Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл

Энд n≠0,n≠1.

Энэ тэгшитгэлийг орлуулах аргыг ашиглан дахин зохион байгуулж болно

шугаман тэгшитгэлд оруулна

Практикт Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлийг ихэвчлэн шугаман тэгшитгэл болгон бууруулдаггүй бөгөөд шугаман тэгшитгэлтэй ижил аргуудыг - Бернуллийн арга эсвэл дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан шууд шийддэг.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлийг y=uv (Бернуллийн арга) орлуулах аргыг ашиглан хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая. Шийдлийн схем нь .

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) y’x+y=-xy².

Энэ бол Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр хэсгийг х-д хуваана: y’+y/x=-y². Энд p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2 байна. Гэхдээ бид үүнийг шийдэх шаардлагагүй стандарт харагдац. Нөхцөлд өгөгдсөн бичлэгийн маягттай ажиллах болно.

1) y=uv орлуулах, энд u=u(x) ба v=v(x) нь x-ийн зарим шинэ функцууд юм. Дараа нь y’=(uv)’=u’v+v’u. Бид үүссэн илэрхийллийг дараах нөхцөлөөр орлуулна: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Хаалтуудыг нээцгээе: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Одоо нөхцөлүүдийг v-ээр бүлэглэцгээе: v+v’ux=-xu²v² (I) (бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа v зэрэгтэй нэр томьёог хөндөхгүй). Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байхыг шаардаж байна: u’x+u=0. Энэ бол u ба x салж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдсэний дараа бид таныг олох болно. Бид u=du/dx-г орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана: x·du/dx=-u. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, xu≠0-д хуваана.

(u C-г олохдоо бид үүнийг тэгтэй тэнцүү авна).

3) (I) тэгшитгэлд =0 ба олсон функц u=1/x-ийг орлуулна. Бид тэгшитгэлтэй байна: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Хялбаршуулсаны дараа: v’=-(1/x)·v². Энэ бол v ба x салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид v’=dv/dx-г орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана: dv/dx=-(1/x)·v². Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, v²≠0-д хуваана.

(бид -C-г авсан тул хоёр талыг -1-ээр үржүүлснээр бид хасахаас салж болно). Тиймээс (-1) -ээр үржүүлнэ:

(хүн C биш харин ln│C│ авч болох ба энэ тохиолдолд v=1/ln│Cx│ байх болно).

2) 2y’+2y=xy².

Энэ бол Бернуллигийн тэгшитгэл мөн гэдэгт итгэлтэй байцгаая. Хоёр хэсгийг 2-т хуваахад y’+y=(x/2) y² гарна. Энд p(x)=1, q(x)=x/2, n=2 байна. Бид Бернуллигийн аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг.

1) y=uv, y’=u’v+v’u-г солих. Бид эдгээр илэрхийллүүдийг анхны нөхцөлд орлуулна: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Хаалтуудыг нээ: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Одоо v агуулсан нэр томъёог бүлэглэе: +2v’u=xu²v² (II). Бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байхыг шаарддаг: 2u’+2u=0, иймээс u’+u=0. Энэ бол u ба x-ийн салгаж болох тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэж, таныг олъё. Бид u’=du/dx гэж орлуулж, эндээс du/dx=-u. Тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, u≠0-д хуваахад: du/u=-dx болно. Нэгтгэцгээе:

3) (II) =0 гэж орлуул

Одоо бид v’=dv/dx гэж орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана.

Нэгтгэцгээе:

Тэгш байдлын зүүн тал нь хүснэгтийн интеграл, баруун талд байгаа интегралыг хэсгүүдийн интегралын томъёогоор олно.

Олсон v ба du-г хэсгүүдийн интеграцчлалын томъёогоор орлуулбал бидэнд:

Тэгээд тэрнээс хойш

C=-C болгоё:

4) y=uv тул олсон u ба v функцийг орлуулна.

3) x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 тэгшитгэлийг нэгтгэ.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг x²(x-1)≠0-д хувааж, y²-тэй гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлье.

