Гэр Амнаас үнэртэх Хязгааргүй геометр прогресс ба түүний нийлбэр. Үргэлж сэтгэл санаатай байгаарай

Амнаас үнэртэх

Хязгааргүй геометр прогресс ба түүний нийлбэр. Үргэлж сэтгэл санаатай байгаарай

Физик, математикийн зарим асуудлыг тооны цувааны шинж чанарыг ашиглан шийдэж болно. Сургуулиудад заадаг хамгийн энгийн хоёр тооны дараалал бол алгебр, геометр юм. Энэ өгүүллээр бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг нарийвчлан авч үзэх болно.

Геометрийн прогресс

Эдгээр үгс нь a i элементүүд нь илэрхийллийг хангасан бодит тооны цувралыг илэрхийлнэ.

Энд i нь цувралын элементийн тоо, r нь хуваагч гэж нэрлэгддэг тогтмол тоо юм.

Энэхүү тодорхойлолт нь прогрессийн аль нэг гишүүн ба түүний хуваагчийг мэдэж байвал бүх тооны цувралыг сэргээж чадна гэдгийг харуулж байна. Жишээлбэл, 10-р элемент нь мэдэгдэж байгаа бол r-д хуваахад 9-р элемент, дахин хуваахад 8-р элемент гарах гэх мэт. Эдгээр энгийн аргументууд нь авч үзэж буй тоонуудын цувралд тохирох илэрхийлэл бичих боломжийг бидэнд олгоно.

2 хуваарьтай прогрессийн жишээ нь дараах цуврал байж болно.

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Хэрэв хуваагч нь -2-той тэнцүү бол огт өөр цуврал гарч ирнэ.

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Геометрийн прогресс нь алгебрийн прогрессоос хамаагүй хурдан, өөрөөр хэлбэл түүний нэр томъёо нь хурдан нэмэгдэж, хурдан буурдаг.

Прогрессийн i нөхцлийн нийлбэр

Практик асуудлыг шийдэхийн тулд авч үзэж буй тоон дарааллын хэд хэдэн элементийн нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёо хүчинтэй байна.

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Эндээс харахад i гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд та зөвхөн хоёр тоог мэдэх хэрэгтэй: a 1 ба r нь бүх дарааллыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул логик юм.

Буурах дараалал ба түүний нөхцлийн нийлбэр

Одоо авч үзье онцгой тохиолдол. Бид хуваагч r-ийн модуль нэгээс хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл -1 гэж үзнэ

Буурах геометрийн прогрессийг авч үзэх нь сонирхолтой бөгөөд учир нь түүний нөхцлүүдийн хязгааргүй нийлбэр нь төгсгөлтэй бодит тоо руу чиглэдэг.

Нийлбэрийн томъёог авъя.Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн S i илэрхийллийг бичвэл үүнийг хийхэд хялбар болно. Бидэнд байгаа:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i->∞ үед тохиолдсон тохиолдлыг авч үзье. Хуваагчийн модуль 1-ээс бага тул түүнийг хязгааргүй хүчин чадалд өсгөхөд тэг болно. Үүнийг r=0.5 жишээ ашиглан шалгаж болно.

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Үүний үр дүнд хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ томъёог практикт ихэвчлэн ашигладаг, жишээлбэл, зургийн талбайг тооцоолоход ашигладаг. Энэ нь мөн Елеагийн Зеногийн яст мэлхий, Ахиллес хоёрын парадоксыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг.

Хязгааргүй геометрийн өсөх прогрессийн нийлбэрийг (r>1) авч үзвэл S ∞ = +∞ үр дүн гарах нь ойлгомжтой.

Прогрессийн эхний гишүүнийг олох даалгавар

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр дээрх томьёог хэрхэн ашиглахыг үзүүлье. Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэр нь 11 байдаг нь мэдэгдэж байна. Түүнээс гадна түүний 7-р гишүүн гурав дахь гишүүнээс 6 дахин бага. Энэ тооны цувралын эхний элемент юу вэ?

Эхлээд 7 ба 3-р элементийг тодорхойлох хоёр илэрхийлэл бичье. Бид авах:

Эхний илэрхийлэлийг хоёрдугаарт хувааж, хуваагчийг илэрхийлэхэд бид дараах байдалтай байна.

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Долдугаар ба гурав дахь гишүүний харьцааг бодлогын өгүүлбэрт өгсөн тул та үүнийг орлуулж r-г олно уу:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

Бид r-аас аравтын бутархайг таван оронгоор тооцоолсон. Үүссэн утга нь нэгээс бага тул прогресс буурч байгаа нь түүний хязгааргүй нийлбэрийн томъёог ашиглахыг зөвтгөдөг. Эхний гишүүний илэрхийллийг S ∞ нийлбэрээр бичье.

Бид энэ томъёонд мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулж, хариултыг авна.

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

Хурдан Ахиллес ба удаан яст мэлхийтэй Зеногийн алдарт парадокс

Элеагийн Зено бол МЭӨ 5-р зуунд амьдарч байсан Грекийн алдартай философич юм. д. Түүний хэд хэдэн оргил буюу парадоксууд нь математикт хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг гэсэн асуудлыг томъёолж буй өнөөг хүртэл хүрчээ.

Зеногийн алдартай парадоксуудын нэг бол Ахиллес ба яст мэлхийн хоорондох өрсөлдөөн юм. Хэрэв Ахиллес яст мэлхийд зайнаас ямар нэгэн давуу тал өгвөл түүнийг хэзээ ч гүйцэж чадахгүй гэж Зено итгэж байв. Жишээлбэл, Ахиллес мөлхөж буй амьтдаас 10 дахин хурдан гүйж байг, жишээлбэл, түүний урд 100 метр. Дайчин 100 метр гүйхэд яст мэлхий 10 метр мөлхөж, ахин 10 метр гүйхэд Ахиллес яст мэлхий дахин нэг метр мөлхөж байгааг харжээ. Ингэснээр та эцэс төгсгөлгүй маргаж болно, өрсөлдөгчдийн хоорондын зай үнэхээр багасах боловч яст мэлхий үргэлж урд байх болно.

Хөдөлгөөн гэж байдаггүй бөгөөд эргэн тойрон дахь объектуудын бүх хөдөлгөөн нь хуурмаг зүйл гэсэн дүгнэлтэд Зено хүргэв. Мэдээжийн хэрэг, эртний Грекийн гүн ухаантан буруу байсан.

Парадоксын шийдэл нь тасралтгүй буурч байгаа сегментүүдийн хязгааргүй нийлбэр нь төгсгөлтэй тоо руу чиглэдэгт оршино. Дээрх тохиолдолд Ахиллесийн гүйсэн зайд бид дараахь зүйлийг авна.

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 метр

Энэ үр дүн нь Ахиллес яст мэлхийг ердөө 11.111 метр мөлхөхөд гүйцэх болно гэдгийг харуулж байна.

Эртний Грекчүүд математикт хязгааргүй хэмжигдэхүүнтэй хэрхэн ажиллахаа мэддэггүй байв. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид Ахиллесийн даван туулах ёстой хязгааргүй тооны цоорхойг биш, харин гүйгч зорилгодоо хүрэхийн тулд хязгаарлагдмал тооны алхмуудыг анхаарч үзвэл энэ парадокс шийдэгдэж болно.

Хичээлийн зорилго: оюутнуудыг шинэ төрлийн дараалалтай танилцуулах - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс.
Даалгаварууд:
тоон дарааллын хязгаарын талаархи анхны санааг боловсруулах;
Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашиглан хязгааргүй үечилсэн бутархайг энгийн болгон хувиргах өөр аргатай танилцах;
логик сэтгэлгээ, үнэлгээний үйлдэл хийх, ерөнхийлөн дүгнэх чадвар зэрэг сургуулийн сурагчдын оюуны чанарыг хөгжүүлэх;
үйл ажиллагаа, харилцан туслалцаа, нэгдэл, энэ сэдвийг сонирхохыг төлөвшүүлэх.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Сэдвийн хичээл “Хязгааргүй буурах геометр прогресс” (алгебр, 10-р анги)

Хичээлийн зорилго: Оюутнуудыг шинэ төрлийн дараалалтай танилцуулах - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс.

