Туршилтын өгөгдлийг ойртуулах нь туршилтаар олж авсан өгөгдлийг анхны утгуудтай (туршилт эсвэл туршилтын явцад олж авсан өгөгдөл) зангилааны цэгүүдэд хамгийн ойр дамждаг эсвэл давхцдаг аналитик функцээр солиход үндэслэсэн арга юм. Одоогийн байдлаар аналитик функцийг тодорхойлох хоёр арга байдаг:
Дамждаг n зэрэглэлийн интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуулах замаар бүх цэгээр шуудөгөгдсөн өгөгдлийн массив. IN энэ тохиолдолдОйролцоо функцийг дараах байдлаар илэрхийлнэ: Лагранж хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнт эсвэл Ньютон хэлбэрээр интерполяцийн олон гишүүнт.
Өнгөрч буй n зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнтийг байгуулах замаар цэгүүдийн ойр орчимдӨгөгдсөн өгөгдлийн массиваас. Тиймээс, ойролцоолох функц нь туршилтын явцад гарч болох бүх санамсаргүй дуу чимээг (эсвэл алдааг) жигд болгодог: туршилтын явцад хэмжсэн утга нь өөрсдийнхөө дагуу өөрчлөгддөг санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарна. санамсаргүй хуулиуд(хэмжилтийн эсвэл багажийн алдаа, буруу эсвэл туршилтын алдаа). Энэ тохиолдолд ойролцоолох функцийг аргыг ашиглан тодорхойлно хамгийн бага квадратууд.
Хамгийн бага квадрат арга(Англи уран зохиолын энгийн хамгийн бага квадратууд, OLS) нь өгөгдсөн туршилтын өгөгдлийн массивын цэгүүдэд хамгийн ойр байрлах ойролцоолсон функцийг тодорхойлоход суурилсан математик арга юм. Анхны болон ойролцоолсон функцүүдийн F(x)-ийн ойролцоо байдлыг тоон хэмжүүрээр тодорхойлно, тухайлбал: F(x) ойролцоох муруйгаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр нь хамгийн бага байх ёстой.
Хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан ойролцоогоор муруй байгуулна
Хамгийн бага квадратын аргыг ашигладаг:
Тэгшитгэлийн тоо үл мэдэгдэх тооноос хэтэрсэн тохиолдолд хэт тодорхойлогдсон тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх;
Энгийн тохиолдолд шийдлийг олохын тулд (давчаагүй) шугаман бус системүүдтэгшитгэл;
Ойролцоох функц бүхий цэгийн утгыг ойртуулах.
Туршилтын өгөгдлийн массиваас тооцоолсон ойролцоолох функцийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийн нөхцлөөс хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан ойролцоолсон функцийг тодорхойлно. Хамгийн бага квадратын аргын энэ шалгуурыг дараах илэрхийлэл хэлбэрээр бичнэ.
Зангилааны цэгүүд дээр тооцоолсон ойролцоолох функцийн утгууд,
Зангилааны цэг дээрх туршилтын өгөгдлийн массив.
Квадрат шалгуур нь олон гишүүнт ойртуулах функцээр ойртуулах асуудлыг шийдвэрлэх өвөрмөц шийдэл болох ялгах чадвар зэрэг хэд хэдэн "сайн" шинж чанартай байдаг.
Бодлогын нөхцлөөс хамааран ойролцоолох функц нь m зэрэгтэй олон гишүүнт байна
Ойролцоох функцийн зэрэг нь зангилааны цэгүүдийн тооноос хамаардаггүй, гэхдээ түүний хэмжээ нь өгөгдсөн туршилтын өгөгдлийн массивын хэмжээсээс (цэгүүдийн тоо) үргэлж бага байх ёстой.
∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=1 бол хүснэгтэн функцийг шулуун шугамаар (шугаман регресс) ойролцоолно.
∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=2 бол хүснэгтийн функцийг ойролцоолно. квадрат парабол(квадрат ойртолт).
∙ Ойролцоо функцийн зэрэг нь m=3 бол хүснэгтийн функцийг куб параболаар (куб ойролцоо) ойролцоогоор тооцоолно.
IN ерөнхий тохиолдолөгөгдсөн m зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнт байгуулах шаардлагатай үед хүснэгтийн утгууд, бүх зангилааны цэгүүдийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийн нөхцөлийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.
- m зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд;
Тодорхойлсон хүснэгтийн утгуудын тоо.
Функцийн хамгийн бага байх зайлшгүй нөхцөл бол үл мэдэгдэх хувьсагчдын хувьд түүний хэсэгчилсэн деривативын тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. . Үүний үр дүнд бид авдаг дараах системтэгшитгэл:
Үр дүнг нь өөрчилье шугаман системтэгшитгэл: хаалт нээж, чөлөөт нэр томъёог илэрхийллийн баруун талд шилжүүлнэ. Үр дүнд нь шугаман систем алгебрийн илэрхийллүүддараах хэлбэрээр бичигдэнэ.
Энэхүү шугаман алгебр илэрхийллийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно.
Үүний үр дүнд систем бий болсон шугаман тэгшитгэл m+1 үл мэдэгдэхээс бүрдэх m+1 хэмжээс. Энэ системийг шугаман асуудлыг шийдэх ямар ч аргыг ашиглан шийдэж болно. алгебрийн тэгшитгэл(жишээлбэл, Гауссын аргаар). Уг шийдлийн үр дүнд анхны өгөгдлөөс ойртсон функцийн квадрат хазайлтын хамгийн бага нийлбэрийг өгдөг ойролцоолох функцийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох болно, өөрөөр хэлбэл. боломжит хамгийн сайн квадрат ойролцоо тооцоолол. Хэрэв эх өгөгдлийн нэг утга өөрчлөгдвөл бүх коэффициентүүд нь эх өгөгдлөөр бүрэн тодорхойлогддог тул утгуудаа өөрчилнө гэдгийг санах нь зүйтэй.
Шугаман хамаарлаар эх өгөгдлийн ойролцоох
(шугаман регресс)
Жишээлбэл, маягт дээр өгөгдсөн ойролцоолсон функцийг тодорхойлох техникийг авч үзье шугаман хамаарал. Хамгийн бага квадратын аргын дагуу квадрат хазайлтын нийлбэрийн хамгийн бага нөхцөлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Хүснэгтийн зангилааны координатууд;
Шугаман хамаарал гэж заасан ойролцоолох функцийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд.
Функцийн хамгийн бага байх зайлшгүй нөхцөл бол үл мэдэгдэх хувьсагчдын хувьд түүний хэсэгчилсэн деривативын тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Үүний үр дүнд бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг хувиргацгаая.
Бид үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Аналитик хэлбэрээр ойртох функцийн коэффициентийг дараах байдлаар тодорхойлно (Крамерын арга):
Эдгээр коэффициентүүд нь өгөгдсөн хүснэгтийн утгуудаас (туршилтын өгөгдөл) ойролцоолсон функцийн квадратуудын нийлбэрийг багасгах шалгуурын дагуу шугаман ойролцоо функцийг бий болгох боломжийг олгодог.
Хамгийн бага квадратын аргыг хэрэгжүүлэх алгоритм
1. Анхны өгөгдөл:
N хэмжилтийн тоо бүхий туршилтын өгөгдлийн массивыг зааж өгсөн болно
Ойролцоо олон гишүүнт (m) зэргийг зааж өгсөн болно
2. Тооцооллын алгоритм:
2.1. Хэмжээ бүхий тэгшитгэлийн системийг бий болгохын тулд коэффициентийг тодорхойлно
Тэгшитгэлийн системийн коэффициентүүд ( зүүн талтэгшитгэл)
- тэгшитгэлийн системийн квадрат матрицын баганын дугаарын индекс
Шугаман тэгшитгэлийн системийн чөлөөт нөхцөл ( баруун хэсэгтэгшитгэл)
- тэгшитгэлийн системийн квадрат матрицын эгнээний дугаарын индекс
2.2. Хэмжээтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх.
2.3. m зэрэгтэй ойролцоо олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
2.4. Бүх зангилааны цэгүүдийн анхны утгаас ойртож буй олон гишүүнтийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тодорхойлох
Квадрат хазайлтын нийлбэрийн олсон утга нь боломжит хамгийн бага байна.
Бусад функцуудыг ашиглан ойртуулах
Хамгийн бага квадратын аргын дагуу эх өгөгдлийг ойртуулахдаа логарифм функцийг заримдаа ойртох функц болгон ашигладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. экспоненциал функцба эрчим хүчний функц.
Логарифмын ойролцоо тооцоолол
Ойролцоо функцийг логарифмын функцээр өгөгдсөн тохиолдлыг авч үзье.
