Эхний түвшин

Функцийн дериватив. The Ultimate Guide (2019)

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг нь тэг өндрийн тодорхой түвшин бөгөөд амьдрал дээр бид далайн түвшинг ашигладаг.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсгүүдэд (х тэнхлэгийн дагуу) нэг километр урагшлах үед бид далайн түвшнээс (y тэнхлэгийн дагуу) өөр өөр метрээр дээшлэх эсвэл буурах болно.

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x" -ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга! Энэ нь жишээлбэл, .

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг.

Утгыг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэв төгсгөлийн цэг нь эхлэх цэгээс доогуур байвал энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш, харин доошилж байна гэсэн үг юм.

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрвээ зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Одоо нэг толгодын оройг харцгаая. Хэсгийн эхлэлийг оргилд хүрэхээс хагас километрийн өмнө, төгсгөлийг нь хагас километрийн дараа авбал өндөр нь бараг ижил байгааг харж болно.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь сайн!

IN жинхэнэ амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэг биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн их тоог гаргавал хоёроор үржүүлбэл бүр ч их тоо гарах болно. Мөн хязгааргүй байдал нь юу болж байгаагаас ч илүү юм. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэдэг нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя. Хязгааргүй цөөн тоонуудыг хооронд нь хуваах юм бол бүрэн энгийн тоог авч болно, жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлтийг функцийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтболон томилогдсон байна.Тэнхлэгийн дагуу хол урагшлахад функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативын хувьд ийм байна: тогтмол функцийн дериватив (тогтмол) тэгтэй тэнцүү байна:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг оройн эсрэг талд байрлуулж, төгсгөлийн өндөр нь ижил байхаар, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байхаар зохион байгуулах боломжтой болсон.

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагатай байдаггүй, гэхдээ тэнцүү). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба эерэг утгын хооронд байх ёстой. Энэ нь функц нь нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талд байгаа функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо яах вэ? тэнцүү аргумент? Маш амархан: . Функцийн үнэ одоо хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх цэг дэх функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

Ижил аргументийн өсөлттэй өөр өөр цэгүүдэд функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг юм (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол бол илтгэгч нь:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.

(2)

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

1. . Итгэнэ үү үгүй ​​юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
   Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
   Энэ нь манай квадрат язгуур нь зөвхөн илтгэгчтэй хүч гэсэн үг юм.
   .
   Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:

   Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)

2. . Одоо экспонент:

   Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
   ;
   .
   Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
   .

3. . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц ойртох болно.Энэ бол "зорилго" юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив нь:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ (өөрөөр хэлбэл at).

Тиймээс бид дараах дүрмийг авна. синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

1. Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
   ;
   .
2. Энд бид ижил төстэй зүйл байна эрчим хүчний функц. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
   хэвийн харагдах байдал:
   .
   Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
   .
   .
3. . Эээээээ..... Энэ юу вэ????

За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохоо хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй.

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталцгаая. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай юм (энэ нь юу болохыг та мартаагүй байна уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогцолбор функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол жишээ юм нарийн төвөгтэй функц: утгыг нь олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг хийнэ.

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг өөрчилж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдийг шалгаж үзье:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь шууд тодорхой харагдаж байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (бид шоколадыг саванд хийнэ) боодолтой ба цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэмжилтийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Өгүүллийн агуулга

ҮҮСГЭЛ– функцийн дериватив y = е(x), тодорхой интервалаар өгсөн ( а, б) цэг дээр xэнэ интервалыг функцийн өсөлтийн харьцаа хандлагатай байгаа хязгаар гэнэ еэнэ үед аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байх үед аргументийн харгалзах өсөлт рүү.

Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.

Бусад тэмдэглэгээг мөн өргөн ашигладаг:

Шуурхай хурд.

