Аль хэдийн нэлээд уйтгартай байдаг. Мөн онолын стратегийн нөөцөөс шинэ лаазалсан бүтээгдэхүүн гаргаж авах цаг ирсэн гэдгийг би мэдэрч байна. Функцийг өөр аргаар цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой юу? Жишээлбэл, шулуун шугамын сегментийг синус ба косинусаар илэрхийлнэ үү? Энэ нь гайхалтай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ ийм хол мэт санагдах функцууд байж болно
"дахин нэгдэх". Онол, практикийн сайн мэддэг зэрэглэлээс гадна функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх өөр аргууд байдаг.

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн талаар суралцах болно. Фурьегийн ойролцоо, бид түүний нийлбэр ба нийлбэрийн асуудлыг хөндөх бөгөөд мэдээжийн хэрэг Фурье цуврал дахь функцүүдийн өргөтгөлийн олон жишээг шинжлэх болно. Би нийтлэлийг "Даммигийн Фурье цуврал" гэж нэрлэхийг чин сэтгэлээсээ хүссэн боловч асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд математикийн шинжилгээний бусад салбаруудын мэдлэг, зарим практик туршлага шаардагддаг тул энэ нь шударга бус байх болно. Тиймээс оршил нь сансрын нисгэгчдийн сургалттай төстэй байх болно =)

Нэгдүгээрт, та хуудасны материалыг судлахад маш сайн хэлбэрээр хандах хэрэгтэй. Нойрмог, амарч, сэрүүн. Эвдэрсэн шишүүхэйний сарвууны тухай хүчтэй сэтгэл хөдлөлгүйгээр хийсвэр бодоламьдралын хүнд хэцүү байдлын тухай аквариумын загас. Гэхдээ Фурье цувралыг ойлгоход хэцүү биш юм практик даалгаварТэд зүгээр л анхаарал төвлөрүүлэхийг шаарддаг - хамгийн тохиромжтой нь та гадны өдөөлтөөс өөрийгөө бүрэн салгах хэрэгтэй. Асуудлыг шалгаад хариулах амаргүй байгаа нь нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлж байна. Тиймээс, хэрэв таны эрүүл мэнд дунджаас доогуур байвал илүү энгийн зүйл хийх нь дээр. Энэ үнэн үү.

Хоёрдугаарт, сансарт нисэхээсээ өмнө багажийн самбарыг судлах хэрэгтэй сансрын хөлөг. Машин дээр дарах ёстой функцүүдийн утгуудаас эхэлье.

Аливаа байгалийн үнэ цэнийн хувьд:

1) . Үнэхээр синусоид нь x тэнхлэгийг "pi" бүрээр "оёдог":
. Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд үр дүн нь мэдээж ижил байх болно: .

2) . Гэхдээ хүн бүр үүнийг мэддэггүй байсан. Косинус "пи" нь "анивчдаг"-тай тэнцүү байна:

Сөрөг аргумент нь асуудлыг өөрчлөхгүй: .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх.

Гуравдугаарт, эрхэм сансрын нисгэгчдийн корпус, та чадвартай байх ёстой ... нэгтгэх.
Ялангуяа итгэлтэйгээр функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруул, хэсэгчлэн нэгтгэхмөн түүнтэй эвтэй байх Ньютон-Лейбницийн томъёо. Нислэгийн өмнөх чухал дасгалуудыг эхлүүлцгээе. Дараа нь жингүйдэхгүйн тулд би үүнийг алгасахыг огт зөвлөдөггүй.

Жишээ 1

Тодорхой интегралыг тооцоолох

байгалийн үнэт зүйлсийг хаана авдаг.

Шийдэл: интеграцчлалыг “x” хувьсагч дээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ үе шатанд “en” дискрет хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Бүх интегралд функцийг дифференциал тэмдгийн доор тавина:

Зориулалтад тохиромжтой шийдлийн богино хувилбар дараах байдалтай байна.

Үүнд дасцгаая:

Үлдсэн дөрвөн оноо нь таных. Даалгавардаа ухамсартайгаар хандаж, интегралуудыг богино байдлаар бичихийг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

ЧАНАРТАЙ дасгалуудыг хийсний дараа бид скафандр өмсдөг
мөн эхлэхэд бэлдэж байна!

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх

Зарим функцийг авч үзье тодорхойлсоннаад зах нь тодорхой хугацаанд (болон магадгүй илүү урт хугацаанд). Хэрэв энэ функц интервал дээр интегралдах боломжтой бол тригонометр болгон өргөжүүлж болно Фурье цуврал:
, гэж нэрлэгддэг зүйл хаана байна Фурье коэффициентүүд.

Энэ тохиолдолд дугаарыг дуудна задралын хугацаа, мөн тоо нь байна задралын хагас задралын хугацаа.

Ерөнхий тохиолдолд Фурье цуврал нь синус ба косинусуудаас бүрддэг нь ойлгомжтой.

Үнэнийг хэлэхэд, үүнийг нарийвчлан бичье:

Цувралын тэг гишүүнийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг.

Фурье коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Энэ сэдвийг судалж эхэлсэн хүмүүс шинэ нэр томъёоны талаар тодорхойгүй хэвээр байгааг би маш сайн ойлгож байна. задралын хугацаа, хагас мөчлөг, Фурье коэффициентүүдгэх мэт. Бүү сандар, энэ нь сансарт гарахын өмнөх сэтгэл догдлолтой зүйрлэшгүй зүйл юм. Дараах жишээн дээрх бүх зүйлийг ойлгоцгооё, хэрэгжүүлэхээсээ өмнө практик асуултуудыг асуух нь логик юм.

Дараах ажлуудад юу хийх хэрэгтэй вэ?

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Нэмж дурдахад функцийн график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийг дүрслэх шаардлагатай байдаг ба профессорын нарийн уран зөгнөлийн хувьд өөр зүйл хийх шаардлагатай байдаг.

Функцийг Фурье цуврал болгон хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

Үндсэндээ та олох хэрэгтэй Фурье коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл гурвыг зохиож, тооцоолно тодорхой интеграл.

Фурье цувралын ерөнхий хэлбэр болон ажлын гурван томьёог дэвтэртээ хуулж авна уу. Зарим сайтын зочдод сансрын нисгэгч болох бага насны мөрөөдлөө миний нүдний өмнө биелж байгаад маш их баяртай байна =)

Жишээ 2

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүл. График, цувааны нийлбэр ба хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг байгуул.

