Илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем
-тай нийлмэл тоо

Өнөөдөр хичээл дээр бид нийлмэл тоонуудтай ердийн үйлдлүүдийг дадлага хийхээс гадна эдгээр тоог агуулсан илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмших болно. Энэхүү семинар нь хичээлийн үргэлжлэл бөгөөд хэрэв та энэ сэдвийг сайн мэдэхгүй бол дээрх холбоосоор орно уу. За, илүү бэлтгэлтэй уншигчдын хувьд би танд даруй дулаацахыг санал болгож байна:

Жишээ 1

Илэрхийлэлийг хялбарчлах , Хэрэв . Үр дүнг тригонометрийн хэлбэрээр дүрсэлж, нарийн төвөгтэй хавтгай дээр зур.

Шийдэл: тиймээс та бутархайг "аймшигтай" бутархай болгон орлуулж, хялбаршуулж, үр дүнг хөрвүүлэх хэрэгтэй. нийлмэл тооВ тригонометрийн хэлбэр. Дээрээс нь зураг.

Шийдвэрийг албан ёсны болгох хамгийн сайн арга юу вэ? "нарийн төвөгтэй" алгебрийн илэрхийлэлҮүнийг алхам алхмаар ойлгох нь дээр. Нэгдүгээрт, анхаарал сарниулах нь бага, хоёрдугаарт, даалгаврыг хүлээж аваагүй тохиолдолд алдааг олоход илүү хялбар байх болно.

1) Эхлээд тоологчийг хялбаршуулж үзье. Үүний утгыг орлуулж, хаалтыг нээж, үс засалтаа засъя:

...Тийм ээ, ийм Квазимодо комплекс тооноос гаралтай...

Өөрчлөлтийн явцад туйлын энгийн зүйлсийг ашигладаг болохыг сануулъя - олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрэм, аль хэдийн улиг болсон тэгш байдал. Хамгийн гол нь болгоомжтой байж, шинж тэмдгүүдэд андуурч болохгүй.

2) Одоо хуваагч ирдэг. Хэрэв бол:

Үүнийг ямар ер бусын тайлбарт ашиглаж байгааг анзаараарай квадрат нийлбэрийн томъёо. Өөрөөр та энд дахин зохицуулалт хийж болно дэд томъёо Үр дүн нь мэдээжийн хэрэг ижил байх болно.

3) Эцэст нь бүхэл бүтэн илэрхийлэл. Хэрэв бол:

Бутархайг арилгахын тулд хүртэгч ба хуваагчийг хуваагчийн нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ. Үүний зэрэгцээ, хэрэглээний зорилгоор квадрат ялгааны томъёоэхлээд байх ёстой (мөн аль хэдийн заавал байх ёстой!)сөрөг бодит хэсгийг 2-р байранд тавь:

Тэгээд одоо гол дүрэм:

БИД ЯАРАХГҮЙ БАЙНА! Үүнийг аюулгүй тоглож, нэмэлт алхам хийх нь дээр.
Комплекс тоо бүхий илэрхийлэл, тэгшитгэл, системд хэт ихэмсэг аман тооцоолол урьд урьдынхаас илүү их ачаалалтай!

Эцсийн шатанд сайн бууралт гарсан бөгөөд энэ нь зүгээр л гайхалтай шинж тэмдэг юм.

Анхаарна уу : хатуухан хэлэхэд энд нийлмэл тоог 50 цогцолбор тоонд хуваах явдал тохиолдсон (үүнийг санаарай). Би энэ нюансын талаар одоог хүртэл чимээгүй байсан бөгөөд бид энэ талаар жаахан дараа ярих болно.

Амжилтаа үсгээр тэмдэглэе

Тригонометрийн хэлбэрээр олж авсан үр дүнг танилцуулъя. Ерөнхийдөө энд та зураг зурахгүйгээр хийж болно, гэхдээ үүнийг хийх шаардлагатай байгаа тул яг одоо хийх нь арай оновчтой юм.

