Шийдэл.
Сүлд тэмдэг зураагүй байх магадлал: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Гурван сүлд авах магадлал: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| П | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Жишээ №2. Нэг буудагч нэг сумаар байг онох магадлал нь эхний харвагчийн хувьд 0.8, хоёр дахь нь 0.85 байна. Буудлагчид бай руу нэг удаа буудсан. Байгаа онох нь бие даасан харваачдын хувьд бие даасан үйл явдал гэж үзвэл А үйл явдлын магадлалыг олоорой - бай дээр яг нэг цохилт өгөх.
Шийдэл.
А үйл явдлыг авч үзье - зорилтот нэг цохилт. Боломжит сонголтуудЭнэ үйл явдлын илрэл нь дараах байдалтай байна.
- Эхний мэргэн бууч оносон, хоёр дахь мэргэн буудагч алдсан: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Эхний буудагч алдаж, хоёр дахь харвагч оносон: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Эхний болон хоёр дахь сумууд бие биенээсээ хамааралгүйгээр байг ононо: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч чаддаг хувьсах хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэнэ том үсгээр Латин цагаан толгой(X, Y, Z) ба тэдгээрийн утгыг харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн дуудсан санамсаргүй утга, тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгуудын багцыг авна.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.
1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.
Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V)ашиглах замаар түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).
F(x) функцийн шинж чанарууд
3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).
Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хамгийн их туссан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай чухал шинж чанаруудхуваарилалтын хууль. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж" гэсэн утгыг агуулсан тоо, эсвэл заасан тоо байж болно. дундаж хэмжээсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайлт. Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар :
- Математикийн хүлээлт
(дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн M(X)=Σ x i p i.
Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ - Тархалт
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2эсвэл D(X) = M(X 2)− 2. X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ - Стандарт хэлбэлзэл (стандарт хэлбэлзэл) σ(X)=√D(X).
"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
Даалгавар 1.
1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт.
Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.
Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.
Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.
X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Даалгавар 3.
Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F(x) тархалтын функцийг олоод график зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.
Шийдэл. 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X=(нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоо) дараах байдалтай байна боломжит утгууд: x 1 =0 (төхөөрөмжийн элементүүдийн аль нь ч амжилтгүй болсон), x 2 =1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 =2 (хоёр элемент амжилтгүй болсон) болон x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон).
Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернуллигийн томъёо
. n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу бид дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.
Бид х i-ийн боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, харгалзах магадлалыг p i ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.
3. F(x) = Р(Х) тархалтын функцийг олъё
x ≤ 0-ийн хувьд F(x) = Р(Х) байна<0) = 0;0-ийн хувьд< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 хувьд< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 хувьд< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ын хувьд F(x) = 1 байх болно, учир нь үйл явдал найдвартай.
 |
F(x) функцийн график
4.
X бином тархалтын хувьд:
- математикийн хүлээлт M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Дискрет санамсаргүйХувьсагч нь зөвхөн бие биенээсээ алслагдсан утгуудыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь түүний боломжит утгууд ба харгалзах магадлалын жагсаалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах функц юм.
,
X аргументын утга тус бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлох.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
,
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хаана байна; - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X утгыг хүлээн авах магадлал.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг бол: 
.
Бие даасан n туршилтаар үйл явдлын тохиолдлын тоог тооцоолох математикийн хүлээлт:
,
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт: 
эсвэл 
.
n бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл 
,
Энд p нь үйл явдал болох магадлал.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт: 
.
Жишээ 1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) X-ийн магадлалын тархалтын хуулийг зур - n = 8 хос шоо шидэхэд хамгийн багадаа нэг “зургаан”-ын k тохиолдлын тоо. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул. Тархалтын тоон шинж чанарыг ол (тархалтын горим, математикийн хүлээлт M(X), дисперс D(X), стандарт хазайлт s(X)). Шийдэл:Тэмдэглэгээг танилцуулъя: А үйл явдал - "хос шоо шидэх үед дор хаяж нэг удаа зургаа гарч ирнэ." А үйл явдлын P(A) = p магадлалыг олохын тулд эхлээд эсрэг үйл явдлын Ā - “хос шоо шидэх үед зургаа хэзээ ч гарч байгаагүй” үйл явдлын P(Ā) = q магадлалыг олох нь илүү тохиромжтой.
