Тухайн үйл явдлыг дэмжсэн тохиолдлыг шууд тоолоход хэцүү байж болно. Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд энэ үйл явдлыг бусад энгийн үйл явдлуудын хослол гэж төсөөлөх нь ашигтай байдаг. Гэхдээ энэ тохиолдолд та үйл явдлын хослол дахь магадлалыг зохицуулдаг дүрмийг мэдэх хэрэгтэй. Догол мөрний гарчигт дурдсан теоремууд нь эдгээр дүрмүүдтэй холбоотой байдаг.

Эдгээрийн эхнийх нь хэд хэдэн үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолохтой холбоотой юм.

Нэмэх теорем.

А ба В хоёр үл нийцэх үйл явдал байг. Дараа нь эдгээр хоёр үйл явдлын ядаж нэг нь тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлэг байцгаая. Хэрэв эдгээр анхан шатны үйл явдлуудын дунд яг А-д таатай үйл явдлууд, яг В-д таатай үйл явдлууд байгаа бол А ба В үйл явдлууд үл нийцэх тул ямар ч үйл явдал эдгээр хоёр үйл явдлыг хоёуланг нь дэмжиж чадахгүй. Эдгээр хоёр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал (А эсвэл В) нь А-г дэмжсэн үйл явдал тус бүр болон үйл явдал тус бүрд тааламжтай байх нь ойлгомжтой.

Тааламжтай B. Иймд (A эсвэл B) үйл явдалд таатай үйл явдлын нийт тоо нь дараах нийлбэртэй тэнцүү байна.

Q.E.D.

Хоёр үйл явдлын хувьд дээр дурдсан нэмэх теоремыг тэдгээрийн аль ч төгсгөлтэй тооны тохиолдол руу хялбархан шилжүүлж болохыг харахад хялбар байдаг. Яг хосоороо үл нийцэх үйл явдлууд байгаа бол

Жишээлбэл, гурван үйл явдлын хувьд нэг нь бичиж болно

Нэмэх теоремын чухал үр дагавар бол хэрэв үйл явдлууд хосоороо үл нийцэх бөгөөд цорын ганц боломжтой бол гэсэн үг юм.

Үнэн хэрэгтээ, эсвэл эсвэл эсвэл таамаглалаар үйл явдал тодорхой бөгөөд § 1-д заасны дагуу түүний магадлал нь нэгтэй тэнцүү байна. Ялангуяа, хэрэв тэд хоёр эсрэг тэсрэг үйл явдлыг илэрхийлдэг бол

Нэмэх теоремыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 1. Бай руу харвах үед онц буудах магадлал 0,3, “сайн” буудах магадлал 0,4 байна. Буудсандаа ядаж “сайн” оноо авах магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэв А үйл явдал нь "маш сайн" үнэлгээ авах, В үйл явдал "сайн" үнэлгээ авах гэсэн үг юм бол

Жишээ 2. Цагаан, улаан, хар бөмбөлгүүдийг агуулсан саванд цагаан бөмбөлөг, I улаан бөмбөг байна. Хар биш бөмбөг зурах магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэв А үйл явдал нь цагаан бөмбөг, В үйл явдал улаан бөмбөгөөс бүрдэх бол бөмбөгний харагдах байдал хар биш юм.

цагаан эсвэл улаан бөмбөгний аль нэгний харагдах байдлыг илэрхийлдэг. Учир нь магадлалын тодорхойлолтоор

тэгвэл нэмэх теоремоор хар биш бөмбөг гарч ирэх магадлал тэнцүү байна;

Энэ асуудлыг ингэж шийдэж болно. С үйл явдлыг хар бөмбөлөг хэлбэртэй болгоё. Хар бөмбөлгүүдийн тоо тэнцүү байх тул P (C) Хар биш бөмбөг гарч ирэх нь С-ийн эсрэг үйл явдал тул нэмэх теоремын дээрх үр дүнд үндэслэн бид дараах байдалтай байна.

урьд нь.

Жишээ 3. Бэлэн мөнгөний сугалаанд 1000 тасалбарын цувралд 120 бэлэн мөнгө, 80 материаллаг хонжвор олдог. Нэг сугалааны тасалбараас юу ч хожих магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Хэрэв бид мөнгөн ашиг, В-ээр материаллаг ашиг зэргээс бүрдэх үйл явдлыг А-аар тэмдэглэвэл магадлалын тодорхойлолтоос энэ нь дараах болно.

Бидний сонирхож буй үйл явдлыг (A эсвэл B) илэрхийлдэг тул энэ нь нэмэх теоремоос гардаг

Тиймээс ямар ч хожих магадлал 0.2 байна.

Дараагийн теорем руу шилжихийн өмнө шинэ чухал ойлголт болох нөхцөлт магадлалын тухай ойлголттой танилцах шаардлагатай. Үүний тулд бид дараах жишээг авч үзэх болно.

Нэг агуулахад хоёр өөр үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн 400 гэрлийн чийдэн байгаа бөгөөд эхнийх нь бүх гэрлийн чийдэнгийн 75%, хоёр дахь нь 25% -ийг үйлдвэрлэдэг гэж бодъё. Нэгдүгээр үйлдвэрийн үйлдвэрлэсэн гэрлийн чийдэнгийн 83 хувь нь тодорхой стандартын нөхцлийг хангасан, хоёрдугаар үйлдвэрийн бүтээгдэхүүний хувьд энэ хувь 63 байна гэж бодъё. агуулах нь стандартын шаардлагыг хангасан байна.

Боломжит стандарт гэрлийн чийдэнгийн нийт тоо нь эхнийх нь үйлдвэрлэсэн чийдэнгээс бүрддэг гэдгийг анхаарна уу

үйлдвэр, мөн хоёрдугаар үйлдвэрийн үйлдвэрлэсэн 63 гэрлийн чийдэн, өөрөөр хэлбэл 312. Аливаа гэрлийн чийдэнг сонгох нь адил боломжтой гэж үзэх ёстой тул 400-аас 312 таатай тохиолдол бидэнд байгаа тул

Энд В үйл явдал бол бидний сонгосон гэрлийн чийдэн нь стандарт юм.

Энэ тооцооны явцад бидний сонгосон гэрлийн чийдэнг аль үйлдвэрийн бүтээгдэхүүнд хамаарах талаар таамаглаагүй. Хэрэв бид ийм төрлийн таамаглал дэвшүүлбэл бидний сонирхож буй магадлал өөрчлөгдөх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, хэрэв сонгосон гэрлийн чийдэнг анхны үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн нь мэдэгдэж байгаа бол (А үйл явдал) стандарт байх магадлал 0.78 байхаа больсон, харин 0.83 байх болно.

Энэ төрлийн магадлалыг, өөрөөр хэлбэл, А үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд В үйл явдлын магадлалыг А үйл явдал тохиолдоход В үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнөх жишээнд сонгосон гэрлийн чийдэнг эхний үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн үйл явдлыг А гэж тэмдэглэвэл бид бичиж болно.

Одоо бид үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлалыг тооцоолохтой холбоотой чухал теоремыг томъёолж болно.

Үржүүлэх теорем.

Эхний тохиолдсон гэж үзвэл А ба В үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал нь нэг үйл явдлын магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд А ба В үйл явдлуудын хослол нь тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдохыг, өөрөөр хэлбэл А үйл явдал ба В үйл явдлын аль алиныг нь хэлнэ.

Баталгаа. А үйл явдал болон В үйл явдлын аль алиных нь хувьд таатай эсвэл тааламжгүй байж болох ижил тэгш боломжтой, хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг авч үзье.

Энэ бүх үйл явдлыг дөрөв хуваая янз бүрийн бүлгүүддараах байдлаар. Эхний бүлэгт А үйл явдал болон В үйл явдлыг хоёуланг нь дэмжсэн үйл явдлууд багтана; Хоёр, гурав дахь бүлэгт бидний сонирхсон хоёр үйл явдлын аль нэгийг нь илүүд үздэг, нөгөөг нь дэмждэггүй үйл явдлууд орно, жишээлбэл, хоёр дахь бүлэгт А-д таалагддаг, харин Б-д таалагддаггүй, гуравдугаар бүлэгт Б-г илүүд үздэг боловч А-г дэмжихгүй; эцэст нь

Дөрөв дэх бүлэгт А эсвэл В аль алинд нь таалагддаггүй үйл явдлууд багтана.