Хамгийн бага квадратын аргын мөн чанар нь аливаа санамсаргүй үзэгдлийн хөгжлийн хандлагыг цаг хугацаа, орон зайд хамгийн сайн тодорхойлсон чиг хандлагын загварын параметрүүдийг олоход (трэнд гэдэг нь энэ хөгжлийн чиг хандлагыг тодорхойлсон шугам юм). Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) даалгавар нь зөвхөн зарим чиг хандлагын загварыг олохоос гадна хамгийн сайн эсвэл оновчтой загварыг олох явдал юм. Хэрэв ажиглагдсан бодит утгууд болон холбогдох тооцоолсон чиг хандлагын утгуудын хоорондох квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага (хамгийн бага) байвал энэ загвар оновчтой байх болно.
Хаана - стандарт хэлбэлзэлажиглагдсан бодит утгын хооронд
болон харгалзах тооцоолсон чиг хандлагын утга,
Судалж буй үзэгдлийн бодит (ажиглагдсан) үнэ цэнэ,
Тренд загварын тооцоолсон утга,
Судалж буй үзэгдлийн ажиглалтын тоо.
MNC нь дангаар нь маш ховор хэрэглэгддэг. Дүрмээр бол энэ нь ихэвчлэн корреляцийн судалгаанд шаардлагатай техникийн арга хэрэгсэл болгон ашиглагддаг. MNC-ийн мэдээллийн үндэс нь зөвхөн найдвартай байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй статистик цуврал, мөн ажиглалтын тоо 4-өөс багагүй байх ёстой, эс тэгвээс OLS-ийн жигдрүүлэх процедур нь эрүүл ухаанаа алдаж болзошгүй.
MNC-ийн хэрэглүүр нь дараахь процедурыг багтаасан болно.
Эхний процедур. Сонгосон хүчин зүйл-аргумент өөрчлөгдөхөд үр дүнгийн шинж чанар өөрчлөгдөх хандлагатай эсэх, эсвэл өөрөөр хэлбэл " цагт "Ба" X ».
Хоёр дахь журам. Энэ чиг хандлагыг аль шугам (траектор) хамгийн сайн дүрсэлж, тодорхойлж болохыг тодорхойлдог.
Гурав дахь журам.
Жишээ. Судалгаанд хамрагдаж буй фермийн наранцэцгийн дундаж ургацын талаарх мэдээлэл бидэнд байна гэж бодъё (Хүснэгт 9.1).
Хүснэгт 9.1
|
Ажиглалтын дугаар |
||||||||||
|
Бүтээмж, ц/га |
Манай улсын наранцэцгийн үйлдвэрлэлийн технологийн түвшин сүүлийн 10 жилийн хугацаанд бараг өөрчлөгдөөгүй байгаа тул дүн шинжилгээ хийсэн хугацаанд ургацын хэлбэлзэл нь цаг агаар, цаг уурын нөхцөл байдлын хэлбэлзлээс ихээхэн хамааралтай байсан гэсэн үг юм. Энэ үнэхээр үнэн үү?
Эхний OLS процедур. Шинжилгээнд хамрагдсан 10 жилийн хугацаанд цаг агаар, цаг уурын нөхцөл байдлын өөрчлөлтөөс хамааран наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн хандлага байгаа гэсэн таамаглалыг шалгасан.
Энэ жишээнд " y "Наранцэцгийн ургацыг авах нь зүйтэй бөгөөд" x » – дүн шинжилгээ хийсэн хугацаанд ажиглагдсан жилийн тоо. хооронд ямар нэгэн хамаарал байгаа тухай таамаглалыг шалгах нь " x "Ба" y "Гараар болон компьютерийн программ ашиглан хоёр аргаар хийж болно. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв боломжтой бол компьютерийн тоног төхөөрөмжэнэ асуудал өөрөө шийдэгддэг. Гэхдээ MNC хэрэгслийг илүү сайн ойлгохын тулд "" хоорондын хамаарал байгаа тухай таамаглалыг шалгахыг зөвлөж байна. x "Ба" y » гарт зөвхөн үзэг болон энгийн тооны машин байгаа үед. Ийм тохиолдолд чиг хандлага байгаа гэсэн таамаглалыг дүн шинжилгээ хийсэн динамик цувралын график дүрсийн байршлаар хамгийн сайн шалгадаг - корреляцийн талбар:
Бидний жишээн дэх корреляцийн талбар нь аажмаар нэмэгдэж буй шугамын эргэн тойронд байрладаг. Энэ нь өөрөө наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн тодорхой хандлага байгааг харуулж байна. Корреляцийн талбар нь тойрог, тойрог, хатуу босоо эсвэл хатуу хэвтээ үүл шиг харагдах эсвэл эмх замбараагүй тархсан цэгүүдээс бүрдэх үед л ямар нэгэн хандлага байгаа талаар ярих боломжгүй юм. Бусад бүх тохиолдолд хоорондын хамаарал байгаа тухай таамаглал " x "Ба" y ", мөн судалгаагаа үргэлжлүүл.
Хоёрдахь OLS процедур. Шинжилгээнд хамрагдсан хугацаанд наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн чиг хандлагыг аль шугам (траектор) хамгийн сайн дүрсэлж, тодорхойлж болохыг тодорхойлдог.
Хэрэв танд компьютерийн технологи байгаа бол оновчтой чиг хандлагыг сонгох нь автоматаар явагдана. Гараар боловсруулах үед сонголт оновчтой функцДүрмээр бол харааны байдлаар - корреляцийн талбайн байршлаар гүйцэтгэдэг. Өөрөөр хэлбэл, графикийн төрлөөс хамааран эмпирик хандлагад (бодит замнал) хамгийн сайн тохирох шугамын тэгшитгэлийг сонгоно.
Мэдэгдэж байгаагаар байгальд олон төрлийн функциональ хамаарал байдаг тул тэдгээрийн өчүүхэн хэсгийг ч гэсэн нүдээр шинжлэх нь маш хэцүү байдаг. Аз болоход эдийн засгийн бодит практикт ихэнх харилцааг парабол, гипербол, шулуун шугамаар маш нарийн тодорхойлж болно. Үүнтэй холбогдуулан хамгийн сайн функцийг сонгох "гарын авлагын" сонголтоор та зөвхөн эдгээр гурван загварт өөрийгөө хязгаарлаж болно.
|
Гипербола: |
||
|
|
|
Хоёрдахь эрэмбийн парабол: 
:
Бидний жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн 10 жилийн хугацаанд наранцэцгийн ургацын өөрчлөлтийн хандлага нь шулуун шугамаар хамгийн сайн тодорхойлогддог тул регрессийн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Гурав дахь журам. Параметрүүдийг тооцоолсон регрессийн тэгшитгэлөгөгдсөн шугамыг тодорхойлох, өөрөөр хэлбэл тодорхойлсон аналитик томъёог тодорхойлно шилдэг загварчиг хандлага.
Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн утгыг олох нь манай тохиолдолд ба параметрүүд нь OLS-ийн цөм юм. Энэ процесс нь ердийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хүргэдэг.
(9.2)
Энэ тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар амархан шийдэж болно. Шийдлийн үр дүнд бидний жишээн дээр параметрийн утгууд олддог гэдгийг санацгаая. Тиймээс олсон регрессийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. 
Өгөгдсөн функцийг бусад энгийн функцээр ойролцоогоор дүрслэх боломжийг олгодог тул олон програмтай. LSM нь ажиглалтыг боловсруулахад маш их хэрэгтэй байж болох бөгөөд санамсаргүй алдаа агуулсан бусдын хэмжилтийн үр дүнд үндэслэн зарим хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход идэвхтэй ашигладаг. Энэ нийтлэлээс та Excel дээр хамгийн бага квадратуудын тооцоог хэрхэн хэрэгжүүлэх талаар сурах болно.
Тодорхой жишээ ашиглан асуудлын тайлбар
X ба Y гэсэн хоёр үзүүлэлт байна гэж бодъё. Түүнээс гадна, Y нь X-ээс хамаарна. OLS нь регрессийн шинжилгээний үүднээс (Excel-д түүний аргуудыг суулгасан функцуудыг ашиглан хэрэгжүүлдэг) сонирхдог тул бид нэн даруй дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. тодорхой асуудал.
Тэгэхээр Х нь хүнсний дэлгүүрийн квадрат метрээр хэмжигдэх жижиглэнгийн талбай, Y нь сая рублиэр хэмжигдэх жилийн эргэлт гэж үзье.
Хэрэв дэлгүүрт энэ болон бусад жижиглэнгийн талбай байгаа бол ямар эргэлт (Y) байх талаар урьдчилан таамаглах шаардлагатай. Хайпермаркет нь лангуунаас илүү их бараа зардаг тул Y = f (X) функц нэмэгдэж байгаа нь ойлгомжтой.
