Тоон шинж чанаруудын дунд санамсаргүй хэмжигдэхүүнЮуны өмнө тоон тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалыг тодорхойлдог зүйлийг тэмдэглэх нь зүйтэй. санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг бүлэглэсэн дундаж, ойролцоо утгыг заана.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний "төлөөлөгч" болох тодорхой тоо бөгөөд үүнийг ойролцоогоор тооцоололд орлуулдаг. Бид: "Дэнлүүний ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг" эсвэл "нөлөөллийн дундаж цэг нь зорилтот түвшинд харьцангуй баруун тийш 2 м-ээр шилжсэн" гэж хэлэхэд бид түүний байршлыг тодорхойлдог санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой тоон шинж чанарыг харуулж байна. тоон тэнхлэг дээр, i.e. "албан тушаалын шинж чанар".
Магадлалын онол дахь байрлалын шинж чанараас чухал үүрэгсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг.
Магадлал бүхий боломжит утгатай салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Эдгээр утгууд өөр өөр магадлалтай байдгийг харгалзан бид x тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байрлалыг тодорхой тоогоор тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд утгуудын "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглах нь зүйн хэрэг бөгөөд дундажлах явцад тус бүрийг энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ээр тооцох ёстой. Тиймээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолох бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
эсвэл үүнийг харгалзан үзвэл,
. (5.6.1)
Энэхүү жигнэсэн дундажийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох үзэл баримтлалыг авч үзсэн математикийн хүлээлт.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.
Дээрх томъёололд математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт нь зөвхөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу; Доор бид энэ ойлголтыг тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ерөнхийд нь тайлбарлах болно.
Математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг илүү тодорхой болгохын тулд салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбар руу хандъя. Абсцисса тэнхлэг дээр массууд нь тус тус төвлөрч буй абсциссатай цэгүүд байг. Дараа нь (5.6.1) томъёогоор тодорхойлсон математикийн хүлээлт нь тухайн материаллаг цэгийн системийн хүндийн төвийн абсциссаас өөр зүйл биш нь ойлгомжтой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь олон тооны туршилтын явцад санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай өвөрмөц хамаарлаар холбогддог. Энэ хамаарал нь давтамж ба магадлалын хамааралтай ижил төрлийн, тухайлбал: олон тооны туршилтуудын тусламжтайгаар санамсаргүй хувьсагчийн ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд ойртдог (магадлалд нийлдэг). Давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлаас харахад арифметик дундаж ба математикийн хүлээлт хоёрын хооронд ижил төстэй хамаарал байгаа эсэхийг дүгнэж болно.
Үнэн хэрэгтээ, тархалтын цуваагаар тодорхойлогддог салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье.
Хаана 
.
Хэмжигдэхүүн нь тодорхой утгыг авдаг бие даасан туршилтуудыг явуулъя. Утга нь нэг удаа гарч ирсэн, утга нь нэг удаа гарч ирсэн, утга нь нэг удаа гарч ирсэн гэж бодъё. Мэдээжийн хэрэг,
Ажигласан хэмжигдэхүүний арифметик дундажийг тооцоолъё, энэ нь математикийн хүлээлтээс ялгаатай нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
Гэхдээ үйл явдлын давтамж (эсвэл статистик магадлал) -аас өөр зүйл байхгүй; энэ давтамжийг тодорхойлж болно. Дараа нь
,
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба эдгээр утгуудын давтамжийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр давтамж нь харгалзах магадлалд ойртох (магадлалд нийлэх). Тиймээс туршилтын тоо нэмэгдэх тусам санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математикийн хүлээлтэд ойртох болно (магадлалд нийлнэ).
Дээр томъёолсон арифметик дундаж ба математикийн хүлээлтийн хоорондын холбоо нь хуулийн нэг хэлбэрийн агуулгыг бүрдүүлдэг. их тоо. Бид энэ хуулийн хатуу нотолгоог 13-р бүлэгт өгөх болно.
