Гэр Урьдчилан сэргийлэх Урвуу матрицыг олох Крамерын арга. Шугаман тэгшитгэл

Урьдчилан сэргийлэх

Урвуу матрицыг олох Крамерын арга. Шугаман тэгшитгэл

Энэ догол мөрийг эзэмшихийн тулд та "хоёр хоёр", "гурав гурав" гэсэн тодорхойлогчдыг илчлэх чадвартай байх ёстой. Хэрэв та шалгуур үзүүлэлтийн хувьд муу бол хичээлээ судлаарай Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Эхлээд бид хоёрын системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзэх болно шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй. Юуны төлөө? - Эцэст нь хамгийн энгийн системшийдэж болно сургуулийн арга, нэр томьёогоор нэмэх аргаар!

Баримт нь заримдаа ийм даалгавар гардаг - Крамерын томъёог ашиглан хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх. Хоёрдугаарт, илүү энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг хэрхэн ашиглах талаар ойлгоход тусална нарийн төвөгтэй тохиолдол– гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем.

Үүнээс гадна хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийг ашиглан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцдог, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
Тэгээд

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтүүдийг мөн тэмдэглэж болно Латин үсэг.

Дараах томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндсийг олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь байна аравтын бутархайтаслалтай. Таслал бол нэлээд ховор зочин юм практик даалгаварМатематикийн хувьд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудтай болж магадгүй бөгөөд шийдлийн загвар нь зүгээр л аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд бас ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

Хариулах: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёогоор шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албадмалДаалгаврын дизайны хэсэг нь дараахь хэсэг юм. "Энэ нь систем өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооны машин дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид ойролцоо утгыг орлуулна. зүүн талсистемийн тэгшитгэл бүр. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал та баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултыг энгийн буруу бутархайгаар илэрхийлнэ үү. Шалгах.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр(хичээлийн төгсгөлд дуусгах, хариулах жишээ).

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзье.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм туслахгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Хариулах: .

Үнэн хэрэгтээ, шийдэл нь бэлэн томъёоны дагуу явагддаг тул энд дахин хэлэх онцгой зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн сэтгэгдэл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв танд компьютер байхгүй бол дараах зүйлийг хий.

1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. "Муу" фракцтай тулгармагц та тэр даруй шалгах хэрэгтэй Нөхцөлийг зөв бичсэн үү?. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол ажлын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл, дараа нь тайван, болгоомжтой хий шалгахаа мартуузаймөн шийдвэр гарсны дараа бид үүнийг цэвэр хуудсан дээр зурдаг. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч тэнэглэлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвсэггүй аргумент байх болно. Бутархайг хэрхэн зохицуулах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв танд компьютер байгаа бол хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой автоматжуулсан програм ашиглан шалгаарай. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө та алдаа гаргасан завсрын алхамыг шууд харах болно); Ижил тооны машин нь системийн шийдлийг автоматаар тооцдог матрицын арга.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
– алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг байрлуулна.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй мөр (багана) -ын дагуу тодорхойлогчдыг тэгээр нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (эцсийн дизайны дээж ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогчдын шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр энэ даалгавар нь азтай оюутны цээжин дээрх профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг тэлэх, матрицын урвуу талыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.

Жишээ 11

Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичье:
, Хаана

Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Матриц руу элементүүдийг бичих зарчмыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг байрлуулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд тодорхойлогчийг харцгаая:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд матрицын аргыг ашиглан системийг шийдэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд системийг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргаар (Гаусын арга) шийддэг.

Одоо бид 9 насанд хүрээгүй хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний мөр, гурав дахь баганад, жишээлбэл, элемент нь 3 мөр, 2 баганад байгааг илтгэнэ.

Шийдвэрлэх явцад насанд хүрээгүй хүмүүсийн тооцоог нарийвчлан тайлбарлах нь илүү дээр юм, гэхдээ бага зэрэг туршлагатай бол та тэдгээрийг амаар алдаатай тооцоолоход дасч болно.

