Гэр Ортопеди Шулуун шугамтай харьцангуй тэгш хэмтэй цэг l. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд

Ортопеди

Шулуун шугамтай харьцангуй тэгш хэмтэй цэг l. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд

Хэд хэдэн шулуун шугам өгье шугаман тэгшитгэл, мөн түүний координатаар тодорхойлогдсон цэг (x0, y0) бөгөөд энэ шулуун дээр хэвтэхгүй. Өгөгдсөн шулуун шугамын дагуу өгөгдсөн цэгт тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл, хэрэв онгоц энэ шулуун шугамын дагуу хагас нугалж байвал түүнтэй давхцах цэгийг олох шаардлагатай.

Зааварчилгаа

1. Өгөгдсөн болон хүссэн цэгүүд хоёулаа нэг шулуун дээр байх ёстой бөгөөд энэ шугам нь өгөгдсөнтэй перпендикуляр байх ёстой. Тиймээс асуудлын эхний хэсэг нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр байх ба нэгэн зэрэг өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох явдал юм.

2. Шулуун шугамыг хоёр аргаар тодорхойлж болно. Шугамын каноник тэгшитгэл дараах байдалтай байна: Ax + By + C = 0, энд A, B, C нь тогтмол байна. Та мөн ашиглан шулуун шугамыг тодорхойлж болно шугаман функц: y = kx + b, энд k нь өнцгийн илтгэгч, b нь шилжилт юм. Энэ хоёр арга нь бие биенээ сольж болох ба нэг нэгнээсээ нөгөө рүү шилжих боломжтой. Хэрэв Ax + By + C = 0 бол y = – (Ax + C)/B. Өөрөөр хэлбэл y = kx + b шугаман функцэд өнцгийн илтгэгч k = -A/B, шилжилт b = -C/B байна. Даалгаврын хувьд үндэслэн үндэслэл гаргах нь илүү тохиромжтой каноник тэгшитгэлЧигээрээ.

3. Хэрэв хоёр шулуун перпендикуляр бөгөөд эхний мөрийн тэгшитгэл нь Ax + By + C = 0 байвал 2-р шугамын тэгшитгэл нь Bx – Ay + D = 0 байх ёстой бөгөөд D нь тогтмол байна. D-ийн тодорхой утгыг илрүүлэхийн тулд перпендикуляр шугам аль цэгээр дамжин өнгөрч байгааг нэмж мэдэх шаардлагатай. IN энэ тохиолдолдЭнэ нь (x0, y0) цэг юм.Иймээс D нь тэгшитгэлийг хангах ёстой: Bx0 – Ay0 + D = 0, өөрөөр хэлбэл D = Ay0 – Bx0.

4. Перпендикуляр шугамыг олж илрүүлсний дараа өгөгдсөн цэгтэй огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Үүний шийдэл нь координат болох тоонуудыг (x1, y1) өгнө. шугамуудын огтлолцлын цэг.

5. Хүссэн цэг нь илэрсэн шугам дээр байх ёстой бөгөөд огтлолцох цэг хүртэлх зай нь огтлолцлын цэгээс (x0, y0) цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байх ёстой. Цэгийн координат тэгш хэмтэй цэг(x0, y0), тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x –) x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Гэхдээ та үүнийг илүү хялбар хийж чадна. Хэрэв (x0, y0) ба (x, y) цэгүүд (x1, y1) цэгээс ижил зайд байгаа бөгөөд гурван цэг бүгд нэг шулуун дээр оршдог бол: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0.Иймээс x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Эдгээр утгыг эхний системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, илэрхийллүүдийг хялбарчлах замаар түүний баруун тал нь зүүн талтай ижил байх болно. Нэмж дурдахад, (x0, y0) ба (x1, y1) цэгүүд нь үүнийг хангаж, (x, y) цэг нь нэг шулуун дээр байрлах нь тодорхой тул эхний тэгшитгэлийг цаашид авч үзэх нь утгагүй юм. .

