Хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм
Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, тодорхойлолт, математик хүлээлт, түүвэр, нөхцөлт хүлээлт, тооцоо, шинж чанар, бодлого, хүлээлтийн тооцоо, дисперс, тархалтын функц, томъёо, тооцооны жишээ
Агуулгыг өргөжүүлэх
Контентыг буулгах
Математикийн хүлээлт бол тодорхойлолт юм
Хамгийн чухал ойлголтуудын нэг математик статистиксанамсаргүй хэмжигдэхүүний утга эсвэл магадлалын тархалтыг тодорхойлдог магадлалын онол. Ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит параметрүүдийн жигнэсэн дундажаар илэрхийлэгддэг. Техникийн шинжилгээ, тооны цувааг судлах, тасралтгүй, цаг хугацаа шаардсан үйл явцыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг. Байгаа чухалСанхүүгийн зах зээл дээр арилжаа хийхдээ эрсдлийг үнэлэх, үнийн үзүүлэлтийг урьдчилан таамаглахдаа мөрийтэй тоглоомын онолын стратеги, тактикийн аргыг боловсруулахад ашигладаг.
Математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга, санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг магадлалын онолд авч үздэг.
Математикийн хүлээлтмагадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын хэмжүүр. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт xгэж тэмдэглэсэн М(х).
Математикийн хүлээлт
Математикийн хүлээлтмагадлалын онолын хувьд үүнийг авч болох бүх боломжит утгуудын жигнэсэн дундаж санамсаргүй утга.
Математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүний нийлбэр ба эдгээр утгын магадлал.
Математикийн хүлээлтИйм шийдвэрийг онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг их тооба хол зайд.
Математикийн хүлээлтмөрийтэй тоглоомын онолын хувьд, бооцоо тус бүрээс дунджаар нэг тоглогч олох эсвэл алдах хожлын хэмжээ. Мөрийтэй тоглоомын хэллэгээр үүнийг заримдаа "тоглогчийн давуу тал" (хэрэв энэ нь тоглогчийн хувьд эерэг бол) эсвэл "байшингийн ирмэг" (хэрэв тоглогчийн хувьд сөрөг байвал) гэж нэрлэдэг.
Математикийн хүлээлтнэг ялалтын ашгийн хувийг дундаж ашигт үржүүлж, алдагдлын магадлалыг дундаж алдагдалд үржүүлснийг хасна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт математикийн онол
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний чухал тоон шинж чанаруудын нэг бол түүний математик хүлээлт юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Ижил санамсаргүй туршилтын үр дүн болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний багцыг авч үзье. Хэрэв энэ нь системийн боломжит утгуудын нэг бол тухайн үйл явдал Колмогоровын аксиомыг хангасан тодорхой магадлалтай тохирч байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон функцийг хамтарсан тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Энэ функц нь аливаа үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Ялангуяа олонлогоос утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хуулийг магадлалаар өгдөг.
"Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёог Пьер Саймон Маркиз де Лаплас (1795) нэвтрүүлсэн бөгөөд 17-р зуунд мөрийтэй тоглоомын онолд Блез Паскал, Кристиан нарын бүтээлүүдэд анх гарч ирсэн "хожлын хүлээгдэж буй үнэ цэнэ" гэсэн ойлголтоос гаралтай. Гюйгенс. Гэсэн хэдий ч энэхүү үзэл баримтлалын талаархи анхны онолын бүрэн ойлголт, үнэлгээг Пафнуты Львович Чебышев (19-р зууны дунд үе) өгсөн.
Санамсаргүй тоон хэмжигдэхүүний тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба боломжит хазайлттүүнээс) тавьсан асуултад хариулах. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт, дисперс, горим ба медиан юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм. Заримдаа математикийн хүлээлтийг жигнэсэн дундаж гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь олон тооны туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байдаг. Тодорхойлолтоос математикийн хүлээлтҮүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус (тогтмол) хувьсагч юм.
Математикийн хүлээлт нь энгийн зүйл юм физик утга: хэрэв та нэгж массыг шулуун дээр байрлуулж, зарим цэг дээр зарим массыг байрлуулбал (хэрэв салангид хуваарилалт), эсвэл тодорхой нягтаршилтай (туйлын тасралтгүй тархалтын хувьд) "түрхэх" бол математикийн хүлээлтэд тохирох цэг нь шугамын "хүндийн төв" -ийн координат болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний "төлөөлөгч" болох тодорхой тоо бөгөөд үүнийг ойролцоогоор тооцоололд орлуулдаг. Бид: "Дэнлүүний ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг" эсвэл "нөлөөллийн дундаж цэг нь зорилтот түвшинд харьцангуй баруун тийш 2 м-ээр шилжсэн" гэж хэлэхэд бид түүний байршлыг тодорхойлдог санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой тоон шинж чанарыг харуулж байна. тоон тэнхлэг дээр, i.e. "албан тушаалын шинж чанар".
Магадлалын онол дахь байрлалын шинж чанараас чухал үүрэгсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X, боломжит утгуудтай байх x1, x2, …, xnмагадлал бүхий p1, p2, …, pn. Эдгээр утгууд өөр өөр магадлалтай байдгийг харгалзан бид x тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байрлалыг тодорхой тоогоор тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглах нь зүйн хэрэг юм xi, мөн дундажлах явцад xi утга бүрийг энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ээр тооцох ёстой. Тиймээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолох болно X, үүнийг бид тэмдэглэж байна M |X|:
Энэхүү жигнэсэн дундажийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзсэн. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.
XЭнэ нь олон тооны туршилтаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай өвөрмөц хамаарлаар холбогддог. Энэ хамаарал нь давтамж ба магадлалын хамааралтай ижил төрлийн, тухайлбал: олон тооны туршилтуудын тусламжтайгаар санамсаргүй хувьсагчийн ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд ойртдог (магадлалд нийлдэг). Давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлаас харахад арифметик дундаж ба математикийн хүлээлт хоёрын хооронд ижил төстэй хамаарал байгаа эсэхийг дүгнэж болно. Үнэхээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг анхаарч үзээрэй X, түгээлтийн цувралаар тодорхойлогддог:
Үүнийг үйлдвэрлэе Нбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үнэ цэнэ Xтодорхой утгыг авдаг. үнэ цэнэ гэж бодъё x1гарч ирэв м1удаа, үнэ цэнэ x2гарч ирэв м2цаг хугацаа, ерөнхий утга xiхэдэн удаа гарч ирсэн. Математикийн хүлээлтээс ялгаатай нь X утгын ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг тооцоолъё. M|X|бид тэмдэглэж байна M*|X|:
Туршилтын тоо нэмэгдэх тусам Ндавтамжууд пихаргалзах магадлалд ойртох (магадлалаар нийлэх) болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж M|X|Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэ нь математикийн хүлээлтэд ойртох болно (магадлалын хувьд нийлнэ). Дээр томъёолсон арифметик дундаж ба математикийн хүлээлтийн хоорондын холбоо нь их тооны хуулийн нэг хэлбэрийн агуулгыг бүрдүүлдэг.
Олон тооны туршилтын явцад зарим дундаж үзүүлэлтүүд тогтвортой байдгийг олон тооны хуулийн бүх хэлбэрүүд илэрхийлдэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энд бид ижил хэмжигдэхүүний хэд хэдэн ажиглалтын арифметик дундажийн тогтвортой байдлын тухай ярьж байна. Цөөн тооны туршилтаар тэдгээрийн үр дүнгийн арифметик дундаж нь санамсаргүй байдаг; Туршилтын тоо хангалттай нэмэгдэх тусам энэ нь "бараг санамсаргүй" болж, тогтворжиж, тогтмол утга болох математикийн хүлээлт рүү ойртдог.
Олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдлыг туршилтаар хялбархан шалгаж болно. Жишээлбэл, биеийг лабораторид нарийн жингийн дагуу жинлэхдээ жинлэх бүрт бид шинэ утгыг олж авдаг; Ажиглалтын алдааг багасгахын тулд бид биеийг хэд хэдэн удаа жинлэж, олж авсан утгуудын арифметик дундажийг ашиглана. Туршилтын тоо (жинлэх) цаашид нэмэгдэх тусам арифметик дундаж нь энэ өсөлтөд бага багаар хариу үйлдэл үзүүлж, хангалттай олон тооны туршилт хийснээр бараг өөрчлөгдөхөө больсон гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй хамгийн чухал шинж чанарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлал - математикийн хүлээлт - бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнд байдаггүй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интеграл нь зөрүүтэй байдаг тул математикийн хүлээлт байхгүй ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг зохиож болно. Гэсэн хэдий ч ийм тохиолдлууд практикт тийм ч сонирхолтой биш юм. Ерөнхийдөө бидний харьцдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь боломжит утгын хязгаарлагдмал хүрээтэй бөгөөд мэдээжийн хэрэг математикийн хүлээлттэй байдаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалын хамгийн чухал шинж чанарууд болох математикийн хүлээлтээс гадна практикт тухайн байрлалын бусад шинж чанаруудыг, ялангуяа санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медианыг заримдаа ашигладаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. "Хамгийн их магадлалтай үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн тасархай хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарна; Учир нь тасралтгүй утгаГорим нь магадлалын нягтрал хамгийн их байх утга юм. Зураг нь тасархай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн горимыг тус тус харуулж байна.
Хэрэв тархалтын полигон (тархалтын муруй) нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг "олон талт" гэж нэрлэдэг.
Заримдаа дээд тал нь биш харин дунд нь доод тал нь байдаг хуваарилалтууд байдаг. Ийм хуваарилалтыг "антимодаль" гэж нэрлэдэг.