Комплекс тооны модулийг тооцоолъё:

Хэрэв та 1 нэгжийн масштабаар зурсан бол. = 1 см (2 дэвтэр нүд), дараа нь олж авсан утгыг энгийн захирагч ашиглан хялбархан шалгаж болно.

Аргумент олъё. Тоо нь координатын 2-р улиралд байрлаж байгаа тул:

Өнцгийг протектороор хялбархан шалгаж болно. Энэ бол зургийн эргэлзээгүй давуу тал юм.

Тиймээс: – тригонометрийн хэлбэрээр шаардлагатай тоо.

Шалгацгаая:
, үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Синус ба косинусын үл мэдэгдэх утгыг ашиглан олоход тохиромжтой тригонометрийн хүснэгт.

Хариулах:

Үүнтэй төстэй жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Илэрхийлэлийг хялбарчлах , Хаана. Үүссэн тоог комплекс хавтгай дээр зурж, экспоненциал хэлбэрээр бич.

Хичээлийн жишээг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй. Тэд энгийн мэт санагдаж болох ч бэлтгэл хийхгүйгээр "шүлгэрт орох" нь зүгээр л хялбар биш, гэхдээ маш хялбар байдаг. Тиймээс бид "гараа ав".

Ихэнхдээ асуудал нь нэгээс олон шийдэлтэй байдаг:

Жишээ 3

Тооцоолох бол,

Шийдэл: юуны түрүүнд, анхны нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулцгаая - нэг тоог алгебр, нөгөөг нь тригонометрийн хэлбэрээр, тэр ч байтугай градусаар үзүүлэв. Үүнийг илүү танил хэлбэрээр нэн даруй дахин бичье: .

Тооцооллыг ямар хэлбэрээр хийх ёстой вэ? Энэ илэрхийлэл нь эхлээд үржүүлж, дараа нь 10-р зэрэглэлд хүргэхийг агуулна Мойврын томъёо, энэ нь комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Тиймээс эхний тоог хөрвүүлэх нь илүү логик юм шиг санагддаг. Түүний модуль болон аргументыг олцгооё:

Бид тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг ашигладаг.
хэрэв , тэгвэл

Бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг "мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна (баяртай.):

Хоёр дахь шийдэл 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт шилжүүлэх явдал юм , дотор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ алгебрийн хэлбэр, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлж, Moivre-ийн томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар нэг "нэмэлт" үйлдэл байна. Хүссэн хүмүүс шийдвэрээ дагаж, үр дүн нь ижил байх болно.

Нөхцөл нь эцсийн цогцолбор тооны хэлбэрийн талаар юу ч хэлээгүй тул:

Хариулах:

Гэхдээ "гоо сайхны төлөө" эсвэл эрэлт хэрэгцээний хувьд үр дүнг алгебрийн хэлбэрээр төсөөлөхөд хэцүү биш юм.

ганцаараа:

Жишээ 4

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Энд бид санаж байх хэрэгтэй зэрэгтэй үйлдлүүд, хэдийгээр нэг ашигтай дүрэмЭнэ нь гарын авлагад байхгүй, энд байна: .

Бас нэг чухал тэмдэглэл: жишээг хоёр хэв маягаар шийдэж болно. Эхний сонголт бол хамтран ажиллах явдал юм хоёртоо болон бутархайтай зөв байх. Хоёр дахь сонголт нь тоо бүрийг дараах байдлаар илэрхийлэх явдал юм хоёр тооны харьцаа: Тэгээд дөрвөн давхар барилгаас салах. Албан ёсны үүднээс авч үзвэл та яаж шийдэх нь хамаагүй, гэхдээ мэдэгдэхүйц ялгаа бий! Дараахыг сайтар бодож үзээрэй.
цогц тоо;
гэдэг нь хоёр нийлмэл тооны коэффициент ( ба ), гэхдээ контекстээс хамааран та үүнийг бас хэлж болно: хоёр комплекс тооны категори хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тоо.

Түргэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Илэрхийлэл сайн, гэхдээ тэгшитгэл нь илүү сайн:

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд

Тэд "ердийн" тэгшитгэлээс юугаараа ялгаатай вэ? Боломж =)

Дээрх тайлбарын үүднээс энэ жишээнээс эхэлцгээе.