Шийдэл: Даалгаврын эхний хэсэг нь функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх явдал юм.

Эхлэл нь стандарт тул дараах зүйлийг бичихээ мартуузай.

Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм.

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Тохирох томъёог ашиглан бид олдог Фурье коэффициентүүд. Одоо бид гурвыг зохиож, тооцоолох хэрэгтэй тодорхой интеграл. Тохиромжтой болгохын тулд би оноог дугаарлах болно:

1) Эхний интеграл нь хамгийн энгийн боловч нүдний алимыг шаарддаг.

2) Хоёрдахь томъёог ашиглана уу:

Энэхүү интеграл нь сайн мэддэг бөгөөд тэр үүнийг хэсэг хэсгээр нь авдаг:

Олдсон үед ашигласан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга.

Харж байгаа ажилд нэн даруй ашиглах нь илүү тохиромжтой тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо :

Хэд хэдэн техникийн тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, томъёог хэрэглэсний дараа илэрхийлэл бүхэлдээ том хаалтанд байх ёстой, анхны интегралын өмнө тогтмол байдаг тул. Түүнийг алдахгүй байцгаая! Цаашид ямар ч алхмаар хашилтыг өргөжүүлж болно; Би үүнийг эцсийн арга болгон хийсэн. Эхний "хэсэгт" Орлуулахдаа бид маш болгоомжтой ханддаг; таны харж байгаагаар тогтмолыг ашигладаггүй бөгөөд интеграцийн хязгаарыг бүтээгдэхүүнд орлуулдаг. Энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэв. За, та сургалтын даалгавраас томьёоны хоёр дахь "хэсэг" -ийн интегралыг мэддэг;-)

Хамгийн гол нь - хэт төвлөрөл!

3) Бид гурав дахь Фурье коэффициентийг хайж байна.

Өмнөх интегралын харьцангуйг олж авсан бөгөөд энэ нь мөн хэсэгчлэн нэгтгэдэг:

Энэ жишээ нь арай илүү төвөгтэй тул би цаашдын алхмуудыг алхам алхмаар тайлбарлах болно:

(1) Илэрхийлэл нь том хаалтанд бүрэн хаагдсан байна. Би уйтгартай мэт санагдахыг хүсээгүй, тэд байнга тогтмол байдлаа алддаг.

(2) В энэ тохиолдолдБи тэр даруй том хаалтуудыг нээлээ. Онцгой анхаарал Бид өөрсдийгөө эхний "хэсэг" -д зориулдаг: байнгын тамхи татдаг бөгөөд бүтээгдэхүүнд нэгтгэх ( ба ) хязгаарыг орлуулахад оролцдоггүй. Бичлэг эмх замбараагүй байгаа тул энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтаар дахин тодруулахыг зөвлөж байна. Хоёр дахь "хэсэг" -ээр Бүх зүйл илүү энгийн: энд том хаалт нээсний дараа бутархай гарч ирсэн ба тогтмол нь танил интегралыг нэгтгэсний үр дүнд гарч ирэв;-)

(3) Дөрвөлжин хаалтанд бид хувиргалтыг хийж, баруун интегралд - интеграцийн хязгаарыг орлуулна.

(4) Бид дөрвөлжин хаалтаас "анивчдаг гэрлийг" арилгаж, дараа нь дотоод хаалтыг нээнэ: .

(5) Бид хаалтанд байгаа 1 ба –1-ийг цуцалж, эцсийн хялбаршуулалтыг хийдэг.

Эцэст нь бүх гурван Фурье коэффициент олддог.

Тэдгээрийг томъёонд орлуулж үзье :

Үүний зэрэгцээ хагасыг нь хувахаа бүү мартаарай. Сүүлийн алхамд "en"-ээс үл хамаарах тогтмолыг ("хасах хоёр") нийлбэрээс гадуур авна.

Тиймээс бид функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэв.

Фурье цувралын нийлмэл байдлын асуудлыг судалж үзье. Би онолыг ялангуяа тайлбарлах болно Дирихлетийн теорем, шууд утгаараа "хуруунд" гэсэн утгатай тул хэрэв танд хатуу найрлага хэрэгтэй бол дээрх сурах бичгийг үзнэ үү. математик шинжилгээ (жишээ нь, Боханы 2-р боть эсвэл Фихтенхольцын 3-р боть, гэхдээ энэ нь илүү хэцүү).

Асуудлын хоёр дахь хэсэгт график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийн график зурах шаардлагатай.

Функцийн график нь ердийнх юм хавтгай дээрх шулуун шугам, хар тасархай шугамаар зурсан:

Цувралын нийлбэрийг олж мэдье. Чиний мэдэж байгаагаар функцийн цуваа функцүүдэд нийлдэг. Манай тохиолдолд баригдсан Фурье цуврал "x"-ийн дурын утгын хувьдулаанаар харуулсан функцэд нийлэх болно. Энэ функцтэсвэрлэдэг 1-р төрлийн хагаралцэгүүд, гэхдээ тэдгээрт бас тодорхойлогддог (зураг дээрх улаан цэгүүд)

Тиймээс: . Энэ нь анхны функцээс мэдэгдэхүйц ялгаатай болохыг хялбархан харж болно, ийм учраас оруулгад оруулсан болно Тэнцүү гэсэн тэмдгээр биш харин tilde ашигладаг.

Цувралын нийлбэрийг бүтээхэд тохиромжтой алгоритмыг судалцгаая.

Төвийн интервал дээр Фурье цуврал нь функцтэй нийлдэг (төв улаан сегмент нь шугаман функцийн хар тасархай шугамтай давхцдаг).

Одоо авч үзэж буй тригонометрийн тэлэлтийн мөн чанарын талаар бага зэрэг яръя. Фурье цуврал зөвхөн үечилсэн функцийг (тогтмол, синус ба косинус) багтаасан тул цувралын нийлбэр мөн үечилсэн функц юм.

Энэ нь бидний тодорхой жишээн дээр юу гэсэн үг вэ? Мөн энэ нь цувралын нийлбэр гэсэн үг юм –мэдээж үе үемөн интервалын улаан сегмент нь зүүн, баруун талд эцэс төгсгөлгүй давтагдах ёстой.

