Замын хөдөлгөөний хэлбэрээс хамааран хөдөлгөөнийг шулуун ба муруй шугаман гэж хувааж болно. Ихэнх тохиолдолд та траекторийг муруй хэлбэрээр дүрсэлсэн үед муруйн хөдөлгөөнтэй тулгардаг. Энэ төрлийн хөдөлгөөний жишээ бол тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн зам, нарны эргэн тойрон дахь дэлхийн хөдөлгөөн, гаригууд гэх мэт.
Зураг 1. Муруй хөдөлгөөн дэх траектор ба хөдөлгөөн
Тодорхойлолт 1Муруйн хөдөлгөөнтраектори нь муруй шугамтай хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Хэрэв бие муруй замаар хөдөлж байвал s → нүүлгэн шилжүүлэх вектор нь 1-р зурагт үзүүлсэн шиг хөвчний дагуу чиглэсэн байх ба l нь замын урт юм. Биеийн хөдөлгөөний агшин зуурын хурдны чиглэл нь траекторийн ижил цэг дээр тангенциал байдлаар явдаг. Энэ мөчхөдөлж буй объектыг Зураг 2-т үзүүлсэн шиг байрлуулна.
Зураг 2. Муруй хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурд
Тодорхойлолт 2
Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнхурдны модуль тогтмол (тойрог хөдөлгөөн) үед жигд хурдасгах ба чиглэл ба хурдны модуль өөрчлөгдөх үед жигд хурдасдаг (шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн).
Муруйн хөдөлгөөн үргэлж хурдасдаг. Энэ нь өөрчлөгдөөгүй хурдны модуль, өөрчлөгдсөн чиглэлтэй байсан ч хурдатгал үргэлж байдаг гэдгийг тайлбарлаж байна.
Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнийг судлахын тулд хоёр аргыг ашигладаг.
Зам нь тусдаа хэсгүүдэд хуваагддаг бөгөөд тус бүрийг 3-р зурагт үзүүлсэн шиг шулуун гэж үзэж болно.
Зураг 3. Муруйн хөдөлгөөнийг хөрвүүлэх хөдөлгөөнд хуваах
Одоо шулуун шугаман хөдөлгөөний хуулийг хэсэг бүрт хэрэглэж болно. Энэ зарчмыг зөвшөөрдөг.
Хамгийн тохиромжтой шийдлийн аргыг Зураг 4-т үзүүлсэн шиг дугуй нумын дагуух хэд хэдэн хөдөлгөөний багц хэлбэрээр дүрсэлсэн гэж үздэг. Хуваалтын тоо нь өмнөх аргынхаас хамаагүй бага байх болно, үүнээс гадна тойрог дагуух хөдөлгөөн аль хэдийн муруйсан байна.
Зураг 4. Муруйн хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуу хөдөлгөөнд хуваах
Тайлбар 1
Муруйн хөдөлгөөнийг бүртгэхийн тулд та тойрог доторх хөдөлгөөнийг дүрслэх чадвартай байх ёстой. сайн дурын хөдөлгөөнЭдгээр тойргийн нумын дагуух хөдөлгөөнүүдийн багц хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.
Муруй шугамын хөдөлгөөнийг судлах нь энэхүү хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн кинематик тэгшитгэлийн эмхэтгэлийг багтаасан бөгөөд анхны нөхцөл байдалд үндэслэн хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Жишээ 1
4-р зурагт үзүүлсэн шиг муруй дагуу хөдөлж буй материаллаг цэг өгөгдсөн. O 1, O 2, O 3 тойргийн төвүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Шилжилтийг олох хэрэгтэй
s → ба А цэгээс В цэг рүү шилжих замын урт l.
Шийдэл
Нөхцөлөөр бид тойргийн төвүүд ижил шулуун шугамд хамаарах тул:
s → = R 1 + 2 R 2 + R 3.
Хөдөлгөөний зам нь хагас тойргийн нийлбэр тул:
l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3 .
Хариулт: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B = π R 1 + R 2 + R 3.
Жишээ 2
Биеийн туулсан зайн цаг хугацааны хамаарлыг s (t) = A + B t + C t 2 + D t 3 (C = 0.1 м / с 2, D = 0.003 м / с) тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. 3). Хөдөлгөөн эхэлснээс хойш хэдэн цагийн дараа биеийн хурдатгал 2 м / с 2-тэй тэнцүү болохыг тооцоол.