Даалгаварууд:

тоон дарааллын хязгаарын талаархи анхны санааг боловсруулах; Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашиглан хязгааргүй үечилсэн бутархайг энгийн болгон хувиргах өөр аргатай танилцах;

логик сэтгэлгээ, үнэлгээний үйлдэл хийх, ерөнхийлөн дүгнэх чадвар зэрэг сургуулийн сурагчдын оюуны чанарыг хөгжүүлэх;

үйл ажиллагаа, харилцан туслалцаа, нэгдэл, энэ сэдвийг сонирхохыг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: компьютерийн анги, проектор, дэлгэц.

Хичээлийн төрөл: хичээл - шинэ сэдэв сурах.

Хичээлийн үеэр

I. Org. мөч. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг хэлнэ үү.

II. Оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх.

9-р ангидаа та арифметик, геометрийн прогрессийг судалсан.

Асуултууд

1. Тодорхойлолт арифметик прогресс.

(Арифметик прогресс гэдэг нь гишүүн бүрийн дараалал юм

Хоёр дахь үеэс эхлэн энэ нь өмнөх нэр томъёог ижил тоонд нэмсэнтэй тэнцүү байна).

2. Томъёо n арифметик прогрессийн 3-р гишүүн

3. Эхнийх нь нийлбэрийн томъёо n арифметик прогрессийн нөхцлүүд.

( эсвэл )

4. Геометр прогрессийн тодорхойлолт.

(Геометр прогресс гэдэг нь тэгээс өөр тоонуудын дараалал юм

Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна

Ижил тоо).

5. Томъёо n геометр прогрессийн 3-р гишүүн

6. Эхнийх нь нийлбэрийн томъёо n геометр прогрессийн гишүүд.

7. Та өөр ямар томьёог мэддэг вэ?

(, Хаана ; ;

; , )

Даалгаврууд

1. Арифметик прогрессийг томъёогоор тодорхойлно a n = 7 – 4n . 10-ыг ол. (-33)

2. Арифметик прогрессоор a 3 = 7 ба 5 = 1. 4-ийг олоорой. (4)

3. Арифметик прогрессоор a 3 = 7 ба 5 = 1. 17-г ол. (-35)

4. Арифметик прогрессоор a 3 = 7 ба 5 = 1. S 17-г ол. (-187)

5. Геометр прогрессийн хувьдтав дахь гишүүнийг ол.

6. Геометр прогрессийн хувьд n-р гишүүнийг ол.

7. Экспоненциал b 3 = 8 ба b 5 = 2. b 4-ийг ол. (4)

8. Экспоненциал b 3 = 8 ба b 5 = 2. b 1 ба q-г ол.

9. Экспоненциал b 3 = 8 ба b 5 = 2. S5 олох. (62)

III. Шинэ сэдэв сурах(танилцуулгын үзүүлэн).

Тал нь 1-тэй тэнцүү квадратыг авч үзье. Хажуу тал нь эхний дөрвөлжингийн хагастай тэнцэх өөр нэг дөрвөлжин, дараа нь хоёр дахь тал нь өөр нэг, дараа нь дараагийнх гэх мэтийг зуръя. Шинэ квадратын тал нь өмнөх талбайн талтай тэнцүү байна.

Үүний үр дүнд бид квадратуудын талуудын дарааллыг хүлээн авлаахуваагчтай геометр прогресс үүсгэх.

Хамгийн гол нь бид ийм квадратуудыг барих тусам талбайн тал нь бага байх болно.Жишээлбэл ,

Тэдгээр. n тоо нэмэгдэх тусам прогрессийн нөхцөл тэг рүү ойртоно.

Энэ зургийг ашиглан та өөр дарааллыг авч үзэж болно.

Жишээлбэл, квадратуудын талбайн дараалал:

Мөн дахин, хэрэв n тодорхойгүй хугацаагаар өсөх бөгөөд дараа нь талбай нь таны хүссэн хэмжээгээр тэг рүү ойртоно.

Өөр нэг жишээг харцгаая. Талууд нь 1 см-тэй тэнцүү тэгш талт гурвалжин. Гурвалжны дундын шугамын тухай теоремын дагуу 1-р гурвалжны талуудын дунд цэгүүд дээр оройнууд нь дараах гурвалжинг байгуулъя - 2-р тал нь эхний талын талтай, 3-р талын талтай тэнцүү байна. 2-р талын талтай тэнцүү гэх мэт. Дахин бид гурвалжны талуудын уртын дарааллыг олж авна.

-д.

Хэрэв бид геометрийн прогрессийг авч үзвэл сөрөг хуваагч.

Дараа нь дахин, тоо нэмэгдэж байна n явцын нөхцлүүд тэг рүү ойртоно.

Эдгээр дарааллын хуваагчдад анхаарлаа хандуулцгаая. Хаа сайгүй хуваагч үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс бага байв.

Бид дүгнэж болно: хэрэв хуваагчийн модуль нь 1-ээс бага бол геометрийн прогресс хязгааргүй буурах болно.

Урд талын ажил.

Тодорхойлолт:

Геометрийн прогрессхуваагчийн модуль нэгээс бага бол хязгааргүй бууралт гэнэ..

Тодорхойлолтыг ашиглан та геометрийн прогресс хязгааргүй буурч байгаа эсэхийг шийдэж болно.

Даалгавар

Дараалал нь дараах томъёогоор өгөгдсөн бол хязгааргүй буурах геометр прогресс мөн үү.

Шийдэл:

q-г олцгооё.

; ; ; .

энэ геометр прогресс хязгааргүй буурч байна.

б) Энэ дараалал нь хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс биш юм.

Тал нь 1-тэй тэнцүү квадратыг авч үзье. Хагасыг нь хуваа, нэг талыг нь хагас гэх мэт. Бүх үүссэн тэгш өнцөгтүүдийн талбайнууд нь хязгааргүй багасах геометрийн прогрессийг үүсгэдэг.

Ийм аргаар олж авсан бүх тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр нь 1-р квадратын талбайтай тэнцүү ба 1-тэй тэнцүү байх болно.

Харин энэ тэгш байдлын зүүн талд хязгааргүй олон гишүүний нийлбэр байна.

Эхний n гишүүний нийлбэрийг авч үзье.

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёоны дагуу энэ нь тэнцүү байна.

Хэрэв n тэгвэл хязгааргүй нэмэгдэнэ

эсвэл . Тиймээс, i.e. .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрдарааллын хязгаарлалт байдаг S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Жишээлбэл, ахиц дэвшлийн хувьд,

бидэнд байгаа

Учир нь

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэртомъёог ашиглан олж болно.

III. Ойлгох, нэгтгэх(даалгавруудыг гүйцэтгэх).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Дүгнэж байна.

Та өнөөдөр ямар дараалалтай танилцсан бэ?

Хязгааргүй буурах геометр прогрессийг тодорхойл.

Геометрийн прогресс хязгааргүй буурч байгааг хэрхэн батлах вэ?

Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог өг.