"Задаргааны үе" гэсэн хэллэгийн утга одоо эцэст нь тодорхой болсон гэж би бодож байна. Энгийнээр хэлэхэд нөхцөл байдал дахин дахин давтагдах бүртээ.

Практикт зураг дээр үзүүлсэн шиг задралын гурван үеийг дүрслэх нь ихэвчлэн хангалттай байдаг. За, мөн хөрш зэргэлдээ үеийн "хожуул" - ингэснээр график үргэлжлэх нь тодорхой байна.

Ялангуяа сонирхолтой байдаг 1-р төрлийн тасалдалтын цэгүүд. Ийм цэгүүдэд Фурье цуврал нь тусгаарлагдсан утгууд руу нийлдэг бөгөөд тэдгээр нь тасалдал (зураг дээрх улаан цэгүүд) "үсрэлт" -ийн яг дунд байрладаг. Эдгээр цэгүүдийн ординатыг хэрхэн олох вэ? Эхлээд "дээд давхрын" ординатыг олъё: үүнийг хийхийн тулд өргөтгөлийн төвийн хамгийн баруун цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно: . "Доод давхрын" ординатыг тооцоолохын тулд хамгийн хялбар арга бол туйлыг авах явдал юм үлдсэн утгаижил хугацаанд: . Дундаж утгын ординат нь “дээд ба доод” нийлбэрийн арифметик дундаж юм: . Тааламжтай баримт бол зураг зурахдаа дундыг зөв эсвэл буруу тооцоолсон эсэхийг шууд харах болно.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг бүтээж, нэгэн зэрэг "нийцэх" гэсэн нэр томъёоны утгыг давтъя. Сэдвийг мөн тухай хичээлээс мэддэг тооны цувралын нийлбэр. Бид баялгаа дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хэсэгчилсэн нийлбэр гаргахын тулд та тэг + цувралын өөр хоёр гишүүнийг бичих хэрэгтэй. Тэр бол,

Зураг нь функцийн графикийг харуулж байна ногоон, мөн таны харж байгаагаар энэ нь бүрэн хэмжээгээр "боодог". Хэрэв бид цувралын таван гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзвэл энэ функцийн график нь улаан шугамыг илүү нарийвчлалтай тодорхойлох болно; хэрэв зуун гишүүн байвал "ногоон могой" нь улаан сегментүүдтэй бүрэн нийлнэ. гэх мэт. Ийнхүү Фурье цуваа нийлбэртээ нийлдэг.

Ямар ч хэсэгчилсэн дүн гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм тасралтгүй функцГэсэн хэдий ч цувралын нийт нийлбэр тасархай хэвээр байна.

Практикт хэсэгчилсэн нийлбэрийн график байгуулах нь тийм ч ховор биш юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Манай тохиолдолд сегмент дээрх функцийг авч үзэх, сегментийн төгсгөл ба завсрын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолох шаардлагатай (илүү олон оноо авч үзэх тусам график илүү нарийвчлалтай байх болно). Дараа нь та эдгээр цэгүүдийг зурган дээр тэмдэглэж, тухайн үеийн графикийг сайтар зурж, дараа нь зэргэлдээх интервалд "хуулбарлах" хэрэгтэй. Өөр яаж? Эцсийн эцэст, ойролцоолох нь бас үечилсэн функц юм ... ... түүний график зарим талаараа эмнэлгийн төхөөрөмжийн дэлгэц дээрх зүрхний жигд хэмнэлийг санагдуулдаг.

Барилга угсралтын ажлыг гүйцэтгэх нь мэдээжийн хэрэг тийм ч тохиромжтой биш юм, учир нь та хагас миллиметрээс багагүй нарийвчлалыг хадгалахын тулд маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч би зурахад тохиромжгүй уншигчдад таалагдах болно - "бодит" асуудлын хувьд зураг зурах нь үргэлж шаардлагагүй байдаг; тохиолдлын 50 орчим хувьд функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг, тэгээд л болоо. .

Зургийг дуусгасны дараа бид даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Хариулах:

Олон үүрэг даалгаврын хувьд функц нь зовдог 1-р төрлийн хагаралзадралын үед зөв:

Жишээ 3

Интервал дээр өгөгдсөн функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Функцийн график болон цувралын нийт нийлбэрийг зур.

Санал болгож буй функцийг хэсэгчилсэн байдлаар тодорхойлсон (зөвхөн сегмент дээр анхаарна уу)мөн тэсвэрлэдэг 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Фурье коэффициентийг тооцоолох боломжтой юу? Асуудалгүй. Функцийн зүүн ба баруун тал хоёулаа интервалаараа интегралдах боломжтой тул гурван томьёо тус бүрийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Жишээлбэл, тэг коэффициентийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Хоёр дахь интеграл нь тэгтэй тэнцүү болж, энэ нь ажлыг багасгасан боловч энэ нь үргэлж тийм биш юм.

Бусад хоёр Фурье коэффициентийг ижил төстэй байдлаар тайлбарлав.

Цувралын нийлбэрийг хэрхэн харуулах вэ? Зүүн талын интервал дээр бид шулуун шугамын сегментийг зурж, интервал дээр - шулуун шугамын сегментийг зурдаг (бид тэнхлэгийн хэсгийг тод, тодоор тодруулдаг). Өөрөөр хэлбэл, өргөтгөлийн интервал дээр цувралын нийлбэр нь гурван "муу" цэгээс бусад бүх функцтэй давхцдаг. Функцийн тасалдлын цэг дээр Фурье цуваа нь тасархайн "үсрэлт"-ийн яг голд байрлах тусгаарлагдсан утгад нийлнэ. Үүнийг амаар харахад хэцүү биш: зүүн талын хязгаар: , баруун талын хязгаар: дунд цэгийн ординат нь 0.5 байх нь ойлгомжтой.

Нийлбэрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан зургийг зэргэлдээх үе болгон "үржүүлж" байх ёстой, тухайлбал, ижил зүйлийг интервал болон . Үүний зэрэгцээ Фурье цуваа цэгүүдэд дундаж утгууд руу нийлнэ.

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга.

Энэ даалгаврыг өөрөө даван туулахыг хичээ. Төгсгөлийн дизайны ойролцоо загвар, хичээлийн төгсгөлд зураг.

