Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ. Математикийн хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, хязгаарлагдмал тооны утгыг авч байна Xбимагадлал бүхий Рби, хэмжээг дараах байдлаар нэрлэдэг.
Математикийн хүлээлттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xутгуудын үржвэрийн интеграл гэж нэрлэдэг Xмагадлалын тархалтын нягт дээр е(x):
(6б)
Буруу интеграл (6 б) нь туйлын нийлдэг гэж үздэг (өөрөөр хэлбэл тэгж хэлнэ). хүлээгдэж буй үнэ цэнэ М(X) байдаггүй). Математикийн хүлээлтийг тодорхойлдог дундаж утгасанамсаргүй хувьсагч X. Түүний хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцдаг.
Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:
Тархалт. Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч Xдугаар гэж нэрлэдэг:
Зөрчил нь тараах шинж чанарсанамсаргүй хувьсагчийн утгууд Xтүүний дундаж утгатай харьцуулахад М(X). Вариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хэмжээтэй тэнцүү байна. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс (8) ба математикийн хүлээлт (5) ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд (6) гэсэн тодорхойлолтод үндэслэн бид дисперсийн ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг олж авна.
(9)
Энд м = М(X).
Тархалтын шинж чанарууд:
Стандарт хэлбэлзэл:
(11)
Дундаж хэмжигдэхүүнээс хойш квадрат хазайлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй адил бөгөөд энэ нь дисперсээс илүү тархалтын хэмжүүр болгон ихэвчлэн ашиглагддаг.
Түгээлтийн мөчүүд. Математикийн хүлээлт ба тархалтын тухай ойлголтууд нь илүү онцгой тохиолдол юм ерөнхий ойлголттоон шинж чанарын хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн – түгээлтийн мөчүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын моментуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим энгийн функцүүдийн математик хүлээлт болгон танилцуулж байна. Тиймээс, захиалгын мөч кцэгтэй харьцуулахад X 0-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг М(X–X 0 )к. Гарал үүслийн талаархи мөчүүд X= 0 гэж нэрлэдэг анхны мөчүүдболон дараахыг тодорхойлсон:
(12)
Эхний эрэмбийн эхний момент нь авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв юм.
(13)
Түгээлтийн төвийн тухай мөчүүд X= мгэж нэрлэдэг төв цэгүүдболон дараахыг тодорхойлсон:
(14)
(7)-аас харахад нэгдүгээр зэрэглэлийн төв момент үргэлж тэгтэй тэнцүү байна.
Тогтмол утгаар шилжсэнээс хойш төв моментууд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын гарал үүслээс хамаардаггүй. ХАМТтүүний түгээлтийн төв ижил утгаар шилждэг ХАМТ, мөн төвөөс хазайлт өөрчлөгдөхгүй: X – м = (X – ХАМТ) – (м – ХАМТ).
Одоо энэ нь тодорхой боллоо тархалт- Энэ хоёр дахь захиалгын төв мөч:
Тэгш бус байдал. Гурав дахь захиалгын төв мөч:
(17)
үнэлгээ хийх үүрэгтэй түгээлтийн тэгш бус байдал. Хэрэв тархалт нь цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байвал X= м, дараа нь гурав дахь эрэмбийн төв мөч нь тэгтэй тэнцүү байх болно (сондгой эрэмбийн бүх төв мөчүүд шиг). Тиймээс, хэрэв гурав дахь эрэмбийн төв момент тэгээс ялгаатай бол тархалт нь тэгш хэмтэй байж чадахгүй. Тэгш бус байдлын хэмжээг хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн ашиглан үнэлдэг тэгш бус байдлын коэффициент:
(18)
Тэгш бус байдлын коэффициент (18) тэмдэг нь баруун эсвэл зүүн талын тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг (Зураг 2).
Цагаан будаа. 2. Түгээлтийн тэгш бус байдлын төрлүүд.