Шийдэл
Хариулт: t = 60 сек.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Траекторын хэлбэрээс хамааран хөдөлгөөнийг шулуун ба муруй шугаман гэж хуваадаг. Бодит ертөнцөд бид ихэнхдээ муруй шугамын хөдөлгөөнтэй тулгардаг бөгөөд энэ нь зам нь муруй шугам юм. Ийм хөдөлгөөний жишээ бол тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн замнал, нарны эргэн тойронд дэлхийн хөдөлгөөн, гаригуудын хөдөлгөөн, цагны зүүний төгсгөл гэх мэт.
Зураг 1. Муруй хөдөлгөөний үеийн траектор ба шилжилт
Тодорхойлолт
Муруй шугамын хөдөлгөөн нь муруй шугам (жишээлбэл, тойрог, эллипс, гипербол, парабол) хэлбэртэй хөдөлгөөн юм. Муруй шугамын дагуу хөдөлж байх үед нүүлгэн шилжүүлэх вектор $\overrightarrow(s)$ нь хөвчний дагуу чиглэнэ (Зураг 1), l нь траекторийн урт юм. Биеийн агшин зуурын хурд (өөрөөр хэлбэл замын хөдөлгөөний өгөгдсөн цэг дэх биеийн хурд) нь хөдөлгөөнт бие яг одоо байгаа траекторийн цэг дээр тангенциал байдлаар чиглэгддэг (Зураг 2).
Зураг 2. Муруй хөдөлгөөний үед агшин зуурын хурд
Гэсэн хэдий ч дараах арга нь илүү тохиромжтой. Энэ хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуух хэд хэдэн хөдөлгөөнийг хослуулан дүрсэлж болно (4-р зургийг үз). Өмнөх тохиолдолтой харьцуулахад ийм хуваалтууд цөөн байх болно, үүнээс гадна тойрог дагуух хөдөлгөөн нь өөрөө муруй хэлбэртэй байдаг.
Зураг 4. Муруйн хөдөлгөөнийг дугуй нумын дагуух хөдөлгөөнд хуваах
Дүгнэлт
Муруй шугамын хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд та тойрог доторх хөдөлгөөнийг дүрсэлж сурах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дугуй нумын дагуух хөдөлгөөнүүдийн багц хэлбэрээр дур зоргоороо хөдөлгөөнийг илэрхийлэх хэрэгтэй.
Материаллаг цэгийн муруйн хөдөлгөөнийг судлах даалгавар бол энэ хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн кинематик тэгшитгэлийг бүрдүүлэх бөгөөд өгөгдсөн анхны нөхцөл дээр үндэслэн энэ хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Нэг цэгийн кинематик. Зам. Хөдөлж байна. Хурд ба хурдатгал. Тэдний координатын тэнхлэг дээрх проекцууд. Аялсан зайны тооцоо. Дундаж утгууд.
Нэг цэгийн кинематик- материаллаг цэгүүдийн хөдөлгөөний математик тайлбарыг судалдаг кинематикийн салбар. Кинематикийн гол ажил бол энэ хөдөлгөөнийг үүсгэсэн шалтгааныг тодорхойлохгүйгээр математикийн аппарат ашиглан хөдөлгөөнийг дүрслэх явдал юм.
Зам ба хөдөлгөөн.Биеийн цэг хөдөлж буй шугамыг гэнэ хөдөлгөөний замнал. Замын уртыг нэрлэдэг зам туулсан. Замын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийг холбосон векторыг нэрлэнэ хөдөлж байна. Хурд- вектор физик хэмжигдэхүүн, биеийн хөдөлгөөний хурдыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь богино хугацааны хөдөлгөөнийг энэ интервалын утгатай харьцуулсан тоогоор тэнцүү юм. Хурд байх үед энэ хугацааг хангалттай бага гэж үзнэ жигд бус хөдөлгөөнэнэ хугацаанд өөрчлөгдөөгүй. Хурдны тодорхойлох томъёо нь v = s/t байна. Хурдны нэгж нь м/с. Практикт ашигласан хурдны нэгж нь км / цаг (36 км / цаг = 10 м / с) юм. Хурдыг хурд хэмжигчээр хэмждэг.
Хурдатгал- хурдны өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлсон вектор физик хэмжигдэхүүн нь хурдны өөрчлөлтийг энэ өөрчлөлт гарсан хугацаанд харьцуулсан харьцаатай тоогоор тэнцүү байна. Хэрэв бүх хөдөлгөөний туршид хурд тэнцүү өөрчлөгдвөл хурдатгалыг a=Δv/Δt томъёогоор тооцоолж болно. Хурдатгалын нэгж – м/с 2
Муруй хөдөлгөөний үед хурд ба хурдатгал. Тангенциал ба хэвийн хурдатгал.