Олон тооны туршилтын явцад зарим дундаж үзүүлэлтүүд тогтвортой байдгийг олон тооны хуулийн бүх хэлбэрүүд илэрхийлдэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энд бид ижил хэмжигдэхүүний хэд хэдэн ажиглалтын арифметик дундажийн тогтвортой байдлын тухай ярьж байна. Цөөн тооны туршилтаар тэдгээрийн үр дүнгийн арифметик дундаж нь санамсаргүй байдаг; Туршилтын тоо хангалттай нэмэгдэх тусам энэ нь "бараг санамсаргүй" болж, тогтворжиж, тогтмол утга болох математикийн хүлээлт рүү ойртдог.
Олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдлыг туршилтаар хялбархан шалгаж болно. Жишээлбэл, биеийг лабораторид нарийн жингийн дагуу жинлэхдээ жинлэх бүрт бид шинэ утгыг олж авдаг; Ажиглалтын алдааг багасгахын тулд бид биеийг хэд хэдэн удаа жинлэж, олж авсан утгуудын арифметик дундажийг ашиглана. Туршилтын тоо (жинлэх) цаашид нэмэгдэх тусам арифметик дундаж нь энэ өсөлтөд бага багаар хариу үйлдэл үзүүлж, хангалттай олон тооны туршилт хийснээр бараг өөрчлөгдөхөө больсон гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Математикийн хүлээлтийн томъёо (5.6.1) нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна. Учир нь тасралтгүй утгаМэдээжийн хэрэг математикийн хүлээлт нь нийлбэр биш, харин интеграл хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.
, (5.6.2)
хэмжигдэхүүний тархалтын нягт хаана байна .
Томъёо (5.6.2)-ыг (5.6.1) томъёоноос олж авна, хэрэв үүн дэх бие даасан утгууд нь тасралтгүй өөрчлөгдөж буй х параметрээр, харгалзах магадлалыг магадлалын элементээр, эцсийн нийлбэрийг интегралаар сольсон бол. Ирээдүйд бид тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тасархай хэмжигдэхүүнүүдийн томъёог өргөтгөх энэ аргыг ихэвчлэн ашиглах болно.
Механик тайлбарт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь ижил утгыг хадгалдаг - масс нь абсцисса дагуу тасралтгүй, нягтаршилтай тархсан тохиолдолд хүндийн төвийн абсцисса . Энэхүү тайлбар нь интегралыг (5.6.2) тооцоолохгүйгээр энгийн механик үндэслэлээс математикийн хүлээлтийг олох боломжийг олгодог.
Дээр бид хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тэмдэглэгээг оруулсан. Хэд хэдэн тохиолдолд томьёог тодорхой тоогоор оруулсан бол үүнийг нэг үсгээр тэмдэглэх нь илүү тохиромжтой. Эдгээр тохиолдолд бид утгын математик хүлээлтийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
Тэмдэглэгээ болон математикийн хүлээлтийг томъёоны тодорхой бичлэгийн тохиромжтой байдлаас хамааран ирээдүйд зэрэгцүүлэн ашиглах болно. Шаардлагатай бол "математикийн хүлээлт" гэсэн үгийг m.o үсгээр товчлохыг зөвшөөрье.
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй хамгийн чухал шинж чанарзаалтууд - математикийн хүлээлт - бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд байдаггүй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интеграл нь зөрүүтэй байдаг тул математикийн хүлээлт байхгүй ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг зохиож болно.
Жишээлбэл, тархалтын цуваа бүхий тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье.
Үүнийг шалгахад хялбар, өөрөөр хэлбэл. түгээлтийн цуврал нь утга учиртай; гэсэн хэдий ч хэмжээ энэ тохиолдолдзөрүүтэй тул үнэ цэнийн математикийн хүлээлт байхгүй. Гэсэн хэдий ч ийм тохиолдлууд практикт тийм ч сонирхолтой биш юм. Ихэвчлэн бидний харьцдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал талбайтай байдаг боломжит утгуудмөн мэдээж математикийн хүлээлттэй.
Дээр бид (5.6.1) ба (5.6.2) томъёог өгсөн бөгөөд энэ нь тасалдалтай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийг илэрхийлдэг.
Хэрэв хэмжигдэхүүн нь холимог төрлийн хэмжигдэхүүнд хамаарах бол түүний математик хүлээлтийг дараах хэлбэрийн томъёогоор илэрхийлнэ.
