Бид Фурье цувралын илэрхийллүүдийг тригонометрийн болон нийлмэл хэлбэрээр авч үзэхээс гадна Фурьегийн цувааг нэгтгэх Дирихлегийн нөхцлийг анхаарч үзэх болно. Нэмж дурдахад бид спектрийн шинжилгээний онолтой танилцахад ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг дохионы спектрийн сөрөг давтамж гэх мэт ойлголтын тайлбарыг нарийвчлан авч үзэх болно.
Тогтмол дохио. Тригонометрийн Фурье цуврал
c үетэй давтагддаг тасралтгүй цагийн тогтмол дохио байг, i.e. , энд дурын бүхэл тоо байна.
Жишээ болгон 1-р зурагт c хугацаатай давтагдсан тэгш өнцөгт импульсийн дарааллыг үзүүлэв.
Зураг 1. Үелэх дараалал
тэгш өнцөгт импульс
Математик анализын явцад тригонометрийн функцүүдийн систем гэдгийг мэддэг
Олон давтамжтай бол rad/s нь бүхэл тоо бөгөөд энэ нь Дирихлегийн нөхцлийг хангасан үетэй үечилсэн дохиог задлахад ортонормаль суурь болдог. Фурье цувааг нэгтгэх Дирихлегийн нөхцлүүд нь сегмент дээр үечилсэн дохиог зааж өгөхийг шаарддаг бөгөөд дараах нөхцлүүдийг хангана.
Жишээлбэл, үечилсэн функц 
функц нь Дирихлегийн нөхцлийг хангахгүй Хоёрдахь төрлийн тасалдалтай бөгөөд төгсгөлгүй утгыг авна, энд дурын бүхэл тоо байна. Тиймээс функц төлөөлөх боломжгүй Фурьегийн ойролцоо. Та мөн функцийн жишээг өгч болно 
, энэ нь хязгаарлагдмал боловч тэг рүү ойртох тусам хязгааргүй тооны экстремум цэгүүдтэй тул Дирихлегийн нөхцлийг хангахгүй. Функцийн график Зураг 2-т үзүүлэв.
Зураг 2. Функцийн график :
a - хоёр давталтын хугацаа; б - ойролцоо
Зураг 2а нь функцийн хоёр давталтын үеийг харуулж байна , мөн Зураг 2б-д - ойролцоох талбай. Эндээс харахад тэг рүү ойртох тусам хэлбэлзлийн давтамж нь хязгааргүй ихсэх ба ийм функцийг Фурье цуваагаар дүрслэх боломжгүй, учир нь энэ нь хэсэгчилсэн монотон биш юм.
Практикт хязгааргүй гүйдэл эсвэл хүчдэлийн утгатай дохио байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хязгааргүй тооны экстремум бүхий функцууд мөн хэрэглээний асуудлуудад тохиолддоггүй. Бүх бодит үечилсэн дохио нь Дирихлегийн нөхцлийг хангадаг бөгөөд дараах хэлбэрийн хязгааргүй тригонометрийн Фурье цувралаар дүрслэгдэж болно.
(2) илэрхийлэлд коэффициент нь үечилсэн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүнийг тодорхойлдог.
Дохио тасралтгүй байх бүх цэгүүдэд Фурье цуваа (2) өгөгдсөн дохионы утгуудад, эхний төрлийн тасалдалтай цэгүүдэд дундаж утга руу нийлдэг. таслах цэгийн баруун талд тус тус.
Хязгааргүй нийлбэрийн оронд зөвхөн эхний гишүүдийг агуулсан тайрсан Фурье цувралыг ашиглах нь дохионы ойролцоо дүрслэлд хүргэдэг болохыг математик шинжилгээний явцад мэддэг.
Энэ тохиолдолд хамгийн бага дундаж квадрат алдааг баталгаажуулна. Зураг 3-т Фурье цувралын өөр өөр тооны нэр томъёог ашиглах үед үечилсэн дөрвөлжин долгионы галт тэрэг болон үечилсэн налуу долгионы ойролцоох утгыг үзүүлэв.
Зураг 3. Таслагдсан Фурье цувралыг ашиглан дохионы ойролцоолсон байдал:
a - тэгш өнцөгт импульс; б - хөрөөний шүдний дохио
Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цуврал
Өмнөх хэсэгт бид Дирихлегийн нөхцлийг хангасан дурын үечилсэн дохиог өргөтгөх зорилгоор тригонометрийн Фурье цувралыг судалсан. Эйлерийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг харуулж чадна.
Дараа нь (4) -ийг харгалзан тригонометрийн Фурье цуврал (2):
Иймд үечилсэн дохиог эерэг давтамжийн коэффициент бүхий давтамжаар эргэлддэг тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг ба комплекс экспоненциалуудын нийлбэрээр, сөрөг давтамжид эргэлддэг комплекс экспоненциалуудын хувьд төлөөлж болно.
Эерэг давтамжтай эргэлдэх цогц экспоненциалуудын коэффициентийг авч үзье.
Үүний нэгэн адил сөрөг давтамжтай эргэлдэх цогц экспоненциалуудын коэффициентүүд нь:
(6) ба (7) илэрхийллүүд давхцаж байгаа бөгөөд үүнээс гадна тогтмол бүрэлдэхүүнийг тэг давтамжтай комплекс экспоненциалаар бичиж болно.
Тиймээс (6)-(8)-ыг харгалзан (5) хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэл индексжүүлсэн тохиолдолд нэг нийлбэрээр илэрхийлж болно.
(2) илэрхийллээс харахад бодит дохионы хувьд цувралын (2) коэффициентүүд бас бодит байна. Гэсэн хэдий ч (9) нь бодит дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтай холбоотой цогц коньюгат коэффициентүүдийн багцтай холбодог.
Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цувралын зарим тайлбар
Өмнөх хэсэгт бид тригонометрийн Фурье цувралаас (2) Фурьегийн цуваа руу нийлмэл хэлбэрээр (9) шилжсэн. Үүний үр дүнд бид бодит тригонометрийн функцүүдийн үндсэн дээр үечилсэн дохиог задлахын оронд нарийн төвөгтэй экспоненциалуудын үндсэн дээр, нийлмэл коэффициент бүхий өргөтгөлийг хүлээн авч, тэлэлтэд сөрөг давтамжууд ч гарч ирэв! Энэ асуудлыг ихэвчлэн буруугаар ойлгодог тул тодорхой тайлбар хийх шаардлагатай байна.
Нэгдүгээрт, нарийн төвөгтэй экспонентуудтай ажиллах нь ихэнх тохиолдолд тригонометрийн функцтэй ажиллахаас илүү хялбар байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл илтгэгчийг үржүүлэх, хуваахдаа илтгэгчийг нэмэх (хасах) нь хангалттай байдаг бол тригонометрийн функцийг үржүүлэх, хуваах томъёо нь илүү төвөгтэй байдаг.
Экспоненциалуудыг, бүр нарийн төвөгтэй ч гэсэн ялгах, нэгтгэх нь тригонометрийн функцээс илүү хялбар бөгөөд ялгах, нэгтгэх үед байнга өөрчлөгддөг (синус нь косинус болж хувирдаг ба эсрэгээр).
Хэрэв дохио нь үечилсэн бөгөөд бодит байвал тригонометрийн Фурье цуврал (2) илүү тодорхой харагдаж байна, учир нь бүх тэлэлтийн коэффициентууд , бодит хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч хүн ихэвчлэн нарийн төвөгтэй үечилсэн дохиотой тулгардаг (жишээлбэл, модуляцлах, демодуляци хийх үед нарийн төвөгтэй дугтуйны квадрат дүрслэлийг ашигладаг). Энэ тохиолдолд тригонометрийн Фурье цувралыг ашиглах үед бүх коэффициент ба өргөтгөлүүд (2) нь төвөгтэй болж, Фурьегийн цувралыг комплекс хэлбэрээр (9) ашиглах үед бодит болон нийлмэл оролтын дохионы хувьд ижил тэлэлтийн коэффициентийг ашиглана. .
Эцэст нь (9) дээр гарч ирсэн сөрөг давтамжийн тайлбар дээр анхаарлаа хандуулах шаардлагатай байна. Энэ асуулт ихэвчлэн үл ойлголцол үүсгэдэг. IN Өдөр тутмын амьдралБид сөрөг давтамжтай тулгардаггүй. Жишээлбэл, бид хэзээ ч радиогоо сөрөг давтамжтай тааруулдаггүй. Механикаас дараах зүйрлэлийг авч үзье. Тодорхой давтамжтайгаар чөлөөтэй хэлбэлздэг механик пүршний дүүжин байх болтугай. Савлуур сөрөг давтамжтай хэлбэлзэж чадах уу? Мэдээж үгүй. Сөрөг давтамжтай радио станц байдаггүйтэй адил савлуурын хэлбэлзлийн давтамж сөрөг байж болохгүй. Гэхдээ пүршний дүүжин нь нэг хэмжээст биет юм (дүүжин нь нэг шулуун шугамын дагуу хэлбэлздэг).
Бид механикийн өөр нэг зүйрлэлийг өгч болно: давтамжтай эргэдэг дугуй. Дугуй нь савлуураас ялгаатай нь эргэлддэг, i.e. Дугуйны гадаргуу дээрх цэг нь хавтгайд хөдөлдөг бөгөөд нэг шулуун шугамын дагуу зүгээр л хэлбэлздэггүй. Тиймээс дугуйны эргэлтийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд эргэлтийн хурдыг тохируулах нь хангалтгүй, учир нь эргэлтийн чиглэлийг тохируулах шаардлагатай байдаг. Чухам ийм учраас бид давтамжийн тэмдгийг ашиглаж болно.
Тэгэхээр дугуй нь цагийн зүүний эсрэг өнцгийн давтамжтай рад/с эргэдэг бол дугуй эерэг давтамжтай, цагийн зүүний дагуу эргэдэг бол эргэлтийн давтамж сөрөг байна гэж үздэг. Тиймээс эргүүлэх командын хувьд сөрөг давтамж нь утгагүй байхаа больж, эргэлтийн чиглэлийг заадаг.
Одоо бидний ойлгох ёстой хамгийн чухал зүйл. Нэг хэмжээст объектын хэлбэлзлийг (жишээлбэл, пүршний дүүжин) Зураг 4-т үзүүлсэн хоёр векторын эргэлтийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.
Зураг 4. Пүршний дүүжингийн хэлбэлзэл
хоёр векторын эргэлтийн нийлбэр гэж
нарийн төвөгтэй хавтгай дээр
Савлуур нь нийлмэл хавтгайн бодит тэнхлэгийн дагуу гармоник хуулийн дагуу давтамжтайгаар хэлбэлздэг. Савлуурын хөдөлгөөнийг хэвтээ вектор хэлбэрээр үзүүлэв. Дээд вектор нь нийлмэл хавтгай дээр эерэг давтамжтай (цагийн зүүний эсрэг), доод вектор нь сөрөг давтамжтай (цагийн зүүний дагуу) эргэлддэг. Зураг 4 нь тригонометрийн хичээлээс сайн мэддэг хамаарлыг тодорхой харуулж байна.
Тиймээс Фурьегийн цуваа (9) цогц хэлбэрийн нэг хэмжээст дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтайгаар эргэлддэг цогц хавтгай дээрх векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлдэг. Үүний зэрэгцээ, бодит дохионы хувьд (9)-д заасны дагуу сөрөг давтамжийн өргөтгөлийн коэффициент нь эерэг давтамжийн харгалзах коэффициентуудтай нарийн төвөгтэй коньюгат болохыг анхаарна уу. Нарийн төвөгтэй дохионы хувьд коэффициентүүдийн энэ шинж чанар нь нарийн төвөгтэй байдаг тул биелдэггүй.
