Матрицтай шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Ингээд авч үзье шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAU) харьцангуй nүл мэдэгдэх x 1 , x 2 , ..., x n :

Энэ системийг "нурсан" хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

С n i=1 а ij x j = б би , i=1,2, ..., n.

Матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу авч үзсэн систем шугаман тэгшитгэлдотор бичиж болно матриц хэлбэр Сүх=б, Хаана

, ,.

Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц. Баганын матриц б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн баруун гар талуудыг баруун талын матриц эсвэл энгийнээр нэрлэдэг. системийн баруун тал. Баганын матриц x Элементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэх зүйлсийг нэрлэдэг системийн шийдэл.

хэлбэрээр бичигдсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем Сүх=б, байна матрицын тэгшитгэл.

Хэрэв системийн матриц доройтдоггүй, тэгвэл тэр байна урвуу матрицдараа нь системийн шийдэл Сүх=бтомъёогоор өгөгдсөн:

x=A -1 б.

ЖишээСистемийг шийд матрицын арга.

Шийдэлсистемийн коэффициент матрицын урвуу матрицыг олъё

Тодорхойлогчийг эхний мөрийн дагуу тэлэх замаар тооцоолъё.

Учир нь Δ ≠ 0 , Тэр А -1 байдаг.

Урвуу матрицыг зөв олсон.

Системийн шийдлийг олцгооё

Тиймээс, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Шалгалт:

7. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын тухай Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэртэй байна:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Энд a i j ба b i (i = ; j = ) өгөгдсөн ба x j нь үл мэдэгдэх бодит тоо юм. Матрицын үржвэрийн тухай ойлголтыг ашиглан бид (5.1) системийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Энд A = (a i j) нь системийн (5.1) үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. системийн матриц, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T нь үл мэдэгдэх x j ба чөлөөт гишүүн b i-ээс бүрдэх баганын векторууд юм.

Захиалсан цуглуулга nбодит тоонууд (c 1, c 2,..., c n) гэж нэрлэдэг системийн шийдэл(5.1), хэрэв эдгээр тоонуудыг харгалзах x 1, x 2,..., x n хувьсагчийн оронд орлуулсны үр дүнд системийн тэгшитгэл бүр арифметик ижилсэл болж хувирвал; өөрөөр хэлбэл AC  B байх C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T вектор байвал.

Систем (5.1) гэж нэрлэдэг хамтарсан,эсвэл шийдвэрлэх боломжтой,Хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. систем гэж нэрлэдэг нийцэхгүй,эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй, хэрэв шийдэл байхгүй бол.

,

А матрицын баруун талд чөлөөт нэр томъёоны баганыг өгснөөр үүссэнийг гэнэ системийн өргөтгөсөн матриц.

(5.1) системийн нийцтэй байдлын асуудлыг дараах теоремоор шийднэ.

Кронекер-Капелли теорем . Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн A ба A матрицуудын зэрэглэлүүд давхцаж байвал нийцтэй байна, өөрөөр хэлбэл. r(A) = r(A) = r.

(5.1) системийн шийдлийн M багцын хувьд гурван боломж байна.

1) M =  (энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна);

2) M нь нэг элементээс бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (энэ тохиолдолд системийг дуудна тодорхой);

3) M нь нэгээс олон элементээс бүрддэг (дараа нь системийг дууддаг тодорхойгүй). Гурав дахь тохиолдолд (5.1) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.

Зөвхөн r(A) = n тохиолдолд л систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос багагүй байна (mn); хэрэв m>n бол дараа нь m-n тэгшитгэлбусдын үр дагавар юм. Хэрэв 0

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх системийг шийдэх чадвартай байх хэрэгтэй. Крамер төрлийн системүүд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системийг (5.3) дараахь аргуудын аль нэгээр шийддэг: 1) Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга; 2) Крамерын томъёоны дагуу; 3) матрицын арга.

Жишээ 2.12. Тэгшитгэлийн системийг судалж, хэрэв энэ нь нийцэж байвал шийднэ үү.

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Шийдэл.Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

 .

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолъё. Жишээ нь зүүн дээд буланд байгаа хоёрдугаар эрэмбийн минор = 7  0 байх нь ойлгомжтой. түүнийг агуулсан гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байна:

Үүний үр дүнд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2, i.e. r(A) = 2. Өргөтгөсөн A матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хилийн минорыг авч үзье.

энэ нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл r(A) = 3 гэсэн үг. r(A)  r(A) тул систем нь нийцэхгүй байна.