Даалгавар нь шулуун шугамтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг олох явдал юм . Би алхамуудыг өөрөө хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно:

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд цэгийн координатын томъёобид олдог.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Тооцоолоход хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд тооцоолох боломжийг танд олгоно. энгийн бутархай. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол өөр нэг жишээ юм бие даасан шийдвэр. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Булан бүр нь түгжрэл юм:

Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш эсвэл эсрэг чиглэсэн"бөөрөлзгөнө" булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, өнцгийг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой шинж чанартай байдаг геометрийн утга. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

дахь тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамыг авч үзье ерөнхий үзэл:

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:

Хэрэв , тэгвэл томъёоны хуваагч тэг болж векторууд нь ортогональ, шулуунууд перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёонд шулуун шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба шинж чанарууд үндсэн функцууд ):

Хариулт:

Хариултанд бид зааж өгсөн яг үнэ цэнэ, түүнчлэн тооцоолуур ашиглан тооцоолсон ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой).

За, хасах, хасах, том асуудал биш. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын мэдэгдэлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийг "тайлах" нь яг түүгээр эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шугамуудыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Би нуухгүй, би өөрөө шулуун шугамуудыг дарааллаар нь сонгодог бөгөөд ингэснээр өнцөг эерэг болж хувирна. Энэ нь илүү үзэсгэлэнтэй, гэхдээ өөр юу ч биш.

Шийдэлээ шалгахын тулд та протектор авч өнцгийг хэмжиж болно.

Хоёр дахь арга

Хэрэв шулуун шугамыг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл ба перпендикуляр биш, Тэр чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олж болно.

Шулуунуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгддэг бөгөөд үүнээс перпендикуляр шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн хоорондын маш ашигтай хамаарлыг дагаж мөрддөг бөгөөд үүнийг зарим асуудалд ашигладаг.

Шийдлийн алгоритм нь өмнөх догол мөртэй төстэй. Гэхдээ эхлээд шулуун шугамуудаа шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичье.

Тиймээс налуу нь:

1) Шулуунууд перпендикуляр байгаа эсэхийг шалгая:
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Томъёог ашиглана уу:

Хариулт:

Хоёрдахь аргыг шулуун шугамын тэгшитгэлийг эхлээд өнцгийн коэффициентээр тодорхойлсон тохиолдолд ашиглахад тохиромжтой. Хэрэв дор хаяж нэг шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байвал томьёог огт хэрэглэхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь ийм шулуун шугамын хувьд налуу нь тодорхойлогдоогүй болно (өгүүллийг үзнэ үү. Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл).

Гурав дахь шийдэл бий. Хичээл дээр ярилцсан томъёог ашиглан шугамын чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох санаа юм Векторуудын цэгийн үржвэр:

Энд бид чиглүүлсэн өнцгийн тухай ярихаа больсон, харин "ойролцоогоор өнцгөөр", өөрөөр хэлбэл үр дүн нь эерэг байх болно. Хамгийн гол нь та мохоо өнцөгтэй байж магадгүй юм (хэрэгтэй биш). Энэ тохиолдолд та шулуун шугамын хоорондох өнцөг бага өнцөгтэй байна гэж тэмдэглэж, үүссэн нумын косинусыг "pi" радианаас (180 градус) хасах хэрэгтэй.

Хүссэн хүмүүс гурав дахь аргаар асуудлыг шийдэж чадна. Гэхдээ энэ нь өргөн тархсан учраас би эхний чиг хандлагыг баримтлахыг зөвлөж байна.

Жишээ 11

Шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үүнийг хоёр аргаар шийдэхийг хичээ.

