Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой төрлүүд. Хоёр дахь ба түүнээс дээш эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Шугаман нэг төрлийн бус асуудлыг шийдэх үндэс дифференциал тэгшитгэлхоёр дахь эрэмбийн (LNDU-2) хамт тогтмол коэффициентүүд(PC)

$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн LDDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй, $f\left(x) \right)$ нь тасралтгүй функц юм.

PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.

Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын хэсэгчилсэн шийдэл гэж үзье. Мөн $Y$ зарим функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (GS) гэж үзье. Дараа нь -ийн GR LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.

Хэрэв баруун хэсэг 2-р эрэмбийн LPDE нь функцүүдийн нийлбэр бөгөөд $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, дараа нь эхлээд $f_ функц тус бүрт тохирох $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ PD-г олж болно. (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, дараа нь CR LNDU-2 гэж бичнэ. $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ хэлбэр.

PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл

Өгөгдсөн LNDU-2-ийн нэг буюу өөр PD $U$-ийн төрөл нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. PD LNDU-2-ийг хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон болно.

Дүрэм №1.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил хэмжээний олон гишүүнт ба $r$ нь язгуурын тоо юм. шинж чанарын тэгшитгэл LOD-2-д харгалзах, тэгтэй тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг аргыг ашиглан олно. тодорхой бус коэффициентүүд(NK).

Дүрэм №2.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NC аргаар олно.

Дүрэм №3.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\бета$ байна мэдэгдэж байгаа тоонууд. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайж байна. \right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг үл эвдэх аргыг ашиглан олно.

Дүрэм №4.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\альфа \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайж олох бөгөөд $Q_(s) \left(x\right)$ болон $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь язгуурын тоо юм. $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NC аргаар олно.

NK арга нь дараах дүрмийг хэрэгжүүлэхээс бүрдэнэ. LNDU-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн хэсэг болох олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

• гэж бичсэн PD $U$-г орлуулна ерөнхий үзэл, В зүүн тал LNDU-2;
• LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
• үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талуудын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
• үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.

Жишээ 1

Даалгавар: олох OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Мөн PD олох. , $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг хангаж байна.

Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Энэхүү LNDU-2-ын баруун тал нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ экспонентийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Иймээс энэхүү LNDU-2-ын PD нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.

Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.

Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:

$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.

$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Өгөгдсөн NLDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Мөн $e^(3\cdot x)$ илтгэгч хүчин зүйл болгон орсон байдаг. Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үүнийг орхиж болно. Бид дараахыг авна.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:

$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.

$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь дараах хэлбэртэй байна: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Энд бид шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг хэрэглэнэ. Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтдурын дарааллын тэгшитгэлийг шийдэх энэ аргыг хуудсан дээр тайлбарласан болно
Дээд зэрэглэлийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх >>>.

Жишээ 1

Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд.
(1)

Шийдэл

Эхлээд бид нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ.
(2)

Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл юм.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:
.
Олон үндэс: . (2) тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
(3) .
Эндээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна (2):
(4) .

Тогтмолуудыг өөрчлөх C 1 болон C 2 . Өөрөөр хэлбэл, бид (4) дахь тогтмолуудыг дараах функцээр солино.
.
Шийдэл хайж байна анхны тэгшитгэл(1) дараах байдлаар:
(5) .

Деривативыг олох нь:
.
Функц ба тэгшитгэлийг холбоно.
(6) .
Дараа нь
.

Бид хоёр дахь деривативыг олно:
.
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1):
(1) ;



.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийг (2) хангасан тул сүүлийн гурван эгнээний багана тус бүрийн гишүүний нийлбэр нь тэг болж өмнөх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
(7) .
Энд.

(6) тэгшитгэлийн хамт бид функцийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.
(6) :
(7) .

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг (6-7). Функцуудын илэрхийлэлүүдийг бичье ба:
.
Бид тэдгээрийн деривативуудыг олдог:
;
.

Бид (6-7) тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. Бид системийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно.

.
Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Тиймээс бид функцүүдийн деривативуудыг олсон:
;
.
Интеграцчилъя (Үндэс нэгтгэх аргуудыг үзнэ үү). Сэлгээ хийх
; ; ; .

.
.

;
.

Хариулт

Жишээ 2

Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар дифференциал тэгшитгэлийг шийд.
(8)

Шийдэл

Алхам 1. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бид нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ.

(9)
Бид хэлбэрээр шийдлийг хайж байна. Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэдэг:

Энэ тэгшитгэл нь нарийн төвөгтэй үндэстэй:
.
Эдгээр үндэст тохирох шийдлүүдийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
(10) .
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (9):
(11) .