Эхний хэсэгт бид зарим онолын материал, орлуулах арга, түүнчлэн системийн тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх аргыг авч үзсэн. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад хандсан хүн бүрийг эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Зарим зочдод энэ материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би математикийн асуудлыг шийдэхтэй холбоотой маш чухал тайлбар, дүгнэлтийг хийсэн.

Одоо бид Крамерын дүрмийг шинжлэхээс гадна урвуу матриц (матрицын арга) ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх болно. Бүх материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, тодорхой танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудыг ашиглан системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах боломжтой болно.

Эхлээд бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзэх болно. Юуны төлөө? – Эцсийн эцэст, хамгийн энгийн системийг сургуулийн арга, улирал бүрээр нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ийм даалгавар гардаг - Крамерын томъёог ашиглан хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх. Хоёрдугаарт, энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг илүү төвөгтэй тохиолдолд - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системд хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусална.

Үүнээс гадна хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийг ашиглан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцдог, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
Тэгээд

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтийг мөн латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Дараах томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндсийг олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна; баруун талд таслал бүхий аравтын бутархай байдаг. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин бөгөөд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудтай болж магадгүй бөгөөд шийдлийн загвар нь зүгээр л аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд бас ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

;

Хариулт: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёогоор шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албадмалДаалгаврын дизайны хэсэг нь дараахь хэсэг юм. "Энэ нь систем өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооцоологч дээр хялбархан хийх боломжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоо утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал та баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултыг энгийн буруу бутархайгаар илэрхийлнэ үү. Шалгах.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (эцсийн загвар болон хичээлийн төгсгөлд хариултын жишээ).

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзье.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёр хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Хариулт: .

Үнэн хэрэгтээ, шийдэл нь бэлэн томъёоны дагуу явагддаг тул энд дахин хэлэх онцгой зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн сэтгэгдэл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв танд компьютер байхгүй бол дараах зүйлийг хий.

1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. "Муу" фракцтай тулгармагц та тэр даруй шалгах хэрэгтэй Нөхцөлийг зөв бичсэн үү?. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөл ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол ажлын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл, дараа нь тайван, болгоомжтой хий шалгахаа мартуузаймөн шийдвэр гарсны дараа бид үүнийг цэвэр хуудсан дээр зурдаг. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч тэнэглэлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвсэггүй аргумент байх болно. Бутархайг хэрхэн зохицуулах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв танд компьютер байгаа бол хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой автоматжуулсан програм ашиглан шалгаарай. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө); та алдаа гаргасан завсрын алхамыг шууд харах болно! Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
– алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг байрлуулна.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй мөр (багана) -ын дагуу тодорхойлогчдыг тэгээр нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (эцсийн дизайны дээж ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогчдын шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр энэ даалгавар нь азтай оюутны цээжин дээрх профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг тэлэх, матрицын урвуу талыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.

Жишээ 11

Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичье.
, Хаана

Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Матриц руу элементүүдийг бичих зарчмыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг байрлуулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд тодорхойлогчийг харцгаая:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд матрицын аргыг ашиглан системийг шийдэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд системийг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргаар (Гаусын арга) шийддэг.

Одоо бид 9 насанд хүрээгүй хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний мөр, гурав дахь баганад, жишээлбэл, элемент нь 3 мөр, 2 баганад байгааг илтгэнэ.

n-р эрэмбийн квадрат матриц байг

А -1 матриц гэж нэрлэдэг урвуу матрицА матрицтай харьцуулахад A*A -1 = E бол E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм.

Таних матриц- зүүн дээд булангаас баруун доод буланд дамжих үндсэн диагональ дагуух бүх элементүүд нэг, үлдсэн хэсэг нь тэг байх ийм дөрвөлжин матриц, жишээлбэл:

урвуу матрицбайж болно зөвхөн квадрат матрицын хувьдтэдгээр. мөр, баганын тоо давхцаж байгаа матрицуудын хувьд.

Урвуу матрицын орших нөхцөлийн теорем

Матриц урвуу матрицтай байхын тулд энэ нь ганц биш байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

A = (A1, A2,...A n) матрицыг дуудна доройтдоггүй, баганын векторууд шугаман хамааралгүй бол. Матрицын шугаман бие даасан баганын векторуудын тоог матрицын зэрэг гэнэ. Тиймээс урвуу матриц оршин тогтнохын тулд матрицын зэрэглэл нь түүний хэмжээстэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэж хэлж болно. r = n.

