Анхны тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэлээр сольж, дүрмийн дагуу давталтуудыг байгуулъя 
. Тиймээс энгийн давталтын арга нь нэг алхамтай давтагдах процесс юм. Энэ үйл явцыг эхлүүлэхийн тулд та анхны ойролцооллыг мэдэх хэрэгтэй. Аргын нийлэх нөхцөл, анхны ойролцооллыг сонгох нөхцөлийг олж мэдье.
Тасалбар №29
Зайделийн арга
Зайделийн арга (заримдаа Гаусс-Зайделийн арга гэж нэрлэдэг) нь энгийн давталтын аргын өөрчлөлт бөгөөд дараагийн ойролцоолсон x (k+1) (томъёо (1.13), (1.14)-ийг үзнэ үү) тооцоолоход оршино. аль хэдийн олж авсан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) шууд x i (k+1) -ийг тооцоолоход ашигладаг.
Координатын тэмдэглэгээний хэлбэрээр Зайделийн арга нь дараах хэлбэртэй байна.
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
Энд x (0) нь уусмалын анхны ойролцоолсон үзүүлэлт юм.
Иймд (k+1)-р ойролцоо тооцооллын i-р бүрэлдэхүүнийг томъёогоор тооцоолно.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Хялбаршуулсан хэлбэрээр ε нарийвчлалд хүрэх үед Зайделийн давталтын процесс дуусах нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Тасалбар №30
Дамжуулах арга
Гурвалсан матрицтай A x = b системийг шийдэхийн тулд шүүрдэх аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргыг энэ тохиолдолд тохируулсан байдаг.
Тэгшитгэлийн системийг бичье
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
матриц хэлбэрээр: A x = b энд
A= 
Шүүрдэх аргын томъёог хэрэглэх дарааллаар нь бичье.
1. Шүүрдэх аргын шууд харвалт (туслах хэмжигдэхүүнийг тооцоолох):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Урвуу цус харвалтшүүрдэх арга (шийдэл олох):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
№31 тасалбар
Энгийн давталтын арга
Аргын мөн чанар энгийн давталттэгшитгэлээс шилжихээс бүрдэнэ
f(x)= 0 (*)
эквивалент тэгшитгэлд
x=φ(x). (**)
Энэ шилжилтийг хийж болно янз бүрийн арга замууд, төрлөөс хамаарна f(x). Жишээлбэл, та тавьж болно
φ(x) = x+bf(x),(***)
Хаана б= const ба үндэс анхны тэгшитгэлөөрчлөгдөхгүй.
Хэрэв язгуурын анхны ойролцооллыг мэддэг бол x 0, дараа нь шинэ ойролцоогоор
x 1=φx(0),
тэдгээр. Давталтын үйл явцын ерөнхий схем:
x k+1=φ(x k).(****)
Үйл явцыг дуусгах хамгийн энгийн шалгуур
|x k +1 -x k |<ε.
Конвергенцийн шалгуурэнгийн давталтын арга:
язгуурын ойролцоо байвал | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, дараа нь давталтууд нь аливаа анхны ойролцоолсон утгыг нэгтгэнэ.
Тогтмолын сонголтыг авч үзье бнийлэх хурдыг дээд зэргээр хангах үүднээс. Конвергенцийн шалгуурын дагуу нэгдэх хамгийн дээд хурдыг хангана |φ / (x)| = 0. Үүний зэрэгцээ, (***) дээр үндэслэн b = –1/f / (x),мөн давталтын томъёо (****) орно x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-тэдгээр. Ньютоны аргын томъёонд оруулав. Тиймээс Ньютоны арга нь функцийг сонгох бүх боломжит хувилбаруудыг нэгтгэх хамгийн дээд хурдыг өгдөг энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдол юм. φ(x).
Тасалбар №32
Ньютоны арга
Аргын гол санаа нь дараах байдалтай байна: таамаглалын язгуурын ойролцоо анхны ойролцооллыг зааж өгсөн бөгөөд үүний дараа абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэг дээр судалж буй функцийн шүргэгчийг байгуулдаг. Энэ цэгийг дараагийн ойролцоо тооцоолол болгон авна. Шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх хүртэл үргэлжилнэ.
