а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Шийдэл.хайж байна нийтлэг шийдвэртэгшитгэлийн системүүд

а 1 x 1 + а 2 x 2 + а 3 x 3 = Θ

Гауссын арга. Үүнийг хийхийн тулд бид нэгэн төрлийн системийг координатаар бичнэ.

Системийн матриц

Зөвшөөрөгдсөн систем нь дараах хэлбэртэй байна. (р А = 2, n= 3). Систем нь хамтын ажиллагаатай, тодорхойгүй байна. Үүний ерөнхий шийдэл ( x 2 – чөлөөт хувьсагч): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Жишээ нь тэгээс өөр тодорхой шийдэл байгаа нь векторууд байгааг харуулж байна а 1 , а 2 , а 3 шугаман хамааралтай.

Жишээ 2.

эсэхийг олж мэдээрэй энэ системшугаман хамааралтай эсвэл шугаман бие даасан векторууд:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Шийдэл.Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийг авч үзье а 1 x 1 + а 2 x 2 + а 3 x 3 = Θ

эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр (координатаар)

Систем нь нэгэн төрлийн. Хэрэв энэ нь доройтдоггүй бол өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Хэзээ нэгэн төрлийн систем– тэг (жижиг) шийдэл. Энэ нь энэ тохиолдолд векторын систем бие даасан байна гэсэн үг юм. Хэрэв систем нь доройтсон бол энэ нь 0-ээс ялгаатай шийдэлтэй тул хамааралтай болно.

Бид системийг доройтсон эсэхийг шалгадаг:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Систем нь доройтдоггүй тул векторууд а 1 , а 2 , а 3 шугаман бие даасан.

Даалгаврууд.Өгөгдсөн векторын систем шугаман хамааралтай эсвэл шугаман хамааралгүй эсэхийг олж мэд.

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Векторын систем нь дараахь зүйлийг агуулж байвал шугаман хамааралтай болохыг батал.

a) хоёр тэнцүү вектор;

б) хоёр пропорциональ вектор.

Тодорхойлолт. Векторуудын шугаман хослол a 1 , ..., a n коэффициенттэй x 1 , ..., x n-ийг вектор гэнэ.

x 1 a 1 + ... + x n a n .

өчүүхэн, хэрэв бүх x 1 , ..., x n коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү бол.

Тодорхойлолт. x 1 a 1 + ... + x n a n шугаман хослолыг нэрлэнэ өчүүхэн бус, x 1, ..., x n коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол.

шугаман бие даасан, хэрэв тэг вектортой тэнцэх эдгээр векторуудын өчүүхэн бус хослол байхгүй бол.

Өөрөөр хэлбэл, x 1 a 1 + ... + x n a n = 0, зөвхөн x 1 = 0, ..., x n = 0 тохиолдолд a 1, ..., a n векторууд шугаман хамааралгүй байна.

Тодорхойлолт. a 1, ..., a n векторуудыг дуудна шугаман хамааралтай, хэрэв тэг вектортой тэнцэх эдгээр векторуудын өчүүхэн бус хослол байвал.

Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд:

2 ба 3 хэмжээст векторуудын хувьд.

Хоёр шугаман хамааралтай векторууд- хавсарсан. (Коллинеар векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.)

3 хэмжээст векторуудын хувьд.

Гурван шугаман хамааралтай векторууд хоорондоо уялдаатай байна. (Гурван coplanar вектор нь шугаман хамааралтай.)

• n хэмжээст векторуудын хувьд.

  n + 1 векторууд үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.

Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын талаархи асуудлын жишээ:

Жишээ 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгана уу. .

Шийдэл:

Векторуудын хэмжээ нь векторуудын тооноос бага тул векторууд нь шугаман хамааралтай байх болно.

Жишээ 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалга.

Шийдэл:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах; Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Энэхүү шийдэл нь систем нь олон шийдлүүдтэй болохыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл x 1, x 2, x 3 тоонуудын утгуудын тэгээс ялгаатай хослол байдаг бөгөөд a, b, c векторуудын шугаман хослол нь тэнцүү байна. тэг вектор, жишээ нь:

A + b + c = 0

Энэ нь a, b, c векторууд шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

Хариулт: a, b, c векторууд шугаман хамааралтай байна.

