Хуваарилалтын хууль. Түгээлтийн полигон

Хуудас 2

Графикаар хуваарилалтын хууль дискрет утгатархалтын полигон гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр өгөгдсөн.  

Тархалтын цувралын график дүрслэлийг (5-р зургийг үз) түгээлтийн полигон гэж нэрлэдэг.  

Хуваарилалтын хуулийг тодорхойлохын тулд тасалдалтай санамсаргүй хувьсагчИхэнхдээ эгнээ (хүснэгт) болон түгээлтийн олон өнцөгтийг ашигладаг.  

Үүнийг дүрслэхийн тулд (Y Pi) (x - i Pa) цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд барьж, шугамын хэсгүүдээр холбосон. Тархалтын олон өнцөгт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын мөн чанарын ойролцоо дүрслэлийг өгдөг.  

Тодорхой болгохын тулд салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох бөгөөд үүний тулд (x/, p) цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд байгуулж, дараа нь шугамын хэсгүүдээр холбосон дүрсийг тархалтын полигон гэж нэрлэдэг.  

M (xn; pn) (hp - - боломжит утгууд Xt pi - харгалзах магадлал) ба тэдгээрийг шулуун сегментүүдээр холбоно. Үүссэн дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.  

дээр онооны нийлбэрийн магадлалын тархалтыг авч үзье шоо. Доорх зургууд нь нэг, хоёр, гурван ясны хувьд тархалтын олон өнцөгтийг харуулж байна.  

Энэ тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын олон өнцөгтийн оронд дифференциал тархалтын функц гэж нэрлэгддэг тархалтын нягтын функцийг байгуулдаг бөгөөд дифференциал тархалтын хуулийг илэрхийлдэг. Магадлалын онолд x (x Xr) санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг Al; тэг рүү чиглэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тодорхойлохдоо дифференциал функцээс гадна энгийн тархалтын функц эсвэл интеграл тархалтын хууль гэж нэрлэгддэг интеграл тархалтын функцийг ашигладаг.  

Энэхүү бүтээн байгуулалтаар интервалд унах харьцангуй давтамжууд нь харгалзах муруйн трапецын талбайнуудтай тэнцүү байхын нэгэн адил харгалзах онолын тархалт нь туршилттай тохирч байвал тэнцүү байх болно хангалттай том n-тэй, интервалын амжилттай сонголттой (YJ-I, y. Заримдаа харьцуулалтыг тодорхой болгохын тулд гистограмын баарны дээд суурийн дунд цэгүүдийг дараалан холбосноор тархалтын полигоныг байгуулдаг.  

m-д 0-ээс i хүртэлх өөр утгыг өгснөөр график дээр зурсан PQ, P RF - Pn магадлалыг олж авна. Өгөгдсөн p; z11, магадлалын тархалтын олон өнцөгтийг байгуул.  

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын харилцан хамаарал юм. Хуулийг хүснэгтээр (тархалтын цуваа), графикаар (тархалтын олон өнцөгт гэх мэт) болон аналитик байдлаар тодорхойлж болно.  

Тархалтын муруйг олох, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг өөрөө тогтоох нь өгөгдсөн тодорхой тархалтын цуваагаар бүрэн илэрхийлэгдэхээс хол байгаа үзэгдлийг илүү гүнзгий судлах боломжийг олгодог. Олдсон тэгшлэх тархалтын муруй болон хэсэгчилсэн популяциас үүсгэсэн тархалтын полигоныг хоёуланг нь зурснаар судлаач тодорхой харж чадна. шинж чанаруудсудалж буй үзэгдэлтэй холбоотой. Үүний ачаар статистик дүн шинжилгээ нь тухайн үзэгдлийн зарим байгалийн өөрчлөлтөөс ажиглагдсан өгөгдлийн хазайлтад судлаачийн анхаарлыг төвлөрүүлж, судлаач эдгээр хазайлтын шалтгааныг олж мэдэх үүрэгтэй тулгардаг.  

Дараа нь интервалуудын дундаас абсциссуудыг (масштаб дээр) зурж, энэ интервал дахь хэрэглээний саруудын тоотой тохирч байна. Эдгээр абсциссуудын төгсгөлүүд хоорондоо холбогдож, олон өнцөгт буюу түгээлтийн олон өнцөгтийг олж авдаг.  

