Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум. Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох.

Лекц 5.

Тодорхойлолт 5.1.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн дээд цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) > f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у) М 0.

Тодорхойлолт 5.2.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн бага цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) < f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у)нэг цэгийн зарим хөршөөс М 0.

Тайлбар 1. Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүдхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд.

Тайлбар 2. Дурын тооны хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг ижил төстэй аргаар тодорхойлно.

Теорем 5.1 (шаардлагатай нөхцөлэкстремум). Хэрэв M 0 (x 0, y 0)– функцийн экстремум цэг z = f (x, y),тэгвэл энэ үед энэ функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй байна.

Баталгаа.

Хувьсагчийн утгыг засъя цагт, тоолох y = y 0. Дараа нь функц f (x, y 0)нэг хувьсагчийн функц байх болно X, Үүний төлөө x = x 0туйлын цэг юм. Тиймээс Фермагийн теоремоор, эсвэл байхгүй. Үүнтэй ижил мэдэгдлийг ижил төстэй байдлаар нотолсон.

Тодорхойлолт 5.3.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн мужид хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг гэнэ. суурин цэгүүдэнэ функц.

Сэтгэгдэл. Тиймээс экстремум нь зөвхөн суурин цэгүүдэд хүрч болох боловч тэдгээр нь тус бүрт ажиглагдах албагүй.

Теорем 5.2(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл). цэгийн зарим нэг хөрш байг M 0 (x 0, y 0), энэ нь функцийн суурин цэг юм z = f (x, y),Энэ функц нь 3-р зэрэглэлийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь гэж тэмдэглэе:

1) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн их бол AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн бага бол AC–B² > 0, А > 0;

3) эгзэгтэй цэгт экстремум байхгүй бол AC–B² < 0;

4) хэрэв AC–B² = 0, нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

Баталгаа.

Функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье f(x,y),хөдөлгөөнгүй цэг дээр нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.

Хаана Хэрэв сегмент хоорондын өнцөг М 0 М, Хаана М (x 0 +Δ x, y 0 +Δ цагт), болон O тэнхлэг Xφ, дараа нь Δ гэж тэмдэглэнэ x =Δ ρ cos φ, Δ у=Δρsinφ. Энэ тохиолдолд Тейлорын томъёо дараах хэлбэртэй байна. Let Дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувааж, үржүүлж болно А. Бид авах:

Одоо дөрөвийг авч үзье боломжит тохиолдлууд:

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и хангалттай бага Δρ үед. Тиймээс зарим хороололд M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ у)< f (x 0 , y 0), тэр бол М 0- хамгийн дээд цэг.

2) зөвшөөр AC–B² > 0, A > 0.Дараа нь , Мөн М 0- хамгийн бага оноо.

3) зөвшөөр AC-B² < 0, А> 0. φ = 0 цацрагийн дагуух аргументуудын өсөлтийг авч үзье.Тэгвэл (5.1)-ээс дараах нь гарна. , өөрөөр хэлбэл, энэ цацрагийн дагуу шилжих үед функц нэмэгддэг. Хэрэв бид ийм туяа дагуу хөдөлвөл tg φ 0 = -A/B,Тэр , тиймээс энэ туяа дагуу хөдөлж байх үед функц буурдаг. Тэгэхээр, хугацаа М 0туйлын цэг биш юм.

3`) Хэзээ AC–B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

өмнөхтэй төстэй.

3``) Хэрэв AC–B² < 0, А= 0, тэгвэл . Үүнд . Дараа нь хангалттай бага φ-ийн хувьд 2 илэрхийлэл болно Б cosφ + C sinφ нь 2-той ойролцоо байна IN, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг боловч sinφ нь цэгийн ойролцоо тэмдгийг өөрчилдөг М 0.Энэ нь функцийн өсөлт нь хөдөлгөөнгүй цэгийн ойролцоох тэмдгийг өөрчилдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь экстремум цэг биш юм.

4) Хэрэв AC–B² = 0, ба , , өөрөөр хэлбэл өсөлтийн тэмдгийг 2α 0 тэмдгээр тодорхойлно. Үүний зэрэгцээ экстремум байгаа эсэх асуудлыг тодруулахын тулд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Жишээ. Функцийн экстремум цэгүүдийг олъё z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Тогтмол цэгүүдийг олохын тулд бид системийг шийддэг . Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг нь (-2,-1) байна. Хаана A = 2, IN = -2, ХАМТ= 4. Дараа нь AC–B² = 4 > 0, тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг дээр экстремум, тухайлбал, хамгийн багадаа хүрдэг. А > 0).

