Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл
П.Романов, Т.Романова,
Магнитогорск,
Челябинск муж
Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл
Нийтлэлийг ITAKA+ зочид буудлын цогцолборын дэмжлэгтэйгээр нийтлэв. Северодвинск усан онгоц үйлдвэрлэгч хотод байх үед та түр зуурын орон сууц олох асуудалтай тулгарахгүй. , "ITHAKA+" зочид буудлын цогцолборын http://itakaplus.ru вэбсайтаас та өдөр бүр төлбөрөө төлж, хотод ямар ч хугацаанд хялбар бөгөөд хурдан байр түрээслэх боломжтой.
Асаалттай орчин үеийн үе шатболовсролын хөгжил, түүний гол зорилтуудын нэг бол бүтээлч сэтгэлгээтэй хувь хүнийг төлөвшүүлэх явдал юм. Оюутнуудын бүтээлч чадварыг зөвхөн судалгааны үндсэн ажилд системтэй оролцуулж байж хөгжүүлэх боломжтой. Оюутнуудад бүтээлч чадвар, чадвар, авьяас чадвараа ашиглах үндэс суурь нь бүрэн мэдлэг, ур чадвар юм. Үүнтэй холбогдуулан сургуулийн математикийн хичээлийн сэдэв бүрийн суурь мэдлэг, ур чадварын тогтолцоог бүрдүүлэх асуудал багагүй чухал юм. Үүний зэрэгцээ, бүрэн ур чадвар нь дидактик зорилго байх ёсгүй бие даасан даалгавар, гэхдээ тэдний сайтар бодож боловсруулсан систем. Өргөн утгаараа системийг бүрэн бүтэн, тогтвортой бүтэцтэй, харилцан уялдаатай харилцан үйлчлэлийн элементүүдийн цогц гэж ойлгодог.
Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг оюутнуудад заах аргачлалыг авч үзье. Үндсэндээ шүргэгч тэгшитгэлийг олох бүх асуудал нь тодорхой шаардлагыг хангасан шугамуудын багцаас (багц, гэр бүл) сонгох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байдаг - тэдгээр нь тодорхой функцийн графикт шүргэгч байдаг. Энэ тохиолдолд сонголт хийх мөрүүдийн багцыг хоёр аргаар тодорхойлж болно.
a) xOy хавтгай дээр байрлах цэг (шугамны төв харандаа);
б) өнцгийн коэффициент (шулуун шугамын зэрэгцээ цацраг).
Үүнтэй холбогдуулан системийн элементүүдийг тусгаарлахын тулд "Функцийн графикт шүргэгч" сэдвийг судлахдаа бид хоёр төрлийн асуудлыг тодорхойлсон.
1) өнгөрч буй цэгээр өгөгдсөн шүргэгчтэй холбоотой асуудлууд;
2) түүний налуугаар өгөгдсөн шүргэгч дээрх бодлого.
Шүргэх асуудлыг шийдвэрлэх сургалтыг A.G-ийн санал болгосон алгоритмыг ашиглан явуулав. Мордкович. Үүний аль хэдийн мэдэгдэж байсан үндсэн ялгаа нь шүргэгч цэгийн абсциссыг a үсгээр (x0-ийн оронд) тэмдэглэдэг тул шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)-тай харьцуулна уу). аргачлалын техник, бидний бодлоор энэ нь оюутнуудад ерөнхий шүргэгч тэгшитгэлийн хаана одоогийн цэгийн координат бичигдсэн, шүргэгч цэгүүд хаана байгааг хурдан бөгөөд хялбар ойлгох боломжийг олгодог.
y = f(x) функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритм
1. Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.
2. f(a)-г ол.
3. f "(x) ба f "(a) -г ол.
4. Олдсон a, f(a), f "(a) тоонуудыг орлуул ерөнхий тэгшитгэлшүргэгч y = f(a) = f "(a)(x – a).
Энэхүү алгоритмыг оюутнууд үйлдлүүдийг бие даан тодорхойлох, хэрэгжүүлэх дарааллыг үндэслэн эмхэтгэж болно.
Алгоритм ашиглан гол асуудал бүрийн дараалсан шийдэл нь функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг үе шаттайгаар бичих чадварыг хөгжүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд алгоритмын алхамууд нь үйлдлүүдийн лавлах цэг болдог болохыг практик харуулж байна. . Энэ хандлага нь П.Я-ын боловсруулсан сэтгэцийн үйлдлийг аажмаар бий болгох онолд нийцдэг. Галперин ба Н.Ф. Талызина.
Эхний төрлийн ажлуудад хоёр үндсэн ажлыг тодорхойлсон.
- шүргэгч нь муруй дээр хэвтэж буй цэгээр дамждаг (1-р асуудал);
- шүргэгч нь муруй дээр хэвтээгүй цэгээр дамжин өнгөрдөг (2-р асуудал).
Даалгавар 1. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич 
М(3; – 2) цэг дээр.
Шийдэл. M(3; – 2) цэг нь шүргэгч цэг юм
1. a = 3 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – шүргэгч тэгшитгэл.
Бодлого 2. М(– 3; 6) цэгийг дайран өнгөрөх y = – x 2 – 4x + 2 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. M(– 3; 6) цэг нь шүргэгч цэг биш, учир нь f(– 3) 6 (Зураг 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – шүргэгч тэгшитгэл.
Шүргэх нь M(– 3; 6) цэгээр дамждаг тул координатууд нь шүргэгч тэгшитгэлийг хангана.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Хэрэв a = – 4 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 4x + 18 болно.
Хэрэв a = – 2 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 6 хэлбэртэй байна.