, (5.6.3)
Энд нийлбэр нь тархалтын функц нь тасалдсан бүх цэгүүдэд, интеграл нь тархалтын функц тасралтгүй байх бүх талбарт хүрдэг.
Албан тушаалын хамгийн чухал шинж чанар болох математикийн хүлээлтээс гадна практикт тухайн албан тушаалын бусад шинж чанарууд, тухайлбал санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медианыг заримдаа ашигладаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. "Хамгийн их магадлалтай үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн тасархай хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарна; Тасралтгүй хэмжигдэхүүний хувьд горим нь магадлалын нягт хамгийн их байх утга юм. Горимыг үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрье. Зураг дээр. 5.6.1 ба 5.6.2-д тасархай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн горимыг тус тус үзүүлэв.
Хэрэв тархалтын полигон (тархалтын муруй) нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг "олон талт" гэж нэрлэдэг (Зураг 5.6.3 ба 5.6.4).
Заримдаа хамгийн их биш харин дунд нь хамгийн бага байдаг хуваарилалтууд байдаг (Зураг 5.6.5 ба 5.6.6). Ийм хуваарилалтыг "антимодаль" гэж нэрлэдэг. Антимодаль тархалтын жишээ бол жишээ 5, n° 5.1-ээс олж авсан тархалт юм.
IN ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Тухайн тохиолдолд тархалт нь тэгш хэмтэй ба модаль (жишээ нь горимтой) бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд энэ нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Өөр нэг байрлалын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан гэж нэрлэгддэг. Энэ шинж чанарыг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг боловч тасархай хувьсагчийн хувьд албан ёсоор тодорхойлж болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан нь түүний утга юм
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ээс бага эсвэл их байх магадлалтай. Геометрийн хувьд медиан нь тархалтын муруйгаар хязгаарлагдсан талбайг хагасаар хуваасан цэгийн абсцисса юм (Зураг 5.6.7).
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ. Математикийн хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, хязгаарлагдмал тооны утгыг авч байна Xбимагадлал бүхий Рби, хэмжээг дараах байдлаар нэрлэнэ.
Математикийн хүлээлттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xутгуудын үржвэрийн интеграл гэж нэрлэдэг Xмагадлалын тархалтын нягт дээр е(x):
(6б)
Буруу интеграл (6 б) нь туйлын нийлдэг гэж үздэг (өөрөөр хэлбэл тэд математикийн хүлээлт гэж хэлдэг. М(X) байдаггүй). Математикийн хүлээлтийг тодорхойлдог дундаж утгасанамсаргүй хувьсагч X. Түүний хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцдаг.
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:
Тархалт. Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч Xдугаар гэж нэрлэдэг:
Зөрчил нь тараах шинж чанарсанамсаргүй хувьсагчийн утгууд Xтүүний дундаж утгатай харьцуулахад М(X). Вариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хэмжээтэй тэнцүү байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс (8) ба математикийн хүлээлт (5) ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд (6) гэсэн тодорхойлолтууд дээр үндэслэн бид дисперсийн ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг олж авна.
(9)
Энд м = М(X).
Тархалтын шинж чанарууд:
Стандарт хэлбэлзэл:
(11)
Дундаж хэмжигдэхүүнээс хойш квадрат хазайлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй адил бөгөөд энэ нь дисперсээс илүү тархалтын хэмжүүр болгон ихэвчлэн ашиглагддаг.
Түгээлтийн мөчүүд. Математикийн хүлээлт ба тархалтын тухай ойлголтууд нь илүү олон зүйлийн онцгой тохиолдол юм ерөнхий ойлголтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын хувьд - түгээлтийн мөчүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын моментуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим энгийн функцүүдийн математик хүлээлт болгон танилцуулсан. Тиймээс, захиалгын мөч кцэгтэй харьцуулахад X 0-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг М(X–X 0 )к. Гарал үүслийн талаархи мөчүүд X= 0 гэж нэрлэдэг анхны мөчүүдболон дараахыг тодорхойлсон:
(12)
Эхний эрэмбийн эхний момент нь авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв юм.