Тогтмол дохионы спектр
Фурьегийн цуваа нь үечилсэн дохиог эерэг ба сөрөг давтамжтайгаар ради/с-ийн үржвэрээр эргэлддэг комплекс экспоненциалуудын нийлбэр болгон задлах бөгөөд дохионы спектрийг тодорхойлдог харгалзах нийлмэл коэффициентүүд юм. Цогцолбор коэффициентийг Эйлерийн томьёог ашиглан, далайцын спектр, a нь фазын спектр гэж илэрхийлж болно.
Тогтмол дохиог зөвхөн тогтмол давтамжийн сүлжээнд дараалан байрлуулдаг тул үечилсэн дохионы спектр нь шугаман (дискрет) байна.
Зураг 5. Тогтмол дарааллын спектр
тэгш өнцөгт импульс:
a - далайцын спектр; b - фазын спектр
5-р зурагт тэгш өнцөгт импульсийн үечилсэн дарааллын далайц ба фазын спектрийн жишээг үзүүлэв (1-р зургийг үз), импульсийн үргэлжлэх хугацаа c ба импульсийн далайц В.
2π үетэй үечилсэн функцүүдийн Фурье цуврал.
Фурье цуврал нь үечилсэн функцийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах замаар судлах боломжийг бидэнд олгодог. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, бүлүүрт механизмын хурд, хурдатгал, акустик долгион нь ердийн зүйл юм. практик жишээнүүдүечилсэн функцийг инженерийн тооцоонд ашиглах.
Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤x≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нийлсэн тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь түүний нөхцлөөс бүрдсэн бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ. нийлдэг):
Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (=ердийн) тэмдэглэгээ
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
Энд a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.
Энд -π-аас π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно.
a o , a n ба b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олох боломжтой бол (1) цувралыг дуудна Фурьегийн хажууд, f(x) функцтэй харгалзах. Цуврал (1)-ийн хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг үндсэн гармоник,
Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx+bsinx=csin(x+α) хамаарлыг ашиглах явдал юм.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o тогтмол байх тохиолдолд c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд a n =arctg a n-тэй тэнцүү байна. /б н.
(1) цувралын хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) эсвэл c 1 sin(x+α 1) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin(2x+α 2)-ийг гэнэ. хоёр дахь гармоникгэх мэт.
Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардагдана. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.
2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.
Тогтмол бус функцийг өргөжүүлэх.
Хэрэв f(x) функц нь үечилсэн биш бол энэ нь x-ийн бүх утгын хувьд Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч 2π өргөнтэй аль ч муж дахь функцийг илэрхийлэх Фурье цувралыг тодорхойлох боломжтой.
Тогтмол бус функцийн хувьд тодорхой муж доторх f(x) утгуудыг сонгож, 2π интервалаар тухайн мужаас гадуур давтах замаар шинэ функцийг байгуулж болно. Шинэ функц нь 2π үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f(x)=x функц нь үечилсэн биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв үүнийг o-оос 2π хүртэлх зайд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π үетэй үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).
f(x)=x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь тухайн муж дахь бүх цэг дэх f(x)-ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f(x)-тай тэнцүү биш байна. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувралыг олохын тулд Фурье коэффициентийн ижил томъёог ашиглана.
Тэгш ба сондгой функцууд.
Тэд y=f(x) функцийг хэлдэг. бүр, хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=f(x) бол. Тэгш функцүүдийн графикууд нь y тэнхлэгтэй харьцуулахад үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь толин тусгал дүрс юм). Тэгш функцийн хоёр жишээ: y=x2 ба y=cosx.
Тэд y=f(x) функц гэж хэлдэг. хачин,Хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=-f(x) байвал. Хачирхалтай функцүүдийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.
Олон функц тэгш, сондгой ч биш.
Косинус дахь Фурье цувралын өргөтгөл.
2π үетэй тэгш үечилсэн функцийн Фурье цуврал f(x) нь зөвхөн косинусын гишүүн (жишээ нь, синусын гишүүн байхгүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,
Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,
2π үетэй f(x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цуваа нь зөвхөн синустай гишүүдийг агуулна (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүдийг агуулаагүй).
Тиймээс,
Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,
Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.
Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваагаар өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цуврал гэж нэрлэдэг Хагас мөчлөгийн үед Фурьегийн ойролцоо.
Хэрэв та задралыг авахыг хүсвэл Хагас мөчлөгийн Фурье косинусаар f(x) функцууд 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Учир нь жигд функц f(x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй, AB шугамыг зурж үзүүлсний дагуу зур. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур байна гэж үзвэл олж авсан гурвалжин хэлбэртэй 2π-ийн үетэй үе үе, дараа нь эцсийн график нь харуулах шиг харагдана. Зураг дээр. доор. Бид өмнөх шигээ Фурье тэлэлтийг косинусаар авах шаардлагатай байгаа тул Фурье коэффициент a o ба a n-ийг тооцоолно.
Хэрэв та авах шаардлагатай бол Фурье хагас циклийн синусын тэлэлт f(x) функц нь 0-ээс π хүртэлх зайд байгаа бол сондгой үечилсэн функц байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж үзүүлсний дагуу байгуулна. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Хагас мөчлөгийн Фурье тэлэлтийг синусын хувьд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурье коэффициентийг тооцоолно. б
Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.
L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.
Тогтмол функц x L-ээр нэмэгдэхэд f(x) давтагдана, i.e. f(x+L)=f(x). Өмнө нь авч үзсэн 2π хугацаатай функцээс L үетэй функц руу шилжих нь маш энгийн, учир нь үүнийг хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан хийж болно.
-L/2≤x≤L/2 муж дахь f(x) функцийн Фурье цувааг олохын тулд f(x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар u шинэ хувьсагчийг оруулав. u=2πx/L бол u=-π-ийн хувьд x=-L/2, u=π-ийн хувьд x=L/2. Мөн f(x)=f(Lu/2π)=F(u) гэж үзье. Фурье цуврал F(u) хэлбэртэй байна
(Интегралчлалын хязгаарыг L урттай ямар ч интервалаар сольж болно, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл)
L≠2π интервалд заасан функцүүдийн хагас цикл дээрх Фурье цуваа.
u=πх/L орлуулалтын хувьд x=0-ээс x=L хүртэлх интервал нь u=0-ээс u=π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Үүний үр дүнд функцийг зөвхөн косинус эсвэл зөвхөн синус хэлбэрээр цуврал болгон өргөжүүлж болно, i.e. В Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.