Муруй шугамын хөдөлгөөнүүд- зам нь шулуун биш, муруй шугамтай хөдөлгөөнүүд.
Муруйн хөдөлгөөн- Энэ нь үнэмлэхүй хурд тогтмол байсан ч үргэлж хурдатгалтай хөдөлгөөн юм. муруй шугамын хөдөлгөөн нь тогтмол хурдатгалцэгийн хурдатгалын векторууд болон анхны хурдууд байрлах хавтгайд үргэлж тохиолддог. Хавтгайд тогтмол хурдатгалтай муруйн хөдөлгөөнтэй тохиолдолд xOyтөсөөлөл v xТэгээд v yтэнхлэг дээрх түүний хурд ҮхэрТэгээд Өөба координатууд xТэгээд yямар ч үед оноо ттомъёогоор тодорхойлно
v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2
Муруй шугамын хөдөлгөөний онцгой тохиолдол бол дугуй хөдөлгөөн юм. Тойрог хөдөлгөөн, тэр ч байтугай жигд, үргэлж хурдасгасан хөдөлгөөн юм: хурдны модуль нь үргэлж траекторийн чиглэл рүү тангенциал чиглүүлж, чиглэлээ байнга өөрчилдөг тул дугуй хөдөлгөөн үргэлж төв рүү чиглэсэн хурдатгалтай явагддаг |a|=v 2 / r. r- тойргийн радиус.
Тойрог дотор хөдөлж байх үед хурдатгалын вектор нь тойргийн төв рүү чиглэсэн ба хурдны вектортой перпендикуляр байна.
Муруй шугамын хөдөлгөөнд хурдатгалыг хэвийн ба тангенциал бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.
Хэвийн (төв рүү чиглэсэн) хурдатгал нь траекторийн муруйлтын төв рүү чиглэсэн бөгөөд хурдны чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.
v -агшин зуурын хурдны утга, r– өгөгдсөн цэг дэх траекторийн муруйлтын радиус.
Тангенциал (шүргэх) хурдатгал нь траекторийн чиглэлд тангенциал чиглүүлж, хурдны модулийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.
Материалын цэгийн хөдөлгөөний нийт хурдатгал нь дараахтай тэнцүү байна.
Тангенциал хурдатгалХөдөлгөөний хурд өөрчлөгдөх хурдыг тоон утгаараа тодорхойлж, траекторийн чиглэлд тангенциал чиглүүлдэг.
Тиймээс
Ердийн хурдатгалчиглэлийн хурдны өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Векторыг тооцоолъё:
4. Кинематик хатуу. Тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх. Өнцгийн хурд ба хурдатгал. Өнцгийн болон шугаман хурд ба хурдатгалын хамаарал.
Эргэлтийн хөдөлгөөний кинематик.
Биеийн хөдөлгөөн нь орчуулгын болон эргэлтийн аль аль нь байж болно. Энэ тохиолдолд бие нь хоорондоо нягт холбоотой материаллаг цэгүүдийн системээр дүрслэгддэг.
Хөрвүүлэлтийн хөдөлгөөний үед биед зурсан аливаа шулуун шугам өөртэйгээ зэрэгцээ хөдөлдөг. Замын хөдөлгөөний хэлбэрийн дагуу хөрвүүлэх хөдөлгөөн нь шулуун эсвэл муруй шугаман байж болно. Хөрвүүлэлтийн хөдөлгөөний үед ижил хугацааны туршид хатуу биеийн бүх цэгүүд хөдөлгөөнийг хэмжээ, чиглэлд тэнцүү болгодог. Үүний үр дүнд биеийн бүх цэгүүдийн хурд, хурдатгал нь цаг хугацааны аль ч мөчид ижил байна. Хөрвүүлэх хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд нэг цэгийн хөдөлгөөнийг тодорхойлоход хангалттай.
Эргэлтийн хөдөлгөөнТогтмол тэнхлэгийг тойрсон хатуу биебиеийн бүх цэгүүд тойрог хэлбэрээр хөдөлж, төвүүд нь нэг шулуун шугам (эргэлтийн тэнхлэг) дээр байрладаг ийм хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг.
Эргэлтийн тэнхлэг нь биеийг дамжин өнгөрч эсвэл гадна талд хэвтэж болно. Хэрэв эргэлтийн тэнхлэг биеийг дайран өнгөрвөл биеийг эргүүлэхэд тэнхлэг дээр байрлах цэгүүд тайван хэвээр үлдэнэ. Эргэлтийн тэнхлэгээс өөр зайд байрладаг хатуу биетийн цэгүүд ижил хугацаанд өөр өөр зайд явдаг тул өөр өөр шугаман хурдтай байдаг.