Хоёрдахь төрлийн хувьд гол ажлууд нь дараах байдалтай байна.
- шүргэгч нь зарим шулуунтай параллель байна (3-р асуудал);
- шүргэгч нь өгөгдсөн шугам руу тодорхой өнцгөөр дамждаг (бодол 4).
Бодлого 3. y = 9x + 1 шулуунтай параллель y = x 3 – 3x 2 + 3 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл.
1. a – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.
Гэхдээ нөгөө талаас f "(a) = 9 (параллелизм нөхцөл). Энэ нь 3a 2 – 6a = 9 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүний үндэс нь a = – 1, a = 3 (Зураг 3) ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – шүргэгч тэгшитгэл;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – шүргэгч тэгшитгэл.
Бодлого 4. y = 0 шулууныг 45° өнцгөөр дамжуулж y = 0.5x 2 – 3x + 1 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 4).
Шийдэл. f "(a) = tan 45° нөхцөлөөс бид a: a – 3 = 1-ийг олно^a = 4.
1. a = 4 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – шүргэгч тэгшитгэл.
Бусад аливаа асуудлыг шийдэх нь нэг буюу хэд хэдэн гол асуудлыг шийдэхэд хүргэдэг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Дараах хоёр асуудлыг жишээ болгон авч үзье.
1. Парабол y = 2x 2 – 5x – 2 шүргэгч тэгш өнцөгт огтлолцох ба тэдгээрийн аль нэг нь абсцисса 3-тай цэгт параболд хүрч байвал y = 2x 2 – 5x – 2 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 5).
Шийдэл. Шүргэх цэгийн абсцисс өгөгдсөн тул шийдлийн эхний хэсгийг 1-р гол асуудал болгон бууруулна.
1. a = 3 – зөв өнцгийн аль нэг талын шүргэлтийн цэгийн абсцисса.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – эхний шүргэгчийн тэгшитгэл.
А – эхний шүргэгчийн налуу өнцөг. Шүргэгч нь перпендикуляр тул хоёр дахь шүргэгчийн налуу өнцөг болно. Эхний шүргэгчийн y = 7x – 20 тэгшитгэлээс бид tg байна a = 7. Олъё
Энэ нь хоёр дахь шүргэгчийн налуу нь тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Цаашдын шийдэл нь 3-р гол ажил дээр ирдэг.
B(c; f(c))-ийг хоёр дахь шугамын шүргэлтийн цэг гэж үзье
1. – шүргэлтийн хоёр дахь цэгийн абсцисса.
2.
3.
4.– хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл.
Анхаарна уу. Оюутнууд перпендикуляр шулуунуудын коэффициентүүдийн харьцааг мэддэг бол шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг илүү хялбар олох боломжтой k 1 k 2 = – 1.
2. Функцийн графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич
Шийдэл. Даалгавар нь нийтлэг шүргэгчийн шүргэгч цэгүүдийн абсциссыг олох, өөрөөр хэлбэл 1-р гол асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж, тэгшитгэлийн системийг зохиож, дараа нь түүнийг шийдвэрлэх явдал юм (Зураг 6).
1. y = x 2 + x + 1 функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг a гэж үзье.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг c гэж үзье
2.
3. f "(в) = в.
4.
Шүргэгч нь ерөнхий байдаг тул
Тэгэхээр y = x + 1 ба y = – 3x – 3 нь нийтлэг шүргэгч болно.
Судалгааны тодорхой ур чадвар шаарддаг (шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, таамаглал дэвшүүлэх чадвар гэх мэт) илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд оюутнуудыг үндсэн асуудлын төрлийг бие даан танихад бэлтгэхэд анхаарч үзэх даалгавруудын гол зорилго юм. Ийм даалгаварт гол үүрэг нь бүрэлдэхүүн хэсэг болгон орсон аливаа ажлыг багтаадаг. Түүний шүргэгчийн бүлгээс функцийг олох асуудлыг (1-р бодлоготой урвуу) жишээ болгон авч үзье.
3. y = x 2 + bx + c функцийн графикт y = x ба y = – 2x шүргэгч b ба c шулуунууд юуны хувьд вэ?
Шийдэл.
y = x 2 + bx + c параболын y = x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса t гэж үзье; p нь y = x 2 + bx + c параболын y = – 2x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса юм. Тэгвэл y = x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2t + b)x + c – t 2 хэлбэртэй, y = – 2x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2p + b)x + c – p 2 хэлбэртэй болно. .
Тэгшитгэлийн системийг зохиож шийдье
Хариулт: 
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
1. Графикийн у = x + 3 шулуунтай огтлолцох цэгүүдэд у = 2х 2 – 4х + 3 функцийн графикт зурсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Хариулт: у = – 4х + 3, у = 6х – 9.5.
2. Х 0 = 1 абсциссатай графикийн цэг дээрх y = x 2 – ax функцийн графикт татсан шүргэгч M(2; 3) цэгээр ямар а утгуудаар дамжих вэ?
Хариулт: a = 0.5.
3. y = px – 5 шулуун шугам нь p-ийн ямар утгуудын хувьд y = 3x 2 – 4x – 2 муруйд хүрэх вэ?
Хариулт: p 1 = – 10, p 2 = 2.
4. y = 3x – x 3 функцийн графикийн бүх нийтлэг цэгүүд болон P(0; 16) цэгээр дамжуулан энэ графикт татсан шүргэгчийг ол.
Хариулт: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. y = x 2 + 6x + 10 парабол ба шулуун шугамын хоорондох хамгийн богино зайг ол.