Гол нь байя Мшулуун шугамаар хөдөлдөг. Зай схөдөлж буй цэг, ямар нэг анхны байрлалаас тоолсон М 0 , цаг хугацаанаас хамаарна т, өөрөөр хэлбэл сцаг хугацааны функц байдаг т: с= е(т). Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр тхөдлөх цэг Мзайтай байсан сэхлэх байрлалаас М 0, дараагийн мөчид т+Д тбайр сууриа олж мэдэв М 1 - зайнд с+Д санхны байрлалаас ( зургийг үзнэ үү.).

Ийнхүү тодорхой хугацааны дараа Д тзай схэмжээгээр өөрчилсөн D с. Энэ тохиолдолд тэд цаг хугацааны интервалд D гэж хэлдэг тхэмжээ схүлээн авсан нэмэгдэл D с.

Дундаж хурд нь бүх тохиолдолд цэгийн хөдөлгөөний хурдыг нарийн тодорхойлж чадахгүй Мцаг хугацааны хувьд т. Хэрэв жишээлбэл, интервалын эхэнд байгаа бие D тмаш хурдан хөдөлж, эцэст нь маш удаан, дараа нь дундаж хурд нь цэгийн хөдөлгөөний заасан шинж чанарыг тусгаж чадахгүй бөгөөд одоогийн байдлаар түүний хөдөлгөөний жинхэнэ хурдны талаар ойлголт өгөх боломжгүй болно. т. Дундаж хурдыг ашиглан жинхэнэ хурдыг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэхийн тулд та богино хугацаа авах хэрэгтэй D т. Ихэнх нь тухайн үеийн цэгийн хөдөлгөөний хурдыг бүрэн тодорхойлдог тдундаж хурд D-д чиглэх хязгаар т® 0. Энэ хязгаарыг хөдөлгөөний хурд гэж нэрлэдэг Энэ мөч:

Тиймээс тухайн агшин дахь хөдөлгөөний хурдыг замын өсөлтийн харьцааны хязгаар D гэж нэрлэдэг сцаг хугацааны өсөлт D т, цаг хугацааны өсөлт тэг болох хандлагатай үед. Учир нь

Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч.

Шүргэдэг шугам барих нь дифференциал тооцоолол үүсэхэд хүргэсэн асуудлуудын нэг юм. Лейбницийн бичсэн дифференциал тооцоотой холбоотой анхны хэвлэгдсэн бүтээл нь нэртэй байв Шинэ аргамаксимум ба минимум, түүнчлэн бутархай ч биш, иррационал хэмжигдэхүүн ч биш шүргэгч хэмжигдэхүүнүүд, үүнд зориулсан тусгай тооцоолол нь саад болдог..

Муруйг функцийн график гэж үзье y =е(x) тэгш өнцөгт координатын системд ( см. будаа.).

Зарим үнээр xфункц чухал y =е(x). Эдгээр үнэт зүйлс xТэгээд yмуруй дээрх цэг нь тохирч байна М 0(x, y). Хэрэв маргаан бол xөгөх өсөлт D x, дараа нь аргументийн шинэ утга x+Д xшинэ функцийн утгатай тохирч байна y+Д y = е(x + Д x). Муруйн харгалзах цэг нь цэг болно М 1(x+Д x,y+Д y). Хэрэв та сектан зурвал М 0М 1 ба j-ээр тэмдэглэнэ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хөндлөн огтлолцсон өнцөг Үхэр, зурагнаас шууд тодорхой харагдаж байна.

Хэрэв одоо Д xтэг рүү чиглэж, дараа нь цэг М 1 муруйн дагуу хөдөлж, цэг рүү ойртоно М 0 ба өнцөг j D-тэй хамт өөрчлөгддөг x. At Dx® 0 өнцөг j тодорхой хязгаарт чиглэдэг a ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам М 0 ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэл бүхий бүрэлдэхүүн хэсэг нь а өнцөг нь хүссэн шүргэгч байх болно. Түүний налуу нь:

Тиймээс, е´( x) = tga

тэдгээр. дериватив үнэ цэнэ е´( x) өгөгдсөн аргументын утгын хувьд xфункцийн графикт шүргэхэд үүссэн өнцгийн тангенстай тэнцүү байна е(x) харгалзах цэг дээр М 0(x,y) эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй Үхэр.