Илүүдэл. Дөрөв дэх эрэмбийн төв мөч:
(19)
гэж нэрлэгддэгийг үнэлэхэд үйлчилдэг илүүдэл, энэ нь муруйтай харьцуулахад тархалтын төвийн ойролцоо тархалтын муруйн эгц (цовой) зэргийг тодорхойлдог. хэвийн тархалт. Хэвийн тархалтын хувьд куртоз гэж авсан утга нь:
(20)
Зураг дээр. Зураг 3-т өөр өөр куртозын утгатай тархалтын муруйн жишээг үзүүлэв. Хэвийн хуваарилалтын хувьд Э= 0. Ердийнхөөс илүү үзүүртэй муруй нь эерэг, хавтгай оройтой нь сөрөг муруйтай байна.
Цагаан будаа. 3. Түгээлтийн муруй нь янз бүрийн зэрэгсэрүүн байдал (илүүдэл).
Инженерийн хэрэглээний өндөр эрэмбийн моментууд математик статистикихэвчлэн ашигладаггүй.
Загвар
салангидсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. Загвар Үргэлжилсэнсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын нягт хамгийн их байх үед түүний утга юм (Зураг 2). Хэрэв тархалтын муруй хамгийн ихдээ нэг байвал тархалтыг дуудна нэг загвартай. Хэрэв тархалтын муруй нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг дуудна multimodal. Заримдаа муруй нь хамгийн их биш харин хамгийн багатай тархалтууд байдаг. Ийм хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг эсрэг горим. IN ерөнхий тохиолдолсанамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Онцгой тохиолдолд, төлөө модаль, өөрөөр хэлбэл горимтой, тэгш хэмтэй тархалттай бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд сүүлийнх нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Медиан санамсаргүй хувьсагч X- энэ бол түүний утга юм Meh, тэгш байдал хангагдсан: i.e. санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалтай Xбага эсвэл илүү байх болно Meh. Геометрийн хувьд дундажнь тархалтын муруйн доорх талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм (Зураг 2). Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан, горим, математикийн хүлээлт ижил байна.
Математикийн хүлээлт, тархалтаас гадна магадлалын онол нь тархалтын тодорхой шинж чанарыг тусгасан хэд хэдэн тоон шинж чанарыг ашигладаг.
Тодорхойлолт. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний Mo(X) горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм(түүний магадлал r gэсвэл магадлалын нягт
Хэрэв магадлал эсвэл магадлалын нягтрал нэг биш, хэд хэдэн цэг дээр хамгийн ихдээ хүрвэл тархалтыг гэнэ. multimodal(Зураг 3.13).
Загвар Хөвд),ямар магадлалтайгаар R (эсвэл магадлалын нягтрал (p(x) дэлхийн максимумд хүрнэ) гэж нэрлэдэг хамгийн их магадлалтай утгатайсанамсаргүй хэмжигдэхүүн (3.13-р зурагт энэ нь Mo(X) 2).
Тодорхойлолт. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн медиан Ме(Х) нь түүний утга юм, Үүний төлөө
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xдундаж утгаас бага утгыг авна Үслэг)эсвэл түүнээс их бол ижил бөгөөд 1/2-тэй тэнцүү байна. Геометрийн босоо шулуун шугам X = Үслэг), абсциссатай тэнцүү цэгээр дамжин өнгөрөх Үслэг), тархалтын муруйн иодын зургийн талбайг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана (Зураг 3.14). Мэдээжийн хэрэг, цэг дээр X = Үслэг)тархалтын функц нь 1/2-тэй тэнцүү, i.e. P(Би(X))= 1/2 (Зураг 3.15).
Анхаарна уу чухал өмчсанамсаргүй хувьсагчийн медиан: хүлээгдэж буй үнэ цэнэ үнэмлэхүй үнэ цэнэ X санамсаргүй хэмжигдэхүүний C тогтмол утгаас хазайх нь хамгийн бага байна, энэ тогтмол C нь Me(X) = m медиантай тэнцүү байх үед, өөрөөр хэлбэл 
(хөрөнгө нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх хамгийн бага квадратын шинж чанартай (3.10") төстэй байна).
O Жишээ 3.15. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим, медиан болон математик хүлээлтийг ол X смагадлалын нягт f(x) = xx хувьд 3x 2.
Шийдэл.Тархалтын муруйг Зураг дээр үзүүлэв. 3.16. Мэдээжийн хэрэг, магадлалын нягт φ(x) хамгийн их байх болно X= Мо(X) = 1.