Жишээ 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл:Эдгээр векторуудын шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байх коэффициентуудын утгыг олъё.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Энэ вектор тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичиж болно

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Энэ системийг Гауссын аргаар шийдье

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасах; Гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасна:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах; Гурав дахь мөрөнд секунд нэмнэ.

Шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдалвекторууд.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Танхимд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочлон ирсэн хүн бүр шугаман алгебр бүхий аналитик геометр гэсэн сайхан хосыг авах болно. Энэ нийтлэл нь дээд математикийн хоёр хэсгийг нэг дор хөндөх бөгөөд бид тэдгээр нь нэг цаасан дээр хэрхэн зэрэгцэн оршиж байгааг харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ...хараал ид, ямар дэмий юм бэ. Хэдий тийм ээ, би оноо авахгүй ч эцэст нь та суралцахдаа эерэг хандлагатай байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, шугаман векторын бие даасан байдал, векторуудын үндэсболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "энгийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл би Gismeteo-д очсон цаг агаарын вектор: – температур ба Агаар мандлын даралттус тус. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч геометрийн жишээг өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид зарим ердийн алгебрийн бодлогуудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудТэгээд Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Компьютерийн ширээний хавтгайг (зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай зүйлээ) авч үзье. Даалгавар нь байх болно Дараагийн алхмууд:

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай болно. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх объектод координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбарууд нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу долоовор хуруузүүн гарширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул чигчий хуруу баруун гар ширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, юу гэсэн үг вэ гэхээр шугаманбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , хаана ямар нэг тоо тэгээс ялгаатай байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг ангид харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруу компьютерийн ширээний тавцан дээр суурь тавих уу? Мэдээж үгүй. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, онгоц нь урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь математикийн тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад хүч, логарифм, синус гэх мэт зүйл байхгүй гэдгийг илэрхийлдэг. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас өөр өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман ҮгүйХэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь бүрддэг. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудаар "тазайлгасан" болсонд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замүндэслэлээр өргөтгөсөн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дуудаж байна вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Бас тэгж хэлдэг векторбайдлаар танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралүндсэн дээрэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, вектор нь хавтгайн ортонормаль суурийн дагуу задардаг эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурийн тодорхойлолталбан ёсоор: Онгоцны үндэсхос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд гэж нэрлэдэг. , үүнд ямар чХавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын чухал цэг бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. Суурь - Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр та зүүн гарын жижиг хурууг баруун гарын хурууны оронд сольж болохгүй.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тогтоож, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хүрэлцэхгүй байна вэ? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн онгоцоор тэнүүчилдэг. Зэрлэг амралтын өдрүүдээс үлдсэн ширээн дээрх жижиг бохир цэгүүдийн координатыг хэрхэн хуваарилах вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм тэмдэглэгээ бол хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгоцгооё.

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

Тэд ярих үед тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тэгш өнцөгт координатын системийг ортонормаль суурийн үүднээс бүрэн тодорхойлж болох юм шиг санагддаг. Мөн энэ нь бараг үнэн юм. Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт хавтгай координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр өгсөн зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль суурь ашиглахыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг, онгоцонд ямар ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл, "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно."

Координатын векторууд нэгж байх шаардлагатай юу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Векторуудтай координатын гарал үүслийг координатын тороор тодорхойлдог бөгөөд хавтгай дээрх аль ч цэг, аль ч вектор нь өгөгдсөн үндсэн дээр координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм В ерөнхий тохиолдол нэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, х тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 4 см, ордны тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 2 см-ийг агуулдаг.Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "манай ердийн сантиметр" болгон хувиргахад хангалттай.

Хоёрдахь асуулт нь аль хэдийн хариулагдсан бөгөөд суурь векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, Мөн шугаман бусвекторууд, , тогтоосон аффин хавтгай координатын систем :

Заримдаа ийм координатын системийг дууддаг ташуусистем. Жишээлбэл, зураг нь цэг ба векторуудыг харуулж байна:

