Тодорхойлолт. Ямар нэг интервал дээр f(x) функц тодорхойлогдвол x 0 нь энэ интервал дахь цэг байг. Хэрэв бол f(x) нь x 0 цэг дээр тасралтгүй байна.
Тодорхойлолтоос харахад бид зөвхөн f(x) тодорхойлогдсон цэгүүдтэй холбоотой тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно (функцийн хязгаарыг тодорхойлохдоо ийм нөхцөл тогтоогдоогүй). Тасралтгүй функцүүдийн хувьд , өөрөөр хэлбэл f болон lim үйлдлүүд нь солигддог. Үүний дагуу нэг цэг дэх функцийн хязгаарын хоёр тодорхойлолтыг "дарааллын хэлээр" ба "тэгш бус байдлын хэлээр" (ε-δ хэлээр) гэсэн тасралтгүй байдлын хоёр тодорхойлолтыг өгч болно. Үүнийг өөрөө хийхийг зөвлөж байна.
Практик хэрэглээний хувьд заримдаа өсөлтийн хэлээр тасралтгүй байдлыг тодорхойлох нь илүү тохиромжтой байдаг.
Δx=x-x 0 утгыг аргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг ба Δy=f(x)-f(x 0) нь x 0 цэгээс x цэг рүү шилжих үед функцийн өсөлт юм.
Тодорхойлолт. f(x)-г x 0 цэг дээр тодорхойлъё. Хэрэв энэ цэг дэх аргументийн хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал f(x) функцийг x 0 цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл Δx→0 үед Δy→0 байна.

Жишээ 1. y=sinx функц нь x-ийн дурын утгын хувьд тасралтгүй гэдгийг батал.
Шийдэл. x 0 нь дурын цэг байг. Үүнд Δx өсөлтийг өгвөл бид x=x 0 +Δx цэгийг авна. Дараа нь . Бид авдаг .
Тодорхойлолт. y=f(x) функцийг хэрэв баруун (зүүн) талын x 0 цэгт тасралтгүй гэж нэрлэдэг
.
Дотоод цэг дээр үргэлжилсэн функц нь баруун болон зүүн үргэлжилсэн байна. Үүний эсрэгээр нь бас үнэн: хэрэв функц зүүн ба баруун талд үргэлжилсэн цэг дээр тасралтгүй байвал тухайн цэг дээр тасралтгүй байх болно. Гэхдээ функц нь зөвхөн нэг талдаа тасралтгүй байж болно. Жишээ нь, төлөө , , f(1)=1, тиймээс энэ функц нь зөвхөн зүүн талд үргэлжилдэг (энэ функцийн графикийг дээрх 5.7.2-ыг үзнэ үү).
Тодорхойлолт. Функц нь энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал ямар нэг интервал дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.
Ялангуяа, хэрэв интервал нь сегмент бол түүний төгсгөлд нэг талын тасралтгүй байдлыг илэрхийлнэ.

Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд

1. Бүх энгийн функцууд нь тодорхойлолтын муждаа тасралтгүй байдаг.
2. Тодорхой интервалд өгөгдсөн f(x) ба φ(x) нь энэ интервалын x 0 цэгт тасралтгүй байвал энэ цэгт функцүүд мөн тасралтгүй байх болно.
3. Хэрвээ X цэгээс x 0 цэгт y=f(x) тасралтгүй, Y цэгээс харгалзах y 0 =f(x 0) цэг дээр z=φ(y) тасралтгүй байвал нарийн төвөгтэй функц z=φ(f(x)) нь x 0 цэг дээр тасралтгүй байх болно.

Функцийн завсарлага ба тэдгээрийн ангилал

x 0 цэг дэх f(x) функцийн тасралтгүй байдлын шинж тэмдэг нь тэгш байдал бөгөөд энэ нь гурван нөхцөл байгааг илтгэнэ.
1) f(x) нь x 0 цэг дээр тодорхойлогддог;
2) ;
3) .
Хэрэв эдгээр шаардлагын дор хаяж нэг нь зөрчигдсөн бол x 0-ийг функцийн таслах цэг гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл завсарлага гэдэг нь энэ функц тасралтгүй үргэлжлэх цэг юм. Хугарлын цэгүүдийн тодорхойлолтоос харахад функцийн таслах цэгүүд нь:
a) f(x) тасралтгүй байдлын шинж чанараа алддаг функцийг тодорхойлох мужид хамаарах цэгүүд;
b) функцын тодорхойлолтын мужын хоёр интервалын зэргэлдээх цэгүүд болох f(x)-ийн тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй цэгүүд.
Жишээлбэл, функцийн хувьд энэ цэг дэх функц тодорхойлогдоогүй тул x=0 цэг нь таслах цэг бөгөөд функц нь f(x)-ийн тодорхойлолтын мужын (-∞,1) ба (1,∞) хоёр интервалтай зэргэлдээ орших x=1 цэгт тасалдалтай ба байхгүй.

Хугарлын цэгүүдийн хувьд дараах ангиллыг баталсан.
1) Хэрэв x 0 цэг дээр төгсгөлтэй байвал Тэгээд , гэхдээ f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), тэгвэл x 0 гэж нэрлэнэ. Эхний төрлийн тасалдалтын цэг , мөн гэж нэрлэдэг функцийн үсрэлт .

Жишээ 2. Функцийг авч үзье
Функцийг зөвхөн x=2 цэг дээр эвдэж болно (бусад цэгүүдэд энэ нь ямар ч олон гишүүнттэй адил тасралтгүй байна).
Бид олох болно , . Нэг талт хязгаарууд нь төгсгөлтэй боловч хоорондоо тэнцүү биш тул x=2 цэгт функц эхний төрлийн тасалдалтай байна. анзаараарай, тэр , тиймээс энэ цэг дэх функц баруун талдаа тасралтгүй байна (Зураг 2).
2) Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд нэг талын хязгаарын ядаж нэг нь ∞-тэй тэнцүү буюу байхгүй цэгүүдийг гэнэ.

Жишээ 3. y=2 1/ x функц нь x-ийн x=0-ээс бусад бүх утгын хувьд тасралтгүй байна. Нэг талын хязгаарлалтыг олцгооё: , , тиймээс x=0 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг юм (Зураг 3).
3) x=x 0 цэгийг дуудна зөөврийн таслах цэг , хэрэв f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0) бол.
Энэ үед функцийн утгыг тохируулахад (дахин тодорхойлох эсвэл дахин тодорхойлох) хангалттай гэсэн утгаараа бид цоорхойг "арилгах" бөгөөд x 0 цэг дээр функц тасралтгүй болно.
Жишээ 4. Энэ нь мэдэгдэж байна , мөн энэ хязгаар нь x тэг рүү чиглэх хандлагаас хамаарахгүй. Гэхдээ x=0 цэг дээрх функц тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв бид f(0)=1 гэж тохируулж функцийг дахин тодорхойлох юм бол энэ нь энэ цэг дээр тасралтгүй байх болно (бусад цэгүүдэд энэ нь sinx ба x тасралтгүй функцүүдийн категори хэлбэрээр үргэлжилдэг).
Жишээ 5. Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгана уу .
Шийдэл. y=x 3 ба y=2x функцууд нь заасан интервалуудыг оруулаад хаа сайгүй тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. x=0 интервалуудын уулзвар цэгийг авч үзье.
, , . Бид үүнийг олж авдаг бөгөөд энэ нь x=0 цэг дээр функц тасралтгүй байна гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт. Нэгдүгээр төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдлын цэгүүд эсвэл зөөврийн тасалдлаас бусад интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцийг энэ интервал дээр хэсэгчилсэн тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Тасралтгүй функцүүдийн жишээ

Жишээ 1. Функц нь x=2 цэгээс бусад үед (-∞,+∞) тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. Завсарлагааны төрлийг тодорхойлъё. Учир нь Тэгээд , тэгвэл x=2 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдал байна (Зураг 6).
Жишээ 2. Хуваагч нь тэг байх x=0-ээс бусад бүх х-д функц тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. x=0 цэгээс нэг талт хязгаарыг олъё:
Нэг талт хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай тул x=0 нь эхний төрлийн тасалдлын цэг юм (Зураг 7).
Жишээ 3. Функц ямар цэгүүд, ямар төрлийн тасалдалтай болохыг тодорхойл
Энэ функц нь [-2,2] дээр тодорхойлогддог. x 2 ба 1/x нь [-2,0] ба , тус тусын интервалд тасралтгүй байх тул тасралт нь зөвхөн интервалуудын уулзварт, өөрөөр хэлбэл x=0 цэгт л тохиолдож болно. , тэгвэл x=0 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг болно.