0-ээс L хүртэлх косинусын тэлэлт нь хэлбэртэй байна
, Хаана
.
(-l;l) интервал дээрх f(x) функцийн Фурьегийн цуваа нь дараах хэлбэрийн тригонометрийн цуваа юм. 
, Хаана
.
Зорилго. Онлайн тооцоолуур f(x) функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх зорилготой.
Модуль функцүүдийн хувьд (жишээ нь |x|) ашиглана уу косинусын тэлэлт.
Функцийг оруулах дүрэм:
Модулийн функцүүдийн хувьд косинусын өргөтгөлийг ашиглана уу. Жишээлбэл, |x|-ийн хувьд модульгүй функцийг оруулах шаардлагатай, i.e. x.Фурье цуваа хэсэгчлэн тасралтгүй, хэсэгчлэн монотон ба интервалаар хязгаарлагддаг (- л;л) функц нь бүх тооны шулуун дээр нийлдэг.
Фурьегийн S(x) цувралын нийлбэр:
- 2 үетэй үечилсэн функц юм л. R мужын бүх x хувьд u(x+T)=u(x) бол u(x) функцийг T үетэй (эсвэл Т-үе үе) үе гэж нэрлэдэг.
- интервал дээр (- л;л) функцтэй давхцаж байна е(x), таслах цэгээс бусад
- функцийн тасалдал (функц нь хязгаарлагдсан тул эхний төрлийн) цэгүүдэд е(x) ба интервалын төгсгөлд дундаж утгыг авна:
Функц нь интервал дээр Фурьегийн цуваа болж өргөждөг гэж тэд хэлдэг (- л;л):
.
Хэрэв е(x) нь тэгш функц юм, тэгвэл зөвхөн тэгш функцууд түүнийг өргөтгөхөд оролцдог, өөрөөр хэлбэл б н=0.
Хэрэв е(x) нь сондгой функц бол түүнийг өргөтгөхөд зөвхөн сондгой функцүүд оролцдог, өөрөөр хэлбэл болон n=0
Фурьегийн ойролцоо
функцууд е(x) интервал дээр (0; л) олон нумын косинусаар
мөр гэж нэрлэдэг: 
, Хаана 
.
Фурьегийн ойролцоо
функцууд е(x) интервал дээр (0; л) олон нумын синусуудын дагуу
мөр гэж нэрлэдэг: 
, Хаана 
.
Олон нумын косинусын Фурье цувралын нийлбэр нь 2 үетэй тэгш үечилсэн функц юм. л, давхцаж байна е(x) интервал дээр (0; л) тасралтгүй байдлын цэгүүдэд.
Олон нумын синус дээрх Фурье цувралын нийлбэр нь 2 үетэй сондгой үечилсэн функц юм. л, давхцаж байна е(x) интервал дээр (0; л) тасралтгүй байдлын цэгүүдэд.
Өгөгдсөн интервал дээрх өгөгдсөн функцийн Фурье цуврал нь өвөрмөц шинж чанартай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэрэв өргөтгөлийг томъёог ашиглахаас өөр аргаар, жишээлбэл, коэффициент сонгох замаар олж авсан бол эдгээр коэффициентүүд нь томьёогоор тооцоолсонтой давхцдаг. .
Жишээ №1. Функцийг өргөжүүлэх(x)=1:
a) интервал дээрх Фурьегийн бүрэн цувралд(-π ;π);
б) интервал дээрх олон нумын синусуудын дагуу цуваа(0;π); үүссэн Фурьегийн цувралыг зур
Шийдэл:
a) (-π;π) интервал дээрх Фурье цувралын өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна. 
,
ба бүх коэффициентүүд б н=0, учир нь энэ функц тэгш байна; Тиймээс,
Хүлээн зөвшөөрвөл тэгш байдал хангагдах нь ойлгомжтой
А 0 =2, А 1 =А 2 =А 3 =…=0
Өвөрмөц шинж чанараас шалтгаалан эдгээр нь шаардлагатай коэффициентүүд юм. Тиймээс шаардлагатай задрал: 
эсвэл зүгээр л 1=1.
Энэ тохиолдолд цуврал нь функцтэйгээ яг адилхан давхцах үед Фурье цувралын график нь бүхэл тооны шулуун дээрх функцийн графиктай давхцдаг.
б) Олон нумын синусуудын хувьд (0;π) интервал дахь тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.
Тэгш байдал ижил байхын тулд коэффициентүүдийг сонгох боломжгүй нь ойлгомжтой. Коэффициентийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.
Тиймээс, жигд n (n=2к) бидэнд байгаа б н=0, сондгой ( n=2к-1) - 
Эцэст нь, 
.
Үр дүнд нь Фурьегийн цувааг шинж чанаруудыг нь ашиглан зурцгаая (дээрхийг харна уу).
Юуны өмнө бид энэ функцийн графикийг өгөгдсөн интервал дээр байгуулдаг. Дараа нь цувралын нийлбэрийн сондгой байдлыг ашиглан бид графикийг эх үүсвэртэй тэгш хэмтэйгээр үргэлжлүүлнэ. 
Бид бүх тооны шугамын дагуу үе үе үргэлжлүүлнэ: 
Эцэст нь, завсарлагааны цэгүүдэд бид дундаж утгыг (баруун ба зүүн хязгаарын хооронд) бөглөнө. 
Жишээ №2. Функцийг өргөжүүлэх 
олон нумын синусуудын дагуу (0;6) интервал дээр.