Нэг үхлийг шидэх үед "зургаа" гарч ирэхгүй байх магадлал 5/6 тул магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу
P(Ā) = q = =.
тус тус,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Асуудлын тестүүд нь Бернулли схемийн дагуу явагддаг тул d.s.v. хэмжээ X- тоо кХоёр шоо шидэх үед дор хаяж нэг зургаа гарах нь магадлалын тархалтын хоёртын хуульд захирагдана. 
Энд = -ийн хослолын тоо n By к.
Энэ асуудалд хийсэн тооцооллыг хүснэгт хэлбэрээр хялбархан танилцуулж болно.
Магадлалын тархалт d.s.v. X º к (n = 8; х = ; q = )
| к | ||||||||||
Pn(к) |
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын олон өнцөгт (полигон). Xзурагт үзүүлэв:
Цагаан будаа. Магадлалын тархалтын олон өнцөгт d.s.v. X=к.
Босоо шугам нь тархалтын математикийн хүлээлтийг харуулж байна М(X).
d.s.v-ийн магадлалын тархалтын тоон шинж чанарыг олъё. X. Түгээлтийн горим нь 2 (энд П 8(2) = 0.2932 дээд тал нь). Тодорхойлолтоор математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.
М(X) = = 2,4444,
Хаана xk = к– d.s.v-ийн авсан үнэ цэнэ. X. Зөрчил Д(X) бид дараах томъёог ашиглан тархалтыг олно.
Д(X) = 
= 4,8097.
Стандарт хазайлт (RMS):
с( X) = = 2,1931.
Жишээ 2
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн
Шийдэл.Хэрэв , дараа нь (гурав дахь шинж чанар).
Хэрэв тийм бол. Үнэхээр, X 0.3 магадлалтайгаар 1 утгыг авч болно.
Хэрэв тийм бол. Үнэхээр, хэрэв энэ нь тэгш бус байдлыг хангаж байвал
, дараа нь хэзээ тохиолдож болох үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна X 1 (энэ үйл явдлын магадлал 0,3) эсвэл 4 (энэ үйл явдлын магадлал 0,1) утгыг авна. Энэ хоёр үйл явдал үл нийцэх тул нэмэх теоремын дагуу үйл явдлын магадлал нь 0.3+0.1=0.4 магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв тийм бол. Үнэн хэрэгтээ үйл явдал тодорхой учраас түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно. 
Энэ функцийн график:
Эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг олцгооё. Нөхцөлөөр төхөөрөмжүүдийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү байна: баталгаат хугацааны туршид төхөөрөмжүүд ажиллах магадлал тэнцүү байна. 
Хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.
Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж
Хөдөө аж ахуйн академи"
Дээд математикийн тэнхим
Удирдамж
Захидлын боловсролын нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудын "Санамсаргүй хувьсагч" сэдвийг судлах
Горки, 2013 он
Санамсаргүй хувьсагч
Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм санамсаргүй хувьсагч . Санамсаргүй хувьсагч нь туршилтын үр дүнд олон боломжит утгаасаа зөвхөн нэгийг нь авдаг хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг салангид ба тасралтгүй . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) Энэ нь бие биенээсээ тусгаарлагдсан хязгаарлагдмал тооны утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. хэрэв энэ хэмжигдэхүүний боломжит утгыг дахин тооцоолох боломжтой бол. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн (CNV) Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд бүх боломжит утгууд нь тооны шугамын тодорхой интервалыг бүрэн дүүргэдэг.
Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн X, Y, Z гэх мэт том үсгээр тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.
Бичлэг 
"санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал" гэсэн үг X 0.28-тай тэнцэх 5 утгыг авна.”
Жишээ 1 . Шоог нэг удаа шиднэ. Энэ тохиолдолд онооны тоог харуулсан 1-ээс 6 хүртэлх тоо гарч ирж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(өнхрүүлсэн онооны тоо). Туршилтын үр дүнд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 гэсэн зургаан утгын зөвхөн нэгийг нь авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн X DSV байна.