Интервал дээр тодорхойлогдсон, түүн дээр дифференциалагдах бодит утгатай функц байг. Дараа нь давталтын ойролцоо тооцооллын томъёог дараах байдлаар гаргаж болно.
Энд α нь цэг дээрх шүргэгчийн хазайлтын өнцөг юм.
Тиймээс шаардлагатай илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Тасалбар №33
Алтан харьцааны арга
Алтан харьцааны арга нь давталт бүрт зөвхөн нэг функцийн утгыг тооцоолох замаар интервалуудыг арилгах боломжийг олгодог. Хоёр авч үзсэн функцийн утгын үр дүнд ирээдүйд ашиглах интервалыг тодорхойлно. Энэ интервал нь өмнөх цэгүүдийн аль нэгийг агуулж, түүнд тэгш хэмтэй байрлуулсан дараагийн цэгийг агуулна. Цэг нь интервалыг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд ингэснээр бүхэл ба том хэсгийн харьцаа нь том хэсэг нь жижиг хэсгийн харьцаатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл "алтан харьцаа" гэж нэрлэгддэг.
Интервалыг тэгш бус хэсгүүдэд хуваах нь илүү үр дүнтэй аргыг олох боломжийг танд олгоно. Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийг тооцоолъё. а,б] болон тавина а=x 1 , б=x 2. Мөн функцийг дотоод хоёр цэг дээр тооцоолъё x 3 , x 4 . Функцийн бүх дөрвөн утгыг харьцуулж үзээд хамгийн багыг сонгоцгооё. Жишээлбэл, хамгийн жижиг нь болж хувирцгаая е(x 3). Мэдээжийн хэрэг, хамгийн бага нь зэргэлдээх сегментүүдийн аль нэгэнд байх ёстой. Тиймээс сегмент [ x 4 ,б]-г хаяж, сегментийг орхиж болно. 
Эхний алхам хийгдсэн. Сегмент дээр та хоёр дотоод цэгийг дахин сонгож, тэдгээрийн болон төгсгөлийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, дараагийн алхамыг хийх хэрэгтэй. Гэхдээ тооцооллын өмнөх алхам дээр бид шинэ сегментийн төгсгөл ба түүний дотоод цэгүүдийн аль нэгэнд функцийг олсон. x 4 . Тиймээс дотор нь нэг цэгийг сонгоход хангалттай x 5доторх функцийн утгыг тодорхойлж, шаардлагатай харьцуулалтыг хийнэ. Энэ нь үйл явцын алхам тутамд шаардагдах тооцооллын хэмжээг дөрөв дахин нэмэгдүүлдэг. Оноо байрлуулах хамгийн сайн арга юу вэ? Үлдсэн сегментийг гурван хэсэгт хувааж, дараа нь гаднах сегментүүдийн аль нэгийг нь хаядаг.
Анхны тодорхойгүй байдлын интервалыг гэж тэмдэглэе Д.
Учир нь ерөнхий тохиолдолд аль ч сегментийг хаяж болно X 1, X 3эсвэл X 4, X 2дараа нь цэгүүдийг сонгоно уу X 3Тэгээд X 4Ингэснээр эдгээр сегментүүдийн урт ижил байна:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Хаясаны дараа бид шинэ уртын тодорхойгүй интервалыг авдаг D'.
Харилцааг тэмдэглэе Д/D'φ үсэг:
өөрөөр хэлбэл, дараагийн тодорхойгүй байдлын интервал хаана байгааг тохируулъя. Гэхдээ
өмнөх үе шатанд хаясан сегменттэй тэнцүү урттай, өөрөөр хэлбэл
Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.
.
Энэ нь тэгшитгэлд хүргэдэг, эсвэл тэнцүү 
.
Энэ тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг өгнө
.