Функцийн ялгавартай байдал.

Тодорхойлолт. Хэрэв функц y = е(x) цэг дээр дериватив байна x = x 0 бол энэ үед функц дифференциал болно.

Деривативтай функцийн тасралтгүй байдал. Теорем.

Хэрэв функц y = е(x) хэзээ нэгэн цагт ялгагдах боломжтой x = x 0, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Тиймээс функц нь тасалдалтай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг дүгнэлт нь буруу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт тэрнээс x = x 0 функц y = е(x) тасралтгүй байна гэдэг нь энэ үед ялгах боломжтой гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, функц y = |x| хүн бүрт тасралтгүй x(–Ґ x x = 0 нь деривативгүй. Энэ үед графикт шүргэгч байхгүй. Баруун болон зүүн тангенс байдаг боловч тэдгээр нь давхцдаггүй.

Дифференциалагдах функцүүдийн зарим теоремууд. Деривативын язгуурын тухай теорем (Роллегийн теорем).Хэрэв функц е(x) сегмент дээр тасралтгүй байна [а,б], энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүд болон төгсгөлд ялгагдах боломжтой x = аТэгээд x = бтэг рүү очдог ( е(а) = е(б) = 0), дараа нь сегмент дотор [ а,б] дор хаяж нэг цэг байна x= -тай, а c b, үүнд дериватив еў( x) тэг рүү очно, өөрөөр хэлбэл. еў( в) = 0.

Хязгаарлагдмал өсөлтийн теорем (Лагранжийн теорем).Хэрэв функц е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б] бөгөөд энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд, дараа нь сегментийн дотор [ ялгах боломжтой. а, б] дор хаяж нэг цэг байна -тай, ав б тэр

е(б) – е(а) = еў( в)(б– а).

Хоёр функцийн өсөлтийн харьцааны тухай теорем (Коши теорем).Хэрэв е(x) Мөн g(x) – сегмент дээр тасралтгүй хоёр функц [а, б] ба энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд ялгах боломжтой, мөн gў( x) энэ сегмент дотор хаана ч алга болохгүй, дараа нь сегмент дотор [ а, б] ийм цэг байдаг x = -тай, ав б тэр

Төрөл бүрийн захиалгын деривативууд.

Функцийг зөвшөөр y =е(x) зарим интервалаар ялгах боломжтой [ а, б]. Дериватив утгууд е ў( x), ерөнхийдөө хамааралтай x, өөрөөр хэлбэл дериватив е ў( x) нь мөн функц юм x. Энэ функцийг ялгахдаа функцийн хоёр дахь дериватив гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг е(x) гэж тэмдэглэгдсэн байна е ўў ( x).

Дериватив n-функцийн дараалал е(x) нь деривативын (эхний дарааллын) дериватив гэж нэрлэгддэг n- 1- th ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна y(n) = (y(n– 1))ў.

Төрөл бүрийн захиалгын ялгаа.

Функцийн дифференциал y = е(x), Хаана x– бие даасан хувьсагч, тийм dy = е ў( x)dx, -аас зарим функц x, гэхдээ эхлэн xзөвхөн эхний хүчин зүйлээс хамаарч болно е ў( x), хоёр дахь хүчин зүйл ( dx) нь бие даасан хувьсагчийн өсөлт юм xмөн энэ хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй. Учир нь dy-аас функц байдаг x, тэгвэл бид энэ функцийн дифференциалыг тодорхойлж болно. Функцийн дифференциалын дифференциалыг энэ функцийн хоёр дахь дифференциал эсвэл хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ. г 2y:

г(dx) = г 2y = е ўў( x)(dx) 2 .