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хүснэгтэд А матрицыг бичээд баруун талд нь (тэгшитгэлийн баруун талын оронд) Е матрицыг онооно.
2. Жорданы хувиргалтыг ашиглан А матрицыг нэгж баганаас бүрдэх матриц болгон бууруулна; Энэ тохиолдолд E матрицыг нэгэн зэрэг хувиргах шаардлагатай.
3. Шаардлагатай бол анхны хүснэгтийн А матрицын доор E таних матрицыг авахын тулд сүүлчийн хүснэгтийн мөрүүдийг (тэгшитгэл) дахин зохион байгуул.
4. Анхны хүснэгтийн Е матрицын доор байрлах сүүлийн хүснэгтэд байрлах A -1 урвуу матрицыг бич.

Жишээ 1

А матрицын хувьд урвуу А -1 матрицыг ол

Шийдэл: А матрицыг бичээд баруун талд нь таних Е матрицыг оноож өгнө.Жорданы хувиргалтуудыг ашиглан А матрицыг E адилтгал матриц руу буулгана.Тооцооллыг 31.1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Анхны А матриц ба урвуу матриц А -1-ийг үржүүлж тооцоолол зөв эсэхийг шалгая.

Матрицын үржүүлгийн үр дүнд таних матрицыг олж авсан. Тиймээс тооцоог зөв хийсэн.

Хариулт:

Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Матрицын тэгшитгэлүүд дараах байдлаар харагдаж болно.

AX = B, HA = B, AXB = C,

Энд A, B, C нь заасан матрицууд, X нь хүссэн матриц юм.

Матрицын тэгшитгэлийг урвуу матрицаар үржүүлэх замаар шийддэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлээс матрицыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийг зүүн талд үржүүлэх хэрэгтэй.

Иймд тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд урвуу матрицыг олж, тэгшитгэлийн баруун талд байгаа матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шийддэг.

Жишээ 2

AX = B тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Урвуу матриц нь тэнцүү тул (1-р жишээг үзнэ үү)

Эдийн засгийн шинжилгээнд матрицын арга

Бусадтай хамт тэдгээрийг бас ашигладаг матрицын аргууд. Эдгээр аргууд нь шугаман болон вектор матрицын алгебр дээр суурилдаг. Ийм аргуудыг эдийн засгийн цогц, олон талт үзэгдлийг шинжлэхэд ашигладаг. Ихэнхдээ эдгээр аргуудыг байгууллага, тэдгээрийн бүтцийн хэлтсийн үйл ажиллагаанд харьцуулсан үнэлгээ хийх шаардлагатай үед ашигладаг.

Матрицын шинжилгээний аргыг хэрэглэх явцад хэд хэдэн үе шатыг ялгаж салгаж болно.

Эхний шатандэдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн тогтолцоог бүрдүүлж, түүний үндсэн дээр системийн дугаарыг тус тусад нь мөр болгон харуулсан хүснэгт болох анхны мэдээллийн матрицыг бүрдүүлдэг. (i = 1,2,....., n), босоо баганад - үзүүлэлтүүдийн тоо (j = 1,2,.....,м).

Хоёр дахь шатандБосоо багана бүрийн хувьд боломжит үзүүлэлтүүдийн хамгийн том утгыг тодорхойлсон бөгөөд үүнийг нэг болгон авна.

Үүний дараа энэ баганад тусгагдсан бүх дүнг хамгийн том утгад хувааж, стандартчилагдсан коэффициентүүдийн матриц үүснэ.

Гурав дахь шатандматрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд квадрат хэлбэртэй байна. Хэрэв тэдгээр нь өөр өөр ач холбогдолтой бол матрицын үзүүлэлт бүрт тодорхой жингийн коэффициентийг оноодог к. Сүүлчийн үнэ цэнийг шинжээчийн дүгнэлтээр тодорхойлно.

Сүүлийнх дээр, дөрөв дэх үе шатүнэлгээний утгыг олсон Ржөсөлт, бууралтын дарааллаар нь бүлэглэнэ.

Тодорхойлсон матрицын аргуудыг жишээлбэл, янз бүрийн хөрөнгө оруулалтын төслүүдэд харьцуулсан дүн шинжилгээ хийх, түүнчлэн байгууллагын үйл ажиллагааны бусад эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийг үнэлэхэд ашиглах ёстой.