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь бүр ч тохиромжгүй тул хичээлийн хоёр дахь хэсэгт бидний авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёонууд ажиллахгүй байна. Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмүүд, сегментийг энэ харьцаагаар хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой онцгой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тийм ч учраас чи түүнтэй байнга уулзах хэрэгтэй болдог, хонгор минь. ...Гэхдээ энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу өнцөг (эсвэл өөр нэг, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Мөн гуманоид ийм системд дуртай байж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материал нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй байдаг.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд collinear байсан тул тэдгээрийн харгалзах координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юмҮндсэндээ энэ нь тодорхой харилцааг координатаар нарийн тусгах явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэдье тэнцүү байдлыг хангасан пропорциональ коэффициент:

Би та нарт "хөөрхөн" төрлийн хэрэглээний талаар хэлэх болно энэ дүрмийн, энэ нь практикт нэлээд сайн ажилладаг. Гол санаа нь тэр даруй пропорцийг бүрдүүлж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатуудын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Богино болгоё:
, тиймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна, тиймээс,

Харилцааг эсрэгээр нь хийж болно; энэ нь ижил сонголт юм:

Өөрийгөө шалгахын тулд та коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. IN энэ тохиолдолдтэгш байдал бий . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудын коллинеар байдлыг шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс энэ нь гарч ирнэ гэсэн үг систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатуудаас пропорцийг гаргая :
, энэ нь эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Ихэнхдээ энэ сонголтыг хянагчид үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координатууд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүн шиг: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд пропорцоор хэрхэн ажиллах вэ? (үнэхээр та тэгээр хувааж болохгүй). Тийм ч учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппи" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Бага зэрэг бүтээлч жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Параметрийн ямар утгад векторууд байна тэд хоорондоо уялдаатай байх уу?

Дээжний уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Векторуудын уялдаа холбоог шалгах нэгэн гоёмсог алгебрийн арга бий.Мэдлэгээ системчлээд тав дахь цэг болгон нэмье.

Хоёр хавтгай векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:

2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь болдоггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Би үүнд үнэхээр их найдаж байна Энэ мөчТа тааралдсан бүх нэр томъёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Ашиглахад зориулагдсан энэ шинж чанараасМэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

Ингээд шийдьеХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг бодъё :
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар байна гэсэн үг.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын уялдаа холбоог тогтоохоос гадна сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг санацгаая.
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель дөрвөн өнцөгтийг гэнэ.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талын параллелизм ба.

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь маш тодорхой боловч шийдвэрийг тодорхой, зохицуулалттай албан ёсны болгох нь дээр. Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар гэсэн үг бөгөөд .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос хосоороо параллелограмм гэсэн үг юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Бүрэн шийдэлхичээлийн төгсгөлд.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

A);
б)
V)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгая:

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар албан ёсны болно. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш, энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчоор орон зайн векторуудыг коллинеараар шалгах арга байдаг. энэ арганийтлэлд тусгагдсан болно Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслийг орон зайн сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний судалж үзсэн олон хэв маяг сансар огторгуйд хүчинтэй байх болно. Учир нь би онолын тэмдэглэлийг багасгахыг хичээсэн арслангийн хувьмэдээлэл аль хэдийн зажилсан байна. Гэхдээ шинэ нэр томьёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо бид компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг судалж байна. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Одоо хэн нэгэн дотор, хэн нэгэн гадаа байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс зугтаж чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай болно. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Дахин бид хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу эрхий хуруу, индекс ба дунд хуруу . Эдгээр нь векторууд байх болно, тэдгээр нь өөр өөр чиглэлд харагддаг, өөр өөр урттай, өөр өөр өнцөгтэй байдаг. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Энэ дашрамд хуруугаа хэчнээн мушгисан ч багш нарт үзүүлэх шаардлагагүй, гэхдээ тодорхойлолтоос мултрахгүй =)

Дараа нь асууя чухал асуудал, дурын гурван вектор суурь болдог уу гурван хэмжээст орон зай ? Компьютерийн ширээний дээд хэсэгт гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжээсүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь тодорхой юм.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (үүнийг зүгээр л хуруугаараа бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л үүнийг хийсэн =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд хоорондоо уялдаатай биш гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлье. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн хос хавтгай биш, мөн коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсШугаман бие даасан (компланар бус) векторуудын гурвалсан гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, мөн огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн үндсэн дээр задардаг бөгөөд энэ суурь дээрх векторын координатууд хаана байна

Векторыг хэлбэрээр илэрхийлсэн гэж хэлж болно гэдгийг сануулъя шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг хавтгайн тохиолдолтой яг ижил байдлаар танилцуулсан бөгөөд нэг цэг болон шугаман бие даасан гурван вектор хангалттай.