Медиан Үслэг) = б (3.28) нөхцөлөөс бид олно:
хаана 
(3.25) томъёог ашиглан математикийн хүлээлтийг тооцоолъё:
Цэгүүдийн харилцан зохицуулалт М(X)>Би(X) Тэгээд Хөвд) абсцисса өсөх дарааллаар зурагт үзүүлэв. 3.16. ?
Дээр дурдсан тоон шинж чанаруудын зэрэгцээ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд квантил ба хувийн нэгжийн ойлголтыг ашигладаг.
Тодорхойлолт. Тоон түвшину-квантиль )
санамсаргүй хэмжигдэхүүний энэ x q утгыг гэнэ , Энэ үед түүний тархалтын функц нь тэнцүү утгыг авдаг г, i.e.
Зарим квантилууд тусгай нэр авсан. Дээрхийг танилцуулсан нь ойлгомжтой дундаж санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0.5 түвшний квантил, i.e. Би(X) = x 05. dg 0 2 5 ба x 075 квантилуудыг тус тус нэрлэсэн доогуур Тэгээд дээд квартильK
Квантилийн тухай ойлголттой нягт холбоотой нь ойлголт юм хувь оноо.Доод YuOuHo-noy цэг
тоо хэмжээ гэсэн утгатай x x (( ,
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга юм X,
аль нь 
0 Жишээ 3.16. Жишээ 3.15-ын өгөгдөлд үндэслэн квантилийг ол x 03 болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний 30% цэг X.
Шийдэл. Томъёоны дагуу (3.23) тархалтын функц
Бид (3.29) тэгшитгэлээс квантил 0 s-ийг олно, өөрөөр хэлбэл. x$ 3 =0.3, үүнээс L "oz -0.67. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний 30%-ийн цэгийг олъё. X, эсвэл квантил x 0 7, тэгшитгэлээс. x$ 7 = 0.7, эндээс x 0 7 «0.89. ?
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанаруудын дунд моментууд - эхний ба төв нь онцгой ач холбогдолтой юм.
Тодорхойлолт. Эхлэх мөчХ санамсаргүй хэмжигдэхүүний k-р эрэмбийг математикийн хүлээлт гэнэ -р зэрэгэнэ үнэ цэнэ :
Тодорхойлолт. Төв мөчX санамсаргүй хэмжигдэхүүний k-р эрэмб нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс хазайх k-р зэргийн математик хүлээлт юм.:
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн моментийг тооцоолох томъёо (утга авах x 1 p,) ба тасралтгүй (магадлалын нягт cp(x)) магадлалыг хүснэгтэд үзүүлэв. 3.1.
Хүснэгт 3.1
Хэзээ гэдгийг анзаарахад амархан k = 1 эхлээд эхлэх мөчсанамсаргүй хувьсагч Xнь түүний математик хүлээлт, i.e. h x = M[X) = a,цагт руу= 2 секундын төв мөч - тархалт, i.e. p 2 = T)(X).
p A төв моментуудыг эхний моментоор илэрхийлж болох боловч дараах томъёогоор илэрхийлж болно.
гэх мэт. 
Жишээлбэл, ts 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (үүсэлт гаргахдаа бид үүнийг харгалзан үзсэн. А = М(X)= V, санамсаргүй бус утга). ?
Математикийн хүлээлтийг дээр дурдсан М(X),эсвэл эхний эхний момент нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв болох дундаж утга буюу байрлалыг тодорхойлдог Xтооны тэнхлэг дээр; тархалт Өө),эсвэл хоёр дахь төвийн момент p 2, - s t s - тархалтын тархалтын хожуул Xхарьцангуй M(X).Илүү ихийг Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтхуваарилалт нь дээд тушаалын мөч болж үйлчилдэг.
Гурав дахь төв цэг p 3 нь хуваарилалтын тэгш бус байдлыг (халуу) тодорхойлоход үйлчилдэг. Энэ нь санамсаргүй шоо хэмжээтэй байна. Хэмжээгүй хэмжигдэхүүнийг авахын тулд үүнийг o 3-т хуваана, энд a нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт юм. X.Үр дүнгийн утга Адуудсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тэгш бус байдлын коэффициент.