Жишээ 4. Функцийн цоорхойг арилгах боломжтой юу:
A) x=2 цэг дээр;
б) x=2 цэг дээр;
V) x=1 цэг дээр?
Шийдэл. Жишээ a)-ын тухайд бид x=2 цэг дээрх f(x) тасалдлыг арилгах боломжгүй гэж шууд хэлж болно, учир нь энэ үед хязгааргүй нэг талын хязгаарууд байдаг (жишээ 1-ийг үз).
b) g(x) функц нь x=2 цэг дээр хязгаарлагдмал нэг талт хязгаартай

(,),

гэхдээ тэдгээр нь давхцдаггүй тул ялгааг арилгах боломжгүй юм.
в) Тасархайн x=1 цэг дээрх φ(x) функц нь тэнцүү нэг талт төгсгөлтэй хязгаартай: . Иймд f(1)=2-ын оронд f(1)=1-ийг тавиад x=1-ийн функцийг дахин тодорхойлох замаар зөрүүг арилгаж болно.

Жишээ 5. Дирихле функц болохыг харуул

тоон тэнхлэгийн цэг бүрт тасалдалтай.
Шийдэл. (-∞,+∞)-ийн дурын цэгийг x 0 гэж үзье. Түүний аль ч хороололд оновчтой, үндэслэлгүй цэгүүд байдаг. Энэ нь x 0-ийн аль ч хэсэгт функц нь 0 ба 1-тэй тэнцүү утгатай байх болно гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд зүүн эсвэл баруун талд x 0 цэгт функцийн хязгаар байж болохгүй. Дирихлегийн функц нь бодит тэнхлэгийн цэг бүрт хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна.

Жишээ 6. Функцийн таслах цэгийг ол

мөн тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох.
Шийдэл. Хагарсан гэж сэжиглэгдсэн цэгүүд нь x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3 оноо юм.
x 1 =2 цэг дээр f(x) хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна
.
Энэ цэг болон түүний ойр орчмын функцийн утгыг эхнийх биш харин хоёр дахь шугамаар тодорхойлдог тул x 2 =5 цэг нь тасралтгүй байдлын цэг юм: .
x 3 =3 цэгийг авч үзье: , , үүнээс x=3 нь эхний төрлийн тасархай цэг гэсэн үг.

Учир нь бие даасан шийдвэр.
Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг шалгаж, тасалдалын цэгийн төрлийг тодорхойлно уу.
1) ; Хариулт: x=-1 – зөөврийн тасархайн цэг;
2) ; Хариулт: x=8 цэг дээрх хоёр дахь төрлийн тасалдал;
3) ; Хариулт: x=1 үед эхний төрлийн тасалдал;
4)
Хариулт: x 1 =-5 цэгт зөөврийн цоорхой, x 2 =1 цэгт хоёр дахь төрлийн, x 3 =0 цэгт нэгдүгээр төрлийн цоорхой байна.
5) Функц ажиллахын тулд А тоог хэрхэн сонгох ёстой

x=0 үед тасралтгүй байх уу?
Хариулт: A=2.
6) Функц болохын тулд А тоог сонгох боломжтой юу

x=2 үед тасралтгүй байх уу?
Хариулт: үгүй.

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал. Функц y = f(x ) урьдчилан сэргийлэх гэж нэрлэдэг

x 0 цэг дээр огцом байвал:

1) Энэ функц нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлогддог x 0 ;

2) хязгаар гэж бий f(x);

→ x 0

3) энэ хязгаар утгатай тэнцүү байна x 0 цэг дээрх функцууд, өөрөөр хэлбэл. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→x0
Сүүлийн нөхцөл нь lim нөхцөлтэй тэнцэнэ		y = 0, энд x = x − x 0 – хэзээ
	x→ 0
аргументийн эргэлт, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – функцийн өсөлт, харгалзах
аргументыг нэмэгдүүлэх	x, өөрөөр хэлбэл функц	f(x) нь x 0 үед тасралтгүй байна

хэрэв энэ үед аргументийн хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал.

Нэг талын тасралтгүй байдал. y = f (x) функцийг тасралтгүй гэж нэрлэдэг

зүүн талд x 0 цэг дээр, хэрэв энэ нь зарим хагас интервалаар тодорхойлогддог бол (a ;x 0 ]

ба lim f (x)= f (x 0).

x→ x0 − 0

y = f (x) функцийг x 0 цэг дээр зөв тасралтгүй гэж хэлнэ.

тодорхой хагас интервалд тархсан [ x 0 ;a ) ба limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

y = f(x) функц		x 0 цэг дээр тасралтгүй			зөвхөн тэр үед
Үргэлжилсэн
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0).
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x→x0

Олонлог дээрх функцийн тасралтгүй байдал. y = f (x) функцийг дуудна

багц дээр тасралтгүйХэрэв энэ олонлогийн цэг бүрт тасралтгүй байвал X. Түүнээс гадна, хэрэв функц нь тоон тэнхлэгийн тодорхой интервалын төгсгөлд тодорхойлогддог бол энэ цэг дэх тасралтгүй байдал нь баруун эсвэл зүүн талын тасралтгүй байдал гэж ойлгогддог. Ялангуяа y = f (x) функцийг бус гэж нэрлэдэг.

сегмент дээр тасалдсан [a; б] хэрэв тэр

1) интервалын цэг бүрт тасралтгүй(a;b);

2) цэг дээр тасралтгүй үргэлжилдэг a ;

3) цэг дээр тасралтгүй үлддэгб.

Функц тасрах цэгүүд. y = f (x) функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах х 0 цэгийг буюу энэ мужын хилийн цэгийг гэнэ.

Энэ функцийн таслах цэг, iff(x) тухайн цэг дээр тасралтгүй биш байна.

Тасралтгүй цэгүүдийг эхний ба хоёр дахь төрлийн тасалдал болгон хуваана.

1) Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол lim f (x )= f (x 0 − 0) ба

x→ x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0) бөгөөд гурван тоо нь бүгд f (x 0 − 0), f (x 0 + 0),		f (x 0 ) тэнцүү байна
x→ x0 + 0
өөр хоорондоо, дараа нь x 0		нэгдүгээр төрлийн тасархай цэг гэж нэрлэдэг.
	Ялангуяа х 0 цэгт функцийн зүүн ба баруун хязгаарууд байвал		хооронд тэнцүү
	өөрөө, гэхдээ	Энэ үед функцийн утгатай тэнцүү биш байна:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , тэгвэл x 0-ийг зөөврийн тасархай цэг гэнэ.

Энэ тохиолдолд f (x 0 )= A гэж тохируулснаар x 0 цэг дээрх функцийг өөрчилж болно

Ингэснээр энэ нь тасралтгүй болдог ( функцийг тасралтгүйгээр дахин тодорхойлох). f (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) ялгааг нэрлэнэ цэг дээр функцийн үсрэлт x 0.

Зөөврийн тасалдлын цэг дээрх функцын үсрэлт нь тэг байна.