гарал үүсэл, Мөн тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг, координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил миний дурдсан зарим томьёо нь орон зайн координатын аффин системд ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

Орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем . Танил зураг:

Практик даалгавар руу шилжихээсээ өмнө мэдээллийг дахин системчилье.

Гурван сансрын векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал/бие даасан байдлыг тодорхойлогч ашиглан шалгадаг (5-р цэг). Үлдсэн практик даалгавартод алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваагаа өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиурыг ашиглах цаг болжээ.

Орон зайн гурван векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Би таны анхаарлыг жижиг зүйлд хандуулж байна техникийн нюанс: векторуудын координатыг зөвхөн баганаар төдийгүй мөрөнд бичиж болно (тодорхойлогчийн утга үүнээс өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчийн шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан эсвэл тэдгээрийн талаар огт ойлгодоггүй уншигчдад зориулж би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна: Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд харуулав):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мөн бүтээлч ажлууд байдаг:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ та тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид онгоц дээрх цаасан шувуу шиг тэг дээр унадаг - хоёр дахь мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлсээс салах нь дээр.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн болгож багасгадаг шугаман тэгшитгэл:

Хариулт: цагт

Энд шалгахад хялбар, үүнийг хийхийн тулд та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулж, дараах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. , дахин нээх.

Эцэст нь хэлэхэд дахиад нэгийг харцгаая ердийн даалгавар, энэ нь илүү алгебрийн шинж чанартай бөгөөд уламжлал ёсоор шугаман алгебрийн хичээлд ордог. Энэ нь маш түгээмэл тул өөрийн гэсэн сэдэвтэй байх ёстой:

Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь 3 вектор байдгийг батал
Үүний үндсэн дээр 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Гурван хэмжээст орон зайд векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Энэ үндэслэл нь юу вэ гэдэг нь бидний сонирхлыг татахгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний шат нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн давхцаж байгаа тул векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

! Чухал : вектор координат Заавалбичих багана болгонтодорхойлогч, утсанд биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.

Манайхаас танилцуулсан векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд-д зориулж янз бүрийн илэрхийлэл үүсгэх боломжтой болгоно вектор хэмжигдэхүүнүүдмөн эдгээр үйлдлүүдэд тохируулсан шинж чанаруудыг ашиглан тэдгээрийг хувиргана.

Өгөгдсөн a 1, ..., a n векторуудын багц дээр үндэслэн та хэлбэрийн илэрхийлэл үүсгэж болно

a 1, ..., n нь дурын бодит тоо юм. Энэ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг векторуудын шугаман хослол a 1, ..., a n. α i, i = 1, n, тоонуудыг төлөөлдөг шугаман хослолын коэффициентууд. Векторуудын багцыг мөн нэрлэдэг векторуудын систем.

Векторуудын шугаман хослолын тухай ойлголттой холбогдуулан өгөгдсөн a 1, ..., a n векторуудын системийн шугаман хослолоор бичиж болох векторуудын багцыг тайлбарлах асуудал гарч ирж байна. Үүнээс гадна шугаман хослол хэлбэрээр векторын дүрслэл байгаа нөхцөл байдал, ийм дүрслэлийн өвөрмөц байдлын талаархи байгалийн асуултууд байдаг.

Тодорхойлолт 2.1. a 1, ..., n векторуудыг дуудна шугаман хамааралтай, хэрэв α 1 , ... , α n гэсэн коэффициентүүдийн багц байвал

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ба эдгээр коэффициентуудын ядаж нэг нь тэг биш байна. Хэрэв заасан коэффициентүүдийн багц байхгүй бол векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Хэрэв α 1 = ... = α n = 0 бол α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 байх нь ойлгомжтой. Үүнийг бодолцон бид үүнийг хэлж болно: a 1, ..., ба векторууд. Хэрэв тэгшитгэлээс (2.2) бүх α 1 , ... , α n коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна гэж үзвэл n нь шугаман бие даасан байна.

Дараах теорем нь шинэ ойлголтыг яагаад "хамаарал" (эсвэл "бие даасан байдал") гэж нэрлэхийг тайлбарлаж, шугаман хамаарлын энгийн шалгуурыг өгдөг.