Үйл явдлын дугаарлалт нь хамаагүй тул бид үүнийг дөрвөн бүлэгт хуваах нь дараах байдалтай байна гэж үзэж болно.

I бүлэг:

II бүлэг:

III бүлэг:

IV бүлэг:

Иймд адил боломжтой, хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын дунд А үйл явдал ба В үйл явдлыг хоёуланг нь дэмжсэн үйл явдлууд, А үйл явдлыг дэмжсэн үйл явдлууд, А үйл явдлыг дэмждэггүй үйл явдлууд, В үйл явдлуудыг дэмждэг боловч А үйл явдлыг дэмждэггүй үйл явдлууд байдаг. А, В аль алинд нь таалагддаггүй үйл явдлууд.

Дашрамд дурдахад, бидний авч үзсэн дөрвөн бүлгийн аль нэгэнд (тэр ч байтугай нэгээс олон) нэг үйл явдал агуулаагүй байж болохыг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд ийм бүлгийн үйл явдлын тоог харуулсан харгалзах тоо нь тэгтэй тэнцүү байх болно.

Бүлэг болгон хуваах нь танд шууд бичих боломжийг олгоно

Учир нь А ба В үйл явдлуудын хослол нь эхний бүлгийн үйл явдлуудад таалагддаг бөгөөд зөвхөн тэдгээр нь. А-г дэмжсэн үйл явдлын нийт тоо нь нэг ба хоёрдугаар бүлгийн үйл явдлын нийт тоотой, харин В-г дэмжсэн үйл явдлууд нь нэг ба гуравдугаар бүлгийн үйл явдлын нийт тоотой тэнцүү байна.

Одоо А үйл явдал болсон тохиолдолд магадлалыг, өөрөөр хэлбэл В үйл явдлын магадлалыг тооцоолъё. Одоо гурав, дөрөв дэх бүлэгт багтсан үйл явдлууд алга болж байна, учир нь тэдгээрийн харагдах байдал нь А үйл явдал тохиолдохтой зөрчилдөж, тоотой зөрчилдөх болно. боломжит тохиолдлуудтэнцүү байхаа больсон. Эдгээрээс В үйл явдал зөвхөн эхний бүлгийн үйл явдлуудад таалагддаг тул бид дараахь зүйлийг авна.

Теоремыг батлахын тулд одоо тодорхой ижил төстэй байдлыг бичихэд хангалттай.

бүх гурван бутархайг дээр дурдсан магадлалаар солино. Бид теоремд заасан тэгш байдалд хүрнэ.

Бидний дээр бичсэн ижил төстэй байдал нь А нь боломжгүй үйл явдал биш л бол үргэлж үнэн байх тохиолдолд л утга учиртай болох нь ойлгомжтой.

А ба В үйл явдлууд тэнцүү тул тэдгээрийг сольсноор бид үржүүлэх теоремын өөр хэлбэрийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв та таних тэмдгийг ашиглаж байгааг анзаарсан бол энэ тэгш байдлыг өмнөхтэй ижил аргаар олж авч болно.

P(A ба B) магадлалын хоёр илэрхийллийн баруун талыг харьцуулж үзвэл бид ашигтай тэгшитгэлийг олж авна.

Одоо үржүүлэх теоремыг харуулсан жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 4. Тодорхой аж ахуйн нэгжийн бүтээгдэхүүнд бүтээгдэхүүний 96% нь тохиромжтой гэж үздэг (А үйл явдал). Тохиромжтой зуун бүтээгдэхүүн тутмын 75 нь нэгдүгээр зэрэглэлийнх (В үйл явдал). Санамсаргүй байдлаар сонгосон бүтээгдэхүүн тохирох, нэгдүгээр зэрэглэлийнх байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл. Хүссэн магадлал нь А ба В үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал юм. Нөхцөлөөр: . Тиймээс үржүүлэх теорем өгдөг

Жишээ 5. Нэг удаагийн цохилтоор байг онох магадлал (А үйл явдал) 0.2. Гал хамгаалагчийн 2% нь бүтэлгүйтсэн тохиолдолд бай онох магадлал хэд вэ (өөрөөр хэлбэл 2% тохиолдолд бууддаггүй)

Шийдэл. Б үйл явдал нь буудах болно, В нь эсрэг үйл явдлыг илэрхийлнэ. Дараа нь нөхцлөөр болон нэмэх теоремын үр дагаварын дагуу. Цаашилбал, нөхцөл байдлын дагуу.

Зорилтот онох гэдэг нь үржүүлэх теоремын дагуу А ба В үйл явдлуудын хослолыг хэлнэ (буудсан буудаж онох болно)

Чухал онцгой тохиолдолҮйл явдлын бие даасан байдлын тухай ойлголтыг ашиглан үржүүлэх теоремуудыг олж авч болно.

Хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал нь нөгөө нь тохиолдох эсвэл болохгүй байгаагийн үр дүнд өөрчлөгдөхгүй.

Бие даасан үйл явдлын жишээ бол завсарлага юм янз бүрийн тооСүлд унасан эсэхээс үл хамааран хоёр дахь шидэлтээр сүлд унах магадлал тэнцүү байх нь ойлгомжтой тул зоосыг дахин шидэх үед шоо эсвэл зоосны нэг эсвэл өөр талыг дахин шидэх үед оноо. эсвэл эхнийх нь биш.

Үүний нэгэн адил, хэрэв эхний сугалсан бөмбөгийг буцааж авсан бол цагаан, хар бөмбөлөг агуулсан савнаас хоёр дахь удаагаа цагаан бөмбөг зурах магадлал нь бөмбөгийг анх удаа зурсан, цагаан эсвэл хар эсэхээс хамаарахгүй. Тиймээс эхний болон хоёр дахь зайлуулах үр дүн нь бие биенээсээ хамааралгүй байдаг. Эсрэгээр, хэрэв эхлээд гаргаж авсан бөмбөг саванд буцаж ирэхгүй бол хоёр дахь зайлуулах үр дүн эхнийхээс хамаарна, учир нь эхний зайлуулсны дараа саванд байгаа бөмбөлгүүдийн найрлага нь түүний үр дүнгээс хамаарч өөрчлөгддөг. Энд бид хамааралтай үйл явдлын жишээ байна.

Нөхцөлт магадлалын тэмдэглэгээг ашиглан бид А ба В үйл явдлуудын бие даасан байдлын нөхцөлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Эдгээр тэгш байдлыг ашиглан бид бие даасан үйл явдлуудын үржүүлэх теоремыг дараах хэлбэрт оруулж болно.

Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал тэдгээрийн хослолын магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үнэн хэрэгтээ үйл явдлын бие даасан байдлаас үүдэлтэй үржүүлэх теоремын анхны илэрхийлэлд оруулахад хангалттай бөгөөд бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.

Одоо хэд хэдэн үйл явдлыг авч үзье: Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь хэлэлцэж буй бусад үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй бол бид тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэнэ.

Хамтдаа бие даасан үйл явдлуудын хувьд үржүүлэх теоремыг тэдгээрийн аль ч хязгаарлагдмал тоогоор өргөтгөж болох тул дараах байдлаар томъёолж болно.

Нийт бие даасан үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 6. Ажилчин гурван автомат машинд үйлчилж байгаа бөгөөд машин зогссон тохиолдолд эвдрэлийг арилгахын тулд тус бүрт нь хандах шаардлагатай. Эхний машин нэг цагийн дотор зогсохгүй байх магадлал 0.9 байна. Хоёрдахь машинд ижил магадлал 0.8, гурав дахь машинд 0.7 байна. Нэг цагийн дотор ажилчин үйлчилгээ үзүүлж буй машинуудынхаа аль нэгэнд ойртох шаардлагагүй байх магадлалыг тодорхойл.

Жишээ 7. Онгоцыг винтов буугаар унагах магадлал 250 винтовыг зэрэг харвахад дайсны онгоцыг устгах магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Онгоцыг нэг удаа буудаж унагахгүй байх магадлал нь нэмэх теоремтой тэнцүү байна.Тэгвэл үржүүлэх теоремыг ашиглан онгоцыг 250 удаа буудаж унагахгүй байх магадлалыг нэгтгэх магадлал гэж тооцож болно. үйл явдал. Энэ нь тэнцүү Үүний дараа бид нэмэх теоремыг дахин ашиглаж, онгоцыг сөнөөх магадлалыг эсрэг үйл явдлын магадлал болгон олж болно.