IN ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Тухайн тохиолдолд тархалт нь тэгш хэмтэй ба модаль (жишээ нь горимтой) бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд энэ нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Өөр нэг байрлалын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан гэж нэрлэгддэг. Энэ шинж чанарыг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг боловч тасархай хувьсагчийн хувьд албан ёсоор тодорхойлж болно. Геометрийн хувьд медиан нь тархалтын муруйгаар хүрээлэгдсэн талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм.
Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан нь математикийн хүлээлт ба горимтой давхцдаг.
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын тоон шинж чанар юм. Хамгийн ерөнхий байдлаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w)магадлалын хэмжүүрийн хувьд Лебегийн интеграл гэж тодорхойлогддог Ранхны магадлалын орон зайд:
Математикийн хүлээлтийг мөн Лебесгийн интегралаар тооцоолж болно Xмагадлалын тархалтаар pxтоо хэмжээ X:
Хязгааргүй математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтыг байгалийн жамаар тодорхойлж болно. Ердийн жишээзарим санамсаргүй алхалтад буцах цаг болж үйлчилнэ.
Математикийн хүлээлтийн тусламжтайгаар олон тооны болон функциональ шинж чанаруудтархалт (санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс харгалзах функцүүдийн математикийн хүлээлт гэх мэт), жишээлбэл, үүсгэх функц, шинж чанарын функц, аливаа дарааллын моментууд, ялангуяа дисперс, ковариац.
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байршлын шинж чанар (түүний тархалтын дундаж утга) юм. Энэ чадавхийн хувьд математикийн хүлээлт нь зарим "ердийн" тархалтын параметр болж үйлчилдэг бөгөөд түүний үүрэг нь механик дахь статик момент - массын тархалтын хүндийн төвийн координаттай төстэй юм. Байршлын бусад шинж чанаруудаас тэдгээрийн тусламжтайгаар тархалтыг ерөнхийд нь тайлбарласан - медианууд, горимууд, математикийн хүлээлт нь магадлалын онолын хязгаарын теоремуудад түүний болон харгалзах тархалтын шинж чанар - тархалтаас илүү их утгаараа ялгаатай байдаг. Математикийн хүлээлтийн утгыг их тооны хууль (Чебышевын тэгш бус байдал) ба их тооны хуулиудын хүчирхэгжүүлсэн хуулиар хамгийн бүрэн илчилдэг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
Хэд хэдэн тоон утгуудын аль нэгийг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаарай (жишээлбэл, шоо шидэх үед онооны тоо 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 байж болно). Ихэнхдээ практик дээр ийм үнэ цэнийн хувьд асуулт гарч ирдэг: энэ нь олон тооны туршилтаар "дунджаар" ямар үнэ цэнийг авдаг вэ? Эрсдэлтэй гүйлгээ бүрээс бидний дундаж орлого (эсвэл алдагдал) хэд байх вэ?
Ямар нэгэн сугалаа байдаг гэж бодъё. Үүнд оролцох (эсвэл дахин дахин, тогтмол оролцох) нь ашигтай эсэх, үгүй юу гэдгийг ойлгохыг хүсч байна. Дөрөв дэх тасалбар бүр ялагч, шагнал нь 300 рубль, тасалбарын үнэ 100 рубль байна гэж бодъё. Хязгааргүй олон тооны оролцоотойгоор ийм зүйл тохиолддог. Тохиолдлын дөрөвний гурвын хувьд бид алдах болно, гурван алдагдал бүр 300 рубль болно. Дөрөв дэх тохиолдол бүрт бид 200 рубль хожих болно. (шагналыг хасах зардал), өөрөөр хэлбэл дөрвөн оролцооны хувьд бид дунджаар 100 рубль, нэг нь дунджаар 25 рубль алддаг. Нийтдээ манай сүйрлийн дундаж үнэ тасалбар бүрт 25 рубль байх болно.
Бид шиддэг шоо. Хэрэв энэ нь хууран мэхлэхгүй бол (хүндийн төвийг шилжүүлэхгүйгээр гэх мэт) бид нэг удаад дунджаар хэдэн оноо авах вэ? Сонголт бүр ижил магадлалтай тул бид арифметик дундажийг аваад 3.5-ыг авна. Энэ нь ДУНДАД байгаа тул ямар ч тодорхой өнхрөх нь 3.5 оноо өгөхгүй гэж уурлах шаардлагагүй - энэ шоо ийм тоотой нүүртэй байдаггүй!
Одоо жишээнүүдээ нэгтгэн хэлье:
Сая өгсөн зургийг харцгаая. Зүүн талд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгт байна. X утга нь боломжит n утгын аль нэгийг авч болно (дээд мөрөнд харуулав). Өөр ямар ч утга байж болохгүй. Тус бүрийн доор боломжит утгатүүний магадлалыг доор бичсэн болно. Баруун талд M(X)-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг томьёо байна. Энэ утгын утга нь олон тооны сорилттой (их түүвэртэй) дундаж утга нь ижил математикийн хүлээлттэй байх хандлагатай байдаг.
Дахин нэг тоглож буй шоо руугаа буцъя. Шидэх үед оноо авах математикийн хүлээлт 3.5 байна (хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол томъёог ашиглан өөрөө тооцоолоорой). Та хэд хэдэн удаа шидсэн гэж бодъё. Үр дүн нь 4 ба 6. Дунджаар 5 байсан нь 3.5-аас хол байна. Тэд дахиад нэг удаа шидэж, 3-ыг авсан, өөрөөр хэлбэл дунджаар (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333 ... Математикийн хүлээлтээс ямар нэгэн байдлаар хол байна. Одоо галзуу туршилт хий - шоо 1000 удаа эргэлдүүл! Тэгээд ч дундаж нь яг 3.5 биш ч гэсэн тэрэнд дөхнө.
Дээр дурдсан сугалааны математикийн хүлээлтийг тооцоолъё. Хавтан нь дараах байдлаар харагдах болно.
Дараа нь бидний дээр дурдсанчлан математикийн хүлээлт дараах байдалтай байна.
Өөр нэг зүйл бол хэрэв илүү олон сонголт байвал томъёогүйгээр "хуруунд" хийхэд хэцүү байх болно. За, тасалбарын 75% нь хожигдсон, 20% нь хожсон тасалбар, 5% нь ялангуяа хожсон тасалбар гэж бодъё.
Одоо математикийн хүлээлтийн зарим шинж чанарууд.
Үүнийг батлахад хялбар:
Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл:
Энэ бол математикийн хүлээлтийн шугаман шинж чанарын онцгой тохиолдол юм.
Математикийн хүлээлтийн шугаман байдлын өөр нэг үр дагавар:
өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
X,Y-г бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье, Дараа нь:
Үүнийг батлахад бас амархан) Ажил XYөөрөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд хэрэв анхны утгууд нь авч болно nТэгээд мүүний дагуу үнэ цэнэ, дараа нь XY nm утгыг авч болно. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлсэнд үндэслэн утга тус бүрийн магадлалыг тооцоолно. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархалтын нягт (магадлалын нягт) зэрэг шинж чанартай байдаг. Энэ нь үндсэндээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бодит тоонуудын багцаас зарим утгыг илүү олон удаа, заримыг нь бага авдаг нөхцөл байдлыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, энэ графикийг авч үзье.
Энд X- бодит санамсаргүй хэмжигдэхүүн, f(x)- тархалтын нягт. Энэ графикаас харахад туршилтын явцад үнэ цэнэ Xихэвчлэн тэгтэй ойролцоо тоо байх болно. Боломж нь хэтэрсэн 3 эсвэл жижиг байх -3 харин цэвэр онолынх.
Жишээлбэл, жигд хуваарилалт байцгаая:
Энэ нь зөн совингийн ойлголттой нэлээд нийцдэг. Хэрэв бид жигд тархалттай олон санамсаргүй бодит тоог хүлээн авбал сегмент тус бүрийг авъя гэж бодъё |0; 1| , тэгвэл арифметик дундаж нь 0.5 орчим байх ёстой.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарах математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд - шугаман байдал гэх мэтийг энд бас ашиглаж болно.
Математикийн хүлээлт болон бусад статистик үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарал
Статистикийн шинжилгээнд математикийн хүлээлттэй хамт үзэгдлийн нэгэн төрлийн байдал, үйл явцын тогтвортой байдлыг тусгасан харилцан хамааралтай үзүүлэлтүүдийн систем байдаг. Хувилбарын үзүүлэлтүүд нь ихэвчлэн бие даасан утгатай байдаггүй бөгөөд цаашдын мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийхэд ашиглагддаг. Үл хамаарах зүйл бол үнэ цэнэтэй статистик шинж чанар болох өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент юм.
Статистикийн шинжлэх ухаан дахь үйл явцын хувьсах буюу тогтвортой байдлын зэргийг хэд хэдэн үзүүлэлтээр хэмжиж болно.
Ихэнх чухал үзүүлэлт, санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсах чанарыг тодорхойлох, байна Тархалт, энэ нь математикийн хүлээлттэй хамгийн нягт бөгөөд шууд холбоотой. Энэ параметрийг бусад төрлийн статистик шинжилгээнд идэвхтэй ашигладаг (таамаглалыг шалгах, шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг шинжлэх гэх мэт). Дундаж шугаман хазайлтын нэгэн адил дисперс нь дундаж утгын эргэн тойронд өгөгдлийн тархалтын цар хүрээг илэрхийлдэг.