Тодорхойлолт 5.4.Хэрэв функц аргументтай бол f (x 1 , x 2 ,…, x n)холбогдсон нэмэлт нөхцөлзэрэг мтэгшитгэл ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ м ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i функцууд нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол (5.2) тэгшитгэлийг гэнэ. холболтын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт 5.5.Функцийн экстремум f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд түүнийг дуудна нөхцөлт экстремум.

Сэтгэгдэл. Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын дараах геометрийн тайлбарыг санал болгож болно: функцийн аргументуудыг үзье. f(x,y)φ тэгшитгэлээр холбогдоно (x,y)= 0, O хавтгайд зарим муруйг тодорхойлох xy. Энэ муруйн цэг бүрээс О хавтгайд перпендикуляруудыг сэргээж байна xyгадаргуутай огтлолцох хүртэл z = f (x,y),бид φ муруйн дээрх гадаргуу дээр байрлах орон зайн муруйг олж авна (x,y)= 0. Даалгавар нь үүссэн муруйны экстремум цэгүүдийг олох явдал бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг ерөнхий тохиолдолфункцийн болзолгүй экстремум цэгүүдтэй давхцахгүй f(x,y).

Эхлээд дараах тодорхойлолтыг оруулснаар хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумд шаардлагатай нөхцлийг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 5.6.Чиг үүрэг L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ м φ м (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Хаана λi -зарим нь тогтмол, гэж нэрлэдэг Лагранж функц, болон тоонууд λi– тодорхойгүй Лагранж үржүүлэгч.

Теорем 5.3(нөхцөлт экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Функцийн нөхцөлт экстремум z = f (x, y)холболтын тэгшитгэл байгаа тохиолдолд φ ( x, y)= 0 нь зөвхөн Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдэд хүрч болно L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Баталгаа. Холболтын тэгшитгэл нь далд хамаарлыг тодорхойлдог цагт-аас X, тиймээс бид үүнийг таамаглах болно цагт-аас функц байдаг X: у = у(х).Дараа нь z-аас нарийн төвөгтэй функц байдаг X, түүний эгзэгтэй цэгүүдийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно. . (5.4) Холболтын тэгшитгэлээс дараах нь гарна . (5.5)

Тэгш байдлыг (5.5) λ тоогоор үржүүлээд (5.4) нэмье. Бид авах:

, эсвэл .

Сүүлчийн тэгш байдал нь суурин цэгүүдэд хангагдах ёстой бөгөөд үүнээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

(5.6)

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. x, yба λ, эхний хоёр тэгшитгэл нь Лагранжийн функцийн суурин цэгийн нөхцөл юм. (5.6) системээс үл мэдэгдэх λ туслахыг хассанаар анхны функц нөхцөлт экстремум байж болох цэгүүдийн координатыг олно.

Тайлбар 1. Олдсон цэг дээр нөхцөлт экстремум байгаа эсэхийг 5.2 теоремын аналогиар Лагранжийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг судалж шалгаж болно.

Тайлбар 2. Функцийн нөхцөлт туйлд хүрч болох цэгүүд f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн шийдэл гэж тодорхойлж болно (5.7)

Жишээ. Функцийн нөхцөлт экстремумыг олъё z = xyүүнийг өгсөн x + y= 1. Лагранж функцийг зохиоё L(x, y) = xy + λ (x + y –) 1). Систем (5.6) дараах байдалтай байна.

Энд -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Хаана L(x,y)хэлбэрээр төлөөлж болно L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5 тул олсон суурин цэг дээр L(x,y)дээд талтай ба z = xy -нөхцөлт дээд.

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадрат арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг өгье Тэгээд= е(P), РÎDÌR n P 0 цэг ( А 1 , А 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрвээ энэ цэгийн U(P 0) М D хөрш байвал дурын P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P) £ е(P 0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дуудна функцийн дээд хэмжээ болон томилогдсон е(P0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрэв энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)³ е(P 0) . Утга е(P 0) хамгийн бага цэг дээрх функцийг дуудна хамгийн бага функц болон томилогдсон е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэгүүд дэх функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P) £ е(P 0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийг тодорхойлох бүх мужид биш, харин зөвхөн P 0 цэгийн тодорхой ойролцоо байх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. . Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1 (FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл)

Хэрэв функц Тэгээд= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэгт экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа. P 0 цэг дээр ( А 1 , А 2 , ..., a p) функц Тэгээд= е(P) нь экстремумтай, жишээлбэл, дээд талтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =А 2 ,..., x n = a p. Дараа нь Тэгээд= е(P) = е 1 ((X 1 , А 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм X 1 . Энэ функц байгаа тул X 1 = А 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0эсвэл байхгүй үед X 1 =А 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ энэ нь P 0 цэг - экстремум цэг дээр байхгүй эсвэл байхгүй гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн муж дахь цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2 (FNP-ийн экстремумын хангалттай нөхцөл).