Эндээс харахад нэг бууны сумаар онгоцыг буудаж унагаах магадлал маш бага боловч 250 буугаар буудах үед онгоцыг буудаж унагаах магадлал аль хэдийн их ажиглагдаж байна. Хэрэв винтовын тоог нэмэгдүүлбэл мэдэгдэхүйц нэмэгддэг. Тиймээс 500 винтов буудах үед онгоцыг буудах магадлал нь тооцоолоход хялбар байдаг тул 1000 винтов буудсантай тэнцүү байна.

Дээр нотлогдсон үржүүлэх теорем нь нэмэх теоремыг тодорхой хэмжээгээр өргөжүүлж, нийцтэй үйл явдлын тохиолдлуудад өргөтгөх боломжийг олгодог. Хэрэв А ба В үйл явдлууд нийцэж байгаа бол тэдгээрийн ядаж нэг нь тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү биш байх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, А үйл явдал нь тэгш тоо гэсэн үг

үхэл шидэх үед авсан онооны тоо, мөн В үйл явдал нь гурвын үржвэртэй хэд хэдэн оноо алдсан тохиолдолд 2, 3, 4, 6 оноо алдсан тохиолдолд (А эсвэл В) үйл явдалд давуу тал болно. тэр бол

Нөгөө талаас, тэр нь. Тиймээс энэ тохиолдолд

Үүнээс үзэхэд нийцтэй үйл явдлуудын хувьд магадлалыг нэмэх теоремыг өөрчлөх шаардлагатай. Одоо бидний харж байгаагаар үүнийг нийцтэй болон үл нийцэх үйл явдлын аль алинд нь хүчинтэй байхаар томъёолж болох бөгөөд ингэснээр өмнө нь авч үзсэн нэмэлт теорем нь шинэ нэг онцгой тохиолдол болж хувирна.

А-д таатай бус үйл явдлууд.

Аливаа үйл явдлыг (A эсвэл B) илүүд үздэг бүх энгийн үйл явдлууд нь зөвхөн A, эсвэл зөвхөн B, эсвэл A ба B аль алинд нь таалагдах ёстой. Иймээс ийм үйл явдлын нийт тоо тэнцүү байна.

ба магадлал

Q.E.D.

Шоо шидэх үед гарч ирэх онооны тоон дээрх жишээнд (9) томъёог ашигласнаар бид дараах зүйлийг олж авна.

шууд тооцооллын үр дүнтэй давхцаж байна.

Мэдээжийн хэрэг, томъёо (1) нь (9) -ийн онцгой тохиолдол юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв А ба В үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй бол хослолын магадлал

Жишээлбэл. Хоёр гал хамгаалагчийг цахилгаан хэлхээнд цувралаар холбодог. Эхний гал хамгаалагчийн эвдрэлийн магадлал 0.6, хоёр дахь нь 0.2 байна. Эдгээр гал хамгаалагчийн дор хаяж нэг нь эвдэрсэний үр дүнд цахилгаан тасрах магадлалыг тодорхойлъё.

Шийдэл. Гал хамгаалагчийн эхний ба хоёр дахь эвдрэлээс бүрдэх А ба В үйл явдлууд нийцэж байгаа тул шаардлагатай магадлалыг (9) томъёогоор тодорхойлно.

Дасгал

Үйл явдлын тухай ойлголт ба үйл явдлын магадлал. Найдвартай, боломжгүй үйл явдлууд. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Магадлалын нэмэх теорем. Магадлалын үржүүлэх теорем. Магадлалыг нэмэх аргыг ашиглан магадлалыг тодорхойлох хамгийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэх.

3.1-р сэдвийн удирдамж:

Үйл явдлын тухай ойлголт ба үйл явдлын магадлал. Найдвартай, боломжгүй үйл явдлууд. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт:

Ажиглалт, туршилтын дарааллаар үзэгдэл бүрийг судлах нь тодорхой нөхцөл (туршилт) хэрэгжүүлэхтэй холбоотой байдаг. Туршилтын үр дүн эсвэл үр дүн бүрийг дууддаг үйл явдал.

Хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд үйл явдал тохиолдож болох эсвэл болохгүй бол түүнийг дуудна Санамсаргүй.Үйл явдал болох нь тодорхой бол түүнийг дууддаг найдвартай, мөн энэ нь илт тохиолдох боломжгүй тохиолдолд, - боломжгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй,хэрэв тэр болгонд зөвхөн нэг нь гарч ирэх боломжтой бол. Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан,хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон нь ижил туршилтын явцад нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг талд,хэрэв туршилтын нөхцөлд тэдгээр нь түүний цорын ганц үр дүн болохоос үл нийцэх бол.

Үйл явдлын магадлалыг санамсаргүй тохиолдлын объектив боломжийн хэмжүүр гэж үздэг.

Магадлалүйл явдлыг үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг м, өгөгдсөн үйл явдал тохиолдоход таатай, бүх үр дүнгийн n тоонд (тохиромжгүй, зөвхөн боломжтой, адил боломжтой), i.e.

Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгээс бага, нэгээс их байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл. . Боломжгүй үйл явдал магадлалд, найдвартай үйл явдал магадлалд тохирно

Жишээ 1. 1000 тасалбарын сугалааны тохиролд 200 нь хожсон байна. Нэг тасалбарыг санамсаргүй байдлаар авдаг. Энэ тасалбар ялагч болох магадлал хэд вэ?

Төрөл бүрийн үр дүнгийн нийт тоо n= 1000. Ялах таатай үр дүнгийн тоо м= 200. Томъёоны дагуу бид .

Жишээ 2. 5 цагаан, 3 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас нэг бөмбөгийг гаргаж авсан. Бөмбөлөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Хар бөмбөлөг харагдахаас бүрдэх үйл явдлыг -ээр тэмдэглэе. Нийт тохиолдлын тоо. Хэргийн тоо м, үйл явдал тохиолдоход таатай, 3-тай тэнцүү байна. Томъёог ашиглан бид .

Жишээ 3. 12 цагаан, 8 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг сугалж авав. Хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Хоёр хар бөмбөлөг гарч ирэх үйл явдлыг -ээр тэмдэглэе. Боломжит тохиолдлын нийт тоо n 20 элементийн хослолын тоо (12 + 8) хоёроор тэнцүү байна.

Хэргийн тоо м, үйл явдалд таатай, байна

Томъёог ашиглан бид хоёр хар бөмбөг гарч ирэх магадлалыг олно.

Магадлалын нэмэх теорем. Магадлалын нэмэх теоремыг ашиглан магадлалыг тодорхойлох хамгийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэх:

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хосоор үл нийцэх хэд хэдэн үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хоёр хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдоггүй.

Жишээ 4. Хайрцагт санамсаргүй дарааллаар байрлуулсан 20 хэсэг байгаагийн тав нь стандарт юм. Ажилчин санамсаргүй байдлаар гурван хэсгийг авдаг. Сонгосон хэсгүүдээс ядаж нэг нь стандарт байх магадлалыг ол.

Гурван үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол авсан хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь стандарт байх нь ойлгомжтой. Б- нэг хэсэг нь стандарт, хоёр нь стандарт бус; C- хоёр стандарт хэсэг, нэг стандарт бус ба Д- гурван хэсэг нь стандарт юм.

Тиймээс үйл явдал АЭдгээр гурван үйл явдлын нийлбэрээр илэрхийлж болно: A = B + C + D.Нэмэлт теоремоор бид байна P(A) = P(B) + P(C) + P(D).Эдгээр үйл явдал бүрийн магадлалыг ол.

Олдсон утгыг нэмснээр бид олж авна

Жишээ 5. Санамсаргүй байдлаар авах магадлалыг ол хоёр оронтой тоо 3 эсвэл 5 эсвэл хоёулангийнх нь үржвэр болно.

Болъё А- санамсаргүй байдлаар сонгосон тоо нь 3-ын үржвэр болох үйл явдал Б- энэ нь 5-ын үржвэр юм АТэгээд Бхамтарсан үйл явдлуудын дараа бид дараах томъёог ашиглана.

Нийт 90 хоёр оронтой тоо байдаг: 10, 11, 98, 99. Эдгээрээс 30 нь 3-ын үржвэр (үйл явдал тохиолдохыг дэмжинэ) А); 18 - 5-ын үржвэр (үйл явдал тохиолдохыг дэмжинэ Б) ба 6 - нэгэн зэрэг 3 ба 5-ын үржвэр (үйл явдал тохиолдохыг дэмжинэ) AB). Тиймээс, өөрөөр хэлбэл.