Хэмжигдэхүүний утга - утгуудын магадлалын координатын хавтгайд салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн график дүрслэлийг өгдөг цэгүүдийг ихэвчлэн шулуун сегментээр холбодог бөгөөд үр дүнг нь гэж нэрлэдэг. геометрийн дүрстүгээлтийн полигон. Зураг дээр. 46-р хүснэгтийн 3 (мөн 4 ба 5-р зураг) тархалтын олон өнцөгтүүдийг үзүүлэв.  

Дискрет тодорхой магадлал бүхий бие даасан, тусгаарлагдсан утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

ЖИШЭЭ 1.Гурван зоос шидэх үед сүлд харагдах тоо. Боломжит утгууд: 0, 1, 2, 3, тэдгээрийн магадлал тус тус тэнцүү байна:

P(0) =; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ЖИШЭЭ 2.Таван элементээс бүрдэх төхөөрөмжийн бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо. Боломжит утгууд: 0, 1, 2, 3, 4, 5; тэдгээрийн магадлал нь элемент бүрийн найдвартай байдлаас хамаарна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтархалтын цуваа эсвэл хуваарилалтын функцээр (интеграл тархалтын хууль) өгч болно.

Түгээлтийн ойролцоо бүх боломжит утгуудын багц юм Xбиба тэдгээрийн харгалзах магадлал Рi = P(X = xби), Үүнийг хүснэгт хэлбэрээр тодорхойлж болно:

x i				x n
p i				р n

Энэ тохиолдолд магадлал Рбинөхцөлийг хангана

Рби= 1 учир нь

боломжит утгуудын тоо хаана байна nтөгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно.

Түгээлтийн цувралын график дүрслэл тархалтын полигон гэж нэрлэдэг . Үүнийг бүтээхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг ( Xби) х тэнхлэгийн дагуу зурсан ба магадлал Рби- ордны тэнхлэгийн дагуу; оноо Абикоординаттай ( Xi,рби) тасархай шугамаар холбогдсон байна.

Түгээлтийн функц санамсаргүй хувьсагч Xфункц гэж нэрлэдэг Ф(X), цэг дээр хэний үнэ цэнэ Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн болох магадлалтай тэнцүү байна Xэнэ утгаас бага байх болно X, тэр бол

F(x) = P(X< х).

Чиг үүрэг Ф(X) Учир нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнтомъёогоор тооцоолно

Ф(X) = Рби , (1.10.1)

нийлбэрийг бүх утгууд дээр хийдэг би, Үүний төлөө Xби< х.

ЖИШЭЭ 3. 100 бүтээгдэхүүн агуулсан багцаас 10 нь гэмтэлтэй, таван бүтээгдэхүүнийг санамсаргүй түүврийн аргаар сонгож чанарыг нь шалгадаг. Цуврал хуваарилалтыг бий болгох санамсаргүй тоо Xдээжинд агуулагдах гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн.

Шийдэл. Түүвэрт гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо 0-ээс 5 хүртэлх бүхэл тоо байж болох тул боломжит утгууд Xбисанамсаргүй хувьсагч Xтэнцүү байна:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Магадлал Р(X = k) дээж яг агуулж байгаа к(к = 0, 1, 2, 3, 4, 5) гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн, тэнцүү байна

P (X = k) =.

Энэ томъёог ашиглан 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоолсны үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Р 1 = П(X = 0) @ 0,583;Р 2 = П(X = 1) @ 0,340;Р 3 = П(X = 2) @ 0,070;

Р 4 = П(X = 3) @ 0,007;Р 5 = П(X= 4) @ 0;Р 6 = П(X = 5) @ 0.

Шалгахдаа тэгш байдлыг ашиглах Рк=1, бид тооцоолол, бөөрөнхийлөлт зөв хийгдсэн эсэхийг шалгана (хүснэгтийг харна уу).

x i
p i

ЖИШЭЭ 4.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа өгөгдсөн X :

x i
p i

Магадлалын тархалтын функцийг ол Ф(X) энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үүсгэн байгуул.