Функцийг дурын хугацаанд Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх

Дурын тэлэлтийн хугацаанд "el" нь эерэг тоо байдаг бол Фурьегийн цуврал ба Фурье коэффициентүүдийн томъёо нь синус ба косинусын хувьд арай илүү төвөгтэй аргументаар ялгагдана.

Хэрэв бол бид эхлүүлсэн интервалын томъёог авна.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм, зарчмууд бүрэн хадгалагдан үлдсэн боловч тооцооллын техникийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг.

Жишээ 4

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, нийлбэрийг зур.

Шийдэл: үнэндээ жишээ No3-ын аналог 1-р төрлийн хагаралцэг дээр. Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. Функц нь зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогддог боловч энэ нь асуудлыг өөрчлөхгүй - функцийн хоёр хэсэг хоёулаа нэгдмэл байх нь чухал юм.

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Функц нь эхэнд тасархай тул Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр бичих нь ойлгомжтой.

1) Би эхний интегралыг аль болох нарийвчлан бичих болно.

2) Бид сарны гадаргууг анхааралтай ажиглаж байна:

Хоёр дахь интеграл хэсэг хэсгээр нь ав:

Уусмалын үргэлжлэлийг одоор нээсний дараа бид юуг анхаарах ёстой вэ?

Нэгдүгээрт, бид эхний интегралыг алдахгүй , бид нэн даруй гүйцэтгэх газар дифференциал тэмдгийг бүртгэх. Хоёрдугаарт, том хаалт болон өмнө нь муу хувь заяаны тогтмол бүү март шинж тэмдгүүдэд бүү андуураарайтомъёог ашиглах үед . Том хаалт нь дараагийн алхамд нэн даруй нээхэд илүү тохиромжтой хэвээр байна.

Үлдсэн хэсэг нь техникийн асуудал бөгөөд зөвхөн интегралыг шийдвэрлэх туршлага хангалтгүйгээс л хүндрэл гардаг.

Тийм ээ, Францын математикч Фурьегийн нэр хүндтэй хамтрагчид уурлаж бухимдсан нь дэмий хоосон байсангүй - тэр яаж функцүүдийг тригонометрийн цуврал болгон зохион байгуулж зүрхэлсэн бэ?! =) Дашрамд хэлэхэд, хүн бүр тухайн үүрэг даалгаврын практик утгыг сонирхож магадгүй юм. Фурье өөрөө ажилласан математик загвардулаан дамжилтын илтгэлцүүр, улмаар түүний нэрэмжит цувралыг хүрээлэн буй ертөнцөд харагдахуйц, үл үзэгдэх олон үечилсэн үйл явцыг судлахад ашиглаж эхэлсэн. Одоо, дашрамд хэлэхэд, хоёр дахь жишээний графикийг зүрхний үечилсэн хэмнэлтэй харьцуулсан нь санамсаргүй биш юм гэж өөрийгөө барьж авав. Сонирхсон хүмүүс практик хэрэглээтэй танилцах боломжтой Фурье хувиргалтгуравдагч талын эх сурвалжид. ...Хэдийгээр тэгээгүй нь дээр - Анхны хайр гэж дурсагдах болно =)

3) Дахин дурдсан сул холбоосуудыг харгалзан гурав дахь коэффициентийг авч үзье.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Олдсон Фурье коэффициентийг томъёонд орлуулъя , тэг коэффициентийг хагасаар хувахаа мартаж болохгүй.

Цувралын нийлбэрийг зуръя. Процедурыг товчхон давтъя: бид интервал дээр шулуун шугам, интервал дээр шулуун шугам байгуулна. Хэрэв "x" утга нь тэг байвал бид завсарын "үсрэлт" дунд цэг тавьж, хөрш зэргэлдээ үеийн графикийг "хуулбарлана".


Үеүүдийн "уулзвар" дээр нийлбэр нь мөн ялгааны "үсрэлтийн" дунд цэгүүдтэй тэнцүү байх болно.

Бэлэн. Функц өөрөө зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогдсон нөхцлөөр тодорхойлогддог бөгөөд интервал дээрх цувааны нийлбэртэй давхцаж байгааг сануулъя.

Хариулах:

Заримдаа хэсэгчлэн өгөгдсөн функц нь өргөтгөлийн хугацаанд тасралтгүй байдаг. Хамгийн энгийн жишээ: . Шийдэл (Бохан боть 2-ыг үзнэ үү)өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй адил: хэдий ч функцын тасралтгүй байдалцэг дээр Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Задрах интервал дээр 1-р төрлийн тасалдлын цэгүүдба/эсвэл графикийн илүү олон "уулзвар" цэгүүд байж болно (хоёр, гурав, ерөнхийдөө аль ч эцсийнтоо хэмжээ). Хэрэв функц нь хэсэг бүр дээр интегралдах боломжтой бол энэ нь Фурье цувралд мөн нэмэгдэх боломжтой. Гэхдээ практик туршлагаас харахад би ийм харгис хэрцгий зүйлийг санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч, саяхан авч үзсэнээс илүү хэцүү даалгаварууд байдаг бөгөөд өгүүллийн төгсгөлд хүн бүрт зориулсан нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлсэн Фурье цувралын холбоосууд байдаг.

Энэ хооронд тайвширч, сандал дээрээ тулан, оддын төгсгөлгүй далайг эргэцүүлцгээе:

Жишээ 5

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, цувааны нийлбэрийг зур.

Энэ асуудалд функц Үргэлжилсэншийдлийг хялбаршуулдаг өргөтгөлийн хагас интервал дээр. Бүх зүйл 2-р жишээтэй маш төстэй. Сансрын хөлгөөс зугтах боломжгүй - та шийдэх хэрэгтэй =) Хичээлийн төгсгөлд дизайны ойролцоо загвар, хуваарийг хавсаргасан болно.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн Фурье цувралын өргөтгөл

Тэгш ба сондгой функцүүдийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц мэдэгдэхүйц хялбаршсан болно. Тийм учраас л. “Хоёр пи” үетэй Фурье цувралын функцын өргөтгөл рүү буцъя. болон дурын үе "хоёр эл" .

Бидний функц тэгш байна гэж бодъё. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь таны харж байгаагаар тэгш косинус, сондгой синусыг агуулдаг. Хэрэв бид ТЭГШ функцийг өргөжүүлж байгаа бол яагаад сондгой синусууд хэрэгтэй байна вэ? Шаардлагагүй коэффициентийг дахин тохируулъя: .