Теорем 2.1. a 1, ..., n, n > 1 векторууд шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээрийн аль нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

◄ Шаардлагатай. a 1, ..., n векторууд шугаман хамааралтай гэж үзье. Шугаман хамаарлын 2.1-ийн тодорхойлолтын дагуу тэгш байдлын (2.2) зүүн талд дор хаяж нэг тэгээс бусад коэффициент, жишээ нь α 1 байна. Тэгш байдлын зүүн талд эхний нэр томъёог орхиж, үлдсэн хэсгийг нь шилжүүлнэ баруун тал, ердийнх шигээ шинж тэмдгүүдээ өөрчилдөг. Үүссэн тэгш байдлыг α 1-д хуваавал бид олж авна

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тэдгээр. a 1 векторыг үлдсэн a 2, ..., a n векторуудын шугаман хослолоор дүрслэх.

Хангалттай байдал. Жишээлбэл, эхний вектор a 1-ийг үлдсэн векторуудын шугаман хослолоор дүрсэлж болно: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Бүх нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш шилжүүлснээр бид 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n коэффициент бүхий a 1, ..., a n векторуудын шугаман хослол, тэнцүү тэг вектор.Энэ шугаман хослолд бүх коэффициентүүд тэг биш байна. Тодорхойлолт 2.1-ийн дагуу a 1, ..., n векторууд шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамаарлын тодорхойлолт ба шалгуурыг хоёр ба түүнээс дээш вектор байгааг илтгэх үүднээс томъёолсон болно. Гэсэн хэдий ч бид нэг векторын шугаман хамаарлын тухай ярьж болно. Энэ боломжийг ойлгохын тулд "векторууд шугаман хамааралтай" гэхийн оронд "векторуудын систем шугаман хамааралтай" гэж хэлэх хэрэгтэй. "Нэг векторын систем нь шугаман хамааралтай" гэсэн илэрхийлэл нь энэ ганц вектор тэг (шугаман хослолд зөвхөн нэг коэффициент байдаг бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй) гэсэн үг болохыг харахад хялбар байдаг.

Шугаман хамаарлын тухай ойлголт нь геометрийн энгийн тайлбартай байдаг. Дараах гурван мэдэгдэл энэ тайлбарыг тодруулж байна.

Теорем 2.2.Хоёр вектор нь шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв тэд collinear.

◄ Хэрэв a ба b векторууд нь шугаман хамааралтай бол тэдгээрийн аль нэг нь, жишээ нь a, нөгөөгөөр нь илэрхийлэгдэнэ, өөрөөр хэлбэл. Зарим бодит тоо λ-ийн хувьд a = λb. Тодорхойлолтын дагуу 1.7 ажилладагнэг тоонд ногдох векторууд, a ба b векторууд нь коллинеар байна.

Одоо a, b векторуудыг коллинеар болгоё. Хэрэв тэдгээр нь хоёулаа тэг байвал тэдгээрийн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү тул шугаман хамааралтай болох нь тодорхой байна. Эдгээр векторуудын аль нэг нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй, жишээлбэл b вектор. Векторын уртын харьцааг λ гэж тэмдэглэе: λ = |a|/|b|. Коллинеар векторууд байж болно нэг чиглэлтэйэсвэл эсрэг чиглэсэн. Сүүлчийн тохиолдолд бид λ тэмдгийг өөрчилдөг. Дараа нь тодорхойлолт 1.7-г шалгаснаар a = λb гэдэгт итгэлтэй байна. Теорем 2.1-д зааснаар a ба b векторууд шугаман хамааралтай байна.

Тайлбар 2.1.Шугаман хамаарлын шалгуурыг харгалзан хоёр векторын хувьд батлагдсан теоремыг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: хоёр вектор нь зөвхөн нэг нь нөгөөгийнхөө үржвэрээр тоогоор илэрхийлэгдсэн тохиолдолд л хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай байна. Энэ нь хоёр векторын уялдаа холбоотой байх тохиромжтой шалгуур юм.

Теорем 2.3.Гурван вектор нь шугаман хамааралтай, хэрэв тэд л байвал хавтгай.