Хариулт:
6. y = x 2 – x + 1 муруй дээр графикийн шүргэгч y – 3x + 1 = 0 шулуунтай параллель байх цэгийг ол.
Хариулт: M(2; 3).
7. y = x 2 + 2x – | функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. 4x |, энэ нь хоёр цэг дээр хүрдэг. Зураг зурах.
Хариулт: y = 2x – 4.
8. y = 2x – 1 шулуун нь y = x 4 + 3x 2 + 2x муруйг огтлохгүй гэдгийг батал. Тэдний хамгийн ойрын цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Хариулт:
9. y = x 2 парабол дээр х 1 = 1, x 2 = 3 абсциссатай хоёр цэгийг авсан. Эдгээр цэгүүдээр секант зурсан. Параболын аль цэгт шүргэгч нь секанттай параллель байх вэ? Секант ба шүргэгч тэгшитгэлийг бич.
Хариулт: y = 4x – 3 – секант тэгшитгэл; y = 4x – 4 – шүргэгч тэгшитгэл.
10. q өнцгийг ол 0 ба 1 абсцисс бүхий цэгүүдэд зурсан y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 функцийн графикийн шүргэгчийн хооронд.
Хариулт: q = 45°.
11. Функцийн графикт шүргэгч ямар цэгүүдэд Үхрийн тэнхлэгтэй 135° өнцөг үүсгэх вэ?
Хариулт: A(0; – 1), B(4; 3).
12. A(1; 8) цэг дээр муруй руу 
шүргэгч зурсан байна. Координатын тэнхлэгүүдийн хоорондох шүргэгч сегментийн уртыг ол.
Хариулт:
13. y = x 2 – x + 1, y = 2x 2 – x + 0.5 функцуудын графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Хариулт: y = – 3x ба y = x.
14. Функцийн графикт шүргэгч хоорондын зайг ол 
x тэнхлэгтэй параллель.
Хариулт:
15. y = x 2 + 2x – 8 парабол х тэнхлэгийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг тодорхойл.
Хариулт: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).
16. Функцийн график 
Энэ график тус бүрийн шүргэгч нь координатын эерэг хагас тэнхлэгүүдийг огтолж, тэдгээрээс тэнцүү хэсгүүдийг таслах бүх цэгүүдийг ол.
Хариулт: A(– 3; 11).
17. y = 2x + 7 шулуун ба y = x 2 – 1 парабол М ба N цэгүүдээр огтлолцоно. M ба N цэгт параболд шүргэгч шулуунуудын огтлолцох K цэгийг ол.
Хариулт: K(1; – 9).
18. b-ийн ямар утгуудын хувьд y = 9x + b шулуун нь y = x 3 – 3x + 15 функцийн графикт шүргэгч байх вэ?
Хариулт: – 1; 31.
19. y = kx – 10 шулуун шугам нь k-ийн ямар утгуудын хувьд y = 2x 2 + 3x – 2 функцийн графиктай зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байх вэ? Олдсон k утгуудын хувьд цэгийн координатыг тодорхойлно.
Хариулт: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).
20. Абсцисс x 0 = 2 цэгийн y = bx 3 – 2x 2 – 4 функцийн графикт зурсан шүргэгч b-ийн ямар утгуудад M(1; 8) цэгээр дамжих вэ?
Хариулт: b = – 3.
21. Үхрийн тэнхлэг дээр оройтой парабол А(1; 2) ба В(2; 4) цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шулуунд В цэгт хүрч байна. Параболын тэгшитгэлийг ол.
Хариулт: 
22. k коэффициентийн ямар утгад y = x 2 + kx + 1 парабол Үхрийн тэнхлэгт хүрэх вэ?
Хариулт: k = d 2.
23. y = x + 2 шулуун ба y = 2x 2 + 4x – 3 муруйн хоорондох өнцгийг ол.
29. 45° өнцгөөр Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй функцын графикт шүргэгч ба генераторуудын хоорондох зайг ол.
Хариулт:
30. y = 4x – 1 шулуунтай шүргэгч y = x 2 + ax + b хэлбэрийн бүх параболын оройн цэгүүдийн байрлалыг ол.
Хариулт: шулуун шугам y = 4x + 3.
Уран зохиол
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сургуулийн сурагчид болон их, дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан 3600 асуудал. - М., Бөстард, 1999.
2. Мордкович А. Залуу багш нарт зориулсан семинар дөрөв. Сэдэв: Дериватив хэрэглээ. – М., “Математик”, No21/94.
3. Сэтгэцийн үйлдлүүдийг аажмаар өөртөө шингээх онолд суурилсан мэдлэг, ур чадварыг бүрдүүлэх. / Ред. П.Я. Галперина, Н.Ф. Талызина. – М., Москвагийн Улсын Их Сургууль, 1968 он.
Энэхүү нийтлэлд тодорхойлолт, үүсмэл утгын геометрийн утгыг график тэмдэглэгээгээр нарийвчлан тайлбарласан болно. Шүргэгчийн шулууны тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзэж, 2-р эрэмбийн муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1
y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцгийг α өнцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд y = k x + b шулуун хүртэл хэмжигддэг.
Зураг дээр x чиглэлийг ногоон сум, ногоон нумаар, хазайлтын өнцгийг улаан нумаар зааж өгсөн болно. Цэнхэр шугам нь шулуун шугамыг хэлнэ.
Тодорхойлолт 2
y = k x + b шулуун шугамын налууг тоон коэффициент k гэнэ.
Өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын шүргэгчтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k = t g α байна.