Шийдэл. Хэрэв XТэгвэл 10 фунт Ф(X)= П(X<X) = 0;

хэрэв 10<XТэгвэл 20 фунт Ф(X)= П(X<X) = 0,2 ;

хэрэв 20<XТэгвэл 30 фунт Ф(X)= П(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

хэрэв 30<XТэгвэл 40 фунт Ф(X)= П(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

хэрэв 40<XТэгвэл 50 фунт Ф(X)= П(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Хэрэв X> 50, тэгвэл Ф(X)= П(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Хариулт: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье Xболомжит утгуудтай. Эдгээр утга тус бүр нь боломжтой, гэхдээ тодорхой биш, үнэ цэнэ Xтус бүрийг тодорхой магадлалаар хүлээн зөвшөөрч чадна. Туршилтын үр дүнд үнэ цэнэ XЭдгээр утгуудын аль нэгийг авах болно, өөрөөр хэлбэл үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлэгт нэг нь тохиолдох болно:

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг үсгээр тэмдэглэе Рхаргалзах индексүүдтэй:

Өөрөөр хэлбэл, янз бүрийн утгуудын магадлалын тархалтыг хуваарилах хүснэгтээр тодорхойлж болох бөгөөд өгөгдсөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр авсан бүх утгыг дээд мөрөнд зааж, харгалзах утгуудын магадлалыг зааж өгсөн болно. доод мөрөнд заасан болно. Тохиромжгүй үйл явдлууд (3.1) бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэх боломжгүй, учир нь ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын тоо хязгаарлагдмал интервалд ч хязгааргүй байдаг. Түүнээс гадна ямар нэгэн тодорхой утгыг авах магадлал тэг байна. Хэрэв бид энэ тархалтыг зааж өгвөл санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын үүднээс бүрэн тайлбарлах болно, өөрөөр хэлбэл үйл явдал тус бүр ямар магадлалтай болохыг зааж өгнө. Үүгээр бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэгдэх болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог бий болгодог аливаа харилцаа юм. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн тархалтын хуульд захирагддаг гэж хэлэх болно. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлж болох хэлбэрийг тогтооцгооё X.Энэ хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг жагсаасан хүснэгт юм.

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	х 1	х 2	× × ×	p n

Бид ийм хүснэгтийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэх болно X.

Цагаан будаа. 3.1

Түгээлтийн цувралыг илүү нүдээр харуулахын тулд тэд ихэвчлэн түүний график дүрслэлд ханддаг: санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, эдгээр утгын магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурдаг. Тодорхой болгохын тулд үүссэн цэгүүдийг шулуун сегментээр холбодог. Ийм дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 3.1). Тархалтын полигон, түүнчлэн тархалтын цуваа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. энэ нь хуваарилалтын хуулийн нэг хэлбэр юм. Заримдаа түгээлтийн цувралын "механик" тайлбар нь тохиромжтой байдаг. Нэгдэлтэй тэнцүү тодорхой масс абсцисса тэнхлэгийн дагуу тархсан байна гэж төсөөлөөд үз дээ. nмасс нь тус тусын цэгүүдэд төвлөрдөг . Дараа нь тархалтын цувааг абсцисса тэнхлэгт байрлах зарим масстай материаллаг цэгүүдийн систем гэж тайлбарладаг.

Санамсаргүй хувьсагчТуршилтын үр дүнд урьдчилан мэдэгдээгүй нэг буюу өөр утгыг авч болох хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг тасархай (салангид)Тэгээд Үргэлжилсэнтөрөл. Тасралтгүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг урьдчилан жагсааж болно. Тасралтгүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг урьдчилан жагсаах боломжгүй бөгөөд тодорхой цоорхойг тасралтгүй дүүргэдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ:

1) Төрийн сүлд гурван зоос шидэх үед гарч ирэх тоо. (боломжтой утгууд 0;1;2;3)

2) Ижил туршилтаар сүлд харагдах давтамж. (боломжтой утгууд)

3) Таван элементээс бүрдэх төхөөрөмжийн бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо. (Боломжтой утга 0;1;2;3;4;5)

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ:

1) Галын үед цохилт өгөх цэгийн абсцисса (ординат).

2) Нөлөөллийн цэгээс байны төв хүртэлх зай.

3) Төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа (радио чийдэн).