Функцийн критик цэг P 0 байг Тэгээд= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

мөн хэрэв г 2 у(P 0) > 0 at , тэгвэл P 0 цэг болно хамгийн багафункцууд Тэгээд= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд Тэгээд= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үзэх болно.

Теорем нь хэзээ тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэгт экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - бидэнд хэрэгтэй нэмэлт судалгаажишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцийн хувьд нотлогдсон z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр юм

P 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэе. Тодорхойлогчийг зохиоё

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 z P 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгдөж, P 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хувьд бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын мужийг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е), нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) P 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(P 0) ба тооцоолно А(P 0). Дараа нь:

хэрэв D(P 0) >0 бол P 0 цэгт экстремум байх ба хэрэв А(P 0) > 0 – тэгвэл энэ нь хамгийн бага, хэрэв бол А(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(P 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Бид олох болно

6X, = -3, = 48цагтТэгээд = 288xy – 9.

Дараа нь D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 цэг дээр экстремум байдаг ба үүнээс хойш А(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P 1) = .

Жишээ 2.

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) =R 2. Чухал цэгүүд: ; хэзээ байдаггүй цагт= 0, энэ нь P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(P 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй юм.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй - г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг авч үзье е(x, y) P 0 цэг дээр. Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, гэхдээ хэрэв D е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөлийн аль нь ч хангагдахгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) тул P 0 нь хамгийн дээд цэг биш), D нөхцөл биш юм е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь P 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Энэ нь экстремумын тодорхойлолтоор энэ функц нь экстремумгүй гэсэн үг юм.

Нөхцөлт экстремум.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум Тэгээд = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j Т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), дуудсан нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг авч үзье z = f(x,y) хоёр хувьсагч. Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь нэг бол, i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн тодорхойлолтын бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, энэ нь хайсан гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэг биш юм z = f(x,y), мөн энэ гадаргуугийн цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд, Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийн функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичих) ба хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзах тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Тодорхойлолт 1: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал максимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал нь: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт< 0.

Тодорхойлолт 2: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал минимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал нь: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт > 0 байна.

Тодорхойлолт 3: Орон нутгийн хамгийн бага ба максимумын цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд.

Нөхцөлт туйл

Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг функцтэй холбоотой асуудал үүсдэг. нөхцөлт экстремум.Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээн дээр тайлбарлаж болно.

Функц ба мөрийг өгье Лгадаргуу дээр 0xy. Даалгавар бол шугаманд орох явдал юм Лийм цэгийг олоорой P(x, y),функцийн утга нь шугам дээрх цэгүүдийн энэ функцийн утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байна Л, цэгийн ойролцоо байрладаг П. Ийм цэгүүд Пгэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум цэгүүдшугам дээрх функцууд Л. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дэх функцийн утгыг түүний хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн шугаман дээр байрлах функцийн утгуудтай харьцуулна. Л.

Ердийн экстремумын цэг нь туйлын тодорхой юм (тэд бас хэлдэг болзолгүй экстремум) мөн энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шулууны нөхцөлт экстремум цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Би хэлснээ энгийн жишээгээр тайлбарлая. Функцийн график нь дээд тархи юм (Хавсралт 3 (Зураг 3)).

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; орой нь үүнтэй тохирч байна Мтархи. Хэрэв шугам Лцэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам байдаг АТэгээд IN(түүний тэгшитгэл x+y-1=0), тэгвэл энэ шугамын цэгүүдийн хувьд геометрийн хувьд тодорхой байна хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц нь цэгүүдийн дунд байрлах цэг дээр хүрдэг АТэгээд IN.Энэ нь энэ шугам дээрх функцийн нөхцөлт экстремум (хамгийн их) цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн M 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд зурагнаас харахад энд энгийн экстремумын тухай ярих боломжгүй юм.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн хэт утгыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим шугам дээр, улмаар нөхцөлт экстремум асуудлыг шийддэг.

Одоо x ба y хувьсагчид (x, y) = 0 тэгшитгэлээр хамааралтай байх нөхцөлд Z= f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийн практик хайлтыг үргэлжлүүлье. холболтын тэгшитгэл. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс y-г х: y=(x) хэлбэрээр тодорхой илэрхийлж чадвал Z= f(x, (x)) = Ф(x) нэг хувьсагчийн функцийг олж авна.

Энэ функц нь экстремумд хүрэх x утгыг олж, дараа нь холболтын тэгшитгэлээс харгалзах у утгыг тодорхойлсны дараа бид нөхцөлт экстремумын хүссэн цэгүүдийг олж авна.