Урьдчилан таамаглахад ашигласан анхны өгөгдлийн зөв байдлын талаар хэдэн үг хэлье
Бидэнд n дэлгүүрт зориулсан өгөгдлийг ашиглан бүтээсэн хүснэгт байна гэж бодъё.
дагуу математик статистик, наад зах нь 5-6 объектын мэдээллийг шалгавал үр дүн нь их бага зөв байх болно. Үүнээс гадна "гажиг" үр дүнг ашиглах боломжгүй. Ялангуяа элит жижиг нэрийн дэлгүүр нь "масмаркет" ангиллын томоохон жижиглэн худалдааны цэгүүдийн эргэлтээс хэд дахин их эргэлттэй байж болно.
Аргын мөн чанар
Хүснэгтийн өгөгдлийг декартын хавтгайд M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) цэг хэлбэрээр дүрсэлж болно. Одоо асуудлын шийдлийг M 1, M 2, .. M n цэгүүдэд аль болох ойртуулах графиктай y = f (x) ойролцоох функцийг сонгох хүртэл бууруулна.
Мэдээжийн хэрэг та өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнтийг ашиглаж болно, гэхдээ энэ сонголтыг хэрэгжүүлэхэд хэцүү төдийгүй зүгээр л буруу, учир нь энэ нь илрүүлэх шаардлагатай гол чиг хандлагыг тусгахгүй. Хамгийн боломжийн шийдэл бол туршилтын өгөгдлүүдийг хамгийн сайн ойролцоолсон y = ax + b шулуун шугамыг хайж олох явдал юм, эсвэл илүү нарийвчлалтай бол a, b коэффициентүүд.
Нарийвчлалын үнэлгээ
Аливаа ойролцоо тооцооллын хувьд түүний нарийвчлалыг үнэлэх нь онцгой ач холбогдолтой юм. x i цэгийн функциональ ба туршилтын утгуудын ялгааг (хазайлт) e i гэж тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл e i = y i - f (x i).
Ойролцоогоор үнэн зөвийг үнэлэхийн тулд та хазайлтын нийлбэрийг ашиглаж болох нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл X-ийн Y-ээс хамаарлыг ойролцоогоор илэрхийлэх шулуун шугамыг сонгохдоо та өөрт нь давуу эрх олгох хэрэгтэй. хамгийн бага утганийлбэр e i бүх авч үзсэн цэгүүд. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш, учир нь эерэг хазайлтаас гадна сөрөг талууд байх болно.
Асуудлыг хазайлтын модуль эсвэл тэдгээрийн квадрат ашиглан шийдэж болно. Сүүлийн арга нь хамгийн өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь регрессийн шинжилгээ (Excel-д суурилуулсан хоёр функцийг ашиглан хэрэгжүүлсэн) зэрэг олон салбарт ашиглагддаг бөгөөд үр дүнтэй нь удаан хугацааны туршид батлагдсан.
Хамгийн бага квадрат арга
Excel нь та бүхний мэдэж байгаагаар сонгосон мужид байрлах бүх утгын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог AutoSum функцтэй. Тиймээс илэрхийллийн утгыг (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) тооцоолоход юу ч саад болохгүй.
IN математик тэмдэглэгээЭнэ нь иймэрхүү байна:
Шулуун шугамыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолох шийдвэрийг анх гаргасан тул бид дараах байдалтай байна.
Тиймээс хамгийн сайн дүрсэлсэн мөрийг олох даалгавар тодорхой хамаарал X ба Y хэмжигдэхүүнүүд нь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолоход хүрдэг.
Үүнийг хийхийн тулд та a, b шинэ хувьсагчдад хамаарах хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, 2 үл мэдэгдэх хэлбэрийн хоёр тэгшитгэлээс бүрдсэн команд системийг шийдэх хэрэгтэй.
2-т хуваах, нийлбэрийг удирдах зэрэг энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.
Жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан бид тодорхой коэффициент бүхий суурин цэгийг олж авна a * ба b *. Энэ бол хамгийн бага хэмжээ, өөрөөр хэлбэл тодорхой газар нутагт дэлгүүр ямар эргэлттэй байхыг урьдчилан таамаглахад y = a * x + b * шулуун шугам тохиромжтой бөгөөд энэ нь тухайн жишээний регрессийн загвар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тодорхой үр дүнг олох боломжийг танд олгохгүй, гэхдээ энэ нь дэлгүүрийн зээлээр тодорхой газар худалдаж авах нь үр дүнгээ өгөх эсэх талаар ойлголттой болоход тусална.
Excel дээр хамгийн бага квадратуудыг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ
Excel нь хамгийн бага квадратуудыг ашиглан утгыг тооцоолох функцтэй. Энэ нь дараах хэлбэртэй байна: “TREND” (мэдэгдэж буй Y утгууд; мэдэгдэж буй X утгууд; шинэ X утгууд; тогтмол). Excel-ийн OLS-ийг тооцоолох томъёог хүснэгтэндээ ашиглацгаая.
Үүнийг хийхийн тулд Excel програмын хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг харуулах нүдэнд "=" тэмдгийг оруулаад "TREND" функцийг сонгоно уу. Нээгдсэн цонхонд тохирох талбаруудыг бөглөж, тодруулна уу:
- Y-ийн мэдэгдэж буй утгын хүрээ (энэ тохиолдолд худалдааны эргэлтийн өгөгдөл);
- муж x 1 , …x n , өөрөөр хэлбэл жижиглэнгийн талбайн хэмжээ;
- алдартай ба үл мэдэгдэх утгууд x, үүний тулд та эргэлтийн хэмжээг олж мэдэх хэрэгтэй (тэдгээрийн байршлын талаархи мэдээллийг ажлын хуудсан дээр доороос үзнэ үү).
Нэмж дурдахад томъёо нь "Const" логик хувьсагчийг агуулдаг. Хэрэв та харгалзах талбарт 1 гэж оруулбал b = 0 гэж тооцож тооцооллыг хийх ёстой гэсэн үг юм.
Хэрэв та нэгээс олон x утгын урьдчилсан мэдээг олж мэдэх шаардлагатай бол томьёог оруулсны дараа "Enter" товчийг дарж болохгүй, харин гар дээр "Shift" + "Control" + "Enter" хослолыг бичих хэрэгтэй.
Зарим онцлог
Регрессийн шинжилгээ нь дамми хүмүүст ч хүртээмжтэй байж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчийн массивын утгыг таамаглах Excel томъёо-TREND-ийг хамгийн бага квадратын талаар сонсож байгаагүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Түүний ажлын зарим шинж чанарыг мэдэхэд л хангалттай. Тухайлбал:
- Хэрэв та y хувьсагчийн мэдэгдэж буй утгуудын мужийг нэг мөр эсвэл баганад байрлуулбал мөр (багана) бүрийг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ x-г программ тусдаа хувьсагч болгон авч үзэх болно.
- Хэрэв TREND цонх нь мэдэгдэж буй х-тэй мужийг заагаагүй бол функцийг ашиглаж байгаа бол Excel програмҮүнийг бүхэл тооноос бүрдэх массив гэж үзэх бөгөөд тэдгээрийн тоо нь y хувьсагчийн өгөгдсөн утгатай мужид тохирно.
- “Таамагласан” утгуудын массивыг гаргахын тулд чиг хандлагыг тооцоолох илэрхийллийг массивын томьёо болгон оруулах шаардлагатай.
- Хэрэв x-ийн шинэ утгыг заагаагүй бол TREND функц нь тэдгээрийг мэдэгдэж байгаатай тэнцүү гэж үзнэ. Хэрэв тэдгээрийг заагаагүй бол 1-р массивыг аргумент болгон авна; 2; 3; 4;…, энэ нь аль хэдийн тодорхойлсон параметр y-тэй мужтай тохирч байна.
- Шинэ x утгуудыг агуулсан муж нь өгөгдсөн y утгуудыг агуулсан мужтай ижил буюу түүнээс олон мөр эсвэл баганатай байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагчидтай пропорциональ байх ёстой.
- Мэдэгдэж буй x утгууд бүхий массив нь олон хувьсагч агуулж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид зөвхөн нэгний тухай ярьж байгаа бол x ба y-ийн өгөгдсөн утгатай мужууд пропорциональ байх шаардлагатай. Хэд хэдэн хувьсагчийн хувьд өгөгдсөн y утгатай мужийг нэг багана эсвэл нэг мөрөнд багтаах шаардлагатай.