Тасалбар №34
функцүүдийн интерполяци, өөрөөр хэлбэл. Өгөгдсөн функцийг ашиглан утгууд нь тодорхой тооны цэг дээр өгөгдсөн функцийн утгатай давхцдаг өөр (ихэвчлэн энгийн) функцийг байгуулна. Түүнээс гадна интерполяци нь практик болон онолын ач холбогдолтой.
Энгийн давталтын арга буюу дараалсан ойртуулах арга нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг аажмаар боловсронгуй болгох замаар утгыг олох математикийн алгоритм юм. Энэ аргын мөн чанар нь нэрнээс нь харахад эхний ойртсон үр дүнг аажмаар илэрхийлэх замаар улам боловсронгуй үр дүнд хүрэх явдал юм. Энэ аргыг өгөгдсөн функц дэх хувьсагчийн утгыг олох, мөн шугаман болон шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
SLAE-ийг шийдвэрлэхдээ энэ аргыг хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг авч үзье. Энгийн давталтын арга нь дараах алгоритмтай.
1. Анхны матрицад нийлэх нөхцлийн биелэлтийг шалгах. Конвергенцийн теорем: хэрэв системийн анхны матриц диагональ давамгайлалтай бол (жишээ нь мөр бүрт үндсэн диагоналын элементүүд үнэмлэхүй утгаараа хоёрдогч диагональуудын элементүүдийн нийлбэрээс үнэмлэхүй утгаар их байх ёстой), энгийн давталтын арга нь нийлдэг.
2. Анхны системийн матриц нь үргэлж диагональ давамгайлалтай байдаггүй. Ийм тохиолдолд системийг хөрвүүлэх боломжтой. Нийцэх нөхцөлийг хангасан тэгшитгэлүүд нь хөндөгдөөгүй хэвээр үлдэж, хангаагүйтэй нь шугаман хослолууд хийгддэг, i.e. Хүссэн үр дүнд хүрэх хүртэл үржүүлэх, хасах, тэгшитгэлийг хооронд нь нэмэх.
Хэрэв үүссэн системд үндсэн диагональ дээр тохиромжгүй коэффициентүүд байгаа бол ийм тэгшитгэлийн хоёр талд i * x i бүхий хэлбэрийн нөхцлүүд нэмэгдэх бөгөөд тэдгээрийн тэмдгүүд нь диагональ элементүүдийн тэмдгүүдтэй давхцах ёстой.
3. Үүссэн системийг хэвийн хэлбэрт шилжүүлэх:
x - =β - +α*x -
Үүнийг олон янзаар хийж болно, жишээлбэл: эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлнэ, хоёр дахь нь - x 2, гурав дахь нь - x 3 гэх мэт. Энэ тохиолдолд бид дараах томъёог ашигладаг.
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i / a ii
Үүссэн хэвийн хэлбэрийн систем нь нэгдэх нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг дахин шалгах хэрэгтэй.
∑ (j=1) |α ij |≤ 1 байхад i= 1,2,...n
4. Бид дараалсан ойртох аргыг яг үнэндээ хэрэглэж эхэлдэг.
x (0) нь анхны ойролцоо утгатай тул бид түүгээр дамжуулан x (1)-ийг, дараа нь x (2) -ийг x (1) -ээр илэрхийлнэ. Матриц хэлбэрийн ерөнхий томъёо дараах байдалтай байна.
x (n) = β - +α*x (n-1)
Шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх хүртэл бид тооцоолно.
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
Тиймээс энгийн давталтын аргыг практикт хэрэгжүүлцгээе. Жишээ:
SLAE-г шийдэх:
4.5х1-1.7х2+3.5х3=2
3.1х1+2.3х2-1.1х3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 нарийвчлалтай ε=10 -3
Модулийн хувьд диагональ элементүүд давамгайлж байгаа эсэхийг харцгаая.
Зөвхөн гурав дахь тэгшитгэл нь нийлэх нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. Эхний болон хоёр дахь хэсгийг хувиргаж, эхний тэгшитгэлд хоёр дахьыг нэмье.