Шийдэл: Шаардлагатай өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна:
Учир нь зүүн ба баруун тал хоёулаа тэгш байдлыг зөвхөн агуулна нүгэл үйлддэгӨөр өөр аргументуудаас та n-ийн (натурал!) утгын хувьд зүүн ба синусуудын аргумент байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. зөв хэсгүүдтэгш байдал:
эсвэл , үүнээс n =18. Энэ нь ийм нэр томъёо нь баруун талд байгаа бөгөөд түүний коэффициент нь зүүн талын коэффициенттэй давхцах ёстой гэсэн үг юм. б 18 =1;
эсвэл , үүнээс n =4. гэсэн үг, б 4 =-5.
Тиймээс коэффициентүүдийг сонгосноор хүссэн өргөтгөлийг авах боломжтой болсон.
Холбооны улсын төсөв боловсролын байгууллага өндөр боловсрол
"ВОЛГА УЛСЫН ИХ СУРГУУЛЬ
ХАРИЛЦААНЫ ХОЛБОО, МЭДЭЭЛЭЛ"
Дээд математикийн тэнхим
О.В.СТАРОЖИЛОВА
МАТЕМАТИКИЙН ТУСГАЙ БҮЛЭГ
2017 оны 3 дугаар сарын 10-ны өдрийн 45 дугаар протокол
Старожилова, О.В.
C Математикийн тусгай бүлгүүд: сурах бичиг //Старожилова О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 х.
ЗааварМатематикийн тусгай салбарууд: математик логик ба автоматын онол, санал алгебр, саналын тооцоо, алгоритмын онолын элементүүд, регрессийн шинжилгээ, оновчлолын аргууд.
03/09/02 чиглэлд суралцаж буй их дээд сургуулийн оюутнууд, магиструудад зориулав. Мэдээллийн систем ба технологи", математикийн тусгай бүлгүүдийг бие даан судлах хүсэлтэй хүмүүс.
Хэсэг бүр нь сургалтын онолын мэдлэгийг шалгахад туслах хяналтын асуултуудаар төгсдөг бөгөөд олон тооны даалгавруудыг багтаасан болно. бие даасан шийдвэрболон шалгах хариултууд.
Энэхүү гарын авлагад лабораторийн цогцолбор, тооцооллын математикийн аргуудыг программ хангамжаар хэрэгжүүлэхэд чиглэсэн инженерийн хэд хэдэн асуудлыг багтаасан болно.
Старожилова О.В., 2017 он
1-р бүлэг Гармоник шинжилгээ 6
1.1 Дууны утастай холбоотой асуудал 7
1.2 Функцийн ортогональ систем 8
1.3 Функцийн тригонометрийн системийн Фурье цуврал 10
1.4 Хангалттай нөхцөлФурье цуврал дахь функцийн өргөтгөл 13
1.5 Үе үе бус функцийн Фурье цувралын өргөтгөл 17
1.6 Тэгш сондгой функцийн Фурье цуваа 18
1.7 Аль ч үеийн функцүүдийн Фурье цуврал 21
1.8 Фурье интеграл 27
1.9 Тэгш сондгой функцийн Фурье интеграл 29
1.10 Нарийн төвөгтэй хэлбэрФурье интеграл 30
1.11 Фурье хувиргалт 32
2-р бүлэг Математик логик ба IV 33
2.1 Логикийн хөгжлийн үе шатууд 34
2.2 Саналын логик 38
2.3 Логик холболтууд 40
2.4 Логик үйлдлүүд 41
2.5 Санал тооцооны цагаан толгой 42
2.6 Томъёо.Тавтологи 42
2.7 Саналын логикийн хуулиуд 44
2.8 Албан ёсны онолууд. Өсөх чадвар. Тайлбар 46
2.9 Аксиоматик арга 47
2.10 Саналын тооцооны аксиомын систем (PS) 52
2.11 Дүгнэлтийн дүрэм 53
2.12 Үүсмэл дүгнэлт гаргах дүрэм 56
2.13 Саналын логикт дүгнэлт хийх 62
2.14 Алгебр ба саналын тооцооны хамаарал 66
Гуравдугаар бүлэг Регрессийн шинжилгээний асуудал 70
3.1 Арга хамгийн бага квадратууд 74
3.2 Шугаман регрессийн шинжилгээ 76
3.3 Регрессийн загварын үнэлгээ 79
3.4 Шугаман регрессийн аргыг хэрэглэхэд гарсан асуудал 83
3.5 Статистикийн загварын LR 85-ын урьдчилсан нөхцөл
3.6 Регрессийн шинжилгээний асуудал 86
3.7 Олон хувьсах хэмжигдэхүүн регрессийн загвар 90
3.8 Хамаарах хувьсагчийн өөрчлөлт 92
Тестийн асуулт 94
4-р бүлэг Шийдвэр гаргах асуудлын ерөнхий томъёолол, төрлүүд 95
4.1 Оновчлолын бодлогын математик томъёолол 97
4.2 Орон нутгийн болон дэлхийн хамгийн бага TF 99
4.3 Арга болзолгүй оновчлол 102
4.4 Координатын буух арга 102
4.5 Розенброкын арга 105
4.6 Тохиргооны арга 105
4.7 Санамсаргүй хайлтын аргууд 108
4.8 Ньютоны арга 112
5-р бүлэг Фурье хувиргалт 114
5.1 Фурье функцийн ойролцоо 114
5.2 Фурье хувиргалт 117
5.3 Хурдан Фурье хувиргалт 120
ЛАБОРАТОРИЙН ЦОГЦОЛБОР 123
Гармоник ба спектрийн шинжилгээ 123
Сэдэв 1. “Боломжийн логик” 131
LP 133 сэдвийн бие даасан даалгаврын хувилбарууд
Сэдэв 2. Шугаман хос регресс 140
Лабораторийн ажил № 1 141
LR тэгшитгэлийн коэффициентийн тооцоо 141
Лабораторийн ажил No2 144
Түүврийн корреляцийн коэффициентийг тооцоолох 144
Лабораторийн ажил No3 145
Хосолсон LR 145-ийн хэлбэлзлийн тооцооллын тооцоо
Лабораторийн ажил No4 147
Хосолсон LR коэффициентүүдийн Excel функцууд 147
Лабораторийн ажил No5 149
Хосолсон LR функцийн интервалын тооцоог бүтээх 149
Лабораторийн ажил No6 151
Фишерийн 151-р шалгуурыг ашиглан LR тэгшитгэлийн ач холбогдлыг шалгах
Сэдэв 3 Шугаман бус хос регресс 153
Лабораторийн ажил No7 153
153-ыг ашиглан шугаман бус регресс байгуулах
Trendline командуудыг нэмэх 153
Лабораторийн ажил No8 158
Хамгийн сайн шугаман бус регрессийг сонгох 158
Сэдэв 4. Шугаман олон регресс 161
Лабораторийн ажил No9 162
LMR коэффициентийн тооцоо 162
Лабораторийн ажил No10 166
Регрессийн горим дахь ач холбогдлын тест 166
Сэдэв 5. Шугаман бус олон тооны регресс 175
Лабораторийн ажил No11 175
Кобб-Дуглас функцийн тооцоо 175
Туршилт № 1 179
Хосолсон регресс 179
Туршилтын дугаар 2 181
Олон тоо шугаман регресс 181
Нөхцөлгүй экстремумыг хайх тоон аргууд 185
Функцийн график шинжилгээ 185
Нэг хэмжээст хайлтын асуудал 187
Свенний алгоритм 190
Харгис хүчний арга 193
Битийн хайлтын арга 195
Дихотомийн арга. 198
Фибоначчийн арга 201
Алтан харьцааны арга 205
Дунд цэгийн арга 210
Ньютоны арга 214
Уран зохиол 218
1-р бүлэг Гармоник шинжилгээ
ТодорхойлолтГармоник шинжилгээ -чичиргээг гармоник чичиргээ болгон задлахтай холбоотой математикийн салбар.