Эхний хэсэгт бид зарим онолын материал, орлуулах арга, түүнчлэн системийн тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх аргыг авч үзсэн. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад хандсан хүн бүрийг эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Зарим зочдод энэ материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би математикийн асуудлыг шийдэхтэй холбоотой маш чухал тайлбар, дүгнэлтийг хийсэн.

Одоо бид Крамерын дүрмийг шинжлэхээс гадна урвуу матриц (матрицын арга) ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх болно. Бүх материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, ойлгомжтой байдлаар танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудыг ашиглан системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах боломжтой болно.

Эхлээд бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзэх болно. Юуны төлөө? – Эцсийн эцэст, хамгийн энгийн системийг сургуулийн арга, улирал бүрээр нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ийм даалгавар гардаг - Крамерын томъёог ашиглан хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх. Хоёрдугаарт, энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг илүү төвөгтэй тохиолдолд - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системд хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусална.

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцдог, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтийг мөн латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Дараах томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндсийг олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь таслалтай аравтын бутархай байдаг. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин юм. Би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

Хариулах: ,

Тооцоологч дээр хялбархан хийх боломжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоо утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал та баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултыг энгийн буруу бутархайгаар илэрхийлнэ үү. Шалгах.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (эцсийн загвар болон хичээлийн төгсгөлд хариултын жишээ).

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзье.

Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог.

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Хариулах: .

Хэрэв танд компьютер байгаа бол хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой автоматжуулсан програм ашиглан шалгаарай. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө та алдаа гаргасан завсрын алхамыг шууд харах болно); Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (эцсийн дизайны дээж ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).

Жишээ 11

Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичье:
, Хаана

Эхлээд тодорхойлогчийг харцгаая:

Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Одоо бид 9 насанд хүрээгүй хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

2. Матрицын аргаар (урвуу матриц ашиглан) тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
3. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Крамерын арга.

Крамерын аргыг шугаман системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг алгебрийн тэгшитгэл (SLAU).

Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийн жишээг ашигласан томьёо.
Өгөгдсөн:Крамерын аргыг ашиглан системийг шийд

Хувьсагчдын тухайд XТэгээд цагт.
Шийдэл:
Системийн коэффициентуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчийг олъё. Тодорхойлогчдын тооцоо. :

Крамерын томъёог хэрэглэж, хувьсагчдын утгыг олцгооё.
Тэгээд .
Жишээ 1:
Тэгшитгэлийн системийг шийд:

хувьсагчдын талаар XТэгээд цагт.
Шийдэл:

Энэ тодорхойлогчийн эхний баганыг системийн баруун талын коэффициентийн баганаар сольж, утгыг нь олъё.

Энийг хийцгээе ижил төстэй үйлдэл, эхний тодорхойлогч дахь хоёр дахь баганыг орлуулж:

Хэрэглэх боломжтой Крамерын томъёомөн хувьсагчдын утгыг ол:
Мөн .
Хариулт:
Сэтгэгдэл:Энэ арга нь илүү өндөр хэмжээтэй системийг шийдэж чадна.

Сэтгэгдэл:Хэрэв тэгээр хуваагдах боломжгүй гэж үзвэл системд өвөрмөц шийдэл байхгүй гэж тэд хэлдэг. Энэ тохиолдолд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл огт шийдэлгүй байдаг.

Жишээ 2(хязгааргүй тооны шийдлүүд):

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

хувьсагчдын талаар XТэгээд цагт.
Шийдэл:
Системийн коэффициентуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчийг олъё.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.

Системийн тэгшитгэлүүдийн эхнийх нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгшитгэл юм (учир нь 4 нь үргэлж 4-тэй тэнцүү байдаг). Энэ нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдсэн гэсэн үг юм. Энэ бол хувьсагчдын хоорондын хамаарлын тэгшитгэл юм.
Системийн шийдэл нь бие биентэйгээ тэгш байдлаар холбоотой хувьсагчийн дурын хос утгууд гэдгийг бид олж мэдсэн.
Ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
Энэ холболтын тэгш байдлыг ашиглан y-ийн дурын утгыг сонгож, х-г тооцоолох замаар тодорхой шийдлүүдийг тодорхойлж болно.