Жишээ 2 . Чулуу шидэхэд тодорхой зайг туулдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(чулуун нислэгийн зай). Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой интервалаас зөвхөн нэг утгыг авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн X NSV байдаг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь авч болох утга, эдгээр утгыг авах магадлалаар тодорхойлогддог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль .
Хэрэв бүх боломжит утгууд мэдэгдэж байвал 
санамсаргүй хувьсагч Xболон магадлал 
Эдгээр утгуудын харагдах байдал, дараа нь DSV-ийн тархалтын хууль гэж үздэг Xмэдэгдэж байгаа бөгөөд хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Хэрэв цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд дүрсэлсэн бол DSV тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно. 
,
,
…,
ба тэдгээрийг шулуун шугамын сегментүүдээр холбоно. Үүссэн дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Жишээ 3 . Цэвэрлэх зориулалттай үр тариа нь 10% хогийн ургамал агуулдаг. 4 үр тариаг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(сонгосон дөрвөн дундах хогийн ургамлын тоо). DSV түгээлтийн хуулийг бий болгох Xба түгээлтийн полигон.
Шийдэл . Жишээ нөхцөлийн дагуу. Дараа нь:
DSV X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр бичиж, тархалтын олон өнцөгт байгуулъя.
|
|
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн чухал шинж чанаруудыг шинж чанараар нь тодорхойлдог. Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь хүлээгдэж буй үнэ цэнэ санамсаргүй хувьсагч.
DSV түгээлтийн хуулийг мэддэг байг X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математикийн хүлээлт
DSV XЭнэ хэмжигдэхүүний утга тус бүрийн бүтээгдэхүүний нийлбэрийг харгалзах магадлалаар илэрхийлнэ. 
.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь түүний бүх утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Тиймээс практик бодлогод энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг ихэвчлэн математикийн хүлээлт болгон авдаг.
Жишээ 8 . Буудагч 0.1, 0.45, 0.3, 0.15 магадлалаар 4, 8, 9, 10 оноо авдаг. Нэг удаагийн цохилтоор онооны тооны математик хүлээлтийг ол.
Шийдэл . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(оноо авсан онооны тоо). Дараа нь . Тиймээс нэг цохилтоор авсан онооны дундаж тоо 8.2, 10 цохилтоор 82 оноо авсан байна.
Үндсэн шинж чанарууд Математикийн хүлээлт нь:
.
.
, Хаана 
,
.
.
, Хаана XТэгээд Юбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Ялгаа 
дуудсан хазайлт
санамсаргүй хувьсагч Xтүүний математик хүлээлтээс. Энэ ялгаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний математикийн хүлээлт нь тэг, i.e. 
.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд бид математикийн хүлээлтээс гадна ашигладаг тархалт , энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд утгуудын тархалтыг (тархалтыг) тооцоолох боломжийг олгодог. Математикийн хүлээлттэй ижил төстэй хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг харьцуулахдаа "хамгийн сайн" утгыг тархалт багатай гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл. бага тархалт.
Зөрчил санамсаргүй хувьсагч Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт гэнэ: .
Практик асуудлуудад дисперсийг тооцоолоход эквивалент томьёог ашигладаг.
Дисперсийн үндсэн шинж чанарууд нь:
.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хамгийн нийтлэг хуулиудыг бид онцолж болно.
- Бином тархалтын хууль
- Пуассоны тархалтын хууль
- Геометрийн тархалтын хууль
- Гипергеометрийн тархалтын хууль
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн өгөгдсөн тархалтын хувьд тэдгээрийн утгын магадлал, түүнчлэн тоон шинж чанарыг (математикийн хүлээлт, дисперс гэх мэт) тооцоолохдоо тодорхой "томьёо" ашиглан гүйцэтгэдэг. Тиймээс эдгээр төрлийн тархалт, тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь маш чухал юм.
1. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ утгуудыг $P\left(X=k\right)= магадлалтай авсан тохиолдолд хоёрт магадлалын тархалтын хуульд хамаарна. C^k_n\cdot p^k\cdot (\зүүн(1-p\баруун))^(n-k)$. Үнэн хэрэгтээ $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $n$ бие даасан туршилтуудад $A$ үйл явдлын тохиолдлын тоо юм. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \цэгүүд & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\баруун) & P_n\left(1\баруун) & \цэгүүд & P_n\left(n\баруун) \\
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=np$, дисперс нь $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ байна.