Тогтмол (жишээ нь, цаг хугацааны хувьд давтагдах) үзэгдлийг судлахдаа бид авч үздэг үечилсэн функцууд.
Жишээлбэл, гармоник хэлбэлзлийг цаг хугацааны үечилсэн функцээр тодорхойлдог т:
Ø ТодорхойлолтТогтмол функц- тэгээс өөр тодорхой тоо дуудсан үед утга нь өөрчлөгддөггүй функц хугацаафункцууд.
Хоёр үеийн нийлбэр ба зөрүү нь дахин үе тул аль ч үеийн үржвэр нь мөн үе байдаг тул үелэх функц бүр хязгааргүй тооны үетэй байдаг.
Хэрэв үечилсэн функц нь бодит үетэй, тасралтгүй бөгөөд тогтмолоос ялгаатай бол хамгийн бага эерэг үетэй байна Т; ижил функцийн бусад бодит үе нь хэлбэртэй байна кТ, Хаана k =±1, ±2,....
Ижил үетэй үечилсэн функцүүдийн нийлбэр, үржвэр, хуваарь нь ижил үетэй үе үе функцүүд юм.
Тогтмол функцууд нь хэлбэлзлийн онол, ерөнхийдөө математик физикт маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Математик анализын явцад бид функциональ цувралын тухай ойлголттой танилцаж, түүний чухал онцгой тохиолдолтой танилцсан. эрчим хүчний цуврал. Өөр нэг чухал зүйлийг авч үзье (биет хэрэглээний хувьд) онцгой тохиолдолфункциональ цуврал - тригонометрийн цуврал.
Ø Тодорхойлолт Функциональ хүрээ -маягтын цуврал
Нэг хувьсагч эсвэл хэд хэдэн хувьсагчаас хамаарах функцууд хаана байна.
Тогтмол утга бүрийн хувьд функциональ цуврал нь тоон цуваа болж хувирдаг
нийлж эсвэл зөрөөд байж болно.
Ø Тодорхойлолт Функциональ цуваа нийлэх цэг- функциональ цуваа нийлэх цэг.
Ø ТодорхойлолтБүх нийлэх цэгүүдийн олонлогийг нэрлэдэг цувралын нэгдэх муж.
Боломжтой юу энэ функцтригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлнэ, i.e. коэффициентийг олох боломжтой юу? a nТэгээд б нИнгэснээр хүн бүрт тэгш эрх бий болно
Цувралын нийлбэр нь тодорхой үечилсэн функц юм. Энэ нь зөвхөн үечилсэн функцийг тригонометрийн цуврал болгон өргөжүүлж болно гэсэн үг юм е.
Нэмж дурдахад, хэрэв хоёр үечилсэн функц нь урт нь үетэй тэнцүү интервал дээр давхцаж байвал тэдгээр нь хаа сайгүй давхцах нь тодорхой юм. Тиймээс, уртын тодорхой интервалыг шалгахад хангалттай, жишээлбэл, .
1.1 Дууны утастай холбоотой асуудал
Тригонометрийн цувааг судлахад 18-р зуунд тавигдсан дуугаралттай утаснуудын асуудал үүссэн.
Өгөгдсөн функцийн хувьд нийлдэг тригонометрийн цувааг олох боломжтой юу? Тригонометрийн цувааг нэгтгэхийн тулд түүнд хязгаарлалт тавих шаардлагатай байна.
Үүнтэй төстэй даалгавар байсан эрчим хүчний цуврал, хэрэв энэ нь шийдвэрлэх боломжтой бол ийм цуврал нь Тейлорын цуврал юм.
1.2 Функцийн ортогональ системүүд
Математик физикийн тэгшитгэлийн хилийн утгын асуудлыг шийдвэрлэх Фурье аргатай холбоотойгоор функцүүдийн ортогональ системийг системтэй судалж эхэлсэн. Функцийн ортогональ системийн онолын гол асуудлын нэг бол функцийг задлах асуудал юм. е(x) хэлбэрийн цувралд , энд функцүүдийн ортогональ систем байна.
Ø ТодорхойлолтФункцуудыг дууддаг ортогональдээр, хэрэв биелүүлсэн бол:
q Жишээ , 
- функцууд нь -д ортогональ, учир нь 
q Жишээ on нь дээр тодорхойлсон аливаа функцэд ортогональ байна.