гэх мэт.
Ийм шийдлүүд хязгааргүй олон байдаг.
Хариулт: нийтлэг шийдвэр
Хувийн шийдлүүд:

Жишээ 3(шийдэл байхгүй, систем таарахгүй байна):

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл:
Системийн коэффициентуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчийг олъё.

Крамерын томъёог ашиглах боломжгүй. Энэ системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдье

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн биш тэгш байдал юм (мэдээжийн хэрэг, -15 нь 2-той тэнцүү биш). Хэрэв системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэг нь хувьсагчийн аль нэг утгын хувьд үнэн биш бол бүхэл системд шийдэл байхгүй болно.
Хариулт:шийдэл байхгүй

Шугаман тэгшитгэлийн систем нь бие даасан хувьсагчийн тоотой тэнцэх хэмжээний тэгшитгэл агуулж байг, өөрөөр хэлбэл. шиг харагдаж байна

Ийм шугаман тэгшитгэлийн системийг квадрат гэж нэрлэдэг. Бие даасан коэффициентуудаас бүрдэх тодорхойлогч системийн хувьсагч(1.5)-ийг системийн гол тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Бид үүнийг Грекийн D үсгээр тэмдэглэнэ.

. (1.6)

Хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь дурын ( j th) багана, системийн чөлөөт нөхцлийн баганаар солих (1.5), дараа нь та авч болно nтуслах шалгуур үзүүлэлтүүд:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Крамерын дүрэмшугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг шийдвэрлэх нь дараах байдалтай байна. Хэрэв (1.5) системийн гол тодорхойлогч D нь тэгээс ялгаатай бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олж болно.

(1.8)

Жишээ 1.5.Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд

Системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.

D¹0-аас хойш систем нь (1.8) томъёог ашиглан олж болох өвөрмөц шийдэлтэй болсон.

Тиймээс,

Матриц дээрх үйлдлүүд

1. Матрицыг тоогоор үржүүлэх.Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар тодорхойлно.

2. Матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд түүний бүх элементүүдийг энэ тоогоор үржүүлэх шаардлагатай. Тэр бол

. (1.9)

Жишээ 1.6. .

Матриц нэмэх.

Энэ үйлдлийг зөвхөн ижил эрэмбийн матрицуудад нэвтрүүлсэн.

Хоёр матрицыг нэмэхийн тулд өөр матрицын харгалзах элементүүдийг нэг матрицын элементүүдэд нэмэх шаардлагатай.

(1.10)
Матриц нэмэх үйлдлүүд нь ассоциатив болон шилжих шинж чанартай байдаг.

Жишээ 1.7. .

Матрицын үржүүлэх.

Хэрэв матрицын баганын тоо Аматрицын эгнээний тоотой давхцаж байна IN, дараа нь ийм матрицуудын хувьд үржүүлэх үйлдлийг нэвтрүүлнэ.

Тиймээс матрицыг үржүүлэх үед Ахэмжээсүүд м´ nматриц руу INхэмжээсүүд n´ кБид матрицыг авдаг ХАМТхэмжээсүүд м´ к. Энэ тохиолдолд матрицын элементүүд ХАМТдараах томъёог ашиглан тооцоолно.

Асуудал 1.8.Боломжтой бол матрицын үржвэрийг ол ABТэгээд Б.А.:

Шийдэл. 1) Ажил олохын тулд AB, танд матрицын мөр хэрэгтэй Аматрицын баганаар үржүүлнэ Б:

2) Ажиллах Б.А.байхгүй, учир нь матрицын баганын тоо Бматрицын эгнээний тоотой таарахгүй байна А.

Урвуу матриц. Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Матриц А- 1-ийг квадрат матрицын урвуу гэж нэрлэдэг А, хэрэв тэгш байдал хангагдсан бол:

хаашаа дамжина Iматрицтай ижил эрэмбийн таних матрицыг заана А:

Квадрат матриц урвуутай байхын тулд тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

, (1.13)

Хаана A ij - алгебрийн нэмэлтүүдэлементүүд рүү a ijматрицууд А(матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэлтүүд байгааг анхаарна уу Ахаргалзах багана хэлбэрээр урвуу матрицад байрлана).