V. Гэрийн даалгавар.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Хүн бүр тууштай сэтгэж, нотлох баримтаар шүүж, буруу дүгнэлтийг няцаах чадвартай байх ёстой: физикч ба яруу найрагч, тракторын жолооч, химич. Э.Колман Математикийн хувьд томьёо биш харин сэтгэн бодох үйл явцыг санах хэрэгтэй. В.П.Ермаков Тойргийн квадратыг олох нь математикчийг ялахаас илүү хялбар байдаг. Август де Морган Математикаас илүү эрхэм, илүү бахархмаар, хүн төрөлхтөнд хэрэгтэй ямар шинжлэх ухаан байж болох вэ? Франклин

Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн 10-р зэрэг

I. Арифметик ба геометрийн прогресс. Асуулт 1. Арифметик прогрессийн тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэдэг нь хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дарааллыг хэлнэ. 2. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо. 3. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо. 4. Геометр прогрессийн тодорхойлолт. Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнийг ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү, тэгээс өөр тооны дарааллыг геометр прогресс гэнэ 5. Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо. 6. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо.

II. Арифметик прогресс. Даалгавар Арифметик прогрессийг a n = 7 – 4 n томъёогоор олно a 10 . (-33) 2. Арифметик прогрессод a 3 = 7, a 5 = 1 байна. 4-ийг олоорой. (4) 3. Арифметик прогрессод a 3 = 7, a 5 = 1. 17-г ол. (-35) 4. Арифметик прогрессод a 3 = 7, a 5 = 1 байна. S 17-г ол. (-187)

II. Геометрийн прогресс. Даалгавар 5. Геометр прогрессийн хувьд тав дахь гишүүнийг ол 6. Геометр прогрессийн хувьд n-р гишүүнийг ол. 7. Геометр прогрессоор b 3 = 8, b 5 = 2. b 4-ийг ол. (4) 8. Геометр прогрессоор b 3 = 8, b 5 = 2. b 1 ба q-г ол. 9. Геометр прогрессийн хувьд b 3 = 8, b 5 = 2. S5 олох. (62)

Тодорхойлолт: Хэрэв хуваагчийн модуль нэгээс бага бол геометр прогрессийг хязгааргүй бууралт гэнэ.

Бодлого No1 Дараалал нь геометр прогрессийн төгсгөлгүй буурах уу? Шийдэл: a) энэ геометр прогресс хязгааргүй буурч байна. б) энэ дараалал нь хязгааргүй буурах геометр прогресс биш юм.

Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр нь S 1, S 2, S 3, ..., S n, ... дарааллын хязгаар юм. Жишээлбэл, бидэнд байгаа прогрессийн хувьд хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийг томъёог ашиглан олж болно.

Даалгавруудыг гүйцэтгэх Эхний гишүүн 3, хоёр дахь нь 0.3 гэсэн хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол. 2. № 13; № 14; сурах бичиг, 138-р тал 3. No15(1;3); No16(1;3) No18(1;3); 4. № 19; №20.

Та өнөөдөр ямар дараалалтай танилцсан бэ? Хязгааргүй буурах геометр прогрессийг тодорхойл. Геометрийн прогресс хязгааргүй буурч байгааг хэрхэн батлах вэ? Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог өг. Асуултууд

Польшийн нэрт математикч Уго Штайнхаус "Математикч үүнийг илүү сайн хийх болно" гэж томъёолсон хууль байдаг гэж хошигнодог. Тодруулбал, хэрэв та хоёр хүнд, тэдгээрийн нэг нь математикч, тэдэнд танил бус аливаа ажлыг гүйцэтгэхийг даатгавал үр дүн нь үргэлж дараах байдалтай байх болно: математикч үүнийг илүү сайн хийх болно. Хюго Штайнхаус 14/01/1887-02/25/1972

ТООН ДАРААЛУУД VI

§ l48. Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр

Өнөөг хүртэл бид нийлбэрийн тухай ярихдаа эдгээр нийлбэрүүдийн нэр томъёоны тоог хязгаарлагдмал (жишээлбэл, 2, 15, 1000 гэх мэт) гэж үздэг. Гэхдээ зарим асуудлыг (ялангуяа дээд математик) шийдвэрлэхдээ хязгааргүй тооны нэр томъёоны нийлбэртэй харьцах шаардлагатай болдог.

S = а 1 + а 2 + ... + а n + ... . (1)

Эдгээр хэмжээ хэд вэ? А - тэргүүн байр хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэр а 1 , а 2 , ..., а n , ...-ийг S нийлбэрийн хязгаар гэнэ n эхлээд П хэзээ тоо П -> ∞ :

S=S n = (а 1 + а 2 + ... + а n ). (2)

Хязгаар (2), мэдээжийн хэрэг байхгүй ч байж болно. Үүний дагуу тэд нийлбэр (1) байгаа эсвэл байхгүй гэж хэлдэг.

Тодорхой тохиолдол бүрт нийлбэр (1) байгаа эсэхийг хэрхэн олж мэдэх вэ? Нийтлэг шийдвэрЭнэ асуудал манай хөтөлбөрийн хамрах хүрээнээс хол давсан. Гэсэн хэдий ч бид одоо авч үзэх ёстой нэг чухал онцгой тохиолдол бий. Хязгааргүй бууралттай геометр прогрессийн нөхцлүүдийг нэгтгэх талаар бид ярилцах болно.

Болъё а 1 , а 1 q , а 1 q 2, ... нь хязгааргүй буурах геометр прогресс юм. Энэ нь | q |< 1. Сумма первых П Энэ прогрессийн нөхцөл тэнцүү байна

Хувьсагчдын хязгаарын талаархи үндсэн теоремуудаас (§ 136-г үзнэ үү) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Гэхдээ 1 = 1, a qn = 0. Тиймээс

Тэгэхээр, төгсгөлгүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр нь энэ прогрессийн эхний гишүүнийг энэ прогрессийн хуваагчаас нэг хассантай тэнцүү байна.

1) Геометр прогрессийн нийлбэр 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... тэнцүү байна.

ба геометр прогрессийн нийлбэр нь 12; -6; 3; - 3/2 , ... тэнцүү

2) 0.454545 ... энгийн үечилсэн бутархайг энгийн болгон хөрвүүл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэр гэж төсөөл.

Баруун хэсэгЭнэ тэгшитгэл нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд эхний гишүүн нь 45/100, хуваагч нь 1/100 байна. Тийм ч учраас

Тодорхойлсон аргыг ашиглан үүнийг бас авч болно ерөнхий дүрэмэнгийн үечилсэн бутархайг энгийн болгон хувиргах (II бүлгийн § 38-ыг үзнэ үү):

Энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй: тоологч хэсэгт аравтын бутархайн үеийг, хуваагч хэсэгт - тухайн үеийн цифрүүдээс хэдэн удаа авсан есөөс бүрдэх тоог оруулна. аравтын бутархай.

3) 0.58333 .... холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувирга.

Энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэр гэж төсөөлье.

Энэ тэгшитгэлийн баруун талд 3/1000-аас эхлэн бүх гишүүд хязгааргүй буурах геометр прогресс үүсгэдэг бөгөөд эхний гишүүн нь 3/1000, хуваагч нь 1/10 байна. Тийм ч учраас

Тайлбарласан аргыг ашиглан холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлэг, § 38-ыг үзнэ үү). Үүнийг бид энд зориуд танилцуулдаггүй. Энэ төвөгтэй дүрмийг санах шаардлагагүй. Аливаа холимог үечилсэн бутархайг хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс болон тодорхой тооны нийлбэрээр илэрхийлж болохыг мэдэх нь илүү ашигтай байдаг. Мөн томъёо

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийн хувьд та мэдээж санаж байх ёстой.

Дасгалын хувьд бид танд доор өгөгдсөн 995-1000 тоот бодлогоос гадна 301 § 38-д дахин нэг удаа хандахыг санал болгож байна.

Дасгал

995. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

996. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол.

997. Ямар үнэ цэнээр X дэвшил

энэ нь хязгааргүй буурч байна уу? Ийм прогрессийн нийлбэрийг ол.