(13)
Түгээлтийн төвийн тухай мөчүүд X= мгэж нэрлэдэг төв цэгүүдболон дараахыг тодорхойлсон:
(14)
(7)-аас харахад нэгдүгээр зэрэглэлийн төв момент үргэлж тэгтэй тэнцүү байна.
Тогтмол утгаар шилжсэнээс хойш төв моментууд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын гарал үүслээс хамаардаггүй. ХАМТтүүний түгээлтийн төв нь ижил утгаараа шилждэг ХАМТ, мөн төвөөс хазайлт өөрчлөгдөхгүй: X – м = (X – ХАМТ) – (м – ХАМТ).
Одоо энэ нь тодорхой боллоо тархалт- Энэ хоёр дахь захиалгын төв мөч:
Тэгш бус байдал. Төв мөчГурав дахь дараалал:
(17)
үнэлгээ хийх үүрэгтэй хуваарилалтын тэгш бус байдал. Хэрэв тархалт нь цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байвал X= м, дараа нь гуравдахь эрэмбийн төв мөч нь тэгтэй тэнцүү байх болно (сондгой эрэмбийн бүх төв мөчүүд шиг). Тиймээс, хэрэв гурав дахь эрэмбийн төв момент тэгээс ялгаатай бол тархалт нь тэгш хэмтэй байж чадахгүй. Тэгш бус байдлын хэмжээг хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн ашиглан үнэлдэг тэгш бус байдлын коэффициент:
(18)
Тэгш бус байдлын коэффициент (18) тэмдэг нь баруун эсвэл зүүн талын тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг (Зураг 2).
Цагаан будаа. 2. Түгээлтийн тэгш бус байдлын төрлүүд.
Илүүдэл. Дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч:
(19)
гэж нэрлэгддэгийг үнэлэхэд үйлчилдэг илүүдэл, энэ нь муруйтай харьцуулахад тархалтын төвийн ойролцоо тархалтын муруйн эгц (цовой) зэргийг тодорхойлдог. хэвийн тархалт. Хэвийн тархалтын хувьд куртоз гэж авсан утга нь:
(20)
Зураг дээр. Зураг 3-т өөр өөр куртозын утгатай тархалтын муруйнуудын жишээг үзүүлэв. Хэвийн хуваарилалтын хувьд Э= 0. Ердийнхөөс илүү шовх муруй нь эерэг, хавтгай оройтой нь сөрөг муруйтай байна.
Цагаан будаа. 3. Янз бүрийн түвшний эгц (куртоз) бүхий тархалтын муруй.
Инженерийн хэрэглээний өндөр эрэмбийн моментууд математик статистикихэвчлэн ашигладаггүй.
Загвар
салангидсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. Загвар Үргэлжилсэнсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын нягт хамгийн их байх үед түүний утга юм (Зураг 2). Хэрэв тархалтын муруй хамгийн ихдээ нэг байвал тархалтыг дуудна нэг загвартай. Хэрэв тархалтын муруй нь нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг дуудна multimodal. Заримдаа муруй нь хамгийн их биш харин хамгийн багатай тархалт байдаг. Ийм хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг эсрэг горим. Ерөнхий тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Онцгой тохиолдолд, төлөө модаль, өөрөөр хэлбэл горимтой, тэгш хэмтэй тархалттай бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд сүүлийнх нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Медиан санамсаргүй хувьсагч X- энэ бол түүний утга юм Meh, тэгш байдал хангагдсан: i.e. санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалтай Xбага эсвэл илүү байх болно Meh. Геометрийн хувьд дундажнь тархалтын муруйн доорх талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм (Зураг 2). Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан, горим, математикийн хүлээлт ижил байна.
Загвар- хамгийн их тохиолддог ажиглалтын багц дахь утга
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
энд X Mo нь модалын интервалын зүүн хил, h Mo нь модалын интервалын урт, f Mo-1 нь премодалийн интервалын давтамж, f Mo нь модаль интервалын давтамж, f Mo+1 Постмодалийн интервалын давтамж.
Үнэмлэхүй тасралтгүй тархалтын горим нь дурын цэг юм орон нутгийн дээд хэмжээтүгээлтийн нягтрал. Учир нь салангид хуваарилалтгорим нь p i нь хөрш зэргэлдээх утгуудын магадлалаас их байх магадлал нь a i ямар ч утга гэж тооцогддог.
Медиантасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бага эсвэл их байх магадлал ижил байх түүний утгыг Me гэж нэрлэдэг Meh, өөрөөр хэлбэл
M e =(n+1)/2 P(X < Би) = P (X > Meh)
Нэг жигд тархсан NSV
Нэг төрлийн хуваарилалт.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтын функц (Зураг 1.6) бол сегмент дээр жигд тархсан гэж нэрлэдэг () А) дараах хэлбэртэй байна.
Тэмдэглэл: – SW нь .
Үүний дагуу сегмент дэх тархалтын функц (Зураг 1.6, б):
Цагаан будаа. 1.6. [-д жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцууд а,б]: А- магадлалын нягтралууд е(x); б- хуваарилалт Ф(x)
Өгөгдсөн SV-ийн математикийн хүлээлт ба тархалтыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.
Нягтын функцийн тэгш хэмийн улмаас энэ нь медиантай давхцдаг. Модууд жигд хуваарилалтбайхгүй
Жишээ 4. Утасны дуудлагад хариу өгөхийг хүлээх хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарна нэгдсэн хууль 0-ээс 2 минутын хооронд хуваарилалт. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний интеграл ба дифференциал тархалтын функцийг ол.
27.Магадлалын тархалтын ердийн хууль
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн x нь параметртэй хэвийн тархалттай байна: m,s > 0, хэрэв магадлалын тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал:
Үүнд: m – математикийн хүлээлт, s – стандарт хазайлт.
Ердийн тархалтыг Германы математикч Гауссын нэрээр Гаусс гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь m параметртэй хэвийн тархалттай болохыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: N (m,s), Үүнд: m=a=M[X];
Томьёонд математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг А . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн N(0,1) хуулийн дагуу тархсан бол түүнийг нормчлогдсон буюу стандартчилагдсан хэвийн хэмжигдэхүүн гэнэ. Түүний хуваарилах функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Нормаль муруй буюу Гауссын муруй гэж нэрлэгддэг хэвийн тархалтын нягтын графикийг 5.4-р зурагт үзүүлэв.
Цагаан будаа. 5.4. Хэвийн тархалтын нягт
шинж чанаруудхэвийн тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
1. Хэрэв бол энэ утга өгөгдсөн интервалд орох магадлалыг олох ( x 1; x 2) томъёог ашигласан:
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх нь утгаас хэтрэхгүй байх магадлал (үнэмлэхүй утгаараа) тэнцүү байна.
Хичээлийн зорилго: оюутнуудад тооны олонлогийн медианы талаархи ойлголт, энгийн тоон олонлогийн хувьд тооцоолох чадварыг бий болгох, тоонуудын арифметик дундажийн тухай ойлголтыг нэгтгэх.
Хичээлийн төрөл: шинэ материалын тайлбар.
Тоног төхөөрөмж: самбар, сурах бичиг хэвлэл. Ю.Н.Тюрина “Магадлалын онол ба статистик”, проектор бүхий компьютер.
Хичээлийн үеэр
1. Зохион байгуулалтын мөч.
Хичээлийн сэдвийг мэдээлж, зорилгоо томъёол.
2. Өмнөх мэдлэгээ шинэчлэх.
Оюутнуудад зориулсан асуултууд:
- Олон тооны тооны арифметик дундаж нь хэд вэ?
- Олон тооны тоон дотор арифметик дундаж хаана байрладаг вэ?
- Тоонуудын арифметик дундажийг юу тодорхойлдог вэ?
- Олон тооны тооны арифметик дундажийг хаана ихэвчлэн ашигладаг вэ?
Аман даалгавар:
Олон тооны тооны арифметик дундажийг ол:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Шалгалт гэрийн даалгаварпроектор ашиглах ( Хавсралт 1):
Сурах бичиг: №12 (б, г), №18 (в, г)
3. Шинэ материалыг судлах.
Өмнөх хичээлээр бид тоонуудын арифметик дундаж гэх мэт статистик үзүүлэлттэй танилцсан. Өнөөдөр бид өөр нэг статистик үзүүлэлт болох медиан дээр хичээлээ зориулах болно.