- Тэгийн шүргэгч нь 0-тэй тэнцүү тул шулуун шугамын хазайлтын өнцөг нь зөвхөн x орчим параллель, налуу нь тэгтэй тэнцүү байвал 0-тэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэлийн хэлбэр нь y = b байх болно гэсэн үг юм.
- Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг хурц байвал 0 нөхцөл хангагдсан болно.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, мөн графикийн өсөлт ажиглагдаж байна.
- Хэрэв α = π 2 бол шулууны байрлал х-тэй перпендикуляр байна. Тэгш байдлыг x = c-ээр тодорхойлсон бөгөөд c утга нь бодит тоо юм.
- Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг мохоо байвал π 2 нөхцөлтэй тохирно.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секант гэдэг нь f (x) функцийн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн функцийн графикийн дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг секант гэнэ.
Зураг дээр A B нь секант, f (x) нь хар муруй, α нь улаан нум бөгөөд энэ нь секантын налуу өнцгийг харуулж байна.
Шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү байх үед тэгш өнцөгт гурвалжны A B C тангенсыг эсрэг талынх нь зэргэлдээх хэсгийн харьцаагаар олох нь тодорхой байна.
Тодорхойлолт 4
Бид маягтын секантыг олох томъёог авдаг.
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, энд А ба В цэгүүдийн абсцисса нь x A, x B ба f (x A), f (x) утгууд юм. B) эдгээр цэгүүдийн утгын функцууд.
Секантын өнцгийн коэффициентийг k = f (x B) - f (x A) x B - x A эсвэл k = f (x A) - f (x B) x A - x B тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. , мөн тэгшитгэлийг y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) гэж бичих ёстой.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Секант нь графикийг нүдээр 3 хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А-аас В хүртэл, В-ийн баруун талд. Доорх зургаас харахад давхцсан гэж тооцогддог гурван секант байгааг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг ашиглан тохируулсан байна. ижил төстэй тэгшитгэл.
Тодорхойлолтоор шулуун шугам ба түүний зүсэлт нь тодорхой байна энэ тохиолдолдтаарах.
Секант нь өгөгдсөн функцийн графикийг олон удаа огтолж болно. Хэрэв секантын хувьд y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол синусоидтой огтлолцох цэгүүдийн тоо хязгааргүй болно.
Тодорхойлолт 5
x 0 цэг дээрх f (x) функцийн графикт шүргэгч; f (x 0) нь өгөгдсөн х 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам; f (x 0), х 0-тэй ойролцоо олон x утгатай сегмент байгаа тохиолдолд.
Жишээ 1
Доорх жишээг нарийвчлан авч үзье. Тэгвэл y = x + 1 функцээр тодорхойлогдсон шулууныг координаттай (1; 2) цэг дээр y = 2 x шүргэгч гэж үзэх нь тодорхой байна. Тодорхой болгохын тулд (1; 2) ойролцоо утгатай графикуудыг авч үзэх шаардлагатай. y = 2 x функцийг хараар харуулсан бөгөөд цэнхэр шугам нь шүргэгч шугам, улаан цэг нь огтлолцох цэг юм.
y = 2 x нь y = x + 1 гэсэн шулуунтай нийлдэг нь ойлгомжтой.
Шүргэгчийг тодорхойлохын тулд B цэг нь А цэгт хязгааргүй ойртож байгаа тул бид A B шүргэгчийн зан төлөвийг авч үзэх хэрэгтэй.
Цэнхэр шугамаар заасан A B секант нь шүргэгчийн байрлал руу чиглэдэг бөгөөд α секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуу өнцөгт α x хандлагатай болж эхэлнэ.
Тодорхойлолт 6
А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч нь B нь А руу чиглэх үед A B секантын хязгаарлах байрлал гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл B → A.
Одоо цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгыг авч үзье.
f (x) функцийн хувьд A B секантыг авч үзье, энд x 0, f (x 0) ба x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x координаттай A ба B нь байна. аргументийн өсөлт гэж тэмдэглэсэн. Одоо функц нь ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) хэлбэртэй болно. Тодорхой болгохын тулд зургийн жишээг өгье.
Үр дүнг авч үзье зөв гурвалжин A B C. Шийдвэрлэхдээ шүргэгчийн тодорхойлолтыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл ∆ y ∆ x = t g α харьцааг олж авдаг. Шүргэгчийн тодорхойлолтоос харахад lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x байна. Цэг дэх деривативын дүрмийн дагуу бид x 0 цэг дэх f (x) деривативыг функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энд ∆ x → 0 байна. , тэгвэл бид f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x гэж тэмдэглэнэ.
Эндээс f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, энд k x-ийг шүргэгчийн налуу гэж тэмдэглэнэ.
Өөрөөр хэлбэл, бид f ’ (x) нь x 0 цэгт орших ба шүргэгчтэй адил байж болохыг олж мэднэ өгсөн хуваарь x 0, f 0 (x 0) -тэй тэнцүү шүргэгч цэг дээрх функц, цэг дээрх шүргэгчийн налуугийн утга нь x 0 цэгийн деривативтай тэнцүү байна. Дараа нь бид k x = f "(x 0) болно.
Геометрийн утгаТухайн цэг дээрх функцийн дериватив гэдэг нь тухайн цэгт графикт шүргэгч байх тухай ойлголтыг өгсөн болно.
Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнгөрч буй цэгтэй өнцгийн коэффициент байх шаардлагатай. Түүний тэмдэглэгээг огтлолцол дээр x 0 гэж авна.
x 0, f 0 (x 0) цэгийн y = f (x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэл нь y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) хэлбэрийг авна.