Бие тогтмол тэнхлэгийг тойрон эргэх үед биеийн цэгүүд ижил хугацаанд ижил өнцгийн хөдөлгөөнд ордог. Модуль нь цаг хугацааны хувьд тэнхлэгийн эргэн тойронд биеийн эргэлтийн өнцөгтэй тэнцүү байна , биеийн эргэлтийн чиглэлтэй өнцгийн шилжилтийн векторын чиглэлийг шураг дүрмээр холбоно: хэрэв та шурагны эргэлтийн чиглэлийг нэгтгэвэл. биеийн эргэлтийн чиглэлтэй бол вектор нь шурагны орчуулгын хөдөлгөөнтэй давхцах болно. Вектор нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ.
Өнцгийн шилжилтийн өөрчлөлтийн хурдыг өнцгийн хурдаар тодорхойлно - ω. Шугаман хурдтай зүйрлэснээр ойлголтууд дундаж ба агшин зуурын өнцгийн хурд :
Өнцгийн хурд- вектор хэмжигдэхүүн.
Өнцгийн хурдны өөрчлөлтийн хурд нь тодорхойлогддог дундаж ба агшин зуурын
өнцгийн хурдатгал.
Ба вектор нь вектортой давхцаж, түүний эсрэг байж болно
Шулуун шугаман хөдөлгөөний үед хурдны векторын чиглэл нь хөдөлгөөний чиглэлтэй үргэлж давхцаж байдгийг бид мэднэ. Муруй хөдөлгөөний үед хурд ба шилжилтийн чиглэлийн талаар юу хэлж болох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд бид өмнөх бүлэгт шулуун шугаман хөдөлгөөний агшин зуурын хурдыг судлахдаа ашигласан техникийг ашиглана.
56-р зурагт тодорхой муруй замыг харуулав. Бие түүний дагуу А цэгээс В цэг хүртэл хөдөлдөг гэж үзье.
Энэ тохиолдолд биеийн туулсан зам нь А В нум бөгөөд түүний шилжилт нь вектор болно.Хөдөлгөөний үеийн биеийн хурд нь шилжилтийн векторын дагуу чиглэнэ гэж мэдээжийн хэрэг тааж болохгүй. А ба В цэгүүдийн хооронд хэд хэдэн хөвч зураад (Зураг 57) биеийн хөдөлгөөн яг эдгээр хөвчүүдийн дагуу явагддаг гэж төсөөлье. Тэд тус бүр дээр бие нь шулуунаар хөдөлж, хурдны вектор нь хөвчний дагуу чиглэгддэг.
Одоо шулуун хэсгүүдээ (хөрч) богино болгоцгооё (Зураг 58). Өмнөхтэй адил хурдны вектор нь хөвчний дагуу чиглэгддэг. Гэхдээ 58-р зураг дээрх тасархай шугам нь гөлгөр муруйтай илүү төстэй болох нь тодорхой байна.
Тиймээс шулуун хэсгүүдийн уртыг үргэлжлүүлэн багасгах замаар бид тэдгээрийг цэг болгон татаж, эвдэрсэн шугам нь гөлгөр муруй болж хувирах нь тодорхой байна. Энэ муруйн цэг бүрийн хурд нь энэ цэг дэх муруй руу тангенциал чиглэгдэх болно (Зураг 59).
Муруй шугамын аль ч цэг дэх биеийн хөдөлгөөний хурд нь тухайн цэгийн зам руу шүргэгчээр чиглэнэ.
Муруй шугаман хөдөлгөөний үед цэгийн хурд нь шүргэгчийн дагуу үнэхээр чиглэгддэг гэдгийг жишээ нь, гочнлагийн үйл ажиллагааг ажигласнаар баталдаг (Зураг 60). Хэрэв та ган бариулын үзүүрийг эргэдэг нунтаглагч чулууны эсрэг дарвал чулуунаас гарч буй халуун хэсгүүд нь оч хэлбэрээр харагдана. Эдгээр бөөмс нь ямар хурдаар нисдэг
чулуунаас салах мөчид тэд эзэмшсэн. Очны чиглэл нь саваа чулуунд хүрэх цэгийн тойрог руу шүргэгчтэй үргэлж давхцаж байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Халтирч буй машины дугуйнаас цацрах нь мөн тойрог руу шүргэгчээр хөдөлдөг (Зураг 61).