Магадлалын үржүүлэх теорем:

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем.Хоёр хамааралтай үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь тэдгээрийн аль нэгний үржвэр ба хоёр дахь нөхцөлт магадлалтай тэнцүү байна.

Жишээ 6. Нэг саванд 4 цагаан, 8 хар бөмбөлөг, нөгөөд нь 3 цагаан, 9 хар бөмбөг байна. Цүнх бүрээс нэг бөмбөг авсан. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг ол.

Нэгдүгээр савнаас цагаан бөмбөлөг харагдах байдал, хоёрдугаар савнаас цагаан бөмбөг харагдах болтугай. Үйл явдал бие даасан байх нь ойлгомжтой. Бид олох болно

Томьёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

3.1-р сэдвээр өөрийгөө шалгах асуултууд:

1. Үйл явдал гэж юу вэ?

2. Ямар үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг вэ?

3. Ямар үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг вэ?

4. Магадлалыг тодорхойлох.

5. Магадлалыг нэмэх теоремыг томъёол.

6. Магадлалын үржүүлэх теоремыг томъёол.

Даалгаврууд бие даасан шийдвэр 3.1 сэдэвт:

1. Хайрцагт санамсаргүй дарааллаар 10 хэсэг байх ба үүнээс 4 нь стандарт. Байцаагч санамсаргүй байдлаар 3 хэсгийг авсан. Авсан хэсгүүдийн ядаж нэг нь стандарт болсон байх магадлалыг ол.

2. Нэг саванд 10 цагаан, 15 хар, 20 хөх, 25 улаан бөмбөг байна. Татсан бөмбөг байх магадлалыг ол: 1) цагаан; 2) хар эсвэл улаан.

3. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо 4, 5, эсвэл хоёулангийнх нь үржвэр байх магадлалыг ол.

4. Ажилчин бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг хоёр машинд үйлчилдэг. Эхний машин нэг цагийн дотор ажилчдын анхаарлыг татахгүй байх магадлал 0.8, хоёр дахь машинд энэ магадлал 0.7 байна. Нэг цагийн дотор ганц ч машин ажилчны анхаарлыг татахгүй байх магадлалыг ол.

5. Урд 6 бөмбөлөгтэй, 3 нь цагаан. Хоёр бөмбөгийг нэг нэгээр нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг тооцоол.

6. Нэг саванд 10 цагаан, 6 хар бөмбөлөг байдаг. Санамсаргүй байдлаар сугалсан гурван бөмбөг хар өнгөтэй болох магадлалыг ол.

Туршилт хийх гэж байна Э. Үүнийг дахин дахин хийх боломжтой гэж үзэж байна. Туршилтын үр дүнд янз бүрийн үйл явдлууд гарч ирж, тодорхой багцыг бүрдүүлж болно Ф. Ажиглах боломжтой үйл явдлуудыг найдвартай, боломжгүй, санамсаргүй гэсэн гурван төрөлд хуваадаг.

Найдвартай туршилтын үр дүнд гарцаагүй тохиолдох үйл явдлыг гэнэ Э. Ω-ээр тэмдэглэнэ.

Боломжгүй туршилтын үр дүнд тохиолдохгүй нь мэдэгдэж байгаа үйл явдлыг гэнэ Э. -ээр тэмдэглэгдсэн.

Санамсаргүй туршилтын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болох үйл явдлыг гэнэ Э.

Нэмэлт (эсрэг) үйл явдал Агэж тэмдэглэгдсэн үйл явдал юм А.

Нийлбэр (хослол) үйл явдлууд нь эдгээр үйл явдлын ядаж нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм (Зураг 3.1). Тэмдэглэгээ.

Зураг 3.1

Бүтээгдэхүүн (уулзвар) үйл явдал нь эдгээр бүх үйл явдал хамтдаа (нэг зэрэг) тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм (Зураг 3.2). Тэмдэглэгээ. А, В үйл явдал болох нь ойлгомжтой нийцэхгүй , Хэрэв .

Зураг 3.2

Үйл явдлын бүрэн бүлэг нийлбэр нь тодорхой үйл явдал болох үйл явдлын багц юм:

Үйл явдал INдуудсан үйл явдлын онцгой тохиолдол А, хэрэв үйл явдал тохиолдсон бол INүйл явдал гарч ирнэ А. Тэд мөн үйл явдал гэж хэлж байна INүйл явдлыг дагуулдаг А(Зураг 3.3). Зориулалт

Зураг 3.3

Үйл явдал АТэгээд INгэж нэрлэдэг тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь туршилтын явцад хамтдаа тохиолдох эсвэл байхгүй бол Э. Зориулалт Хэрэв энэ нь ойлгомжтой.

Хэцүү үйл явдал Алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан ижил туршилтанд ажиглагдсан бусад үйл явдлуудаар илэрхийлэгдсэн ажиглагдсан үйл явдлыг нэрлэнэ.

Тодорхой нарийн төвөгтэй үйл явдлын магадлалыг магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томъёог ашиглан тооцоолно.

Магадлалын нэмэх теорем

Үр дагавар:

1) хэрэв үйл явдал АТэгээд INнийцэхгүй байвал нэмэх теорем дараах хэлбэртэй байна.

2) гурван гишүүний хувьд нэмэх теоремыг хэлбэрээр бичнэ

3) харилцан эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Үйл явдлын багц ,, ..., гэж нэрлэдэг үйл явдлын бүрэн бүлэг , Хэрэв

Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Үйл явдал тохиолдох магадлал Аүйл явдал болсон тохиолдолд INболсон, тэд үүнийг дууддаг нөхцөлт магадлал ба эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

АТэгээд IN – хамааралтай үйл явдлууд , Хэрэв .

АТэгээд IN – бие даасан үйл явдлууд , Хэрэв .

Магадлалын үржүүлэх теорем

Үр дагавар:

1) бие даасан арга хэмжээний хувьд АТэгээд IN

2) дотор ерөнхий тохиолдолГурван үйл явдлын үржвэрийн хувьд магадлалын үржүүлэх теорем нь дараах хэлбэртэй байна.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ1 - Гурван элементийг цахилгаан хэлхээнд цувралаар холбож, бие биенээсээ хамааралгүйгээр ажилладаг. Эхний, хоёр, гурав дахь элементүүдийн эвдрэлийн магадлал нь ,-тэй тэнцүү байна. Хэлхээнд гүйдэл байхгүй байх магадлалыг ол.

Шийдэл

Эхний арга.

Дараах үйл явдлуудыг тэмдэглэе: - хэлхээний эхний, хоёр, гурав дахь элементүүдийн эвдрэл.

Үйл явдал А– хэлхээнд гүйдэл байхгүй (элементүүдийн дор хаяж нэг нь эвдэрч, дараалсан холболттой байдаг).

Үйл явдал - хэлхээнд гүйдэл байна (гурван элемент ажиллаж байна), . Эсрэг үйл явдлын магадлалыг (3.4) томъёогоор холбоно. Үйл явдал нь хоёр бие даасан гурван үйл явдлын үр дүн юм. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашиглан бид олж авна

Дараа нь хүссэн үйл явдлын магадлал нь .

Хоёр дахь арга зам.

Өмнө нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг харгалзан бид хүссэн үйл явдлыг бичнэ А- элементүүдийн дор хаяж нэг нь ажиллахгүй болно:

Нийлбэрт орсон нэр томьёо нь нийцэж байгаа тул магадлалыг нэмэх теоремыг ерөнхий үзэлгурван нөхцлийн хувьд (3.3):

Хариулт: 0,388.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

1 Уншлагын танхимд магадлалын онолын зургаан сурах бичиг байгаагийн гурав нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар хоёр сурах бичгийг авав. Хоёр сурах бичгийг хавсаргах магадлалыг ол.

2 Цүнхэнд хольсон утаснууд байгаа бөгөөд 30% нь цагаан, үлдсэн хэсэг нь улаан өнгөтэй байна. Санамсаргүй байдлаар зурсан хоёр утас байх магадлалыг тодорхойл: ижил өнгөтэй; өөр өөр өнгө.