Энэ бол Бернуллигийн тэгшитгэл юм

1) y=uv, y’=u’v+v’u-г солих. Ердийнх шигээ бид эдгээр илэрхийллийг анхны нөхцөл болгон орлуулдаг: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Тиймээс x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Бид v (v² - бүү хүр):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байхыг шаардаж байна: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, тэгэхээр x²(x-1)u’=x(x-2)u. Тэгшитгэлд бид u ба x хувьсагчдыг салгаж, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, x²(x-1)u≠0-д хуваана.

Тэгшитгэлийн зүүн талд хүснэгт хэлбэрийн интеграл байна. Рационал бутархайбаруун талд та энгийн бутархай хэсгүүдэд задлах хэрэгтэй:

x=1 үед: 1-2=A·0+B·1, үүнээс B=-1.

x=0 үед: 0-2=A(0-1)+B·0, үүнээс A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Логарифмын шинж чанарын дагуу: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, эндээс u=x²/(x-1).

3) (III) тэгш байдалд =0 ба u=x²/(x-1)-ийг орлуулна. Бид дараахийг авна: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, орлуулах:

С-ийн оронд бид - C-г авдаг тул хоёр хэсгийг (-1) үржүүлснээр бид хасах зүйлээс ангижрах болно.

Одоо баруун талын илэрхийллүүдийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж v-г олъё:

4) y=uv тул олсон u ба v функцийг орлуулснаар бид дараахийг авна.

Өөрийгөө шалгах жишээ:

1) Энэ нь Бернуллигийн тэгшитгэл мөн эсэхийг шалгацгаая. Хоёр талыг х-д хуваахад бид дараах байдалтай байна.

1) y=uv-г орлуулах, эндээс y’=u’v+v’u. Бид эдгээр y ба y'-г анхны нөхцөлд орлуулна:

2) Нэр томъёог v-ээр бүлэглээрэй:

Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь 0-тэй тэнцүү байхыг шаардаж, энэ нөхцлөөс u-ийг олно:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:

3) (*) тэгшитгэлд =0 ба u=1/x²-г орлуулна:

Гарсан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.

Шугаман дифференциал тэгшитгэл 1-р захиалга
Бернуллигийн тэгшитгэл

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) нь (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай мужид үргэлжилсэн х-ийн функцууд өгөгдсөн.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салгаж болох тэгшитгэл бөгөөд байна нийтлэг шийдвэр

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Нийтлэг шийдвэр Үгүй нэгэн төрлийн тэгшитгэлолж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд y"+2xy=2xe^(-x^2).

Шийдэл.Тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн y"+2xy=0 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) хэлбэртэй байна.

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(x) нь х-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C"(x)=2x, эндээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна. y=(x^2+C)e^(-x^2), энд C нь интегралын тогтмол юм.

Сэтгэгдэл.Дифференциал тэгшитгэл нь у-ийн функцээр x-д шугаман байна. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр нь

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-г y-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг C(y) нь y-ийн үл мэдэгдэх функц болох хэлбэрээр хайдаг. Орлуулж, бид авна

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Эндээс хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх нь бидэнд бий

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг орлуулах x=C(y)e^(\sin(y)), бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авдаг, тиймээс энэ тэгшитгэлийн хувьд:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-г дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцлөөс v(x)-ийг тодорхойлохдоо бид дараахаас олно vu"+(pv+v")u=q(x) u(x) функц ба үүний үр дүнд тэгшитгэлийн y=uv шийдэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ын хувьд бид тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3.Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Шийдэл.Бид y=u(x)v(x) хэлбэрээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна; бидэнд y"=u"v+uv" байна. y ба y"-ийн илэрхийллийг орлуулах анхны тэгшитгэл, байх болно

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Бид x(x-1)v"+v=0 нөхцөлөөс v=v(x) функцийг олно. Сүүлчийн тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдийг авч, жишээ нь v=\frac(x)(x-1) ба түүнийг орлуулахад бид u"=2x-1 тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс u(x)=x^2-x+C функцийг олно. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)болно

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Анхны y|_(x=2)=4 нөхцөлийг ашиглан С-г олох тэгшитгэлийг олж авна 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, эндээс C=0; тэгэхээр заасан Коши бодлогын шийдэл нь y=x^2 функц байх болно.