Алхам 2. Тогтмолуудын өөрчлөлт - тогтмолыг функцээр солих

Одоо бид C тогтмолуудыг өөрчилдөг 1 болон C 2 . Өөрөөр хэлбэл, бид (11) дахь тогтмолуудыг дараах функцээр солино.
.
Бид анхны тэгшитгэлийн (8) шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
(12) .

Цаашилбал, шийдлийн явц нь жишээ 1-тэй адил байна. Бид хүрч байна дараагийн системфункцийг тодорхойлох тэгшитгэл ба:
(13) :
(14) .
Энд.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Энэ системийг шийдье. Функцуудын илэрхийллүүдийг бичье.
.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Бид тэгшитгэлийн системийг (13-14) Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. Системийн матрицыг тодорхойлогч:

.
Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

.
Учир нь логарифмын тэмдгийн доорх модулийн тэмдгийг орхиж болно. Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.
Дараа нь
.

Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:


.

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + х(x)y" + q(x)y = е(x) ,

Хаана yнь олох функц мөн х(x) , q(x) Мөн е(x) - тодорхой интервал дахь тасралтгүй функцууд ( а, б) .

Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг бол ( е(x) = 0), тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл . Энэ хичээлийн практик хэсгийг голчлон ийм тэгшитгэлд зориулах болно. Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй тэнцүү биш бол ( е(x) ≠ 0) байвал тэгшитгэлийг .

Асуудлын хувьд бид тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай y"" :

y"" = −х(x)y" − q(x)y + е(x) .

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг Кошигийн асуудал .

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл ба түүний шийдэл

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

y"" + х(x)y" + q(x)y = 0 .

Хэрэв y1 (x) Тэгээд y2 (x) Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд байвал дараах мэдэгдлүүд үнэн болно.

1) y1 (x) + y 2 (x) - мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл;

2) Cy1 (x) , Хаана C- дурын тогтмол (тогтмол) нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Эдгээр хоёр мэдэгдлээс харахад функц

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Шударга асуулт гарч ирнэ: энэ шийдэл мөн үү Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл , өөрөөр хэлбэл, ийм шийдэл нь өөр өөр утгуудын хувьд C1 Тэгээд C2 Тэгшитгэлийн бүх боломжит шийдлийг олж авах боломжтой юу?

Энэ асуултын хариулт нь: магадгүй, гэхдээ тодорхой нөхцөлд. Энэ Тодорхой шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстой гэсэн нөхцөл y1 (x) Тэгээд y2 (x) .

Мөн энэ нөхцлийг нөхцөл гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан байдалхувийн шийдлүүд.

Теорем. Чиг үүрэг C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) нь шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм y1 (x) Тэгээд y2 (x) шугаман бие даасан.

Тодорхойлолт. Функцүүд y1 (x) Тэгээд y2 (x) Хэрэв тэдгээрийн харьцаа тогтмол 0 биш байвал шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг:

y1 (x)/y 2 (x) = к ; к = const ; к ≠ 0 .

Гэсэн хэдий ч эдгээр функцууд нь шугаман хамааралгүй эсэхийг тодорхойлох нь ихэвчлэн маш их хөдөлмөр шаарддаг. Вронски тодорхойлогчийг ашиглан шугаман бие даасан байдлыг тогтоох арга бий В(x) :

Хэрэв Вронски тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна . Хэрэв Вронски тодорхойлогч тэг байвал шийдлүүд нь шугаман хамааралтай байна.

Жишээ 1.Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл. Бид хоёр удаа интегралддаг бөгөөд харахад хялбар байдаг шиг функцийн хоёр дахь дериватив ба функцийн хоёрын ялгаа тэгтэй тэнцүү байхын тулд шийдлүүд нь дериватив нь өөртэй нь тэнцүү экспоненциалтай холбоотой байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл хэсэгчилсэн шийдлүүд нь ба .

Вронски тодорхойлогчоос хойш

тэгтэй тэнцүү биш бол эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно

.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь дарааллын дифференциал тэгшитгэл: онол ба практик

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + py" + qy = 0 ,

Хаана хТэгээд q- тогтмол утгууд.

Энэ нь хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл гэдгийг хүссэн функцийн хоёр дахь дериватив байгаагаар, түүний нэгэн төрлийн байдлыг баруун талд нь тэгээр тэмдэглэв. Дээр дурдсан утгыг тогтмол коэффициент гэж нэрлэдэг.