Дифференциал n-нэгдүгээр эрэмбийн ялгааг дифференциалын эхний дифференциал гэнэ n- 1- р захиалга:

d n y = г(d n–1y) = е(n)(x)dx(n).

Хэсэгчилсэн дериватив.

Хэрэв функц нь нэгээс биш хэд хэдэн аргументаас хамаардаг бол x i(би 1-ээс хэлбэлздэг n,би= 1, 2,… n),е(x 1,x 2,… x n), дараа нь дифференциал тооцоололд хэсэгчилсэн дериватив гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь зөвхөн нэг аргумент өөрчлөгдөх үед хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог, жишээлбэл, x i. -д хамаарах 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив x iнь ердийн дериватив гэж тодорхойлогддог бөгөөд бусад бүх аргументууд гэж үздэг x i, тогтмол утгыг хадгалах. Хэсэгчилсэн деривативуудын хувьд тэмдэглэгээг оруулсан болно

Ийм байдлаар тодорхойлсон 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд (ижил аргументуудын функцууд) нь эргээд хэсэгчилсэн деривативуудтай байж болно, эдгээр нь хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив гэх мэт. Өөр өөр аргументуудаас авсан ийм деривативуудыг холимог гэж нэрлэдэг. Нэг эрэмбийн тасралтгүй холимог деривативууд нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй бөгөөд хоорондоо тэнцүү байна.

Анна Чугайнова

Тодорхойлолт.\(y = f(x) \) функцийг дотроо \(x_0\) цэгийг агуулсан тодорхой интервалд тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар \(\Delta x \) нэмэгдэл өгье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) \). Хэрэв энэ харьцаа \(\Дельта х \баруун сум 0\) дээр хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг. y" = f(x) нь шинэ функц боловч дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой гэдгийг анхаарна уу. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.

Геометрийн утгадеривативдараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) тул \(f"(a) = tan(a) \) тэгш байдал үнэн болно.

Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. \(y = f(x)\) функц нь тодорхой \(x\) цэгт деривативтэй байг:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ойролцоогоор f"(x)\), өөрөөр хэлбэл \(\Дельта y \ойролцоогоор f"(x) \cdot\ гэсэн үг юм. Delta x\). Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2\) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. \(x\) утгыг засаад \(f(x)\)-г ол.
2. \(x\) аргументыг \(\Дельта x\) нэмж өгч, шинэ цэг рүү очно \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) олно.
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. М цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.

Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол ойролцоогоор \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд \(\Delta x) тохирно. \) тэг рүү чиглэдэг бол \(\Delta y \) нь тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байх нөхцөл юм.

Тэгэхээр, Хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.

Бас нэг жишээ. \(y=\sqrt(x)\) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. . Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Ийм шулуун нь өнцгийн коэффициентгүй бөгөөд энэ нь \(f гэсэн үг юм. "(0)\) байхгүй байна.

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох дифференциалтай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координатууд, нийлбэрүүд, функцүүдийн бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C нь тогтмол тоо бөгөөд f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функц байвал дараах нь үнэн болно. ялгах дүрэм:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \баруун) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac) (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Зарим функцийн деривативын хүснэгт

$$ \left(\frac(1)(x) \баруун) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ доллар

(\large\bf Функцийн дериватив)

Функцийг авч үзье y=f(x), интервал дээр заасан (а, б). Болъё x- интервалын дурын тогтмол цэг (а, б), А Δx- утга учиртай дурын тоо x+Δxмөн интервалд хамаарна (а, б). Энэ тоо Δxаргументын өсөлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Функцийн өсөлт y=f(x)цэг дээр x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, дугаар руу залгая

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Бид үүнд итгэдэг Δx ≠ 0. Өгөгдсөн тогтмол цэг дээр авч үзье xЭнэ цэг дэх функцийн өсөлтийг харгалзах аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа Δx

Бид энэ харьцааг ялгааны хамаарал гэж нэрлэнэ. Үнэ цэнээс хойш xБид тогтмол гэж үздэг, ялгааны харьцаа нь аргументийн функц юм Δx. Энэ функц нь аргументын бүх утгын хувьд тодорхойлогддог Δx, тухайн цэгийн хангалттай жижиг хороололд харьяалагддаг Δx=0, цэгээс бусад Δx=0. Тиймээс бид хязгаар байгаа эсэх асуудлыг авч үзэх эрхтэй заасан функццагт Δx → 0.