Ямар нэгэн байдлаар үлгэр замдаа унтарсан ... Учир нь үхэшгүй мөнх Кащей гэж байдаггүй. Би байна, би тийм ч ууртай биш байна. Үнэнийг хэлэхэд, нийтлэл нэлээд урт байх болно гэж бодсон. Гэхдээ би саяхан авсан малгай, нүдний шилээ аваад 9-р сард нуурын усанд сэлэх болно. Ядаргаа, сөрөг энергийг төгс арилгана.

Өмнө нь удахгүй уулзацгаая!

Баба Яга цуцлагдаагүй гэдгийг санаарай =)

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3:Шийдэл : Шугамын чиглэлийн векторыг олъё :

Цэгийг ашиглан хүссэн шулууны тэгшитгэлийг байгуулъя ба чиглэлийн вектор . Чиглэлийн векторын координатуудын нэг нь тэг байх тул тэгшитгэл. Үүнийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Хариулт :

Жишээ 5:Шийдэл :
1) Шугамын тэгшитгэл хоёр оноо гаргая :

2) Шугамын тэгшитгэл хоёр оноо гаргая :

3) Хувьсагчдын харгалзах коэффициентууд пропорциональ биш: , энэ нь шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.
4) Нэг цэгийг ол :

Анхаарна уу : энд системийн эхний тэгшитгэлийг 5-аар үржүүлж, дараа нь 2-р тэгшитгэлийг 1-р тэгшитгэлээс гишүүн гишүүнээр хасна.
Хариулт :

Асуудлын томъёолол. Цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол онгоцтой харьцуулахад.

Шийдлийн төлөвлөгөө.

1. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. . Шулуун шугам нь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байдаг тул онгоцны хэвийн векторыг түүний чиглэлийн вектор болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс шулуун шугамын тэгшитгэл нь байх болно

2. Голыг нь ол шулуун шугамын огтлолцол ба онгоц (13-р асуудлыг үзнэ үү).

3. Цэг цэг байгаа сегментийн дунд цэг юм цэгтэй тэгш хэмтэй цэг юм , Тийм учраас

Асуудал 14. Хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй цэгийг ол.

Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь:

Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олъё.

Хаана – шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг нь сегментийн дунд байдаг

Тэдгээр. .

Нэг төрлийн хавтгай координат. Хавтгай дээрх аффины өөрчлөлтүүд.

Болъё М XТэгээд цагт

М(X, цагтМэй (X, цагт, 1) орон зайд (Зураг 8).

Мэй (X, цагт

Мэй (X, цагт ху.

(hx, hy, h), h  0,

Сэтгэгдэл

h(Жишээлбэл, h

Үнэндээ авч үзвэл h

Сэтгэгдэл

Жишээ 1.

б) өнцгөөр (Зураг 9).

1-р алхам.

2-р алхам. өнцгөөр эргүүлнэ

харгалзах хувиргалтын матриц.

3-р алхам. A(a,) вектор руу шилжүүлэх б)

харгалзах хувиргалтын матриц.

Жишээ 3

 x тэнхлэгийн дагуу ба

1-р алхам.

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам.

3-р алхам.

бид үүнийг эцэст нь авах болно

Сэтгэгдэл

[R],[D],[M],[T],

Болъё М- координат бүхий онгоцны дурын цэг XТэгээд цагт, өгөгдсөн шулуун координатын системтэй харьцуулахад тооцоолсон. Энэ цэгийн нэгэн төрлийн координатууд нь өгөгдсөн x ба y тоонуудтай дараах харьцаагаар хамааралтай x 1, x 2, x 3 гэсэн тэгээс бусад тоонуудын дурын гурвалсан тоо юм.

Компьютерийн графикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэгэн төрлийн координатыг ихэвчлэн дараах байдлаар оруулна: дурын цэг хүртэл. М(X, цагт) онгоцонд цэг оноогдсон байна Мэй (X, цагт, 1) орон зайд (Зураг 8).