Хэрэв тархалт нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал тэгш бус байдлын коэффициент А = 0 байна.
Зураг дээр. Зураг 3.17-д I ба II тархалтын хоёр муруйг үзүүлэв. I муруй нь эерэг (баруун талт) тэгш бус (L > 0), II муруй нь сөрөг (зүүн талт) тэгш бус (L) байна. 
Дөрөв дэх төв цэг p 4 нь тархалтын эгц (хурц эсвэл тэгш) байдлыг тодорхойлоход үйлчилдэг.
Хичээлийн зорилго: оюутнуудад тооны олонлогийн медианы талаархи ойлголт, энгийн тоон олонлогийн хувьд тооцоолох чадварыг бий болгох, тоонуудын арифметик дундажийн тухай ойлголтыг нэгтгэх.
Хичээлийн төрөл: шинэ материалын тайлбар.
Тоног төхөөрөмж: самбар, сурах бичиг хэвлэл. Ю.Н.Тюрина “Магадлалын онол ба статистик”, проектор бүхий компьютер.
Хичээлийн үеэр
1. Зохион байгуулалтын мөч.
Хичээлийн сэдвийг мэдээлж, зорилгоо томъёол.
2. Өмнөх мэдлэгээ шинэчлэх.
Оюутнуудад зориулсан асуултууд:
- Олон тооны тооны арифметик дундаж нь юу вэ?
- Олон тооны тоон дотор арифметик дундаж хаана байрладаг вэ?
- Тоонуудын арифметик дундажийг юу тодорхойлдог вэ?
- Олон тооны тооны арифметик дундажийг хаана ихэвчлэн ашигладаг вэ?
Аман даалгавар:
Олон тооны тооны арифметик дундажийг ол:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
Шалгалт гэрийн даалгаварпроектор ашиглах ( Хавсралт 1):
Сурах бичиг: №12 (б, г), №18 (в, г)
3. Шинэ материалыг судлах.
Өмнөх хичээлээр бид тоонуудын арифметик дундаж гэх мэт статистик үзүүлэлттэй танилцсан. Өнөөдөр бид өөр нэг статистик үзүүлэлт болох медиан дээр хичээлээ зориулах болно.
Зөвхөн арифметик дундаж нь тоон шулуун дээр аль ч олонлогийн тоо хаана байрлаж, төв нь хаана байгааг харуулдаггүй. Өөр нэг үзүүлэлт бол медиан юм.
Тоонуудын олонлогийн медиан нь олонлогийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах тоо юм. Та "дунд"-ын оронд "дунд" гэж хэлж болно.
Эхлээд бид медианыг хэрхэн олохыг жишээ болгон авч үзээд дараа нь хатуу тодорхойлолт өгнө.
Проектор ашиглан дараах аман жишээг авч үзье ( Хавсралт 2)
Төгсгөлд нь хичээлийн жил 7-р ангийн 11 сурагч 100 метрийн гүйлтийн стандартад тэнцсэн. Дараах үр дүнг тэмдэглэв.
Залуус хол зайд гүйсний дараа Петя багш руу ойртож, түүний үр дүн юу болохыг асуув.
"Ихэнх дундаж үр дүн: 16.9 секунд" гэж багш хариулав
"Яагаад?" - Петя гайхав. - Эцсийн эцэст, бүх үр дүнгийн арифметик дундаж нь ойролцоогоор 18.3 секунд бөгөөд би секундээс илүү сайн гүйсэн. Ерөнхийдөө Катягийн үр дүн (18.4) минийхээс илүү дундажтай ойролцоо байна."
“Таны үр дүн дундаж байна, учир нь таван хүн чамаас илүү, тав нь муу. Та яг голд нь байгаа гэсэн үг” гэж багш хэлэв. [2]
Олон тооны тооны медианыг олох алгоритмыг бичнэ үү.
- Тооны багцыг цэгцлэх (эргүүлсэн цуврал гаргах).
- Үүний зэрэгцээ нэг буюу хоёр тоо үлдэх хүртэл өгөгдсөн тооны багцын "хамгийн том" ба "хамгийн бага" тоог хайчилж ав.
- Хэрэв нэг тоо үлдсэн бол энэ нь медиан болно.