руу Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх , та эхлээд хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг шийдэх ёстой

к² + pq + q = 0 ,

Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм.

Онцлогийн тэгшитгэлийн шийдлээс хамааран гурван өөр хувилбар байж болно Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд , бид одоо дүн шинжилгээ хийх болно. Бүрэн тодорхой байхын тулд бид бүх тодорхой шийдлүүдийг Вронски тодорхойлогчоор шалгасан бөгөөд бүх тохиолдолд тэгтэй тэнцүү биш гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй хүмүүс үүнийг өөрсдөө шалгаж болно.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой байна

Өөрөөр хэлбэл, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 2. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Жишээ 3. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэр, үндэстэй бөгөөд бодит бөгөөд тодорхой байна. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байна

Тэр бол, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 4. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жишээ 5. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

Нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудын "Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" сэдвийг судлах

Горки, 2013 он

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

тогтмол тоотой хоёр дахь дараалалкоэффициентүүд

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

тэдгээр. Хүссэн функц болон түүний деривативуудыг зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт багтаасан, тэдгээрийн үржвэрийг агуулаагүй тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлд Тэгээд
- зарим тоо, функц
тодорхой интервалаар өгсөн
.

Хэрэв
интервал дээр
, тэгвэл (1) тэгшитгэл хэлбэрийг авна

, (2)

гэж нэрлэдэг шугаман нэгэн төрлийн . Үгүй бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье

, (3)

Хаана
Тэгээд
- бодит функцууд. Хэрэв функц (3) нь (2) тэгшитгэлийн цогц шийдэл бол бодит хэсэг
, мөн төсөөллийн хэсэг
шийдлүүд
тус тусад нь нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд юм. Тиймээс бүх зүйл цогц шийдэлтэгшитгэл (2) нь энэ тэгшитгэлийн хоёр бодит шийдлийг үүсгэдэг.

Нэг төрлийн уусмалууд шугаман тэгшитгэлшинж чанаруудтай:

Хэрэв тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц
, Хаана ХАМТ– дурын тогтмол нь (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно;

Хэрэв Тэгээд (2) тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь функц байна
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2);

Хэрэв Тэгээд (2) тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь тэдгээрийн шугаман хослол байна
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2), энд Тэгээд
- дурын тогтмолууд.

Функцүүд
Тэгээд
гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай интервал дээр
, хэрэв ийм тоо байгаа бол Тэгээд
, нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, энэ интервал дээр тэгш байдал

Хэрэв тэгш байдал (4) зөвхөн үед тохиолдоно
Тэгээд
, дараа нь функцууд
Тэгээд
гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан интервал дээр
.

Жишээ 1 . Функцүүд
Тэгээд
оноос хойш шугаман хамааралтай байна
бүх тооны мөрөнд. Энэ жишээнд
.

Жишээ 2 . Функцүүд
Тэгээд
тэгш байх тул аль ч интервал дээр шугаман хамааралгүй байна
тохиолдолд л боломжтой
, Мөн
.

Барилга ерөнхий шийдэлшугаман нэгэн төрлийн

тэгшитгэл

(2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шугаман бие даасан хоёр шийдлийг олох хэрэгтэй Тэгээд . Эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол
, Хаана Тэгээд
дурын тогтмолууд бөгөөд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг өгнө.

Бид (2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг хэлбэрээр хайх болно

, (5)

Хаана - тодорхой тоо. Дараа нь
,
. Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (2) орлъё:

эсвэл
.

Учир нь
, Тэр
. Тиймээс функц
бол (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно тэгшитгэлийг хангана

. (6)

Тэгшитгэл (6) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл тэгшитгэлийн хувьд (2). Энэ тэгшитгэл нь алгебрийн квадрат тэгшитгэл юм.

Болъё Тэгээд Энэ тэгшитгэлийн үндэс байдаг. Тэдгээр нь бодит ба ялгаатай, эсвэл нарийн төвөгтэй, бодит ба тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг авч үзье.

Үндэсийг нь тавь Тэгээд шинж чанарын тэгшитгэл нь бодит бөгөөд тодорхой байна. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
Тэгээд
. Эдгээр шийдлүүд нь тэгш байдлаас хойш шугаман бие даасан байдаг
үед л хийж болно
, Мөн
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

,

Хаана Тэгээд
- дурын тогтмолууд.

Жишээ 3
.

Шийдэл . Энэ дифференциалын шинж чанарын тэгшитгэл нь байх болно
. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид түүний үндсийг олно
Тэгээд
. Функцүүд
Тэгээд
нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь
.