Жишээ 1.9.Урвуу матрицыг ол А- 1-ээс матриц руу

Бид урвуу матрицыг тухайн тохиолдолд (1.13) томъёог ашиглан олдог n= 3 нь дараах хэлбэртэй байна.

Дэтийг олъё А = | А| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул урвуу матриц байдаг.

1) Алгебрийн нэмэлтүүдийг ол A ij:

Урвуу матрицыг олоход хялбар болгох үүднээс бид анхны матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэгдлүүдийг харгалзах баганад байрлуулсан.

Олж авсан алгебрийн нэмэлтүүдээс бид шинэ матриц зохиож, тодорхойлогч det-д хуваана. А. Тиймээс бид урвуу матрицыг авна.

Тэг биш үндсэн тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэлийн квадрат системийг урвуу матриц ашиглан шийдэж болно. Үүний тулд (1.5) системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.

Хаана

Зүүн талаас тэгш байдлын хоёр талыг (1.14) үржүүлнэ А- 1, бид системийн шийдлийг олж авдаг:

, хаана

Тиймээс квадрат системийн шийдийг олохын тулд системийн үндсэн матрицын урвуу матрицыг олж баруун талд байгаа чөлөөт нэр томъёоны баганын матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Асуудал 1.10.Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

урвуу матрицыг ашиглан.

Шийдэл.Системийг матриц хэлбэрээр бичье: ,

Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх багана ба - чөлөөт нэр томъёоны багана. Системийн гол тодорхойлогч учраас , дараа нь системийн үндсэн матриц Аурвуу матрицтай А-1. Урвуу матрицыг олохын тулд А-1 , бид матрицын бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог А:

Хүлээн авсан тоонуудаас бид матриц (мөн матрицын эгнээнд алгебрийн нэмэлт) зохиох болно. Азохих баганад бичнэ) ба тодорхойлогч D-д хуваана. Тиймээс бид урвуу матрицыг оллоо.

Бид (1.15) томъёог ашиглан системийн шийдлийг олдог.

Тиймээс,

Шугаман тэгшитгэлийн системийг энгийн Жорданы арилгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн дурын (заавал квадрат биш) системийг өгье.

(1.16)

Системийн шийдлийг олох шаардлагатай, i.e. системийн бүх тэгш байдлыг хангасан хувьсагчдын багц (1.16). IN ерөнхий тохиолдолсистем (1.16) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй төдийгүй тоо томшгүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэ нь бас ямар ч шийдэлгүй байж магадгүй юм.

Иймэрхүү асуудлуудыг шийдэхдээ сайн мэддэг сургуулийн курсүл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга бөгөөд үүнийг жирийн Жорданы арилгах арга гэж нэрлэдэг. Мөн чанар энэ аргаЭнэ нь (1.16) системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн аль нэгийг бусад хувьсагчаар илэрхийлдэгт оршино. Дараа нь энэ хувьсагчийг системийн бусад тэгшитгэлд орлуулна. Үр дүн нь анхны системээс нэг тэгшитгэл, нэг хувьсагчаас бага агуулсан систем юм. Хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг санаж байна.

Системд сүүлчийн тэгшитгэл үлдэх хүртэл энэ процесс давтагдана. Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах үйл явцаар зарим тэгшитгэл нь жинхэнэ ижил төстэй байдал болж болно, жишээлбэл. Ийм тэгшитгэлийг системээс хассан, учир нь тэдгээр нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд хангагдсан тул системийн шийдэлд нөлөөлөхгүй. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах явцад дор хаяж нэг тэгшитгэл нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд (жишээ нь) хангагдах боломжгүй тэгшитгэл болж байвал системд шийдэл байхгүй гэж бид дүгнэнэ.