3 Төхөөрөмж нь бие даан ажилладаг гурван элементээс бүрдэнэ. Эхний, хоёр, гурав дахь элементүүдийн тодорхой хугацаанд гэмтэлгүй ажиллах магадлал 0.6; 0.7; 0.8. Энэ хугацаанд зөвхөн нэг элемент доголдолгүй ажиллах магадлалыг ол; зөвхөн хоёр элемент; бүх гурван элемент; дор хаяж хоёр элемент.

4 Гурав шидсэн шоо. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол.

а) зурсан тал бүр дээр таван цэг гарч ирнэ;

б) унасан бүх тал дээр ижил тооны оноо гарч ирнэ;

в) унасан хоёр тал дээр нэг цэг гарч ирэх ба гурав дахь талд өөр тооны цэгүүд гарч ирнэ;

г) бүх унасан нүүрэн дээр өөр тооны оноо гарч ирнэ.

5 Буудагч нэг сумаар байг онох магадлал 0.8 байна. 0.4-өөс бага магадлалтайгаар алдагдахгүй байхын тулд мэргэн буудагч хэдэн сум хийх ёстой вэ?

6 1, 2, 3, 4, 5 тоонуудаас эхлээд нэгийг, дараа нь үлдсэн дөрөвөөс хоёр дахь цифрийг сонгоно. Боломжит 20 үр дүн бүгд адилхан магадлалтай гэж үздэг. Сондгой тоо сонгогдох магадлалыг ол: анх удаа; хоёр дахь удаагаа; хоёр удаа.

7 Дэлгүүрийн эрэгтэй гутлын хэсэгт 46 размерын хос гутал дахин зарагдах магадлал 0.01 байна. Дэлгүүрт хэдэн хос гутал зарах ёстой вэ гэвэл 0,9-өөс доошгүй магадлалаар дор хаяж нэг хос 46 размерын гутал зарагдах болно гэж найдаж болох уу?

8 Хайрцаг нь стандарт бус хоёр хэсгийг багтаасан 10 хэсгээс бүрдэнэ. Санамсаргүй байдлаар сонгосон зургаан хэсгээс стандарт бус нэгээс илүүгүй байх магадлалыг ол.

9 Техникийн хяналтын хэлтэс нь бүтээгдэхүүний стандартыг шалгадаг. Бүтээгдэхүүн нь стандарт бус байх магадлал 0.1 байна. Магадлалыг ол:

a) Туршилтанд хамрагдсан гурван бүтээгдэхүүнээс зөвхөн хоёр нь стандарт бус бүтээгдэхүүн болж хувирна;

б) дарааллаар нь туршсан дөрөв дэх бүтээгдэхүүн нь стандарт бус байх болно.

10 Орос цагаан толгойн 32 үсэг хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг.

a) гурван картыг санамсаргүй байдлаар нэг нэгээр нь гаргаж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. "Ертөнц" гэсэн үг гарч ирэх магадлалыг ол;

б) хасагдсан гурван картыг ямар ч аргаар сольж болно. Тэдгээрийг ашиглан "ертөнц" гэдэг үгийг үүсгэж болох магадлал хэд вэ?

11 Сөнөөгч бөмбөгдөгч онгоц руу дайрч, бие даасан хоёр тэсрэлт хийв. Эхний тэсрэлтээр бөмбөгдөгч онгоцыг буудах магадлал 0.2, хоёр дахь нь 0.3 байна. Бөмбөгдөгч онгоцыг сөнөөхгүй бол сөнөөгч рүү арын буунаасаа буудаж, 0.25-ын магадлалтайгаар буудана. Агаарын тулалдааны үр дүнд бөмбөгдөгч, сөнөөгч онгоцыг сөнөөх магадлалыг ол.

Гэрийн даалгавар

1 Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо.

2 Асуудлыг шийдэх

Даалгавар1 . Нэг ажилчин бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг гурван машин ажиллуулдаг. Эхний машин нэг цагийн дотор ажилчдын анхаарлыг татахгүй байх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.85 байна. Нэг цагийн дотор дор хаяж нэг машин ажилчны анхааралд өртөх магадлалыг ол.

Даалгавар2 . Ирж буй мэдээллийг тасралтгүй боловсруулах ёстой компьютерийн төв нь хоёр тооцоолох төхөөрөмжтэй. Тэд тус бүр нь тодорхой хугацааны туршид бүтэлгүйтэх магадлал 0.2-той тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байна. Та магадлалыг тодорхойлох хэрэгтэй:

а) төхөөрөмжүүдийн нэг нь бүтэлгүйтсэн, хоёр дахь нь ажиллах болно;

б) төхөөрөмж бүрийн асуудалгүй ажиллах.

Даалгавар3 . Дөрвөн анчин тодорхой дарааллаар буудахаар тохиролцов: дараагийн анчин өмнөх ангаа алдсан тохиолдолд л бууддаг. Эхний анчинд цохилт өгөх магадлал 0.6, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.8 байна. Буудсан байх магадлалыг ол:

г) дөрөв.

Даалгавар4 . Уг хэсэг нь дөрвөн боловсруулалтын үйлдлээр дамждаг. Эхний үйл ажиллагааны үед гэмтэл гарах магадлал 0.01, хоёр дахь үед - 0.02, гурав дахь үед - 0.03, дөрөв дэх үед - 0.04 байна. Дөрвөн үйл ажиллагааны дараа гэмтэлгүй хэсгийг хүлээн авах магадлалыг бие даасан үйл ажиллагааны доголдол хүлээн авах үйл явдлууд бие даасан гэж үзвэл ол.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Магадлалыг НЭМЭХ, ҮРЖҮҮЛЭХ. ДАВТАСАН БИЕ ДААН ТЕСТ

Газар зохион байгуулалтын факультетийн оюутнуудад зориулсан лекц

захидал харилцааны курсууд

Горки, 2012

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх. Давтагдсан

бие даасан туршилтууд

Магадлалыг нэмэх

Хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэр АТэгээд INүйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ, наад зах нь нэг үйл явдал тохиолдсоноос бүрддэг Аэсвэл IN. Үүний нэгэн адил хэд хэдэн хамтарсан үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлуудын дор хаяж нэг тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм.

Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэр АТэгээд INүйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТүйл явдал, үйл явдлаас бүрддэг А, эсвэл үйл явдал IN. Үүний нэгэн адил хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем хүчинтэй байна. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна , өөрөөр хэлбэл . Энэ теоремыг ямар ч хязгаарлагдмал тооны үл нийцэх үйл явдлуудад өргөтгөж болно.

Энэ теоремоос дараах байдалтай байна.

бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү;

эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, i.e.
.

Жишээ 1 . Хайрцагт 2 цагаан, 3 улаан, 5 цэнхэр бөмбөг байна. Бөмбөлгүүдийг хольж, нэгийг нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. Бөмбөгийг өнгөтэй болгох магадлал хэд вэ?

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(өнгөт бөмбөг зурсан);

Б=(цагаан бөмбөг зурсан);

C=(улаан бөмбөг зурсан);

Д=(цэнхэр бөмбөг зурсан).

Дараа нь А= C+ Д. Үйл явдлуудаас хойш C, Днийцэхгүй байгаа тохиолдолд бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэхийн тулд теоремыг ашиглана: .

Жишээ 2 . Цүнхэнд 4 цагаан, 6 хар бөмбөлөг байдаг. Уран савнаас санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авдаг. Тэд бүгд ижил өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(ижил өнгийн бөмбөг зурсан);

Б=(цагаан бөмбөгийг гаргаж авдаг);

C=(хар бөмбөгийг гаргаж авдаг).

Учир нь А= Б+ Cболон үйл явдлууд INТэгээд ХАМТнийцэхгүй бол үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоор
. Үйл явдлын магадлал INтэнцүү
, Хаана
4,

. Орлуулж үзье кТэгээд nтомъёонд оруулаад бид авна
Үүнтэй адилаар бид үйл явдлын магадлалыг олдог ХАМТ:
, Хаана
,
, өөрөөр хэлбэл
. Дараа нь
.

Жишээ 3 . 36 картын тавцангаас 4 картыг санамсаргүй байдлаар сугалав. Тэдгээрийн дунд дор хаяж гурван хөзрийн тамга байх магадлалыг ол.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(гаргасан хөзрүүдийн дунд дор хаяж гурван хөзөр байдаг);

Б=(гаргасан хөзрүүдийн дунд гурван хөзөр бий);

C=(гаргасан картуудын дунд дөрвөн хөзөр байдаг).