2) Эхний төрлийн тасрах цэг биш тасрах цэгийг дуудна хоёр дахь төрлийн таслах цэгүүд. Хоёрдахь төрлийн тасалдалтай цэгүүдэд f (x 0 − 0) ба f (x 0 + 0) нэг талын хязгаарын ядаж нэг нь байхгүй эсвэл хязгааргүй байдаг.

Нэг цэгт тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.

		f(x)	ба g (x) нь x 0 цэг дээр тасралтгүй, дараа нь функцууд
f(x)±g(x),	f(x)g(x) ба	f(x)	(энд g (x)≠ 0) нь x цэг дээр мөн тасралтгүй байна.
		g(x)

2) Хэрэв u (x) функц x 0 цэг дээр тасралтгүй, f (u) функц тасралтгүй байвал

u 0 = u (x 0) цэг дээр f (u (x)) нийлмэл функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байна.

3) Бүх үндсэн энгийн функцууд (c, x a, a x, loga x, sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) тус бүрдээ тасралтгүй байна.

Тэдний тодорхойлолтын хүрээний цэг хүртэл.

1)–3) шинж чанаруудаас харахад бүх энгийн функцууд (хязгаарлагдмал тооны арифметик үйлдлүүд ба найрлагын үйлдлүүдийг ашиглан үндсэн элементар функцээс олж авсан функцууд) мөн тэдгээрийн тодорхойлолтын талбайн цэг бүрт тасралтгүй байдаг.

Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарууд.

1) (завсрын утгын теорем) f(x) функцийг тодорхойл

дээр ба [a;b] сегмент дээр тасралтгүй байна. Дараа нь хавсаргасан дурын C тооны хувьд

f (a) ба f (b), (f (a)) тоонуудын хооронд< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Болзано-Коши теорем

[a;b] сегмент дээр тасалдсан бөгөөд төгсгөлд нь өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг.

Дараа нь f (x 0 )= 0 байхаар дор хаяж нэг x 0 [ a ; b ] цэг байна.

3) (1-р Вейерштрассын теорем) f (x) функц тодорхойлогдоно

[a;b] сегмент дээр урагдсан. Дараа нь энэ функц нь энэ сегмент дээр хязгаарлагддаг.

4) (2-р Вейерштрассын теорем) f (x) функц тодорхойлогдоно

сегмент дээр яарах		[a;b] . Дараа нь энэ функц [ a ; b ] интервалд хүрнэ.
хамгийн агуу		хамгийн багадаа	үнэт зүйлс, жишээлбэл.	байдаг
x1, x2 [a; b],		ямар ч хувьд	x цэгүүд [a;b]	шударга	тэгш бус байдал

f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .

Жишээ 5.17. Тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг ашиглан y = 3x 2 + 2x − 5 функц нь тоон шулуун дээрх дурын x 0 цэг дээр үргэлжилдэг болохыг батал.

Шийдэл: Арга 1: x 0 нь тооны тэнхлэг дээрх дурын цэг байг. Та-

Бид эхлээд функцүүдийн нийлбэр ба үржвэрийн хязгаарын теоремуудыг ашиглан f (x) функцийн хязгаарыг x → x 0 гэж тооцно.

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0
Дараа нь x:f (x)= 3x 2 цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолно							− 5 .
Хүлээн авсан үр дүнг харьцуулж үзвэл бид харж байна				lim f (x)= f (x 0) нь дагуу
				x→x0

тодорхойлолт ба x 0 цэг дээрх авч үзэж буй функцийн тасралтгүй байдлыг хэлнэ.

Арга 2: За		x – 0 цэг дэх аргументийн өсөлт. Захидлуудыг олъё
тохиромжтой	өсөлт			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x)2.
Одоо аргументийн өсөлтийн үед функцийн өсөлтийн хязгаарыг тооцоолъё
		зүтгэдэг

	y = лим (6x + 2)		x + (x )2 = (6x + 2) лим		x + (limx)2 = 0.
x→ 0	x→ 0			x→ 0	x→ 0

Тиймээс lim y = 0 бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор тасралтгүй байдлыг илэрхийлнэ

x→ 0

дурын x 0 R-ийн функцууд.

Жишээ 5.18. f (x) функцийн тасархайн цэгүүдийг олж, төрлийг нь тодорхойл. IN

Зөөврийн тасалдалтай тохиолдолд функцийг тасралтгүйгээр тодорхойлно.

1) x үед f (x) = 1− x 2< 3;

x ≥ 3 үед 5x

2) f (x)= x 2 + 4 x + 3;

x+1

	f(x)=
		x4 (x− 2)
	f(x)= арктан
			(x − 5)

Шийдэл: 1) Энэ функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл тоо юм

у тэнхлэг (−∞ ;+∞ ) . (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) интервалууд дээр функц тасралтгүй байна. Зөвхөн x = 3 цэгт тасалдал үүсэх боломжтой бөгөөд энэ үед функцийн аналитик үзүүлэлт өөрчлөгдөнө.

Заасан цэг дээрх функцийн нэг талын хязгаарыг олъё.

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Зүүн ба баруун хязгаар хязгаарлагдмал тул x = 3 байна
хагарал I			f(x). Функц руу шилжих
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , тиймээс цэг дээр		x = 3

f(x) зөв тасралтгүй байна.

2) Функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна x = − 1, үүнд тодорхойлогдоогүй байна. Тоолуурыг өргөтгөж f (x) илэрхийллийг хувиргацгаая

хүчин зүйл болгон хуваах:		f(x)=			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	x ≠ − 1-ийн хувьд X + 3.
					x+1			x+1
x = − 1 цэг дээрх функцийн нэг талт хязгаарыг олъё:
	f(x)=lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1−0	x →−1 +0		x →−1

Судалж буй цэг дэх функцийн зүүн ба баруун хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд бие биетэйгээ тэнцүү байдгийг бид олж мэдсэн тул x = − 1 нь зөөврийн цэг юм.

шулуун шугам y = x + 3 "цоорсон" цэгтэй M (− 1;2) . Функцийг байнгын болгохын тулд

тасархай бол f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2-ыг тавих хэрэгтэй.

Ийнхүү f (x) -ийг x = − 1 цэгийн тасралтгүйгээр тодорхойлсноор бид (−∞ ;+∞ ) тодорхойлолтын мужтай f * (x)= x + 3 функцийг олж авлаа.

3) Энэ функцхүн бүрт тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүйцэгээс бусад x

x = 0,x = 2, бутархайн хуваагч тэг болно.

x = 0 цэгийг авч үзье.

Хангалттай жижиг 0 орчимд функц нь зөвхөн авдаг

	сөрөг утгуудын хувьд f (− 0)= lim			= −∞ = f (+0)	Тэдгээр. цэг
			(x − 2)
	x →−0
	x = 0 нь хоёр дахь төрлийн функцийн тасалдал юм		f(x).

Одоо x = 2 цэгийг авч үзье.

Функц нь авч үзсэний зүүн талд сөрөг утгыг авдаг

	цэг ба эерэг талууд баруун талд байна, тиймээс				f (2− 0)=			= −∞,
							x4 (x− 2)
						x →2 −0
	f (2+ 0)= лим			= +∞ . Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил pointx = 2 байна
			(x − 2)
	x →2 +0

tion нь зүүн болон баруун хязгаарлагдмал хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл. Энэ үед II хэлбэрийн хагарал үүсдэг.

x = 5.

f (5− 0)= лим арктан

π ,f (5+ 0)= лим арктан

x = 5

(x − 5)

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

хагарал

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (5.2-р зургийг үз).

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

5.174. Зөвхөн тодорхойлолтыг ашиглан f (x) функцийн тасралтгүй байдлыг батал

цэг бүр x 0 R:

a) f(x) = c= const;		б) f (x)= x;
в) f (x)= x 3;		d) f (x)= 5x 2 − 4x + 1;
e) f (x)= sinx.
5.175. Функц гэдгийг батал	f(x) = x2	x ≥ 0 үед 1,	үргэлжилсээр байна
		1 дээр x< 0
бүх тооны шугам. Энэ функцийн графикийг байгуул.
5.176. Функц гэдгийг батал	f(x) = x2	x ≥ 0 үед 1,	тасралтгүй биш
		x үед 0< 0

x = 0 цэг дээр, гэхдээ тэр цэг дээр зөв тасралтгүй байна. f(x) функцийн графикийг зур.

x = цэг дээр огцом

Гэхдээ энэ үед зүүн талд тасралтгүй байна. График байгуулах

f(x) функцууд.