Эхийг 0(0, 0, 0) цэгтэй холбосон шулуун дээрх дурын цэг байгааг анхаарна уу. Мэй (X, цагт, 1), хэлбэрийн тоонуудын гурвалсан тоогоор (hx, hy, h) өгч болно.

hx, hy координаттай вектор нь 0 (0, 0, 0) ба цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм. Мэй (X, цагт, 1). Энэ шулуун нь z = 1 хавтгайг (x, y, 1) цэг дээр огтолж байгаа бөгөөд энэ нь координатын хавтгайн (x, y) цэгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. ху.

Тиймээс координат (x, y) бүхий дурын цэг ба хэлбэрийн гурав дахин олон тооны тоонуудын хооронд

(hx, hy, h), h  0,

Энэ цэгийн шинэ координат гэж hx, hy, h тоонуудыг авч үзэх боломжийг олгодог (нэг нэгээр нь) захидал харилцаа тогтоогдсон.

Сэтгэгдэл

Проекцийн геометрт өргөн хэрэглэгддэг нэгэн төрлийн координатууд нь зохисгүй гэж нэрлэгддэг элементүүдийг (ялангуяа проекцийн хавтгай нь танил Евклидийн хавтгайгаас ялгаатай) үр дүнтэй дүрслэх боломжийг олгодог. Оруулсан нэгэн төрлийн координатуудын шинэ боломжуудын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг энэ бүлгийн дөрөв дэх хэсэгт авч үзнэ.

Нэг төрлийн координатын проекц геометрийн хувьд дараахь тэмдэглэгээг хүлээн авна.

x:y:1, эсвэл ерөнхийдөө x1:x2:x3

(энд x 1, x 2, x 3 тоонууд нэгэн зэрэг тэг болж хувирахгүй байх ёстой гэдгийг санаарай).

Нэг төрлийн координатыг ашиглах нь хамгийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой байдаг.

Жишээлбэл, масштабын өөрчлөлттэй холбоотой асуудлуудыг авч үзье. Хэрэв дэлгэцийн төхөөрөмж зөвхөн бүхэл тоогоор ажилладаг бол (эсвэл та зөвхөн бүхэл тоонуудтай ажиллах шаардлагатай бол) дурын утгын хувьд h(Жишээлбэл, h= 1) нэг төрлийн координаттай цэг

төсөөлөхийн аргагүй. Гэсэн хэдий ч h-ийн боломжийн сонголтоор энэ цэгийн координатууд бүхэл тоо байх боломжтой. Тодруулбал, авч үзэж буй жишээний хувьд h = 10 байна

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье. Өөрчлөлтийн үр дүнг арифметик халилтад хүргэхээс сэргийлэхийн тулд координаттай цэгийн хувьд (80000 40000 1000) жишээ нь h=0.001 гэж авч болно. Үүний үр дүнд бид (80 40 1) авдаг.

Өгөгдсөн жишээнүүд нь тооцоолол хийхдээ нэгэн төрлийн координат ашиглах нь ашигтай болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч компьютерийн графикт нэгэн төрлийн координатыг нэвтрүүлэх гол зорилго нь геометрийн хувиргалтуудад хэрэглэхэд эргэлзээгүй хялбар байдал юм.

Нэг төрлийн координатын гурвалсан ба гуравдахь эрэмбийн матрицуудыг ашиглан хавтгайн ямар нэгэн аффин хувиргалтыг дүрсэлж болно.

Үнэндээ авч үзвэл h= 1, хоёр оруулгыг харьцуулна уу: * тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн ба дараах матриц:

Сүүлчийн харилцааны баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг үржүүлсний дараа бид (*) томьёо болон зөв тоон тэгшитгэл 1=1-ийг хоёуланг нь олж авахыг хялбархан харж болно.

Сэтгэгдэл

Заримдаа уран зохиолд өөр тэмдэглэгээг ашигладаг - баганын тэмдэглэгээ:

Энэ тэмдэглэгээ нь дээрх мөр мөрөөр тэмдэглэгээтэй дүйцэхүйц (мөн шилжүүлэн суулгах замаар түүнээс авдаг).