◄ Хэрэв a, b, c гурван вектор шугаман хамааралтай бол 2.1 теоремийн дагуу тэдгээрийн аль нэг нь, жишээ нь a нь бусдын шугаман хослол болно: a = βb + γс. b ба c векторуудын эхийг А цэгт нэгтгэе. Тэгвэл βb, γс векторууд А цэг ба дагуух нийтлэг эхтэй болно. Параллелограммын дүрмийн дагуу тэдгээрийн нийлбэр нь байнатэдгээр. a вектор нь A ба эхтэй вектор байх болно төгсөв, энэ нь бүрэлдэхүүн векторууд дээр баригдсан параллелограммын орой юм. Тиймээс бүх векторууд нэг хавтгайд оршдог, өөрөөр хэлбэл, coplanar.

a, b, c векторуудыг хавтгайрсан байя. Хэрэв эдгээр векторуудын аль нэг нь тэг байвал бусад векторуудын шугаман хослол байх нь ойлгомжтой. Шугаман хослолын бүх коэффициентийг тэгтэй тэнцүү байхад хангалттай. Тиймээс бид бүх гурван векторыг тэг биш гэж үзэж болно. Тохиромжтой эхэлсэнЭдгээр векторуудын нийтлэг О цэгт. Тэдний төгсгөлүүд нь тус тус A, B, C цэгүүд байг (Зураг 2.1). С цэгээр дамжуулан бид хос O, A, O, B цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуунуудтай параллель шугамуудыг татдаг. Уулзваруудын цэгүүдийг A" ба B" гэж тэмдэглэснээр бид OA"CB" параллелограммыг олж авдаг, тиймээс OC" = OA" + OB". Вектор OA" ба тэгээс бусад вектор a = OA нь коллинеар тул хоёр дахь нь α:OA" = αOA бодит тоогоор үржүүлснээр тэдгээрийн эхнийхийг гаргаж болно. Үүнтэй адилаар OB" = βOB, β ∈ R. Үүний үр дүнд бид OC" = α OA + βOB, өөрөөр хэлбэл c вектор нь a ба b векторуудын шугаман хослол юм. 2.1 теоремын дагуу a, b, c векторууд шугаман хамааралтай байна.

Теорем 2.4.Аливаа дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна.

◄ Бид нотлох баримтыг теорем 2.3-тай ижил схемийн дагуу гүйцэтгэнэ. a, b, c, d дурын дөрвөн векторыг авч үзье. Дөрвөн векторын аль нэг нь тэг, эсвэл тэдгээрийн дотор хоёр коллинеар вектор байгаа эсвэл дөрвөн векторын гурав нь копланар байвал эдгээр дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна. Жишээлбэл, хэрэв a ба b векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн шугаман хослолыг αa + βb = 0 гэж тэгээс өөр коэффициенттэй болгож, дараа нь энэ хослолд үлдсэн хоёр векторыг нэмж тэгийг коэффициент болгон авч болно. Бид 0-тэй тэнцүү дөрвөн векторын шугаман хослолыг олж авдаг бөгөөд үүнд тэгээс ялгаатай коэффициентүүд байдаг.

Тиймээс бид сонгосон дөрвөн векторын дунд нэг ч вектор тэг, хоёр нь коллинеар биш, гурав нь coplanar биш гэж үзэж болно. Тэдний нийтлэг эхлэлээр О цэгийг сонгоё.Тэгвэл a,b,c,d векторуудын төгсгөлүүд нь A,B,C,D зарим цэгүүд болно (Зураг 2.2). D цэгээр дамжуулан бид OBC, OCA, OAB хавтгайтай параллель гурван хавтгайг зурж, эдгээр хавтгайн OA, OB, OS шулуун шугамуудтай огтлолцох цэгүүдийг A, B, C" гэж үзье. Бид олж авна. параллелепипед OA" C "B" C" B"DA" ба a, b, c векторууд нь О оройноос гарч буй түүний ирмэг дээр байрладаг. OC"DC" дөрвөлжин параллелограмм тул OD = OC" + OC". Хариуд нь OC" сегмент нь диагональ параллелограмм OA"C"B" тул OC" = OA" + OB" ба OD = OA" + OB" + OC" .