998. Талтай тэгш талт гурвалжинд А шинэ гурвалжинг түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосноор сийлсэн; Энэ гурвалжинд шинэ гурвалжинг мөн адил бичээстэй байх ба төгсгөлгүй үргэлжлэх болно.

a) эдгээр бүх гурвалжны периметрийн нийлбэр;

б) тэдгээрийн талбайн нийлбэр.

999. Хажуу талтай дөрвөлжин А түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шинэ дөрвөлжин бичээс; дөрвөлжин талбайг энэ дөрвөлжинд мөн адил бичээстэй, мөн төгсгөлгүй. Эдгээр бүх квадратуудын периметрийн нийлбэр ба талбайн нийлбэрийг ол.

1000. нийлбэр нь 25/4, гишүүний квадратуудын нийлбэр нь 625/24-тэй тэнцүү байхаар хязгааргүй буурах геометр прогресс зохио.

Эхний түвшин

Геометрийн прогресс. Цогц гарын авлагажишээнүүдийн хамт (2019)

Тооны дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль нь ч байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр сүүлчийнх хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.

Тоотой тоог дарааллын n-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Прогрессийн хамгийн түгээмэл хэлбэр нь арифметик ба геометр юм. Энэ сэдвээр бид хоёр дахь төрлийн талаар ярих болно - геометрийн прогресс.

Геометрийн прогресс яагаад хэрэгтэй вэ, түүний түүх юу вэ?

Эрт дээр үед ч гэсэн Италийн математикч лам Пизагийн Леонардо (Фибоначчи гэгддэг) худалдааны практик хэрэгцээг авч үздэг байв. Бүтээгдхүүнийг жинлэхэд ашиглаж болох хамгийн бага тооны жинг тодорхойлох даалгавар ламын өмнө тулгарсан бэ? Фибоначчи өөрийн бүтээлүүддээ жингийн ийм систем нь оновчтой гэдгийг нотолж байна: Энэ бол хүмүүс геометрийн прогресстой тулгардаг анхны нөхцөл байдлын нэг бөгөөд үүнийг та аль хэдийн сонссон, ядаж л мэддэг байх. ерөнхий ойлголт. Сэдвийг бүрэн ойлгосны дараа ийм систем яагаад оновчтой байдаг талаар бодож үзээрэй?

Одоогийн байдлаар амьдралын практикт геометрийн прогресс нь банкинд мөнгө байршуулах үед өмнөх хугацаанд дансанд хуримтлагдсан дүнгийн хүүгийн хэмжээ хуримтлагдсан үед илэрдэг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та хадгаламжийн банкинд хугацаатай хадгаламжинд мөнгө байршуулсан бол жилийн дараа хадгаламж анхны хэмжээгээр нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. шинэ дүн нь шимтгэлийг үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Өөр нэг жил энэ хэмжээ нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. тухайн үед олж авсан дүнг дахин үржүүлнэ гэх мэт. Үүнтэй төстэй нөхцөл байдлыг тооцоолох асуудалд тайлбарласан болно нийлмэл хүү- өмнөх хүүг харгалзан дансанд байгаа мөнгөн дүнгээс хувь хэмжээг авна. Бид эдгээр ажлуудын талаар бага зэрэг дараа ярих болно.

Геометрийн прогрессийг ашиглах олон энгийн тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, томуугийн тархалт: нэг хүн өөр хүнд халдварласан, тэд эргээд өөр хүнд халдварласан, улмаар халдварын хоёр дахь давалгаа нь хүн бөгөөд тэд эргээд өөр нэг хүнд халдварласан ... гэх мэт. .

Дашрамд хэлэхэд, санхүүгийн пирамид, ижил MMM нь геометрийн прогрессийн шинж чанарт суурилсан энгийн бөгөөд хуурай тооцоолол юм. Сонирхолтой юу? Үүнийг олж мэдье.

Геометрийн прогресс.

Бидэнд тооны дараалал байна гэж бодъё:

Энэ нь амархан бөгөөд ийм дарааллын нэр нь түүний нөхцлийн зөрүүтэй арифметик прогресс гэж та шууд хариулах болно. Энэ талаар:

Хэрэв та дараагийн тооноос өмнөх тоог хасвал шинэ ялгаа (гэх мэт) авах бүртээ дараалал нь гарцаагүй байдаг бөгөөд анзаарахад хялбар байдаг - дараагийн тоо бүр өмнөх тооноос хэд дахин их байна!

Энэ төрлийн тооны дарааллыг нэрлэдэг геометрийн прогрессболон томилогдсон.

Геометрийн прогресс () нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлдэг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эхний гишүүн ( ) нь тэнцүү биш бөгөөд санамсаргүй биш гэсэн хязгаарлалтууд. Аль нь ч байхгүй, эхний гишүүн нь тэнцүү, q нь тэнцүү байна гэж бодъё, хмм.. байг, тэгвэл энэ нь гарч ирнэ:

Энэ ахиц дэвшил байхаа больсон гэдэгтэй санал нэг байна.

Таны ойлгож байгаагаар тэгээс өөр тоо байвал бид ижил үр дүнд хүрэх болно, a. Эдгээр тохиолдолд ямар ч дэвшилт байхгүй, учир нь бүх тооны цуврал нь бүгд тэг, эсвэл нэг тоо, бусад нь тэг байх болно.

Одоо геометр прогрессийн хуваагч, өөрөөр хэлбэл o-ийн талаар илүү дэлгэрэнгүй яръя.

Дахин хэлье: - энэ бол тоо дараагийн нэр томъёо бүр хэдэн удаа өөрчлөгдөх вэ?геометрийн прогресс.

Энэ нь юу байж болох юм гэж та бодож байна вэ? Энэ нь зөв, эерэг ба сөрөг, гэхдээ тэг биш (бид энэ талаар бага зэрэг өндөр ярьсан).

Манайх эерэг байна гэж бодъё. Манай тохиолдолд, а. Хоёр дахь нэр томъёоны үнэ цэнэ юу вэ? Та үүнд амархан хариулж чадна:

Яг зөв. Үүний дагуу, хэрэв, дараачийн бүх дэвшилтийн нөхцлүүд ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг байна.

Хэрэв энэ нь сөрөг байвал яах вэ? Тухайлбал, А. Хоёр дахь нэр томъёоны үнэ цэнэ юу вэ?

Энэ бол огт өөр түүх юм

Энэ дэвшлийн нөхцөлийг тоолж үзээрэй. Та хэд авсан бэ? Надад бий. Тиймээс, хэрэв тийм бол геометрийн прогрессийн нөхцлийн тэмдгүүд ээлжлэн солигдоно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та түүний гишүүдийн хувьд ээлжлэн тэмдэглэгдсэн ахиц дэвшлийг харвал түүний хуваагч сөрөг байна. Энэхүү мэдлэг нь энэ сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд өөрийгөө шалгахад тусална.

Одоо жаахан дадлага хийцгээе: аль тооны дараалал нь геометр прогресс, аль нь арифметик прогресс болохыг тодорхойлохыг хичээ.

Авчихсан? Хариултаа харьцуулж үзье:

Геометрийн прогресс - 3, 6.
Арифметик прогресс - 2, 4.
Энэ нь арифметик ч биш, геометрийн прогресс ч биш - 1, 5, 7.

Сүүлчийн прогресс руугаа буцаж, арифметикийн нэгэн адил гишүүнийг олохыг хичээцгээе. Таны таамаглаж байсанчлан үүнийг олох хоёр арга бий.

Бид гишүүн бүрийг дараалан үржүүлдэг.

Тэгэхээр тайлбарласан геометр прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

Та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан, одоо та өөрөө геометрийн прогрессийн аль нэг гишүүнийг олоход туслах томьёог гаргаж авах болно. Эсвэл та өөрөө өөртөө зориулж, алхам алхмаар гишүүнийг хэрхэн олохыг тайлбарласан уу? Хэрэв тийм бол өөрийн үндэслэлийн зөв эсэхийг шалгаарай.