Тиймээс, тэгш функцийг Фурье цувралд зөвхөн косинусаар өргөтгөж болно:

Учир нь тэгш функцүүдийн интегралуудТэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интеграцийн сегментийн дагуу хоёр дахин нэмэгдэж, үлдсэн Фурье коэффициентийг хялбаршуулж болно.

Хоорондын хувьд:

Дурын интервалын хувьд:

Математик анализын бараг бүх сурах бичгээс олж болох сурах бичгийн жишээнд тэгш функцүүдийн өргөтгөлүүд багтсан болно. . Нэмж дурдахад тэд миний хувийн практикт хэд хэдэн удаа тулгарч байсан:

Жишээ 6

Функцийг өгсөн. Шаардлагатай:

1) функцийг үетэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх, энд дурын эерэг тоо;

2) тэлэлтийг интервал дээр бичиж, функц байгуулж, цувааны нийт нийлбэрийн графикийг зур.

Шийдэл: эхний догол мөрөнд асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна ерөнхий үзэл, мөн энэ нь маш тохиромжтой! Шаардлагатай бол үнэ цэнээ орлуулаарай.

1) Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. үед цаашдын арга хэмжээ, ялангуяа интеграцийн үед "el" нь тогтмол гэж тооцогддог

Функц нь тэгш бөгөөд энэ нь зөвхөн косинусуудаар Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой гэсэн үг юм: .

Бид томьёо ашиглан Фурье коэффициентийг хайж олдог . Тэдний болзолгүй давуу талуудад анхаарлаа хандуулаарай. Нэгдүгээрт, интеграци нь өргөтгөлийн эерэг сегмент дээр хийгддэг бөгөөд энэ нь бид модулийг аюулгүйгээр арилгана гэсэн үг юм. , хоёр ширхэгийн зөвхөн "X"-ийг авч үзвэл. Хоёрдугаарт, интеграци нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан.

Хоёр:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Тиймээс:
, харин "en"-ээс хамаарахгүй тогтмолыг нийлбэрээс гадуур авдаг.

Хариулах:

2) Үүний тулд интервал дээр өргөтгөлийг бичье ерөнхий томъёоорлуулах хүссэн үнэ цэнэхагас мөчлөг:

2π үетэй үечилсэн функцүүдийн Фурье цуврал.

Фурье цуврал нь үечилсэн функцийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах замаар судлах боломжийг бидэнд олгодог. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, бүлүүрт механизмын хурд, хурдатгал, акустик долгион нь ердийн зүйл юм. практик жишээнүүдүечилсэн функцийг инженерийн тооцоонд ашиглах.

Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤x≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нийлсэн тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь түүний нөхцлөөс бүрдсэн бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ. нийлдэг):

Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (=ердийн) тэмдэглэгээ

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

Энд a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.

Энд -π-аас π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно.

a o , a n ба b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олох боломжтой бол (1) цувралыг дуудна Фурьегийн хажууд, f(x) функцтэй харгалзах. Цуврал (1)-ийн хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг үндсэн гармоник,

Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx+bsinx=csin(x+α) хамаарлыг ашиглах явдал юм.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o тогтмол байх тохиолдолд c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд a n =arctg a n-тэй тэнцүү байна. /б н.

(1) цувралын хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) эсвэл c 1 sin(x+α 1) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin(2x+α 2)-ийг гэнэ. хоёр дахь гармоникгэх мэт.

Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардагдана. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.

2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.

Тогтмол бус функцийг өргөжүүлэх.

Хэрэв f(x) функц нь үечилсэн биш бол энэ нь x-ийн бүх утгын хувьд Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч 2π өргөнтэй аль ч муж дахь функцийг илэрхийлэх Фурье цувралыг тодорхойлох боломжтой.

Тогтмол бус функцийн хувьд тодорхой муж доторх f(x) утгуудыг сонгож, 2π интервалаар тухайн мужаас гадуур давтах замаар шинэ функцийг байгуулж болно. Шинэ функц нь 2π үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f(x)=x функц нь үечилсэн биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв үүнийг o-оос 2π хүртэлх зайд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π үетэй үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).

f(x)=x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь тухайн муж дахь бүх цэг дэх f(x)-ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f(x)-тай тэнцүү биш байна. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувралыг олохын тулд Фурье коэффициентийн ижил томъёог ашиглана.

Тэгш ба сондгой функцууд.

Тэд y=f(x) функцийг хэлдэг. бүр, хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=f(x) бол. Тэгш функцүүдийн графикууд нь y тэнхлэгтэй харьцуулахад үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь толин тусгал дүрс юм). Тэгш функцийн хоёр жишээ: y=x2 ба y=cosx.

Тэд y=f(x) функц гэж хэлдэг. хачин,Хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=-f(x) байвал. Хачирхалтай функцүүдийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.

Олон функц тэгш, сондгой ч биш.

Косинус дахь Фурье цувралын өргөтгөл.

2π үетэй тэгш үечилсэн функцийн Фурье цуврал f(x) нь зөвхөн косинусын гишүүн (жишээ нь, синусын гишүүн байхгүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

2π үетэй f(x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цуваа нь зөвхөн синустай гишүүдийг агуулна (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүдийг агуулаагүй).

Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваагаар өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цуврал гэж нэрлэдэг Хагас мөчлөгийн үед Фурьегийн ойролцоо.

Хэрэв та задралыг авахыг хүсвэл Хагас мөчлөгийн Фурье косинусаар f(x) функцууд 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Учир нь жигд функц f(x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй, AB шугамыг зурж үзүүлсний дагуу зур. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур байна гэж үзвэл олж авсан гурвалжин хэлбэртэй 2π-ийн үетэй үе үе, дараа нь эцсийн график нь харуулах шиг харагдана. Зураг дээр. доор. Бид өмнөх шигээ Фурье тэлэлтийг косинусаар авах шаардлагатай байгаа тул Фурье коэффициент a o ба a n-ийг тооцоолно.

Хэрэв та авах шаардлагатай бол Фурье хагас циклийн синусын тэлэлт f(x) функц нь 0-ээс π хүртэлх зайд байгаа бол сондгой үечилсэн функц байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж үзүүлсний дагуу байгуулна. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Хагас мөчлөгийн Фурье тэлэлтийг синусын хувьд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурье коэффициентийг тооцоолно. б

Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.

L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.