- Хэрэв хоёр тоо үлдсэн бол медиан нь үлдсэн хоёр тооны арифметик дундаж болно.
Суралцагчдыг тооны багцын медианы тодорхойлолтыг бие даан томьёолоод дараа нь сурах бичиг (х. 50) дээрх медиануудын хоёр тодорхойлолтыг уншаад, сурах бичгийн 4, 5-р жишээг үзнэ үү (х. 50-52)
Сэтгэгдэл:
Оюутнуудын анхаарлыг нэг чухал баримтад хандуулаарай: медиан нь олон тооны хувийн хэт утгын мэдэгдэхүйц хазайлтад бараг мэдрэмтгий байдаггүй. Статистикийн хувьд энэ шинж чанарыг тогтвортой байдал гэж нэрлэдэг. Статистик үзүүлэлтийн тогтвортой байдал нь биднийг санамсаргүй алдаа, найдваргүй мэдээллээс хамгаалах маш чухал шинж чанар юм.
4. Судалсан материалыг нэгтгэх.
"Медиан" 11-р догол мөрний сурах бичгийн тоонуудыг шийдвэрлэх.
Тоонуудын багц: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Тоонуудын багц: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Тоонуудын багц: 3,4,11,17,21
б) Тоонуудын багц: 17,18,19,25,28
в) Тоонуудын багц: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Дүгнэлт: сондгой тооны гишүүдээс бүрдэх тооны багцын медиан нь дунд байгаа тоотой тэнцүү байна.
a) Тоонуудын багц: 2, 4, 8 , 9.
Би = (4+8):2=12:2=6
б) Тоонуудын багц: 1,3, 5,7 ,8,9.
Би = (5+7):2=12:2=6
Тэгш тооны гишүүнтэй тооны багцын медиан нь дунд байгаа хоёр тооны нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Оюутан улирлын туршид алгебрийн хичээлээр дараах үнэлгээг авсан.
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Энэ олонлогийн дундаж ба медианыг ол. [3]
2,4,4,4,5,5,5,5,5,5 гэсэн тооны багцыг эрэмбэлье.
Зөвхөн 10 тоо байгаа бөгөөд медианыг олохын тулд дундах хоёр тоог аваад хагас нийлбэрийг олох хэрэгтэй.
Би = (5+5): 2 = 5
Оюутнуудад зориулсан асуулт: Хэрэв та багш байсан бол энэ сурагчид улирлын хэдэн үнэлгээ өгөх байсан бэ? Хариултаа зөвтгөөрэй.
Компанийн ерөнхийлөгч 300 мянган рублийн цалин авдаг. Түүний гурван орлогч тус бүр 150,000 рубль, дөчин ажилтан тус бүр 50,000 рубль авдаг. мөн цэвэрлэгч эмэгтэйн цалин 10,000 рубль байна. Компанийн цалингийн арифметик дундаж ба медианыг ол. Эдгээр шинж чанаруудын алийг нь ерөнхийлөгч сурталчилгааны зорилгоор ашиглах нь илүү ашигтай вэ?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (ур.)
Даалгавар 3. (Оюутнуудыг өөрсдөө шийдэхийг урьж, проектор ашиглан асуудлыг төлөвлөх)
Хүснэгтэд Оросын хамгийн том нуур, усан сангуудын усны ойролцоогоор хэмжээг куб метрээр харуулав. км. (Хавсралт 3) [ 4 ]
A) Эдгээр усан сан дахь усны дундаж эзэлхүүнийг ол (арифметик дундаж);
B) Усан сангийн дундаж хэмжээн дэх усны эзэлхүүнийг олох (өгөгдлийн медиан);
А) Таны бодлоор эдгээр шинж чанаруудын аль нь - арифметик дундаж эсвэл медиан нь Оросын ердийн том усан сангийн эзэлхүүнийг илүү сайн дүрсэлсэн бэ? Хариултаа тайлбарлана уу.
a) 2459 шоо метр км
б) 60 куб. км
в) Дундаж, учир нь өгөгдөл нь бусад бүхнээс эрс ялгаатай утгуудыг агуулдаг.
Даалгавар 4. Амаар.