Жишээ . Гэр бүл хоёр хүүхэдтэй. Хүү, охинтой болох магадлалыг $0.5$-тэй тэнцүү гэж үзээд $\xi$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн буюу гэр бүлийн хөвгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг ол.
$\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэр бүлийн хөвгүүдийн тоо гэж үзье. $\xi-ийн авч болох утгууд:\ 0,\ 1,\ 2$. Эдгээр утгын магадлалыг $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) томъёог ашиглан олж болно. )$, энд $n =2$ нь бие даасан туршилтуудын тоо, $p=0.5$ нь $n$ цуврал туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлал юм. Бид авах:
$P\left(\xi =0\баруун)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\баруун))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\баруун)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\зүүн(1-0.5\баруун))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\баруун)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\баруун))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
Дараа нь $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь $0,\ 1,\ 2$ утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын харгалзах байдал юм, өөрөөр хэлбэл:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(массив)$
Түгээлтийн хуулийн магадлалын нийлбэр $1$-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
Хүлээгдэж буй $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, зөрүү $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\баруун)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, стандарт хазайлт $\sigma \left(\xi \баруун)=\sqrt(D\left(\xi \баруун))=\sqrt(0.5 )\ойролцоогоор $0.707.
2. Пуассоны тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоо $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Сэтгэгдэл. Энэхүү тархалтын онцлог нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн бид $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ гэсэн тооцоог олдог, хэрэв олж авсан тооцоолол нь хоорондоо ойролцоо байвал бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Пуассоны тархалтын хуульд захирагдана гэж батлах үндэслэл.
Жишээ . Пуассоны хуваарилалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: маргааш шатахуун түгээх станцаар үйлчлэх машины тоо; үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний гэмтэлтэй зүйлийн тоо.
Жишээ . Тус үйлдвэр бааз руу 500 долларын бүтээгдэхүүн илгээсэн. Тээвэрлэлтийн явцад бүтээгдэхүүнд гэмтэл учруулах магадлал 0.002 доллар байна. Гэмтсэн бүтээгдэхүүний тоотой тэнцүү $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол; $ M \ зүүн (X \ баруун), \ D \ зүүн (X \ баруун) $ гэж юу вэ.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэмтсэн бүтээгдэхүүний тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ параметртэй Пуассоны тархалтын хуульд хамаарна. Утгын магадлал нь $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)-тэй тэнцүү байна.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\зүүн(X=5\баруун)=((1^5)\(5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\зүүн(X=6\баруун)=((1^6)\(6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт ба дисперс нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд $\lambda $ параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda. =1 доллар.
3. Геометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ натурал утгуудыг авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) магадлалтай. баруун)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тэгвэл тэд ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагдана гэж хэлдэг. Үнэн хэрэгтээ геометрийн тархалт нь анхны амжилтанд хүрэх хүртэл Бернулли тест юм.
Жишээ . Геометрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: бай руу эхний цохилтоос өмнөх цохилтын тоо; анхны алдаа гарах хүртэл төхөөрөмжийн туршилтын тоо; эхний толгой гарч ирэх хүртэл зоос шидсэн тоо гэх мэт.
Геометрийн тархалтад хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)-тай тэнцүү байна. )/p^ $2.