Тогтмол функц f(x) нь x нь L-ээр нэмэгдэхэд давтагдана, i.e. f(x+L)=f(x). Өмнө нь авч үзсэн 2π хугацаатай функцээс L үетэй функц руу шилжих нь маш энгийн, учир нь үүнийг хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан хийж болно.

-L/2≤x≤L/2 муж дахь f(x) функцийн Фурье цувааг олохын тулд f(x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар u шинэ хувьсагчийг оруулав. u=2πx/L бол u=-π-ийн хувьд x=-L/2, u=π-ийн хувьд x=L/2. Мөн f(x)=f(Lu/2π)=F(u) гэж үзье. Фурье цуврал F(u) хэлбэртэй байна

(Интегралчлалын хязгаарыг L урттай ямар ч интервалаар сольж болно, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл)

L≠2π интервалд заасан функцүүдийн хагас цикл дээрх Фурье цуваа.

u=πх/L орлуулалтын хувьд x=0-ээс x=L хүртэлх интервал нь u=0-ээс u=π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Үүний үр дүнд функцийг зөвхөн косинус эсвэл зөвхөн синус хэлбэрээр цуврал болгон өргөжүүлж болно, i.e. В Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

0-ээс L хүртэлх косинусын тэлэлт нь хэлбэртэй байна

2p үетэй тэгш үечилсэн функцийн Фурье цуврал f(x) нь зөвхөн косинустай гишүүдийг (өөрөөр хэлбэл, синустай гишүүнчлэлийн агуулаагүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

Фурье цувралын синус дахь өргөтгөл

2p үетэй f (x) сондгой үечилсэн функцын Фурье цуваа нь зөвхөн синустай гишүүдийг агуулдаг (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүнчлэлийг агуулдаггүй).

Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,

Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал

Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2p хүртэл биш 0-ээс p хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваа болгон өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цуврал гэж нэрлэдэг ойролцоо Фурье дээр хагас мөчлөг

Хэрэв та задралыг авахыг хүсвэл Фурье дээр хагас мөчлөг By косинусууд f (x) функцууд 0-ээс p хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функцийг байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x = 0-ээс x = p хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f (x) = x функцийг доор харуулав. Тэгш функц нь f (x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид AB шугамыг зурж үзүүлэв. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн гурвалжин хэлбэр нь 2p-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график дараах байдалтай байна. Зураг дээр. доор. Бид өмнөх шигээ Фурье тэлэлтийг косинусаар авах шаардлагатай байгаа тул Фурье коэффициент a o ба a n-ийг тооцоолно.

Хэрэв та авах шаардлагатай бол задрал Фурье дээр хагас мөчлөг By синусууд f (x) функцууд 0-ээс p хүртэлх зайд байвал сондгой үечилсэн функцийг байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=p хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f (x) =x функцийг доор харуулав. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж үзүүлсний дагуу байгуулна.

Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн хөрөөний дохио нь 2p-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Хагас мөчлөгийн Фурье тэлэлтийг синусын хувьд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурье коэффициентийг тооцоолно. б

Фурье цуваа нь тодорхой үетэй дурын функцийг цуваа хэлбэрээр дүрслэх явдал юм. Ерөнхийдөө энэ шийдлийг ортогональ суурь дагуу элементийн задрал гэж нэрлэдэг. Функцуудыг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх нь интегралчлал, ялгах, түүнчлэн аргумент, эвдрэлээр илэрхийлэлийг шилжүүлэх явцад энэхүү хувиргалтын шинж чанараас шалтгаалан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх нэлээд хүчирхэг хэрэгсэл юм.

Дээд математик, мөн Францын эрдэмтэн Фурьегийн бүтээлүүдийг сайн мэддэггүй хүн эдгээр "цуврал" гэж юу болохыг, юунд хэрэгтэйг ойлгохгүй байх магадлалтай. Үүний зэрэгцээ энэхүү өөрчлөлт нь бидний амьдралд нэлээд шингэсэн. Үүнийг зөвхөн математикчид төдийгүй физикч, химич, эмч, одон орон судлаач, газар хөдлөлт судлаач, далай судлаачид болон бусад олон хүмүүс ашигладаг. Мөн цаг үеэсээ түрүүлж нээлт хийсэн францын агуу эрдэмтний бүтээлүүдийг нарийвчлан авч үзье.

Хүн ба Фурье хоёр өөрчлөгдөнө

Фурье цуврал нь аргуудын нэг юм (шинжилгээ болон бусадтай хамт) Энэ үйл явц нь хүн дуу чимээ сонсох бүрт тохиолддог. Бидний чих өөрчлөлтийг автоматаар гүйцэтгэдэг энгийн бөөмсуян харимхай орчинд янз бүрийн өндөртэй тоннуудын дараалсан дууны түвшний утгыг эгнээнд (спектрийн дагуу) байрлуулна. Дараа нь тархи энэ өгөгдлийг бидэнд танил болсон дуу авиа болгон хувиргадаг. Энэ бүхэн бидний хүсэл, ухамсаргүйгээр бие даан тохиолддог боловч эдгээр үйл явцыг ойлгохын тулд дээд математикийг судлахад хэдэн жил шаардагдана.

Фурье хувиргалтын тухай дэлгэрэнгүй

Фурье хувиргалтыг аналитик, тоон болон бусад аргуудыг ашиглан хийж болно. Фурье цуврал нь далайн түрлэг, гэрлийн долгионоос эхлээд нарны (болон бусад одон орны объектуудын) үйл ажиллагааны мөчлөг хүртэлх аливаа хэлбэлзлийн процессыг задлах тоон аргыг хэлдэг. Эдгээр математикийн аргуудыг ашигласнаар та ямар ч хэлбэлзлийн процессыг хамгийн багааас дээд тал руу, буцаах синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн цуваа болгон төлөөлөх функцуудыг шинжлэх боломжтой. Фурье хувиргалт нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоидуудын фаз ба далайцыг тодорхойлдог функц юм. Энэ процессыг дулаан, гэрэл эсвэл дулааны нөлөөн дор үүсэх динамик процессыг дүрсэлсэн маш нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. цахилгаан эрчим хүч. Мөн Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тусгаарлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь анагаах ухаан, хими, одон орон судлалд олж авсан туршилтын ажиглалтыг зөв тайлбарлах боломжийг олгодог.