Жишээ 4. R эсэргүүцэл ба өөрийн индукц L-тэй хэлхээнд гүйдэл i ба цахилгаан хөдөлгөгч хүч Е хооронд хамаарал байдаг нь мэдэгдэж байна. E=Ri+L\frac(di)(dt), энд R ба L тогтмол байна. Хэрэв бид E-ийг t хугацааны функц гэж үзвэл одоогийн i хүч чадлын шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг олж авна.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолд одоогийн хүчийг i(t) ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Анхны нөхцөлийг (13) ашиглан бид -аас авна C=I_0-\frac(E_0)(R), тиймээс шаардлагатай шийдэл байх болно

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\баруун)\!e^(-(R/L)t).

Энэ нь t\to+\infty үед i(t) гүйдлийн хүч \frac(E_0)(R) тогтмол утга руу чиглэж байгааг харуулж байна.

Жишээ 5.Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлсон C_\alpha муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул (Зураг 13).

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх дурын C_\alpha муруйн шүргэгчийг авч үзье

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

Тодорхойлолтоор харгалзах цэгүүдэд х тогтмол, у хувьсагч байна. Харгалзах цэгүүдэд C_\alpha шулуунуудын аль ч хоёр шүргэгчийг авч үзвэл тэдгээрийн огтлолцлын S цэгийн координатыг олж авна.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь харгалзах цэгүүд дээрх (x тогтмол) C_\alpha муруйн бүх шүргэгч нь нэг цэг дээр огтлолцож байгааг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S\колон f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангаж байна: y нь y\to+\infty-д хязгаарлагдана.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0-ийн ерөнхий шийдээс олж авсан тэгшитгэлийн аливаа шийд нь хязгааргүй байх болно, учир нь x\to+\infty-ийн хувьд \sin(x) функц нь хязгаарлагдмал бөгөөд e^x\to+\infty . Үүнээс үзэхэд энэ тэгшитгэл нь x\to+\infty -д хязгаарлагдсан y=\sin(x) өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг C=0 цэгийн ерөнхий шийдээс олж авна.

Бернуллигийн тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлшиг харагдаж байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Хувьсах орлуулалтыг ашиглах z=\frac(1)(y^(n-1))Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж, шугаман тэгшитгэл болгон нэгтгэв.

Жишээ 7.Бернуллигийн y"-xy=-xy^3 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх \frac(1)(y^2)=z\Баруун сум-\frac(2y")(y^3)=z", хаана \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Орлуулсны дараа сүүлчийн тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x, ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Сэтгэгдэл.Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл шиг тогтмол хэмжигдэхүүнийг вариацын аргаар y(x)=u(x)v(x) орлуулах аргаар нэгтгэж болно.

Жишээ 8.Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Харгалзах нэгэн төрлийн xy"+y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=\frac(C)(x) хэлбэртэй байна. Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=\frac(C(x)) хэлбэрээр хайдаг. (x) , энд C(x) - анхны тэгшитгэлд орлуулах шинэ үл мэдэгдэх функц байна

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) функцийг олохын тулд бид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг салгаж, интегралчлах замаар бид олох болно.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим Үгүй шугаман тэгшитгэлЭхний эрэмбийг амжилттай олсон хувьсагчийн өөрчлөлтийн тусламжтайгаар шугаман тэгшитгэл эсвэл Бернулли тэгшитгэл болгон бууруулна.

Жишээ 9.Тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Солих \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))энэ тэгшитгэлийг шугаман болгож бууруулна \frac(dz)(dx)+z=-x, ерөнхий шийдэл нь z=1-x+Ce^(-x) .

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Зарим тэгшитгэлд хүссэн функц y(x) нь интеграл тэмдгийн доор байж болно. Эдгээр тохиолдолд заримдаа энэ тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл болгон багасгах боломжтой байдаг.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x-ийн хувьд дахин ялгахдаа y(x)\colon-ийн хувьд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй болно.