Санамсаргүй хувьсагчдыг том үсгээр, боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, X нь гурван цохилттой цохилтын тоо; боломжит утгууд: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

X 1, X 2, ..., X n боломжит утгатай тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Эдгээр утга бүр нь боломжтой боловч тодорхой биш бөгөөд X утга нь тус бүрийг тодорхой магадлалтайгаар авч болно. Туршилтын үр дүнд X-ийн утга нь эдгээр утгуудын аль нэгийг авах болно, өөрөөр хэлбэл, үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийн нэг нь тохиолдох болно.

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг p үсгээр харгалзах индексээр тэмдэглэе.

Тохиромжгүй үйл явдлууд бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул

өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Энэ нийт магадлал нь хувь хүний ​​утгуудын дунд ямар нэгэн байдлаар хуваарилагдсан байдаг. Хэрэв бид энэ тархалтыг тодорхойлох юм бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын үүднээс бүрэн тайлбарлах болно, өөрөөр хэлбэл бид үйл явдал тус бүр ямар магадлалтай болохыг зааж өгнө. (Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэгддэг хуулийг бий болгоно.)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульсанамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалын хоорондох холбоог бий болгодог аливаа хамаарал юм. (Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн тархалтын хуульд захирагддаг гэж хэлэх болно)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалыг жагсаасан хүснэгт юм.

Хүснэгт 1.

X i	X 1	X 2	…	Xn
П и	P 1	P 2	…	Pn

Энэ хүснэгтийг нэрлэдэг түгээлтийн ойролцоосанамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Түгээлтийн цувааг илүү нүдээр харуулахын тулд тэд түүний график дүрслэлд ханддаг: санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, эдгээр утгын магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурдаг. (Тодорхой болгохын тулд үүссэн цэгүүдийг шулуун шугамын хэсгүүдээр холбосон.)

Зураг 1 – тархалтын полигон

Энэ дүрсийг нэрлэдэг түгээлтийн полигон. Тархалтын олон өнцөгт нь тархалтын цувралын нэгэн адил санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог; энэ нь хуваарилалтын хуулийн нэг хэлбэр юм.

Жишээ:

А үйл явдал тохиолдох эсвэл гарахгүй байж болох нэг туршилтыг хийнэ. А үйл явдлын магадлал = 0.3. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X - өгөгдсөн туршилтанд А үйл явдлын тохиолдлын тоог авч үздэг. X утгын тархалтын цуваа ба олон өнцөгтийг байгуулах шаардлагатай.

Хүснэгт 2.

X i
П и	0,7	0,3

Зураг 2 - Түгээлтийн функц

Түгээлтийн функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх нийтийн шинж чанар юм. Энэ нь бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд байдаг: тасалдалтай болон тасралтгүй. Тархалтын функц нь магадлалын үүднээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл энэ нь тархалтын хуулийн нэг хэлбэр юм.

Энэхүү магадлалын тархалтыг тоон байдлаар тодорхойлохын тулд X=x үйл явдлын магадлалыг бус харин X үйл явдлын магадлалыг ашиглах нь тохиромжтой.

F(x) түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц эсвэл хуримтлагдсан тархалтын хууль гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн шинж чанарууд

1. Тархалтын функц F(x) нь түүний аргументын буурдаггүй функц, өөрөөр хэлбэл ;

2. Хасах хязгааргүй үед:

3. Хязгааргүй дээр нэмэх нь:

Зураг 3 – тархалтын функцийн график

Түгээлтийн функцийн графикерөнхийдөө энэ нь буурахгүй функцийн график бөгөөд утгууд нь 0-ээс эхэлж 1 хүртэл байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг мэдсэнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг бүтээх боломжтой.

Жишээ:

өмнөх жишээний нөхцлийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг байгуул.

Х тархалтын функцийг байгуулъя:

Зураг 4 – тархалтын функц X

Түгээлтийн функцямар ч тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнд үргэлж тасархай алхамын функц байдаг бөгөөд түүний үсрэлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудтай тохирох цэгүүдэд тохиолддог бөгөөд эдгээр утгуудын магадлалтай тэнцүү байна. Бүх тархалтын функцийн үсрэлтүүдийн нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо нэмэгдэж, тэдгээрийн хоорондох интервал багасах тусам үсрэлтийн тоо нэмэгдэж, үсрэлт нь өөрөө багасна.