Түүхийн лавлагаа

Энэ онолыг үндэслэгч нь Францын математикч Жан Батист Жозеф Фурье юм. Энэ өөрчлөлтийг дараа нь түүний нэрээр нэрлэжээ. Эхэндээ эрдэмтэн дулаан дамжилтын механизм болох дулааны тархалтыг судлах, тайлбарлахдаа өөрийн аргыг ашигласан. хатуу бодис. Фурье анхны жигд бус тархалтыг энгийн синусоидууд болгон задалж болно гэж санал болгосон бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн температурын хамгийн бага ба хамгийн их хэмжээ, мөн өөрийн үе шаттай байх болно. Энэ тохиолдолд ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг хамгийн багадаа дээд тал руу нь хэмжинэ. Муруйн дээд ба доод оргилууд, түүнчлэн гармоник бүрийн үе шатыг тодорхойлдог математик функцийг температурын тархалтын илэрхийлэлийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Онолын зохиогч нэгтгэсэн ерөнхий функцМатематикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү тархалтыг косинус ба синусын маш тохиромжтой цуврал болгон нэгтгэж анхны тархалтыг өгдөг.

Өөрчлөлтийн зарчим ба орчин үеийн хүмүүсийн үзэл бодол

Эрдэмтний орчин үеийн хүмүүс - XIX зууны эхэн үеийн тэргүүлэх математикчид энэ онолыг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гол эсэргүүцэл нь шулуун эсвэл тасархай муруйг дүрсэлсэн тасархай функцийг үргэлжилсэн синусоид илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн Фурьегийн нотолгоо байв. Жишээ болгон Heaviside алхамыг авч үзье: түүний утга нь тасалдлын зүүн талд тэг, баруун талд нэг байна. Энэ функц нь хэлхээг хаах үед цахилгаан гүйдэл түр зуурын хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг тодорхойлдог. Тухайн үеийн онолын орчин үеийн хүмүүс тасалдалтай илэрхийлэл нь экспоненциал, синус, шугаман эсвэл квадрат зэрэг тасралтгүй, энгийн функцүүдийн хослолоор тодорхойлогддог ийм нөхцөл байдалтай хэзээ ч тулгарч байгаагүй.

Францын математикчдыг Фурьегийн онолын талаар юу андуурсан бэ?

Эцсийн эцэст, хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол хязгааргүйг нэгтгэн дүгнэв тригонометрийн цувралФурье, ижил төстэй олон алхмуудтай байсан ч алхамын илэрхийлэлийн яг тодорхой дүрслэлийг олж авах боломжтой. 19-р зууны эхэн үед ийм мэдэгдэл нь утгагүй мэт санагдаж байв. Гэхдээ бүх эргэлзээтэй байсан ч олон математикчид энэ үзэгдлийг судлах хүрээг өргөжүүлж, дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг судлахаас гадна авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч ихэнх эрдэмтдийг "Синусоид цувралын нийлбэр нь нийлдэг үү" гэсэн асуултад зовж шаналж байв. яг үнэ цэнэтасалдсан функц?

Фурье цувралын нэгдэл: жишээ

Хязгааргүй тооны цувралыг нийлбэрлэх шаардлагатай үед нэгдэх тухай асуулт гарч ирдэг. Энэ үзэгдлийг ойлгохын тулд сонгодог жишээг авч үзье. Хэрэв дараагийн алхам бүр өмнөхөөсөө хагастай тэнцүү байвал та хананд хүрч чадах уу? Та зорилгоосоо хоёр метрийн зайд орчихлоо гэж бодъё, эхний алхам нь таныг замын тал руу, дараагийн алхам нь дөрөвний гурвыг, тавын дараа та замын бараг 97 хувийг туулсан байна гэж бодъё. Гэсэн хэдий ч та хичнээн алхам хийсэн ч математикийн хатуу утгаараа зорьсон зорилгодоо хүрч чадахгүй. Тоон тооцооллыг ашиглан эцэст нь өгөгдсөн зайд ойртох боломжтой гэдгийг баталж болно. Энэ нотолгоо нь хагас, дөрөвний нэг гэх мэтийн нийлбэр нь нэгдмэл байх хандлагатай болохыг нотлохтой тэнцүү юм.

Нэгдлийн тухай асуулт: Хоёр дахь ирэлт буюу Лорд Келвиний төхөөрөмж

19-р зууны төгсгөлд тэд түрлэгийн эрчмийг урьдчилан таамаглахын тулд Фурье цувралыг ашиглахыг оролдох үед энэ асуудлыг дахин хөндөв. Энэ үед Лорд Келвин аналог төхөөрөмж зохион бүтээжээ тооцоолох төхөөрөмж, энэ нь цэргийн болон худалдааны тэнгисийн далайчдад байгалийн энэ үзэгдлийг хянах боломжийг олгосон. Энэхүү механизм нь тухайн боомтод жилийн турш анхааралтай хэмжсэн далайн түрлэгийн өндөр, холбогдох цаг хугацааны хүснэгтээс үе шат, далайцын багцыг тодорхойлсон. Параметр бүр нь түрлэгийн өндрийн илэрхийллийн синусоид бүрэлдэхүүн хэсэг байсан бөгөөд ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэг байв. Хэмжилтийг Лорд Келвиний тооцоолох хэрэгсэлд оруулсан бөгөөд энэ нь дараа жилийн усны өндрийг цаг хугацааны функцээр таамагласан муруйг нэгтгэсэн. Удалгүй дэлхийн бүх боомтуудад ижил төстэй муруйг зурав.

Хэрэв үйл явц тасалдсан функцээр тасалдвал яах вэ?

Тэр үед олон тооны тоолох элемент бүхий далайн түрлэгийн долгионыг урьдчилан таамаглах хэрэгсэл нь олон тооны фаз, далайцыг тооцоолж, илүү нарийвчлалтай таамаглал гаргаж чаддаг нь ойлгомжтой байсан. Гэсэн хэдий ч нийлэгжих ёстой түрлэгийн илэрхийлэл нь огцом үсрэлт агуулсан, өөрөөр хэлбэл тасалдсан тохиолдолд ийм хэв маяг ажиглагддаггүй нь тогтоогджээ. Хэрэв цаг хугацааны моментийн хүснэгтийн өгөгдлийг төхөөрөмжид оруулсан бол энэ нь хэд хэдэн Фурье коэффициентийг тооцдог. Синусоидын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ачаар анхны функц сэргээгддэг (олдсон коэффициентүүдийн дагуу). Анхны болон сэргээн босгосон илэрхийлэл хоорондын зөрүүг ямар ч үед хэмжиж болно. Давтан тооцоолол, харьцуулалт хийх үед хамгийн том алдааны утга буурахгүй байх нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь тасалдсан цэгт харгалзах бүс нутагт нутагшсан бөгөөд бусад аль ч цэгт тэг рүү чиглэдэг. 1899 онд энэ үр дүнг Йелийн их сургуулийн Жошуа Виллард Гиббс онолын хувьд баталжээ.

