p^2-4q нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Үүнтэй ижил жишээг шийдье, гэхдээ бэлэн томъёо ашиглахгүйгээр. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлахыг оролдъё. Энэ юу гэсэн үг вэ? Бид $(x^2+10x+34)"=2x+10$ гэдгийг мэднэ. Энэ нь $2x+10$ илэрхийлэлийг тоологчдоо тусгаарлах ёстой. Одоогийн байдлаар тоологч зөвхөн $4x+7$-г агуулж байна. Гэхдээ энэ нь тийм ч удаан үргэлжлэхгүй. Дараах хувиргалтыг тоологч дээр хэрэгжүүлье.
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Одоо шаардлагатай $2x+10$ илэрхийлэл тоологч хэсэгт гарч ирнэ. Мөн бидний интегралыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Интегралыг хоёр хувааж үзье. За, үүний дагуу интеграл нь өөрөө "хоёр хуваагдсан":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \баруун)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Эхлээд эхний интегралын талаар ярилцъя, i.e. ойролцоогоор $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ тул интегралын хүртэгч нь хуваагчийн дифференциалыг агуулна. Товчхондоо оронд нь $( 2x+10)dx$ илэрхийллийн бид $d(x^2+10x+34)$ бичнэ.
Одоо хоёр дахь интегралын талаар хэдэн үг хэлье. Бүтэн квадратыг хуваагчаар сонгоцгооё: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Үүнээс гадна бид $dx=d(x+5)$-г харгалзан үзнэ. Одоо бидний өмнө нь олж авсан интегралуудын нийлбэрийг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно.
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Хэрэв бид эхний интегралд $u=x^2+10x+34$ орлуулгыг хийвэл $\int\frac(du)(u)$ хэлбэрийг авч дараахийг авна. хэрэглэхэд хялбар-аас хоёр дахь томьёо. Хоёрдахь интегралын хувьд $u=x+5$ өөрчлөлт хийх боломжтой бөгөөд үүний дараа $\int\frac(du)(u^2+9)$ хэлбэрийг авна. Энэ цэвэр устодорхойгүй интегралын хүснэгтээс арваннэгдүгээр томьёо. Тиймээс интегралуудын нийлбэр рүү буцаж ирэхэд бид дараах байдалтай байна.
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Бид томьёог хэрэглэхтэй ижил хариултыг авсан бөгөөд энэ нь хатуухан хэлэхэд гайхах зүйл биш юм. Ерөнхийдөө томьёо нь энэ интегралыг олоход ашигласан аргуудаар нотлогддог. Анхааралтай уншигч энд нэг асуулт гарч ирж магадгүй гэж би бодож байна, тиймээс би үүнийг томъёолох болно:
Асуулт №1
Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгтээс $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ интегралд хоёрдахь томьёог хэрэглэвэл бид дараахийг авна.
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Яагаад шийдэлд модуль байхгүй байсан бэ?
№1 асуултын хариулт
Асуулт нь бүрэн байгалийн юм. R$ дахь дурын $x^2+10x+34$ илэрхийлэл тэгээс их байгаа тул модуль алга болсон. Үүнийг хэд хэдэн аргаар харуулахад маш хялбар байдаг. Жишээ нь, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ба $(x+5)^2 ≥ 0$, дараа нь $(x+5)^2+9 > 0$ . Бүрэн квадратыг сонгохгүйгээр та өөрөөр бодож болно. $10^2-4\cdot 34=-16 тул< 0$, то $x^2+10x+34 >R$-д ямар ч $x\-д 0$ (хэрэв энэ логик хэлхээЭнэ бол гайхалтай, би үүнийг үзэхийг зөвлөж байна график аргаквадрат тэгш бус байдлын шийдэл). Ямар ч байсан $x^2+10x+34 > 0$, дараа нь $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Модулийн оронд та ердийн хаалт ашиглаж болно.
№1 жишээний бүх цэгүүд шийдэгдсэн тул хариултыг бичих л үлдлээ.
Хариулах:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Жишээ №2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ интегралыг ол.
Эхлээд харахад $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ интеграл бутархай нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархайтай маш төстэй, өөрөөр хэлбэл. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ганц ялгаа нь $x^2$-ын урд $3$-ын коэффициент байгаа юм шиг санагдаж байна, гэхдээ коэффициентийг арилгахад удаан хугацаа шаардагдахгүй (хаалтнаас гаргаж ав). Гэсэн хэдий ч энэ ижил төстэй байдал илт харагдаж байна. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бутархайн хувьд $p^2-4q нөхцөл заавал байх ёстой.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Бидний $x^2$-ын өмнөх коэффициент нэгтэй тэнцүү биш тул $p^2-4q нөхцөлийг шалгана уу< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадрат тэгшитгэл$x^2+px+q=0$. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол $x^2+px+q$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ялгах боломжгүй. Бутархайныхаа хуваарьт байрлах $3x^2-5x-2$ олон гишүүнтийн дискриминантыг тооцоод үзье: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Тэгэхээр, $D > 0$, тиймээс $3x^2-5x-2$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болно. Энэ нь $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ бутархай нь гурав дахь төрлийн элементийн бутархай биш бөгөөд $\int\frac(7x+12)(3x^2-) гэсэн үг юм. ) интеграл руу 5x-2)dx$ томьёо хийх боломжгүй.
За, хэрэв өгөгдсөн рационал бутархай нь энгийн бутархай биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь нэгтгэх хэрэгтэй. Товчхондоо, мөрийн давуу талыг ашигла. Рационал бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон задлах талаар дэлгэрэнгүй бичсэн болно. Хүсэгчийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлцгээе.
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\баруун)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2). $$
Бид дэд интеркаль фракцыг дараах хэлбэрээр үзүүлэв.
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)). $$
Одоо $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ бутархайг энгийн хэсэг болгон задалъя:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун))(\зүүн(x+) \frac(1)(3)\баруун)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)( 3)\баруун). $$
$A$ ба $B$ коэффициентүүдийг олохын тулд тодорхойгүй коэффициентийн арга ба хэсэгчилсэн утгыг орлуулах гэсэн хоёр стандарт арга байдаг. $x=2$, дараа нь $x=-\frac(1)(3)$-ийг орлуулах хэсэгчилсэн утгыг орлуулах аргыг хэрэглэцгээе:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\зүүн(2+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \баруун)+4=A\зүүн(-\frac(1)(3)-2\баруун)+B\зүүн (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Коэффициент олдсон тул дууссан өргөтгөлийг бичихэд л үлддэг.
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Зарчмын хувьд та энэ оруулгыг орхиж болно, гэхдээ надад илүү нарийвчлалтай сонголт таалагдаж байна:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Анхны интеграл руу буцаж очоод бид үүссэн өргөтгөлийг түүн рүү орлуулна. Дараа нь бид интегралыг хоёр хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэнэ. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\баруун)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Хариулах: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\баруун| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Жишээ №3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ интегралыг ол.
Бид $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Тоолуур нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт, хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнийг агуулна. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад бага байдаг тул өөрөөр хэлбэл. 2 доллар< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Бидний хийх ёстой зүйл бол өгөгдсөн интегралыг гурав болгон хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэх явдал юм. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \баруун)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Хариулах: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Энэ сэдвийн жишээнүүдийн шинжилгээний үргэлжлэлийг хоёрдугаар хэсэгт байрлуулна.