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)эсвэл x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэснээр бид олдог y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Энэхүү шийдэл нь хялбархан шалгаж болох тул анхны тэгшитгэлийг хангаж байна.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
, энд n ≠ 0 , n ≠ 1 , p ба q нь x-ийн функцууд юм.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлд буулгах замаар шийдвэрлэх

Бернулли дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) ,
хаана n ≠ 0 , n ≠ 1 , p ба q нь x-ийн функцууд юм.
Үүнийг y n-д хуваая. y ≠ үед 0 эсвэл n< 0 бидэнд байгаа:
(2) .
Энэ тэгшитгэлийг хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж болно.
.
Үүнийг үзүүлье. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
;
.
Орлуулж орцгооё (2) болон хувиргах:
;
.
Энэ бол шугаман, z-тэй харьцангуй дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдсэний дараа n >-ийн хувьд 0 , бид y = тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй 0 . n > үед 0 , y = 0 нь мөн тэгшитгэлийн шийдэл юм (1) мөн хариултанд оруулах ёстой.

Бернулли аргын шийдэл

Асуулттай тэгшитгэл (1) Мөн Бернуллигийн аргаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна.
y = u·v ,
Энд u ба v нь x-ийн функцууд юм. x-ээр ялгах:
y' = u' v + u v' .
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1) :
;
(3) .
v-ийн хувьд бид тэгшитгэлийн тэгээс бусад шийдлийг авна.
(4) .
Тэгшитгэл (4) салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид үүнийг шийдэж, тодорхой шийдлийг олдог v = v (x). Бид тодорхой шийдлийг орлуулдаг (3) . Энэ нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул (4) , дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэг болно. Бид авах:
;
.
Энд v нь х-ийн аль хэдийн мэдэгдэж байсан функц юм. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид түүний ерөнхий шийдийг олдог ба үүнтэй хамт y = uv анхны тэгшитгэлийн шийдийг олдог.

Бернулли дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Өнгөц харахад энэ дифференциал тэгшитгэл нь Бернуллигийн тэгшитгэлтэй төстэй биш юм шиг санагддаг. Хэрэв бид х-г бие даасан хувьсагч, у-г хамааралтай хувьсагч гэж үзвэл (өөрөөр хэлбэл у нь х-ийн функц бол) энэ нь үнэн юм. Гэхдээ хэрэв бид y-г бие даасан хувьсагч, х-г хамааралтай хувьсагч гэж үзвэл энэ нь Бернуллигийн тэгшитгэл гэдгийг амархан харж болно.

Тиймээс бид x нь у-ийн функц гэж таамаглаж байна. Орлуулж үржүүлье:
;
;
(P.1) .
Энэ бол n =-тэй Бернуллигийн тэгшитгэл юм 2 . Энэ нь дээр дурдсан тэгшитгэлээс ялгаатай (1) , зөвхөн хувьсагчийн тэмдэглэгээгээр (y-ийн оронд x). Бид Бернуллигийн аргаар шийддэг. Сэлгээ хийцгээе:
x = u v ,
Энд u ба v нь y-ийн функцууд юм. y-ээр ялгах:
.
Орлуулж орцгооё (P.1):
;
(P.2) .
Бид ямар ч тэгээс өөр функц хайж байна v (y), тэгшитгэлийг хангаж байна:
(P.3) .
Бид хувьсагчдыг ялгадаг:
;
;
.
C = байг 0 , учир нь бидэнд тэгшитгэлийн шийдэл хэрэгтэй (P.3).
;
.
Орлуулж орцгооё (P.2)хаалт дахь илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байна гэж үзвэл (учир нь (P.3)):
;
;
.
Хувьсагчдыг салгацгаая. u ≠ үед 0 бидэнд байгаа:
;
(P.4) ;
.
Хоёр дахь интегралд бид орлуулалтыг хийнэ:
;
.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) нь (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай мужид үргэлжилсэн х-ийн функцууд өгөгдсөн.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салгаж болох тэгшитгэл бөгөөд ерөнхий шийдэлтэй

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун)\!,

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

Y=C(x)\exp\!\зүүн(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тогтмол өөрчлөлтийн аргыг ашиглая. Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн y"+2xy=0 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) хэлбэртэй байна.

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(x) нь х-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C"(x)=2x, үүнээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=(x^2+C)e^(-x^) болно. 2) , энд C - интегралын тогтмол.