5.178. График функцууд

a) y =

x+1

б) y= x+

x+1

x+1

x+1

Эдгээр функцүүдийн таслах цэгийн тасралтгүй байдлын аль нь хангагдсан, аль нь хангагдаагүй вэ?

5.179. Функцийн таслах цэгийг зааж өгнө үү

гэм х		x ≠ 0-ийн хувьд
		x = 0 үед

Энэ үед тасралтгүй байдлын аль нь хангагдсан, аль нь хангагдаагүй вэ?

Тодорхойлолт функцийг таслах цэгүүд тэдгээрийн төрлүүд нь функцийн тасралтгүй байдлын сэдвийн үргэлжлэл юм. Функцийн таслах цэгийн утгын харааны (график) тайлбарыг тасралтгүй байдлын тухай ойлголтоос ялгаатай нь мөн өгсөн болно. Функцийн таслах цэгийг хэрхэн олж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох талаар сурцгаая. Мөн манайхан энэ талаар бидэнд туслах болно үнэнч найзууд- зүүн ба баруун хязгаарыг ерөнхийд нь нэг талын хязгаар гэж нэрлэдэг. Хэрэв хэн нэгэн нь нэг талын хязгаарлалтаас айдаг бол бид үүнийг удахгүй арилгах болно.

График дээрх бие биетэйгээ холбогдоогүй цэгүүдийг дуудна функцийг таслах цэгүүд . x=2 - - цэг дээр тасалдсан ийм функцийн графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Дээрх ерөнхий ойлголт нь дараах тодорхойлолт юм. Хэрэв функц нэг цэг дээр тасралтгүй биш бол энэ цэг дээр тасалдалтай байх ба тухайн цэгийг өөрөө гэдэг. таслах цэг . Эвдрэл нь эхний болон хоёр дахь төрөл юм .

Тодорхойлохын тулд эвдрэлийн цэгүүдийн төрөл (тэмдэгт). функцуудыг итгэлтэйгээр олох хэрэгтэй хязгаар, тиймээс харгалзах хичээлийг шинэ цонхонд нээх нь зүйтэй. Гэхдээ таслах цэгүүдтэй холбоотойгоор бидэнд шинэ бөгөөд чухал зүйл бий - нэг талт (зүүн ба баруун) хязгаарлалт. Ерөнхийдөө тэдгээр нь бичигдсэн (баруун хязгаар) ба (зүүн хязгаар). Ерөнхийдөө хязгаарын хувьд функцийн хязгаарыг олохын тулд функцийн илэрхийлэлд X-г X-ийн чиг хандлагад орлуулах хэрэгтэй. Гэхдээ, магадгүй та баруун, зүүн хязгаар нь X дээр ямар нэг зүйл нэмсэн, гэхдээ энэ нь тэг, зүүн талынх нь X-ээс хасагдсан тохиолдолд баруун, зүүн хязгаар хэрхэн ялгаатай байх вэ гэж та асууж магадгүй юм. гэхдээ энэ нь ямар нэг зүйл - бас тэг үү? Мөн та зөв байх болно. Ихэнх тохиолдолд.

Гэхдээ функцийн тасалдлын цэгүүдийг хайж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох практикт баруун ба зүүн хязгаарууд тэнцүү биш байх хоёр ердийн тохиолдол байдаг.

• Функц нь тоон шугамын х хамаарах хэсгээс хамааран хоёр ба түүнээс дээш илэрхийлэлтэй байдаг (эдгээр илэрхийлэл нь ихэвчлэн дараа нь буржгар хаалтанд бичигддэг. е(x)= );
• X-ийн хандлагатай зүйлийг орлуулсны үр дүнд бид хуваагч нь нэмэх тэг (+0) эсвэл хасах тэг (-0) хэвээр байх бутархайг авдаг тул ийм бутархай нь нэмэх хязгааргүй эсвэл хасах хязгааргүй гэсэн үг юм. шал өөр зүйлүүд.

Эхний төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Эхний төрлийн эвдрэлийн цэг: Функц нь хязгаарлагдмал (жишээ нь, хязгааргүйтэй тэнцүү биш) зүүн хязгаар болон хязгаарлагдмал баруун хязгаартай боловч функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл зүүн ба баруун хязгаарууд өөр (тэнцүү биш) байдаг.

Эхний төрлийн зөөврийн тасалдлын цэг.Зүүн ба баруун хязгаар нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд функцийг цэг дээр цаашид тодорхойлох боломжтой. Нэг цэг дээр функцийг тодорхойлох нь энгийнээр хэлэхэд зүүн ба баруун хязгаарууд хоорондоо тэнцүү байх цэгүүдийн холболтыг хангах гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд холболт нь функцийн утгыг олох ёстой зөвхөн нэг цэгийг төлөөлөх ёстой.

Жишээ 1.Функцийн таслах цэг болон таслах цэгийн төрөл (тэмдэгт)-ийг тодорхойлно.

Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Хоёр дахь төрлийн эвдрэлийн цэг: хязгаарын дор хаяж нэг нь (зүүн эсвэл баруун) хязгааргүй (хязгааргүйтэй тэнцүү) байх цэг.

Жишээ 3.

Шийдэл. Хүч чадлын илэрхийллээс дцэг дээр функц тодорхойлогдоогүй нь тодорхой байна. Энэ үед функцийн зүүн ба баруун хязгаарыг олъё.

Хязгаарын нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул цэг нь хоёр дахь төрлийн тасалдал юм. Хугарлын цэгтэй функцийн график жишээний доор байна.

Функцийн таслах цэгийг олох нь бие даасан ажил эсвэл нэг хэсэг байж болно Бүрэн функцийн судалгаа, график .

Жишээ 4.Функцийн таслах цэг болон функцийн таслах цэгийн төрлийг (тэмдэгт) тодорхойлно

Шийдэл. 2-ын чадлын илэрхийллээс харахад функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Энэ үед функцийн зүүн ба баруун хязгаарыг олъё.

Зөөврийн цоорхой.

Тодорхойлолт. Цэг афункцийн зөөврийн тасархай цэг гэж нэрлэдэг y=f(x), хэрэв функцийн хязгаар f(x)яг одоо байгаа, гэхдээ яг тэр мөчид афункц f(x)тодорхойлогдоогүй эсвэл хувийн утгатай f(a), хязгаараас ялгаатай f(x)энэ үед.

Жишээ. Жишээлбэл, функц

цэг дээр байна x=0засах боломжтой цоорхой. Үнэн хэрэгтээ, энэ функцийн хязгаарлах утга нь цэг дээр x=0 1-тэй тэнцүү. Хэсэгчилсэн утга нь 2-той тэнцүү.

Хэрэв функц f(x)цэг дээр байна азөөврийн цоорхой байвал бусад цэг дээрх функцийн утгыг өөрчлөхгүйгээр энэ цоорхойг арилгах боломжтой а. Үүнийг хийхийн тулд функцийн утгыг цэг дээр тавихад хангалттай аэнэ үед түүний хязгаарын утгатай тэнцүү байна. Тиймээс, дээр дурдсан жишээнд үүнийг тавихад хангалттай f(0)=1Тэгээд , өөрөөр хэлбэл функц f(x)цэг дээр тасралтгүй үргэлжлэх болно x=0.

Эхний төрлийн эвдрэл.