ТААМАГЛАХ функц
Хэд хэдэн функцийг ашиглан хэрэгжүүлсэн. Тэдгээрийн нэгийг “ТААМАГЛАЛ” гэж нэрлэдэг. Энэ нь "TREND"-тэй төстэй, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллын үр дүнг өгдөг. Гэсэн хэдий ч Y-ийн утга тодорхойгүй зөвхөн нэг X-д зориулагдсан.
Одоо та шугаман чиг хандлагын дагуу тодорхой үзүүлэлтийн ирээдүйн утгыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог даммидад зориулсан Excel-ийн томъёог мэддэг болсон.
Жишээ.
Хувьсагчийн утгын туршилтын өгөгдөл XТэгээд цагтхүснэгтэд өгөгдсөн.
Тэдгээрийг тохируулсны үр дүнд функцийг олж авдаг 
Ашиглаж байна хамгийн бага квадрат арга, эдгээр өгөгдлийг шугаман хамаарлаар ойролцоол y=ax+b(параметрүүдийг олох АТэгээд б). Хоёр мөрийн аль нь (хамгийн бага квадратын аргын утгаараа) туршилтын өгөгдлүүдийг зэрэгцүүлж байгааг олж мэд. Зураг зурах.
Хамгийн бага квадратын аргын (LSM) мөн чанар.
Даалгавар бол хоёр хувьсагчийн функц ажиллах шугаман хамаарлын коэффициентийг олох явдал юм АТэгээд б
хамгийн бага утгыг авдаг. Өгөгдсөн гэсэн үг АТэгээд болсон шулуун шугамаас туршилтын өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх болно. Энэ бол хамгийн бага квадратын аргын бүх санаа юм.
Тиймээс жишээг шийдэх нь хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход хүргэдэг.
Коэффициент олох томьёо гаргана.
Хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж, шийддэг. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох 
хувьсагчаар АТэгээд б, бид эдгээр деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж байна. 
Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргыг ашиглан шийддэг (жишээлбэл орлуулах аргаарэсвэл Крамерын арга) ба хамгийн бага квадратын аргыг (LSM) ашиглан коэффициентийг олох томъёог олж авна. 
Өгсөн АТэгээд бфункц 
хамгийн бага утгыг авдаг. Энэ баримтыг нотлох баримтыг өгсөн болно хуудасны төгсгөлд байгаа текстийн доор.
Энэ бол хамгийн бага квадратуудын бүх арга юм. Параметрийг олох томъёо а,,, болон параметрийн нийлбэрүүдийг агуулна n- туршилтын өгөгдлийн хэмжээ. Эдгээр дүнгийн утгыг тусад нь тооцоолохыг зөвлөж байна. Коэффицент бтооцооны дараа олдсон а.
Анхны жишээг санах цаг болжээ.
Шийдэл.
Бидний жишээнд n=5. Шаардлагатай коэффициентүүдийн томъёонд орсон дүнг тооцоолоход хялбар байх үүднээс бид хүснэгтийг бөглөнө. 
Хүснэгтийн дөрөв дэх эгнээний утгыг тоо бүрийн 2-р эгнээний утгыг 3-р эгнээний утгуудаар үржүүлэх замаар олж авна. би.
Хүснэгтийн тав дахь эгнээний утгыг тоо тус бүрийн 2-р эгнээний утгуудын квадратаар олж авна. би.
Хүснэгтийн сүүлчийн баганад байгаа утгууд нь мөр хоорондын утгуудын нийлбэр юм.
Коэффициентийг олохын тулд бид хамгийн бага квадратын аргын томъёог ашигладаг АТэгээд б. Бид хүснэгтийн сүүлчийн баганаас харгалзах утгуудыг тэдгээрт орлуулна. 
Тиймээс, у = 0.165x+2.184- хүссэн ойролцоох шулуун шугам.
Аль мөрийг нь олж мэдэх л үлдлээ у = 0.165x+2.184эсвэл 
анхны өгөгдөлд илүү ойртож, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан тооцооллыг хийдэг.
Хамгийн бага квадратын аргын алдааны тооцоо.
Үүнийг хийхийн тулд та эдгээр мөрүүдээс анхны өгөгдлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй 
Тэгээд 
, жижиг утга нь хамгийн бага квадратын аргын утгаараа анхны өгөгдөлд илүү сайн ойртсон шугамтай тохирч байна. 
-ээс хойш, дараа нь шууд у = 0.165x+2.184анхны өгөгдөлд илүү ойртох болно.
Хамгийн бага квадратуудын (LS) аргын график дүрслэл.
График дээр бүх зүйл тодорхой харагдаж байна. Улаан шугам нь олсон шулуун шугам юм у = 0.165x+2.184, цэнхэр шугам нь 
, ягаан цэгүүд нь анхны өгөгдөл юм.
Практикт янз бүрийн үйл явцыг загварчлахдаа, тухайлбал эдийн засаг, физик, техникийн, нийгмийн - тодорхой тогтмол цэгүүдэд мэдэгдэж буй утгуудаас функцүүдийн ойролцоо утгыг тооцоолох нэг буюу өөр аргыг өргөн ашигладаг.
Энэ төрлийн функцийг ойртуулах асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг:
туршилтын үр дүнд олж авсан хүснэгтэн өгөгдлийг ашиглан судалж буй процессын шинж чанарын утгыг тооцоолох ойролцоо томъёог бүтээхдээ;
тоон интеграл, ялгаварлал, шийдэлд дифференциал тэгшитгэлгэх мэт;
шаардлагатай бол авч үзсэн интервалын завсрын цэгүүдэд функцүүдийн утгыг тооцоолох;
харгалзан үзсэн интервалаас гадуурх үйл явцын шинж чанарын утгыг тодорхойлох, ялангуяа урьдчилан таамаглах үед.
Хүснэгтээр тодорхойлсон тодорхой процессыг загварчлахын тулд бид хамгийн бага квадратын аргад тулгуурлан энэ процессыг ойролцоогоор тодорхойлсон функцийг байгуулбал үүнийг ойролцоолох функц (регресс) гэж нэрлэх ба ойролцоох функцийг бүтээх ажлыг өөрөө нэрлэх болно. ойролцоолох асуудал.
Энэ нийтлэлд энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх MS Excel багцын чадавхийг авч үзэхээс гадна хүснэгтэн функцүүдийн регрессийг бүтээх (бүтээх) арга, техникийг (энэ нь регрессийн шинжилгээний үндэс болсон) өгдөг.
Excel нь регресс үүсгэх хоёр сонголттой.
Сонгосон регресс нэмэх ( чиг хандлагын шугамууд- чиг хандлагын шугамууд) судалж буй үйл явцын шинж чанарын өгөгдлийн хүснэгтэд үндэслэсэн диаграммд (зөвхөн баригдсан диаграм байгаа тохиолдолд л боломжтой);
Excel-ийн ажлын хуудасны суурилагдсан статистик функцийг ашиглан эх сурвалжийн өгөгдлийн хүснэгтээс шууд регресс (трэнд шугам) авах боломжийг танд олгоно.
Диаграммд чиг хандлагын шугам нэмэх
Процессыг дүрсэлсэн, диаграмаар дүрсэлсэн өгөгдлийн хүснэгтийн хувьд Excel нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгодог үр дүнтэй регрессийн шинжилгээний хэрэгсэлтэй.
хамгийн бага квадратын аргын үндсэн дээр барьж, диаграммд судалж буй процессыг янз бүрийн нарийвчлалтайгаар загварчлах таван төрлийн регрессийг нэмэх;
бүтээсэн регрессийн тэгшитгэлийг диаграммд нэмэх;
Сонгосон регрессийн диаграммд үзүүлсэн өгөгдөлтэй харьцах зэргийг тодорхойлох.
Графикийн өгөгдөл дээр үндэслэн Excel нь тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугаман, олон гишүүнт, логарифм, хүч, экспоненциал регрессийн төрлийг олж авах боломжийг олгодог.
у = у(х)
Энд x нь бие даасан хувьсагч бөгөөд ихэвчлэн натурал тоонуудын дарааллын утгыг (1; 2; 3; ...) авч, жишээлбэл, судалж буй үйл явцын цаг хугацааны (шинж чанар) тооллогыг үүсгэдэг.
1 . Шугаман регресс нь тогтмол хурдаар нэмэгдэж, буурах шинж чанарыг загварчлахад тохиромжтой. Энэ бол судалж буй процесст зориулж бүтээх хамгийн энгийн загвар юм. Энэ нь тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:
y = mx + b
Энд m нь налуу өнцгийн тангенс юм шугаман регрессабсцисса тэнхлэг рүү; b - шугаман регрессийн ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.