Цогцолбор тоо хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг
, Хаана Тэгээд бодит тоонууд ба
төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Хэрэв
, дараа нь тоо
цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэрэв
, дараа нь тоо
бодит тоогоор тодорхойлогддог .

Тоо цогц тооны бодит хэсэг гэж нэрлэдэг ба - төсөөллийн хэсэг. Хэрэв хоёр нийлмэл тоо нь бие биенээсээ зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатай бол тэдгээрийг коньюгат гэж нэрлэдэг.
,
.

Жишээ 4 . Квадрат тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл . Дискриминант тэгшитгэл
. Дараа нь. Үүний нэгэн адил,
. Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь коньюгат нийлмэл язгууртай.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нарийн төвөгтэй байг, өөрөөр хэлбэл.
,
, Хаана
. (2) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно
,
эсвэл
,
. Эйлерийн томъёоны дагуу

,
.

Дараа нь,. Мэдэгдэж байгаагаар хэрэв нарийн төвөгтэй функц нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд болно. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцүүд байх болно
Тэгээд
. Тэгш байхаас хойш

тохиолдолд л гүйцэтгэх боломжтой
Тэгээд
, тэгвэл эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Хаана Тэгээд
- дурын тогтмолууд.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Тэгшитгэл
өгөгдсөн дифференциалын шинж чанар юм. Үүнийг шийдэж, цогц үндсийг нь авцгаая
,
. Функцүүд
Тэгээд
нь дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байг, өөрөөр хэлбэл.
. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
Тэгээд
. Эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь илэрхийлэл нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү байж болно
Тэгээд
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Онцлогийн тэгшитгэл
ижил үндэстэй
. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд нь функцууд юм
Тэгээд
. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэл

болон тусгай баруун тал

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1) нь ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба аливаа тодорхой шийдэл
нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл:
.

Зарим тохиолдолд нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг баруун гар талын хэлбэрээр хялбархан олж болно.
тэгшитгэл (1). Энэ боломжтой тохиолдлуудыг авч үзье.

тэдгээр. нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт юм м. Хэрэв
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг зэрэгтэй олон гишүүнт хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. м, өөрөөр хэлбэл

Магадлал
тодорхой шийдлийг олох явцад тодорхойлогддог.

Хэрэв
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.

Жишээ 7 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Энэ тэгшитгэлийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь байна
. Түүний онцлог тэгшитгэл
үндэстэй
Тэгээд
. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Учир нь
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг функц хэлбэрээр хайх болно.
. Энэ функцийн деривативуудыг олцгооё
,
мөн тэдгээрийг энэ тэгшитгэлд орлуулна уу:

эсвэл . Коэффициентийг тэнцүүлж үзье болон чөлөөт гишүүд:
Шийдвэрлэж байж энэ систем, бид авдаг
,
. Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн өгөгдсөн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэр байх болно.
.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хэлбэртэй болго

Хэрэв
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Хэрэв
нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм к (к=1 эсвэл к=2), тэгвэл энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Жишээ 8 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
. Түүний үндэс
,
. Энэ тохиолдолд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэлбэрээр бичнэ
.

3-ын тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш тул нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.
. Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олцгооё.

Дифференциал тэгшитгэлд орлуулъя:
+ +,
+,.

Коэффициентийг тэнцүүлж үзье болон чөлөөт гишүүд:

Эндээс
,
. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн ерөнхий шийдэл

.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн Лагранж арга

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг баруун талын төрлөөс үл хамааран тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Энэ арга нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг үргэлж олох боломжийг олгодог.

Болъё
Тэгээд
(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байна
, Хаана Тэгээд
- дурын тогтмолууд. Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын мөн чанар нь тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (1) хэлбэрээр хайж олох явдал юм.

Хаана
Тэгээд
- олох шаардлагатай шинэ үл мэдэгдэх функцууд. Хоёр үл мэдэгдэх функц байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд эдгээр функцийг агуулсан хоёр тэгшитгэл хэрэгтэй. Эдгээр хоёр тэгшитгэл нь системийг бүрдүүлдэг

-тай холбоотой тэгшитгэлийн шугаман алгебрийн систем юм
Тэгээд
. Энэ системийг шийдэж, бид олдог
Тэгээд
. Олж авсан тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэснээр бид олдог

Тэгээд
.

Эдгээр илэрхийллийг (9) -д орлуулснаар бид нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна (1).