7.6х1+0.6х2+2.4х3=3
Гурав дахь хэсгээс бид эхнийхийг хасна:
2.7х1+4.2х2+1.2х3=2
Бид анхны системийг ижил төстэй систем болгон хөрвүүлсэн:
7.6х1+0.6х2+2.4х3=3
-2.7х1+4.2х2+1.2х3=2
1.8х1+2.5х2+4.7х3=4
Одоо системийг хэвийн хэлбэрт оруулъя:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Бид давтагдах үйл явцын нэгдлийг шалгана.
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, i.e. нөхцөл хангагдсан.
0,3947
Анхны таамаг x(0) = 0.4762
0,8511
Эдгээр утгыг ердийн хэлбэрийн тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараах утгыг авна.
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
Шинэ утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
Бид өгөгдсөн нөхцөлийг хангасан утгуудад хүрэх хүртэл тооцооллыг үргэлжлүүлнэ.
x (7) = 0.441091
Хүлээн авсан үр дүнгийн үнэн зөвийг шалгая:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Олдсон утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар олж авсан үр дүн нь тэгшитгэлийн нөхцлийг бүрэн хангаж байна.
Бидний харж байгаагаар давталтын энгийн арга нь нэлээд үнэн зөв үр дүнг өгдөг боловч энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид маш их цаг зарцуулж, төвөгтэй тооцоолол хийх шаардлагатай болсон.
n үл мэдэгдэх n алгебрийн тэгшитгэлийн системийг өгье.
Энгийн давталтын аргын алгоритм:
Энд ба цаашид доод индекс нь үл мэдэгдэх векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгийг, дээд индекс нь давталтын (ойролцоогоор) тоог илэрхийлдэг болохыг анхаарна уу.
Дараа нь мөчлөг бүр нь нэг давталтыг илэрхийлдэг циклик математик процесс үүсдэг. Давталт бүрийн үр дүнд үл мэдэгдэх векторын шинэ утгыг олж авдаг. Давтагдах үйл явцыг зохион байгуулахын тулд (1) системийг багасгасан хэлбэрээр бичнэ. Энэ тохиолдолд үндсэн диагональ дээрх нэр томъёог хэвийн болгож, тэнцүү тэмдгийн зүүн талд үлдэж, үлдсэн хэсгийг баруун тийш шилжүүлнэ. Багасгасан тэгшитгэлийн системхэлбэртэй байна:
анзаараарай, тэр хэзээ ч хүрэхгүй, гэхдээ дараагийн давталт болгонд үл мэдэгдэх вектор яг шийдэлд ойртдог.
12. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх энгийн давталтын аргад ашигладаг давталтын үндсэн томъёо:
13. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх энгийн давталтын аргад давтагдах процессыг зогсоох шалгуур:
Үл мэдэгдэх векторын i-р бүрэлдэхүүн хэсэг бүрт нарийвчлалд хүрэх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд давтагдах процесс дуусна.
анзаараарай, тэр энгийн давталтын аргын яг шийдэлхэзээ ч хүрэхгүй, гэхдээ дараагийн давталт болгонд үл мэдэгдэх вектор яг шийдэлд ойртож байна.
14. Интервалын давтагдах сегментийн туслах функц F(x)-ийг сонгох шалгуур:
Энгийн давталтын аргыг шийдэхийн тулд математикийн шалгалт өгөхдөө эхлээд нэгдэх нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй. Аргыг нэгтгэхийн тулд А матрицад бүх диагональ элементүүдийн үнэмлэхүй утгууд нь харгалзах эгнээний бусад бүх элементүүдийн модулийн нийлбэрээс их байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.
Давталтын аргын сул талЭнэ бол тэгшитгэлийн бүх системд хангагдаагүй нэлээд хатуу нэгдэх нөхцөл юм.
Хэрэв нэгдэх нөхцөл хангагдсан бол дараагийн шатанд үл мэдэгдэх векторын анхны ойролцооллыг зааж өгөх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихэвчлэн тэг вектор юм.
15. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг Гауссын арга нь:
Энэ арга нь матрицыг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлэхэд суурилдаг. Энэ нь системийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах замаар хүрдэг.