Ø ТодорхойлолтХязгааргүй функцүүдийн системийг нэрлэдэг ортогональдээр бол
q ЖишээХязгааргүй функцүүдийн систем нь функцүүдийн ортогональ системийг үүсгэдэггүй
q Жишээ -тригонометрийн функциональ системтүүнд ортогональ функцүүдийн системийг бүрдүүлдэг.
, 
, 
.
Ø ТодорхойлолтДурын функцүүдийн системийг ортогональ болгоё. Мөр
дурын тоон коэффициентийг хаана гэж нэрлэдэг вэ? функцүүдийн ортогональ системийн дагуу бие биенийхээ хажууд.
Ø ТодорхойлолтТригонометрийн функцүүдийн системийн дагуу цуваа
дуудсан тригонометрийн цуврал.
ü СэтгэгдэлХэрэв цэг бүрт нийлдэг тригонометрийн цувааны нийлбэр бол энэ нь үе үе байна, учир нь , үетэй үетэй функцууд, тэгвэл тэгшитгэлд 
юу ч өөрчлөгдөхгүй, тиймээс үе үе.
ü СэтгэгдэлХэрэв сегмент дээр өгөгдсөн боловч үгүй бол координатын гарал үүслийг шилжүүлснээр судалсан тохиолдол руу бууруулж болно.
ü СэтгэгдэлХэрэв үетэй үетэй функц нь биш бол тригонометрийн цуваа болгон өргөжүүлнэ
q ТеоремХэрэв тооны цуваа нийлдэг бол тригонометрийн цуваа болно
бүх тэнхлэгийн дагуу туйлын, жигд нийлдэг.
Баталгаа
Тиймээс,
цуврал - өгөгдсөн тригонометрийн цувааг томруулж, Вейерштрассын тестийн дагуу жигд нийлдэг.
Үнэмлэхүй нэгдэх нь ойлгомжтой.
1.3 Функцийн тригонометрийн системийн Фурье цуврал
Жан Батист Жозеф Фурье 1768-1830 - Францын математикч.
Фурье цувралын коэффициентийг тооцоолохын тулд бид интегралуудыг тооцоолно
, 
, 
, 
,
q ТеоремХүн болгонд тэгш эрх байгаа бол
ба тригонометрийн цуваа нь бүх тэнхлэгт жигд нийлдэг бол энэ цувралын коэффициентүүд тодорхойлогдоно.
, 
,
Баталгаа
Цуврал нь бүх тооны шулуун дээр жигд нийлдэг, түүний гишүүд нь тасралтгүй функцууд, дараа нь түүний нийлбэр нь мөн тасралтгүй бөгөөд цувралыг гишүүнээр нь нэгтгэх боломжтой.
Интеграл бүр нь тэгтэй тэнцүү, учир нь функцүүдийн тригонометрийн систем нь , дараа нь ортогональ байна
Үүнийг батлахын тулд хоёр талыг үржүүлнэ
Энэ нь цувралын жигд нийлэлтийг алдагдуулахгүй.
Цувралын жигд нийлсэн байдлаас болж
бөгөөд энэ нь цувралын жигд нийлэлтийг хэлнэ.
дээр нэгтгэж байна, Бид байна
Тригонометрийн функцүүдийн системийн ортогональ байдлаас шалтгаалан дээр
, 
, ба -аас 
интеграл нь,
, тэр гэх мэт.
Үүнийг санацгаая
Эдгээр тэгшитгэлийн хүчинтэй байдал нь тригонометрийн томъёог интегралд хэрэглэснээс үүсдэг.
Томъёо нь ижил төстэй байдлаар батлагдсан.
ü СэтгэгдэлТеорем нь аль ч интервалд хүчинтэй хэвээр байх ба интегралын хязгаарыг тус тус багаар сольсон.
Ø ТодорхойлолтТригонометрийн цуврал
,
коэффициентүүд нь томъёогоор тодорхойлогддог
, ,
,
дуудсан Фурьегийн ойролцоофункцийн хувьд, коэффициентүүдийг дуудна Фурье коэффициентүүд.
Хэрэв функцийн Фурье цуваа f(x)тасралтгүй байдлын бүх цэгүүдэд нийлдэг, тэгвэл функц гэж хэлнэ f(x) нь Фурьегийн цуваа болж өргөжсөн.
ü СэтгэгдэлТригонометрийн цуваа бүр нь бүх тооны шулуун дээр нийлдэг байсан ч Фурьегийн цуваа биш юм.
Нэг жигд бус нийлсэн цувааны нийлбэр нь тасалдалтай, интегралгүй байж болох тул Фурьегийн коэффициентийг тодорхойлох боломжгүй юм.
ü СэтгэгдэлФурье цуврал нь функциональ цувралын онцгой тохиолдол юм.
1.4 Фурье цуврал дахь функцийг өргөтгөх хангалттай нөхцөл
Ø ТодорхойлолтФункцийг дууддаг сегмент дээр хэсэгчлэн монотон,хэрвээ энэ сегментийг хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд хувааж болно x 1 , x 2 , ..., x n-1интервал руу ( а,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,б) ингэснээр интервал бүр дээр функц нь монотон, өөрөөр хэлбэл нэмэгдэхгүй эсвэл буурахгүй.
ü СэтгэгдэлТодорхойлолтоос үзэхэд хэрэв функц хэсэгчилсэн монотон бөгөөд [-д хязгаарлагдмал бол а,б], тэгвэл энэ нь зөвхөн эхний төрлийн тасалдалтай байна.
Ø ТодорхойлолтФункцийг дууддаг хэсэгчлэн гөлгөр, хэрэв төгсгөлтэй интервал бүр дээр энэ болон түүний дериватив нь хамгийн ихдээ 1-р төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдлын цэгтэй байвал.
q Теорем (Дирихлегийн нөхцөлФурье цуврал дахь функцийг задлах хангалттай нөхцөл): Хэрэв үетэй үечилсэн функц нь нөхцлүүдийн аль нэгийг хангаж байвал:
Дараа нь энэ функцэд зориулж бүтээсэн Фурье цуврал бүх цэгүүдэд нийлдэг
мөн тоонд нийлдэг 
тасалдсан цэг бүрт.