Жишээ 5

Тэгшитгэлийг шийд

Мөн нэн даруй "өсгий дээр халуухан" оршил: эхэндээ баруун хэсэгтэгшитгэл нь хоёр нийлмэл тооны (болон 13) хуваарь хэлбэрээр байрласан тул нөхцөлийг тоогоор дахин бичих нь буруу хэлбэр болно. (хэдийгээр энэ нь алдаа гаргахгүй). Дашрамд хэлэхэд энэ ялгаа нь бутархай хэсэгт илүү тод харагдаж байна - хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл энэ утгыг үндсэндээ гэж ойлгодог. тэгшитгэлийн "бүрэн" цогц язгуур, мөн тооны хуваагч биш, ялангуяа тооны хэсэг биш!

Шийдэл, зарчмын хувьд, мөн алхам алхмаар зохион байгуулж болно, гэхдээ энэ тохиолдолдтоглоом нь лааны үнэ цэнэтэй биш юм. Эхний даалгавар бол үл мэдэгдэх "z" агуулаагүй бүх зүйлийг хялбарчлах явдал бөгөөд тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.

Бид дунд бутархайг итгэлтэйгээр хялбарчилж байна:

Бид үр дүнг баруун тал руу шилжүүлж, ялгааг олно.

Анхаарна уу : мөн би дахин нэг утга учиртай зүйлд анхаарлаа хандуулж байна - энд бид тооноос тоог хасаагүй, харин бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирсан! Үүнийг шийдвэрлэх шатандаа байгаа тоонуудтай ажиллахыг хориглоогүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч авч үзэж буй жишээнд энэ хэв маяг нь ашигтай гэхээсээ илүү хор хөнөөлтэй юм =)

Пропорциональ дүрмийн дагуу бид "зэт" -ийг илэрхийлнэ.

Одоо та дахин нэгдэлд хувааж, үржүүлж болно, гэхдээ тоологч болон хуваагч дахь сэжигтэй төстэй тоонууд дараагийн алхамыг санал болгож байна:

Хариулах:

Шалгахын тулд үр дүнгийн утгыг орлуулъя зүүн тал анхны тэгшитгэлмөн зарим хялбаршуулалтыг хийцгээе:

– анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авсан тул үндсийг зөв олно.

...Одоо, одоо... Би чамд илүү сонирхолтой зүйл олно... эндээс:

Жишээ 6

Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь хэлбэр болж буурдаг бөгөөд энэ нь шугаман гэсэн үг юм. Санамж тодорхой байна гэж бодож байна - үүнийг хий!

Мэдээж... чи түүнгүйгээр яаж амьдрах вэ?

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл

Хичээл дээр Даммигийн нийлмэл тооБодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл нь нэгтгэсэн нийлмэл язгууртай болохыг олж мэдсэн бөгөөд үүний дараа логик асуулт гарч ирдэг: яагаад коэффициентүүд өөрсдөө нарийн төвөгтэй байж болохгүй вэ? Би томъёолъё ерөнхий тохиолдол:

Дурын комплекс коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл (1 эсвэл 2 нь эсвэл гурвуулаа, ялангуяа хүчинтэй байж болно)Байгаа хоёр, зөвхөн хоёрцогц үндэс (нэг юм уу хоёулаа хүчинтэй байж магадгүй). Үүний зэрэгцээ, үндэс (бодит ба тэгээс бусад төсөөлөлтэй хэсэг)давхцаж болно (олон тооны байх).

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийг ижил схемийн дагуу шийддэг "сургуулийн" тэгшитгэлТооцооллын техникийн зарим ялгаанууд:

Жишээ 7

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

Шийдэл: төсөөллийн нэгж нь хамгийн түрүүнд ирдэг бөгөөд зарчмын хувьд та үүнийг арилгах боломжтой (хоёр талыг үржүүлэх)Гэсэн хэдий ч үүнд онцгой шаардлага байхгүй.