Үүнийг энэ прогрессийн 3-р гишүүнийг олох жишээгээр тайлбарлая.

Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн геометр прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ол.

Болсон уу? Хариултаа харьцуулж үзье:

Бид геометр прогрессийн өмнөх гишүүн бүрээр дараалан үржүүлснээр өмнөх аргынхтай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
"Хувь хүнгүй болгохыг" хичээцгээе. энэ томъёо- Үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад дараахь зүйлийг авъя.

Гарсан томъёо нь эерэг ба сөрөг аль алинд нь бүх утгын хувьд үнэн юм. Үүнийг геометр прогрессийн нөхцлүүдийг тооцоолж өөрөө шалгаарай дараах нөхцөлүүд: , А.

Тоолсон уу? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Прогрессийн гишүүнийг нэр томъёоны нэгэн адил олох боломжтой гэдгийг хүлээн зөвшөөрч байна, гэхдээ буруу тооцоолох боломжтой. Хэрэв бид геометрийн прогрессийн 3-р гишүүнийг аль хэдийн олсон бол томъёоны "таслагдсан" хэсгийг ашиглахаас илүү хялбар зүйл юу байж болох вэ.

Хязгааргүй буурах геометр прогресс.

Саяхан бид энэ нь тэгээс их эсвэл бага байж болох тухай ярьж байсан ч геометрийн прогресс гэж нэрлэгддэг тусгай утгууд байдаг. хязгааргүй буурч байна.

Энэ нэрийг яагаад өгсөн гэж та бодож байна вэ?
Эхлээд гишүүдээс бүрдсэн геометрийн прогрессийг бичье.
Дараа нь хэлье:

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө нэг хүчин зүйлээр бага байгааг бид харж байна, гэхдээ ямар нэгэн тоо байх уу? Та тэр даруй хариулах болно - "үгүй". Ийм учраас энэ нь хязгааргүй буурч байна - энэ нь буурч, буурч байгаа боловч хэзээ ч тэг болдоггүй.

Энэ нь нүдээр хэрхэн харагддагийг тодорхой ойлгохын тулд өөрсдийн дэвшлийн графикийг зурахыг хичээцгээе. Тиймээс, бидний хувьд томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

График дээр бид хараат байдлыг зурж зурсан тул:

Илэрхийллийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй: эхний оруулгад бид геометр прогрессийн гишүүний утга нь түүний дарааллын тооноос хамааралтай болохыг харуулсан бөгөөд хоёр дахь оруулгад бид геометр прогрессийн гишүүний утгыг энгийн байдлаар авсан. , ба дарааллын тоог гэж биш, харин гэж тэмдэглэв. График бүтээх л үлдлээ.
Танд юу байгааг харцгаая. Миний олж мэдсэн график энд байна:

Харж байна уу? Функц нь буурч, тэг болох хандлагатай байдаг, гэхдээ үүнийг хэзээ ч давдаггүй, тиймээс энэ нь хязгааргүй буурч байна. График дээр цэгүүдээ тэмдэглэж, координат нь юу гэсэн үг болохыг харцгаая.

Хэрэв эхний гишүүн нь тэнцүү бол геометр прогрессийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлж үзээрэй. Өмнөх графикаас юугаараа ялгаатай болохыг шинжилнэ үү?

Та удирдаж чадсан уу? Миний олж мэдсэн график энд байна:

Одоо та геометрийн прогрессийн сэдвийн үндсийг бүрэн ойлгосон: та энэ нь юу болохыг мэддэг, түүний нэр томъёог хэрхэн олохыг мэддэг, мөн хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс гэж юу болохыг мэддэг болсон тул түүний үндсэн шинж чанарт шилжье.

Геометр прогрессийн шинж чанар.

Та арифметик прогрессийн гишүүний шинж чанарыг санаж байна уу? Тийм ээ, тийм ээ, энэ прогрессийн нөхцлийн өмнөх болон дараагийн утгууд байгаа тохиолдолд тодорхой тооны прогрессийн утгыг хэрхэн олох вэ. Чи санаж байна уу? Энэ:

Одоо бид геометрийн прогрессийн нөхцлийн хувьд яг ижил асуулттай тулгарч байна. Ийм томьёог гаргахын тулд зурж, бодож эхэлцгээе. Та харах болно, энэ нь маш амархан, хэрэв та мартвал өөрөө гаргаж чадна.

Бидний мэддэг өөр нэг энгийн геометрийн прогрессийг авч үзье. Хэрхэн олох вэ? Арифметик прогрессийн хувьд энэ нь хялбар бөгөөд энгийн, гэхдээ энд яах вэ? Үнэн хэрэгтээ геометрийн хувьд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй - та бидэнд өгсөн утга бүрийг томъёоны дагуу бичих хэрэгтэй.

Та одоо энэ талаар юу хийх ёстой вэ гэж асууж магадгүй юм. Тийм ээ, маш энгийн. Эхлээд эдгээр томъёог зурган дээр дүрсэлж, тэдэнтэй хийхийг хичээцгээе янз бүрийн манипуляциүнэ цэнэд хүрэх.

Бидэнд өгөгдсөн тоонуудаас хийсвэрлэж, зөвхөн томъёогоор дамжуулан тэдгээрийн илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулцгаая. Бид хажуугийн нэр томъёог мэдэж, улбар шараар тодруулсан утгыг олох хэрэгтэй. Тэдэнтэй хамт үйлдвэрлэл явуулахыг хичээцгээе янз бүрийн арга хэмжээ, үүний үр дүнд бид авч болно.

Нэмэлт.
Хоёр илэрхийлэл нэмэхийг оролдоод үзье:

Энэ илэрхийллээс харахад бид үүнийг ямар ч байдлаар илэрхийлэх боломжгүй тул бид өөр хувилбар болох хасах аргыг туршиж үзэх болно.

Хасах.

Таны харж байгаагаар бид үүнийг бас илэрхийлж чадахгүй байгаа тул эдгээр илэрхийлэлийг бие биенээсээ үржүүлэхийг хичээцгээе.

Үржүүлэх.

Одоо бидэнд өгөгдсөн геометр прогрессийн нөхцлүүдийг олох шаардлагатай зүйлтэй харьцуулан үржүүлээд бид юу байгааг анхааралтай ажигла.

Би юу яриад байгааг таагаарай? Энэ нь зөв, олохын тулд бид авах хэрэгтэй Квадрат язгуурХүссэнтэй зэргэлдээх геометр прогрессийн тооноос бие биенээ үржүүлнэ.

Энд байна. Та өөрөө геометрийн прогрессийн шинж чанарыг олж авсан. Энэ томьёог бичээд үзээрэй ерөнхий үзэл. Болсон уу?

Нөхцөлөө мартсан уу? Энэ нь яагаад чухал болохыг бодоод үзээрэй, жишээлбэл, үүнийг өөрөө тооцоолохыг хичээ. Энэ тохиолдолд юу болох вэ? Зөв, бүрэн утгагүй, учир нь томъёо нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу энэ хязгаарлалтыг мартаж болохгүй.

Одоо энэ нь ямар тэнцүү болохыг тооцоолъё

Зөв хариулт - ! Хэрэв та тооцоо хийхдээ хоёр дахь нь мартаагүй бол боломжит утга, тэгвэл та маш сайн нөхөр бөгөөд тэр даруй сургалтанд шилжих боломжтой бөгөөд хэрэв та мартсан бол доор хэлэлцсэн зүйлийг уншиж, хариултанд яагаад хоёр үндэсийг бичих шаардлагатай байгааг анхаарч үзээрэй.