Тэмдгийн хэлийг үгийн хэл рүү хөрвүүлэх нь ашигтай. Эндээс харахад тархалт нь хазайлтын дундаж квадрат юм. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд дундаж утгыг тооцоолж, дараа нь анхны болон дундаж утга бүрийн ялгааг авч, квадрат болгож, нэмээд дараа нь хүн амын тоонд хуваана. Хувь хүний утга ба дундажийн хоорондох зөрүү нь хазайлтын хэмжүүрийг илэрхийлдэг. Бүх хазайлт нь зөвхөн эерэг тоо болж, тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэх үед эерэг ба сөрөг хазайлтыг харилцан устгахаас зайлсхийхийн тулд үүнийг квадратаар хуваана. Дараа нь квадрат хазайлтыг өгвөл бид зүгээр л арифметик дундажийг тооцоолно. Дундаж - квадрат - хазайлт. Хазайлтыг квадрат болгож, дундажийг тооцоолно. Тархалт гэдэг шидэт үгийн хариулт ердөө гурван үгэнд оршдог.
Гэсэн хэдий ч, онд цэвэр хэлбэр, жишээ нь арифметик дундаж буюу индексийн дисперсийг ашигладаггүй. Энэ нь бусад төрлийн статистикийн шинжилгээнд ашиглагддаг туслах ба завсрын үзүүлэлт юм. Энгийн хэмжих нэгж ч байхгүй. Томъёогоор харахад энэ нь анхны өгөгдлийн хэмжих нэгжийн квадрат юм.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжье Нудаа, жишээлбэл, бид салхины хурдыг арав дахин хэмжиж, дундаж утгыг олохыг хүсдэг. Дундаж утга нь тархалтын функцтэй хэрхэн холбоотой вэ?
Эсвэл бид шоо олон удаа өнхрүүлэх болно. Шоо шидэлт бүр дээр гарч ирэх онооны тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 1-ээс 6 хүртэлх байгалийн утгыг авч болно. Бүх шоо шидэхэд тооцсон хасагдсан онооны арифметик дундаж нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн боловч их хэмжээний хувьд НЭнэ нь маш тодорхой тоогоор илэрхийлэгддэг - математикийн хүлээлт Mx. IN энэ тохиолдолд Mx = 3.5.
Та энэ үнэ цэнийг хэрхэн олж авсан бэ? Оруул Нтуршилтууд n1 1 оноо авсны дараа n2нэг удаа - 2 оноо гэх мэт. Дараа нь нэг оноо унасан үр дүнгийн тоо:
Үүнтэй адилаар 2, 3, 4, 5, 6 оноо авсан үр дүнгийн хувьд.
Одоо бид x санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэддэг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл x санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь p1, p2, ... магадлал бүхий x1, x2, ..., xk утгуудыг авч чадна гэдгийг бид мэднэ гэж үзье. pk.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний Mx математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.
Математикийн хүлээлт нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндэслэлтэй тооцоолол биш юм. Тиймээс дундажийг тооцоолох цалинДундаж гэсэн ойлголтыг ашиглах нь илүү үндэслэлтэй, өөрөөр хэлбэл дундажаас бага цалин авч байгаа хүмүүсийн тоо, түүнээс дээш цалинтай давхцаж байгаа утга юм.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x x1/2-оос бага байх p1 магадлал, x санамсаргүй хэмжигдэхүүн x1/2-оос их байх p2 магадлал нь ижил ба 1/2-тэй тэнцүү байна. Медиан нь бүх тархалтын хувьд дангаар тодорхойлогддоггүй.
Стандарт эсвэл стандарт хазайлтстатистикийн хувьд ажиглалтын өгөгдөл эсвэл олонлогийн ДУНДАЖ утгаас хазайх зэрэг гэж нэрлэдэг. s эсвэл s үсгээр тэмдэглэнэ. Жижиг стандарт хазайлт нь өгөгдөл нь дундаж утгыг тойроод бөөгнөрөхийг илэрхийлдэг бол том стандарт хазайлт нь анхны өгөгдөл түүнээс хол байгааг илтгэнэ. Стандарт хэлбэлзэлтэнцүү байна квадрат язгуурхэмжигдэхүүнийг дисперс гэж нэрлэдэг. Энэ нь дундаж утгаас хазайсан анхны өгөгдлийн квадрат зөрүүний нийлбэрийн дундаж юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм:
Жишээ. Туршилтын нөхцөлд бай руу буудахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлтыг тооцоол.
Хувилбар- хүн амын нэгж хоорондын шинж чанарын үнэ цэнийн хэлбэлзэл, өөрчлөгдөх чадвар. Судалгаанд хамрагдсан популяцид олдсон шинж чанарын бие даасан тоон утгыг утгын хувилбар гэж нэрлэдэг. Дундаж утга хангалтгүй бүрэн шинж чанарХүн амын тоо нь судалж буй шинж чанарын хэлбэлзлийг (хувилбар) хэмжих замаар эдгээр дундаж үзүүлэлтүүдийн ердийн байдлыг үнэлэх боломжийг олгодог үзүүлэлтээр дундаж утгыг нэмэхийг шаарддаг. Өөрчлөлтийн коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.
Өөрчлөлтийн хүрээ(R) нь судалж буй популяци дахь шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүүг илэрхийлнэ. Энэ үзүүлэлт хамгийн их өгдөг ерөнхий санаасудлагдсан шинж чанарын хувьсах байдлын тухай, учир нь энэ нь зөвхөн сонголтуудын хязгаарлагдмал утгуудын хоорондын ялгааг харуулдаг. Онцлогийн хэт утгуудаас хамаарах нь хэлбэлзлийн хүрээг тогтворгүй, санамсаргүй шинж чанартай болгодог.
Дундаж шугаман хазайлтШинжилсэн популяцийн бүх утгуудын дундаж утгуудын үнэмлэхүй (модуль) хазайлтын арифметик дундажийг илэрхийлнэ.
Мөрийтэй тоглоомын онол дахь математикийн хүлээлт
Математикийн хүлээлтМөрийтэй тоглогчийн өгөгдсөн бооцоонд хожих эсвэл алдах дундаж мөнгөний хэмжээ. Энэ нь тоглогчийн хувьд маш чухал ойлголт юм, учир нь энэ нь ихэнх тоглоомын нөхцөл байдлыг үнэлэхэд үндэс суурь болдог. Математикийн хүлээлт нь картын үндсэн загвар, тоглоомын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх хамгийн оновчтой хэрэгсэл юм.
Та найзтайгаа зоосны тоглоом тоглож байна гэж бодъё, ямар ч зүйл гарч ирэхээс үл хамааран 1 доллартай тэнцүү мөрий тавьсан. Сүүл нь ялна гэсэн үг, толгой гэдэг нь ялагдана гэсэн үг. Магадлал нь нэгээс нэгээр өндөр байх тул та 1 доллараас 1 доллар хүртэл бооцоо тавина. Тиймээс таны математикийн хүлээлт тэг байна, учир нь Математик талаас нь харвал хоёр шидэлтийн дараа эсвэл 200-ын дараа тэргүүлэх үү, хожигдох уу гэдгээ мэдэхгүй.
Таны цагийн ашиг 0 байна. Цагийн ялалт гэдэг нь нэг цагийн дотор хожихыг хүлээж буй мөнгөний хэмжээ юм. Та нэг цагийн дотор 500 удаа зоос шидэж болох ч хожихгүй, хожигдохгүй, учир нь... таны боломж эерэг ч биш, сөрөг ч биш. Хэрэв та үүнийг харвал ноцтой тоглогчийн үүднээс энэ бооцооны систем муу биш юм. Гэхдээ энэ бол зүгээр л цаг гарз.
Гэхдээ хэн нэгэн ижил тоглоом дээр таны 1 доллартай 2 доллар бооцоо тавихыг хүсч байна гэж бодъё. Дараа нь та бооцоо бүрээс 50 центийн эерэг хүлээлттэй болно. Яагаад 50 цент гэж? Дунджаар та нэг бооцоо хожиж, хоёр дахь нь хожигддог. Эхний доллараар бооцоо тавьбал 1 доллар, хоёрт бооцоо тавиад 2 доллар хожих болно. Та 1 доллараар хоёр удаа бооцоо тавиад 1 доллараар илүү байна. Тэгэхээр таны нэг долларын бооцоо тус бүр 50 цент өгсөн.
Нэг цагийн дотор зоос 500 удаа гарч ирвэл таны нэг цагийн хожлын хэмжээ 250 доллар болно, учир нь... Дунджаар та нэг долларыг 250 удаа алдаж, хоёр долларыг 250 удаа хожсон. 500 доллараас 250 долларыг хасвал 250 доллартай тэнцэх бөгөөд энэ нь нийт ялалт юм. Бооцоо бүрт хожсон дундаж дүн болох хүлээгдэж буй үнэ цэнэ нь 50 цент гэдгийг анхаарна уу. Та нэг доллараар 500 удаа бооцоо тавьснаар 250 доллар хожсон нь мөрий бүрт 50 центтэй тэнцэнэ.
Математикийн хүлээлт нь богино хугацааны үр дүнтэй ямар ч холбоогүй юм. Таны эсрэг 2 доллараар бооцоо тавихаар шийдсэн өрсөлдөгч тань эхний арван удаа дараалан ялж магадгүй ч та 2-оос 1-ийн давуу талтай, бусад бүх зүйл тэнцүү байх тул 1 долларын бооцоо бүрээс 50 цент авах болно. нөхцөл байдал. Зардлаа эвтэйхэн нөхөх хэмжээний бэлэн мөнгөтэй л бол нэг бооцоо эсвэл хэд хэдэн бооцоо тавихдаа хожих, алдах эсэх нь хамаагүй. Хэрэв та ижил аргаар бооцоо тавих юм бол, дараа нь урт хугацааЦаг хугацаа өнгөрөхөд таны ялалт хувь хүний нэрийн жагсаалтад хүлээгдэж буй утгуудын нийлбэрт ойртох болно.