A) Хэрэв олонлогийн ес дэх гишүүн нь медиан бол хэдэн тоо байх вэ?
B) Хэрэв олонлогийн медиан нь 7 ба 8-р гишүүний арифметик дундаж бол олон тоо хэд байх вэ?
C) Долоон тооны олонлогт хамгийн их тоо 14-өөр нэмэгдэнэ. Энэ нь арифметик дундаж болон медианыг өөрчлөх үү?
D) Олонлогийн тоо бүр 3-аар нэмэгдэнэ. Арифметик дундаж ба медиан нь юу болох вэ?
Дэлгүүрт байгаа амттанг жингээр нь зардаг. Нэг кг-д хэдэн чихэр агуулагддагийг мэдэхийн тулд Маша нэг чихрийн жинг олохоор шийджээ. Тэрээр хэд хэдэн чихэр жигнэж үзээд дараах үр дүнд хүрсэн байна.
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Хоёр шинж чанар нь нэг чихрийн жинг тооцоолоход тохиромжтой, учир нь тэд бие биенээсээ тийм ч их ялгаатай биш юм.
Тиймээс статистик мэдээллийг тодорхойлохын тулд арифметик дундаж ба медианыг ашигладаг. Ихэнх тохиолдолд шинж чанаруудын аль нэг нь ямар ч утга учиргүй байж болно (жишээлбэл, зам тээврийн ослын тухай мэдээлэлтэй бол эдгээр өгөгдлийн арифметик дундажийн талаар ярих нь утгагүй юм).
- Гэрийн даалгавар: 11-р догол мөр, No3,4,9,11.
- Хичээлийн хураангуй. Тусгал.
Уран зохиол:
- Ю.Н. Тюрин нар "Магадлалын онол ба статистик", "МЦНМО" хэвлэлийн газар, "Москвагийн сурах бичиг" ХК, 2008 он.
- Э.А. Бунимович, В.А. Булычев "Статистикийн үндэс ба магадлал", DROFA, Москва 2004 он.
- “Математик” сонин 2007 оны No23.
- Демо хувилбар туршилтын ажилмагадлалын онол, статистикийн чиглэлээр 7-р ангийн 2007/2008 оны хичээлийн жилд. жил.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанаруудын дотроос юуны өмнө тоон тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалыг тодорхойлдог шинж чанаруудыг тэмдэглэх нь зүйтэй. санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудыг бүлэглэсэн дундаж, ойролцоо утгыг заана.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний "төлөөлөгч" болох тодорхой тоо бөгөөд үүнийг ойролцоогоор тооцоололд орлуулдаг. Бид: "Дэнлүүний ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг" эсвэл "нөлөөллийн дундаж цэг нь зорилтот түвшинд харьцангуй баруун тийш 2 м-ээр шилжсэн" гэж хэлэхэд бид түүний байршлыг тодорхойлдог санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой тоон шинж чанарыг харуулж байна. тоон тэнхлэг дээр, i.e. "албан тушаалын шинж чанар".
Магадлалын онол дахь байрлалын шинж чанараас чухал үүрэгсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийг гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг.
Магадлал бүхий боломжит утгатай салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Эдгээр утгууд өөр өөр магадлалтай байдгийг харгалзан бид x тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байрлалыг тодорхой тоогоор тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд утгуудын "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглах нь зүйн хэрэг бөгөөд дундажлах явцад тус бүрийг энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ээр тооцох ёстой. Тиймээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолох бөгөөд үүнийг дараахь байдлаар тэмдэглэнэ.
эсвэл үүнийг харгалзан үзвэл,
. (5.6.1)
Энэхүү жигнэсэн дундажийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзсэн.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.
Дээрх томъёололд математикийн хүлээлтийн тодорхойлолт нь зөвхөн салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу; Доор бид энэ ойлголтыг тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ерөнхийд нь тайлбарлах болно.
Математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг илүү тодорхой болгохын тулд салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын механик тайлбар руу хандъя. Абсцисса тэнхлэг дээр массууд нь тус тус төвлөрч буй абсциссатай цэгүүд байг. Дараа нь (5.6.1) томъёогоор тодорхойлсон математикийн хүлээлт нь тухайн материаллаг цэгийн системийн хүндийн төвийн абсциссаас өөр зүйл биш нь ойлгомжтой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь олон тооны туршилтын явцад санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай өвөрмөц хамаарлаар холбогддог. Энэ хамаарал нь давтамж ба магадлалын хамааралтай ижил төрлийн, тухайлбал: олон тооны туршилтуудын тусламжтайгаар санамсаргүй хувьсагчийн ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд ойртдог (магадлалд нийлдэг). Давтамж ба магадлалын хоорондох холбоо байгаа эсэхээс харахад арифметик дундаж ба математикийн хүлээлт хоёрын хооронд ижил төстэй хамаарал байгаа эсэхийг дүгнэж болно.
Үнэн хэрэгтээ, тархалтын цуваагаар тодорхойлогддог салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье.
Хаана 
.
Хэмжигдэхүүн нь тодорхой утгыг авдаг бие даасан туршилтуудыг явуулъя. Утга нь нэг удаа гарч ирсэн, утга нь нэг удаа гарч ирсэн, утга нь нэг удаа гарч ирсэн гэж бодъё. Мэдээжийн хэрэг,
Ажигласан хэмжигдэхүүний арифметик дундажийг тооцоолъё, энэ нь математикийн хүлээлтээс ялгаатай нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
Гэхдээ үйл явдлын давтамж (эсвэл статистик магадлал) -аас өөр зүйл байхгүй; энэ давтамжийг тодорхойлж болно. Дараа нь
,
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба эдгээр утгуудын давтамжийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр давтамж нь харгалзах магадлалд ойртох (магадлалд нийлэх). Тиймээс туршилтын тоо нэмэгдэх тусам санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математикийн хүлээлтэд ойртох болно (магадлалд нийлнэ).
Дээр томъёолсон арифметик дундаж ба математикийн хүлээлтийн хоорондын холбоо нь хуулийн нэг хэлбэрийн агуулгыг бүрдүүлдэг. их тоо. Бид 13-р бүлэгт энэ хуулийн хатуу нотолгоог өгөх болно.
Олон тооны туршилтын явцад зарим дундаж үзүүлэлтүүд тогтвортой байдгийг олон тооны хуулийн бүх хэлбэрүүд илэрхийлдэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энд бид ижил хэмжигдэхүүнтэй хэд хэдэн ажиглалтаас арифметик дундажийн тогтвортой байдлын тухай ярьж байна. Цөөн тооны туршилтаар тэдгээрийн үр дүнгийн арифметик дундаж нь санамсаргүй байдаг; Туршилтын тоо хангалттай нэмэгдэх тусам энэ нь "бараг санамсаргүй" болж, тогтворжиж, тогтмол утга болох математикийн хүлээлт рүү ойртдог.
Олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдлыг туршилтаар хялбархан шалгаж болно. Жишээлбэл, биеийг лабораторид нарийн жингийн дагуу жинлэхдээ жинлэх бүрт бид шинэ утгыг олж авдаг; Ажиглалтын алдааг багасгахын тулд бид биеийг хэд хэдэн удаа жинлэж, олж авсан утгуудын арифметик дундажийг ашиглана. Туршилтын тоо (жинлэх) цаашид нэмэгдэх тусам арифметик дундаж нь энэ өсөлтөд бага багаар хариу үйлдэл үзүүлж, хангалттай олон тооны туршилт хийснээр бараг өөрчлөгдөхөө больсон гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Математикийн хүлээлтийн томъёо (5.6.1) нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна. Учир нь тасралтгүй утгаМэдээжийн хэрэг математикийн хүлээлт нь нийлбэрээр биш харин интегралаар илэрхийлэгддэг.
, (5.6.2)
хэмжигдэхүүний тархалтын нягт хаана байна.
Томъёо (5.6.2)-ыг (5.6.1) томъёоноос гаргаж авсан утгууд нь тасралтгүй өөрчлөгддөг х параметрээр, харгалзах магадлалыг магадлалын элементээр, эцсийн нийлбэрийг интегралаар сольсон бол авна. Ирээдүйд бид тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тасархай хэмжигдэхүүнүүдийн томъёог өргөтгөх энэ аргыг ихэвчлэн ашиглах болно.