Тэгэхээр дээрх жишээнд x+y-1=0 хамаарлын тэгшитгэлээс y=1-x байна. Эндээс

x = 0.5 үед z хамгийн ихдээ хүрч байгааг шалгахад хялбар; гэхдээ дараа нь y = 0.5 холболтын тэгшитгэлээс бид геометрийн тооцооллоос олдсон P цэгийг яг авна.

Холболтын тэгшитгэлийг төлөөлөх боломжтой байсан ч нөхцөлт экстремумын асуудлыг маш амархан шийддэг параметрийн тэгшитгэл x=x(t), y=y(t). x ба у-ийн илэрхийллүүдийг орлуулах энэ функц, бид нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудалд дахин ирлээ.

Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь -ээс их байвал нарийн төвөгтэй дүр төрхмөн бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар нь тодорхой илэрхийлэх, эсвэл параметрийн тэгшитгэлээр солих боломжгүй бол нөхцөлт экстремумыг олох ажил улам хэцүү болно. z= f(x, y) функцийн илэрхийлэлд хувьсагч (x, y) = 0 байна гэж бид үргэлжлүүлэн тооцно. z= f(x, y) функцийн нийт дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

y` деривативыг далд функцийг ялгах дүрмийг ашиглан олоход. Нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд олдсон нийт дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой; Энэ нь x ба у-тай холбоотой нэг тэгшитгэлийг өгдөг. Тэд мөн холбох тэгшитгэлийг хангах ёстой тул бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эхний тэгшитгэлийг пропорциональ хэлбэрээр бичиж, шинэ туслах үл мэдэгдэхийг оруулснаар энэ системийг илүү тохиромжтой болгон өөрчилье.

(урд талын хасах тэмдэг нь тав тухтай байдлыг хангах үүднээс). Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь систем рүү шилжихэд хялбар байдаг.

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 холболтын тэгшитгэлийн хамт x, y ба үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Эдгээр тэгшитгэлийг (*) дараах дүрмийг ашиглан санахад хялбар байдаг: функцийн нөхцөлт экстремумын цэгүүд байж болох цэгүүдийг олохын тулд

(x, y) = 0 холболтын тэгшитгэлтэй Z= f(x, y) бол туслах функц үүсгэх шаардлагатай.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Энэ функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд ямар нэг тогтмол байна, тэгшитгэл үүсгэ.

Заасан тэгшитгэлийн систем нь дүрмээр бол зөвхөн шаардлагатай нөхцлийг бүрдүүлдэг, жишээлбэл. Энэ системийг хангасан x ба y хос утгууд нь нөхцөлт экстремум цэг байх албагүй. Би нөхцөлт экстремум цэгүүдэд хангалттай нөхцөл өгөхгүй; Ихэнх тохиолдолд асуудлын тодорхой агуулга нь олсон цэг нь юу болохыг харуулж байна. Нөхцөлт экстремум дээрх асуудлыг шийдвэрлэх тайлбарласан аргыг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэдэг.