Жишээ 9 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь байна
. Түүний үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг
,
. Учир нь
Тэгээд
, Тэр
,
, мөн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна. Дараа нь бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хаана хэлбэрээр хайх болно
Тэгээд
- үл мэдэгдэх функцууд.

Эдгээр үл мэдэгдэх функцийг олох тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна

Энэ системийг шийдсэний дараа бид олж мэднэ
,
. Дараа нь

,
. Үр дүнгийн илэрхийлэлийг ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулъя.

Энэ бол Лагранжийн аргыг ашиглан олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж ямар дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Аль шугаман дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, алийг нь нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг вэ?

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл ямар шинж чанартай вэ?

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ямар тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг ба түүнийг хэрхэн олж авдаг вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн өөр өөр язгууртай тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж тэгшитгэлийн нийлмэл язгууртай тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд өөр бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд нэг тэг, тэгшитгэлийн баруун тал нь зэрэгтэй олон гишүүн байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Лагранжийн аргын мөн чанар юу вэ?

Энэ догол мөрийг хэлэлцэх болно онцгой тохиолдолХоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэлүүд, тэгшитгэлийн коэффициентүүд тогтмол байх үед тэдгээр нь тоо юм. Ийм тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэл нь ялангуяа өргөн хэрэглээг олдог.

1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалал

Тэгшитгэлийг авч үзье

Үүнд коэффициентүүд тогтмол байна. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг хувааж, тэмдэглэнэ гэж үзвэл

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье

Мэдэгдэж байгаагаар шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд үүнийг мэдэхэд хангалттай. үндсэн системхувийн шийдлүүд. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олохыг үзүүлье. Бид энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Энэ функцийг хоёр удаа ялгаж, (59) тэгшитгэлд илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна

-ээс хойш, -ээр бууруулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна

Энэ тэгшитгэлээс (59) тэгшитгэлийн шийдэл болох функц болох k-ийн утгуудыг тодорхойлно.

k коэффициентийг тодорхойлох алгебрийн тэгшитгэлийг (61) энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл (59) гэнэ.

Онцлог тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл тул хоёр үндэстэй. Эдгээр үндэс нь жинхэнэ ялгаатай, бодит ба тэнцүү эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно.

Эдгээр тохиолдол бүрт тодорхой шийдлүүдийн үндсэн систем ямар хэлбэртэй болохыг авч үзье.

1. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба ялгаатай: . Энэ тохиолдолд (60) томъёог ашиглан бид хоёр хэсэгчилсэн шийдлийг олдог.

Эдгээр хоёр тодорхой шийдэл нь бүхэл тоон тэнхлэгт шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг, учир нь Вронски тодорхойлогч хаана ч алга болдоггүй.

Тиймээс (48) томъёоны дагуу тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

2. Шинж чанар тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү байна: . Энэ тохиолдолд хоёр үндэс нь жинхэнэ байх болно. Томъёо (60) ашиглан бид зөвхөн нэг тодорхой шийдлийг олж авдаг

Эхнийхтэйгээ хамт үндсэн системийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй болохыг харуулъя

Юуны өмнө функц (59) тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгая. Үнэхээр,

Гэхдээ шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс байгаа тул (61). Үүнээс гадна, Вьетагийн теоремын дагуу, Тиймийн тул . Үүний үр дүнд, өөрөөр хэлбэл, функц нь (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Олдсон хэсэгчилсэн шийдлүүд нь шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг одоо харуулъя. Үнэхээр,

Тиймээс энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

3. Онцлогийн тэгшитгэлийн үндэс нь нийлмэл. Мэдэгдэж байгаагаар нарийн төвөгтэй үндэс квадрат тэгшитгэлбодит коэффициентүүд нь коньюгат байна нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл тэд иймэрхүү харагдаж байна: . Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу (59) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүд дараах хэлбэртэй байна.

Эйлерийн томъёог ашиглан (XI бүлгийн § 5, 3-р хэсгийг үзнэ үү) илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.

Эдгээр шийдлүүд нь цогц юм. Зөв шийдлийг олж авахын тулд шинэ функцуудыг анхаарч үзээрэй

Эдгээр нь шийдлүүдийн шугаман хослол бөгөөд (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм (§ 3, 2-р теоремыг үзнэ үү).

Эдгээр шийдлүүдийн Вронски тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг.

Ийнхүү шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын хувьд нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Дүгнэж хэлэхэд, тэгшитгэлийн язгуурын төрлөөс хамааран (59) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёоны хүснэгтийг үзүүлэв.