Зөвхөн арифметик дундаж нь тоон шулуун дээр аль ч олонлогийн тоо хаана байрлаж, төв нь хаана байгааг харуулдаггүй. Өөр нэг үзүүлэлт бол медиан юм.
Тоонуудын олонлогийн медиан нь олонлогийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах тоо юм. Та "дунд"-ын оронд "дунд" гэж хэлж болно.
Эхлээд медианыг хэрхэн олох жишээг авч үзье, дараа нь хатуу тодорхойлолт өгье.
Проектор ашиглан дараах аман жишээг авч үзье ( Хавсралт 2)
Төгсгөлд нь хичээлийн жил 7-р ангийн 11 сурагч 100 метрийн гүйлтийн стандартад тэнцлээ. Дараах үр дүнг тэмдэглэв.
Залуус хол зайд гүйсний дараа Петя багш руу ойртож, түүний үр дүн юу болохыг асуув.
"Ихэнх дундаж үр дүн: 16.9 секунд" гэж багш хариулав
"Яагаад?" - Петя гайхав. - Эцсийн эцэст, бүх үр дүнгийн арифметик дундаж нь ойролцоогоор 18.3 секунд бөгөөд би секундээс илүү сайн гүйсэн. Ерөнхийдөө Катягийн үр дүн (18.4) минийхээс илүү дундажтай ойролцоо байна."
“Таны үр дүн дундаж байна, учир нь таван хүн чамаас илүү, тав нь муу. Та яг голд нь байгаа гэсэн үг” гэж багш хэлэв. [2]
Тоонуудын медианыг олох алгоритмыг бичнэ үү.
- Тооны багцыг цэгцлэх (эргүүлсэн цуврал гаргах).
- Үүний зэрэгцээ нэг буюу хоёр тоо үлдэх хүртэл өгөгдсөн тооны "хамгийн том" ба "хамгийн бага" тоог хайчилж ав.
- Хэрэв нэг тоо үлдсэн бол энэ нь медиан болно.
- Хэрэв хоёр тоо үлдсэн бол медиан нь үлдсэн хоёр тооны арифметик дундаж болно.
Суралцагчдыг тооны багцын медиануудын тодорхойлолтыг бие даан томьёолоод дараа нь сурах бичиг (х. 50) дээрх медиануудын хоёр тодорхойлолтыг уншаад, сурах бичгийн 4, 5-р жишээг харна уу (х. 50-52)
Сэтгэгдэл:
Оюутнуудын анхаарлыг нэг чухал баримтад хандуулаарай: медиан нь олон тооны хувийн хэт утгын мэдэгдэхүйц хазайлтад бараг мэдрэмтгий байдаггүй. Статистикийн хувьд энэ шинж чанарыг тогтвортой байдал гэж нэрлэдэг. Статистик үзүүлэлтийн тогтвортой байдал маш их чухал өмч, энэ нь биднийг санамсаргүй алдаа болон хувь хүний найдваргүй өгөгдлөөс хамгаалдаг.
4. Судалсан материалыг нэгтгэх.
"Медиан" 11-р догол мөрний сурах бичгийн тоонуудыг шийдвэрлэх.
Тоонуудын багц: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Тоонуудын багц: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Тоонуудын багц: 3,4,11,17,21
б) Тоонуудын багц: 17,18,19,25,28
в) Тоонуудын багц: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Дүгнэлт: сондгой тооны гишүүдээс бүрдэх тооны багцын медиан нь дунд байгаа тоотой тэнцүү байна.
a) Тоонуудын багц: 2, 4, 8 , 9.
Би = (4+8):2=12:2=6
б) Тоонуудын багц: 1,3, 5,7 ,8,9.
Би = (5+7):2=12:2=6
Тэгш тооны гишүүнтэй тооны багцын медиан нь дунд байгаа хоёр тооны нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Оюутан улирлын туршид алгебрийн хичээлээр дараах үнэлгээг авсан.
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Энэ олонлогийн дундаж ба медианыг ол. [3]
2,4,4,4,5,5,5,5,5,5 гэсэн тооны багцыг эрэмбэлье.