Энэ нь f "(x 0) деривативын эцсийн утга нь lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ ба lim x → x 0 - байвал босоо байдлаар шүргэгчийн байрлалыг тодорхойлж чадна гэсэн үг юм. 0 f "(x ) = ∞ эсвэл огт байхгүй lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Шүргэгчийн байрлал нь түүний өнцгийн коэффициентийн утгаас хамаарна k x = f "(x 0). o x тэнхлэгтэй параллель байх үед бид k k = 0, o y - k x = ∞ параллель байх үед, мөн хэлбэрийг олж авна. шүргэгч тэгшитгэл x = x 0 нь k x > 0 байх тусам өсөж, k x үед буурна< 0 .
Жишээ 2
(1; 3) координаттай цэгийн y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг зохиож, хазайлтын өнцгийг тодорхойлно уу.
Шийдэл
Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын хувьд тодорхойлогддог. (1; 3) нөхцөлөөр заасан координаттай цэг нь шүргэлтийн цэг, тэгвэл x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 болохыг бид олж мэдэв.
1 гэсэн утгатай цэгээс деривативыг олох шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Шүргэх цэг дэх f' (x) утга нь налуугийн шүргэгчтэй тэнцүү байх шүргэлтийн налуу юм.
Дараа нь k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Эндээс α x = a r c t g 3 3 = π 6 байна
Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлээр жишээ өгдөг.
Анхны функцийн графикт хар өнгийг ашигладаг. Цэнхэр өнгө– шүргэгчийн дүрс, улаан цэг – шүргэх цэг. Баруун талд байгаа зураг нь томруулсан зургийг харуулж байна.
Жишээ 3
Өгөгдсөн функцийн графикт шүргэгч байгааг тодорхойл
y = 3 · x - 1 5 + 1 координаттай цэг дээр (1 ; 1) . Тэгшитгэл бичиж, налуу өнцгийг тодорхойлно уу.
Шийдэл
Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг бүх бодит тоонуудын олонлог гэж үзнэ.
Деривативыг олох руугаа явцгаая
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Хэрэв x 0 = 1 бол f' (x) нь тодорхойгүй боловч хязгаарыг lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 гэж бичнэ. · 1 + 0 = + ∞ ба lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , энэ нь (1; 1) цэг дээрх орших босоо шүргэгч.
Хариулт:тэгшитгэл нь x = 1 хэлбэртэй байх ба налуугийн өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна.
Тодорхой болгохын тулд үүнийг графикаар дүрсэлье.
Жишээ 4
y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 функцийн график дээрх цэгүүдийг ол.
- Шүргэгч байхгүй;
- Тангенс нь x-тэй параллель байна;
- Шүргэх нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай параллель байна.
Шийдэл
Тодорхойлолтын хамрах хүрээг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогддог. Бид модулийг өргөжүүлж, системийг x ∈ - ∞ интервалаар шийддэг; 2 ба [- 2; + ∞) . Бид үүнийг ойлгодог
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай байна. Бидэнд тийм байна
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
x = − 2 үед нэг талт хязгаар нь тухайн цэгт тэнцүү биш тул дериватив байхгүй болно.
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Бид функцийн утгыг х = - 2 цэг дээр тооцоолж, үүнийг олж авдаг
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, өөрөөр хэлбэл цэг дээрх шүргэгч ( - 2; - 2) байхгүй болно.
- Налуу тэг байх үед шүргэгч нь x-тэй параллель байна. Дараа нь k x = t g α x = f "(x 0). Өөрөөр хэлбэл, функцийн дериватив нь үүнийг тэг болгох үед ийм x-ийн утгыг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, f ' (x) нь шүргэгч нь x -тэй параллель байх шүргэлтийн цэгүүд болно.
Хэзээ x ∈ - ∞ ; - 2, дараа нь - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) -ийн хувьд бид 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 болно.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Харгалзах функцийн утгыг тооцоол
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 у 2 = у (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 у 3 = у (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 у 4 = у (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Тиймээс - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 нь функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд гэж тооцогддог.
Шийдлийн график дүрслэлийг харцгаая.
Хар шугам нь функцийн график, улаан цэгүүд нь шүргэгч цэгүүд юм.
- Шулуун параллель байх үед өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна. Дараа нь функцын график дээр налуу нь 8 5 утгатай тэнцүү байх цэгүүдийг хайх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та y "(x) = 8 5 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь хэрэв x ∈ - ∞; - 2 бол бид - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 болно. 5, хэрэв x ∈ ( - 2 ; + ∞) бол 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 болно.
Дискриминант нь тэгээс бага тул эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Үүнийг бичье
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Өөр нэг тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Функцийн утгыг олох руу шилжье. Бид үүнийг ойлгодог
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 у 2 = у (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Утгатай оноо - 1; 4 15, 5; 8 3 нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай шүргэгч параллель байх цэгүүд юм.
Хариулт:хар шугам – функцийн график, улаан шугам – у = 8 5 x + 4-ийн график, цэнхэр шугам – цэг дээрх шүргэгч - 1; 4 15, 5; 8 3.
Өгөгдсөн функцүүдийн хувьд хязгааргүй тооны шүргэгч байж болно.
Жишээ 5
y = - 2 x + 1 2 шулуун шугамд перпендикуляр байрлах y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 функцийн боломжтой бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл
Шүргэх тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл дээр үндэслэн шүргэгч цэгийн коэффициент ба координатыг олох шаардлагатай. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: шулуун шугамд перпендикуляр байгаа өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь - 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k x · k ⊥ = - 1 гэж бичнэ. Нөхцөлөөс харахад өнцгийн коэффициент нь шулуунд перпендикуляр байрлаж, k ⊥ = - 2-тэй тэнцүү бол k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 байна.