Шийдлийн явцад зөрчилтэй тэгшитгэл гарахгүй бол түүний үлдсэн хувьсагчийн аль нэгийг сүүлчийн тэгшитгэлээс олно. Сүүлийн тэгшитгэлд ганц хувьсагч үлдсэн бол тоогоор илэрхийлнэ. Хэрэв бусад хувьсагчид сүүлчийн тэгшитгэлд үлдсэн бол тэдгээрийг параметр гэж үзэх бөгөөд тэдгээрээр илэрхийлэгдсэн хувьсагч нь эдгээр параметрүүдийн функц болно. Дараа нь " урвуу цус харвалт" Олдсон хувьсагчийг хамгийн сүүлд санаж буй тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь хувьсагчийг олно. Дараа нь олсон хоёр хувьсагчийг эцсийн өмнөх цээжилсэн тэгшитгэлд орлуулж, гурав дахь хувьсагчийг олох гэх мэт эхний цээжилсэн тэгшитгэл хүртэл үргэлжилнэ.

Үүний үр дүнд бид системийн шийдлийг олж авдаг. Хэрэв олсон хувьсагч нь тоо байвал энэ шийдэл өвөрмөц байх болно. Хэрэв эхний хувьсагч, дараа нь бусад бүх хувьсагч олдсон бол параметрүүдээс хамаарч системд хязгааргүй тооны шийдэл байх болно (параметрийн багц бүр шинэ шийдэлтэй тохирч байна). Тодорхой параметрийн багцаас хамааран системийн шийдлийг олох боломжийг олгодог томъёог системийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 1.11.

Эхний тэгшитгэлийг цээжилсний дараа Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрахад бид системд хүрнэ.

илэрхийлье yХоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлд орлуулна уу:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг санаж, эхнийхээс нь олъё z:

Буцаж ажиллахад бид байнга олдог yТэгээд z. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд хамгийн сүүлд санаж байгаа тэгшитгэлээ олсон газраасаа орлуулна y:

Дараа нь бид үүнийг эхний санасан тэгшитгэлд орлуулна бид хаанаас олох вэ x:

Асуудал 1.12.Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

. (1.17)

Шийдэл.Эхний тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлье xХоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

Эхний тэгшитгэлийг санацгаая

Энэ системд эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлүүд хоорондоо зөрчилддөг. Үнэхээр илэрхийлж байна y , бид 14 = 17 гэж авна. Энэ тэгш байдал нь хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд тохирохгүй. x, y, Мөн z. Үүний үр дүнд (1.17) систем нь нийцэхгүй байна, өөрөөр хэлбэл. шийдэл байхгүй.

Анхны системийн гол тодорхойлогч (1.17) нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг уншигчид өөрсдөө шалгахыг урьж байна.

(1.17) системээс зөвхөн нэг чөлөөт нэр томъёогоор ялгаатай системийг авч үзье.

Асуудал 1.13.Мэдэгдэхгүйг арилгах замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

. (1.18)

Шийдэл.Өмнөхтэй адил бид эхний тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлдэг xХоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

Эхний тэгшитгэлийг санацгаая Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүл. Бид системд ирдэг:

Илэрхийлж байна yэхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах , бид 14 = 14 таних тэмдгийг олж авдаг бөгөөд энэ нь системийн шийдэлд нөлөөлдөггүй, тиймээс үүнийг системээс хасаж болно.

Хамгийн сүүлд санаж байгаа тэгш байдлын хувьд хувьсагч zБид үүнийг параметр гэж үзэх болно. Бид итгэж байна. Дараа нь

Орлуулж үзье yТэгээд zанхны санасан тэгш байдал руу орж олоорой x:

Тиймээс (1.18) систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй бөгөөд (1.19) томъёог ашиглан параметрийн дурын утгыг сонгох замаар аливаа шийдлийг олох боломжтой. т:

(1.19)
Тиймээс системийн шийдлүүд нь жишээлбэл, дараах хувьсагчдын багц (1; 2; 0), (2; 26; 14) юм. Формула (1.19) нь системийн ерөнхий (ямар ч) шийдлийг илэрхийлдэг (1.18). ).