Зарим D мужид z - /(x, y) функцийг тодорхойлж, Mo(xo, Vo) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Хэрэв бүх нөхцлүүдийг хангасан тэгш бус байдал нь үнэн байх тоо байвал Mo(xo, yo) цэгийг /(x, y) функцийн локал максимум цэг гэнэ; хэрэв бүх Dx, Du, нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(xo,yo) цэгийг нимгэн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол f(x, y) функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэг юм. Үүний M(x, y) цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн өсөлт нь тэмдгээ хадгална. Жишээ. 1. Функцийн цэгийн хувьд - хамгийн бага цэг (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0,0) цэгээс ялгаатай. /(x,y) функцын утга 1-ээс бага = Зарим цоорсон 6-хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд хатуу тэгш бус байдал эсвэл хатуу тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. цэг Mq. Функцийн хамгийн их цэг дэх утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн минимум гэнэ. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. Теорем 11 (экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв Extremum функц нь хэд хэдэн функц бол Хувьсагчийн тухай ойлголтхэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум. Экстремум үүсэхэд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь тухайн цэг дээр экстремумтай байдаг бөгөөд энэ үед хэсэгчилсэн дериватив u бүр алга болно, эсвэл байхгүй болно. z = f(x) y) функц нь M0(x0, yо) цэгт экстремум байна. y хувьсагчдад yo утгыг өгье. Тэгвэл z = /(x, y) функц нь нэг хувьсагчийн функц байх болно x\ x = xo үед экстремум (хамгийн их эсвэл минимум, 20-р зураг) байгаа тул x = “o-тэй холбоотой дериватив нь байна. | (*o,l>)" Тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй. Үүний нэгэн адил) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. = 0 ба χ = 0 эсвэл байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг. z = Dx, y) функцийн цэгүүд нь мөн 11-р теоремын хувьд шаардлагатай нөхцөлүүдийг илэрхийлдэг функц нь стримийн имват дээр нимгэн байна Үнэн хэрэгтээ функц нь 0(0,0) цэг дээр тэгтэй тэнцүү бөгөөд M(x,y) цэгүүдэд дур мэдэн 0(0) цэгт эерэг утгыг авдаг. ,0) ба сөрөг утгууд нь дур мэдэн жижиг цэгүүдэд (0, y) байхаар заасан төрлийн 0(0,0) цэгийг хангалттай нөхцөл гэж нэрлэдэг 2 хувьсагчийн функцийн экстремумыг дараах байдлаар илэрхийлнэ (хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын нөхцөл хангалттай байх). ), мөн Mo цэгийг оруулаад / (r, y ) функц нь хоёр дахь эрэмбийг багтаасан хэсэгчилсэн деривативуудтай байдаг. Дараа нь". Mo(xo, V0) цэг дээр /(xo, y) функц нь D(xo, yo) бол экстремумгүй.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) функцийн экстремум нь байж болно, байхгүй ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. m Теоремын 1) ба 2) мэдэгдлийг батлахаар хязгаарлая. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Нөхцөлийн дагуу D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1)-ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дифференциал d2f-ийн тэмдгээр тодорхойлогдоно. Үүнийг товчилбол тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, V0) цэг дээр бид байна... Нөхцөлөөр f(s, y) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байх тул тэгш бус байдал (3) нь M0(s0,yo) цэгийн зарим хөршид мөн адил байх болно. Нөхцөл хангагдсан бол (А/0 цэг дээр ба тасралтгүй байдлын ачаар /,z(s,y) дериватив Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална. А Ф 0 байх бүсэд бид байна. Эндээс харахад M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид ЛС - В2 > 0 байвал AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцах нь тодорхой байна. , V0) (мөн С тэмдэгтэй, учир нь AC - B2 > 0 A ба C нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг нь ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид дараах дүгнэлтэд хүрнэ: хэрэв функцийн хувьд /(s,y) үед. хөдөлгөөнгүй цэг (s0, V0) нөхцөл, дараа нь хангалттай бага || тэгш бус байдлыг хангах болно. Тиймээс (sq, V0) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн их утгатай байна. Хэрэв нөхцөл хөдөлгөөнгүй цэг дээр (s0, y0) хангагдсан бол бүх хангалттай бага |Др| болон |Ду| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь (so,yo) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн багатай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. Экстремумын функцийг судлах 4 Экстремумд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн суурин цэгүүдийг хайж олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Бидэнд байна Энэ нь Ml цэг дээр экстремум байна гэсэн үг. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл үүнийг харахад хялбар болно баруун хэсэг(") нь энэ функцийн үнэмлэхүй хамгийн бага байх үед хамгийн бага байх болно. 2. Функцийн экстремумыг судал. Бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлсэн функцийн хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олно. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Функцийн экстремумыг судал. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг тул цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Цаашилбал, 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултад хариулдаггүй. Ингэж хийцгээе. Цэгээс ялгаатай бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэгийн тодорхойлолтоор r функц нь үнэмлэхүй минимумтай байна. Үүнтэй төстэй тооцоогоор бид функц нь цэг дээр хамгийн их утгатай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. n бие даасан хувьсагчтай функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг, хэрэв теорем 13 бол (экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл хүртэл) Mo цэгийг функцийн суурин цэг гэнэ. Функц нь тодорхойлогдсон ба нарийн Mt(xi...)