Тохиромжтой болгохын тулд бид коэффициентүүдийг бичнэ:

Чөлөөт гишүүний "хасах"-ыг бүү алдаарай! ...Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байж магадгүй - Би тэгшитгэлийг дахин бичнэ стандарт хэлбэр :

Дискриминантыг тооцоолъё:

Энд гол саад тотгор байна:

Өргөдөл ерөнхий томъёоүндэс олборлолт (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү Даммигийн нийлмэл тоо) радикал цогцолбор тооны аргументтай холбоотой ноцтой хүндрэлүүдээр төвөгтэй байдаг (өөрөөсөө харна уу). Гэхдээ өөр нэг "алгебрийн" арга бий! Бид үндэсийг дараах хэлбэрээр хайх болно.

Хоёр талыг квадрат болгоё:

Бодит болон төсөөлөн хэсгүүд нь тэнцүү бол хоёр нийлмэл тоо тэнцүү байна. Тиймээс бид авдаг дараах систем:

Сонгох замаар системийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг (илүү нарийвчилсан арга бол 2-р тэгшитгэлээс илэрхийлэх явдал юм - 1-р тэгшитгэлийг орлуулах, олж авах, шийдвэрлэх биквадрат тэгшитгэл) . Асуудлын зохиогч нь мангас биш гэж үзвэл бид бүхэл тоо гэсэн таамаглал дэвшүүлэв. 1-р тэгшитгэлээс "x" гарч ирнэ. модуль"Y" -ээс илүү. Нэмж дурдахад эерэг бүтээгдэхүүн нь үл мэдэгдэх зүйл нь ижил тэмдэгтэй гэдгийг бидэнд хэлдэг. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн 2-р тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулснаар бид түүнд тохирох бүх хосыг бичнэ.

Системийн 1-р тэгшитгэлийг сүүлийн хоёр хос хангаж байгаа нь тодорхой байна, ингэснээр:

Завсрын шалгалт нь гэмтээхгүй:

Үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Та "ажлын" үндэс болгон сонгож болно ямар чутга учир. "Сул тал"гүйгээр хувилбарыг авах нь илүү дээр гэдэг нь тодорхой байна.

Дашрамд хэлэхэд бид үндсийг нь олдог, дашрамд хэлэхэд:

Хариулах:

Олдсон язгуурууд тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая :

1) орлуулъя:

жинхэнэ тэгш байдал.

2) орлуулъя:

жинхэнэ тэгш байдал.

Тиймээс шийдэл нь зөв олдсон.

Бидний дөнгөж сая ярилцсан асуудал дээр үндэслэн:

Жишээ 8

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол

-ийн квадрат язгуур гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй цэвэр цогцЕрөнхий томъёог ашиглан тоонуудыг хялбархан гаргаж болно , Хаана , тиймээс хоёр аргыг жишээнд үзүүлэв. Хоёрдахь ашигтай тайлбар нь тогтмолын үндсийг урьдчилан гаргаж авах нь шийдлийг огт хялбаршуулдаггүйтэй холбоотой юм.

Одоо та тайвширч болно - энэ жишээнд та бага зэрэг айдастай байх болно :)

Жишээ 9

Тэгшитгэлийг шийдэж, шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Өгүүллийн эцсийн догол мөрийг үүнд зориулав

комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн систем

Тайвширч,... бүү чангалцгаая =) Хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье - хоёр систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй:

Жишээ 10

Тэгшитгэлийн системийг шийд. Хариултыг алгебр болон экспоненциал хэлбэрээр танилцуулж, зурган дээрх үндсийг дүрсэл.

Шийдэл: нөхцөл нь өөрөө систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болохыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл бид хангасан хоёр тоог олох хэрэгтэй. тус бүртсистемийн тэгшитгэл.

Системийг үнэхээр “хүүхдийн” аргаар шийдэж болно (нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлнэ) , гэхдээ энэ нь ашиглахад илүү тохиромжтой Крамерын томъёо. Тооцоолъё гол тодорхойлогчсистемүүд:

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Цаг заваа гаргаж, алхамуудыг аль болох нарийвчлан бичих нь дээр гэдгийг би давтан хэлье.