Анхны систем (1.16) нь хангалттай олон тооны тэгшитгэл, үл мэдэгдэх зүйлтэй бол Жорданы ердийн арилгах арга нь төвөгтэй мэт санагддаг. Гэсэн хэдий ч тийм биш юм. Системийн коэффициентийг нэг алхамаар дахин тооцоолох алгоритмыг гаргахад хангалттай ерөнхий үзэласуудлын шийдлийг тусгай Жорданы хүснэгт хэлбэрээр томъёолно.

Шугаман хэлбэрийн системийг (тэгшитгэл) өгье.

, (1.20)
Хаана x j- бие даасан (хүссэн) хувьсагч; a ij- тогтмол магадлал
(би = 1, 2,…, м; j = 1, 2,…, n). Системийн баруун хэсгүүд y i (би = 1, 2,…, м) нь хувьсагч (хамааралтай) эсвэл тогтмол байж болно. Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар энэ системийн шийдлийг олох шаардлагатай.

"Жорданы энгийн устгалын нэг алхам" гэж нэрлэгддэг дараах үйлдлийг авч үзье. дур зоргоороо ( r th) тэгш байдал нь бид дурын хувьсагчийг илэрхийлдэг ( xs) болон бусад бүх тэгшитгэлд орлуулна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зөвхөн боломжтой тохиолдолд л боломжтой юм a Rs¹ 0. Коэффициент a Rsшийдвэрлэх (заримдаа чиглүүлэх эсвэл үндсэн) элемент гэж нэрлэдэг.

Бид авах болно дараах систем:

. (1.21)

-аас с- системийн тэгш байдал (1.21), бид дараа нь хувьсагчийг олно xs(үлдсэн хувьсагчийг олсны дараа). С--р мөрийг санаж, дараа нь системээс хасна. Үлдсэн систем нь анхны системээс нэг тэгшитгэл, нэг бага бие даасан хувьсагчийг агуулна.

Үүссэн системийн (1.21) коэффициентийг анхны системийн (1.20) коэффициентүүдээр тооцоолъё. -ээс эхэлье rхувьсагчийг илэрхийлсний дараа th тэгшитгэл xsҮлдсэн хувьсагчдаас харахад дараах байдалтай харагдана.

Тиймээс шинэ коэффициентүүд r th тэгшитгэлийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

(1.23)
Одоо шинэ коэффициентүүдийг тооцоолъё b ij(би¹ r) дурын тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд (1.22)-д илэрхийлсэн хувьсагчийг орлуулъя. xsВ бисистемийн тэгшитгэл (1.20):

Ижил төстэй нэр томъёог оруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

(1.24)
Тэгш байдал (1.24) -ээс бид системийн (1.21) үлдсэн коэффициентийг тооцоолох томъёог олж авдаг (үл хамаарахгүйгээр). rтэгшитгэл):

(1.25)
Шугаман тэгшитгэлийн системийг ердийн Жорданы арилгах аргаар өөрчлөхийг хүснэгт (матриц) хэлбэрээр үзүүлэв. Эдгээр хүснэгтүүдийг "Жорданы ширээ" гэж нэрлэдэг.

Тиймээс (1.20) асуудал нь дараах Жорданы хүснэгттэй холбоотой байна.

Хүснэгт 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	а 11	а 12		а 1j		а 1с		а 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		а нь		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a Rs		арн
………………………………………………………………….
у н=	а м 1	а м 2		a mj		a ms		mn

Jordan хүснэгт 1.1 нь системийн баруун хэсгүүдийг (1.20) бичсэн зүүн толгойн багана ба бие даасан хувьсагчдыг бичсэн дээд толгойн мөрийг агуулна.

Хүснэгтийн үлдсэн элементүүд нь системийн коэффициентүүдийн үндсэн матрицыг бүрдүүлдэг (1.20). Хэрэв та матрицыг үржүүлбэл Адээд гарчгийн эгнээний элементүүдээс бүрдэх матриц руу та зүүн гарчиг баганын элементүүдээс бүрдсэн матрицыг авна. Өөрөөр хэлбэл, Жорданы хүснэгт нь шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр юм: . Систем (1.21) нь дараах Жорданы хүснэгттэй тохирч байна.