Тодорхойлолт. Функцийн дериватив y=f(x)өгөгдсөн тогтмол цэг дээр xхязгаар гэж нэрлэдэг Δx → 0ялгааны харьцаа, өөрөөр хэлбэл

Энэ хязгаар байгаа тохиолдолд.

Зориулалт. y'(x)эсвэл f'(x).

Деривативын геометрийн утга: Функцийн дериватив f(x)энэ үед xтэнхлэг хоорондын өнцгийн тангенстай тэнцүү Үхэрхаргалзах цэг дээрх энэ функцийн графиктай шүргэгч:

f′(x 0) = \tgα.

Деривативын механик утга: Замын цаг хугацааны дериватив нь хурдтай тэнцүү байна шулуун шугаман хөдөлгөөноноо:

Шугаман шүргэгчийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)хэлбэрийг авдаг

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Зарим цэг дэх муруйны нормаль нь тухайн цэг дээрх шүргэгчтэй перпендикуляр байна. Хэрэв f′(x 0)≠ 0, дараа нь шугамын хэвийн тэгшитгэл y=f(x)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0)ингэж бичсэн байна:

Функцийн дифференциал байдлын тухай ойлголт

Функцийг зөвшөөр y=f(x)тодорхой интервалаар тодорхойлогддог (а, б), x- энэ интервалаас зарим тогтмол аргументын утга, Δx- аргументийн утгыг нэмэгдүүлэхийн тулд аргументийн аливаа өсөлт x+Δx ∈ (a, b).

Тодорхойлолт. Чиг үүрэг y=f(x)тухайн цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг x, хэрэв нэмэгдвэл Δyцэг дээр энэ функц x, аргументийн өсөлттэй харгалзах Δx, хэлбэрээр төлөөлж болно

Δy = A Δx +αΔx,

Хаана А- зарим тооноос хамааралгүй Δx, А α - аргумент функц Δx, энэ нь хязгааргүй бага байна Δx→ 0.

Хоёр хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр учраас αΔxилүү хязгааргүй жижиг юм өндөр захиалга, Хэрхэн Δx(хязгааргүй 3 функцийн шинж чанар), тэгвэл бид дараах зүйлийг бичиж болно.

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорем. Функцийн хувьд y=f(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой байсан x, энэ үед энэ нь хязгаарлагдмал деривативтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Хаана A=f′(x), тэр бол

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Деривативыг олох үйлдлийг ихэвчлэн ялгах гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хэрэв функц y=f(x) x, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Сэтгэгдэл. Функцийн тасралтгүй байдлаас y=f(x)энэ үед x, ерөнхийдөө функцийн ялгавартай байдал нь дагаж мөрддөггүй f(x)энэ үед. Жишээлбэл, функц y=|x|- нэг цэг дээр тасралтгүй x=0, гэхдээ дериватив байхгүй.

Дифференциал функцийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт. Функцийн дифференциал y=f(x)Энэ функцийн дериватив ба бие даасан хувьсагчийн өсөлтийн үржвэрийг гэнэ x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Функцийн хувьд y=xбид авдаг dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тэр бол dx=Δx- бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Тиймээс бид бичиж болно

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dyба өсөлт Δyфункцууд y=f(x)энэ үед x, хоёулаа ижил аргументийн өсөлтөд харгалзах Δx, ерөнхийдөө бие биентэйгээ тэнцүү биш юм.

Дифференциалын геометрийн утга: Функцийн дифференциал нь аргументыг нэмэгдүүлэх үед энэ функцийн графикт шүргэгч ординатын өсөлттэй тэнцүү байна. Δx.