Дурын аффин хувиргах матрицын элементүүд нь тодорхой геометрийн утгыг агуулдаггүй. Тиймээс, энэ эсвэл өөр зураглалыг хэрэгжүүлэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн геометрийн тодорхойлолтын дагуу харгалзах матрицын элементүүдийг олохын тулд тусгай арга техник шаардлагатай. Дүрмээр бол энэ матрицыг барьж байгуулах ажлыг авч үзэж буй асуудлын нарийн төвөгтэй байдал, дээр дурдсан онцгой тохиолдлуудын дагуу хэд хэдэн үе шатанд хуваадаг.

Үе шат бүрт дээр дурдсан A, B, C эсвэл D тохиолдлуудын аль нэгтэй нь тохирох матрицыг хайдаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой геометрийн шинж чанартай байдаг.

Харгалзах гуравдугаар эрэмбийн матрицуудыг бичье.

A. Эргэлтийн матриц

B. Өргөтгөх матриц

B. Тусгалын матриц

D. Дамжуулах матриц (орчуулга)

Хавтгайн аффин хувиргалтын жишээг авч үзье.

Жишээ 1.

А цэгийн эргэн тойронд эргэлтийн матриц байгуулна (a,б) өнцгөөр (Зураг 9).

1-р алхам.Вектор руу шилжүүлэх – A (-a, -b) эргэлтийн төвийг координатын гарал үүсэлтэй зэрэгцүүлэх;

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам. өнцгөөр эргүүлнэ

харгалзах хувиргалтын матриц.

3-р алхам. A(a,) вектор руу шилжүүлэх б)эргэлтийн төвийг өмнөх байрлалд нь буцаах;

харгалзах хувиргалтын матриц.

Матрицуудыг бичсэнтэй ижил дарааллаар үржүүлье.

Үүний үр дүнд бид хүссэн хувиргалт (матрицын тэмдэглэгээ) дараах байдлаар харагдах болно.

Үүссэн матрицын элементүүдийг (ялангуяа сүүлийн эгнээнд) санах нь тийм ч хялбар биш юм. Үүний зэрэгцээ гурван үржүүлсэн матриц бүрийг харгалзах зураглалын геометрийн тайлбараас хялбархан барьж болно.

Жишээ 3

Сунгах коэффициент бүхий сунгах матрицыг байгуул x тэнхлэгийн дагуу ба ординатын тэнхлэгийн дагуу ба төв нь A(a, b) цэг дээр байна.

1-р алхам.Суналтын төвийг координатын эхтэй зэрэгцүүлэхийн тулд -A(-a, -b) вектор руу шилжүүлнэ;

харгалзах хувиргалтын матриц.

2-р алхам. ба  коэффициент бүхий координатын тэнхлэгийн дагуу сунах; хувиргах матриц нь хэлбэртэй байна

3-р алхам.Хүчдэлийн төвийг өмнөх байрлал руу буцаахын тулд A(a, b) вектор руу шилжүүлэх; харгалзах өөрчлөлтийн матриц -

Матрицуудыг ижил дарааллаар үржүүлэх

бид үүнийг эцэст нь авах болно

Сэтгэгдэл

Үүнтэй ижил аргаар тайлбарлах, өөрөөр хэлбэл санал болгож буй өөрчлөлтийг матрицаар дэмжигдсэн үе шат болгон хуваах.[R],[D],[M],[T], Түүний геометрийн тайлбараас дурын аффин хувиргалтын матрицыг байгуулж болно.

Shift нь нэмэх замаар, масштаб болон эргэлтийг үржүүлэх замаар хэрэгжүүлдэг.

Масштабын хувиргалт гарал үүсэлтэй харьцуулахад (өргөжилт) дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл матриц хэлбэрээр:

Хаана Дx,Дyнь тэнхлэгийн дагуух масштабын хүчин зүйлүүд ба

- масштабын матриц.