2 . Олон гишүүнт чиг хандлагын шугам нь хэд хэдэн ялгаатай туйл (максим ба минимум) бүхий шинж чанарыг тодорхойлоход хэрэгтэй. Олон гишүүнт зэргийн сонголтыг судалж буй шинж чанарын экстремумуудын тоогоор тодорхойлно. Тиймээс, хоёр дахь зэрэглэлийн олон гишүүнт нь зөвхөн нэг максимум эсвэл хамгийн багатай процессыг сайн тодорхойлж чадна; гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт - хоёр экстремумаас илүүгүй; дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт - гурваас илүүгүй экстремум гэх мэт.
Энэ тохиолдолд чиг хандлагын шугамыг тэгшитгэлийн дагуу байгуулна.
y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6
Энд c0, c1, c2,... c6 коэффициентүүд нь барилгын ажлын явцад тодорхойлогддог тогтмолууд юм.
3 . Логарифмын чиг хандлагын шугамыг утгууд нь эхлээд хурдан өөрчлөгдөж, дараа нь аажмаар тогтворждог шинж чанаруудыг загварчлахад амжилттай ашигладаг.
y = c ln(x) + b
4 . Судалгаанд хамрагдаж буй харилцааны үнэ цэнэ нь өсөлтийн хурдны тогтмол өөрчлөлтөөр тодорхойлогддог бол эрчим хүчний хуулийн чиг хандлагын шугам нь сайн үр дүнг өгдөг. Ийм хамаарлын жишээ бол машины жигд хурдасгасан хөдөлгөөний график юм. Хэрэв өгөгдөлд тэг эсвэл сөрөг утга байгаа бол та эрчим хүчний чиг хандлагын шугамыг ашиглах боломжгүй.
Тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:
y = c xb
Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.
5 . Өгөгдлийн өөрчлөлтийн хурд тасралтгүй нэмэгдэж байгаа үед экспоненциал чиг хандлагын шугамыг ашиглах хэрэгтэй. Тэг эсвэл сөрөг утгатай өгөгдлийн хувьд энэ төрлийн ойролцооллыг мөн хэрэглэхгүй.
Тэгшитгэлийн дагуу бүтээгдсэн:
y = c ebx
Энд b, c коэффициентүүд тогтмол байна.
Трендийн шугамыг сонгохдоо Excel нь R2-ийн утгыг автоматаар тооцдог бөгөөд энэ нь ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлыг тодорхойлдог. илүү ойр үнэ цэнэ R2 нь нэгдмэл байх тусам чиг хандлагын шугам нь судалж буй процесстой ойртох тусам найдвартай байх болно. Шаардлагатай бол R2 утгыг график дээр үргэлж харуулах боломжтой.
Томъёогоор тодорхойлно:
Өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд:
цуврал өгөгдөл дээр үндэслэн диаграмыг идэвхжүүлэх, өөрөөр хэлбэл диаграмын талбарт дарна уу. Диаграмын зүйл үндсэн цэсэнд гарч ирнэ;
Энэ зүйл дээр дарсны дараа дэлгэцэн дээр "Тренд нэмэх" командыг сонгох цэс гарч ирнэ.
Мэдээллийн цувралын аль нэгэнд тохирох график дээр хулганы заагчийг хөдөлгөж, хулганы баруун товчийг дарснаар ижил үйлдлүүдийг хялбархан хийж болно; Гарч ирэх контекст цэснээс Add Trend line командыг сонгоно. Тренд шугамын харилцах цонх нь Type tab-ыг нээсэн үед дэлгэцэн дээр гарч ирнэ (Зураг 1).
Үүний дараа танд хэрэгтэй:
Төрөл таб дээрээс шаардлагатай чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгоно уу (шугаман төрлийг анхдагчаар сонгосон). Олон гишүүнт төрлийн хувьд Degree талбарт сонгосон олон гишүүнтийн зэргийг зааж өгнө.
1 . Built on series талбар нь тухайн диаграм дахь бүх өгөгдлийн цувралуудыг жагсаадаг. Тодорхой өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэхийн тулд Built on series талбараас нэрийг нь сонгоно уу.
Шаардлагатай бол "Параметр" таб (Зураг 2) руу орж, чиг хандлагын шугамын хувьд дараах параметрүүдийг тохируулж болно.
Ойролцоо (гөлгөр) муруй талбарын нэр дэх трендийн шугамын нэрийг өөрчлөх.
Урьдчилан таамаглах талбарт урьдчилан таамаглах хугацааны тоог (урагш эсвэл урагш) тохируулах;
диаграмын талбарт чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг харуулах ба үүний тулд диаграмм дээрх тэгшитгэлийг харуулахыг идэвхжүүлэх ёстой;
диаграмын талбарт найдвартай байдлын ойролцоолсон R2 утгыг харуулах ба үүний тулд та "Оролцоогоор найдвартай байдлын утгыг диаграмм дээр байрлуулах" (R^2) нүдийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;
чиг хандлагын шугамын Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тохируулах ба үүний тулд та муруйг Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй;
Харилцах цонхыг хаахын тулд OK товчийг дарна уу.
Аль хэдийн зурсан чиг хандлагын шугамыг засварлаж эхлэхийн тулд гурван арга бий:
Өмнө нь чиг хандлагын шугамыг сонгосны дараа Формат цэсний Сонгосон чиг хандлагын шугам командыг ашиглах;
чиг хандлагын шугам дээр хулганы баруун товчийг дарж дуудагдах контекст цэснээс Format Trend line командыг сонгоно уу;
чиг хандлагын шугам дээр давхар товш.
"Тренд шугамын формат" харилцах цонх дэлгэцэн дээр гарч ирэх болно (Зураг 3), "Харах", "Төрөл", "Үзүүлэлтүүд" гэсэн гурван таб агуулсан бөгөөд сүүлийн хоёрын агуулга нь Trend Line харилцах цонхны ижил төстэй табуудтай бүрэн давхцаж байна (Зураг 1). -2). Харах таб дээр та шугамын төрөл, түүний өнгө, зузааныг тохируулж болно.
Аль хэдийн зурсан трендийн шугамыг устгахын тулд устгах трендийн шугамыг сонгоод Delete товчийг дарна уу.
Регрессийн шинжилгээний хэрэгслийн давуу талууд нь:
өгөгдлийн хүснэгт үүсгэхгүйгээр график дээр чиг хандлагын шугамыг бий болгох харьцангуй хялбар байдал;
санал болгож буй чиг хандлагын шугамын төрлүүдийн нэлээд өргөн жагсаалт бөгөөд энэ жагсаалтад хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг регрессийн төрлүүд багтсан болно;
судалж буй үйл явцын зан үйлийг дур зоргоороо (ерөнхий мэдрэмжийн хүрээнд) урагш, мөн хойшлох алхамаар урьдчилан таамаглах чадвар;
чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр олж авах чадвар;
шаардлагатай бол ойролцоогоор тооцооллын найдвартай байдлын үнэлгээг авах боломж.
Сул талууд нь дараахь зүйлийг агуулна.
чиг хандлагын шугамыг барих нь зөвхөн цуврал өгөгдөл дээр суурилсан диаграм байгаа тохиолдолд л хийгддэг;
Тренд шугамын тэгшитгэл дээр үндэслэн судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх үйл явц нь бага зэрэг эмх замбараагүй байдаг: шаардлагатай регрессийн тэгшитгэлүүд нь анхны өгөгдлийн цувралын утгын өөрчлөлт бүрт шинэчлэгддэг, гэхдээ зөвхөн диаграмын хэсэгт л хамаарна. , байхад өгөгдлийн цуврал, хуучин чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл дээр үндэслэн үүсгэсэн, өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;
Пивот диаграмын тайланд диаграмм эсвэл холбогдох Пивот хүснэгтийн тайлангийн харагдах байдлыг өөрчлөх нь одоо байгаа чиг хандлагын шугамыг хадгалахгүй бөгөөд энэ нь та чиг хандлагын шугам зурах эсвэл Пивот диаграмын тайланг өөр хэлбэрээр форматлахаас өмнө тайлангийн бүтэц шаардлагатай шаардлагад нийцэж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
График, гистограмм, хавтгай стандартын бус талбайн диаграм, баганан диаграм, тараах диаграм, бөмбөлөг диаграм, хувьцааны диаграм зэрэг диаграммд үзүүлсэн өгөгдлийн цувралыг нэмэхийн тулд чиг хандлагын шугамыг ашиглаж болно.
Та 3D, нормчлогдсон, радар, бялуу, гурилан графикт өгөгдлийн цувралд чиг хандлагын шугам нэмэх боломжгүй.
Excel-ийн суулгасан функцуудыг ашиглах
Excel нь диаграмын гадна талд чиг хандлагын шугамыг зурах регрессийн шинжилгээний хэрэгсэлтэй. Энэ зорилгоор ашиглаж болох хэд хэдэн статистикийн ажлын хуудасны функцууд байдаг боловч тэдгээр нь зөвхөн шугаман эсвэл экспоненциал регрессийг бий болгох боломжийг олгодог.