Тодорхойлолт. Цэг аХэрэв энэ үед функц байгаа бол эхний төрлийн тасалдалтын цэг гэж нэрлэдэг f(x)хязгаартай боловч тэгш бус баруун зүүн хязгаартай

Зарим жишээ хэлье.

Жишээ. Чиг үүрэг y=sgn xцэг дээр байна x=0Эхний төрлийн хагарал. Үнэн хэрэгтээ, иймээс эдгээр хязгаарууд хоорондоо тэнцүү биш юм.

Жишээ. Чиг үүрэг , цэгээс бусад хаа сайгүй тодорхойлогддог x=1, цэг дээр байна x=1Эхний төрлийн хагарал. Нээрээ, .

Хоёр дахь төрлийн эвдрэл.

Тодорхойлолт. Цэг аХэрэв энэ үед функц байгаа бол хоёр дахь төрлийн тасалдлын цэг гэж нэрлэдэг f(x)ядаж нэг талт хязгааргүй эсвэл нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүй бол.

Жишээ. Чиг үүрэг f(x) = бор х, цэг бүрт хоёр дахь төрлийн тасалдалтай нь ойлгомжтой x k =π/2+π k, k=0, ± 1, ± 2,…, учир нь ийм цэг бүрт

Жишээ. Уг функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна x=0, учир нь энэ үед баруун болон зүүн хязгаар байхгүй.

Сегмент дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Тодорхойлолт. Функц интервал дээр тодорхойлогддог ба түүний цэг бүр дээр тасралтгүйг энэ сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Түүгээр ч барахгүй тухайн цэг дээр тасралтгүй байдлын дор абаруун талын үргэлжлэл, нэг цэгийн үргэлжлэл гэж ойлгогддог б- зүүн талын тасралтгүй байдал.

Бид функц гэж хэлэх болно y=f(x), багц дээр тодорхойлсон (x)түүний дээд (доод) ирмэг дээр хүрдэг , хэрэв ийм цэг байгаа бол x 0 ∈(x), Юу f(x 0)=β (f(x 0)=α).

[Weierstrass] теорем. Интервал дээр үргэлжилсэн функц бүр хязгаарлагдмал бөгөөд дээд хязгаартаа, доод хязгаартаа хүрдэг.

Теорем [Болзано-Коши]. Хэрэв функц y=f(x)сегмент дээр тасралтгүй Тэгээд f(a)=A, f(b)=B, дараа нь аль нэг нь C, хооронд дүгнэв АТэгээд Б, ийм цэг байдаг ξ∈ , Юу f(ξ)=C.

Өөрөөр хэлбэл, интервал дээр үргэлжилсэн функц нь дурын хоёр утгыг авахдаа тэдгээрийн хооронд байгаа дурын утгыг мөн авдаг.

Үр дагавар. Хэрэв функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд түүний төгсгөлд өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг бол энэ сегмент дээр функц алга болох дор хаяж нэг цэг байна.

Үр дагавар. Функцийг зөвшөөр y=f(x)сегмент дээр тасралтгүй Тэгээд , . Дараа нь функц f(x)сегментээс бүх утгыг авдаг зөвхөн эдгээр утгууд.

Тиймээс тодорхой сегмент дээр өгөгдсөн ба үргэлжилсэн функцийн бүх утгуудын багц нь мөн сегмент юм.

Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүд.

Бух алхаж, ганхаж, санаа алдан:
- Өө, самбар дуусч байна, би одоо унах болно!

Энэ хичээлээр бид функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт, тасалдлын цэгүүдийн ангилал, нийтлэг практик асуудлыг авч үзэх болно. функцүүдийн тасралтгүй байдлын судалгаа. Сэдвийн нэрнээс харахад олон хүн юу хэлэлцэхийг зөн совингоор таамаглаж, материалыг маш энгийн гэж боддог. Энэ бол үнэн. Гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэдгээрийг шийдвэрлэх өнгөц байдлаар шийтгэгддэг энгийн ажлууд юм. Тиймээс би нийтлэлийг сайтар судалж, бүх нарийн ширийн зүйл, арга техникийг олж авахыг зөвлөж байна.

Та юу мэдэж, чаддаг байх хэрэгтэй вэ?Нэг их биш. Хичээлийг сайн сурахын тулд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй функцийн хязгаар. Уншигчидтай доод түвшинНийтлэлийг ойлгоход бэлтгэл хангалттай Функцийн хязгаарлалт. Шийдлийн жишээмөн харах геометрийн утгагарын авлага дахь хязгаар График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Мөн танилцахыг зөвлөж байна графикийн геометрийн хувиргалт, ихэнх тохиолдолд дадлага хийх нь зураг зурахтай холбоотой байдаг. Ирээдүй нь хүн бүрт өөдрөг байна, тэр ч байтугай бүтэн данх ч гэсэн дараагийн эсвэл хоёр цагийн дотор даалгавраа өөрөө даван туулах боломжтой болно!

Функцийн тасралтгүй байдал. Хугарлын цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт

Бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг зарим функцийг авч үзье.

Эсвэл илүү товчоор хэлбэл, бидний функц тасралтгүй (бодит тооны олонлог) дээр байна.

Тасралтгүй байдлын "филист" шалгуур нь юу вэ? Мэдээжийн хэрэг хуваарь тасралтгүй функццаасан дээрээс харандаа өргөхгүйгээр зурж болно.

Энэ тохиолдолд хоёр энгийн ойлголтыг тодорхой ялгах хэрэгтэй. функцийн домэйнТэгээд функцын тасралтгүй байдал. IN ерөнхий тохиолдол энэ нь ижил зүйл биш юм. Жишээлбэл:

Энэ функц нь бүх тооны мөрөнд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл for хүн бүр"Х"-ийн утга нь "y" гэсэн өөрийн гэсэн утгатай. Тодруулбал, хэрэв , дараа нь . Функцийн тодорхойлолтоор аргументийн утга нь дараахтай тохирч байх ёстой тул нөгөө цэг нь таслалтай гэдгийг анхаарна уу. цорын ганц зүйлфункцийн утга. Тиймээс, домэйнбидний үүрэг: .

Гэсэн хэдий ч Энэ функц тасралтгүй ажиллахгүй!Энэ үед тэр зовж байгаа нь илт байна цоорхой. Энэ нэр томъёо нь бас ойлгомжтой бөгөөд харагдахуйц бөгөөд энд харандааг ямар ч байсан цаасан дээрээс урах хэрэгтэй болно. Хэсэг хугацааны дараа бид таслах цэгийн ангиллыг авч үзэх болно.

Нэг цэг ба интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал

Математикийн тодорхой бодлогод бид цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал, интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдал, хагас интервал эсвэл сегмент дэх функцийн тасралтгүй байдлын тухай ярьж болно. Тэр бол, "зөвхөн тасралтгүй" гэж байдаггүй– функц нь хаа нэгтээ тасралтгүй байж болно. Мөн бусад бүх зүйлийн үндсэн "барилгын материал" нь юм функцын тасралтгүй байдал цэг дээр .

Онол математик шинжилгээ"Дельта" ба "эпсилон" хөршүүдийг ашиглан цэг дээрх функцын тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгдөг боловч практикт өөр тодорхойлолтыг ашиглаж байгаа бөгөөд бид үүнд анхаарлаа хандуулах болно.

Эхлээд санацгаая нэг талын хязгаарлалтЭхний хичээлээр бидний амьдралд нэвтэрсэн хүмүүс функцийн графикийн тухай. Өдөр тутмын нөхцөл байдлыг авч үзье:

Хэрэв бид тэнхлэгийг цэг рүү ойртуулах юм бол зүүн(улаан сум), дараа нь "тоглоом" -ын харгалзах утгууд нь тэнхлэгийн дагуу цэг рүү (час улаан сум) очно. Математикийн хувьд энэ баримтыг ашиглан тогтоодог зүүн гар талын хязгаар:

Оруулсан зүйлд анхаарлаа хандуулаарай (зүүн талд "x tends to ka" гэж уншина). "Нэмэлт" "хасах тэг" нь бэлгэддэг , үндсэндээ энэ нь бид зүүн талаас тоо руу ойртож байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил, хэрэв та "ка" цэг рүү ойртвол баруун талд(цэнхэр сум), дараа нь "тоглоомууд" ижил утгатай болно, гэхдээ ногоон сумны дагуу, мөн баруун гар талын хязгаардараах байдлаар форматлагдсан болно.