D > 1 үед тэлэлт 0 үед үүснэ<=D<1- сжатие

Эргэлтийн хувиргалт гарал үүсэлтэй харьцуулахад дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл матриц хэлбэрээр:

Энд φ нь эргэлтийн өнцөг, ба

- эргэлтийн матриц.

Сэтгэгдэл:Эргэлтийн матрицын багана ба мөрүүд нь харилцан ортогональ нэгж векторууд юм. Үнэн хэрэгтээ эгнээний векторуудын уртын квадратууд нэгтэй тэнцүү байна.

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ба (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

мөрийн векторуудын скаляр үржвэр нь байна

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Векторуудын скаляр үржвэрээс хойш А · Б = |А| ·| Б| ·cosψ, хаана | А| - векторын урт А, |Б| - векторын урт Б, ба ψ нь тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага эерэг өнцөг бөгөөд 1 урттай хоёр эгнээний векторын скаляр үржвэрийн 0 тэгшитгэлээс тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 ° байна.

Өө-өө-өө-өө-өө... за, тэр өөрөө нэг өгүүлбэр уншиж байгаа юм шиг хэцүү байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь дараа нь туслах болно, ялангуяа өнөөдөр би тохирох дагалдах хэрэгслийг худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэгт орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал

Үзэгчид найрал дуугаар дуулж байхад ийм л байдаг. Хоёр шулуун шугам байж болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : Математик уулзварын тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа гарч ирэх болно. Тэмдэглэгээ нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Харгалзах коэффициентүүд нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн тоо байдаг

Шулуун шугамуудыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл байгуулъя: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор таслвал та ижил тэгшитгэлийг авна: .

Хоёр дахь тохиолдол, шугамууд зэрэгцээ байх үед:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , Гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь маш тодорхой юм.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда"-н тийм утга байхгүй

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , гэсэн утгатай систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчдын коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад та саяхан хэлэлцсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь бидний ангид үзсэн векторуудын уялдаа холбоог шалгах алгоритмыг санагдуулдаг. Векторуудын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Векторуудын үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой савлагаа байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, энэ нь векторууд нь коллинеар биш, шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр тэмдэг бүхий чулуу тавина:

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, цаашаа шууд үхэшгүй мөнх Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогчийг тоолох шаардлагагүй.

Үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд нь пропорциональ байх нь тодорхой бөгөөд .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Тиймээс,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

"lambda" пропорциональ коэффициентийг коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана (ерөнхийдөө дурын тоо үүнийг хангана).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулт:

Удалгүй та амаар хэлэлцсэн асуудлыг хэдхэн секундын дотор шийдэж сурах болно (эсвэл бүр аль хэдийн сурсан). Үүнтэй холбогдуулан би бие даасан шийдлийг санал болгох ямар ч утгагүй гэж би олж харахгүй байна, геометрийн сууринд өөр нэг чухал тоосго тавих нь дээр.

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн барих вэ?

Энэхүү энгийн даалгаврыг үл тоомсорлосоны улмаас Nightingale the Nightingale нь хатуу шийтгэдэг.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэе. Нөхцөл байдал нь түүний талаар юу хэлэх вэ? Шулуун шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "tse" шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь "de" шулуун шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Жишээ геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик туршилт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик туршилтыг амаар хялбархан хийж болно. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын олонхи нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамын параллель байдлыг хурдан тодорхойлох болно.

Өнөөдөр бие даасан шийдлүүдийн жишээ нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байх болно, тэр бол бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Үүнийг шийдэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажилласан бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс танд маш сайн танил болсон асуудлыг авч үзье.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн геометрийн утга- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Жишээ 4

Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График арга нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координат нь системийн шийдэл юм. Үндсэндээ бид график шийдлийг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЗӨВ зураг бүтээхэд цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад зарим шулуун шугамыг барихад тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцох цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байрладаг байж болно.