Бид тоологч ба хуваагчийг төсөөллийн нэгжээр үржүүлээд 1-р үндсийг авна.

Үүний нэгэн адил:

Харгалзах баруун гар талыг олж авсан гэх мэт.

Зураг зурцгаая:

Үндэсийг экспоненциал хэлбэрээр төлөөлүүлье. Үүнийг хийхийн тулд та тэдгээрийн модулиуд болон аргументуудыг олох хэрэгтэй.

1) - "хоёр"-ын артангенсыг "муу" гэж тооцсон тул бид үүнийг дараах байдлаар үлдээв.

ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛ

"ВОРОНЕЖИЙН УЛСЫН БАГШИЙН ​​ИХ СУРГУУЛЬ"

АГЛЕБРА ГЕОМЕТРИЙН ТЭНХИМ

Нарийн төвөгтэй тоо

(сонгосон даалгавар)

ТӨГСӨГЧИЙН МЭРГЭШЛИЙН АЖИЛ

050201.65 математикийн мэргэжил

(050202.65 компьютерийн шинжлэх ухааны нэмэлт мэргэжлээр)

Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан

физик, математик

тэнхим

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

ВОРОНЕЖ - 2008 он

1. Танилцуулга……………………………………………………...…………..…

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн нийлмэл тоо ………………….….

2.2. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар ………………

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

2.4. Комплекс тооны онолыг 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэлд ашиглах нь……………………………………………………………………

2.5. Цогцолбор тоо ба параметрүүд……………………………………………

3. Дүгнэлт…………………………………………………………………………….

4. Ашигласан материалын жагсаалт……………………………………………………

1. Танилцуулга

Математикийн хөтөлбөрт сургуулийн курстооны онолыг натурал тоо, бүхэл тоо, рациональ, иррационалийн олонлогийн жишээнүүдийг ашиглан нэвтрүүлсэн. зураг нь бүхэл тооны мөрийг дүүргэх бодит тоонуудын багц дээр. Гэхдээ аль хэдийн 8-р ангид сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодит тооны нийлүүлэлт хангалтгүй байна. Тиймээс бодит тоонуудын нөөцийг квадрат язгуур бүхий цогц тоонуудын тусламжтайгаар нөхөх шаардлагатай байв. сөрөг тоогэсэн утгатай.

Төгсөлтийн сэдэв болгон "Цогцолбор тоо" сэдвийг сонгосон шаардлага хангасан ажил, нийлмэл тооны тухай ойлголт нь сурагчдын тоон системийн тухай, алгебрийн болон геометрийн агуулгын өргөн хүрээний бодлогуудыг шийдвэрлэх, шийдвэрлэх тухай мэдлэгийг өргөжүүлдэг. алгебрийн тэгшитгэлямар ч зэрэг болон параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх тухай.

Энэхүү дипломын ажил нь 82 асуудлын шийдлийг авч үздэг.

"Цогцолбор тоо" үндсэн хэсгийн эхний хэсэг нь алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоо бүхий асуудлын шийдлийг өгч, нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд, алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоонуудын залгах үйлдлүүд, төсөөллийн нэгжийн хүчийг тодорхойлно. , нийлмэл тооны модуль, мөн дүрмийн олборлолтыг тогтооно квадрат язгуурцогц тооноос.

Хоёрдахь хэсэгт нийлмэл хавтгайн цэг эсвэл вектор хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын геометрийн тайлбарын талаархи асуудлуудыг шийдэв.

Гурав дахь хэсэг нь тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын үйлдлийг авч үздэг. Ашигласан томьёо нь: Moivre болон нийлмэл тооны үндсийг задлах.

Дөрөв дэх хэсэг нь 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.