Жишээ . Загасыг түрсээ шахах газар руу зөөх замд 4 долларын цоож байдаг. Цоож бүрээр загас өнгөрөх магадлал $p=3/5$ байна. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувралыг байгуулна - цоожонд анх саатуулахаас өмнө загасны дамжуулсан цоожны тоо. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$-г олоорой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь цоожны эхний баривчлагдахаас өмнө загасны хажуугаар дамжуулсан түгжээний тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагддаг. $X санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгууд:$ 1, 2, 3, 4. Эдгээр утгын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно: $P\left(X=k\right)=pq^(k) -1)$, үүнд: $ p=2/5$ - загасны цоожоор саатуулах магадлал, $q=1-p=3/5$ - загасны цоожоор дамжин өнгөрөх магадлал, $k=1,\ 2,\3,\4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^0=((2)\ (5))=0.4;$-с дээш
$P\left(X=2\right)=((2)\(5)-аас дээш)\cdot ((3)\(5)-аас дээш)=((6)\(25)-аас дээш)=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25)-аас дээш)=((18)\(125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(() (3)\(5))\баруун))^4=((27)\(125))=0.216.$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\зүүн(X_i\баруун) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(массив)$
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Тархалт:
$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2=)0.4\cdot (\ зүүн( 1-2,176\баруун))^2+0,24\cdot (\зүүн(2-2,176\баруун))^2+0,144\cdot (\зүүн(3-2,176\баруун))^2+$
$+\0.216\cdot (\зүүн(4-2,176\баруун))^2\ойролцоогоор 1.377.$
Стандарт хэлбэлзэл:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ойролцоогоор 1,173.$
4. Гипергеометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв $N$ объектууд, тэдгээрийн дотор $m$ объектууд нь өгөгдсөн өмчтэй байна. $n$ объектуудыг буцаахгүйгээр санамсаргүй байдлаар татаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор $k$ объектууд өгөгдсөн өмчтэй байсан. Гипергеометрийн тархалт нь түүврийн яг $k$ объектууд өгөгдсөн шинж чанартай байх магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүвэр дэх өгөгдсөн шинж чанартай объектын тоо гэж үзье. Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлал:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Сэтгэгдэл. Excel $f_x$ функцийн шидтэний HYPERGEOMET статистик функц нь тодорхой тооны тест амжилттай болох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
$f_x\to$ статистик$\to$ ГИПЕРГЕОМЕТ$\to$ БОЛЖ БАЙНА УУ. Та бөглөх шаардлагатай харилцах цонх гарч ирнэ. Баганад Дээжийн_амжилтын_тоо$k$ утгыг заана. дээжийн_хэмжээ$n$-тай тэнцэнэ. Баганад Хамтдаа_амжилтын_тоо$m$ утгыг заана. хүн амын_хэмжээдоллар N$-тай тэнцэнэ.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$-ийн геометрийн тархалтын хуульд хамаарах математикийн хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=-тэй тэнцүү байна. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over(N-1))$.
Жишээ . Тус банкны зээлийн хэлтэст санхүүгийн дээд боловсролтой 5 мэргэжилтэн, хууль зүйн дээд боловсролтой 3 мэргэжилтэн ажиллаж байна. Банкны удирдлагууд санамсаргүй байдлаар сонгон шалгаруулж мэргэшүүлэх 3 мэргэжилтнээ илгээхээр болжээ.
a) Санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтний ур чадвараа дээшлүүлэхээр илгээж болох тоог хуваарилах цуврал гаргах;
б) Энэ тархалтын тоон шинж чанарыг ол.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ гэж сонгогдсон гурван хүний дундаас санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоо гэж үзье. $X-ийн авч болох утгууд: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь гипергеометрийн тархалтын дагуу дараах параметрүүдээр тархсан: $N=8$ - популяцийн хэмжээ, $m=5$ - популяцийн амжилтын тоо, $n=3$ - түүврийн хэмжээ, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - түүвэр дэх амжилтын тоо. Дараа нь $P\left(X=k\right)$ магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ гаруй C_( N)^(n) ) $. Бидэнд байгаа:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\(56))\ойролцоогоор 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\(56))\ойролцоогоор 0.268;$
$P\зүүн(X=2\баруун)=((C^2_5\cdot C^1_3)\(C^3_8))=((15)\(28))\ойролцоогоор 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\(28))\ойролцоогоор 0.179.$
Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(массив)$
$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ерөнхий гипер томьёо ашиглан тооцоолъё геометрийн тархалт.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\(8)-аас дээш)=1,875.$
$D\зүүн(X\баруун)=((нм\зүүн(1-((м)\(N))\баруун)\зүүн(1-((n)\(N))\баруун)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\(8) ))\баруун))\(8-1))=((225)\(448))\ойролцоогоор 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ойролцоогоор 0.7085.$