Та хамгийн сайн бооцоо тавих болгондоо (урт хугацаанд ашигтай байх бооцоо) магадлал таны талд гарсан үед та алдсан ч бай, үгүй ч бай үүн дээр заавал ямар нэгэн зүйл хожих болно. гараа өгсөн. Эсрэгээр, хэрэв та магадлал таны эсрэг байх үед underdog бооцоо (урт хугацаанд ашиггүй мөрий) хийвэл та хожих эсвэл гараа алдахаас үл хамааран ямар нэгэн зүйл алдах болно.
Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал та хамгийн сайн үр дүнтэй бооцоо тавих бөгөөд магадлал таны талд байвал эерэг байна. Та хамгийн муу үр дүн бүхий бооцоо тавихдаа сөрөг хүлээлттэй байдаг бөгөөд энэ нь таны эсрэг байх үед тохиолддог. Ноцтой тоглогчид зөвхөн хамгийн сайн үр дүнд бооцоо тавьдаг; хэрэв хамгийн муу зүйл тохиолдвол тэд нугалав. Магадлал таны талд юу гэсэн үг вэ? Эцсийн эцэст та бодит магадлалаас илүү ялалт байгуулж магадгүй юм. Буух толгойн бодит магадлал 1-ээс 1 байна, гэхдээ та магадлалын харьцаанаас болж 2-1-ийг авна. Энэ тохиолдолд магадлал таны талд байна. Бооцоо бүрт 50 цент эерэг хүлээлттэй байвал та хамгийн сайн үр дүнг авах нь гарцаагүй.
Математикийн хүлээлтийн илүү төвөгтэй жишээ энд байна. Найз нь нэгээс тав хүртэлх тоонуудыг бичээд, таны 1 доллартай 5 доллараар бооцоо тавьсан бөгөөд та энэ тоог таахгүй байх болно. Та ийм бооцоо тавихыг зөвшөөрөх ёстой юу? Энд ямар хүлээлт байна вэ?
Дунджаар та дөрвөн удаа буруудах болно. Үүн дээр үндэслэн та энэ тоог таамаглах магадлал 4: 1 байна. Нэг оролдлогоор нэг доллар алдах магадлал. Гэсэн хэдий ч та 5-1-ийн харьцаатай хожиж, 4-ээс 1-ээр хожигдох магадлалтай. Тиймээс магадлал таны талд байгаа тул та бооцоо тавьж, хамгийн сайн үр дүнд найдаж болно. Хэрэв та энэ бооцоог таван удаа хийвэл дунджаар дөрвөн удаа 1 доллар алдаж, нэг удаа 5 доллар хожих болно. Үүний үндсэн дээр та таван оролдлого хийхдээ нэг бооцооны 20 центийн эерэг математикийн хүлээлттэй 1 доллар олох болно.
Дээрх жишээн дээрх шиг мөрий тавьсанаасаа илүү хожих гэж байгаа тоглогч азаа үзэж байна. Харин ч бооцоо тавихаасаа бага хожно гэж бодож байхдаа боломжоо үгүй хийдэг. Бооцоо тавигч нь эерэг эсвэл сөрөг хүлээлттэй байж болох бөгөөд энэ нь хожсон эсэхээс хамаарна.
Хэрэв та 4-1 хожих магадлал бүхий 10 доллар хожихын тулд 50 доллар бооцоо тавьсан бол 2 долларын сөрөг хүлээлттэй болно. Дунджаар та дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 50 доллар алдах бөгөөд энэ нь нэг бооцооны алдагдал 10 доллар болно гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ хэрэв та 10 доллар хожихын тулд 30 доллар бооцоо тавьсан бол 4: 1 хожих магадлал ижил байвал энэ тохиолдолд та 2 доллар эерэг хүлээлттэй байна. Та дахин дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 30 доллар алдаж, 10 долларын ашиг олох болно. Эдгээр жишээнүүд нь эхний бооцоо муу, хоёр дахь нь сайн гэдгийг харуулж байна.
Математикийн хүлээлт бол аливаа тоглоомын нөхцөл байдлын төв юм. Бооцооны газар хөлбөмбөг сонирхогчдыг 10 доллар хожихын тулд 11 доллараар бооцоо тавихыг уриалахад тэрээр 10 доллар тутамд 50 цент авна гэсэн эерэг хүлээлттэй байдаг. казино craps-д нэвтрүүлэх шугамаас ч мөнгө төлдөг бол, Дараа нь казино эерэг хүлээлт ойролцоогоор байх болно $1,40 тутамд $100, учир нь Энэ тоглоомыг энэ мөрөнд бооцоо тавьсан хүн дунджаар 50,7% алдаж, нийт хугацааны 49,3% хожихоор зохион байгуулагдсан. Дэлхий даяарх казиногийн эздэд асар их ашиг авчирдаг нь эргэлзээгүй энэ эерэг хүлээлт юм. Vegas World казиногийн эзэн Боб Ступак тэмдэглэснээр "хангалттай хол зайд сөрөг магадлалын мянганы нэг хувь нь сүйрнэ. хамгийн баян хүндэлхий дээр".
Покер тоглохдоо хүлээлт
Покер тоглоом бол математикийн хүлээлтийн онол, шинж чанарыг ашиглах үүднээс хамгийн тод, тод жишээ юм.
Покер дахь хүлээгдэж буй үнэ цэнэ гэдэг нь ийм шийдвэрийг олон тоо, хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг юм. Амжилттай покер тоглоом бол эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнэ бүхий нүүдлийг үргэлж хүлээн авах явдал юм.
Покер тоглох үед математикийн хүлээлтийн математик утга нь бид шийдвэр гаргахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй байнга тулгардаг (өрсөлдөгч нь түүний гарт ямар карт байгаа, дараагийн үе шатанд ямар картууд гарч ирэхийг бид мэдэхгүй). Хангалттай том түүврийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний математик хүлээлтэд чиглэнэ гэсэн том тооны онолын үүднээс бид шийдэл бүрийг авч үзэх ёстой.
Математикийн хүлээлтийг тооцоолох тодорхой томьёо дотроос покерт дараахь зүйл хамгийн тохиромжтой.
Покер тоглохдоо бооцоо болон дуудлагын аль алинд нь хүлээгдэж буй утгыг тооцоолж болно. Эхний тохиолдолд дахин өмчийг, хоёрдугаарт, банкны өөрийн магадлалыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тодорхой нүүдлийн математик хүлээлтийг үнэлэхдээ нугалахад үргэлж тэг хүлээлт байдгийг санах хэрэгтэй. Тиймээс картыг хаях нь аливаа сөрөг алхамаас илүү ашигтай шийдвэр байх болно.
Хүлээлт нь таны эрсдэлд орсон доллар бүрт юу хүлээж болохыг (ашиг, алдагдал) хэлж өгдөг. Казино мөнгө олдог, учир нь тэдгээрт тоглож буй бүх тоглоомын математикийн хүлээлт нь казиногийн талд байдаг. Хангалттай урт цуврал тоглоомуудын тусламжтайгаар та үйлчлүүлэгч мөнгөө алдах болно гэж найдаж болно, учир нь "боломж" нь казиногийн талд байна. Гэсэн хэдий ч мэргэжлийн казино тоглогчид тоглоомоо богино хугацаанд хязгаарладаг бөгөөд ингэснээр магадлалаа өөрсдөдөө ашигтай болгодог. Хөрөнгө оруулалтын хувьд ч мөн адил. Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал богино хугацаанд олон арилжаа хийснээр илүү их мөнгө олох боломжтой. Хүлээлт гэдэг нь таны хожилд ногдох ашгийн хувийг дундаж ашигт үржүүлж, алдах магадлалыг дундаж алдагдалд үржүүлсэнийг хассан дүн юм.
Покерыг мөн математикийн хүлээлтийн үүднээс авч үзэж болно. Та тодорхой нүүдэл нь ашигтай гэж таамаглаж болох ч зарим тохиолдолд өөр нэг алхам илүү ашигтай байдаг тул энэ нь хамгийн сайн биш байж болно. Та таван картын сугалаатай покерт бүтэн байр эзэлсэн гэж бодъё. Өрсөлдөгч чинь бооцоо тавьдаг. Хэрэв та бооцоо нэмбэл тэр хариулах болно гэдгийг та мэднэ. Тиймээс өсгөх нь хамгийн зөв тактик юм шиг санагддаг. Гэхдээ хэрэв та бооцоогоо өсгөх юм бол үлдсэн хоёр тоглогч заавал нугалах болно. Харин залгавал ард байгаа хоёр тоглогч ч мөн адил хийнэ гэдэгт бүрэн итгэлтэй байна. Бооцоогоо өсгөхөд нэг нэгж, зүгээр л залгахад хоёр болно. Тиймээс дуудлага нь танд илүү өндөр эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг өгөх бөгөөд хамгийн сайн тактик байх болно.
Математикийн хүлээлт нь покерын аль тактик нь ашиг багатай, аль нь илүү ашигтай болохыг ойлгох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, хэрэв та тодорхой гар тоглоод таны алдагдал дунджаар 75 цент болно гэж бодож байгаа бол энэ гарыг тоглох хэрэгтэй. Энэ нь $1 байх үед нугалахаас илүү дээр юм.