Тиймээс огтлолцох цэгийг аналитик аргаар хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд хамрагдаарай Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт:

Шалгалт нь өчүүхэн юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл ба хариулт:

Хичээлийн 2-р хэсэгт орохоос өмнө ганц ч гутал элэгдсэнгүй.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш чухал ажлаас эхэлцгээе. Эхний хэсэгт бид үүнтэй зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуунд перпендикуляр тэгшитгэл бич.

Шийдэл: Нөхцөлөөр энэ нь мэдэгдэж байна. Шугамын чиглүүлэх векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Хариулт:

Геометрийн тоймыг өргөжүүлье.

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг мөн тусламжтайгаар векторуудын скаляр үржвэрШулуун нь үнэхээр перпендикуляр байна гэсэн дүгнэлтэд бид хүрч байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Дахин хэлэхэд туршилтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол ба хугацаа.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудалд хэд хэдэн арга хэмжээ байдаг тул шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад тотгор байхгүй, хамгийн оновчтой зам нь перпендикулярын дагуу шилжих болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулт:

Зураг зурцгаая:

Цэгээс шугам хүртэлх олсон зай нь улаан сегментийн урттай яг тэнцүү байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг зурвал. = 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Ижил зураг дээр үндэслэсэн өөр даалгаврыг авч үзье.

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Мөн зай нь 2.2 нэгж байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй юм.

Энд тооцоолол хийхэд хүндрэл гарч болзошгүй ч микро тооцоолуур нь цамхагт маш сайн туслах бөгөөд энгийн бутархайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Би танд олон удаа зөвлөсөн бөгөөд дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх бас нэг жишээ юм. Би танд бага зэрэг зөвлөгөө өгөх болно: үүнийг шийдэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, таны авъяас чадвар сайн хөгжсөн гэж бодож байна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Би яагаад чамд үүнийг хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн нэг ойлголтоор л явж чадах юм шиг байна. Бидний өнцгийг олох томъёо нь сөрөг үр дүнд амархан хүргэж болзошгүй тул энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Зурган дээр сөрөг өнцгийн хувьд түүний чиглэлийг сумаар (цагийн зүүний дагуу) зааж өгөхөө мартуузай.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

ШийдэлТэгээд Нэгдүгээр арга

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамыг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар албан ёсны болгох нь тохиромжтой.

1) Шугамын чиглэлийн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолъё.
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.

2) Дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Урвуу функцийг ашигласнаар өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд бид арктангентын сондгой байдлыг ашигладаг (харна уу. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулт:

Таны хариултанд бид тооцоолуур ашиглан тооцоолсон тодорхой утгыг, мөн ойролцоо утгыг (градус ба радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой) зааж өгсөн болно.

Орон зайн шулуун шугамыг хоёр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцох шугам гэж үргэлж тодорхойлж болно. Хэрэв нэг хавтгайн тэгшитгэл нь хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэл бол шулууны тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгнө.

Энд шугаман бус
. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэл орон зайд шууд.

Шугамын каноник тэгшитгэлүүд

Өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших тэгээс бусад векторыг энэ шулууны чиглэлийн вектор гэнэ.

Хэрэв цэг нь мэдэгдэж байвал
шулуун шугам ба түүний чиглэлийн вектор
, дараа нь шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (9)

Шугамын параметрийн тэгшитгэл

Шугамын каноник тэгшитгэлүүдийг өгье

Эндээс бид шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

(10)

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийг олоход хэрэгтэй.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл
Тэгээд
хэлбэртэй байна:

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Тэгээд

тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс үүнийг (4) томъёогоор тооцоолж болно:

Зэрэгцээ шугамын нөхцөл:

Онгоцууд перпендикуляр байх нөхцөл:

Шугамаас цэгийн зай

П оноо өгсөн гэж бодъё
ба шулуун

Шугамын каноник тэгшитгэлээс бид цэгийг мэднэ
, шугамд хамаарах ба түүний чиглэлийн вектор
. Дараа нь цэгийн зай
шулуун шугамаас векторууд дээр баригдсан параллелограммын өндөртэй тэнцүү байна Тэгээд
. Тиймээс,

Шугамын огтлолцлын нөхцөл

Хоёр зэрэгцээ бус шугам

огтлолцоно

Шулуун ба хавтгайн харьцангуй байрлал.