Хүснэгт 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	б 11	б 12		б 1 j		б 1 с		б 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	б би 1	б би 2		b ij		б байна		б-д
…………………………………………………………………..
x s =	б р 1	б р 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	б м 1	б м 2		b mj		bms		b mn

Зөвшөөрөгдсөн элемент a Rs Бид тэдгээрийг тодоор тодруулах болно. Йорданыг устгах нэг алхамыг хэрэгжүүлэхийн тулд шийдвэрлэх элемент нь тэгээс өөр байх ёстой гэдгийг санаарай. Идэвхжүүлэх элемент агуулсан хүснэгтийн мөрийг идэвхжүүлэх мөр гэж нэрлэдэг. Идэвхжүүлэх элементийг агуулсан баганыг идэвхжүүлэх багана гэж нэрлэдэг. Өгөгдсөн хүснэгтээс дараагийн хүснэгт рүү шилжихэд нэг хувьсагч ( xs) хүснэгтийн дээд гарчгийн мөрөөс зүүн гарчиг багана руу шилжиж, эсрэгээр системийн чөлөөт гишүүдийн нэг ( y r) хүснэгтийн зүүн толгойн баганаас дээд толгойн эгнээ рүү шилжинэ.

(1.23) ба (1.25) томъёоны дагуу Жорданы хүснэгтээс (1.1) хүснэгт (1.2) руу шилжих үед коэффициентийг дахин тооцоолох алгоритмыг тайлбарлая.

1. Шийдвэрлэх элементийг урвуу тоогоор солино:

2. Шийдвэрлэх мөрийн үлдсэн элементүүдийг шийдвэрлэх элементээр хувааж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилнө:

3. Шийдвэрлэх баганын үлдсэн элементүүдийг нягтралын элемент болгон хуваана:

4. Зөвшөөрөгдсөн мөр ба баганад ороогүй элементүүдийг дараах томъёогоор дахин тооцоолно.

Хэрэв та фракцыг бүрдүүлдэг элементүүдийг анзаарсан бол сүүлчийн томъёог санахад хялбар байдаг , уулзвар дээр байна би-өө бас r-р мөр ба j th болон с th баганууд (шийдвэрлэх мөр, шийдвэрлэх багана, дахин тооцоолсон элемент байрлах уулзвар дээрх мөр ба багана). Илүү нарийн, томъёог цээжлэх үед Та дараах диаграммыг ашиглаж болно.

-21 -26 -13 -37

Жорданы үл хамаарах эхний алхмыг гүйцэтгэхдээ баганад байгаа Хүснэгт 1.3-ын дурын элементийг шийдвэрлэх элемент болгон сонгож болно. x 1 ,…, x 5 (бүх заасан элементүүд нь тэг биш). Та зөвхөн сүүлийн баганад идэвхжүүлэх элементийг сонгох ёсгүй, учир нь бие даасан хувьсагчдыг олох хэрэгтэй x 1 ,…, x 5 . Жишээлбэл, бид коэффициентийг сонгодог 1 хувьсагчтай xХүснэгт 1.3-ын гурав дахь мөрөнд 3 (боломжтой элементийг тодоор харуулсан). Хүснэгт 1.4 рүү шилжих үед хувьсагч xДээд талын толгойн эгнээний 3-ыг зүүн талын толгой баганын (гурав дахь мөр) тогтмол 0-тэй сольсон. Энэ тохиолдолд хувьсагч x 3-ыг үлдсэн хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Мөр x 3 (Хүснэгт 1.4) -ийг урьдчилан санаж, 1.4-р хүснэгтээс хасаж болно. Гарчгийн дээд мөрөнд тэг тэмдэглэгдсэн гурав дахь баганыг мөн хүснэгт 1.4-ээс хассан болно. Гол нь өгөгдсөн баганын коэффициентээс үл хамааран б би 3 тэгшитгэл бүрийн харгалзах бүх гишүүн 0 б би 3 систем нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Тиймээс эдгээр коэффициентийг тооцоолох шаардлагагүй. Нэг хувьсагчийг арилгах x 3 ба тэгшитгэлийн аль нэгийг санаж, бид Хүснэгт 1.4-т тохирох системд хүрнэ (шугамыг тасалсан). x 3). Шийдвэрлэх элемент болгон 1.4-р хүснэгтэд сонгосон б 14 = -5, хүснэгт 1.5 руу очно уу. Хүснэгт 1.5-д эхний мөрийг санаж, дөрөв дэх баганын хамт хүснэгтээс хасна уу (дээд талд нь тэгтэй).