"Нэмэлт" нь бэлгэддэг , мөн оруулга нь: "х баруун талд ka руу хандлагатай байна."

Хэрэв нэг талт хязгаар хязгаарлагдмал ба тэнцүү бол(бидний тохиолдол шиг): , тэгвэл бид ЕРӨНХИЙ хязгаар байгаа гэж хэлэх болно. Энэ нь энгийн, ерөнхий хязгаарлалт бол бидний "ердийн" функцийн хязгаар, төгсгөлтэй тоотой тэнцүү.

Хэрэв функц тодорхойлогдоогүй бол (пунктур хар цэгграфик салбар дээр), дараа нь дээрх тооцоо хүчинтэй хэвээр байна. Хэд хэдэн удаа, ялангуяа нийтлэлд дурдсанчлан хязгааргүй жижиг функцууд дээр, илэрхийлэл нь "x" гэсэн утгатай хязгааргүй ойрхонцэгт ойртдог, харин ХАМААГҮЙ, функц өөрөө өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогдсон эсэх. Сайн жишээфункцийг шинжлэх үед дараагийн догол мөрөнд гарч ирнэ.

Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү бол функц тухайн цэг дээр тасралтгүй байна: .

Тодорхойлолтыг дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно дараах нөхцөлүүд:

1) Функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон байх ёстой, өөрөөр хэлбэл утга нь байх ёстой.

2) Функцийн ерөнхий хязгаар байх ёстой. Дээр дурдсанчлан, энэ нь нэг талын хязгаарлалтын оршин тогтнох, тэгш байдлыг илэрхийлдэг. .

3) Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой: .

Хэрэв зөрчсөн бол ядаж нэггурван нөхцлийн аль нэг цэг дээр функц тасралтгүй байх шинж чанараа алддаг.

Интервал дахь функцийн тасралтгүй байдаловсгоотой бөгөөд маш энгийнээр томъёолсон: Хэрэв функц өгөгдсөн интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал тухайн интервал дээр тасралтгүй байна.

Ялангуяа олон функц нь хязгааргүй интервал дээр, өөрөөр хэлбэл бодит тооны олонлог дээр тасралтгүй байдаг. Энэ нь шугаман функц, олон гишүүнт, экспоненциал, синус, косинус гэх мэт. Ерөнхийдөө аливаа үндсэн функцдээр нь тасралтгүй тодорхойлолтын домэйнжишээлбэл, логарифм функц нь интервал дээр тасралтгүй байна. би тэгэх байх гэж найдаж байна энэ цаг мөчидТа үндсэн функцүүдийн график ямар байхыг маш сайн мэддэг. Илүү дэлгэрэнгүй мэдээлэлтэдгээрийн тасралтгүй байдлыг эндээс олж авч болно сайхан сэтгэлтэй хүнФихтенголтс овогтой.

Сегмент болон хагас интервал дээрх функцийн тасралтгүй байдлын хувьд бүх зүйл хэцүү биш боловч энэ талаар хичээл дээр ярих нь илүү тохиромжтой. сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их утгыг олох тухай, гэхдээ одоохондоо үүнд санаа зовох хэрэггүй.

Хагарлын цэгүүдийн ангилал

Функцуудын сэтгэл татам амьдрал нь бүх төрлийн онцгой цэгүүдээр баялаг бөгөөд эвдрэх цэгүүд нь тэдний намтар түүхийн зөвхөн нэг хуудас юм.

Анхаарна уу : ямар ч тохиолдолд би энгийн зүйл дээр анхаарлаа хандуулъя: таслах цэг нь үргэлж байдаг ганц цэг- "дараалан хэд хэдэн завсарлага" байхгүй, өөрөөр хэлбэл "завсарлага" гэж байдаггүй.

Эдгээр цэгүүд нь эргээд хоёр хэсэгт хуваагдана том бүлгүүд: Эхний төрлийн хагаралТэгээд хоёр дахь төрлийн хагарал. Цоорхойн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлогтой шинж чанаруудҮүнийг бид яг одоо харах болно:

Эхний төрлийн тасалдал

Тасралтгүй байдлын нөхцөл нь тодорхой цэгт зөрчигдсөн бол ба нэг талын хязгаарлалт хязгаарлагдмал , дараа нь үүнийг дууддаг Эхний төрлийн тасалдалтын цэг.

Хамгийн өөдрөг тохиолдлоос эхэлье. Хичээлийн анхны санааны дагуу би онолыг "д ерөнхий үзэл”, гэхдээ материалын бодит байдлыг харуулахын тулд би тодорхой дүрүүдтэй сонголтыг шийдсэн.

Мөнхийн дөлийн арын дэвсгэр дээрх шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн зураг шиг гунигтай боловч дараах зургийг нийтээрээ хүлээн зөвшөөрдөг. Зурган дээрх функцийн графикийг дүрсэлцгээе.


Энэ функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр үргэлжилдэг. Үнэн хэрэгтээ хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утгын дагуу бид чадна хязгааргүй ойрхонЗүүн ба баруун талаасаа "тэг" рүү ойртох, өөрөөр хэлбэл нэг талын хязгаарлалтууд байдаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг давхцаж байна.
(Тасралтгүй байдлын 2-р нөхцөл хангагдсан).

Гэхдээ тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй байдлын 1-р нөхцөл зөрчигдөж, энэ үед функц тасалдсан байна.

Энэ төрлийн завсарлага (одоо байгаа ерөнхий хязгаар) гэж нэрлэдэг засах боломжтой цоорхой. Яагаад салгах боломжтой вэ? Учир нь функц боломжтой дахин тодорхойлохтаслах цэг дээр:

Хачирхалтай харагдаж байна уу? Магадгүй. Гэхдээ ийм функцийн тэмдэглэгээ нь юу ч зөрчилддөггүй! Одоо цоорхойг хааж, бүгд баяртай байна:


Албан ёсны шалгалт хийцгээе:

2) - ерөнхий хязгаарлалт байдаг;
3)

Ийнхүү бүх гурван нөхцөл хангагдсан ба тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор тухайн цэг дээр функц тасралтгүй байна.

Гэсэн хэдий ч, матан үзэн ядагч нар функцийг муугаар тодорхойлж болно, жишээлбэл :


Эхний хоёр тасралтгүй байдлын нөхцөл энд хангагдаж байгаа нь сонирхолтой юм.
1) – функцийг өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлсон;
2) -Ерөнхий хязгаар гэж бий.

Гэхдээ гурав дахь хилийг даваагүй байна: , өөрөөр хэлбэл цэг дээрх функцийн хязгаар тэнцүү бишөгөгдсөн цэг дэх өгөгдсөн функцийн утга.

Тиймээс нэг цэгт функц тасалддаг.

Хоёр дахь, илүү гунигтай тохиолдол гэж нэрлэдэг Эхний төрлийн хагарал үсрэлттэй. Мөн уйтгар гуниг нь өрөөсгөл хязгаараас үүдэлтэй байдаг хязгаарлагдмал, ялгаатай. Хичээлийн хоёр дахь зураг дээр жишээг үзүүлэв. Ийм цоорхой нь ихэвчлэн тохиолддог хэсэгчлэн тодорхойлсон функцууд, аль хэдийн өгүүлэлд дурдсан байдаг график хувиргалтын тухай.