Шулуун шугамыг өгье
болон онгоц. Булан тэдгээрийн хооронд томъёогоор олж болно

Асуудал 73.Шугамын каноник тэгшитгэлийг бич

(11)

Шийдэл. Шугамын (9) каноник тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуунд хамаарах дурын цэг болон шугамын чиглэлийн векторыг мэдэх шаардлагатай.

Векторыг олъё , энэ шугамтай зэрэгцээ. Энэ нь эдгээр хавтгайн хэвийн векторуудтай перпендикуляр байх ёстой тул i.e.

,
, Тэр

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс бид ийм байна
,
. Дараа нь

Гол цэгээс хойш
Шугамын дурын цэг бол түүний координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг зааж өгч болно, жишээлбэл,
, бид (11) системээс нөгөө хоёр координатыг олно:

Эндээс,
.

Тиймээс хүссэн шугамын каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

эсвэл
.

Асуудал 74.

Тэгээд
.

Шийдэл.Эхний шугамын каноник тэгшитгэлээс цэгийн координатууд мэдэгддэг
шулуунд хамаарах ба чиглэлийн векторын координат
. Хоёрдахь шугамын каноник тэгшитгэлээс цэгийн координатууд бас мэдэгддэг
ба чиглэлийн векторын координатууд
.

Зэрэгцээ шулуунуудын хоорондох зай нь цэгийн зайтай тэнцүү байна
хоёр дахь шулуун шугамаас. Энэ зайг томъёогоор тооцоолно

Векторын координатыг олъё
.

Вектор үржвэрийг тооцоолъё
:

Асуулт 75.Нэг цэг ол тэгш хэмтэй цэг
харьцангуй шулуун

Шийдэл. Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр, цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичье . Түүний ердийн вектор шиг шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг авч болно. Дараа нь
. Тиймээс,

Нэг цэг олъё
энэ шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг P. Үүний тулд бид тэгшитгэлийг (10) ашиглан шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ.

Тиймээс,
.

Болъё
цэгээс тэгш хэмтэй цэг
энэ шугамтай харьцуулахад. Дараа нь зааж өгнө үү
дунд цэг
. Цэгийн координатыг олохын тулд Бид сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог ашигладаг.

,
,
.

Тэгэхээр,
.

Асуудал 76.Шулуун дундуур өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бич
Тэгээд

а) цэгээр дамжин
;

б) хавтгайд перпендикуляр.

Шийдэл.Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичье. Үүнийг хийхийн тулд хоёр тэгш байдлыг анхаарч үзээрэй.

Энэ нь хүссэн хавтгай нь генератор бүхий хавтгайн багцад хамаарах бөгөөд түүний тэгшитгэлийг (8) хэлбэрээр бичиж болно гэсэн үг юм.

a) Олъё
Тэгээд цэгээр дамжин өнгөрөх нөхцөлөөс
, тиймээс түүний координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангах ёстой. Цэгийн координатыг орлуулъя
Олон тооны онгоцны тэгшитгэлд:

Үнэ цэнэ олсон
Үүнийг (12) тэгшитгэлд орлуулъя. Бид хүссэн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна.

б) Олъё
Тэгээд хүссэн хавтгай нь хавтгайд перпендикуляр байх нөхцөлөөс. Өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор
, хүссэн хавтгайн хэвийн вектор (багласан онгоцны тэгшитгэлийг үз (12).