Учир нь А= Б+ C, үйл явдал INТэгээд ХАМТтаарахгүй байна, тэгвэл
. Үйл явдлын магадлалыг олцгооё INТэгээд ХАМТ:

,
. Тиймээс, сугалсан хөзрийн дунд дор хаяж гурван хөзөр байх магадлал тэнцүү байна

0.0022.

Үржүүлэх магадлал

Ажил хоёр үйл явдал АТэгээд INүйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ, эдгээр үйл явдлын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх:
. Энэ тодорхойлолт нь аливаа хязгаарлагдмал тооны үйл явдалд хамаарна.

Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг бие даасан , хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь нөгөө үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй бол. Үйл явдал ,, … ,гэж нэрлэдэг хамтын бие даасан , хэрэв тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдох магадлал нь бусад үйл явдал болсон эсвэл болоогүй эсэхээс хамаарахгүй бол.

Жишээ 4 . Хоёр буудагч бай руу буудаж байна. Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(эхний буудагч байг оносон);

Б=(хоёр дахь буудагч байг оносон).

Мэдээжийн хэрэг, эхний буудагч бай онох магадлал нь хоёр дахь мэргэн буудагч оносон эсвэл алдсан эсэхээс хамаарахгүй бөгөөд эсрэгээрээ. Тиймээс үйл явдал АТэгээд INбие даасан.

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем хүчинтэй байна. бие даасан хоёр үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна : .

Энэ теорем нь бас хүчинтэй nХамтдаа бие даасан үйл явдлууд: .

Жишээ 5 . Хоёр буудагч нэг бай руу бууддаг. Эхний мэргэн буучийг онох магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Хоёр буудагч хоёулаа нэг удаа бууддаг. Зорилтот дээр хоёр цохилт өгөх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А

Б

C=(буудагч хоёулаа бай онох болно).

Учир нь
, үйл явдал АТэгээд INбие даасан, тэгвэл
, өөрөөр хэлбэл.

Үйл явдал АТэгээд INгэж нэрлэдэг хамааралтай , хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь өөр үйл явдал болсон эсэхээс хамаарна. Үйл явдал болох магадлал Аүйл явдал болсон тохиолдолд INЭнэ нь аль хэдийн ирсэн, үүнийг дууддаг нөхцөлт магадлал болон томилогдсон
эсвэл
.

Жишээ 6 . Уг саванд 4 цагаан, 7 хар бөмбөлөг байдаг. Бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(цагаан бөмбөг зурсан);

Б=(хар бөмбөг зурсан).

Бөмбөгийг савнаас гаргаж эхлэхээс өмнө
. Нэг бөмбөгийг савнаас аваад хар өнгөтэй болсон. Дараа нь үйл явдлын магадлал Аүйл явдлын дараа INөөр, тэнцүү байх болно . Энэ нь үйл явдлын магадлал гэсэн үг юм Аүйл явдлаас хамаарна IN, өөрөөр хэлбэл Эдгээр үйл явдлууд нь хамааралтай байх болно.

Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем хүчинтэй байна. Хоёр хамааралтай үйл явдлын тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл эсвэл.

Жишээ 7 . Уг саванд 4 цагаан бөмбөлөг, 8 улаан бөмбөг байна. Үүнээс санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөгийг дараалан зурдаг. Хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(эхлээд хар бөмбөг зурсан);

Б=(хоёр дахь хар бөмбөгийг зурсан).

Үйл явдал АТэгээд INхамааралтай учраас
, А
. Дараа нь
.

Жишээ 8 . Гурван буудагч бие биенээсээ хамааралгүйгээр бай руу бууддаг. Эхний харвагчийн хувьд бай онох магадлал 0.5, хоёр дахь нь 0.6, гурав дахь нь 0.8 байна. Буудагч тус бүр нэг сум хийвэл онилсон байд хоёр онох магадлалыг ол.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(зорилтонд хоёр цохилт болно);

Б=(эхний харвасан хүн байг онох болно);

C=(хоёр дахь буудагч байг онох болно);

Д=(гурав дахь буудагч байг онох болно);

=(эхний харвасан хүн бай онохгүй);

=(хоёр дахь буудагч нь бай онохгүй);

=(гурав дахь буудагч бай онохгүй).

Жишээний дагуу
,
,
,

,
,
. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем ба бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үйл явдлуудыг зөвшөөр
зарим туршилтын үйл явдлын бүрэн бүлэг, үйл явдлуудыг бүрдүүлэх АЭдгээр үйл явдлын аль нэгэнд л тохиолдож болно. Үйл явдлын магадлал ба нөхцөлт магадлал нь мэдэгдэж байгаа бол А, дараа нь А үйл явдлын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

эсвэл
. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо , үйл явдал
таамаглал .

Жишээ 9 . Угсрах шугам нь эхний машинаас 700 эд анги, 300 эд анги хүлээн авдаг хоёр дахь нь. Эхний машин нь 0.5% хаягдал, хоёр дахь нь 0.7% үйлдвэрлэдэг. Авсан хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(авсан хэсэг нь гэмтэлтэй байх болно);

=(хэсгийг эхний машин дээр хийсэн);

=(хэсэг нь хоёр дахь машин дээр хийгдсэн).

Эхний машин дээр уг эд анги хийгдсэн байх магадлал тэнцүү байна
. Хоёр дахь машины хувьд
. Нөхцөл байдлын дагуу эхний машин дээр хийсэн гэмтэлтэй хэсгийг хүлээн авах магадлал тэнцүү байна
. Хоёрдахь машины хувьд энэ магадлал тэнцүү байна
. Дараа нь авсан хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор тооцоолно

Туршилтын үр дүнд ямар нэгэн үйл явдал болсон нь мэдэгдэж байгаа бол А, дараа нь таамаглалтай энэ үйл явдал болсон байх магадлал
, тэнцүү байна
, Хаана
- үйл явдлын нийт магадлал А. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Бэйсийн томъёо үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно
болсон нь тодорхой болсны дараа Ааль хэдийн ирсэн.

Жишээ 10 . Нэг төрлийн машины эд ангиудыг хоёр үйлдвэрт үйлдвэрлэж дэлгүүрт хүргэдэг. Эхний үйлдвэр нь нийт эд ангиудын 80%, хоёр дахь нь 20% -ийг үйлдвэрлэдэг. Эхний үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн нь стандарт хэсгүүдийн 90%, хоёр дахь нь 95% -ийг агуулдаг. Худалдан авагч нэг хэсгийг худалдаж авсан бөгөөд энэ нь стандарт болсон. Энэ хэсгийг хоёрдугаар үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Шийдэл . Үйл явдлыг тэмдэглэе:

А=(стандарт хэсгийг худалдаж авсан);

=(хэсгийг эхний үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн);

=(хэсгийг хоёрдугаар үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн).

Жишээний дагуу
,
,
Тэгээд
. Үйл явдлын нийт магадлалыг тооцоолъё А: 0.91. Бид хоёр дахь үйлдвэрт уг хэсгийг үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг Байесийн томъёогоор тооцоолно.

.

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Эхний харвагчийн хувьд бай онох магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.9 байна. Буудагчид тус бүр нэг удаа буудсан. Зорилтот дээр дор хаяж хоёр цохилт өгөх магадлалыг ол.

Засварын газар 15 трактор хүлээн авсан. Тэдний 6 нь хөдөлгүүрийг солих, үлдсэн хэсэг нь бие даасан эд ангиудыг солих шаардлагатай гэдгийг мэддэг. Гурван тракторыг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгосон хоёроос илүүгүй тракторын хөдөлгүүрийг солих шаардлагатай байх магадлалыг ол.

Төмөр бетоны үйлдвэр нь хавтан үйлдвэрлэдэг бөгөөд 80% нь дээд зэргийн чанартай байдаг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон гурван самбараас дор хаяж хоёр нь хамгийн өндөр үнэлгээтэй байх магадлалыг ол.

Гурван ажилчин холхивч угсарч байна. Эхний ажилчны угсарсан холхивч хамгийн өндөр чанартай байх магадлал 0.7, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.6 байна. Хяналтын хувьд ажилчин бүрийн угсарсан нэг холхивчийг санамсаргүй байдлаар авсан. Хамгийн багадаа хоёр нь хамгийн чанартай байх магадлалыг ол.