Фурье цувралын нэгдэл ба математикийн ерөнхий хөгжил

Фурьегийн шинжилгээ нь тодорхой интервал дахь хязгааргүй тооны өргөлт агуулсан илэрхийлэлд хамаарахгүй. Ерөнхийдөө Фурье цуваа, хэрэв анхны функц нь бодит үр дүнгээр дүрслэгдсэн бол физик хэмжээс, үргэлж нийлдэг. Энэ үйл явцыг функцүүдийн тодорхой ангилалд нэгтгэх талаархи асуултууд нь математикийн шинэ салбарууд, жишээлбэл, ерөнхий функцүүдийн онолууд гарч ирэхэд хүргэсэн. Тэрээр Л.Шварц, Ж.Микусински, Ж.Темпл зэрэг нэртэй холбоотой. Энэ онолын хүрээнд тодорхой бөгөөд тодорхой онолын үндэслэлДирак дельта функц (энэ нь нэг цэгийн хязгааргүй жижиг орчимд төвлөрсөн нэг талбайн мужийг дүрсэлдэг) болон Хевисайдын "алхам" гэх мэт илэрхийллийн дор. Энэхүү ажлын ачаар Фурье цуврал нь цэгийн цэнэг, цэгийн масс, соронзон диполь, цацраг дээрх төвлөрсөн ачаалал зэрэг зөн совингийн ойлголтуудыг агуулсан тэгшитгэл, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгдэх болсон.

Фурье арга

Фурье цувралууд нь хөндлөнгийн зарчмуудын дагуу нарийн төвөгтэй хэлбэрийг илүү энгийн хэлбэрт задалж эхэлдэг. Жишээлбэл, дулааны урсгалын өөрчлөлтийг жигд бус хэлбэртэй дулаан тусгаарлагч материалаар хийсэн янз бүрийн саад тотгороор дамжин өнгөрөх эсвэл дэлхийн гадаргуугийн өөрчлөлт - газар хөдлөлт, тойрог замд өөрчлөлт орох зэргээр тайлбарладаг. тэнгэрийн бие- гаригуудын нөлөө. Дүрмээр бол энгийн сонгодог системийг дүрсэлсэн ийм тэгшитгэлийг долгион бүрийн хувьд хялбархан шийдэж болно. Фурье үүнийг харуулсан энгийн шийдлүүдилүү төвөгтэй асуудлын шийдлийг олж авахын тулд нэгтгэн дүгнэж болно. Математикийн хувьд Фурье цуврал нь илэрхийлэлийг гармоникийн нийлбэр болгон илэрхийлэх арга техник юм - косинус ба синус. Тийм ч учраас энэ шинжилгээгармоник анализ гэж бас нэрлэдэг.

Фурье цуврал бол "компьютерийн эрин үеэс" өмнөх хамгийн тохиромжтой техник юм.

Бүтээлийн өмнө компьютерийн тоног төхөөрөмжФурье техник нь манай дэлхийн долгионы шинж чанартай ажиллахад эрдэмтдийн зэвсэгт хамгийн шилдэг зэвсэг байсан юм. Фурье цуврал нарийн төвөгтэй хэлбэрзөвхөн шийдэх боломжийг танд олгоно энгийн даалгаварууд, эдгээр нь Ньютоны механикийн хуулиудыг шууд хэрэглэхэд тохиромжтой, гэхдээ үндсэн тэгшитгэлүүд. 19-р зууны Ньютоны шинжлэх ухааны ихэнх нээлтүүд зөвхөн Фурьегийн техникээр л боломжтой болсон.

Өнөөдөр Фурье цуврал

Компьютер хөгжихийн хэрээр Фурье хувиргалт нь чанарын шинэ түвшинд гарсан. Энэ техник нь шинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт баттай нотлогдсон. Жишээ нь дижитал аудио, видео юм. Үүнийг хэрэгжүүлэх нь 19-р зууны эхээр Францын математикчийн боловсруулсан онолын ачаар л боломжтой болсон. Ийнхүү Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрээр сансар огторгуйн судалгаанд нээлт хийх боломжтой болсон. Үүнээс гадна хагас дамжуулагч материал ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, газар хөдлөлт судлалын судалгаанд нөлөөлсөн.

Тригонометрийн Фурье цуврал

Математикийн хувьд Фурье цуврал нь дур зоргоороо илэрхийлэх арга юм нарийн төвөгтэй функцуудэнгийн нийлбэр. IN ерөнхий тохиолдлуудийм илэрхийллийн тоо хязгааргүй байж болно. Түүгээр ч зогсохгүй тэдний тоог тооцоололд харгалзан үзэх тусам эцсийн үр дүн илүү нарийвчлалтай болно. Ихэнхдээ косинус эсвэл синусын тригонометрийн функцийг хамгийн энгийн байдлаар ашигладаг. Энэ тохиолдолд Фурье цувааг тригонометр гэж нэрлэдэг ба ийм илэрхийллийн шийдлийг гармоник тэлэлт гэж нэрлэдэг. Энэ арга нь тоглодог чухал үүрэгматематикт. Юуны өмнө тригонометрийн цуваа нь функцийг дүрслэх, судлах хэрэгсэл болдог бөгөөд энэ нь онолын үндсэн хэрэгсэл юм. Үүнээс гадна математикийн физикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдэх боломжийг танд олгоно. Эцэст нь энэ онол нь математикийн шинжлэх ухааны хэд хэдэн маш чухал салбарыг (интегралын онол, үечилсэн функцийн онол) хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан. Нэмж дурдахад энэ нь бодит хувьсагчийн дараах функцуудыг хөгжүүлэх эхлэлийн цэг болж, гармоник шинжилгээний үндэс суурийг тавьсан юм.