Одоо та мэдрэгчтэй цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй. Өгөгдсөн функцийн хувьд та x, дараа нь түүний утгыг олох хэрэгтэй. Цэг дэх деривативын геометрийн утгаас гэдгийг анхаарна уу
x 0 нь k x = y "(x 0) гэдгийг олж авна. Энэ тэгшитгэлээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг олно.
Бид үүнийг ойлгодог
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 нүгэл 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 син 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ нүгэл 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Энэхүү тригонометрийн тэгшитгэлийг шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолоход ашиглана.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z нь бүхэл тоонуудын багц юм.
x холбоо барих цэг олдсон. Одоо та y-ийн утгыг хайж эхлэх хэрэгтэй:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 эсвэл y 0 = 3 - 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 эсвэл у 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 эсвэл y 0 = - 4 5 + 1 3
Эндээс бид 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk болохыг олж авна; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 нь шүргэлтийн цэгүүд юм.
Хариулт:шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Үзүүлэн дүрслэхийн тулд координатын шулуун дээрх функц ба шүргэгчийг авч үзье.
Зураг нь байршлыг харуулж байна функцүүд ирж байнаинтервал дээр [- 10; 10 ], хар шугам нь функцийн график, цэнхэр шугамууд нь y = - 2 x + 1 2 хэлбэрийн өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байрласан шүргэгч юм. Улаан цэгүүд нь мэдрэгчтэй цэгүүд юм.
2-р эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлүүд нь нэг утгатай функц биш юм. Тэдгээрийн шүргэгч тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй схемийн дагуу эмхэтгэсэн.
Тойрогтой шүргэгч
x c e n t e r цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлох; y c e n t e r ба R радиустай бол x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 томъёог ашиглана.
Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл хэлбэрээр бичиж болно.
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Эхний функц нь зурагт үзүүлсэн шиг дээд талд, хоёр дахь нь доод талд байрладаг.
x 0 цэг дээрх тойргийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх; y 0 , дээд буюу доод хагас тойрогт байрладаг бол y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r эсвэл y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + хэлбэрийн функцийн графикийн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. заасан цэг дээр y c e n t e r.
x c e n t e r цэгүүдэд байх үед; y c e n t e r + R ба x c e n t e r ; y c e n t e r - R шүргэгчийг y = y c e n t e r + R ба y = y c e n t e r - R тэгшитгэлээр, мөн x c e n t e r + R цэгүүдэд өгч болно; y c e n t e r and
x c e n t e r - R ; y c e n t e r нь o y -тэй параллель байх болно, тэгвэл бид x = x c e n t e r + R ба x = x c e n t e r - R хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг олж авна.
Эллипстэй шүргэгч
Эллипс нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r a ба b хагас тэнхлэгтэй бол x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болно.
Зууван ба тойрог хоёр функцийг, тухайлбал дээд ба доод хагас эллипсийг хослуулан тэмдэглэж болно. Дараа нь бид үүнийг авдаг
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Хэрэв шүргэгч нь эллипсийн оройн хэсэгт байрладаг бол тэдгээр нь ойролцоогоор х эсвэл ойролцоогоор y параллель байна. Тодорхой болгохын тулд доорх зургийг анхаарч үзээрэй.
Жишээ 6
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 эллипсийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг x = 2-той тэнцүү x утгууд дээр бич.
Шийдэл
x = 2 утгатай тохирох шүргэгч цэгүүдийг олох шаардлагатай. Бид одоо байгаа эллипсийн тэгшитгэлд орлуулж, үүнийг олно
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Дараа нь 2; 5 3 2 + 5 ба 2; - 5 3 2 + 5 нь дээд ба доод хагас эллипсийн шүргэгч цэгүүд юм.
У-д хамаарах эллипсийн тэгшитгэлийг олох, шийдвэрлэхэд шилжье. Бид үүнийг ойлгодог
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Мэдээжийн хэрэг, дээд хагас эллипсийг y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, доод хагас эллипс y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 хэлбэрийн функцийг ашиглан тодорхойлсон.
Цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох стандарт алгоритмыг хэрэглэцгээе. 2-р цэгийн эхний шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье; 5 3 2 + 5 нь иймэрхүү харагдах болно
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ у = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл нь цэг дээрх утгатай болохыг олж мэдэв
2 ; - 5 3 2 + 5 хэлбэрийг авна
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ у = у " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Графикийн хувьд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэв.
Гиперболын тангенс
Гипербол нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r ба оройнууд x c e n t e r + α ; y c e n t e r ба x c e n t e r - α ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгш бус байдал үүснэ, хэрэв оройнууд нь x c e n t e r байвал; y c e n t e r + b ба x c e n t e r ; y c e n t e r - b , дараа нь x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлогдоно.
Гиперболыг хэлбэрийн хоёр хосолсон функцээр илэрхийлж болно
y = b A · (x - x - e n t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e e t e t e t e t e t e e e t e e e e e = - e t e t e e = - x (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
Эхний тохиолдолд шүргэгч нь y-тэй параллель, хоёр дахь тохиолдолд x-тэй параллель байна.
Үүнээс үзэхэд гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдэх шаардлагатай. Үүнийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд орлуулж, таних эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Жишээ 7
7-р цэгт x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич; - 3 3 - 3.
Шийдэл
Гиперболыг олохын тулд 2 функц ашиглан шийдлийн бичлэгийг хувиргах шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ба y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Энэ нь аль функцэд хамаарахыг тодорхойлох шаардлагатай тогтоосон цэгкоординат 7; - 3 3 - 3.
