Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ үү. Функцуудыг чадлын цуврал болгон өргөжүүлэх

"f(x) функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол"- Дээд математикийн даалгавар яг ийм сонсогдож байгаа бөгөөд зарим оюутнууд үүнийг хийж чаддаг бол зарим нь жишээнүүдийг даван туулж чаддаггүй. Хүчин чадлын цувралыг өргөжүүлэх хэд хэдэн арга байдаг; энд бид функцийг Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлэх арга техникийг өгөх болно. Цуврал функцийг боловсруулахдаа деривативыг сайн тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ 4.7 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүл

Тооцоолол: Бид функцийн өргөтгөлийг Маклаурины томъёоны дагуу гүйцэтгэдэг. Эхлээд функцийн хуваагчийг цуврал болгон өргөжүүлье

Эцэст нь тэлэлтийг тоологчоор үржүүлнэ.
Эхний гишүүн нь тэг дэх функцийн утга f (0) = 1/3.
Нэгдүгээр ба дээд зэрэглэлийн f (x) функцын деривативууд ба эдгээр деривативуудын x=0 цэг дээрх утгыг олъё.




Дараа нь 0 дахь деривативын утгын өөрчлөлтийн загвар дээр үндэслэн n-р деривативын томъёог бичнэ.

Тиймээс бид хуваагчийг Маклаурины цувралын өргөтгөлийн хэлбэрээр төлөөлдөг

Бид тоологчоор үржүүлж, х-ийн зэрэглэлийн цувралд функцийн хүссэн өргөтгөлийг олж авна.

Таны харж байгаагаар энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Бүх гол цэгүүд нь деривативыг тооцоолох, дээд эрэмбийн деривативын утгыг тэгээр хурдан нэгтгэх чадвар дээр суурилдаг. Дараах жишээнүүд нь функцийг цувралаар хэрхэн хурдан зохион байгуулах талаар сурахад тусална.

Жишээ 4.10 Функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол

Тооцоолол: Таны таамаглаж байсанчлан бид косинусыг тоологч дахь цуваагаар оруулах болно. Үүнийг хийхийн тулд та хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн томъёог ашиглаж эсвэл деривативаар косинусын тэлэлтийг гаргаж болно. Үүний үр дүнд бид x-ийн зэрэглэлийн дараах цувралд хүрнэ

Таны харж байгаагаар бид хамгийн бага тооцоолол, цувралын өргөтгөлийн авсаархан төлөөлөлтэй байна.

Жишээ 4.16 Функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ үү:
7/(12-x-x^2)
Тооцоолол: Ийм жишээн дээр энгийн бутархайн нийлбэрээр бутархайг өргөжүүлэх шаардлагатай.
Үүнийг хэрхэн хийхийг бид танд одоо харуулахгүй, харин тусламжтайгаар тодорхой бус коэффициентүүдБутархайн нийлбэрт хүрцгээе.
Дараа нь бид хуваагчийг экспоненциал хэлбэрээр бичнэ

Маклаурины томъёог ашиглан нэр томъёог өргөжүүлэх хэвээр байна. "x"-ийн ижил түвшний нөхцөлүүдийг нэгтгэн дүгнэж, бид функцийг цувралын өргөтгөлийн ерөнхий гишүүний томъёог бичнэ.



Цуврал руу шилжих шилжилтийн сүүлчийн хэсгийг эхэнд нь хэрэгжүүлэхэд хэцүү байдаг, учир нь хосолсон ба хосгүй индексийн (зэрэг) томъёог нэгтгэх нь хэцүү байдаг, гэхдээ дадлага хийснээр та үүнийг илүү сайн хийх болно.

Жишээ 4.18 Функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол

Тооцоолол: Энэ функцийн деривативыг олъё:

McLaren-ийн томъёоны аль нэгийг ашиглан функцийг цуврал болгон өргөжүүлье.

Бид аль аль нь туйлын ижил байна гэсэн үндсэн дээр цуврал нэр томъёог нэгтгэн дүгнэдэг. Бүхэл бүтэн цувралын гишүүнчлэлийг гишүүнээр нэгтгэсний дараа бид функцийг x-ийн зэрэглэлийн цуврал болгон өргөтгөхийг олж авна.

Өргөтгөлийн сүүлийн хоёр мөрийн хооронд шилжилт байгаа бөгөөд энэ нь эхэндээ таны цагийг их хэмжээгээр авах болно. Цуврал томьёог ерөнхийд нь гаргах нь хүн болгонд тийм ч амар биш тул аятайхан, авсаархан томьёо гаргаж чадахгүй байна гэж санаа зовох хэрэггүй.