Геометр прогрессийн аль алиныг нь зурж, нэг нь утгатай, нөгөө нь утгатай бөгөөд хоёулаа оршин байх эрхтэй эсэхийг шалгацгаая.

Ийм геометрийн прогресс байгаа эсэхийг шалгахын тулд түүний өгөгдсөн бүх гишүүд ижил эсэхийг шалгах шаардлагатай юу? Эхний болон хоёр дахь тохиолдлын хувьд q-г тооцоол.

Бид яагаад хоёр хариулт бичих ёстойг харж байна уу? Учир нь таны хайж буй нэр томъёоны тэмдэг нь эерэг эсвэл сөрөг эсэхээс хамаарна! Энэ нь юу болохыг бид мэдэхгүй тул бид хоёр хариултыг нэмэх, хасах хоёрыг бичих хэрэгтэй.

Одоо та үндсэн санааг эзэмшиж, геометр прогрессийн шинж чанарын томъёог гаргаж авсан тул олж, мэдэж,

Хариултаа зөв хариулттай харьцуулна уу:

Хүссэн тооны зэргэлдээх геометрийн прогрессийн нөхцлийн утгыг бидэнд өгвөл ямар байх бол гэж та юу гэж бодож байна вэ, гэхдээ түүнээс ижил зайд байх болно. Жишээлбэл, бид олох хэрэгтэй, мөн өгсөн ба. Энэ тохиолдолд бид гаргаж авсан томъёогоо ашиглаж болох уу? Та томъёог анх гарган авахдаа хийсэн шиг утга тус бүр нь юунаас бүрдэхийг тайлбарлаж, энэ боломжийг баталгаажуулах эсвэл үгүйсгэхийг хичээгээрэй.
Та юу авсан бэ?

Одоо дахин анхааралтай ажигла.
мөн үүний дагуу:

Эндээс бид томъёо ажиллаж байна гэж дүгнэж болно зөвхөн хөрштэйгөө ч бишгеометр прогрессийн хүссэн нөхцлүүдтэй, гэхдээ бас хамт тэнцүү зайдгишүүдийн хайж байгаа зүйлээс.

Тиймээс бидний анхны томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид эхний тохиолдолд ингэж хэлсэн бол одоо бид ямар ч байсан тэнцүү байж болно гэж хэлж байна натурал тоо, аль нь бага байна. Хамгийн гол нь өгөгдсөн тоонуудын аль алинд нь адилхан байна.

Тодорхой жишээн дээр дасгал хий, маш болгоомжтой байгаарай!

, . Хай.
, . Хай.
, . Хай.

Шийдсэн үү? Та маш анхааралтай байж, жижиг зүйл анзаарсан гэж найдаж байна.

Үр дүнг харьцуулж үзье.

Эхний хоёр тохиолдолд бид дээрх томъёог тайвнаар хэрэглэж, дараах утгыг авна.

Гурав дахь тохиолдолд, нарийвчилсан үзлэгээр серийн дугааруудБидэнд өгсөн тоонууд нь бидний хайж буй тооноос ижил зайтай биш гэдгийг бид ойлгож байна: энэ нь өмнөх тоо боловч байрлал дээр хасагдсан тул томъёог хэрэглэх боломжгүй юм.

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Энэ нь үнэндээ санагдаж байгаа шиг тийм ч хэцүү биш юм! Бидэнд өгсөн тоо бүр болон бидний хайж буй тоо юунаас бүрдэж байгааг бичье.

Тиймээс бидэнд байгаа ба. Тэдэнтэй юу хийж болохыг харцгаая? Би хуваахыг санал болгож байна. Бид авах:

Бид өгөгдлийг томъёонд орлуулна:

Бидний олж мэдэх дараагийн алхам бол үүний тулд бид үүссэн тооны шоо үндсийг авах хэрэгтэй.

Одоо бид юу байгааг дахин харцгаая. Бидэнд байгаа, гэхдээ бид үүнийг олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь эргээд дараахтай тэнцүү байна.

Тооцоолоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг бид олсон. Томъёонд орлуулах:

Бидний хариулт: .

Өөр ижил төстэй асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй:
Өгөгдсөн: ,
Олно:

Та хэд авсан бэ? Надад бий - .

Таны харж байгаагаар үндсэндээ танд хэрэгтэй зөвхөн нэг томъёог санаарай- . Үлдсэн бүх мөнгөө та ямар ч үед ямар ч хүндрэлгүйгээр татан авч болно. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн энгийн геометрийн прогрессийг цаасан дээр бичиж, дээр дурдсан томъёоны дагуу түүний тоо бүр хэдтэй тэнцүү болохыг бичнэ.

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр.

Одоо өгөгдсөн интервал дахь геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг хурдан тооцоолох боломжийг олгодог томъёог харцгаая.

Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахын тулд дээрх тэгшитгэлийн бүх хэсгийг үржүүлнэ. Бид авах:

Анхааралтай хараарай: сүүлийн хоёр томъёонд юу нийтлэг байдаг вэ? Тийм ээ, анхны болон сүүлчийн гишүүнээс бусад энгийн гишүүд гэх мэт. 2-р тэгшитгэлээс 1-ийг хасахыг оролдъё. Та юу авсан бэ?

Одоо геометр прогрессийн гишүүнийг томьёогоор илэрхийлж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг бидний сүүлчийн томъёонд орлуулна уу.

Илэрхийлэлийг бүлэглэх. Та авах ёстой:

Үүнийг илэрхийлэх л үлдлээ:

Үүний дагуу, энэ тохиолдолд.

Хэрвээ? Тэгвэл ямар томьёо ажилладаг вэ? Геометрийн прогрессийг төсөөлөөд үз дээ. Тэр ямархуу хүн бэ? Ижил тоонуудын цуваа зөв тул томъёо нь дараах байдалтай байна.

Арифметик болон геометрийн прогрессийн тухай олон домог байдаг. Тэдний нэг нь шатрын спортыг бүтээгч Сэтийн домог юм.

Шатрын тоглоомыг Энэтхэгт зохион бүтээсэн гэдгийг олон хүн мэддэг. Хинду хаан түүнтэй уулзахдаа түүний оюун ухаан, түүний олон янзын албан тушаалд сэтгэл хангалуун байв. Үүнийг өөрийн харьяат хүмүүсийн нэг нь зохион бүтээсэн болохыг мэдээд хаан түүнийг биечлэн шагнахаар шийджээ. Тэрээр зохион бүтээгчийг өөртөө дуудаж, түүнээс хүссэн бүхнээ гуйхыг тушааж, хамгийн чадварлаг хүслийг ч биелүүлэхээ амлав.

Сета бодох цаг хүсч, маргааш нь Сета хааны өмнө гарч ирэхэд тэрээр урьд өмнө байгаагүй даруу зангаараа хааныг гайхшруулав. Шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжинд нэг үр тариа, хоёрдугаарт нэг улаан буудай, гурав, дөрөвт нэг ширхэг буудай өгөөч гэж гуйв.

Хаан уурлаж, боолын хүсэлт нь хааны өгөөмөр сэтгэлд зохисгүй юм гэж хэлээд Сэтийг хөөж явуулсан боловч зарц нь самбарын бүх талбайн тариаг хүлээн авна гэж амлав.

Одоо асуулт: геометрийн прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашиглан Сет хэдэн үр тариа авах ёстойг тооцоолно уу?

Үндэслэлээ эхлүүлье. Нөхцөлийн дагуу Сэт шатрын самбарын эхний квадрат, хоёр дахь, гурав, дөрөв гэх мэт улаан буудайн үр тариа хүссэн тул асуудал нь геометрийн прогрессийн тухай болохыг харж байна. Энэ тохиолдолд энэ нь юутай тэнцэх вэ?
Зөв.