(заримдаа энэ аргыг матрицын арга эсвэл урвуу матрицын арга гэж нэрлэдэг) SLAE-ийн тэмдэглэгээний матриц хэлбэр гэх мэт ойлголттой урьдчилан танилцахыг шаарддаг. Урвуу матрицын арга нь системийн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матрицыг квадрат гэж үздэг (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг). Урвуу матрицын аргын мөн чанарыг гурван цэгээр илэрхийлж болно.

1. Системийн матриц $A$, үл мэдэгдэх матриц $X$, чөлөөт нөхцлийн матриц $B$ гэсэн гурван матрицыг бич.
2. $A^(-1)$ урвуу матрицыг ол.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлийг ашиглан өгөгдсөн SLAE-ийн шийдлийг ол.

Аливаа SLAE нь матриц хэлбэрээр $A\cdot X=B$ хэлбэрээр бичигдэж болох бөгөөд энд $A$ нь системийн матриц, $B$ нь чөлөөт нөхцлийн матриц, $X$ нь үл мэдэгдэх матриц юм. $A^(-1)$ матриц байг. $A\cdot X=B$ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талд байгаа $A^(-1)$ матрицаар үржүүлье.

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ нь таних матриц) тул дээрх тэгш байдал нь дараах байдалтай болно.

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ тул:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Жишээ №1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$-г урвуу матриц ашиглан шийд.

$$ A=\left(\эхлэх(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Системийн матрицын урвуу матрицыг олъё, өөрөөр хэлбэл. $A^(-1)$-г тооцоолъё. Жишээ №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун) . $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлъё. Дараа нь бид матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (в) -3\\ 2\төгсгөх(массив)\баруун). $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end() тэгш байдлыг авсан. массив )\right)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Хариулт: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Жишээ №2

SLAE $ \left\(\begin(зэрэгцүүлсэн) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(зэрэгцүүлсэн)\баруун)-г шийднэ үү. .$ урвуу матрицын аргыг ашиглан.

$A$ системийн матриц, $B$ чөлөөт гишүүний матриц, $X$ үл мэдэгдэх матрицыг бичье.

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Одоо системийн матрицын урвуу матрицыг олох ээлж ирлээ, өөрөөр хэлбэл. $A^(-1)$ олох. Урвуу матрицыг олоход зориулагдсан хуудасны №3 жишээнд урвуу матрицыг аль хэдийн олчихсон байна. Дууссан үр дүнг ашиглаад $A^(-1)$ гэж бичье:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив)\баруун). $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлуулаад баруун талд матрицын үржүүлгийг хийцгээе. энэ тэгш байдлын тухай.

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\баруун)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) -1\\0\ \6\төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\баруун)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (c) 0\\-4\\9\төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс бид $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(массив) (c) 0\\-4 тэгш байдлыг олж авлаа. \ \9\төгсгөл(массив)\баруун)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Энэ нь матрицаар гүйцэтгэх боломжтой бүх үйлдлүүдийг нэгтгэсэн ойлголт юм. Математик матриц - элементүүдийн хүснэгт. Хаана байгаа ширээний тухай мшугам ба nбагана, энэ матриц нь хэмжээстэй гэж хэлсэн мдээр n.

Матрицын ерөнхий дүр төрх:

Учир нь матрицын шийдлүүдМатриц гэж юу болохыг ойлгож, түүний үндсэн параметрүүдийг мэдэх шаардлагатай. Матрицын үндсэн элементүүд:

• Элементүүдээс бүрдсэн гол диагональ a 11, a 22…..a mn.
• Элементүүдээс бүрдсэн хажуугийн диагональ a 1n , a 2n-1 .....a м1.

Матрицын үндсэн төрлүүд:

• Квадрат гэдэг нь мөрийн тоо = баганын тоо ( m=n).
• Тэг - бүх матрицын элементүүд = 0.
• Шилжүүлсэн матриц - матриц IN, үүнийг анхны матрицаас олж авсан Амөрүүдийг баганаар солих замаар.
• Нэгдмэл байдал - үндсэн диагональ бүх элементүүд = 1, бусад бүх = 0.
• Урвуу матриц нь анхны матрицаар үржүүлснээр таних матрицыг үүсгэдэг матриц юм.

Матриц нь үндсэн ба хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байж болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, дараа нь матриц нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Зөвхөн квадрат матрицууд тэгш хэмтэй байж болно.

Матрицыг шийдвэрлэх аргууд.