Энгийн давталтын арга нь анхны тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэлээр солиход суурилдаг.
Үндэст анхны ойролцоолсон утгыг мэддэг байг x = x 0. Үүнийг тэгшитгэлийн баруун талд (2.7) орлуулснаар бид шинэ ойролцоо утгыг олж авна 
, дараа нь бид ижил төстэй байдлаар авна 
гэх мэт:
. (2.8)
 |
Бүх нөхцөлд давтагдах процесс нь тэгшитгэлийн үндэс рүү нийлдэггүй X. Энэ үйл явцыг нарийвчлан авч үзье. Зураг 2.6-д нэг талын конвергент ба дивергент процессын график тайлбарыг үзүүлэв. Зураг 2.7-д хоёр талын конвергент ба дивергент процессуудыг харуулав. Дивергент үйл явц нь аргумент ба функцийн утгын хурдацтай өсөлт, холбогдох програмыг хэвийн бус дуусгавар болгох замаар тодорхойлогддог.
 |
Хоёр талын процессоор дугуй унах боломжтой, өөрөөр хэлбэл ижил функц, аргументуудын утгыг эцэс төгсгөлгүй давтах боломжтой. Гогцоо нь дивергент процессыг нэгдэх процессоос тусгаарладаг.
Нэг талт болон хоёр талт үйл явцын аль алинд нь үндэс рүү ойртох нь язгуурын ойролцоох муруйн налуугаар тодорхойлогддог нь графикуудаас тодорхой харагдаж байна. Налуу нь бага байх тусмаа нэгдэх нь сайн. Мэдэгдэж байгаагаар муруйн налуугийн тангенс нь тухайн цэг дээрх муруйны деривативтай тэнцүү байна.
Тиймээс үндэсийн ойролцоо тоо бага байх тусам процесс хурдан нийлдэг.
Давталтын процесс нийлэхийн тулд язгуурын ойролцоо дараахь тэгш бус байдлыг хангасан байх ёстой.
(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг функцийн төрлөөс хамааран янз бүрийн аргаар хийж болно. f(x).Ийм шилжилтийн үед нийлэх нөхцөл (2.9) хангагдахын тулд функцийг байгуулах шаардлагатай.
(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих ерөнхий алгоритмуудын нэгийг авч үзье.
(2.1) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг дурын тогтмолоор үржүүлье. бмөн хоёр хэсэгт үл мэдэгдэхийг нэмнэ X.Энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй:
Тэмдэглэгээг танилцуулъя 
(2.10) хамаарлаас тэгшитгэл (2.8) руу шилжье.
 |
Тогтмолыг дур зоргоороо сонгох бнийлэх нөхцөл (2.9) биелэлтийг хангана. Давталтын процессыг дуусгах шалгуур нь нөхцөл (2.2) байх болно. Зураг 2.8-д тайлбарласан дүрслэлийн аргыг ашиглан энгийн давталт хийх аргын график тайлбарыг үзүүлэв (X ба Y тэнхлэгийн дагуух масштабууд өөр байна).
Хэрэв функцийг хэлбэрээр сонгосон бол энэ функцийн дериватив нь . Нэгдэх хамгийн дээд хурд нь -д байх болно 
мөн давталтын томъёо (2.11) нь Ньютоны томъёонд ордог. Тиймээс Ньютоны арга нь бүх давтагдах үйл явцын хамгийн дээд зэрэгтэй нийлдэг.
Энгийн давталтын аргын програм хангамжийн хэрэгжилт нь дэд программын процедур хэлбэрээр хийгддэг Давталт(ХӨТӨЛБӨР 2.1).
Процедур нь бүхэлдээ нэг давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөлийг харгалзан (2.11) томъёог хэрэгжүүлэх (томъёо (2.2)) -аас бүрддэг.