Сэтгэгдэл.Дифференциал тэгшитгэл нь у-ийн функцээр x-д шугаман байна. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр нь

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-г y-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг x=C(y)e^(\sin(y)) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(y) нь у-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулж, бид авна

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Эндээс хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх нь бидэнд бий

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг x=C(y)e^(\sin(y)) гэж орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

Y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-г дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцлөөс v(x)-ыг тодорхойлохдоо vu"+(pv+v")u=q(x)-аас u(x) функцийг олж, улмаар y=uv-ийн шийдийг олно. тэгшитгэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ын хувьд бид тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3.Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Шийдэл.Бид y=u(x)v(x) хэлбэрээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна; Бидэнд y"=u"v+uv" байна. Анхны тэгшитгэлд y ба y"-ийн илэрхийлэлийг орлуулбал бид дараах байдалтай болно.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Бид x(x-1)v"+v=0 нөхцөлөөс v=v(x) функцийг олно. Сүүлчийн тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдийг авч, жишээ нь v=\frac(x)(x-1) ба түүнийг орлуулахад бид u"=2x-1 тэгшитгэлийг олж авах ба үүнээс u(x)=x^2-x+C функцийг олно. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)болно

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Анхны y|_(x=2)=4 нөхцөлийг ашиглан С-г олох тэгшитгэлийг олж авна 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, эндээс C=0; тэгэхээр заасан Коши бодлогын шийдэл нь y=x^2 функц байх болно.

Жишээ 4. R эсэргүүцэл ба өөрийн индукц L-тэй хэлхээнд гүйдэл i ба цахилгаан хөдөлгөгч хүч Е хооронд хамаарал байдаг нь мэдэгдэж байна. E=Ri+L\frac(di)(dt), энд R ба L тогтмол байна. Хэрэв бид E-г t хугацааны функц гэж үзвэл одоогийн i хүч чадлын шугаман жигд бус тэгшитгэлийг олж авна.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолд одоогийн хүчийг i(t) ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Анхны нөхцөлийг (13) ашиглан бид -аас авна C=I_0-\frac(E_0)(R), тиймээс шаардлагатай шийдэл байх болно

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\баруун)\!e^(-(R/L)t).

Энэ нь t\to+\infty үед i(t) гүйдлийн хүч \frac(E_0)(R) тогтмол утга руу чиглэж байгааг харуулж байна.

Жишээ 5.Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлсон C_\alpha муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул (Зураг 13).

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх дурын C_\alpha муруйн шүргэгчийг авч үзье

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

Тодорхойлолтоор харгалзах цэгүүдэд х тогтмол, у хувьсагч байна. Харгалзах цэгүүдэд C_\alpha шулуунуудын аль ч хоёр шүргэгчийг авч үзвэл тэдгээрийн огтлолцлын S цэгийн координатыг олж авна.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь харгалзах цэгүүд дэх C_\alpha муруйнуудын бүх шүргэгч (х тогтмол) нэг цэг дээр огтлолцдог болохыг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S\колон f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангаж байна: y нь y\to+\infty-д хязгаарлагдана.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=Ce^x+\sin(x) юм. C\ne0-ийн ерөнхий шийдээс олж авсан тэгшитгэлийн аливаа шийд нь хязгааргүй байх болно, учир нь x\to+\infty-ийн хувьд \sin(x) функц нь хязгаарлагдмал бөгөөд e^x\to+\infty . Үүнээс үзэхэд энэ тэгшитгэл нь x\to+\infty -д хязгаарлагдсан y=\sin(x) өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг C=0 цэгийн ерөнхий шийдээс олж авна.

Бернуллигийн тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлшиг харагдаж байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Хувьсах орлуулалтыг ашиглах z=\frac(1)(y^(n-1))Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж, шугаман тэгшитгэл болгон нэгтгэв.

Жишээ 7.Бернуллигийн y"-xy=-xy^3 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх \frac(1)(y^2)=z\Баруун сум-\frac(2y")(y^3)=z", хаана \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Орлуулсны дараа сүүлчийн тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x, ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Сэтгэгдэл.Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл шиг тогтмол хэмжигдэхүүнийг вариацын аргаар y(x)=u(x)v(x) орлуулах аргаар нэгтгэж болно.