Өөр чухал шалтгаанМатематикийн хүлээлтийн мөн чанарыг ойлгохын тулд энэ нь танд бооцоогоо хожсон эсэхээс үл хамааран амар амгалангийн мэдрэмжийг өгдөг явдал юм: хэрэв та сайн бооцоо тавьсан эсвэл цаг тухайд нь нугалах юм бол та тодорхой хэмжээний мөнгө олсон эсвэл хадгалсан гэдгээ мэдэх болно. сул тоглогч аварч чадаагүй. Өрсөлдөгч тань илүү хүчтэй гар татсан учраас сэтгэл дундуур байвал нугалахад хамаагүй хэцүү. Энэ бүхний хажуугаар бооцоо тавихын оронд тоглохгүй хэмнэсэн мөнгө таны хонжвор эсвэл сарын хожлын дээр нэмэгддэг.
Хэрэв та гараа сольсон бол өрсөлдөгч тань таныг дуудах байсан гэдгийг санаарай, энэ нь Покерын үндсэн теоремын өгүүллээс үзэх болно, энэ нь таны давуу талуудын нэг юм. Ийм зүйл тохиолдоход та баяртай байх ёстой. Та гараа алдахаас таашаал авч сурах боломжтой, учир нь таны байрлалд байгаа бусад тоглогчид илүү их зүйл алдах болно гэдгийг мэдэж байгаа.
Зоосны тоглоомын жишээн дээр дурдсанчлан цагийн ашгийн харьцаа нь математикийн хүлээлттэй холбоотой бөгөөд энэ үзэл баримтлалялангуяа мэргэжлийн тоглогчдын хувьд чухал. Та покер тоглохоор явахдаа нэг цаг тоглоход хэр их хожих боломжтойг оюун ухаанаараа тооцоолох хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд та зөн совин, туршлагадаа найдах хэрэгтэй болно, гэхдээ та зарим математикийг ашиглаж болно. Жишээлбэл, та Draw Lowball тоглож байгаа бөгөөд гурван тоглогч 10 доллараар бооцоо тавьж, дараа нь хоёр хөзрөө солилцохыг харсан бөгөөд энэ нь маш муу тактик юм. Тэд 10 доллараар бооцоо тавих болгондоо ойролцоогоор 2 доллар алддаг гэдгийг та ойлгож болно. Тэд тус бүр үүнийг цагт найман удаа хийдэг бөгөөд энэ нь гурвуулаа цагт ойролцоогоор 48 доллар алддаг гэсэн үг юм. Та үлдсэн дөрвөн тоглогчийн нэг нь ойролцоогоор тэнцүү байгаа тул эдгээр дөрвөн тоглогч (мөн та тэдний дунд) 48 долларыг хуваах ёстой бөгөөд тус бүр цагт 12 долларын ашиг олдог. Энэ тохиолдолд таны нэг цагийн магадлал нь нэг цагийн дотор гурван муу тоглогчийн алдсан мөнгөний хэмжээтэй тэнцүү байна.
Удаан хугацааны туршид тоглогчийн нийт ялалт нь хувь хүний гарт байгаа математикийн хүлээлтийн нийлбэр юм. Хэдий чинээ эерэг хүлээлттэй гар тоглоно төдий чинээ хожно, харин эсрэгээрээ сөрөг хүлээлттэй тоглох тусам алдах болно. Үүний үр дүнд та эерэг хүлээлтийг нэмэгдүүлэх эсвэл сөрөг хүлээлтийг үгүйсгэх тоглоомыг сонгох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр та цагийн хожлынхоо хэмжээг нэмэгдүүлэх боломжтой болно.
Тоглоомын стратеги дахь эерэг математикийн хүлээлт
Хэрэв та карт тоолохыг мэддэг бол тэд анзаарч, чамайг хаяхгүй бол та казинод давуу талтай байж болно. Казино нь согтуу тоглогчдод дуртай бөгөөд карт тоолох тоглогчдыг тэвчихгүй. Давуу тал нь цаг хугацааны явцад хожигдсоноосоо олон удаа хожих боломжийг танд олгоно. Сайн менежментХүлээгдэж буй үнэ цэнийн тооцоог ашиглах үед капитал нь давуу талаасаа илүү их ашиг олж, алдагдлаа бууруулахад тусална. Давуу тал байхгүй бол та буяны ажилд мөнгө өгсөн нь дээр. Хөрөнгийн бирж дээрх тоглоомонд давуу тал нь тоглоомын системээр өгөгддөг бөгөөд энэ нь алдагдал, үнийн зөрүү, шимтгэлээс илүү их ашиг бий болгодог. Ямар ч мөнгөний менежмент муу тоглоомын системийг аварч чадахгүй.
Эерэг хүлээлт нь тэгээс их утгаар тодорхойлогддог. Энэ тоо их байх тусам статистикийн хүлээлт илүү хүчтэй болно. Хэрэв утга нь тэгээс бага бол математикийн хүлээлт мөн сөрөг байх болно. Сөрөг утгын модуль том байх тусам нөхцөл байдал улам дордох болно. Хэрэв үр дүн нь тэг бол хүлээлт нь алдагдал хүлээдэг. Та математикийн эерэг хүлээлт, боломжийн тоглоомын системтэй байж л ялах боломжтой. Зөн совингоор тоглох нь сүйрэлд хүргэдэг.
Математикийн хүлээлт ба хувьцааны арилжаа
Математик хүлээлт нь санхүүгийн зах зээл дээр биржийн арилжаа хийх үед нэлээд өргөн хэрэглэгддэг, түгээмэл статистик үзүүлэлт юм. Юуны өмнө энэ параметрийг арилжааны амжилтыг шинжлэхэд ашигладаг. Энэ үнэ цэнэ өндөр байх тусам судалж буй худалдаа амжилттай болсон гэж үзэх шалтгаан олон байгааг таахад хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, худалдаачны ажилд дүн шинжилгээ хийх нь зөвхөн энэ параметрийг ашиглан хийх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч тооцоолсон үнэ цэнэ нь ажлын чанарыг үнэлэх бусад аргуудтай хослуулан шинжилгээний нарийвчлалыг ихээхэн нэмэгдүүлэх боломжтой.
Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн арилжааны дансны хяналтын үйлчилгээнд тооцдог бөгөөд энэ нь хадгаламж дээр хийгдсэн ажлыг хурдан үнэлэх боломжийг олгодог. Үл хамаарах зүйлд ашиггүй арилжааг "сууж" ашигладаг стратеги орно. Худалдаачин хэсэг хугацаанд азтай байж магадгүй тул түүний ажилд ямар ч алдагдал гарахгүй байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлтийг удирдан чиглүүлэх боломжгүй, учир нь ажилд ашигласан эрсдлийг тооцохгүй.
Зах зээлийн арилжаанд математикийн хүлээлтийг аливаа арилжааны стратегийн ашиг орлогыг урьдчилан таамаглах эсвэл өмнөх арилжааны статистик мэдээлэлд үндэслэн арилжаачны орлогыг урьдчилан таамаглахад ихэвчлэн ашигладаг.
Мөнгөний менежментийн хувьд сөрөг хүлээлттэй арилжаа хийхдээ өндөр ашиг авчрах мөнгөний менежментийн схем байдаггүй гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм. Хэрэв та эдгээр нөхцлөөр хөрөнгийн зах зээл дээр үргэлжлүүлэн тоглох юм бол та мөнгөө хэрхэн удирдаж байгаагаас үл хамааран эхлээд хичнээн том байсан ч дансаа бүхэлд нь алдах болно.
Энэ аксиом нь зөвхөн сөрөг хүлээлттэй тоглоом эсвэл арилжааны хувьд ч мөн адил боломж бүхий тоглоомуудын хувьд ч үнэн юм. Тиймээс, та эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнтэй арилжаа хийвэл урт хугацаанд ашиг олох боломжтой болно.
Сөрөг хүлээлт, эерэг хүлээлт хоёрын ялгаа нь амьдрал ба үхлийн ялгаа юм. Хүлээлт хэр эерэг эсвэл сөрөг байх нь хамаагүй; Энэ нь эерэг эсвэл сөрөг байх нь чухал. Тиймээс, мөнгөний менежментийг авч үзэхээсээ өмнө эерэг хүлээлттэй тоглоом олох хэрэгтэй.
Хэрэв танд ийм тоглоом байхгүй бол дэлхийн бүх мөнгөний менежмент таныг аврахгүй. Нөгөөтэйгүүр, хэрэв танд эерэг хүлээлт байгаа бол та мөнгөний зөв менежментээр үүнийг экспоненциал өсөлтийн функц болгон хувиргаж чадна. Эерэг хүлээлт хэр бага байх нь хамаагүй! Өөрөөр хэлбэл, нэг гэрээнд суурилсан арилжааны систем хэр ашигтай байх нь хамаагүй. Хэрэв та нэг арилжаанаас 10 доллар хождог системтэй бол (комисс болон гулсалтын дараа) нэг арилжаанд дунджаар 1000 доллар авдаг системээс (комисс болон гулсалтын дараа) илүү ашигтай болгохын тулд мөнгөний менежментийн арга техникийг ашиглаж болно.
Гол нь тухайн систем хэр ашигтай байсан нь чухал биш, харин систем нь ирээдүйд хамгийн бага ашиг үзүүлэх эсэх нь чухал юм. Тиймээс худалдаачин хүний хийж чадах хамгийн чухал бэлтгэл бол систем ирээдүйд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг харуулах явдал юм.