Шатрын самбарын нийт квадратууд. Тус тусад нь, . Бидэнд бүх өгөгдөл байгаа, үүнийг томъёонд залгаад тооцоолох л үлдлээ.

Өгөгдсөн тооны дор хаяж ойролцоогоор "масштаб"-ыг төсөөлөхийн тулд бид градусын шинж чанарыг ашиглан хувиргана.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл тооцоолуур авч, ямар тоо гарахаа тооцоолж болно, хэрэв үгүй бол та миний үгийг хүлээж авах хэрэгтэй: илэрхийллийн эцсийн утга нь байх болно.
Тэр бол:

квиниллион квадриллион тэрбум тэрбум сая мянга.

Phew) Хэрэв та энэ тооны асар их болохыг төсөөлөхийг хүсч байвал үр тариаг бүхэлд нь багтаахын тулд хичнээн том амбаар шаардлагатай болохыг тооцоолоорой.
Хэрвээ амбаар нь м өндөр, өргөн нь м бол түүний урт нь км-ээр үргэлжлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. Дэлхийгээс Нар хүртэл хоёр дахин хол.

Хэрвээ хаан математикт хүчтэй байсан бол тэр эрдэмтэн өөрөө үр тариа тоолохыг урьж болох байсан, учир нь сая үр тариа тоолохын тулд ядаж нэг өдөр уйгагүй тоолох шаардлагатай бөгөөд квинтиллоноор үр тариа тоолох шаардлагатай. амьдралынхаа туршид тоологдох ёстой.

Одоо геометр прогрессийн гишүүний нийлбэртэй энгийн бодлого бодъё.
5А ангийн сурагч Вася ханиад томуу туссан ч сургуульдаа явсаар байна. Өдөр бүр Вася хоёр хүнд халдварладаг бөгөөд тэд эргээд хоёр хүнд халдварладаг гэх мэт. Ангид зөвхөн хүмүүс байдаг. Хэдэн өдрийн дараа бүхэл бүтэн анги томуугаар өвдөх вэ?

Тиймээс геометрийн прогрессийн эхний гишүүн бол Вася, өөрөөр хэлбэл хүн юм. Геометрийн прогрессийн 3-р хугацаа нь түүний ирсэн эхний өдөр халдвар авсан хоёр хүн юм. нийт дүнПрогрессийн гишүүд нь 5А дахь сурагчдын тоотой тэнцүү байна. Үүний дагуу бид ахиц дэвшлийн тухай ярьж байна:

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёонд өгөгдөлөө орлуулъя.

Хэд хоногийн дотор анги бүхэлдээ өвдөнө. Томьёо, тоонд итгэхгүй байна уу? Оюутнуудын "халдвар" -ыг өөрөө дүрслэхийг хичээ. Болсон уу? Энэ нь надад хэрхэн харагдахыг хараарай:

Ангид нэг хүн байсан, хүн бүр нэг хүнд халдварлавал сурагчид хэдэн өдөр ханиад томуу тусдаг болохыг өөрсдөө тооцоол.

Та ямар үнэ цэнийг авсан бэ? Нэг өдрийн дараа хүн бүр өвдөж эхэлсэн.

Таны харж байгаагаар ийм даалгавар, түүнд зориулсан зураг нь пирамидтай төстэй бөгөөд дараагийн ажил бүр шинэ хүмүүсийг "авчрах" болно. Гэсэн хэдий ч, эрт орой хэзээ нэгэн цагт сүүлчийнх нь хэнийг ч татахгүй байх мөч ирдэг. Манай тохиолдолд анги тусгаарлагдсан гэж төсөөлвөл тухайн хүн гинжийг хаадаг (). Тиймээс хэрэв хүн оролцсон бол санхүүгийн пирамид, Хэрэв та өөр хоёр оролцогчийг авчирвал мөнгө өгсөн бол тухайн хүн (эсвэл ерөнхий тохиолдол) хэнийг ч авчрахгүй байсан тул энэ санхүүгийн луйварт оруулсан хөрөнгө оруулалтаа алдах байсан.

Дээр дурдсан бүх зүйл нь буурч эсвэл нэмэгдэж буй геометрийн прогрессийг хэлдэг боловч таны санаж байгаагаар бидэнд онцгой төрөл байдаг - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс. Гишүүдийн нийлбэрийг хэрхэн тооцох вэ? Мөн энэ төрлийн дэвшил яагаад тодорхой шинж чанартай байдаг вэ? Үүнийг хамтдаа олж мэдэцгээе.

Тиймээс эхлээд бидний жишээн дээрх хязгааргүй багасах геометр прогрессийн зургийг дахин харцгаая.

Одоо арай эрт гаргасан геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.
эсвэл

Бид юуны төлөө хичээж байна вэ? Энэ нь зөв, тэг рүү чиглэж байгааг график харуулж байна. Энэ нь, at, бараг тэнцүү байх болно, тус тус илэрхийлэл тооцох үед бид бараг авах болно. Үүнтэй холбогдуулан бид хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг тооцоолохдоо энэ хаалт нь тэнцүү байх тул үл тоомсорлож болно гэж бид үзэж байна.

- томъёо нь хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр юм.

ЧУХАЛ!Нөхцөл нь нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана. хязгааргүйгишүүдийн тоо.

Хэрэв тодорхой n тоог зааж өгсөн бол бид n гишүүний нийлбэрийн томъёог эсвэл эсвэл байсан ч хэрэглэнэ.

Одоо дадлага хийцгээе.

Геометр прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг багаар ол.
Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг ба-тай ол.

Та маш болгоомжтой байсан гэж найдаж байна. Хариултаа харьцуулж үзье:

Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүх зүйлийг мэддэг болсон бөгөөд онолоос практикт шилжих цаг болжээ. Шалгалтанд тулгардаг геометрийн прогрессийн хамгийн нийтлэг асуудал бол нийлмэл хүүг тооцоолох асуудал юм. Эдгээр нь бидний ярих болно.

Нийлмэл хүү тооцох асуудал.

Нийлмэл хүүгийн томъёо гэж та сонссон байх. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг та ойлгож байна уу? Хэрэв тийм биш бол үүнийг олж мэдье, учир нь та процессыг өөрөө ойлгосны дараа геометрийн прогресс нь үүнтэй ямар холбоотой болохыг шууд ойлгох болно.

Бид бүгд банк руу очоод байдаг гэдгийг мэддэг өөр өөр нөхцөл байдалхадгаламж дээр: энэ бол хугацаа, нэмэлт үйлчилгээ, хоёр хүүтэй янз бүрийн арга замуудтүүний тооцоо - энгийн бөгөөд төвөгтэй.

ХАМТ энгийн сонирхолбүх зүйл тодорхой байна: хүү нь хадгаламжийн хугацаа дуусахад нэг удаа хуримтлагддаг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид нэг жилийн хугацаанд 100 рубль хадгална гэж хэлбэл зөвхөн жилийн эцэст л дансанд орох болно. Үүний дагуу хадгаламжийн төгсгөлд бид рубль авах болно.

Нийлмэл хүү- энэ нь тохиолддог сонголт юм хүүгийн капиталжуулалт, өөрөөр хэлбэл хадгаламжийн дүн дээр нэмэх, дараа нь орлогын анхны тооцооноос бус харин хуримтлагдсан хадгаламжийн дүнгээс тооцох. Том үсэг нь байнга тохиолддоггүй, гэхдээ тодорхой давтамжтай байдаг. Дүрмээр бол ийм хугацаа нь тэнцүү бөгөөд ихэвчлэн банкууд сар, улирал эсвэл жил ашигладаг.

Бид жил бүр ижил рубль хадгалдаг гэж бодъё, гэхдээ хадгаламжийг сар бүр капиталжуулах. Бид юу хийж байна вэ?