Уг процедур нь Niter хувьсагчийг ашиглан гогцоонуудын тоог тоолох замаар давталтын хамгаалалттай байдаг. Практик хичээл дээр та коэффициентийн сонголт хэрхэн нөлөөлж байгааг програмыг ажиллуулах замаар шалгах хэрэгтэй бба үндсийг хайх явцад анхны ойролцоолсон. Коэффицентийг өөрчлөх үед бсудалж буй функцийн давталтын үйл явцын шинж чанар өөрчлөгдөнө. Энэ нь эхлээд хоёр талт болж, дараа нь гогцоо (Зураг 2.9). Тэнхлэгийн масштаб XТэгээд Юялгаатай. Модулийн b-ийн илүү их утга нь ялгаатай процесст хүргэдэг.
Тэгшитгэлийг ойролцоогоор шийдвэрлэх аргуудын харьцуулалт
Тэгшитгэлийн тоон шийдлийн дээр дурдсан аргуудын харьцуулалтыг компьютерийн дэлгэц дээр график хэлбэрээр үндсийг олох үйл явцыг ажиглах боломжийг олгодог програмыг ашиглан гүйцэтгэсэн. Энэхүү хөтөлбөрт тусгагдсан журам, харьцуулсан аргуудыг доор өгөв (ХӨТӨЛБӨР 2.1).
Цагаан будаа. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 нь давталтын процессын төгсгөлд PC дэлгэцийн хуулбар юм.
Бүх тохиолдолд x 2 -x-6 = 0 квадрат тэгшитгэлийг судалж буй функц болгон авч, аналитик шийдэл нь x 1 = -2 ба x 2 = 3 байна. Алдаа болон анхны ойролцоо тооцоог бүх аргын хувьд тэнцүү гэж үзсэн. Root хайлтын үр дүн x=Зурагт үзүүлсэн 3 нь дараах байдалтай байна. Дихотомийн арга нь хамгийн удаан - 22 давталтыг нэгтгэдэг, хамгийн хурдан нь b = -0.2 - 5 давталттай энгийн давталтын арга юм. Энд Ньютоны арга хамгийн хурдан гэсэн үгтэй зөрчилдөхгүй.
Тухайн цэг дээр судалж буй функцийн дериватив X= 3 нь -0.2-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд тооцооллыг тэгшитгэлийн язгуур цэг дээрх деривативын утгыг Ньютоны аргаар практикт гүйцэтгэсэн. Коэффицентийг өөрчлөх үед бнийлэх хурд буурч, аажмаар нийлэх үйл явц эхлээд мөчлөгт орж, дараа нь дивергент болдог.
(2.1)-тэй адилтгах замаар (5.1) системийг дараахь ижил төстэй хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Энд g(x) нь вектор аргументын давтагдах вектор функц юм. Шугаман бус тэгшитгэлийн систем нь ихэвчлэн (5.2) хэлбэрээр шууд үүсдэг (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийн тоон схемд); энэ тохиолдолд (5.1) тэгшитгэлийг (5.2) систем болгон хувиргахад нэмэлт хүчин чармайлт шаардагдахгүй. Хэрэв бид нэг тэгшитгэлийн энгийн давталтын аргын аналогийг үргэлжлүүлбэл тэгшитгэл (5.2) дээр суурилсан давталтын процессыг дараах байдлаар зохион байгуулж болно.
- 1) зарим анхны вектор x ((,) e 5 o (x 0, A)(х* e 5„(x 0, A));
- 2) дараагийн ойролцоо тооцоог томъёогоор тооцоолно
дараа нь давталтын процесс дууссан ба
Өмнөх шигээ ямар нөхцөлд байгааг олж тогтоох хэрэгтэй
Энгийн дүн шинжилгээ хийх замаар энэ асуудлыг ярилцъя. Эхлээд бид i-р ойролцооллын алдааг e(^ = x(i) - x* гэж танилцуулна. Дараа нь бид бичиж болно.
Эдгээр илэрхийллийг (5.3)-д орлуулж g(x* + e (/i))-г томруулъя. e(k>вектор аргументын функцээр x*-ийн ойролцоо (g(x) функцийн бүх хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байна гэж үзвэл). Мөн x* = g(x*) гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна
эсвэл матриц хэлбэрээр
B = (бнм)= I (x*)1 - давталтын матриц.