Сүүлийн хэсэг болох "Цогцолбор тоо ба параметрүүд"-ийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өмнөх хэсгүүдэд өгсөн мэдээллийг ашиглаж, нэгтгэнэ. Энэ бүлгийн хэд хэдэн асуудлыг параметр бүхий тэгшитгэлээр (тэгш бус байдал) тодорхойлсон цогц хавтгай дахь шугамын бүлгийг тодорхойлоход зориулагдсан болно. Дасгалын нэг хэсэгт параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (C талбар дээр). Нарийн төвөгтэй хувьсагч нь хэд хэдэн нөхцлийг нэгэн зэрэг хангадаг ажлууд байдаг. Энэ хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх нэг онцлог шинж чанар бол тэдгээрийн олонхыг хоёр дахь зэрэгтэй, иррациональ, тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлд (тэгш бус байдал, систем) оруулах явдал юм.

Хэсэг тус бүр дэх материалыг танилцуулах нэг онцлог нь анхны оролт юм онолын үндэс, улмаар асуудлыг шийдвэрлэхэд тэдний практик хэрэглээ.

Төгсгөлд нь дипломын ажилашигласан уран зохиолын жагсаалтыг үзүүлэв. Тэдгээрийн ихэнх нь онолын материалыг хангалттай дэлгэрэнгүй, хүртээмжтэй танилцуулж, зарим асуудлын шийдлийг авч үзэх, практик даалгаварбие даасан шийдвэр гаргахын тулд. Онцгой анхааралБи ийм эх сурвалжийг дурдахыг хүсч байна:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фиртов В.Е., Серебрякова И.В. Цогцолбор тоо, тэдгээрийн хэрэглээ: Сурах бичиг. . Материал сургалтын тусламжлекц, практик дасгал хэлбэрээр танилцуулсан.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Анхан шатны математикийн сонгосон бодлого, теоремууд. Арифметик ба алгебр. Уг номонд алгебр, арифметик, тооны онолтой холбоотой 320 бодлого орсон. Эдгээр даалгаврууд нь сургуулийн жишиг даалгавруудаас шинж чанараараа эрс ялгаатай.

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Математик, физикийн олон асуудлын шийдэл нь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл

,

Энд a0, a1, …, an нь бодит тоонууд юм. Тиймээс алгебрийн тэгшитгэлийн судалгаа нь эдгээрийн нэг юм чухал асуудлуудматематикт. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэл сөрөг ялгаварлагч. Ийм тэгшитгэлийн хамгийн энгийн нь тэгшитгэл юм

.

Энэ тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх замаар бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх шаардлагатай.

.

Энэ язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэе

. Тиймээс, тодорхойлолтоор, эсвэл,

иймээс,

. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Үүний тусламжтайгаар болон хос бодит тоонуудын тусламжтайгаар маягтын илэрхийлэл эмхэтдэг.

Үүссэн илэрхийлэл нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг агуулж байсан тул цогц тоо гэж нэрлэв.

Тиймээс комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

, мөн нь бодит тоо бөгөөд нөхцөлийг хангасан тэмдэг юм. Тоо нь нийлмэл тооны бодит хэсэг гэж нэрлэгддэг ба тоо нь түүний төсөөллийн хэсэг юм. , тэмдэг нь тэдгээрийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг.

Маягтын нийлмэл тоо

Эдгээр нь бодит тоонууд тул цогц тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг агуулна.

Маягтын нийлмэл тоо

цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэлбэрийн хоёр нийлмэл тоо ба тэдгээрийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү гэж нэрлэдэг, i.e. Хэрэв тэгш байдал, .

Нарийн төвөгтэй тоонуудын алгебрийн тэмдэглэгээ нь алгебрийн ердийн дүрмийн дагуу тэдгээрт үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог.

Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тойм өгүүллийн гол зорилго нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах явдал юм. Тиймээс нийлмэл тоог маягтын тоо гэж нэрлэнэ z = a + bi, Хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. i 2 = -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0Тэгээд b ≠ 0, дараа нь тоог ихэвчлэн цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.

Одоо нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүдийг танилцуулъя.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 i.

Ингээд авч үзье z = a + bi.

Комплекс тоонуудын багц нь бодит тоонуудын багцыг өргөтгөж, улмаар олонлогийг өргөтгөдөг рационал тоогэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжийг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z - бүхэл тоо, Q - рациональ, R - бодит, C - цогцолбор.