Механик тайлбарт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь ижил утгыг хадгалдаг - масс нь абсцисса дагуу тасралтгүй, нягтаршилтай тархсан тохиолдолд хүндийн төвийн абсцисса . Энэхүү тайлбар нь интегралыг (5.6.2) тооцоолохгүйгээр энгийн механик үндэслэлээс математикийн хүлээлтийг олох боломжийг олгодог.
Дээр бид хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тэмдэглэгээг оруулсан. Хэд хэдэн тохиолдолд томьёог тодорхой тоогоор оруулсан бол үүнийг нэг үсгээр тэмдэглэх нь илүү тохиромжтой. Эдгээр тохиолдолд бид утгын математик хүлээлтийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
Тэмдэглэгээ болон математикийн хүлээлтийг томъёоны тодорхой бичлэгийн тохиромжтой байдлаас хамааран ирээдүйд зэрэгцүүлэн ашиглах болно. Шаардлагатай бол "математикийн хүлээлт" гэсэн үгийг m.o үсгээр товчлохыг зөвшөөрье.
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй хамгийн чухал шинж чанарзаалтууд - математикийн хүлээлт - бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд байдаггүй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интеграл нь зөрүүтэй байдаг тул математикийн хүлээлт байхгүй ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг зохиож болно.
Жишээлбэл, тархалтын цуваа бүхий тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье.
Үүнийг шалгахад хялбар, өөрөөр хэлбэл. түгээлтийн цуврал нь утга учиртай; гэхдээ хэмжээ нь энэ тохиолдолдзөрүүтэй тул үнэ цэнийн математикийн хүлээлт байхгүй. Гэсэн хэдий ч ийм тохиолдлууд практикт тийм ч сонирхолтой биш юм. Ихэвчлэн бидний харьцдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хязгаарлагдмал талбайтай байдаг боломжит утгуудмөн мэдээж математикийн хүлээлттэй байх.
Дээр бид (5.6.1) ба (5.6.2) томъёог өгсөн бөгөөд энэ нь тасалдалтай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийг илэрхийлсэн болно.
Хэрэв хэмжигдэхүүн нь холимог төрлийн хэмжигдэхүүнд хамаарах бол түүний математик хүлээлтийг дараах хэлбэрийн томъёогоор илэрхийлнэ.
, (5.6.3)
Энд нийлбэр нь тархалтын функц нь тасалдсан бүх цэгүүдэд, интеграл нь тархалтын функц тасралтгүй байх бүх талбарт хүрдэг.
Албан тушаалын хамгийн чухал шинж чанар болох математикийн хүлээлтээс гадна практикт тухайн албан тушаалын бусад шинж чанарууд, тухайлбал санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медианыг заримдаа ашигладаг.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. "Хамгийн магадлалтай үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн тасархай хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарна; Тасралтгүй хэмжигдэхүүний хувьд горим нь магадлалын нягт хамгийн их байх утга юм. Горимыг үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрье. Зураг дээр. 5.6.1 ба 5.6.2-д тасархай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн горимыг тус тус үзүүлэв.
Хэрэв тархалтын полигон (тархалтын муруй) нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг "олон талт" гэж нэрлэдэг (Зураг 5.6.3 ба 5.6.4).
Заримдаа дээд тал нь биш харин дунд нь доод тал нь байдаг хуваарилалтууд байдаг (Зураг 5.6.5 ба 5.6.6). Ийм хуваарилалтыг "антимодаль" гэж нэрлэдэг. Антимодаль тархалтын жишээ бол 5-р жишээ, n° 5.1-ээс олж авсан тархалт юм.
Ерөнхий тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Тухайн тохиолдолд тархалт нь тэгш хэмтэй ба модаль (жишээ нь горимтой) бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд энэ нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.
Өөр нэг байрлалын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан гэж нэрлэгддэг. Энэ шинж чанарыг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг боловч тасархай хувьсагчийн хувьд албан ёсоор тодорхойлж болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан нь түүний утга юм
тэдгээр. санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ээс бага эсвэл их байх магадлалтай. Геометрийн хувьд медиан нь тархалтын муруйгаар хязгаарлагдсан талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм (Зураг 5.6.7).