Хэрэв алдааны түвшин ||e®|| хангалттай бага бол илэрхийллийн баруун талд байгаа хоёр дахь гишүүн (5.4)-ийг үл тоомсорлож, дараа нь илэрхийлэл (2.16)-тай давхцаж болно. Улмаар яг шийдлийн ойролцоо давтагдах үйл явц (5.3) нийлэх нөхцөлийг теорем 3.1-ээр тайлбарлав.
Энгийн давталтын аргын нэгдэл. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлдавтагдах үйл явцын нэгдлийн хувьд (5.3): 
болон хангалттай нөхцөл:
Эдгээр нөхцөлүүд нь бид x'-г мэдэхгүй тул практик ач холбогдолтой гэхээсээ илүү онолын ач холбогдолтой юм. (1.11)-тэй адилтгах замаар бид ашигтай байж болох нөхцөлийг олж авдаг. x* e 5 o (x 0, A)болон g(x) функцийн Якобын матриц.
бүх x-д байдаг e S n (x 0, a) (C(x*) = B гэдгийг анхаарна уу). Хэрэв C(x) матрицын элементүүд тэгш бус байдлыг хангаж байвал
бүх x e 5„(x 0, A),тэгвэл аль ч матрицын нормын хувьд хангалттай нөхцөл (5.5) бас хангагдана.
Жишээ 5.1 (энгийн давталтын арга) авч үзье дараах системтэгшитгэл:
Энэ системийг ижил төстэй хэлбэрээр (5.2) төлөөлөх нэг боломж бол илэрхийлэх явдал юм Xэхний тэгшитгэлээс ба x 2хоёр дахь тэгшитгэлээс: 
Дараа нь давталтын схем нь хэлбэртэй байна
Яг шийдэл нь x* e 5„((2, 2), 1). Анхны векторыг сонгоё x (0) = (2,2) ба ? p = CT 5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.1.
Хүснэгт 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Эдгээр үр дүн нь нэгдмэл байдал нэлээд удаан байгааг харуулж байна. Конвергенцийн тоон шинж чанарыг олж авахын тулд бид x (1/) -ийг яг шийдэл гэж үзэн энгийн шинжилгээ хийдэг. Бидний давтагдах функцийн Якобын матриц C(x) нь хэлбэртэй байна
тэгвэл В матрицыг ойролцоогоор гэж тооцно
Нөхцөл (5.5) ч, (5.6) ч нөхцөл хангагдаагүй байгаа эсэхийг шалгахад хялбар боловч 5(B) ~ 0.8-аас хойш нэгдэл явагдана.
Тооцооллын процессыг бага зэрэг өөрчилснөөр энгийн давталтын аргын нэгдлийг хурдасгах боломжтой байдаг. Энэхүү өөрчлөлтийн санаа нь маш энгийн: тооцоолох П th вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүд x (A+1)зөвхөн хэрэглэж болохгүй (t = n,..., Н), мөн дараагийн ойртсон векторын аль хэдийн тооцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүд х к^ (/= 1,P - 1). Тиймээс өөрчлөгдсөн энгийн давталтын аргыг дараах давталтын схемээр илэрхийлж болно.
Хэрэв давтагдах үйл явц (5.3) -аар үүсгэгдсэн ойролцоолсон тоонууд нийлдэг бол мэдээллийг илүү бүрэн ашигласан тул давтагдах процесс (5.8) илүү хурдан нийлэх хандлагатай байдаг.
Жишээ 5.2 (өөрчлөгдсөн энгийн давталтын арга) Системийн (5.7) өөрчлөгдсөн энгийн давталт нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.
Өмнөхтэй адил бид анхны векторыг сонгоно x (0) = (2, 2) ба g r = = 10 -5. Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 5.2.
Хүснэгт 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Тооцооллын дарааллын томоохон өөрчлөлт нь давталтын тоог хоёр дахин, улмаар үйлдлүүдийн тоог хоёр дахин багасгахад хүргэсэн.