Хэсэгчилсэн функцийг авч үзье мөн бид түүний зургийг дуусгах болно. График хэрхэн бүтээх вэ? Маш энгийн. Хагас интервал дээр бид параболын фрагментийг зурдаг ( ногоон өнгө), интервал дээр - шулуун шугамын сегмент (улаан) ба хагас интервал дээр - шулуун шугам ( Цэнхэр өнгө).

Түүгээр ч барахгүй тэгш бус байдлын улмаас үнэ цэнийг тодорхойлдог квадрат функц(ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас утгыг тодорхойлно шугаман функц(цэнхэр цэг):

Хамгийн хэцүү тохиолдолд та графикийн хэсэг тус бүрийг цэгцтэй барих хэрэгтэй (эхний хэсгийг үзнэ үү). Функцийн графикуудын тухай хичээл).

Одоо бид зөвхөн гол зүйлийг л сонирхох болно. Үүнийг тасралтгүй байдлын үүднээс авч үзье:

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоод үзье.

Зүүн талд бид улаан шугамын сегменттэй тул зүүн талын хязгаар нь:

Баруун талд цэнхэр шулуун шугам, баруун гар талын хязгаар:

Үүний үр дүнд бид хүлээн авсан хязгаарлагдмал тоо, Тэгээд тэд тэнцүү биш. Нэг талын хязгаарлалт учраас хязгаарлагдмал, ялгаатай: , тэгвэл бидний функц тэсвэрлэдэг үсрэлттэй эхний төрлийн тасалдал.

Цоорхойг арилгах боломжгүй нь логик юм - өмнөх жишээн дээрх функцийг цаашид тодорхойлж, "хамтдаа наах" боломжгүй юм.

Хоёр дахь төрлийн тасалдалтын цэгүүд

Ихэвчлэн хагарлын бусад бүх тохиолдлыг энэ ангилалд ухаалаг байдлаар ангилдаг. Би бүх зүйлийг жагсаахгүй, учир нь практик дээр асуудлын 99% нь танд тулгарах болно төгсгөлгүй цоорхой– зүүн гартай эсвэл баруун гартай үед, ихэвчлэн хоёр хязгаар нь хязгааргүй байдаг.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн тод зураг бол тэг цэг дээрх гипербола юм. Энд нэг талын хязгаарлалт нь хязгааргүй юм: , тиймээс функц нь цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалд өртдөг.

Би нийтлэлүүдээ аль болох олон төрлийн агуулгаар дүүргэхийг хичээдэг тул хараахан гараагүй байгаа функцийн графикийг харцгаая.

стандарт схемийн дагуу:

1) Энэ үед хуваагч тэг болж байгаа тул функц тодорхойлогдоогүй байна.

Мэдээжийн хэрэг, функц нь тухайн үед тасалдсан гэж бид шууд дүгнэж болно, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн нөхцөл шаардагддаг тасалдлын шинж чанарыг ангилах нь зүйтэй юм. Үүний тулд:

Бичлэг гэдэг нь бид хэлж байгааг сануулъя хязгааргүй жижиг сөрөг тоо , мөн оруулгын доор - хязгааргүй бага эерэг тоо.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр 2-р төрлийн тасалдалд ордог гэсэн үг юм. Y тэнхлэг нь босоо асимптотграфикийн хувьд.

Нэг талын хязгаар хоёулаа байх нь ердийн зүйл биш боловч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хязгааргүй байдаг, жишээлбэл:

Энэ бол функцийн график юм.

Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгана:

1) Энэ үед функц тодорхойлогдоогүй байна.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Ийм өрөөсгөл хязгаарыг тооцоолох аргын талаар бид лекцийн сүүлийн хоёр жишээнд ярих болно, гэхдээ олон уншигчид бүгдийг аль хэдийн харж, таамаглаж байсан.

Зүүн талын хязгаар нь төгсгөлтэй бөгөөд тэгтэй тэнцүү (бид "цэг өөрөө очдоггүй"), харин баруун гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд графикийн улбар шар мөчир нь төгсгөлгүй ойртдог. босоо асимптот, тэгшитгэлээр өгөгдсөн (хар тасархай шугам).

Тиймээс функц нь муудаж байна хоёр дахь төрлийн тасалдалцэг дээр.

1-р төрлийн тасархайн хувьд функцийг тасалдлын цэг дээр өөрөө тодорхойлж болно. Жишээлбэл, хэсэгчилсэн функцийн хувьд Координатын эхэнд хар тод цэг тавьж болно. Баруун талд нь гиперболын салбар, баруун талын хязгаар нь хязгааргүй юм. Бараг хүн бүр энэ график ямар байх талаар ойлголттой байдаг гэж би бодож байна.

Хүн бүрийн тэсэн ядан хүлээж байсан зүйл:

Функцийг тасралтгүй байдлыг хэрхэн шалгах вэ?

Нэг цэгийн тасралтгүй байдлын функцийг судлах нь тасралтгүй байдлын гурван нөхцлийг шалгахаас бүрдэх нэгэнт тогтсон ердийн схемийн дагуу явагддаг.

Жишээ 1

Функцийг судлах

Шийдэл:

1) Хамрах хүрээний цорын ганц цэг бол функц тодорхойлогдоогүй газар юм.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал бөгөөд тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн үед функц нь салгаж болох тасалдалд ордог.

Энэ функцийн график ямар харагдаж байна вэ?

Би хялбарчлахыг хүсч байна , мөн энэ нь энгийн параболыг олж авсан мэт санагдаж байна. ГЭХДЭЭАнхны функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул дараах заалт шаардлагатай:

Зураг зурцгаая:

Хариулт: функц нь салгаж болох тасалдлаас бусад бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Функцийг цаашид сайн эсвэл тийм ч сайн биш байдлаар тодорхойлж болох боловч нөхцөл байдлын дагуу үүнийг хийх шаардлагагүй.

Энэ бол алс холын жишээ гэж та хэлж байна уу? Огт үгүй. Практикт ийм тохиолдол олон арван удаа тохиолдсон. Сайтын бараг бүх даалгаврууд нь бие даасан бодит ажил, тестээс ирдэг.

Дуртай модулиудаасаа салцгаая:

Жишээ 2

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: Зарим шалтгааны улмаас оюутнууд айж, модультай функцүүдэд дургүй байдаг, гэхдээ тэдэнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Хичээл дээр бид ийм зүйлийг аль хэдийн бага зэрэг хөндсөн. Графикийн геометрийн хувиргалт. Модуль нь сөрөг биш тул дараах байдлаар өргөжүүлнэ. , энд "альфа" нь зарим илэрхийлэл юм. IN энэ тохиолдолд, мөн бидний функцийг хэсэгчлэн бичих ёстой:

Гэхдээ хоёр ширхэгийн бутархайг -ээр багасгах ёстой. Өмнөх жишээн дээрх шиг бууралт нь үр дагаваргүйгээр явагдахгүй. Хуваагч нь тэг болж байгаа тул анхны функц нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдоогүй байна. Тиймээс систем нь нөхцөлийг нэмж зааж өгөх ёстой бөгөөд эхний тэгш бус байдлыг хатуу болгоно.

Одоо МАШ-ын тухай АШИГТАЙ хүлээн авалтшийдлүүд: ноорог дээрх ажлыг дуусгахын өмнө зураг зурах нь давуу талтай (нөхцөлд шаардлагатай эсэхээс үл хамааран). Энэ нь нэгдүгээрт, тасралтгүй болон тасалдсан цэгүүдийг нэн даруй олж харах, хоёрдугаарт, нэг талын хязгаарыг олоход алдаа гарахаас 100% хамгаалах болно.

Зургаа хийцгээе. Бидний тооцооллын дагуу цэгийн зүүн талд параболын хэсэг (цэнхэр өнгө), баруун талд нь параболын хэсэг (улаан өнгө) зурах шаардлагатай бөгөөд функц нь тодорхойлогдоогүй байна. өөрөө зааж:

Хэрэв эргэлзэж байвал хэд хэдэн x утгыг аваад функцэд залгана уу (модуль нь боломжит хасах тэмдгийг устгадаг гэдгийг санаарай) графикийг шалгана уу.