Үүссэн цувааны нийлбэр нь функцийн тасралтгүй байдлын цэгүүд дэх функцийн утгатай тэнцүү байна
Функцүүд, тэдгээрийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, бүлүүрт механизмын хурд ба хурдатгал ба акустик долгион нь инженерийн тооцоололд үечилсэн функцийг ашиглах ердийн практик жишээ юм.
Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤x≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нийлсэн тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь түүний нөхцлөөс бүрдсэн бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ. нийлдэг):
Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (=ердийн) тэмдэглэгээ
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
Энд a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.
Энд -π-аас π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно.
a o , a n ба b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олох боломжтой бол (1) цувралыг дуудна Фурьегийн хажууд, f(x) функцтэй харгалзах. Цуврал (1)-ийн хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг үндсэн гармоник,
Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx+bsinx=csin(x+α) хамаарлыг ашиглах явдал юм.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o тогтмол байх тохиолдолд c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд a n =arctg a n-тэй тэнцүү байна. /б н.
(1) цувралын хувьд (a 1 cosx+b 1 sinx) эсвэл c 1 sin(x+α 1) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin(2x+α 2)-ийг гэнэ. хоёр дахь гармоникгэх мэт.
Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардагдана. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.
2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.
Үе үе бус функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх.
Хэрэв f(x) функц нь үечилсэн биш бол энэ нь x-ийн бүх утгын хувьд Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч 2π өргөнтэй аль ч муж дахь функцийг илэрхийлэх Фурье цувралыг тодорхойлох боломжтой.
Тогтмол бус функцийн хувьд тодорхой муж доторх f(x) утгуудыг сонгож, 2π интервалаар тухайн мужаас гадуур давтах замаар шинэ функцийг байгуулж болно. Шинэ функц нь 2π үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f(x)=x функц нь үечилсэн биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв үүнийг o-оос 2π хүртэлх зайд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π үетэй үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).
f(x)=x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь тухайн муж дахь бүх цэг дэх f(x)-ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f(x)-тай тэнцүү биш байна. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувралыг олохын тулд Фурье коэффициентийн ижил томъёог ашиглана.
Тэгш ба сондгой функцууд.
Тэд y=f(x) функцийг хэлдэг. бүр, хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=f(x) бол. Тэгш функцүүдийн графикууд нь y тэнхлэгтэй харьцуулахад үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь толин тусгал дүрс юм). Тэгш функцийн хоёр жишээ: y=x2 ба y=cosx.
Тэд y=f(x) функц гэж хэлдэг. хачин,Хэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f(-x)=-f(x) байвал. Хачирхалтай функцүүдийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.
Олон функц тэгш, сондгой ч биш.
Косинус дахь Фурье цувралын өргөтгөл.
2π үетэй тэгш үечилсэн функцийн Фурье цуврал f(x) нь зөвхөн косинусын гишүүн (жишээ нь, синусын гишүүн байхгүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,
Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,
2π үетэй f(x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цуваа нь зөвхөн синустай гишүүдийг агуулна (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүдийг агуулаагүй).
Тиймээс,
Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,
Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.
Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваагаар өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цуврал гэж нэрлэдэг Хагас мөчлөгийн үед Фурьегийн ойролцоо.
Хэрэв та задралыг авахыг хүсвэл Хагас мөчлөгийн Фурье косинусаар f(x) функцууд 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц байгуулах шаардлагатай. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Тэгш функц нь f(x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид AB шугамыг зурсан шиг зурна. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн гурвалжин хэлбэр нь 2π үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график дараах байдалтай байна. Зураг дээр. доор. Бид өмнөх шигээ Фурье тэлэлтийг косинусаар авах шаардлагатай байгаа тул Фурье коэффициент a o ба a n-ийг тооцоолно.
Хэрэв та 0-ээс π хүртэлх хүрээнд f(x) функцийг авахыг хүсвэл сондгой үечилсэн функц байгуулах хэрэгтэй. Зураг дээр. x=0-ээс x=π хүртэлх интервал дээр бүтээгдсэн f(x)=x функцийг доор харуулав. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж үзүүлсний дагуу байгуулна. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Хагас мөчлөгийн Фурье тэлэлтийг синусын хувьд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурье коэффициентийг тооцоолно. б
Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.
L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.
Тогтмол функц f(x) нь x нь L-ээр нэмэгдэхэд давтагдана, i.e. f(x+L)=f(x). Өмнө нь авч үзсэн 2π хугацаатай функцээс L үетэй функц руу шилжих нь маш энгийн, учир нь үүнийг хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан хийж болно.
-L/2≤x≤L/2 муж дахь f(x) функцийн Фурье цувааг олохын тулд f(x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар u шинэ хувьсагчийг оруулав. u=2πx/L бол u=-π-ийн хувьд x=-L/2, u=π-ийн хувьд x=L/2. Мөн f(x)=f(Lu/2π)=F(u) гэж үзье. Фурье цуврал F(u) хэлбэртэй байна
Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна,
Гэсэн хэдий ч дээрх томъёо нь ихэвчлэн x-ээс хамааралтай байдаг. u=2πx/L тул du=(2π/L)dx гэсэн утгатай бөгөөд интегралчлалын хязгаар нь - π-ээс π биш харин -L/2-оос L/2 хүртэл байна. Иймд х-ээс хамаарах Фурье цуврал нь хэлбэртэй байна
Энд -L/2-оос L/2 хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентууд,
(Интегралчлалын хязгаарыг L урттай ямар ч интервалаар сольж болно, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл)
L≠2π интервалд заасан функцүүдийн хагас цикл дээрх Фурье цуваа.
u=πх/L орлуулалтын хувьд x=0-ээс x=L хүртэлх интервал нь u=0-ээс u=π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Үүний үр дүнд функцийг зөвхөн косинус эсвэл зөвхөн синус хэлбэрээр цуврал болгон өргөжүүлж болно, i.e. В Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.
0-ээс L хүртэлх косинусын тэлэлт нь хэлбэртэй байна