Excel нь шугаман регрессийг бий болгох хэд хэдэн функцтэй, тухайлбал:
SLOPE болон CUT.
TREND;
Экспоненциал чиг хандлагын шугамыг бий болгох хэд хэдэн функц, тухайлбал:
LGRFPRIBL.
TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан регрессийг бий болгох арга техник нь бараг ижил гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. LINEST болон LGRFPRIBL хос функцүүдийн талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Эдгээр дөрвөн функцийн хувьд утгын хүснэгтийг үүсгэхдээ массивын томъёо гэх мэт Excel функцуудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь регрессийг бий болгох үйл явцыг тодорхой хэмжээгээр саатуулдаг. Шугаман регрессийн бүтээн байгуулалтыг бидний бодлоор SLOPE ба INTERCEPT функцийг ашиглан хамгийн хялбар гүйцэтгэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь шугаман регрессийн налууг, хоёр дахь нь регрессийн тасалдсан сегментийг тодорхойлдог. у тэнхлэг.
Регрессийн шинжилгээнд зориулсан суулгасан функцийн хэрэгслийн давуу талууд нь:
чиг хандлагын шугамыг тодорхойлдог бүх суурилагдсан статистик функцүүдэд судалж буй шинж чанарын өгөгдлийн цуваа үүсгэх нэлээд энгийн, жигд үйл явц;
үүсгэсэн өгөгдлийн цуврал дээр тулгуурлан чиг хандлагын шугам байгуулах стандарт аргачлал;
судалж буй үйл явцын зан төлөвийг урагш эсвэл хойшлогдох шаардлагатай тооны алхамаар урьдчилан таамаглах чадвар.
Сул тал нь Excel-д өөр төрлийн (шугаман ба экспоненциал) чиг хандлагын шугам үүсгэх зориулалттай суулгасан функц байхгүй байна. Энэ нөхцөл байдал нь ихэвчлэн судалж буй үйл явцын хангалттай үнэн зөв загварыг сонгох, бодит байдалд ойртсон урьдчилсан мэдээг олж авах боломжийг олгодоггүй. Түүнчлэн, TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглах үед чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл тодорхойгүй байна.
Зохиогчид регрессийн шинжилгээний явцыг ямар ч бүрэн дүүрэн байдлаар танилцуулахыг зориогүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний гол ажил бол ойролцоох асуудлыг шийдвэрлэхдээ Excel багцын чадварыг тодорхой жишээн дээр харуулах явдал юм; регресс болон таамаглалыг бий болгоход Excel-д ямар үр дүнтэй хэрэгсэл байгааг харуулах; Регрессийн шинжилгээний талаар өргөн мэдлэггүй хэрэглэгч хүртэл ийм асуудлыг хэрхэн харьцангуй амархан шийдэж болохыг харуулах.
Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жагсаалтад орсон Excel хэрэгслүүдийг ашиглан тодорхой асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая.
Асуудал 1
Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн 1995-2002 оны ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгттэй. та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.
Диаграмм бүтээх.
Диаграммд шугаман болон олон гишүүнт (квадрат ба куб) чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.
Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж аваарай.
Аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн прогноз гарга.
Асуудлын шийдэл
Excel-ийн ажлын хуудасны A4:C11 нүднүүдийн хүрээнд Зураг дээр үзүүлсэн ажлын хуудсыг оруулна уу. 4.
B4:C11 нүднүүдийн хүрээг сонгосны дараа бид диаграммыг байгуулна.
Бид бүтээгдсэн диаграммыг идэвхжүүлж, дээр дурдсан аргын дагуу Trend Line харилцах цонхонд чиг хандлагын шугамын төрлийг сонгосны дараа (1-р зургийг үз) диаграммд шугаман, квадрат, куб трендийн шугамуудыг ээлжлэн нэмнэ. Ижил харилцах цонхонд Параметрийн табыг нээнэ үү (Зураг 2-ыг үз), ойролцоох (тэгшгэсэн) муруй талбарт нэмж байгаа трендийн нэрийг оруулаад, Forecast forward for: periods талбарт хоёр жилийн хугацаанд ашгийн таамаглал гаргахаар төлөвлөж байгаа тул үнэ цэнэ 2. Диаграммын талбарт регрессийн тэгшитгэл болон ойролцоолсон найдвартай байдлын утгыг R2 харуулахын тулд дэлгэцийн хайрцган дээрх тэгшитгэлийг харуулахыг идэвхжүүлж, диаграм дээр ойртсон найдвартай байдлын утгыг (R^2) байрлуулна. Илүү сайн харагдахын тулд бид бий болгосон чиг хандлагын шугамын төрөл, өнгө, зузааныг өөрчилдөг бөгөөд үүний тулд Trend Line Format харилцах цонхны Харах табыг ашигладаг (3-р зургийг үз). Нэмэлт чиг хандлагын шугам бүхий үр дүнгийн диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 5.
1995-2004 оны чиг хандлагын шугам тус бүрээр аж ахуйн нэгжийн ашгийн хүснэгтийн мэдээллийг авах. Зураг дээр үзүүлсэн чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглацгаая. 5. Үүнийг хийхийн тулд D3:F3 мужын нүднүүдэд сонгосон трендийн шугамын төрлийн тухай текстийн мэдээллийг оруулна: Шугаман тренд, Квадрат тренд, Куб тренд. Дараа нь D4 нүдэнд шугаман регрессийн томъёог оруулаад дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог D5:D13 нүдний мужид харьцангуй лавлагаатайгаар хуулна. D4:D13 нүдний мужаас шугаман регрессийн томьёотой нүд бүр нь аргумент болгон A4:A13 мужаас харгалзах нүдтэй байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүний нэгэн адил квадрат регрессийн хувьд E4:E13 нүднүүдийн мужийг, куб регрессийн хувьд F4:F13 нүдний мужийг дүүргэнэ. Ийнхүү аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн урьдчилсан тооцоог гаргажээ. гурван чиг хандлагыг ашиглан. Үр дүнгийн утгын хүснэгтийг Зураг дээр үзүүлэв. 6.
Асуудал 2
Диаграмм бүтээх.
Диаграммд логарифм, хүч, экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмнэ үү.
Хүлээн авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэл, түүнчлэн тэдгээрийн R2 ойролцоох найдвартай байдлын утгыг гарга.
Тренд шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 1995-2002 оны чиг хандлагын шугам тус бүрийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх хүснэгтэн мэдээллийг олж авна.
Эдгээр чиг хандлагын шугамыг ашиглан компанийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гарга.
Асуудлын шийдэл
1-р асуудлыг шийдэх аргачлалын дагуу бид логарифм, хүч, экспоненциал чиг хандлагын шугамыг нэмсэн диаграммыг олж авна (Зураг 7). Дараа нь олж авсан чиг хандлагын шугамын тэгшитгэлийг ашиглан 2003, 2004 оны таамагласан утгыг багтаасан аж ахуйн нэгжийн ашгийн утгын хүснэгтийг бөглөнө. (Зураг 8).
Зураг дээр. 5 ба зураг. логарифмын хандлагатай загвар нь найдвартай байдлын хамгийн бага утгатай тохирч байгааг харж болно.
R2 = 0.8659
R2-ийн хамгийн өндөр утга нь олон гишүүнт хандлагатай загваруудад тохирч байна: квадрат (R2 = 0.9263) ба куб (R2 = 0.933).
Асуудал 3
1-р даалгаварт өгөгдсөн 1995-2002 оны автотээврийн аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаархи мэдээллийн хүснэгтийн дагуу та дараах алхмуудыг хийх ёстой.
TREND болон GROW функцийг ашиглан шугаман болон экспоненциал чиг хандлагын шугамын өгөгдлийн цувааг олж авна.
TREND болон ӨСӨЛТ функцийг ашиглан аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гарга.
Анхны өгөгдөл болон өгөгдлийн цувралын диаграммыг байгуул.
Асуудлын шийдэл
1-р асуудалд ажлын хуудсыг ашиглая (4-р зургийг үз). TREND функцээс эхэлье:
D4: D11 нүднүүдийн мужийг сонгох бөгөөд энэ нь аж ахуйн нэгжийн ашгийн талаарх мэдэгдэж буй өгөгдөлд харгалзах TREND функцийн утгуудаар дүүргэгдсэн байх ёстой;
Insert цэснээс Function командыг дуудна. Гарч ирэх функцийн шидтэн харилцах цонхноос Статистик ангилалаас TREND функцийг сонгоод OK товчийг дарна уу. Стандарт хэрэгслийн самбар дээрх (Insert Function) товчийг дарснаар ижил үйлдлийг хийж болно.