Ирээдүйд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг бий болгохын тулд өөрийн системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийг хязгаарлахгүй байх нь маш чухал юм. Энэ нь зөвхөн оновчтой болгох параметрүүдийн тоог хасах эсвэл багасгах замаар төдийгүй системийн дүрмийг аль болох багасгах замаар хийгддэг. Таны нэмсэн параметр бүр, хийсэн дүрэм бүр, системд хийсэн жижиг өөрчлөлтүүд нь эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог бууруулдаг. Тохиромжтой бол та нэлээд анхдагч болон бүтээх хэрэгтэй энгийн систем, энэ нь бараг бүх зах зээлд бага хэмжээний ашиг олох болно. Дахин хэлэхэд, систем нь ашигтай л бол хичнээн ашигтай байх нь хамаагүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Арилжаанаас олсон мөнгө чинь дамжуулан олно үр дүнтэй менежментмөнгө.
Арилжааны систем нь зүгээр л танд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг өгдөг хэрэгсэл бөгөөд ингэснээр та мөнгөний менежментийг ашиглах боломжтой болно. Зөвхөн нэг юм уу хэд хэдэн зах зээл дээр ажилладаг (хамгийн бага ашиг харуулдаг) эсвэл өөр өөр зах зээлд өөр өөр дүрэм, параметртэй системүүд бодит цаг хугацаанд хангалттай удаан ажиллахгүй байх магадлалтай. Техникийн чиг баримжаатай ихэнх худалдаачдын асуудал бол оновчтой болгоход хэтэрхий их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргадаг явдал юм өөр өөр дүрэмболон арилжааны системийн параметрүүдийн утгууд. Энэ нь огт эсрэг үр дүнг өгдөг. Арилжааны системийн ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд эрчим хүч, компьютерийн цагийг дэмий үрэхийн оронд хамгийн бага ашиг олох найдвартай байдлын түвшинг нэмэгдүүлэхэд эрч хүчээ чиглүүл.
Мөнгөний менежмент бол эерэг хүлээлтийг ашиглахыг шаарддаг зүгээр л тооны тоглоом гэдгийг мэдээд худалдаачин хувьцааны арилжааны "ариун буржгар" хайхаа зогсоож чадна. Үүний оронд тэрээр арилжааны аргаа туршиж эхэлж, энэ арга нь хэр логиктой, эерэг хүлээлттэй байгаа эсэхийг олж мэдэх боломжтой. Зөв аргуудАливаа, тэр ч байтугай маш энгийн арилжааны аргуудад хэрэглэгддэг мөнгөний менежмент нь бусад ажлыг өөрсдөө хийх болно.
Аливаа худалдаачин ажилдаа амжилтанд хүрэхийн тулд тэр гурвыг хамгийн их шийдэх хэрэгтэй чухал ажлууд: . Амжилттай хийгдсэн гүйлгээний тоо зайлшгүй алдаа, буруу тооцооллоос давсан эсэхийг баталгаажуулах; Та аль болох олон удаа мөнгө олох боломжтой байхаар арилжааны системээ тохируулаарай; Үйл ажиллагаанаасаа тогтвортой эерэг үр дүнд хүр.
Энд ажиллаж буй худалдаачдын хувьд математикийн хүлээлт маш их тус болно. Энэ нэр томъёо нь магадлалын онолын гол нэр томъёоны нэг юм. Түүний тусламжтайгаар та санамсаргүй утгын дундаж тооцоог өгч болно. Хэрэв та бүх боломжит магадлалыг өөр өөр масстай цэгүүд гэж төсөөлвөл санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт хүндийн төвтэй төстэй байна.
Арилжааны стратегитай холбоотойгоор түүний үр ашгийг үнэлэхийн тулд ашиг (эсвэл алдагдал) -ын математик хүлээлтийг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ параметр нь ашиг, алдагдлын өгөгдсөн түвшний бүтээгдэхүүний нийлбэр ба тэдгээрийн үүсэх магадлалаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, боловсруулсан худалдааны стратеги нь бүх гүйлгээний 37% нь ашиг авчрах бөгөөд үлдсэн хэсэг нь буюу 63% нь ашиггүй байх болно гэж үздэг. Үүний зэрэгцээ амжилттай гүйлгээний дундаж орлого 7 доллар, алдагдал нь 1.4 доллар байх болно. Энэхүү системийг ашиглан арилжаа хийх математикийн хүлээлтийг тооцоолъё.
Энэ тоо юу гэсэн үг вэ? Энэ системийн дүрмийн дагуу бид хаагдсан гүйлгээ бүрээс дунджаар 1708 доллар авна гэж хэлсэн. Үр ашгийн үнэлгээ нь тэгээс их байдаг тул ийм системийг бодит ажилд ашиглаж болно. Хэрэв тооцооллын үр дүнд математикийн хүлээлт сөрөг болж хувирвал энэ нь аль хэдийн дундаж алдагдлыг илтгэж байгаа бөгөөд ийм арилжаа нь сүйрэлд хүргэнэ.
Гүйлгээнд ногдох ашгийн хэмжээг мөн % хэлбэрээр харьцангуй утгаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл:
– 1 гүйлгээнд ногдох орлогын хувь - 5%;
– амжилттай арилжааны үйл ажиллагааны хувь - 62%;
– 1 гүйлгээнд ногдох алдагдлын хувь - 3%;
– амжилтгүй болсон гүйлгээний хувь - 38%;
Энэ нь дундаж арилжаа 1.96% авчрах болно.
Ашиггүй арилжаа давамгайлж байгаа хэдий ч өгөх тогтолцоог хөгжүүлэх боломжтой эерэг үр дүн, MO>0-ээс хойш.
Гэсэн хэдий ч ганцаараа хүлээх нь хангалтгүй юм. Хэрэв систем маш цөөн арилжааны дохио өгдөг бол мөнгө олоход хэцүү байдаг. Энэ тохиолдолд түүний ашиг нь банкны хүүтэй харьцуулах болно. Үйл ажиллагаа бүр дунджаар ердөө 0.5 долларын ашиг гаргая, гэхдээ системд жилд 1000 үйл ажиллагаа хамрагдвал яах вэ? Энэ нь харьцангуй богино хугацаанд маш их хэмжээний мөнгө байх болно. Үүнээс логикийн хувьд өөр зүйл гарч ирдэг онцлох тэмдэгсайн худалдааны системийг авч үзэж болно богино хугацааалбан тушаал хашиж байна.
Эх сурвалж ба холбоосууд
dic.academic.ru – академик онлайн толь бичиг
mathematics.ru - математикийн боловсролын вэбсайт
nsu.ru - Новосибирскийн боловсролын вэбсайт улсын их сургууль
webmath.ru - боловсролын порталоюутан, өргөдөл гаргагч, сургуулийн сурагчдад зориулсан.
exponenta.ru боловсролын математикийн вэбсайт
ru.tradimo.com - үнэгүй онлайн худалдааны сургууль
crypto.hut2.ru - олон талт мэдээллийн нөөц
poker-wiki.ru - покерын үнэгүй нэвтэрхий толь бичиг
sernam.ru - Шинжлэх ухааны номын санбайгалийн шинжлэх ухааны сонгосон нийтлэлүүд
reshim.su – вэб сайт БИД тестийн хичээлийн асуудлыг ШИЙДНЭ
unfx.ru – UNFX дээрх Forex: сургалт, арилжааны дохио, итгэлцлийн менежмент
slovopedia.com - Том нэвтэрхий толь бичигСловопедиа
pokermansion.3dn.ru - Покерын ертөнц дэх таны хөтөч
statanaliz.info - "Статистикийн мэдээллийн дүн шинжилгээ" мэдээллийн блог
forex-trader.rf – Forex-Trader портал
megafx.ru - одоогийн Forex аналитик
fx-by.com - худалдаачинд зориулсан бүх зүйл
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт (тархалт хүн ам) нь ихэвчлэн хэд хэдэн тоон шинж чанараар тодорхойлогддог:
- хэвийн тархалтын хувьд N(a, σ) нь математикийн хүлээлт a ба стандарт хазайлт σ;
- Учир нь жигд хуваарилалт R(a,b) нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд ажиглагдах интервалын хил хязгаар юм.
Оноо нэг тоогоор тодорхойлогдвол түүнийг дууддаг цэгийн тооцоо. Онооны тооцоо, түүврийн функцын хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд давтан туршилтаар түүврээс түүвэрт өөр өөр байдаг.
Онооны тооцоолол нь ямар ч утгаараа "хоргүй" байхын тулд хангах ёстой шаардлагуудтай байдаг. Энэ нүүлгэн шилжүүлээгүй, үр ашигТэгээд эд баялаг.
Интервалын тооцоохоёр тоогоор тодорхойлогддог - тооцоолсон параметрийг хамарсан интервалын төгсгөлүүд. Тооцоолсон параметр нь тэдгээрээс хэр хол байх талаар ойлголт өгдөггүй цэгийн тооцооллоос ялгаатай нь интервалын тооцоо нь тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлыг тогтоох боломжийг олгодог.
Математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлтын цэгийн тооцооллын хувьд түүврийн шинж чанар, түүврийн дундаж, түүврийн тархалт, түүврийн стандарт хазайлт зэргийг тус тус ашиглана.
Шударга бус үнэлгээний шинж чанар.
Үнэлгээний шаардлагатай шаардлага бол системчилсэн алдаа байхгүй байх явдал юм. θ параметрийн оронд түүний тооцооллыг давтан ашиглах үед ойролцоогоор алдааны дундаж утга тэг болно - энэ нь шударга бус үнэлгээний шинж чанар.
Тодорхойлолт. Математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметрийн бодит утгатай тэнцүү бол тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг.
Түүврийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлт ба түүврийн дисперсийн үнэн зөв тооцоолол юм. 