-ийн зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг, энэ нь квадрат хэлбэр (торгуулийн f функцийн хоёр дахь дифференциал эерэг байвал хөдөлгөөнгүй нарийн функц юм. тодорхой (сөрөг тодорхой), f функцийн хамгийн бага цэг нь (4) тэмдэг ээлжлэн байвал нарийн LG0-д экстремум байхгүй байна Квадрат хэлбэр (4) нь эерэг эсвэл сөрөг тодорхой, жишээлбэл, Квадрат хэлбэрийн 15.2. тодорхой байдлын хувьд та Силвестрийн шалгуурыг ашиглаж болно орон нутгийн эрс тэс Функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй үед бүхэл бүтэн тодорхойлолтын домэйны хэмжээнд функц. Ийм хэт туйлшралыг болзолгүй гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг зүйлийг олоход ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг. D мужид z = /(x, y) функцийг тодорхойл. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, бид зөвхөн тэдгээрээс f(x> y) функцийн экстремумыг олох хэрэгтэй. муруйн цэгүүдэд тохирох түүний утгуудын L. Ижил экстремумуудыг z = f(x) y) функцийн нөхцөлт экстремум гэж нэрлэдэг. , f(x, y) функц нь M0(x0, V0) цэгийн зарим хөршид хамаарах ба ялгаатай M (s, y) y) муруй L бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд нөхцөлт максимум (минимум) байна. М0 цэгээс (Хэрэв L муруй нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруй дээрх r - f(x,y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно: x функцийн экстремумыг ол. = /(z, y) D мужид, тэгвэл z = y) функцын нөхцөлт туйлшралыг олохдоо зэрлэг аргументуудыг бие даасан хувьсагч гэж үзэх боломжгүй болсон: тэдгээр нь хоорондоо хамааралтай байна. y) = 0 хамаарлыг холболтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нөхцөлгүй ба нөхцөлт экстремумын ялгааг тодруулахын тулд функцийн болзолгүй максимум (Зураг 23) нэгтэй тэнцүү байх ба (0,0) цэгт хүрдэг жишээг харцгаая. Энэ нь pvvboloid-ийн орой болох M цэгтэй тохирч y = j холболтын тэгшитгэлийг нэмье. Дараа нь нөхцөлт максимум нь үүнтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой бөгөөд энэ нь (o,|) цэгт хүрдэг бөгөөд энэ нь бөмбөгийг y = j хавтгайтай огтлолцох шугам болох бөмбөгний Афж оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй mvximum-ийн хувьд бид гадаргуугийн бүх vpplicvt дунд mvximum програмтай байна * = 1 - l;2 ~ y1; summvv нөхцөлт - зөвхөн pvraboloidv vllikvt цэгүүдийн дунд, шулуун шугамын цэг* харгалзах y = j xOy хавтгай биш. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. y) - O холболтын тэгшитгэлийг х аргументийн өвөрмөц дифференциалагдах функц гэж тодорхойлъё: Функцэд y-ийн оронд функцийг орлуулснаар холболтын нөхцөл аль хэдийн тооцогдсон нэг аргументийн функцийг олж авна. Функцийн (болзолгүй) экстремум нь хүссэн нөхцөлт экстремум юм. Жишээ. Функцийн экстремумыг нөхцлөөр олоорой Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум А тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд (2") холболтын тэгшитгэлээс бид y = 1-x-ийг олно. Энэ y утгыг (V) орлуулснаар бид нэг аргументын функцийг олж авна x: Үүнийг экстремумын хувьд авч үзье: эндээс x = 1 нь эгзэгтэй цэг юм; , ингэснээр r функцийн нөхцөлт минимумыг өгнө (Зураг 24). Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэгддэг нөхцөлт экстремум асуудлыг шийдэх өөр аргыг зааж өгье. Холболт байгаа үед функцийн нөхцөлт экстремум цэг байцгаая. Холболтын тэгшитгэл нь xx цэгийн тодорхой хэсэгт тасралтгүй ялгарах цорын ганц функцийг тодорхойлдог гэж үзье. Бид xq цэгийн /(r, ip(x)) функцийн x-тэй холбоотой дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, эсвэл үүнтэй тэнцэхүйц f(x, y)-ийн дифференциал гэдгийг бид олж авна. Mo" O цэг нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой ) Бидэнд байгаа холболтын тэгшитгэлээс (5) Сүүлчийн тэгшитгэлийг хараахан тодорхойгүй байгаа тоон А хүчин зүйлээр үржүүлж, (4) тэгшитгэлтэй гишүүн гишүүнийг нэмбэл (бид үүнийг гэж үзнэ) ) Дараа нь dx-ийн дур зоргоороо бид (6) ба (7) тэгшитгэлүүдийг Лагранжийн функц гэж нэрлэгдэх функцийн цэгт шаардлагатай нөхцөлүүдийг илэрхийлнэ /(x, y) функц нь заавал Лагранжийн функцийн хөдөлгөөнгүй цэг бөгөөд эндээс бид нөхцөлт экстремумыг олох дүрмийг олж авна Холболт байгаа функцийн ерөнхий экстремум: 1) бид Лагранжийн функцийг бүрдүүлнэ, 2) энэ функцийн дериватив ба U-г тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг нэмснээр бид гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. үүнээс бид A ба координат x, y боломжит экстремум цэгүүдийн утгыг олно. Нөхцөлт экстремумын оршихуй, мөн чанарын тухай асуудлыг (8) -аас олж авсан x0, V0, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судалсны үндсэн дээр шийдвэрлэнэ. , дараа нь (x0, V0) цэг дээр /(x, y ) функц нөхцөлт максимумтай байна; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум болно. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэгт (xo, J/o) F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэг дээр f( функцийн нөхцөлт максимум байна. x, y), if ба нөхцөлт минимум функц /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Лагранж функц дотор энэ тохиолдолд Тогтвортой цэгүүдийг олохын тулд системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн томъёог олж авна. Дараа нь системийн гурав дахь тэгшитгэлээс (холболтын тэгшитгэл) бид x - y = j нь боломжит экстремум цэгийн координат болохыг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд (A = -1 гэж заажээ. Иймээс Лагранжийн функц. нь * = x2 + y2 нөхцөл дэх функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг юм. Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй. P(x, y) ) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм Жишээ: y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн функцийг зохиож, системийг бичнэ. А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох: Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x + y = 0-ийг олж, x = y = A = 0 гэсэн системд очно. Тиймээс харгалзах Лагранж функц нь цэг дээр хэлбэртэй байна. (0,0), F(x, y; 0) функц нь болзолгүй экстремумгүй боловч y = x үед r = xy функцийн нөхцөлт экстремум байдаг. Эндээс (0,0) цэг дээр болзолт минимум байгаа нь тодорхой байна "Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь хэдэн ч аргументтай функцүүдийн тохиолдол руу шилждэг. Байгаа үед функцийн экстремумыг хайцгаая. A|, Az,..., A„, тодорхойгүй тогтмол хүчин зүйл болох Лагранжийн функцийг байгуулъя. F функцийн бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., At ба координат х-г тодорхойлно. \) x2). » нөхцөлт экстремумын боломжит цэгүүдийн xn. Лагранжийн аргыг ашиглан олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремумын цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанарт үндэслэн шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд. Зарим хаалттай хязгаарлагдмал муж D-д тасралтгүй z = /(x, y) функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай. Теорем 3-аар энэ мужид байдаг. нь функц хамгийн их (хамгийн бага) утгыг авах цэг (xo, V0) юм. Хэрэв (xo, y0) цэг нь D домэйны дотор оршдог бол функц / нь хамгийн их (хамгийн бага) -тай байх тул энэ тохиолдолд бидний сонирхсон цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд байрлана. у). Гэсэн хэдий ч, /(x, y) функц нь бүсийн зааг дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч чадна. Иймд хязгаарлагдмал хаалттай талбайд 2) z = /(x, y) функцээр авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд та энэ талбайн дотор хүрсэн функцийн бүх максимумыг (хамгийн бага) олох хэрэгтэй. түүнчлэн энэ хэсгийн хил дэх функцын хамгийн том (хамгийн бага) утга. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x,y) функцийн хүссэн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р бүсийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. Бид D муж доторх функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид эндээс x = y « 0-ийг олж авна 0 (0,0) цэг нь х функцийн критик цэг юм. Г мужийн хил дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё. Хилийн нэг хэсэг дээр y = 0 нь эгзэгтэй цэг бөгөөд = үүнээс хойш энэ цэгт z функц байна. = 1 + y2 нь хамгийн бага нь нэгтэй тэнцүү байна. Г сегментийн төгсгөлд, цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн асуудлыг ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна. хамгийн бага утга"B" муж дахь z = x2+y2 функц нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь тухайн бүсийн дотоод 0(0, 0) цэгт хүрдэг бөгөөд энэ функцийн хоёртой тэнцүү хамгийн их утга нь дөрвөн цэгт хүрдэг. хилийн зааг (Зураг 25) Зураг 25 Дасгал Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол: Функцийн түвшний шугамыг байгуул: 9 Гурван бие даасан хувьсагчийн функцын түвшний гадаргууг ол: Функцийн хязгаарыг тооцоол: Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол. бүрэн дифференциалууд : Цогц функцийн деривативыг ол: 3 J. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумыг ол Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум гэсэн ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглан функцийг олно уу: 35. Цогцолборын деривативын томъёог ашиглана. хоёр хувьсагчийн функц, |J ба функцийг ол: Далдаар өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Шүргэх муруйн х = 3 шулуун шугамтай огтлолцох цэг дэх өнцгийн коэффициентийг ол. 41. Шүргэдэг цэгүүдийг ол. муруйн x нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. . Дараах бодлогод Т-г олоорой: Шүргэх хавтгай ба гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. x+4y хавтгайтай параллель x2 + 2y2 + 3z2 = 21 гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бич. + 6z = 0. Тейлорын томъёогоор тэлэлтийн эхний гурав, дөрвөн гишүүнийг ол : 50. (0, 0) цэгийн ойролцоох y. Функцийн экстремумын тодорхойлолтыг ашиглан экстремумын хувьд дараах функцуудыг шалгана уу:). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг шалгана уу: 84. Битүү тойрог доторх z = x2 - y2 функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол 85. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. x = 0, y = 0, x + y = b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн гурвалжин дахь * = x2y(4-x-y) функцийн. 88. Хамгийн бага гадаргуутай тэгш өнцөгт задгай усан сангийн эзэлхүүн нь V-тэй тэнцүү байх нөхцөлд түүний хэмжээсийг тодорхойл. Хариултууд 1. ба | Хажуу талыг нь оруулаад x шугамын хэсгүүдээс үүссэн дөрвөлжин. 3. Төвлөрсөн цагиргуудын бүлэг 2= 0,1,2,... .4. Шулуун шугам дээрх цэгүүдээс бусад бүх хавтгай. Параболын дээр байрлах хавтгайн хэсэг y = -x?. 8. x тойргийн цэгүүд. Шулуун шугамаас бусад бүх хавтгай x Радикал илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд сөрөг биш байна j * ^ эсвэл j x ^ ^ нь тэгш бус байдлын хязгааргүй цувралтай тэнцүү байна. l энэ нь хязгааргүй цуваатай тэнцүү Функц нь цэгээр тодорхойлогддог. a) Шулуун шугамтай параллель шулуунууд x б) төв нь эхэн дээрээ байгаа төвлөрсөн тойрог. 10. а) парабол y) парабол y a) парабол б) гипербол | .Онгоцууд xc. 13. Прим - Оз тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн нэг хөндийн гиперболоидууд; Оз тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн хоёр хуудас гиперболоид байх үед гадаргуугийн гэр бүл хоёулаа конусаар тусгаарлагдсан; Хязгаарлалт байхгүй, b) 0. 18. y = kxt дараа нь z lim z = -2 гэж тохируулъя, тиймээс (0,0) цэг дээрх өгөгдсөн функц хязгааргүй болно. 19. a) Цэг (0,0); b) цэг (0,0). 20. a) Хагарлын шугам - тойрог x2 + y2 = 1; б) таслах шугам нь y = x шулуун байна. 21. a) Хугарлын шугам - Ox ба Oy координатын тэнхлэгүүд; b) 0 (хоосон багц). 22. Бүх цэгүүд (m, n), энд ба n нь бүхэл тоо