Зөвхөн 10 тоо байгаа бөгөөд медианыг олохын тулд дундах хоёр тоог аваад хагас нийлбэрийг олох хэрэгтэй.
Би = (5+5):2 = 5
Оюутнуудад зориулсан асуулт: Хэрэв та багш байсан бол энэ сурагчид улирлын хэдэн үнэлгээ өгөх байсан бэ? Хариултаа зөвтгөөрэй.
Компанийн ерөнхийлөгч 300 мянган рублийн цалин авдаг. түүний гурван орлогч тус бүр 150,000 рубль, дөчин ажилтан тус бүр 50,000 рубль авдаг. мөн цэвэрлэгч эмэгтэйн цалин 10,000 рубль байна. Компанийн цалингийн арифметик дундаж ба медианыг ол. Эдгээр шинж чанаруудын алийг нь ерөнхийлөгч сурталчилгааны зорилгоор ашиглах нь илүү ашигтай вэ?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (ур.)
Даалгавар 3. (Оюутнуудыг өөрсдөө шийдэхийг урьж, проектор ашиглан асуудлыг төлөвлөх)
Хүснэгтэд Оросын хамгийн том нуур, усан сангуудын усны ойролцоогоор хэмжээг куб метрээр харуулав. км. (Хавсралт 3) [ 4 ]
A) Эдгээр усан сан дахь усны дундаж эзэлхүүнийг ол (арифметик дундаж);
B) Усан сангийн дундаж хэмжээн дэх усны эзэлхүүнийг олох (өгөгдлийн медиан);
А) Таны бодлоор эдгээр шинж чанаруудын аль нь - арифметик дундаж эсвэл медиан нь Оросын ердийн том усан сангийн эзэлхүүнийг илүү сайн тодорхойлдог вэ? Хариултаа тайлбарлана уу.
a) 2459 шоо метр км
б) 60 куб. км
в) Дундаж, учир нь өгөгдөл нь бусад бүхнээс эрс ялгаатай утгуудыг агуулдаг.
Даалгавар 4. Амаар.
A) Хэрэв олонлогийн ес дэх гишүүн нь медиан бол хэдэн тоо байх вэ?
B) Хэрэв олонлогийн медиан нь 7 ба 8-р гишүүний арифметик дундаж бол олон тоо хэд байх вэ?
C) Долоон тооны олонлогт хамгийн их тоо 14-өөр нэмэгдэнэ. Энэ нь арифметик дундаж болон медианыг өөрчлөх үү?
D) Олонлогийн тоо бүр 3-аар нэмэгдэнэ. Арифметик дундаж ба медиан нь юу болох вэ?
Дэлгүүрт байгаа амттанг жингээр нь зардаг. Нэг кг-д хэдэн чихэр агуулагддагийг мэдэхийн тулд Маша нэг чихрийн жинг олохоор шийджээ. Тэрээр хэд хэдэн чихэр жигнэж үзээд дараах үр дүнд хүрсэн байна.
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Хоёр шинж чанар нь нэг чихрийн жинг тооцоолоход тохиромжтой, учир нь тэд бие биенээсээ тийм ч их ялгаатай биш юм.
Тиймээс статистик мэдээллийг тодорхойлохын тулд арифметик дундаж ба медианыг ашигладаг. Ихэнх тохиолдолд шинж чанаруудын аль нэг нь ямар ч утга учиргүй байж болно (жишээлбэл, зам тээврийн ослын тухай мэдээлэлтэй бол эдгээр өгөгдлийн арифметик дундажийн талаар ярих нь утгагүй юм).
- Гэрийн даалгавар: 11-р догол мөр, No3,4,9,11.
- Хичээлийн хураангуй. Тусгал.
Уран зохиол:
- Ю.Н. Тюрин нар "Магадлалын онол ба статистик", "МТсНМО" хэвлэлийн газар, "Москвагийн сурах бичиг" ХК, Москва 2008 он.
- Э.А. Бунимович, В.А. Булычев "Статистикийн үндэс ба магадлал", DROFA, Москва 2004 он.
- “Математик” сонины 2007 оны No23.
- Демо хувилбар туршилтын ажилмагадлалын онол, статистикийн чиглэлээр 7-р ангийн 2007/2008 оны хичээлийн жилд. жил.