Зураг 5

Шаталсан муруй нь гөлгөр болно:

Зураг 6

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тасралтгүй утга руу аажмаар ойртож, тархалтын функц нь тасралтгүй функцэд ойртдог. Боломжит утгууд нь тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг, гэхдээ тархалтын функц нь хаа сайгүй үргэлжилдэггүй. Мөн тодорхой цэгүүдэд энэ нь эвдэрдэг. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг холимог гэж нэрлэдэг.

Зураг 7

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (товчилсон: r.v.) латин X, Y, том үсгээр тэмдэглэнэ. З,...(эсвэл Грекийн жижиг үсгүүд ξ (xi), η (eta), θ (тета), ψ (psi) гэх мэт), тэдгээрийн авсан утгууд нь харгалзах жижиг үсгээр x 1 байна , x 2 ,…, 1 цагт , 2 цагт , 3 цагт …

Жишээ-тай. В. үйлчилж болно: 1) X- үхэл шидэх үед гарч ирэх онооны тоо; 2) Y - зорилтот эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо; 3) З- төхөөрөмжийн асуудалгүй ажиллах хугацаа гэх мэт (хүний ​​өндөр, долларын ханш, багц дахь гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоо, агаарын температур, тоглогчийн ялалт, санамсаргүй байдлаар сонгосон бол цэгийн координат, компанийн ашиг, . ..).

Санамсаргүй хувьсагч XΏ w

X(w), i.e. X= X(w), wО Ώ (эсвэл X = f(w)) (31)

Жишээ 1. Туршилт нь зоосыг 2 удаа шидэхээс бүрдэнэ. PES дээр Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), энд w 1 = GG, 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, та p гэж үзэж болно. В. X- Төрийн сүлдний харагдах тоо. С.в. Xнь w i анхан шатны үйл явдлын функц юм : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. В. x 1 утгатай = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. В.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p би,Хаана би = 1,2,3, ...,n,… .

Хуваарилалтын хууль d.s. В. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

-тай. В. X x би. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
П	х 1	p2	….	p n	…

Үйл явдлуудаас хойш (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), өөрөөр хэлбэл. .

(x 1 , х 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n, p n) гэж нэрлэдэг олон өнцөгт(эсвэл олон өнцөгт) тархалт(17-р зургийг үз).

Санамсаргүй утга X нь салангид,Х 1 тоонуудын төгсгөлтэй эсвэл тоолж болох олонлог байгаа бол , x 2 , ..., x n ийм байна P(X = x i ) = p i > 0 (би = 1,2,...) х 1 + p2 + х 3 +…= 1 (32)

Дүн d.s. В. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авна. В. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. В. Z = X + Y, p ij = P( X = x i,Y = y j) магадлал бүхий z ij = x i + y j утгыг авч, заасан бүх утгуудын хувьд биболон j. Зарим x i + y j нийлбэрүүд давхцвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

Ялгаагаар d.s. В. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авна. В. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. В. Z = X - Y, бүх заасан утгуудын хувьд p ij = P ( X = x i ,Y = y j ) магадлал бүхий z ij = x i – y j утгуудыг авч байна. биболон j. Хэрэв x i – y j зарим ялгаа давхцвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

Ажил d.s. В. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, d.s магадлал бүхий x i утгыг авна. В. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m магадлал бүхий y j утгыг авахыг d.s гэнэ. В. Z = X × Y, p ij = P( X = x i,Y = y j) магадлал бүхий z ij = x i × y j утгыг авч, заасан бүх утгуудын хувьд биболон j. Зарим бүтээгдэхүүн x i × y j давхцаж байвал харгалзах магадлалыг нэмнэ.

d.s. В. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X ба Y үйл явдлууд (X = x i) = A i ба (Y = y j) = B j нь дурын i= 1,2,...,n-д хамааралгүй; j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Жишээ 2.Цүнхэнд 8 бөмбөг байгаагийн 5 нь цагаан, үлдсэн нь хар. Үүнээс санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авна. Дээж дэх цагаан бөмбөлгийн тооны тархалтын хуулийг ол.