Та энд бүх зүйлийг ойлгож байна уу? Үгүй бол алхам алхмаар шийдье.

Бид банкинд рубль авчирсан. Сарын эцэс гэхэд бидний дансанд рубль болон түүний хүүгээс бүрдэх мөнгө байх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

Зөвшөөрч байна уу?

Бид үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараахь зүйлийг авна.

Зөвшөөрч байна, энэ томъёо нь бидний эхэнд бичсэнтэй илүү төстэй юм. Зөвхөн хувь хэмжээг тооцох л үлдлээ

Асуудлын мэдэгдэлд бид жилийн ханшийн талаар өгүүлдэг. Та бүхний мэдэж байгаагаар бид үржүүлдэггүй - бид хувь хэмжээг хувиргадаг аравтын бутархай, тэр бол:

Тийм үү? Одоо та асууж магадгүй, энэ дугаар хаанаас ирсэн бэ? Маш энгийн!
Би давтан хэлэхэд: асуудлын мэдэгдэлд энэ тухай өгүүлдэг ЖИЛ БҮРИЙНхуримтлагдсан хүү САР БҮР. Та бүхний мэдэж байгаагаар, нэг жилийн дараа банк биднээс жилийн хүүгийн тодорхой хэсгийг сар бүр ногдуулна.

Үүнийг ойлгосон уу? Одоо хүүг өдөр бүр тооцдог гэж хэлвэл томъёоны энэ хэсэг ямар харагдахыг бичээд үзээрэй.
Та удирдаж чадсан уу? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Сайн хийлээ! Даалгавар руугаа буцаж орцгооё: хуримтлагдсан хадгаламжийн дүнгээс хүү хуримтлагдаж байгааг харгалзан хоёр дахь сард манай дансанд хэдий хэмжээний мөнгө орохыг бичнэ үү.
Миний авсан зүйл энд байна:

Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Та энэ бүхнээс нэгэн хэв маягийг анзаарч, геометрийн прогрессийг харсан байх гэж бодож байна. Гишүүн нь ямар хэмжээтэй тэнцэх, өөрөөр хэлбэл, сарын эцэст бид ямар хэмжээний мөнгө авахыг бичнэ үү.
Тийм үү? Шалгацгаая!

Таны харж байгаагаар банкинд нэг жилийн хугацаанд энгийн хүүтэй мөнгө байршуулбал рубль, нийлмэл хүүтэй бол рубль авах болно. Үр ашиг нь бага, гэхдээ энэ нь зөвхөн 1-р жилд л тохиолддог, гэхдээ илүү их байдаг урт хугацаакапиталжуулалт нь илүү ашигтай байдаг:

Нийлмэл хүүтэй холбоотой өөр төрлийн асуудлыг авч үзье. Таны олж мэдсэн зүйл бол таны хувьд энгийн зүйл байх болно. Тиймээс даалгавар:

“Звезда” компани 2000 онд энэ салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд хөрөнгө нь доллараар хэмжигддэг. 2001 оноос хойш жил бүр өмнөх оны өөрийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашиг авч байна. Хэрэв ашгаа эргэлтээс хасаагүй бол 2003 оны эцэст Звезда компани хэр их ашиг авах вэ?

2000 онд Звезда компанийн нийслэл.
- 2001 онд Звезда компанийн капитал.
- 2002 онд Звезда компанийн капитал.
- 2003 онд Звезда компанийн капитал.

Эсвэл бид товчхон бичиж болно:

Бидний хувьд:

2000, 2001, 2002, 2003 он.

Тус тусад нь:
рубль
Хувь хэмжээг ЖИЛ БҮР өгч, ЖИЛ БҮРээр тооцдог тул энэ асуудалд бид хуваах, эсвэл хуваах гэсэн зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хүүтэй холбоотой асуудлыг уншихдаа хэдэн хувь, ямар хугацаанд тооцогдож байгааг анхаарч, дараа нь тооцоололд орно.
Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүгдийг мэддэг болсон.

Сургалт.

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн гишүүнийг ол, ба
Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийг ол, ба
МДМ Капитал компани 2003 онд тус салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд хөрөнгө нь ам.доллар юм. 2004 оноос хойш жил бүр өмнөх оны өөрийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашиг авч байна. MSK Cash Flows компани 2005 онд тус салбарт 10,000 долларын хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд 2006 онд долларын ашигтай ажиллаж эхэлсэн. Хэрэв 2007 оны эцэст ашгаа эргэлтээс татан аваагүй бол нэг компанийн дүрмийн сан нөгөөгөөсөө хэдэн доллараар их байсан бэ?

Хариултууд:

Асуудлын мэдэгдэлд прогресс хязгааргүй гэж хэлээгүй бөгөөд түүний тодорхой тооны нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай тул тооцооллыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
MDM Capital компани:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100%, өөрөөр хэлбэл 2 дахин нэмэгддэг.
Тус тусад нь:
рубль
MSK Cash Flows компани:
2005, 2006, 2007.
- дахин, өөрөөр хэлбэл дахин нэмэгддэг.
Тус тусад нь:
рубль
рубль

Дүгнэж хэлье.

1) Геометр прогресс ( ) нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлдэг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

2) Геометр прогрессийн гишүүдийн тэгшитгэл нь .

3) ба-аас бусад бүх утгыг авч болно.

хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх нөхцөл ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг байна;
хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх дараагийн нөхцөлүүд өөр тэмдэг;
хэзээ - прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

4) , хамт - геометр прогрессийн шинж чанар (зэргэлдээх нэр томъёо)

эсвэл
, үед (ижил зайтай)

Та үүнийг олохдоо үүнийг бүү мартаарай хоёр хариулт байх ёстой.

Жишээлбэл,

5) Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.
эсвэл

Хэрэв явц нь хязгааргүй буурч байвал:
эсвэл

ЧУХАЛ!Хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж нөхцөл нь тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана.

6) Нийлмэл хүүтэй холбоотой бодлогуудыг мөн геометр прогрессийн 3-р гишүүний томъёогоор тооцоолно. бэлэн мөнгөэргэлтээс хасагдаагүй:

ГЕОМЕТРИЙН ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Геометрийн прогресс( ) нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлнэ. Энэ дугаарыг дуудаж байна геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийн хуваагчбагаас бусад ямар ч утгыг авч болно.

Хэрэв цаашдын бүх үе шат ижил тэмдэгтэй байвал эерэг байна;
хэрэв, дараа нь бүх дараагийн гишүүд нь өөр шинж тэмдэг;
хэзээ - прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

Геометр прогрессийн гишүүний тэгшитгэл - .

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэртомъёогоор тооцоолно:
эсвэл

Сэдвийн хичээл “Хязгааргүй буурах геометр прогресс” (алгебр, 10-р анги)

Хичээлийн зорилго:Оюутнуудыг шинэ төрлийн дараалалтай танилцуулах - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс.

Тоног төхөөрөмж:проектор, дэлгэц.

Хичээлийн төрөл:хичээл - шинэ сэдэв сурах.

Хичээлийн үеэр

I . Org. мөч. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг хэлнэ үү.

II . Оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх.

9-р ангидаа та арифметик, геометрийн прогрессийг судалсан.

Асуултууд

1. Арифметик прогрессийн тодорхойлолт. (Арифметик прогресс гэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөх гишүүнтэй ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дарааллыг хэлнэ).

2. Томъёо nарифметик прогрессийн 3-р гишүүн (
)

3. Эхнийх нь нийлбэрийн томъёо nарифметик прогрессийн нөхцлүүд.

(
эсвэл
)

4. Геометр прогрессийн тодорхойлолт. (Геометр прогресс гэдэг нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнийг ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү, тэгээс өөр тооны дараалал юм).

5. Томъёо nгеометр прогрессийн гишүүн (

)