OA ≠ 0 ба OA" , OB ≠ 0 ба OB" , OC ≠ 0 ба OC" хос векторууд хоорондоо уялдаатай байдаг тул α, β, γ коэффициентүүдийг сонгох боломжтой гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. OA" = αOA , OB" = βOB ба OC" = γOC. Бид эцэст нь OD = αOA + βOB + γOC авна. Иймээс OD вектор нь бусад гурван вектороор илэрхийлэгдэх ба теорем 2.1-ийн дагуу бүх дөрвөн вектор нь шугаман хамааралтай байна.

Вектор систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, наад зах нь нэг нь тэгээс ялгаатай тоо байгаа бол тэгш байдал https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=" ">.

Хэрэв энэ тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л хангагдвал векторын системийг дуудна шугаман бие даасан.

Теорем.Вектор систем болно шугаман хамааралтайХэрэв түүний векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байвал.

Жишээ 1.Олон гишүүнт олон гишүүнтийн шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Олон гишүүнтүүд нь шугаман бие даасан системийг бүрдүүлдэг. олон гишүүнт https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Жишээ 2.Матрицын систем, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> нь шугаман хамааралгүй, учир нь шугаман хослол нь дараахтай тэнцүү байна. Тэг матриц зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text тохиолдолд л байна. /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> шугаман хамааралтай.

Шийдэл.

Эдгээр векторуудын шугаман хослолыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" өндөр = "22">.

Тэнцүү векторуудын ижил координатыг тэгшитгэснээр бид https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">г авна.

Эцэст нь бид авдаг

Тэгээд

Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул эдгээр векторуудын шугаман хослол нь бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна. Иймээс энэ векторын систем шугаман бие даасан байна.

Жишээ 4.Векторууд нь шугаман бие даасан байна. Вектор системүүд ямар байх вэ?

a).;

б).?

Шийдэл.

a).Шугаман хослол хийж, тэгтэй тэнцүүлье

Шугаман орон зай дахь векторуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичдэг

Векторууд нь шугаман хамааралгүй тул at коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл..gif" width="12" height="23 src=">

Үүссэн тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг .

Тэгш байхаас хойш (*) зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - шугаман хамааралгүй үед л гүйцэтгэгддэг;

б).Тэгш тэгш байдлыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар бид олж авна

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид олж авна

эсвэл

Сүүлчийн систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Иймээс бус байдаг. тэгш байдлыг хангасан коэффициентүүдийн тэг багц (**) . Тиймээс векторуудын систем - шугаман хамааралтай.

Жишээ 5Векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй, векторуудын систем нь шугаман хамааралтай..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Тэгш байдлаар (***) . Үнэн хэрэгтээ, үед систем нь шугаман хамааралтай байх болно.

Харилцаанаас (***) бид авдаг эсвэл гэж тэмдэглэе .

Бид авдаг

Бие даан шийдвэрлэх асуудлууд (анги танхимд)

1. Тэг вектор агуулсан систем нь шугаман хамааралтай.

2. Нэг вектороос бүрдэх систем А, шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв, a=0.

3. Хоёр вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн векторууд пропорциональ байвал (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөс нь тоогоор үржүүлээд гаргавал) шугаман хамааралтай болно.

4. Хэрэв та шугаман хамааралтай системд вектор нэмбэл шугаман хамааралтай систем гарч ирнэ.

5. Хэрэв шугаман бие даасан системээс векторыг хасвал үүссэн векторуудын систем нь шугаман бие даасан байна.

6. Хэрэв систем Сшугаман хамааралгүй боловч вектор нэмэхэд шугаман хамааралтай болдог б, дараа нь вектор бсистемийн вектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ С.

в).Хоёрдугаар эрэмбийн матрицуудын орон зайд , , матрицын систем.

10. Векторуудын системийг үзье а,б,ввектор орон зай нь шугаман бие даасан байна. Шугаман бие даасан байдлыг батлах дараах системүүдвекторууд:

a).a+б, б, в.

б).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" өргөн "15" өндөр "19">–дурын тоо

в).a+b, a+c, b+c.

11. Болъё а,б,в– гурвалжин үүсгэж болох хавтгай дээрх гурван вектор. Эдгээр векторууд шугаман хамааралтай байх уу?

12. Хоёр вектор өгөгдсөн a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Дөрвөн хэмжээст хоёр векторыг ол a3 баa4Ингэснээр систем a1,a2,a3,a4шугаман бие даасан байсан .