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.Тухайн цэгийн тодорхой орчимд функц тодорхойлогдож, тэгш бус байдлыг хангаж байвал тухайн цэгийг функцийн хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг (тус тусын хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэг гэж нэрлэдэг).

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв экстремум цэг дээр функц эхний хэсэгчилсэн деривативтай бол тэдгээр нь энэ үед алга болно. Ийм функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд координатууд нь энэ системийг хангасан цэгүүдийг функцийн чухал цэгүүд гэж нэрлэдэг тэгшитгэлийн системийг шийдэх ёстой. Тэдгээрийн дунд хамгийн дээд оноо, хамгийн бага оноо, мөн экстремум биш цэгүүд байж болно.

Хэд хэдэн эгзэгтэй цэгүүдээс экстремум цэгүүдийг тодорхойлоход хангалттай экстремум нөхцөлийг ашигладаг бөгөөд доор жагсаав.

Функц нь критик цэг дээр тасралтгүй хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативтай байг. Хэрэв энэ үед

нөхцөл бол энэ нь хамгийн бага цэг бөгөөд хамгийн их цэг нь хэрэв эгзэгтэй цэг дээр байвал энэ нь экстремум цэг биш юм. Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг илүү нарийн судлах шаардлагатай бөгөөд энэ тохиолдолд экстремум цэг байж болно, үгүй ​​ч байж болно.

Гурван хувьсагчийн функцийн экстремум.Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд экстремум цэгүүдийн тодорхойлолт нь хоёр хувьсагчийн функцийн харгалзах тодорхойлолтыг үгчлэн давтана. Бид экстремумын функцийг судлах журмыг танилцуулахдаа хязгаарлагддаг. Тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олж, дараа нь эгзэгтэй цэг бүр дээр утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Хэрэв бүх гурван хэмжигдэхүүн эерэг байвал тухайн чухал цэг нь хамгийн бага цэг юм; хэрэв энэ чухал цэг нь хамгийн дээд цэг юм.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Функцийг тодорхойлсон цэгийн хөрш байх ба координат нь тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгийн хувьд (тус тусад нь) тухайн цэгийг функцийн нөхцөлт хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олохын тулд Лагранж функцийг ашиглана уу

Энэ тоог Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Гурван тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Лагранжийн функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг (мөн туслах хүчин зүйл А-ын утгыг) ол. Эдгээр чухал цэгүүдэд нөхцөлт экстремум байж болно. Дээрх систем нь зөвхөн экстремумын хувьд шаардлагатай нөхцлүүдийг хангадаг боловч хангалттай биш: нөхцөлт экстремумын цэг биш цэгүүдийн координатаар хангаж болно. Гэсэн хэдий ч асуудлын мөн чанарт үндэслэн эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг тогтоох боломжтой байдаг.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Хувьсагчдын функцийг тэгшитгэлээр холбосон тохиолдолд авч үзье