Эхний сугалааны тасалбарыг хожих магадлал 0.2, хоёр дахь нь 0.3, гурав дахь нь 0.25 байна. Дугаар бүрт нэг тасалбар байна. Хамгийн багадаа хоёр тасалбар хожих магадлалыг ол.

Нягтлан бодогч гурван лавлах номыг ашиглан тооцоо хийдэг. Түүний сонирхож буй өгөгдөл нь эхний лавлахад 0.6, хоёрдугаарт 0.7, гуравдугаарт 0.8 байна. Нягтлан бодогчийн сонирхож буй өгөгдөл нь хоёроос илүүгүй лавлахад агуулагдах магадлалыг ол.

Гурван машин эд анги үйлдвэрлэдэг. Эхний машин нь хамгийн өндөр чанарын хэсгийг 0.9, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.6 магадлалтайгаар үйлдвэрлэдэг. Машин бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар авдаг. Хамгийн багадаа хоёр нь хамгийн чанартай байх магадлалыг ол.

Ижил төрлийн эд ангиудыг хоёр машин дээр боловсруулдаг. Эхний машинд стандарт бус эд анги үйлдвэрлэх магадлал 0.03, хоёр дахь машинд 0.02 байна. Боловсруулсан эд ангиудыг нэг газар хадгална. Тэдний 67% нь эхний машин, үлдсэн нь хоёр дахь машин байна. Санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт болсон. Эхний машин дээр хийгдсэн байх магадлалыг ол.

Семинарт ижил төрлийн конденсаторын хоёр хайрцаг хүлээн авсан. Эхний хайрцагт 20 конденсатор байсан бөгөөд үүнээс 2 нь гэмтэлтэй байв. Хоёр дахь хайрцагт 10 конденсатор байгаа бөгөөд үүнээс 3 нь гэмтэлтэй байна. Конденсаторуудыг нэг хайрцагт байрлуулсан. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авсан конденсатор сайн нөхцөлд байх магадлалыг ол.

Гурван машин нь ижил төрлийн эд ангиудыг үйлдвэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг нийтлэг конвейерт нийлүүлдэг. Бүх эд ангиудын 20% нь эхний машинаас, 30% нь хоёрдугаарт, 505 нь гурав дахь машинаас байна. Эхний машин дээр стандарт эд анги үйлдвэрлэх магадлал 0.8, хоёр дахь машинд 0.6, гурав дахь машинд 0.7 байна. Авсан хэсэг нь стандарт болсон. Энэ хэсгийг гурав дахь машин дээр хийсэн байх магадлалыг ол.

Угсрагч нь угсрах эд ангиудын 40%-ийг үйлдвэрээс авдаг А, үлдсэн хэсэг нь - үйлдвэрээс IN. Энэ хэсэг нь үйлдвэрээс гарсан байх магадлал А– дээд зэргийн чанартай, 0.8-тай тэнцүү, үйлдвэрээс IN– 0.9. Ассемблер нь нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар аваад чанаргүй болсон. Энэ хэсэг нь үйлдвэрийнх байх магадлалыг ол IN.

Оюутны спортын тэмцээнд нэгдүгээр бүлгээс 10, хоёрдугаар бүлгээс 8 сурагчийг хуваарилсан. Нэгдүгээр бүлгийн оюутан академийн багт багтах магадлал 0.8, хоёрдугаарт 0.7 байна. Багийн бүрэлдэхүүнд санамсаргүй түүврээр сонгогдсон оюутныг оруулсан. Тэр эхний бүлгийнх байх магадлалыг ол.

Бернуллигийн томъёо

Туршилтуудыг дуудаж байна бие даасан , хэрэв тус бүрийн хувьд үйл явдал Аижил магадлалтайгаар тохиолддог
, энэ үйл явдал бусад туршилтуудад гарсан эсэхээс үл хамааран. Эсрэг үйл явдлын магадлал энэ тохиолдолд тэнцүү байна
.

Жишээ 11 . Шоо хаяж байна nнэг удаа. Үйл явдлыг тэмдэглэе А=(гурван оноо өнхрүүлэх). Үйл явдал болох магадлал Атуршилт бүрт тэнцүү бөгөөд энэ үйл явдал бусад туршилтуудад тохиолдсон эсэхээс хамаарахгүй. Тиймээс эдгээр туршилтууд нь бие даасан байдаг. Эсрэг үйл явдлын магадлал
(гурван оноо өнхрүүлэхгүй) тэнцүү байна
.

Үүнд орох магадлал nбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үйл явдлын магадлал Атэнцүү х, үйл явдал яг тохиолдох болно кудаа (ямар дараалал нь хамаагүй), томъёогоор тооцоолно
, Хаана
. Энэ томъёог гэж нэрлэдэг Бернуллигийн томъёо тестийн тоо n хэт их биш байвал тохиромжтой.

Жишээ 12 . Өвчний далд хэлбэрээр халдвар авсан жимсний эзлэх хувь 25% байна. 6 жимсийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгогдсон хүмүүсийн дунд: а) яг 3 халдвартай жимс байх магадлалыг ол; б) халдвартай хоёроос илүүгүй жимс.

Шийдэл . Жишээ нөхцөлийн дагуу.

a) Бернуллигийн томъёогоор сонгогдсон зургаан жимснээс яг гурав нь халдвар авах магадлал нь тэнцүү байна.

0.132.

б) Үйл явдлыг тэмдэглэе А=(хоёроос илүүгүй жимс халдварлахгүй). Дараа нь . Бернуллигийн томъёоны дагуу:

0.297.

Тиймээс,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Лаплас ба Пуассоны теоремууд

Үйл явдал болох магадлалыг олохын тулд Бернуллигийн томъёог ашигладаг Аирнэ кнэг удаа nбие даасан туршилтууд ба туршилт бүрт үйл явдлын магадлал Атогтмол байна. N-ийн их утгын хувьд Бернуллигийн томъёог ашиглан тооцоо хийх нь маш их хүчин чармайлт шаарддаг. Энэ тохиолдолд үйл явдлын магадлалыг тооцоолох АӨөр томъёо хэрэглэх нь дээр.

Орон нутгийн Лаплас теорем . Магадлалыг нь үзье хүйл явдал тохиолдох Атуршилт бүрт тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай. Дараа нь үйл явдлын магадлал Аяг ирэх болно кудаа хангалттай олон тооны n туршилтыг томъёогоор тооцоолно

, Хаана
, функцийн утгууд
хүснэгтэд өгөгдсөн.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд
нь:

Чиг үүрэг
тодорхойлогдсон ба интервалд тасралтгүй
.

Чиг үүрэг
эерэг, өөрөөр хэлбэл.
>0.

Чиг үүрэг
тэр ч байтугай, өөрөөр хэлбэл.
.

Функцээс хойш
тэгш байвал хүснэгт нь зөвхөн эерэг утгуудын утгыг харуулна X.

Жишээ 13 . Улаан буудайн үрийн соёололт 80% байна. Туршилтанд 100 үрийг сонгосон. Сонгосон үрээс яг 90 үр соёолж гарах магадлалыг ол.

Шийдэл . Жишээний дагуу n=100, к=90, х=0.8, q=1-0.8=0.2. Дараа нь
. Хүснэгтийг ашиглан функцийн утгыг олно
:
. Сонгосон үрүүдээс яг 90 нь соёолж гарах магадлал тэнцүү байна
0.0044.

Практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ ямар нэгэн үйл явдал болох магадлалыг олох шаардлагатай болдог Ацагт nбие даасан тестүүд багагүй байна нэг удаа, дахиад үгүй нэг удаа. Энэ асуудлыг ашиглан шийддэг Лапласын интеграл теорем : Магадлалыг үзье хүйл явдал тохиолдох Абүрт nбие даасан тестүүд нь тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай. Дараа нь үйл явдал болох магадлал хамгийн багадаа байна нэг удаа, дахиад үгүй хангалттай олон тооны туршилт бүхий удаа, томъёогоор тооцоолно

Хаана
,
.

Чиг үүрэг
дуудсан Лаплас функц ба энгийн функцээр илэрхийлэгдэхгүй. Энэ функцийн утгыг тусгай хүснэгтэд өгсөн болно.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд
нь:

.

Чиг үүрэг
интервалаар нэмэгддэг
.

цагт
.

Чиг үүрэг
хачин, өөрөөр хэлбэл
.