Гарч буй "Функцийн аргументууд" харилцах цонхны "Мэдэгдэж буй_утга" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж;
Оруулсан томъёог массив томьёо болгохын тулд + + товчлуурын хослолыг ашиглана уу.
Томъёоны мөрөнд бидний оруулсан томъёо дараах байдалтай харагдана: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).
Үүний үр дүнд D4: D11 нүднүүдийн хүрээ нь TREND функцийн харгалзах утгуудаар дүүрсэн байна (Зураг 9).
Аж ахуйн нэгжийн 2003, 2004 оны ашгийн таамаглалыг гаргах. шаардлагатай:
TREND функцээр урьдчилан таамагласан утгуудыг оруулах D12:D13 нүдний мужийг сонгоно уу.
TREND функцийг дуудаж, гарч ирэх "Функцийн аргументууд" харилцах цонхонд "Мэдэгдэж буй_утга_у" талбарт C4:C11 нүдний мужийг оруулна уу; Мэдэгдэж буй_утга_х талбарт - B4:B11 нүдний муж; мөн Шинэ_утга_х талбарт - B12:B13 нүдний муж.
Ctrl + Shift + Enter товчлуурын хослолыг ашиглан энэ томъёог массивын томьёо болгон хувиргана уу.
Оруулсан томьёо нь дараах байдлаар харагдах болно: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), D12:D13 нүднүүдийн муж нь TREND функцийн урьдчилан таамагласан утгуудаар дүүрнэ (Зураг 1-ийг үз). 9).
Өгөгдлийн цуваа нь шугаман бус хамаарлыг шинжлэхэд ашигладаг GROWTH функцийг ашиглан бөглөсөн бөгөөд шугаман TREND-тэй яг адилхан ажилладаг.
Зураг 10-д хүснэгтийг томъёоны дэлгэцийн горимд харуулав.
Эхний өгөгдөл болон олж авсан өгөгдлийн цувралын хувьд диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. арван нэгэн.
Асуудал 4
Автотээврийн аж ахуйн нэгжийн диспетчерийн үйлчилгээ үзүүлэх хүсэлтийг тухайн сарын 1-ээс 11-ний өдрийг хүртэлх хугацаанд хүлээн авсан мэдээллийн хүснэгтийн дагуу та дараахь үйлдлүүдийг хийх ёстой.
Шугаман регрессийн өгөгдлийн цуваа авах: SLOPE болон INTERCEPT функцийг ашиглан; LINEST функцийг ашиглан.
LGRFPRIBL функцийг ашиглан экспоненциал регрессийн цуврал өгөгдлийг аваарай.
Дээрх функцуудыг ашиглан тухайн сарын 12-ноос 14-ний хооронд диспетчерийн үйлчилгээнд өргөдөл хүлээн авах урьдчилсан мэдээг гарга.
Анхны болон хүлээн авсан өгөгдлийн цувралын диаграммыг үүсгэ.
Асуудлын шийдэл
TREND болон ӨСӨЛТ функцүүдээс ялгаатай нь дээр дурдсан функцүүдийн аль нь ч (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) регресс биш гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр функцууд нь шаардлагатай регрессийн параметрүүдийг тодорхойлоход туслах үүрэг гүйцэтгэдэг.
SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB функцуудыг ашиглан бүтээгдсэн шугаман болон экспоненциал регрессийн хувьд TREND болон ӨСӨЛТ функцэд тохирох шугаман болон экспоненциал регрессээс ялгаатай нь тэгшитгэлийн харагдах байдал нь үргэлж мэдэгддэг.
1 . Шугаман регрессийг тэгшитгэлээр байгуулъя.
y = mx+b
SLOPE ба INTERCEPT функцийг ашиглан регрессийн налууг m SLOPE функцээр, чөлөөт b гишүүнийг INTERCEPT функцээр тодорхойлно.
Үүнийг хийхийн тулд бид дараахь үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
анхны хүснэгтийг A4:B14 нүдний мужид оруулна уу;
m параметрийн утгыг C19 нүдэнд тодорхойлно. Statistical ангилалаас Slope функцийг сонгох; мэдэгдэж байгаа_утга_y талбарт B4:B14 нүдний мужийг, мэдэгдэж буй_утга_х талбарт A4:A14 нүдний мужийг оруулна. Томьёог C19 нүдэнд оруулна: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);
Үүнтэй төстэй техникийг ашиглан D19 нүдний b параметрийн утгыг тодорхойлно. Үүний агуулга нь дараах байдлаар харагдах болно: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Тиймээс шугаман регрессийг бий болгоход шаардагдах m ба b параметрүүдийн утгыг C19, D19 нүдэнд тус тус хадгална;
Дараа нь C4 нүдэнд шугаман регрессийн томьёог =$C*A4+$D хэлбэрээр оруулна. Энэ томъёонд C19 ба D19 нүднүүд үнэмлэхүй лавлагаатай бичигдсэн байдаг (хуулбарлах явцад нүдний хаяг өөрчлөгдөх ёсгүй). Үнэмлэхүй лавлагааны тэмдгийг $ гараас эсвэл курсорыг нүдний хаяг дээр байрлуулсны дараа F4 товчлуурыг ашиглан бичиж болно. Бөглөх бариулыг ашиглан энэ томьёог C4:C17 нүднүүдийн мужид хуулна. Бид шаардлагатай өгөгдлийн цувралыг олж авдаг (Зураг 12). Хүсэлтийн тоо нь бүхэл тоо байдаг тул "Cell Format" цонхны Number таб дээр аравтын бутархайн оронтой тооны форматыг 0 болгож тохируулах хэрэгтэй.
2 . Одоо тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугаман регрессийг байгуулъя.
y = mx+b
LINEST функцийг ашиглан.
Үүний тулд:
C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)) нүдний мужид LINEST функцийг массивын томьёо болгон оруулна уу. Үүний үр дүнд бид C20 нүдэнд m параметрийн утгыг, D20 нүдэнд b параметрийн утгыг авна;
D4 нүдэнд томьёог оруулна: =$C*A4+$D;
Энэ томьёог бөглөх тэмдэглэгээг ашиглан D4:D17 нүдний мужид хуулж, хүссэн өгөгдлийн цувралыг аваарай.
3 . Бид тэгшитгэлээр экспоненциал регрессийг байгуулна.
LGRFPRIBL функцийг ашиглан дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
C21:D21 нүдний мужид бид LGRFPRIBL функцийг массив томъёогоор оруулна: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Энэ тохиолдолд m параметрийн утгыг C21 нүдэнд, b параметрийн утгыг D21 нүдэнд тодорхойлно;
томъёог E4 нүдэнд оруулна: =$D*$C^A4;
дүүргэх тэмдэглэгээг ашиглан энэ томьёог экспоненциал регрессийн өгөгдлийн цуваа байрлах E4:E17 нүдний мужид хуулна (12-р зургийг үз).
Зураг дээр. 13-р зурагт бидний ашигладаг функцуудыг шаардлагатай нүдний мужууд болон томъёог харж болох хүснэгтийг харуулав.
Хэмжээ Р 2 дуудсан тодорхойлох коэффициент.
Регрессийн хамаарлыг бий болгох даалгавар нь R коэффициент хамгийн их утгыг авах загварын (1) m коэффициентүүдийн векторыг олох явдал юм.
R-ийн ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд томъёог ашиглан тооцоолсон Фишерийн F тестийг ашигладаг
Хаана n- дээжийн хэмжээ (туршилтын тоо);
k нь загварын коэффициентүүдийн тоо юм.
Хэрэв F нь өгөгдлийн зарим чухал утгыг давсан бол nТэгээд кболон хүлээн зөвшөөрөгдсөн итгэлийн магадлал, дараа нь R утгыг чухал ач холбогдолтой гэж үзнэ. Хүснэгтүүд чухал үнэ цэнэ F нь математик статистикийн лавлах номонд өгөгдсөн.
Тиймээс R-ийн ач холбогдлыг зөвхөн үнэ цэнээр нь биш, мөн туршилтын тоо болон загварын коэффициентүүдийн (параметрүүдийн) тоо хоорондын харьцаагаар тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ энгийн шугаман загварын хувьд n=2-ын корреляцийн харьцаа 1-тэй тэнцүү байна (хавтгайн 2 цэгээр үргэлж нэг шулуун шугамыг зурж болно). Гэхдээ туршилтын өгөгдөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол R-ийн ийм утгыг маш болгоомжтой итгэх хэрэгтэй. Ихэвчлэн мэдэгдэхүйц R ба найдвартай регрессийг олж авахын тулд туршилтын тоо нь загварын коэффициентүүдийн тооноос (n>k) ихээхэн давахыг хичээдэг.