Иймд муруйн траекторийн янз бүрийн цэгүүд дэх биеийн агшин зуурын хурд нь 62-р зурагт үзүүлснээр өөр өөр чиглэлтэй байна. Хурдны хэмжээ нь траекторийн бүх цэгүүдэд ижил байж болно (Зураг 62-ыг үз) эсвэл цэгээс өөр өөр байж болно. цэг, цаг хугацааны нэг мөчөөс нөгөөд (Зураг 63).
Кинематик нь энэ хөдөлгөөнийг үүсгэсэн шалтгааныг тодорхойлохгүйгээр хөдөлгөөнийг судалдаг. Кинематик бол механикийн салбар юм. Кинематикийн гол ажил бол цаг хугацааны цэг эсвэл биеийн хөдөлгөөний байрлал, шинж чанарыг математикийн аргаар тодорхойлох явдал юм.
Үндсэн кинематик хэмжигдэхүүнүүд:
- Зөөх() -эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийг холбосон вектор.
r – радиус вектор, орон зай дахь МТ-ийн байрлалыг тодорхойлно.
- Хурд- зам ба цаг хугацааны харьцаа .
- Зам- биеийг дамжин өнгөрөх цэгүүдийн багц.
- Хурдатгал -хурдны өөрчлөлтийн хурд, өөрөөр хэлбэл хурдны анхны дериватив.
2. Муруй хөдөлгөөний үед хурдатгал: хэвийн ба тангенциал хурдатгал. Хавтгай эргэлт. Өнцгийн хурд, хурдатгал.
Муруйн хөдөлгөөнзам нь муруй шугамтай хөдөлгөөн юм. Муруйн хөдөлгөөний жишээ бол гаригуудын хөдөлгөөн, цагийн зүүний төгсгөл гэх мэт.
Муруйн хөдөлгөөн- Энэ бол үргэлж хурдасгасан хөдөлгөөн юм. Өөрөөр хэлбэл, хурдны модуль өөрчлөгдөхгүй, харин зөвхөн хурдны чиглэл өөрчлөгддөг байсан ч муруй шугамын хөдөлгөөний үед хурдатгал үргэлж байдаг.
Нэгж цаг тутамд хурдны өөрчлөлт - Энэ бол тангенциал хурдатгал юм:
Энд 𝛖 τ , 𝛖 0 нь t 0 + Δt ба t 0 үеийн хурдны утгууд юм. Тангенциал хурдатгалтраекторийн өгөгдсөн цэг дээр чиглэл нь биеийн хөдөлгөөний хурдны чиглэлтэй давхцаж эсвэл түүний эсрэг байна.
Ердийн хурдатгалЭнэ нь нэгж хугацаанд хурдны чиглэлийн өөрчлөлт юм:
Ердийн хурдатгалтраекторийн муруйлтын радиусын дагуу (эргэлтийн тэнхлэг рүү) чиглэсэн. Хэвийн хурдатгал нь хурдны чиглэлд перпендикуляр байна.
Бүрэн хурдатгалбиеийн жигд хувьсах муруйн хөдөлгөөнтэй тэнцүү байна:
-өнцгийн хурдНэгж хугацаанд тойрог дотор жигд хөдөлгөөн хийх үед цэг эргэх өнцгийг харуулна. SI нэгж нь рад/с байна.
Хавтгай эргэлтнь нэг хавтгай дахь биеийн цэгүүдийн бүх хурдны векторуудын эргэлт юм.
3. Материаллаг цэгийн хурд ба өнцгийн хурдны векторуудын хамаарал. Хэвийн, тангенциал ба бүрэн хурдатгал.
Тангенциал (шүргэх) хурдатгал– энэ нь хөдөлгөөний траекторийн өгөгдсөн цэг дэх траекторийн шүргэгчийн дагуу чиглэсэн хурдатгалын векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Тангенциал хурдатгал нь муруй шугамын хөдөлгөөний үед хурдны модулийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог.
Хэвийн (төв рүү чиглэсэн) хурдатгалбиеийн траекторийн өгөгдсөн цэгт хөдөлгөөний траекторийн хэвийн дагуу чиглэсэн хурдатгалын векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Өөрөөр хэлбэл, хэвийн хурдатгалын вектор нь хөдөлгөөний шугаман хурдтай перпендикуляр байна (1.10-р зургийг үз). Хэвийн хурдатгал нь хурдны чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог бөгөөд n үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэвийн хурдатгалын вектор нь траекторийн муруйлтын радиусын дагуу чиглэнэ.
Бүрэн хурдатгалмуруйн хөдөлгөөнд вектор нэмэх дүрмийн дагуу тангенциал ба хэвийн хурдатгалаас бүрдэх ба томъёогоор тодорхойлогддог.