Мэдээжийн хэрэг, эхний функцийг шалгахын тулд y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 шаардлагатай бол тухайн цэг нь графикт хамаарахгүй. тэгш байдал хангагдаагүй тул.
Хоёрдахь функцийн хувьд бид y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тухайн цэг нь өгөгдсөн графикт хамааралтай гэсэн үг юм. Эндээс та налууг олох хэрэгтэй.
Бид үүнийг ойлгодог
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Хариулт:шүргэгч тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Үүнийг дараах байдлаар тодорхой дүрсэлсэн болно.
Параболын шүргэгч
x 0, y (x 0) цэгт y = a x 2 + b x + c параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд та стандарт алгоритмыг ашиглах ёстой, тэгвэл тэгшитгэл нь y = y "(x) хэлбэртэй болно. 0) x - x 0 + y ( x 0) орой дээрх ийм шүргэгч нь x-тэй параллель байна.
Та x = a y 2 + b y + c параболыг хоёр функцийн нэгдэл гэж тодорхойлох ёстой. Тиймээс бид y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.
x 0, y (x 0) цэг нь функцэд хамаарах эсэхийг мэдэхийн тулд стандарт алгоритмын дагуу зөөлөн ажиллана. Ийм шүргэгч нь параболтай харьцуулахад o y-тэй параллель байх болно.
Жишээ 8
Бид 150 ° шүргэгч өнцөгтэй байх үед x - 2 y 2 - 5 y + 3 графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл
Бид параболыг хоёр функцээр төлөөлүүлэн шийдлийг эхлүүлнэ. Бид үүнийг ойлгодог
2 у 2 - 5 у + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - х) = 49 - 8 х у = 5 + 49 - 8 х - 4 у = 5 - 49 - 8 х - 4
Налуугийн утга нь энэ функцийн x 0 цэг дэх деривативын утгатай тэнцүү бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.
Бид авах:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Эндээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг тодорхойлно.
Эхний функцийг дараах байдлаар бичнэ
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Бид сөрөг утгыг авсан болохоор жинхэнэ үндэс байхгүй нь ойлгомжтой. Ийм функцийн хувьд 150 ° өнцөгтэй шүргэгч байхгүй гэж бид дүгнэж байна.
Хоёрдахь функцийг дараах байдлаар бичнэ
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Бидэнд байгаа холбоо барих цэгүүд нь 23 4; - 5 + 3 4.
Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Дериватив гэж юу болохыг та аль хэдийн мэдсэн үү? Үгүй бол эхлээд сэдвийг уншина уу. Тэгэхээр та деривативыг мэддэг гэсэн үг. Одоо шалгаж үзье. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх үед функцийн өсөлтийг ол. Та удирдаж чадсан уу? Энэ нь ажиллах ёстой. Одоо тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол. Хариулт: . Болсон уу? Хэрэв та эдгээр жишээнүүдийн аль нэгэнд хүндрэлтэй байгаа бол энэ сэдэв рүү буцаж очоод дахин судлахыг зөвлөж байна. Энэ сэдэв маш том гэдгийг би мэднэ, гэхдээ өөрөөр хэлбэл цааш явах нь утгагүй юм. Зарим функцийн графикийг авч үзье.
Графикийн шугамын тодорхой цэгийг сонгоцгооё. Түүний абсцисс байвал ординат тэнцүү байна. Дараа нь бид цэгт ойрхон абсцисса бүхий цэгийг сонгоно; түүний ординат нь:
Эдгээр цэгүүдээр шулуун шугам татъя. Үүнийг секант гэж нэрлэдэг (геометрийн нэгэн адил). Шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийг гэж тэмдэглэе. Тригонометрийн нэгэн адил энэ өнцгийг х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс цагийн зүүний эсрэг хэмжинэ. Өнцөг ямар утгыг авч болох вэ? Та энэ шулуун шугамыг хэрхэн хазайлгахаас үл хамааран нэг тал нь наалдсан хэвээр байх болно. Тиймээс хамгийн их боломжит өнцөг нь , хамгийн бага боломжит өнцөг нь . гэсэн үг, . Энэ тохиолдолд шулуун шугамын байрлал нь яг таарч байгаа тул өнцгийг оруулаагүй бөгөөд жижиг өнцгийг сонгох нь илүү логик юм. Шулуун шугам нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель, а нь ординатын тэнхлэг байхаар зураг дээрх цэгийг авч үзье.
Зурагнаас харахад а. Дараа нь өсөлтийн харьцаа нь:
(дөрвөлжин хэлбэртэй учраас).
Одоо багасгая. Дараа нь цэг нь цэг рүү ойртох болно. Энэ нь хязгааргүй жижиг болох үед харьцаа нь тухайн цэг дээрх функцийн деривативтай тэнцүү болно. Секант юу болох вэ? Цэг нь цэгт хязгааргүй ойрхон байх тул тэдгээрийг ижил цэг гэж үзэж болно. Гэхдээ муруйтай нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугам нь үүнээс өөр зүйл биш юм шүргэгч(энэ тохиолдолд энэ нөхцөл нь зөвхөн жижиг талбайд хангагдсан байдаг - цэгийн ойролцоо, гэхдээ энэ нь хангалттай). Тэд энэ тохиолдолд секант авдаг гэж хэлдэг хязгаарлах байрлал.
Секантын тэнхлэгт налуу өнцгийг нэрлэе. Дараа нь дериватив болох нь харагдаж байна
тэр бол дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.