- ерөнхий дисперсийн нэг талыг барьсан үнэлгээ Д. Ерөнхий дисперсийн бодит бус үнэлгээ нь тооцоолол юм
Үнэлгээний тууштай байдлын шинж чанар.
Тооцооллын хоёр дахь шаардлага - түүний тууштай байдал нь түүврийн хэмжээ нэмэгдэх тусам тооцоо сайжирна гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт. Зэрэг 
n→∞ гэж тооцоолсон θ параметрт магадлалаар нийлж байвал тууштай гэж нэрлэдэг.
Магадлалын нэгдмэл байдал гэдэг нь түүврийн хэмжээ их байгаа тохиолдолд үнэлгээний бодит утгаас их хэмжээний хазайх магадлал бага байна гэсэн үг юм.
Үр дүнтэй тооцооны үл хөдлөх хөрөнгө.
Гурав дахь шаардлага нь ижил параметрийн хэд хэдэн тооцооноос хамгийн сайн тооцоог сонгох боломжийг танд олгоно.
Тодорхойлолт. Шударга бус үнэлэгч нь бүх шударга үнэлэгчийн дунд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байвал үр дүнтэй байдаг.
Энэ нь үр дүнтэй тооцоолол нь параметрийн жинхэнэ утгатай харьцуулахад хамгийн бага тархалттай байна гэсэн үг юм. Үр дүнтэй тооцоо үргэлж байдаггүй гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ хоёр тооцооллоос ихэвчлэн илүү үр дүнтэйг сонгох боломжтой байдаг. бага хэлбэлзэлтэй. Жишээлбэл, N(a,σ) хэвийн популяцийн үл мэдэгдэх a параметрийн хувьд түүврийн арифметик дундаж ба түүврийн медианыг хоёуланг нь шударга бус үнэлгээ болгон авч болно. Гэхдээ түүврийн медианы дисперс нь арифметик дундажийн дисперсээс ойролцоогоор 1.6 дахин их байна. Тиймээс илүү үр дүнтэй тооцоо бол түүврийн арифметик дундаж юм.
Жишээ №1. Хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 13,15,17 гэсэн нэг төхөөрөмж (системчилсэн алдаагүй) ашиглан зарим нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн дисперсийн бодит үнэлгээг ол.
Шийдэл. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.
| x | |x - x av | | (x - x дундаж) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Энгийн арифметик дундаж(математикийн хүлээлтийг шударга бус тооцоолсон)
Тархалт- дундаж утгын ойролцоо тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх - хэвийсэн үнэлгээ).
Шударга бус дисперсийн тооцоологч- дисперсийн тууштай тооцоо (зассан зөрүү).
Жишээ №2. Тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн математикийн хүлээлтийг нэг төхөөрөмжөөр (системчилсэн алдаагүй), хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 4,5,8,9,11-ийг олоорой.
Шийдэл. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Жишээ №3. Хэрэв түүврийн дисперс D = 180 бол n=10 түүврийн хэмжээтэй S2 зассан дисперсийг ол.
Шийдэл. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Санамсаргүй түүврийг ажиглагдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ, математикийн хүлээлт ба дисперсээр үүсгэнэ. 
аль нь мэдэгдэхгүй. Эдгээр шинж чанаруудын тооцоололд түүврийн дундажийг ашиглахыг санал болгов
болон түүврийн зөрүү
. (3.14)
Математикийн хүлээлт ба тархалтын тооцооллын зарим шинж чанарыг авч үзье.
1. Түүврийн дундажийн математик хүлээлтийг тооцоол.
Иймээс түүврийн дундаж нь .
2. Үр дүн гэдгийг санаарай 
ажиглалт нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд тус бүр нь утгатай ижил тархалтын хуультай байдаг 
, 
, . Бид дисперс нь төгсгөлтэй гэж таамаглах болно. Дараа нь Чебышевын их тооны хуулийн теоремын дагуу дурын ε > 0-ийн хувьд тэгш байдал биелнэ. 
,
Үүнийг ингэж бичиж болно: 
. (3.16) (3.16)-г нийцлийн шинж чанарын тодорхойлолттой (3.11) харьцуулж үзвэл уг тооцоо нь математик хүлээлтийн тууштай тооцоолол болохыг харж байна.
3. Түүврийн дундажийн дисперсийг ол:
. (3.17)
Тиймээс математикийн хүлээлтийн тооцооллын хэлбэлзэл нь түүврийн хэмжээтэй урвуу харьцаагаар буурдаг.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн ξ хэвийн тархсан бол түүврийн дундаж нь математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй үнэлгээ, өөрөөр хэлбэл дисперсийг авдаг болохыг баталж болно. хамгийн бага утгаматематикийн хүлээлтийн бусад тооцоотой харьцуулахад. Бусад түгээлтийн хуулиудад ξ энэ нь тийм биш байж болно.
Түүврийн дисперс нь дисперсийн нэг талыг барьсан тооцоо юм, учир нь 
. (3.18)
Үнэн хэрэгтээ, математикийн хүлээлт ба томъёоны шинж чанарыг ашиглан (3.17) бид олдог
.
Зөрчлийн бодит үнэлгээг авахын тулд тооцооллыг (3.14) засч, өөрөөр хэлбэл -ээр үржүүлэх шаардлагатай. Дараа нь бид шударга бус түүврийн дисперсийг авна
. (3.19)
Томъёо (3.14) ба (3.19) нь зөвхөн хуваагчаар ялгаатай бөгөөд том утгын хувьд түүврийн болон шударга бус хэлбэлзэл бага зэрэг ялгаатай болохыг анхаарна уу. Гэхдээ түүврийн хэмжээ бага бол (3.19) хамаарлыг ашиглах хэрэгтэй.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг тооцоолохын тулд "зассан" хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг стандарт хазайлтыг ашигладаг бөгөөд энэ нь шударга бус дисперсийн квадрат язгууртай тэнцүү байна: .
Интервалын тооцоо
Статистикт тархалтын үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолох хоёр арга байдаг: цэг ба интервал. Өмнөх хэсэгт авч үзсэн цэгийн тооцооллын дагуу зөвхөн тооцоолсон параметрийн эргэн тойронд байгаа цэгийг зааж өгсөн болно. Гэсэн хэдий ч энэ параметр нь янз бүрийн ажиглалтын цувралын тооцооллыг хэрэгжүүлэх боломжоос хэр хол байж болохыг мэдэх нь зүйтэй юм.
Энэ асуултын хариулт - мөн ойролцоо - параметрийг тооцоолох өөр арга - интервалаар өгдөг. Энэхүү тооцооллын аргын дагуу нэгдмэл байдалтай ойролцоо магадлал бүхий үл мэдэгдэх зүйлийг хамардаг интервал олддог. тоон утгапараметр.
Интервалын тооцооны тухай ойлголт
Онооны тооцоо 
Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд боломжит түүврийн хэрэгжилтийн хувьд параметрийн бодит утгатай ойролцоогоор тэнцүү утгыг авна. Зөрүү бага байх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно. Тиймээс эерэг тоо 
, тооцооны үнэн зөвийг тодорхойлдог бөгөөд гэж нэрлэдэг тооцооллын алдаа (эсвэл ахиу алдаа).
Итгэлийн магадлал(эсвэл найдвартай байдал)магадлал гэж нэрлэдэг β
, үүнтэй тэгш бус байдал хэрэгждэг , өөрөөр хэлбэл
. (3.20)
Тэгш бус байдлыг орлуулах эквивалент давхар тэгш бус байдал 
, эсвэл 
, бид авдаг
Интервал 
, магадлалаар хамрах β
, , үл мэдэгдэх параметрийг гэж нэрлэдэг итгэлийн интервал
(эсвэл интервалын тооцоо),харгалзах итгэлийн магадлал β
.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн тооцоолол төдийгүй алдаа юм: түүний утга нь магадлалаас хамаарна β мөн дүрмээр бол дээжээс. Иймд итгэлцлийн интервал нь санамсаргүй бөгөөд илэрхийлэл (3.21)-ийг дараах байдлаар уншина: “Интервал нь параметрийг магадлалаар хамрах болно. β ”, мөн үүнтэй адил биш: “Үзүүлэлт нь магадлалын интервалд унах болно β ”.
Утга итгэлийн интервал-тэй тэнцүү тохиолдлын харьцангуй хувь хэмжээгээр дээжийн эзлэхүүнийг олон удаа давтах үед β , итгэх магадлалд харгалзах итгэлийн интервал β , тооцоолсон параметрийн жинхэнэ утгыг хамарна. Тиймээс, итгэх магадлал β онцлогтой найдвартай байдалитгэлийн үнэлгээ: илүү их β , итгэлийн интервалын хэрэгжилт нь үл мэдэгдэх параметр агуулсан байх магадлал өндөр.
Статистикийн тооцоолол нь тооцоолсон параметрүүдийг сайн ойртуулахын тулд тэдгээр нь шударга, үр ашигтай, тууштай байх ёстой.
Шударга бусстатистик үзүүлэлтийн тооцоо гэж нэрлэдэг 
, математикийн хүлээлт нь аливаа түүврийн хэмжээний тооцоолсон параметртэй тэнцүү байна.
Нүүлгэн шилжүүлсэнстатистик тооцоо гэж нэрлэдэг 
параметр 
, математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметртэй тэнцүү биш байна.
Үр дүнтэйстатистик тооцоо гэж нэрлэдэг 
параметр 
өгөгдсөн түүврийн хэмжээ 
хамгийн бага тархалттай.
Чинээлэгстатистик тооцоо гэж нэрлэдэг 
параметр 
, аль цагт 
тооцоолсон параметрийн магадлалын хандлагатай байна.
өөрөөр хэлбэл аль нэгнийх нь хувьд 
.