Жишээ 8.Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Харгалзах нэгэн төрлийн xy"+y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=\frac(C)(x) хэлбэртэй байна. Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=\frac(C(x)) хэлбэрээр хайдаг. (x) , энд C(x) - анхны тэгшитгэлд орлуулах шинэ үл мэдэгдэх функц байна

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) функцийг олохын тулд бид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг салгаж, интегралчлах замаар бид олох болно.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим шугаман бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг хувьсагчийн амжилттай олсон өөрчлөлтийг ашиглан шугаман тэгшитгэл эсвэл Бернулли тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ 9.Тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Солих \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))энэ тэгшитгэлийг шугаман болгож бууруулна \frac(dz)(dx)+z=-x, ерөнхий шийдэл нь z=1-x+Ce^(-x) .

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Зарим тэгшитгэлд хүссэн функц y(x) нь интеграл тэмдгийн доор байж болно. Эдгээр тохиолдолд заримдаа энэ тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл болгон багасгах боломжтой байдаг.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл мэдээллийн эх сурвалж

Бернуллигийн тэгшитгэлхамгийн алдартай нэг юм нэгдүгээр эрэмбийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь хэлбэрээр бичигдсэн байдаг

Хаана а(x) Мөн б(x) нь тасралтгүй функцууд юм. Хэрэв м= 0 байвал Бернуллигийн тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болно. Хэзээ м= 1, тэгшитгэл нь салгаж болох тэгшитгэл болно. Ерөнхийдөө хэзээ м≠ 0.1, Бернуллигийн тэгшитгэлийг орлуулалтыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулсан.

Функцийн шинэ дифференциал тэгшитгэл z(x) хэлбэртэй байна

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хуудсанд тайлбарласан аргуудыг ашиглан шийдэж болно.

БЕРНУЛИЙН АРГА.

Харж байгаа тэгшитгэлийг Бернуллигийн аргаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна: хаана у, v-аас функцууд x. Ялгах: Анхны тэгшитгэлд орлуулна (1): (2) гэх мэт vТэгшитгэлийн ямар ч тэг биш шийдлийг авч үзье: (3) Тэгшитгэл (3) нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид түүний тодорхой шийдлийг олсны дараа v = v(x), (2) -д орлуулна уу. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэг болно. Бид авах: Энэ нь бас салгаж болох тэгшитгэл юм. Бид түүний ерөнхий шийдлийг олж, анхны тэгшитгэлийн шийдлийг олдог y = uv.

64. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл. Интеграцийн хүчин зүйл. Шийдлийн аргууд

Маягтын нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

дуудсан дахь тэгшитгэл бүрэн дифференциалууд Хэрэв уу зүүн талзарим функцийн нийт дифференциалыг илэрхийлнэ, i.e.

Теорем.(1) тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байхын тулд хувьсагчийн өөрчлөлтийн энгийн холбогдсон мужид нөхцөл хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

(1) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь эсвэл хэлбэртэй байна

Жишээ 1. Дифференциал тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл гэдгийг шалгацгаая.

тийм байна нөхцөл (2) хангагдсан байна. Тиймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл ба

тиймээс хаана нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Интеграцчилснаар бид . Олдсон функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хаанаас өгдөг тул Тиймээс,.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл.

Зарим дифференциал тэгшитгэлийг интеграци хийхдээ нэр томьёог хялбархан интегралдах хослолыг олж авах байдлаар бүлэглэж болно.

65. Дээд эрэмбийн энгийн дифференциал шугаман тэгшитгэл: нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус. Шугаман дифференциал оператор, түүний шинж чанар (баталгаатай).

Шугаман дифференциал оператор ба түүний шинж чанарууд.Интервал дээр байгаа функцүүдийн багц ( а , б ) багагүй n дериватив, шугаман орон зайг бүрдүүлдэг. Операторыг анхаарч үзээрэй Л n (y ), функцийг харуулдаг y (x ), have derivative, into a function has к - n деривативууд.