Хүснэгт 1.5 Хүснэгт 1.6

Сүүлчийн хүснэгт 1.7-аас бид дараахь зүйлийг олно. x 1 = - 3 + 2x 5 .

Өмнө нь олдсон хувьсагчдыг санаж байгаа мөрүүдэд тогтмол орлуулж, бид үлдсэн хувьсагчдыг олно.

Тиймээс системд тоо томшгүй олон шийдэл байдаг. Хувьсагч x 5, дурын утгыг оноож болно. Энэ хувьсагч нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг x 5 = т. Бид системийн нийцтэй байдлыг баталж, түүний ерөнхий шийдлийг олсон:

x 1 = - 3 + 2т

x 2 = - 1 - 3т

x 3 = - 2 + 4т . (1.27)
x 4 = 4 + 5т

x 5 = т

Параметр өгөх төөр өөр утгууд, бид анхны системд хязгааргүй олон шийдлийг олж авах болно. Жишээлбэл, системийн шийдэл нь дараах хувьсагчдын багц юм (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Тэгтэй тэнцүү биш матрицын үндсэн тодорхойлогч нь үл мэдэгдэх тоотой ижил тооны тэгшитгэлтэй, системийн коэффициентүүд (ийм тэгшитгэлийн шийдэл байдаг бөгөөд зөвхөн нэг л байдаг).

Крамерын теорем.

Квадрат системийн матрицын тодорхойлогч нь тэг биш байвал систем тууштай, нэг шийдэлтэй гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар олж болно. Крамерын томъёо:

хаана Δ - системийн матрицын тодорхойлогч,

Δ бинь системийн матрицын тодорхойлогч бөгөөд оронд нь биБагана нь баруун талын баганыг агуулна.

Системийн тодорхойлогч нь тэг байвал систем нь хамтран ажиллах эсвэл үл нийцэх боломжтой гэсэн үг юм.

Энэ аргыг ихэвчлэн ашигладаг жижиг системүүдэзэлхүүний тооцоололтой бөгөөд хэрэв үл мэдэгдэх аль нэгийг тодорхойлох шаардлагатай бол. Аргын нарийн төвөгтэй байдал нь олон тодорхойлогч хүчин зүйлийг тооцоолох шаардлагатай байдаг.

Крамерын аргын тодорхойлолт.

Тэгшитгэлийн систем байдаг:

Дээр дурдсан 2 тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан 3 тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Бид тодорхойгүй байдлын коэффициентуудаас тодорхойлогчийг бүрдүүлдэг.

Энэ нь байх болно системийн тодорхойлогч. Хэзээ D≠0, энэ нь систем тогтвортой байна гэсэн үг. Одоо 3 нэмэлт тодорхойлогч үүсгэцгээе:

Бид системийг шийддэг Крамерын томъёо:

Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ.

Жишээ 1.

Өгөгдсөн систем:

Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.

Эхлээд та системийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй.

Учир нь Δ≠0, энэ нь Крамерын теоремоос харахад систем тууштай, нэг шийдэлтэй гэсэн үг. Бид нэмэлт тодорхойлогчдыг тооцдог. Тодорхойлогч Δ 1-ийг эхний баганыг чөлөөт илтгэлцүүрийн баганаар солих замаар Δ тодорхойлогчоос авна. Бид авах:

Үүнтэй адилаар бид системийн матрицын тодорхойлогчоос Δ 2-ийн тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт коэффициентүүдийн баганагаар солих замаар олж авна.