Комплекс тоонуудын төлөөлөл

Алгебрийн тэмдэглэгээ.

Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичлэгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараах визуал зургийг ихэвчлэн ашигладаг

Тригонометрийн хэлбэр.

Зурагнаас харахад тоо байна z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, тиймээс z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тэр z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо.

Үзүүлэн харуулах хэлбэр.

Ингээд авч үзье z = rcos(φ) + rsin(φ)i- тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоо, өөр хэлбэрээр бичнэ үү z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос гардаг тул бид олж авна шинэ дүрэмт хувцаснийлмэл тооны тэмдэглэгээ: z = reiφгэж нэрлэдэг заалт. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, Энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Дээд алгебрийн үндсэн теорем

Бид x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж төсөөлье. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь харагдаж байна. Тиймээс, дээд алгебрийн үндсэн теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэг нийлмэл язгууртай байдаг. Үүнээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем нь математикт маш чухал үр дүн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь яг n байна өөр өөр үндэсэв нэгдлийн n зэрэг.

Даалгаврын үндсэн төрлүүд

Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаварууднийлмэл тоонууд руу. Уламжлал ёсоор нийлмэл тоотой холбоотой бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.

• Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдэл хийх.
• Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн язгуурыг олох.
• Комплекс тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх.
• Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
• Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд нийлмэл тоог ашиглах.

Одоо авч үзье ерөнхий техникэдгээр асуудлуудын шийдэл.

Нарийн төвөгтэй тоо бүхий хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг боловч хэрэв нарийн төвөгтэй тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр харуулсан бол энэ тохиолдолд та тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.

Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бид квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж бодъё, хэрвээ түүний дискриминант нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олж болно. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, өөрөөр хэлбэл, D = -1∙a 2, Хаана атодорхой тоо бол ялгаварлагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно D = (ia) 2, тиймээс √D = i|a|, дараа нь та ашиглаж болно алдартай томъёоквадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд.

Жишээ. Дээр дурдсан зүйл рүү буцъя. квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой:

Цогцолбор тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх ажлыг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөх шаардлагатай бол та үүнийг шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хүч нь илүү том бол (боодлын хувьд энэ нь ихэвчлэн илүү их байдаг) бол та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашигла.

Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
z-г экспоненциал хэлбэрээр бичье: z = √2 e iπ/4.
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.

Комплекс тооноос үндсийг гарган авах нь экспоненциацын урвуу үйлдэл тул ижил төстэй байдлаар хийгддэг. Үндэс гаргаж авахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх үндэсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох болно, бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулъя: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, тиймээс φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-д өөр өөр үндэс гарна.
Иймд 1, e i2π/3, e i4π/3 нь үндэс юм.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр:

Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээг өгье.

Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).

Хэдийгээр энэ асуудлыг томъёолоход нарийн төвөгтэй тоонууд ороогүй ч тэдний тусламжтайгаар үүнийг амархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг.


Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрт орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийг нийлбэр болгон бууруулна.

Дүгнэлт

Цогцолбор тоо нь математикт өргөн хэрэглэгддэг тул энэхүү тойм нийтлэлд нийлмэл тоон дээрх үндсэн үйлдлүүдийг судалж, хэд хэдэн төрлийн стандарт бодлогыг тайлбарлаж, товч тайлбарласан болно. ерөнхий аргуудТэдний шийдлүүдийн хувьд нарийн төвөгтэй тоонуудын чадварыг илүү нарийвчлан судлахын тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.

Уран зохиол

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.

Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\]-г тооцоол.

Юуны өмнө нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэж байгааг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчилж, дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёог ашиглан үржүүлж, 10-р зэрэглэл рүү өсгөдөг. Энэ томьёо нь нийлмэл тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Бид авах:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг дагаж бид дараахь зүйлийг хийнэ.

Манай тохиолдолд:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлт \[(8\pi рад." мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрлээ. \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт шилжүүлж, Мойврын томъёог ашиглана:

Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.