Бараг бүх матрицыг шийдвэрлэх аргуудтодорхойлогчийг олохоос бүрдэнэ n--р дараалал ба ихэнх нь нэлээд төвөгтэй байдаг. 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олохын тулд өөр илүү оновчтой аргууд байдаг.

2-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг олох.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох А 2-р дарааллын хувьд хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хасах шаардлагатай.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох арга.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох дүрмийг доор харуулав.

Гурвалжны хялбаршуулсан дүрмийг аль нэг нь матрицыг шийдвэрлэх аргууд, дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Өөрөөр хэлбэл, шулуун шугамаар холбогдсон эхний тодорхойлогч дахь элементүүдийн үржвэрийг “+” тэмдгээр авна; Мөн 2-р тодорхойлогчийн хувьд тохирох бүтээгдэхүүнийг "-" тэмдгээр, өөрөөр хэлбэл дараахь схемийн дагуу авна.

At Саррусын дүрмийг ашиглан матрицыг шийдвэрлэх, тодорхойлогчийн баруун талд эхний 2 баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель диагональ дээрх харгалзах элементүүдийн үржвэрийг "+" тэмдгээр авна; "-" тэмдгээр хоёрдогч диагональ ба түүнтэй параллель диагональуудын харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүнүүд:

Матрицыг шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчийг мөр, баганад задлах.

Тодорхойлогч нь тодорхойлогчийн эгнээний элементүүд ба тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Ихэвчлэн тэг агуулсан мөр/баганыг сонгодог. Задаргаа хийгдэж буй мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.

Матрицыг шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах.

At матрицуудыг шийдвэрлэхтодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах арга нь дараах байдлаар ажиллана: мөр, багана дээрх хамгийн энгийн хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогч нь гурвалжин хэлбэртэй болж, тодорхойлогчийн шинж чанарын дагуу түүний утга нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх болно. үндсэн диагональ дээр байгаа элементүүдийн.

Матрицыг шийдвэрлэх Лапласын теорем.

Лапласын теоремыг ашиглан матрицыг шийдэхдээ теоремыг өөрөө мэдэх хэрэгтэй. Лапласын теорем: Болъё Δ - энэ бол тодорхойлогч юм n--р захиалга. Бид аль нэгийг нь сонгодог кмөр (эсвэл багана) өгөгдсөн к≤ n - 1. Энэ тохиолдолд бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээгдэхүүний нийлбэр к-сонгосон хэсэгт агуулагдах дараалал кмөрүүд (баганууд), тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд нь тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Урвуу матрицыг шийдвэрлэх.

Үйлдлийн дараалал урвуу матрицын шийдлүүд:

1. Өгөгдсөн матриц квадрат эсэхийг тодорхойлно уу. Хэрэв хариулт нь сөрөг байвал урвуу матриц байж болохгүй гэдэг нь тодорхой болно.
2. Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог.
3. Бид нэгдлийн (харилцан, залгаа) матрицыг бүрдүүлдэг C.
4. Бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдүүлдэг: хавсарсан матрицын бүх элементүүд. Cанхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Эцсийн матриц нь өгөгдсөнтэй харьцуулахад шаардлагатай урвуу матриц байх болно.
5. Бид хийсэн ажлыг шалгана: анхны матриц ба үр дүнгийн матрицыг үржүүл, үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Матрицын системийг шийдвэрлэх.

Учир нь матрицын системийн шийдлүүдГауссын аргыг ихэвчлэн ашигладаг.

Гауссын арга нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэх стандарт арга бөгөөд хувьсагчдыг дараалан арилгах, өөрөөр хэлбэл энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг тэнцүү гурвалжин системд шилжүүлэхэд оршино. үүнээс дараалан, сүүлчийнхээс нь (тоогоор) системийн элемент бүрийг ол.

Гауссын аргань матрицын шийдлийг олох хамгийн уян хатан, шилдэг хэрэгсэл юм. Хэрэв систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй эсвэл систем нь таарахгүй бол Крамерын дүрэм болон матрицын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй юм.

Гауссын арга нь мөн шууд (өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дор тэгийг авах) болон урвуу (өргөтгөсөн матрицын үндсэн диагональ дээрх тэгийг авах) хөдөлгөөнийг агуулдаг. Урагшлах арга нь Гауссын арга, урвуу алхам нь Гаусс-Жорданы арга юм. Гаусс-Жорданы арга нь Гауссын аргаас зөвхөн хувьсагчийг арилгах дарааллаар ялгаатай.