Ялгах дүрэм

Теорем. Хэрэв функц тус бүр u(x)Тэгээд v(x)тухайн цэг дээр ялгах боломжтой x, дараа нь эдгээр функцүүдийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр ба хуваана (хэрэв энэ бол v(x)≠ 0) нь мөн энэ үед ялгагдах боломжтой бөгөөд томъёонууд нь:

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье y=f(φ(x))≡ F(x), Хаана у=f(у), u=φ(x). Энэ тохиолдолд удуудсан завсрын аргумент, x - бие даасан хувьсагч.

Теорем. Хэрэв у=f(у)Тэгээд u=φ(x)нь тэдгээрийн аргументуудын дифференциал функцууд, дараа нь нийлмэл функцийн дериватив юм y=f(φ(x))байгаа ба завсрын аргументийн хувьд энэ функцийн үржвэртэй тэнцүү ба бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн дериватив, i.e.

Сэтгэгдэл. Гурван функцийн суперпозиция болох цогц функцийн хувьд y=F(f(φ(x))), ялгах дүрэм нь хэлбэртэй байна

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

функцүүд хаана байна v=φ(x), u=f(v)Тэгээд y=F(u)- тэдгээрийн аргументуудын ялгах функцууд.

Теорем. Функцийг зөвшөөр y=f(x)нэмэгдэх (эсвэл буурах) ба тухайн цэгийн зарим хөршид үргэлжилдэг x 0. Нэмж дурдахад энэ функцийг заасан цэг дээр ялгах боломжтой байг x 0ба энэ үед түүний дериватив f′(x 0) ≠ 0. Дараа нь харгалзах цэгийн зарим хөршид y 0 =f(x 0)урвуу нь тодорхойлогддог y=f(x)функц x=f -1 (y), мөн заасан урвуу функц нь харгалзах цэг дээр дифференциал болно y 0 =f(x 0)мөн энэ үед түүний деривативын хувьд yтомъёо хүчинтэй байна

Деривативын хүснэгт

Эхний дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал

Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье. Хэрэв y=f(x), x=φ(t)- тэдгээрийн аргументуудын функцууд нь ялгах боломжтой, дараа нь функцийн дериватив y=f(φ(t))томъёогоор илэрхийлнэ

y′ t = y′ x x′ t.

А - тэргүүн байр dy=y′ t dt, тэгвэл бид авна

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Тиймээс бид нотолсон

Функцийн эхний дифференциал хэлбэрийн инвариантын шинж чанар: аргумент үүссэн тохиолдолд адил xнь бие даасан хувьсагч бөгөөд аргумент байх тохиолдолд xөөрөө шинэ хувьсагчийн дифференциал функц юм dyфункцууд y=f(x)нь энэ функцийн деривативыг аргументийн дифференциалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна dx.

Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх

Дифференциал гэдгийг бид харуулсан dyфункцууд y=f(x), ерөнхийдөө өсөлттэй тэнцүү биш байна Δyэнэ функц. Гэсэн хэдий ч, хязгааргүй хүртэл нарийвчлалтайгаар жижиг функц-аас илүү жижиг байдлын дараалал Δx, ойролцоо тэгш байдал хүчинтэй байна

Δy ≈ dy.

Энэ харьцааг энэ тэгш байдлын тэгш байдлын харьцангуй алдаа гэж нэрлэдэг. Учир нь Δy-dy=o(Δx), тэгвэл энэ тэгшитгэлийн харьцангуй алдаа буурах тусам хүссэн хэмжээгээрээ бага болно |Δх|.