Тасралтгүй байдлын функцийг аналитик байдлаар авч үзье.

1) Функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй тул энэ нь тасралтгүй биш гэж шууд хэлж болно.

2) Тасралтгүй байдлын мөн чанарыг тогтооцгооё, үүний тулд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолно.

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм. Хязгаарыг олохдоо таслах цэг дээрх функц тодорхойлогдсон эсэх нь хамаагүй гэдгийг дахин анхаарна уу.

Одоо үлдсэн бүх зүйл бол зураг төслийг ноорогоос шилжүүлж (энэ нь судалгааны тусламжтайгаар хийгдсэн юм шиг ;-)) даалгаврыг биелүүлэх явдал юм.

Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Заримдаа тэд тасархай үсрэлтийн нэмэлт заалтыг шаарддаг. Үүнийг энгийнээр тооцдог - баруун хязгаараас та зүүн хязгаарыг хасах хэрэгтэй: , өөрөөр хэлбэл завсарлагааны цэг дээр бидний функц 2 нэгжээр доошоо үсэрсэн (хасах тэмдэг бидэнд хэлдэг).

Жишээ 3

Функцийг судлах тасралтгүй байдлын төлөө. Функцийн тасалдал байгаа бол тэдгээрийн мөн чанарыг тодорхойлно уу. Зураг зурах.

Энэ бол таны бие даан шийдвэрлэх жишээ, хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ юм.

Функц нь гурван хэсгээс бүрдэх үед даалгаврын хамгийн алдартай, өргөн тархсан хувилбар руу шилжье.

Жишээ 4

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгаж, функцийн графикийг зур .

Шийдэл: Функцийн гурван хэсэг нь харгалзах интервалууд дээр үргэлжилдэг нь тодорхой тул хэсгүүдийн хоорондох "холбох" хоёр цэгийг шалгахад л үлддэг. Нэгдүгээрт, ноорог зураг хийцгээе, би нийтлэлийн эхний хэсэгт барилгын техникийн талаар хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Цорын ганц зүйл бол бид онцгой цэгүүдийг анхааралтай дагаж мөрдөх ёстой: тэгш бус байдлын улмаас утга нь шулуун шугамд (ногоон цэг), тэгш бус байдлын улмаас утга нь параболад (улаан цэг) хамаарна.


За зарчмын хувьд бүх зүйл тодорхой байна =) Шийдвэрийг албажуулах л үлдлээ. Хоёр "холбох" цэг бүрийн хувьд бид тасралтгүй байдлын 3 нөхцлийг шалгадаг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1)

Нэг талт хязгаарууд нь хязгаарлагдмал бөгөөд ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь функц нь цэг дээр үсрэлттэй 1-р төрлийн тасалдалтай гэсэн үг юм.

Тасралтгүй үсрэлтийг баруун ба зүүн хязгаарын зөрүүгээр тооцоолъё.
, өөрөөр хэлбэл, график нэг нэгжийг хөдөлгөв.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

– нэг талын хязгаар нь хязгаарлагдмал, тэнцүү байдаг нь ерөнхий хязгаартай гэсэн үг.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Эцсийн шатанд бид зургийг эцсийн хувилбарт шилжүүлж, дараа нь эцсийн хөвчийг тавьдаг.

Хариулт: Үсрэлтээр эхний төрлийн тасалдал үүсэхээс бусад тохиолдолд функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна.

Жишээ 5

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс судалж, графикийг нь байгуул .

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. богино шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд даалгаврын ойролцоо жишээ.

Нэг цэгт функц тасралтгүй байх ёстой, нөгөө үед тасалдал байх ёстой гэсэн сэтгэгдэл танд төрж магадгүй юм. Практикт энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Үлдсэн жишээнүүдийг үл тоомсорлож болохгүй - хэд хэдэн сонирхолтой, чухал шинж чанарууд байх болно:

Жишээ 6

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. График байгуулах.

Шийдэл: нэн даруй ноорог дээрх зургийг дахин гүйцэтгэнэ:

Энэ графикийн онцлог нь хэсэгчилсэн функцийг абсцисса тэнхлэгийн тэгшитгэлээр өгдөг. Энэ талбайг энд зурсан ногоон, мөн тэмдэглэлийн дэвтэрт үүнийг ихэвчлэн энгийн харандаагаар тодоор тодруулдаг. Мэдээжийн хэрэг, бидний хуцны тухай бүү мартаарай: утга нь шүргэгч мөчир (улаан цэг), утга нь шулуун шугамд хамаарна.

Зургаас бүх зүйл тодорхой харагдаж байна - функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй явагддаг бөгөөд 3-4 ижил төстэй жишээнүүдийн дараа бүрэн автоматжуулалтад хүргэсэн шийдлийг албан ёсны болгоход л үлддэг.

би)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

, энэ нь ерөнхий хязгаарлалттай гэсэн үг юм.

Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү гэсэн өчүүхэн баримтыг сануулъя. Энэ тохиолдолд тэгийн хязгаар нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна (зүүн гар талын хязгаар).

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

II)Бид тасралтгүй байдлын цэгийг шалгадаг

1) – функц нь өгөгдсөн цэг дээр тодорхойлогддог.

2) Нэг талын хязгаарыг ол:

Мөн энд - нэгийн хязгаар нь тухайн нэгжтэй тэнцүү байна.

-Ерөнхий хязгаар гэж бий.

3) – нэг цэг дэх функцийн хязгаар нь тухайн цэг дэх энэ функцийн утгатай тэнцүү байна.

Тиймээс тухайн цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтоор функц нь цэг дээр тасралтгүй байна.

Ердийнх шигээ судалгаа хийсний дараа бид зургаа эцсийн хувилбарт шилжүүлдэг.

Хариулт: функц нь цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Тасралтгүй байдлын үүднээс функцийг бүхэлд нь судлах талаар биднээс юу ч асуугаагүй бөгөөд томъёолох нь математикийн сайн хэлбэр гэж тооцогддогийг анхаарна уу. нарийн бөгөөд тодорхойтавьсан асуултын хариулт. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв нөхцөл нь таныг график байгуулахыг шаарддаггүй бол танд байна эрх бүрҮүнийг бүү бүтээ (хэдийгээр багш таныг дараа нь хүчээр хийлгэж болно).

Үүнийг өөрөө шийдэх жижиг математикийн "хэлний мушгиа":

Жишээ 7

Функц өгсөн . Цэг дэх тасралтгүй байдлын функцийг судал. Хэрэв байгаа бол таслах цэгүүдийг ангил. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Бүх "үг"-ийг зөв "дуудаж" үзээрэй =) Графикийг илүү нарийвчлалтай зур, үнэн зөв, энэ нь хаа сайгүй илүүдэхгүй байх болно;-)

Таны санаж байгаагаар би зургийг нэн даруй ноорог болгон дуусгахыг зөвлөж байсан боловч үе үе та график ямар байгааг шууд олж чадахгүй жишээнүүдтэй тулгардаг. Тиймээс зарим тохиолдолд эхлээд нэг талын хязгаарыг олж, зөвхөн дараа нь судалгаанд үндэслэн салбаруудыг дүрслэх нь давуу талтай. Сүүлийн хоёр жишээнд бид нэг талын хязгаарыг тооцоолох арга техникийг сурах болно.

Жишээ 8

Функцийг тасралтгүй байдлын үүднээс шалгаж, түүний бүдүүвч графикийг байгуул.

Шийдэл: муу талууд нь тодорхой байна: (тэжээлийн хуваагчийг тэг болгон бууруулна) ба (бүхэл бутархайн хуваагчийг тэг болгон бууруулна). Энэ функцийн график ямар харагдах нь тодорхойгүй байгаа тул эхлээд судалгаа хийсэн нь дээр гэсэн үг.