Өөр өөр хэмжээтэй дээжийн хувьд арифметик дундаж ба статистик тархалтын өөр өөр утгыг авдаг. Тиймээс арифметик дундаж ба статистик дисперс нь математикийн хүлээлт ба дисперстэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Арифметик дундаж ба дисперсийн математик хүлээлтийг тооцоолъё. -ээр тэмдэглэе 
санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт 
Энд дараахь зүйлийг санамсаргүй хувьсагч гэж үзнэ. 
– S.V., тэдгээрийн утгууд нь янз бүрийн эзэлхүүний дээжээс авсан анхны утгатай тэнцүү байна 
нийт хүн амын дундаас, 
-S.V., утгууд нь янз бүрийн эзэлхүүний дээжээс авсан хоёр дахь утгатай тэнцүү байна 
нийт хүн амын дундаас, ..., 
– Утга нь тэнцүү С.В 
- Төрөл бүрийн эзэлхүүний дээжээс авсан утгууд 
нийт хүн амын дундаас. Эдгээр бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ижил хуулийн дагуу тархсан бөгөөд ижил математикийн хүлээлттэй байдаг.
Томъёо (1)-ээс харахад арифметик дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттэй тэнцүү байх тул арифметик дундаж нь математик хүлээлтийн бодитой тооцоолол юм. Энэ үнэлгээ нь бас хүчинтэй. Энэхүү тооцооллын үр дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төрлөөс хамаарна 
. Хэрэв, жишээ нь, 
хэвийн тархсан тул арифметик дундажийг ашиглан математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь үр дүнтэй байх болно.
Одоо тархалтын статистик тооцоог олцгооё.
Статистикийн дисперсийн илэрхийллийг дараах байдлаар өөрчилж болно
(2)
Одоо статистик дисперсийн математик хүлээлтийг олцгооё
.
(3)
Үүнийг харгалзан үзвэл 
(4)
Бид (3) -аас авдаг
Томъёо (6)-аас харахад статистикийн тархалтын математик хүлээлт нь дисперсээс нэг хүчин зүйлээр ялгаатай, өөрөөр хэлбэл. хүн амын хэлбэлзлийн нэг талыг барьсан тооцоо юм. Энэ нь жинхэнэ үнэ цэнийн оронд байгаатай холбоотой юм 
, энэ нь тодорхойгүй байгаа тул дисперсийг тооцохдоо статистикийн дундаж утгыг ашиглана 
.
Тиймээс бид залруулсан статистик хэлбэлзлийг танилцуулж байна
(7)
Дараа нь залруулсан статистик дисперсийн математикийн хүлээлт тэнцүү байна
тэдгээр. залруулсан статистик хэлбэлзэл нь хүн амын хэлбэлзлийн шударга бус тооцоо юм. Үүний үр дүнд гаргасан тооцоолол нь мөн адил байна.
Туршилтын үр дүнг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж, энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг судалж буй объектын чанарын үзүүлэлт болгон авах үед туршилтын үр дүнд үндэслэн математикийн хүлээлтийг тооцоолох хэрэгцээ гарч ирдэг. Жишээлбэл, найдвартай байдлын үзүүлэлтийн хувьд системийн эвдрэлгүй ажиллах хугацааны математик хүлээлт, бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн үр ашгийг үнэлэхдээ ашиглах боломжтой бүтээгдэхүүний тооны математик хүлээлт гэх мэтийг авч болно.
Математикийн хүлээлтийг тооцоолох асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. Үүнийг тодорхойлох гэж үзье үл мэдэгдэх утгаХ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг n бие даасан, системчилсэн алдаагүй хэмжилт хийх ёстой X v X 2 ,..., X х.Та математикийн хүлээлтийн хамгийн сайн тооцоог сонгох хэрэгтэй.
Практикт математик хүлээлтийн хамгийн сайн бөгөөд хамгийн түгээмэл тооцоо бол туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж юм.
бас дууддаг статистикэсвэл жишээ дундаж.
Тооцооллыг харуулъя t xаливаа параметрийг үнэлэх бүх шаардлагыг хангасан.
1. (5.10) илэрхийллээс ийм байна
өөрөөр хэлбэл үнэлгээ t" x- шударга бус тооцоо.
2. Чебышевын теоремын дагуу туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтэд магадлалаар нийлдэг, өөрөөр хэлбэл.
Иймээс тооцоолол (5.10) нь математикийн хүлээлтийн тогтмол тооцоо юм.
3. Үнэлгээний хэлбэлзэл t x,тэнцүү
Түүврийн хэмжээ ихсэх тусам n нь хязгааргүй буурна. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг бол аль нь ч байдаг нь батлагдсан Птархалт (5.11) хамгийн бага байх ба тооцоолол t x- математикийн хүлээлтийг үр дүнтэй тооцоолох. Тооцооллын зөрүүг мэдэх нь энэ тооцоог ашиглан математикийн хүлээлтийн үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлох үнэн зөв байдлын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог.
Хэрэв хэмжилтийн үр дүн ижил нарийвчлалтай байвал арифметик дундажийг математикийн хүлээлтийг тооцоолоход ашиглана (D, хэлбэлзэл). би = 1, 2, ..., Пхэмжээ бүрт ижил). Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр хэмжилтийн үр дүн нь тэгш бус байдаг (жишээлбэл, туршилтын явцад хэмжилтийг өөр өөр хэрэглүүрээр хийдэг) асуудлуудтай тулгардаг. Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлтийн тооцоо нь хэлбэртэй байна
Хаана 
- z-р хэмжээсийн жин.
Томъёо (5.12)-д хэмжилт бүрийн үр дүнг өөрийн жингийн хамт оруулсан болно ХАМТ.. Иймд хэмжилтийн үр дүнгийн үнэлгээ t xдуудсан жигнэсэн дундаж.
Үнэлгээ (5.12) нь математикийн хүлээлтийг бодитой бус, тууштай, үр ашигтай тооцоолол гэдгийг харуулж болно. Тооцооллын хамгийн бага зөрүүг өгөгдсөн
Компьютер дээр загвартай туршилт хийхдээ хэд хэдэн цуврал туршилтын үр дүнгээс тооцоолол олдох бөгөөд цуврал бүрийн туршилтын тоо өөр байх үед ижил төстэй асуудал үүсдэг. Жишээлбэл, хоёр цуврал туршилтыг эзлэхүүнтэй хийсэн n 1Тооцооллыг олж авсан үр дүнд үндэслэн p 2 Т xi ба t x_.Математикийн хүлээлтийг тодорхойлох нарийвчлал, найдвартай байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд эдгээр цуврал туршилтуудын үр дүнг нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд (5.12) илэрхийллийг ашиглана уу.
C коэффициентийг тооцоолохдоо D вариацын оронд цуврал тус бүрийн туршилтын үр дүнгээс олж авсан тооцооллыг орлуулна.
Үүнтэй төстэй аргыг хэд хэдэн туршилтын үр дүнд үндэслэн санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тодорхойлоход ашигладаг.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд түүврийн дундажаас гадна бусад статистикийг ашиглаж болно. Эдгээр зорилгоор гишүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. вариацын цуврал, өөрөөр хэлбэл, тооцоололд үндэслэсэн дараалсан статистик,
үндсэн шаардлагыг хангах, тухайлбал тууштай байдал, шударга байдал.
Вариацын цувралыг агуулсан гэж үзье n = 2кгишүүд. Дараа нь дундаж утгуудын аль нэгийг математикийн хүлээлтийн тооцоо болгон авч болно.
Хаана к-эдундаж
Энэ нь Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын статистик медианаас өөр зүйл биш, учир нь илэрхий тэгш байдал байдаг.
Статистик медианы давуу тал нь ажиглалтын хэвийн бус үр дүнгийн нөлөөллөөс ангид байдаг бөгөөд энэ нь эхний дундаж буюу хамгийн бага, хамгийн олон тооны вариацын цувралын дундажийг ашиглахад зайлшгүй юм.
Хачирхалтай түүврийн хэмжээтэй П = 2к- 1 статистик медиан нь түүний дунд элемент, өөрөөр хэлбэл. руувариацын цувралын th гишүүн Би = x k.
Арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй тооцоолол биш тархалтууд байдаг, жишээлбэл, Лапласын тархалт. Лапласын тархалтын хувьд математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй тооцоолол нь түүврийн медиан болохыг харуулж байна.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь хэвийн тархалттай бол хангалттай том түүврийн хэмжээтэй бол статистик медианы тархалтын хууль тоон шинж чанартай хэвийн хэмжээтэй ойролцоо байдаг нь батлагдсан.
(5.11) ба (5.14) томъёог харьцуулж үзэхэд статистикийн дундажийн тархалт нь арифметик дундажийн тархалтаас 1.57 дахин их байна. Тиймээс математикийн хүлээлтийг тооцоолох арифметик дундаж нь статистик медианаас хэд дахин илүү үр дүнтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тооцооллын энгийн байдал, хэмжилтийн хэвийн бус үр дүнд үл мэдрэмтгий байдаг тул практикт статистик медианыг математикийн хүлээлтийг тооцоолоход ашигладаг.
Үргэлжилсэн тэгш хэмтэй тархалтын хувьд математикийн хүлээлт ба медиан ижил байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс статистик медиан нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт тэгш хэмтэй байх тохиолдолд л математикийн хүлээлтийн сайн тооцоолол болж чадна.
Тэгш бус тархалтын хувьд статистик медиан Биматематикийн хүлээлттэй харьцуулахад ихээхэн хазайлттай тул түүнийг үнэлэхэд тохиромжгүй.