Үүнийг харгалзан үзвэл Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, бид авдаг f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxэсвэл

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Энэ ойролцоо тэгш байдал нь алдаатай байхыг зөвшөөрдөг o(Δx)функцийг солих f(x)цэгийн жижиг хороололд x(жишээ нь жижиг утгуудын хувьд Δx) шугаман функцмаргаан Δx, баруун талд зогсож байна.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Тодорхойлолт. Функцийн хоёр дахь дериватив (эсвэл хоёрдугаар дарааллын дериватив). y=f(x)анхны деривативын дериватив гэж нэрлэдэг.

Функцийн хоёр дахь деривативын тэмдэглэгээ y=f(x):

Хоёрдахь деривативын механик утга. Хэрэв функц y=f(x)шулуун шугам дахь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хуулийг, дараа нь хоёр дахь деривативыг дүрсэлдэг f″(x)цаг хугацааны агшинд хөдөлж буй цэгийн хурдатгалтай тэнцүү x.

Гурав, дөрөв дэх деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт. nдериватив (эсвэл дериватив n-р дараалал) функцууд y=f(x)түүний дериватив гэж нэрлэдэг n-1дериватив:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Тэмдэглэл: чи″', y IV, у Вгэх мэт.

Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.

Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт ба нарийн тодорхойлсон ялгах дүрмүүд гарч ирэв. . Дериватив олох чиглэлээр анхлан ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.

Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.

Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Цаашдын деривативууд үндсэн функцуудбид деривативын хүснэгтээс олж, үржвэрийн деривативын томъёо, нийлбэр ба хуваах нь ялгах дүрэмд байна. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.

Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.

Деривативын хүснэгтээс бид "x"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.

Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийн дериватив гэж бид ялгадаг бөгөөд үүнийг деривативын тэмдгээс хасаж болно.

Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн тухай асуултууд гарсаар байвал деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа тэдгээрийг арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.

Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг
2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм
3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй.
4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл
5. Дериватив квадрат язгуур
6. Синусын дериватив
7. Косинусын дериватив
8. Шүргэгчийн дериватив
9. Котангенсийн дериватив
10. Арксинусын дериватив
11. Нумын косинусын дериватив
12. Арктангенсын дериватив
13. Нумын котангенсын дериватив
14. Натурал логарифмын дериватив
15. Логарифм функцийн дериватив
16. Экспонентийн дериватив
17. Экспоненциал функцийн дериватив

Ялгах дүрэм

1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив
2. Бүтээгдэхүүний дериватив
2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив
3. Хэсгийн дериватив
4. Комплекс функцийн дериватив

Дүрэм 1.Хэрэв функцууд

аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцүүд нэг цэг дээр дифференциал болно

болон

тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Дүрэм 2.Хэрэв функцууд

Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой

болон

тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:

Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:

Дүрэм 3.Хэрэв функцууд

хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба

тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.

Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ

Бодит бодлогод бүтээгдэхүүний дериватив ба категорийг олохдоо хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэг дор хэрэглэх шаардлагатай байдаг тул өгүүлэлд эдгээр деривативуудын талаар илүү олон жишээнүүд байдаг."Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".

Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томьёоны хувьд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ба тогтмол хүчин зүйлийн хувьд деривативуудын тэмдгээс хасагдана. Энэ ердийн алдаа, энэ нь деривативыг судлах эхний үе шатанд тохиолддог боловч дундаж оюутан хэд хэдэн нэг болон хоёр хэсгээс бүрдсэн жишээг шийддэг тул тэрээр энэ алдааг гаргахаа больсон.

Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).

Бусад нийтлэг алдаа- нийлмэл функцийн деривативын механик шийдлийг энгийн функцийн дериватив гэж үзнэ. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид деривативуудыг олж сурах болно энгийн функцууд.

Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .

Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. , дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.

Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол , дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.

Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох

Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид дараах дериватив утгыг авна.

Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.

Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олох шаардлагатай. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх хуваагчийн квадрат юм. Бид авах:

Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.

Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: , тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .

Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад деривативуудын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол тригонометрийн функцууд, өөрөөр хэлбэл функц нь харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .

Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу ба хүснэгтийн утгаквадрат язгуурын деривативыг бид олж авна:

Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтэн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.