Жишээ 14 . Тус компани бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд үүний 13% нь хамгийн өндөр чанартай биш юм. Хамгийн сайн чанарын 150 нэгжийн туршаагүй багцад 125-аас багагүй, 135-аас ихгүй байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл . гэж тэмдэглэе. Тооцоод үзье
,

Магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.

Хоёр үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь хамтарсан тохиолдох магадлалгүйгээр эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Хоёр үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Жишээ 2.16.Буудагч 3 хэсэгт хуваагдсан бай руу бууддаг. Эхний хэсэгт цохих магадлал 0.45, хоёр дахь нь 0.35 байна. Буудагч нэг сумаар эхний болон хоёрдугаар хэсгийн аль нэгийг онох магадлалыг ол.

Шийдэл.

Үйл явдал А- "буудагч эхний хэсгийг оносон" ба IN- "буудагч хоёр дахь хэсгийг оносон" - нийцэхгүй байна (нэг хэсэгт орох нь нөгөө рүү орохгүй) тул нэмэх теорем хэрэгжинэ.

Шаардлагатай магадлал нь:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Магадлалын нэмэх теорем Пүл нийцэх үйл явдлууд. Үл нийцэх n үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

Үйл явдлын магадлал INүйл явдал болсон тохиолдолд А, үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэж нэрлэдэг INба дараах байдлаар тэмдэглэнэ. P(V/A),эсвэл R A (B).

. Эхний үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд хоёр үйл явдлын магадлал нь тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P(AB)=P(A)P A (B).

Үйл явдал INүйл явдлаас хамаарахгүй А, Хэрэв

R A (V) = R (V),

тэдгээр. үйл явдлын магадлал INүйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй А.

Хоёр бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P(AB)=P(A)P(B).

Жишээ 2.17.Эхний болон хоёр дахь буугаар буудах үед бай онох магадлал нь тэнцүү байна. х 1 = 0,7; х 2= 0.8. Нэг буугаар (хоёр буугаар) ядаж нэг буугаар цохих магадлалыг ол.

Шийдэл.

Буу тус бүрийн бай руу онох магадлал нь нөгөө буугаар буудсаны үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдал А– “эхний буугаар цохисон” ба IN- "хоёр дахь буугаар цохисон" нь бие даасан.

Үйл явдлын магадлал AB- "хоёр буу оносон":

Шаардлагатай магадлал

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Магадлалын үржүүлэх теорем Пүйл явдал.n үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь өмнөх бүх үйл явдал тохиолдсон гэсэн таамаглалаар тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгийг нь бусад бүх үйл явдлын нөхцөлт магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 2.18. Уг саванд 5 цагаан, 4 хар, 3 цэнхэр бөмбөлөг байна. Туршилт бүр нэг бөмбөгийг буцааж тавихгүйгээр санамсаргүй байдлаар зайлуулахаас бүрдэнэ. Эхний туршилтанд цагаан бөмбөг (А үйл явдал), хоёр дахь нь хар бөмбөг (B үйл явдал), гурав дахь нь цэнхэр бөмбөг (C үйл явдал) гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл.

Эхний туршилтанд цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал:

Эхний туршилтанд цагаан бөмбөг гарч ирсэн гэсэн таамаглалаар тооцсон хоёр дахь туршилтанд хар бөмбөг гарч ирэх магадлал, өөрөөр хэлбэл нөхцөлт магадлал:

Гурав дахь туршилтанд цэнхэр бөмбөг гарч ирэх магадлалыг эхний туршилтанд цагаан бөмбөг, хоёр дахь удаад хар бөмбөг гарч ирсэн гэсэн таамаглалаар тооцоолсон, өөрөөр хэлбэл нөхцөлт магадлал:

Шаардлагатай магадлал нь:

Магадлалын үржүүлэх теорем Пбие даасан үйл явдлууд.n бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)...P(A p).

Ядаж нэг үйл явдал тохиолдох магадлал. Нийтдээ бие даасан A 1, A 2, ..., A n үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь нэгдмэл байдал ба эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийн зөрүүтэй тэнцүү байна.:

.

Жишээ 2.19.Гурван буугаар буудах үед бай онох магадлал дараах байдалтай байна. х 1 = 0,8; х 2 = 0,7;х 3= 0.9. Дор хаяж нэг цохих магадлалыг ол (үйл явдал А) бүх буунаас нэг буугаар.

Шийдэл.

Буу тус бүрийн бай руу онох магадлал нь бусад буугаар буудсаны үр дүнгээс хамаардаггүй тул авч үзэж буй үйл явдлууд А 1(эхний буугаар цохисон), А 2(хоёр дахь буугаар цохисон) ба А 3(гурав дахь буугаар цохисон) нийт бие даасан байна.

Үйл явдлын эсрэг үйл явдлын магадлал А 1, А 2Тэгээд А 3(өөрөөр хэлбэл алдах магадлал) нь дараахтай тэнцүү байна.

, , .

Шаардлагатай магадлал нь:

Хэрэв бие даасан үйл явдлууд A 1, A 2, …, A p-ын магадлал ижил байна Р, дараа нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Р(А)= 1 – q n ,

Хаана q=1- х

2.7. Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо.

Үйл явдал болъё Аүл нийцэх үйл явдлын аль нэг тохиолдсон тохиолдолд тохиолдож болно N 1, N 2, …, N p, үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх. Эдгээр үйл явдлуудын аль нь тохиолдох нь урьдчилан мэдэгддэггүй тул тэдгээрийг дууддаг таамаглал.

Үйл явдал тохиолдох магадлал Атооцоолсон Нийт магадлалын томъёо:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Энэ үйл явдлын үр дүнд туршилт хийсэн гэж бодъё Аболсон. Үйл явдлын нөхцөлт магадлал N 1, N 2, …, N pүйл явдлын талаар Атодорхойлогдож байна Бэйсийн томъёо:

,

Жишээ 2.20. Шалгалт өгөхөөр ирсэн 20 сурагчаас 6 нь онц, 8 нь сайн, 4 нь хангалттай, 2 нь сул байсан. Шалгалтын хуудас нь 30 асуулттай. Бэлтгэл сайтай оюутан 30 асуултад бүгдэд нь, сайн бэлтгэгдсэн оюутан 24 асуултад, сайн бэлтгэгдсэн оюутан 15 асуултад, муу бэлтгэсэн оюутан 7 асуултад хариулж чадна.

Санамсаргүй байдлаар дуудагдсан оюутан гурав санамсаргүй байдлаар хариулав. асуулт асуусан. Энэ сурагч бэлтгэлтэй байх магадлалыг ол: a) онц; б) муу.

Шийдэл.

Таамаглал - "Оюутан сайн бэлтгэгдсэн";

- "Оюутан сайн бэлтгэгдсэн";

– “Оюутан хангалттай бэлтгэгдсэн”;

- "Оюутан бэлтгэл муутай."

Туршлагын өмнө:

; ; ; ;

7. Бүтэн үйл явдлын бүлэг гэж юу вэ?

8. Ямар үйл явдлыг тэгш боломжтой гэж нэрлэдэг вэ? Ийм үйл явдлын жишээг өг.

9. Анхан шатны үр дүн гэж юу вэ?

10. Энэ үйл явдлын хувьд ямар үр дүнг би таатай гэж үзэж байна вэ?

11. Үйл явдал дээр ямар үйлдлүүд хийж болох вэ? Тэдгээрийг тодорхойл. Тэд хэрхэн томилогдсон бэ? Жишээ хэлнэ үү.

12. Магадлал гэж юу вэ?

13. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ?

14. Боломжгүй үйл явдлын магадлал хэд вэ?

15. Магадлалын хязгаар гэж юу вэ?

16. Хавтгай дээр геометрийн магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

17. Сансар огторгуйд магадлалыг хэрхэн тодорхойлдог вэ?

18. Шулуун дээр магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

19. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал хэд вэ?

20. Үл нийцэх хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал хэд вэ?

21. Үл нийцэх n үйл явдлын нийлбэрийн магадлал хэд вэ?

22. Ямар магадлалыг нөхцөлт гэж нэрлэдэг вэ? Жишээ хэлье.

23. Магадлалын үржүүлэх теоремыг хэл.

24. Ядаж нэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг хэрхэн олох вэ?

25. Ямар үйл явдлыг таамаглал гэж нэрлэдэг вэ?

26. Нийт магадлалын томьёо болон Бэйсийн томъёог хэзээ хэрэглэх вэ?