Шугаман регрессийн загварыг бий болгохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.
1) туршилтын өгөгдөл агуулсан n мөр, m баганын жагсаалтыг бэлтгэх (гаралтын утгыг агуулсан багана) Южагсаалтын эхний эсвэл сүүлчийнх байх ёстой); Жишээлбэл, өмнөх даалгаврын өгөгдлийг авч, "Үеийн дугаар" гэсэн багана нэмж, 1-ээс 12 хүртэлх хугацааны дугаарыг дугаарлана. (эдгээр нь утгууд байх болно. X)
2) Data/Data Analysis/Regression цэс рүү орно
Хэрэв "Хэрэгслүүд" цэсний "Өгөгдлийн шинжилгээ" зүйл байхгүй бол та ижил цэсний "Нэмэлт" зүйл рүү очоод "Шинжилгээний багц" гэсэн нүдийг шалгана уу.
3) "Регресс" харилцах цонхонд:
· оролтын интервал Y;
· оролтын интервал X;
· гаралтын интервал - тооцооллын үр дүнг байрлуулах интервалын зүүн дээд нүд (шинэ ажлын хуудсан дээр байрлуулахыг зөвлөж байна);
4) "Ok" дээр дарж үр дүнд дүн шинжилгээ хийнэ.
Хамгийн бага квадрат аргарегрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг тооцоолоход ашигладаг.Шинж чанар хоорондын стохастик хамаарлыг судлах аргуудын нэг бол регрессийн шинжилгээ юм.
Регрессийн шинжилгээ гэдэг нь өөр (эсвэл бусад) хувьсагчийн (хүчин зүйл-шинж чанар) нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний (үр дүнгийн шинж чанар) дундаж утгыг олдог регрессийн тэгшитгэлийн гаралт юм. Үүнд дараах алхмууд орно.
- холболтын хэлбэрийг сонгох (аналитик регрессийн тэгшитгэлийн төрөл);
- тэгшитгэлийн параметрийн тооцоо;
- аналитик регрессийн тэгшитгэлийн чанарын үнэлгээ.
Шугаман хос хамаарлын хувьд регрессийн тэгшитгэл нь y i =a+b·x i +u i хэлбэртэй байна. Энэ тэгшитгэлийн a ба b параметрүүдийг өгөгдлөөр тооцсон болно статистик ажиглалт x ба y. Ийм үнэлгээний үр дүн нь тэгшитгэл юм: , энд , a ба b параметрийн тооцоолол , регрессийн тэгшитгэлээс (тооцсон утга) олж авсан шинж чанарын (хувьсагчийн) утга юм.
Ихэнхдээ параметрүүдийг тооцоолоход ашигладаг хамгийн бага квадратын арга (LSM).
Хамгийн бага квадратын арга нь регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн хамгийн сайн (тогтвортой, үр ашигтай, шударга бус) үнэлгээг өгдөг. Гэхдээ санамсаргүй нэр томъёо (u) ба бие даасан хувьсагч (x)-ын талаархи тодорхой таамаглалууд хангагдсан тохиолдолд л (OLS таамаглалыг үзнэ үү).
Шугаман хос тэгшитгэлийн параметрүүдийг хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолох асуудалдараах байдалтай байна: үр дүнгийн шинж чанарын бодит утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр нь тооцоолсон утгуудаас y i - хамгийн бага байх параметрүүдийн ийм тооцоог олж авах.
Албан ёсоор OLS тестингэж бичиж болно: 
.
Хамгийн бага квадратын аргуудын ангилал
- Хамгийн бага квадрат арга.
- Хамгийн их магадлалын арга (хэвийн сонгодог шугаман регрессийн загварын хувьд регрессийн үлдэгдлийн хэвийн байдлыг тогтооно).
- Алдааны автокорреляци болон гетероскедастикийн тохиолдолд ерөнхийлсөн хамгийн бага квадратын OLS аргыг ашигладаг.
- Жинлэсэн хамгийн бага квадратын арга ( онцгой тохиолдолгетероскедатик үлдэгдэл бүхий OLS).
Гол санааг тайлбарлая сонгодог аргаГрафикаар хамгийн бага квадратууд. Үүний тулд тэгш өнцөгт координатын систем дэх ажиглалтын өгөгдөл (x i, y i, i=1;n) дээр үндэслэн тархалтын графикийг байгуулна (ийм тархалтын графикийг корреляцийн талбар гэнэ). Корреляцийн талбайн цэгүүдэд хамгийн ойр байрлах шулуун шугамыг сонгохыг оролдъё. Хамгийн бага квадратын аргын дагуу шугамыг корреляцийн талбайн цэгүүд ба энэ шугамын хоорондох босоо зайны квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байхаар сонгоно. 
Энэ асуудлын математик тэмдэглэгээ: 
.
y i ба x i =1...n утгууд нь бидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд эдгээр нь ажиглалтын өгөгдөл юм. S функцэд тэдгээр нь тогтмолуудыг илэрхийлдэг. Энэ функцын хувьсагч нь параметрүүдийн шаардлагатай тооцоолол юм - , . Хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд параметр бүрийн хувьд энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолж, тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай. 
.
Үүний үр дүнд бид 2 хэвийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна. 
Шийдвэрлэж байна энэ систем, бид шаардлагатай параметрийн тооцоог олно: 
Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн тооцооны зөв эсэхийг дүнг харьцуулах замаар шалгаж болно (тооцооллын дугуйрсан байдлаас шалтгаалан зарим зөрүүтэй байж болно).
Параметрийн тооцоог тооцоолохын тулд та 1-р хүснэгтийг үүсгэж болно.
Регрессийн коэффициент b тэмдэг нь харилцааны чиглэлийг заана (хэрэв b >0 бол хамаарал шууд, хэрэв b бол<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Албан ёсоор a параметрийн утга нь x нь тэгтэй тэнцэх y-ийн дундаж утга юм. Хэрэв атрибут хүчин зүйл нь тэг утгагүй бөгөөд байж чадахгүй бол a параметрийн дээрх тайлбар нь утгагүй болно.
Онцлог шинж чанаруудын хоорондын харилцааны ойр байдлыг үнэлэх
шугаман хос корреляцийн коэффициент - r x,y ашиглан гүйцэтгэнэ. Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно. 
. Үүнээс гадна шугаман хос корреляцийн коэффициентийг b регрессийн коэффициентээр тодорхойлж болно: 
.
Шугаман хос корреляцийн коэффициентийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь -1-ээс +1 хүртэл байна. Корреляцийн коэффициентийн тэмдэг нь харилцааны чиглэлийг заана. Хэрэв r x, y >0 бол холболт шууд байна; хэрэв r x, y<0, то связь обратная.
Хэрэв энэ коэффициент хэмжигдэхүүнээр нэгдмэл байвал шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг нэлээд ойр шугаман гэж тайлбарлаж болно. Хэрэв түүний модуль нь нэг ê r x, y ê =1-тэй тэнцүү бол шинж чанаруудын хоорондын хамаарал функциональ шугаман байна. Хэрэв x ба y шинж чанарууд нь шугаман хамааралгүй бол r x,y нь 0-тэй ойролцоо байна.
r x,y-ийг тооцоолохдоо 1-р хүснэгтийг ашиглаж болно.
Хүснэгт 1
| N ажиглалт | x i | y i | x i ∙y i | ||
| 1 | x 1 | y 1 | x 1 y 1 | ||
| 2 | x 2 | y 2 | x 2 y 2 | ||
| ... | |||||
| n | x n | у н | x n y n | ||
| Баганын нийлбэр | ∑x | ∑ ж | ∑xy | ||
| Дундаж утга |
 |
 |
,
Энд d 2 нь регрессийн тэгшитгэлээр тайлбарласан y-ийн дисперс;
e 2 - y-ийн үлдэгдэл (регрессийн тэгшитгэлээр тайлбарлагдаагүй) дисперс;
s 2 y - y-ийн нийт (нийт) дисперс.
Детерминацийн коэффициент нь регресс (болон улмаар х хүчин зүйл)-ээр тайлбарласан үр дүнгийн шинж чанарын y-ийн өөрчлөлтийн (тархалтын) хувь хэмжээг тодорхойлдог. Тодорхойлох коэффициент R 2 yx нь 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авна. Үүний дагуу 1-R 2 yx утга нь загвар болон техникийн үзүүлэлтийн алдааг харгалзан үзээгүй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүссэн y хэлбэлзлийн эзлэх хувийг тодорхойлдог.
Хосолсон шугаман регрессийн үед R 2 yx =r 2 yx.