Шүргэгч нь шулуун учраас одоо шулууны тэгшитгэлийг санацгаая.
Коэффицент нь юуг хариуцдаг вэ? Шулуун шугамын налуугийн хувьд. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: налуу. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Мөн энэ нь шулуун ба тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенстай тэнцүү байна! Тиймээс ийм зүйл тохиолддог:
Гэхдээ бид нэмэгдэж буй функцийг харгалзан энэ дүрмийг олж авсан. Хэрэв функц буурч байвал юу өөрчлөгдөх вэ? Харцгаая: 
Одоо өнцөг нь мохоо байна. Мөн функцийн өсөлт нь сөрөг байна. Дахин авч үзье: . Нөгөө талаар, . Бид авдаг: , өөрөөр хэлбэл бүх зүйл өнгөрсөн үеийнхтэй адил байна. Дахин цэгийг цэг рүү чиглүүлье, тэгвэл секант нь хязгаарлах байр суурийг эзэлнэ, өөрөөр хэлбэл тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч болж хувирна. Тиймээс, эцсийн дүрмийг томъёолъё:
Өгөгдсөн цэг дэх функцийн дериватив нь энэ цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс буюу (энэ нь ижил) шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.
Ийм л байна деривативын геометрийн утга.За, энэ бүхэн сонирхолтой, гэхдээ бидэнд яагаад хэрэгтэй байна вэ? Энд жишээ:
Зурагт функцийн график ба абсцисса цэг дээрх шүргэгчийг харуулав. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын утгыг ол. 
Шийдэл.
Бидний саяхан олж мэдсэнээр шүргэгчийн цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү бөгөөд энэ нь эргээд энэ шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна: . Энэ нь деривативын утгыг олохын тулд шүргэгч өнцгийн тангенсыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Зураг дээр бид тангенс дээр байрлах хоёр цэгийг тэмдэглэсэн бөгөөд тэдгээрийн координат нь бидэнд мэдэгддэг. Тиймээс эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрч буй тэгш өнцөгт гурвалжинг бүтээж дуусгаж, шүргэгч өнцгийн тангенсыг олъё! 
Тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцөг нь . Энэ өнцгийн тангенсыг олъё: . Тиймээс цэг дээрх функцийн дериватив нь тэнцүү байна.
Хариулт:. Одоо өөрөө туршаад үзээрэй:
Хариултууд:
Мэдэх деривативын геометрийн утга, бид цэг дээр дериватив гэсэн дүрмийг маш энгийнээр тайлбарлаж чадна орон нутгийн дээд хэмжэээсвэл хамгийн бага нь тэг байна. Үнэн хэрэгтээ эдгээр цэгүүд дээрх графикт шүргэгч нь "хэвтээ", өөрөөр хэлбэл x тэнхлэгтэй параллель байна. 
Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох өнцөг хэд вэ? Мэдээжийн хэрэг, тэг! Мөн тэгийн тангенс нь мөн тэг байна. Тэгэхээр дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна:
Энэ талаар "Функцуудын монотон байдал" сэдвээр дэлгэрэнгүй уншина уу. Экстремум цэгүүд."
Одоо дурын шүргэгч дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Бидэнд ямар нэгэн функц байна гэж бодъё, жишээлбэл, . Бид түүний графикийг зурсан бөгөөд хэзээ нэгэн цагт түүн рүү шүргэгч зурахыг хүсч байна. Жишээлбэл, нэг цэг дээр. Бид захирагч аваад график дээр хавсаргаж зурна.
Энэ шугамын талаар бид юу мэдэх вэ? Координатын хавтгай дээрх шугамын талаар мэдэхэд хамгийн чухал зүйл юу вэ? Учир нь шулуун шугам бол дүрс юм шугаман функц, түүний тэгшитгэлийг мэдэх нь маш тохиромжтой байх болно. Энэ нь тэгшитгэл дэх коэффициентүүд юм
Гэхдээ бид аль хэдийн мэдсэн! Энэ нь тухайн цэг дэх функцийн деривативтай тэнцүү шүргэгчийн налуу юм.
Бидний жишээнд энэ нь дараах байдалтай байх болно.
Одоо түүнийг олох л үлдлээ. Энэ нь лийрийг буудахтай адил энгийн зүйл юм: эцсийн эцэст - үнэ цэнэ. Графикийн хувьд энэ нь шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох координат юм (эцсийн эцэст тэнхлэгийн бүх цэгүүдэд):
Үүнийг зурцгаая (тиймээс энэ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна). Дараа нь (шүргээ ба х тэнхлэгийн хоорондох ижил өнцөгт). Юутай тэнцүү вэ? Зураг нь тодорхой харуулж байна, a. Дараа нь бид авна:
Бид олж авсан бүх томъёог шулуун шугамын тэгшитгэлд нэгтгэнэ.
Одоо өөрөө шийд:
- Хай шүргэгч тэгшитгэлцэг дээрх функц руу.
- Параболын шүргэгч нь тэнхлэгийг өнцгөөр огтолж байна. Энэ шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.
- Шугаман нь функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна. Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.
- Шугаман нь функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна. Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.
Шийдэл ба хариултууд:
ФУНКЦИЙН ГРАФИКТ ШҮРГЭЛТИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. ТОВЧ ТОДОРХОЙЛОЛТ, ҮНДСЭН Формулууд
Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгч шүргэгч буюу энэ шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.
Нэг цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэл:
Тангенс тэгшитгэлийг олох алгоритм:
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэний төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...
Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.
Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.
Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!
Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.
Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
- Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - 499 рубль.
Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.
Дүгнэж хэлэхэд...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!