Жишээ 4.28 Функцийн Маклаурин цуврал өргөтгөлийг ол.

Логарифмыг дараах байдлаар бичье

Маклаурины томьёог ашиглан бид логарифмын функцийг х-ийн зэрэглэлээр өргөжүүлнэ

Эцсийн эргэлт нь эхлээд харахад төвөгтэй боловч тэмдгүүдийг ээлжлэн солих үед та үргэлж ижил төстэй зүйлийг олж авах болно. Функцуудыг дараалан төлөвлөх сэдвийн оролтын хичээл дууслаа. Бусад ижил сонирхолтой задралын схемүүдийг дараах материалуудад дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Хэрэв f(x) функц нь а цэгийг агуулсан тодорхой интервал дахь бүх эрэмбийн деривативтай бол түүнд Тейлорын томъёог хэрэглэж болно.
,
Хаана r n– цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.
, энд x тоо нь x ба a хооронд байна.

f(x)=

x 0 = цэг дээр Мөрийн элементүүдийн тоо 3 4 5 6 7

задралыг ашиглах үндсэн функцууд e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Функцийг оруулах дүрэм:

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд X r n→ 0 цагт n→∞, тэгвэл хязгаарт Тейлорын томьёо энэ утгад нийлнэ Тейлорын цуврал:
,
Иймд f(x) функцийг авч үзэж буй x цэг дээрх Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно, хэрэв:
1) бүх захиалгын деривативтай;
2) баригдсан цуваа энэ цэг дээр нийлнэ.

a = 0 үед бид нэртэй цувралыг авна Маклаурины ойролцоо:
,
Маклаурин цувралын хамгийн энгийн (анхны) функцүүдийн өргөтгөл:
Экспоненциал функцууд
, R=∞
Тригонометрийн функцууд
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx функц нь х-ийн зэрэглэлээр тэлэхгүй, учир нь ctg0=∞
Гиперболын функцууд


Логарифм функцууд
, -1
Бином цуврал
.

Жишээ №1. Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү f(x)= 2x.
Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -∞-д хүчинтэй байна.<x<+∞.

Жишээ №2. Тейлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( X+4) функцийн хувьд f(x)=д x.
Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e xболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Тиймээс функцийн шаардлагатай Тейлор цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ өргөтгөл нь -∞-д мөн хүчинтэй<x<+∞.

Жишээ №3. Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln xэрх мэдлийн цувралд ( X- 1),
(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).
Шийдэл. Энэ функцийн деривативуудыг ол.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлор цувралыг олж авна.

d'Alembert-ийн тестийг ашиглан цувралууд ½x-1½-д нийлдэг эсэхийг шалгаж болно.<1 . Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Бид Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. x=0 үед функц тодорхойлогдоогүй болно. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Жишээ № 4. Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл. Өргөтгөх (1) -д бид x-г -x 2-оор сольж, бид дараахыг авна.
, -∞

Жишээ №5. Функцийг Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Томъёонд x-ийн оронд -x-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Эндээс бид олдог: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Хаалтуудыг нээж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид олж авна
. Энэ цуваа нь (-1;1) интервалд нийлдэг, учир нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас авсан.

Сэтгэгдэл .
Формула (1)-(5) нь харгалзах функцуудыг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэхэд ашиглаж болно, жишээлбэл. эерэг бүхэл тоонд функцийг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1)-(5) функцүүдийн аль нэгийг олж авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теорем дээр суурилдаг. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ № 5a. Маклаурины цуврал дахь функцийг өргөжүүлж, нийлэх мужийг заана уу.
Шийдэл. Эхлээд бид 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
бага ангид:

3/(1-3x) бутархайг 3х хуваарьтай хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр гэж үзэж болно, хэрэв |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

нийлэх мужтай |x|< 1/3.

Жишээ № 6. Функцийг x = 3 цэгийн ойролцоо Тейлорын цуврал болгон өргөжүүл.
Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох хэрэгтэй. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа өргөтгөлийг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):
=
Үүссэн цуваа нь буюу -3-т нийлдэг

Жишээ № 7. Тейлорын цувралыг ln(x+2) функцийн (x -1) зэрэглэлээр бич.
Шийдэл.


Цуврал нь , эсвэл -2-д нийлдэг< x < 5.

Жишээ № 8. f(x)=sin(πx/4) функцийг x =2 цэгийн ойролцоо Тейлорын цуваа болгон өргөжүүл.
Шийдэл. t=x-2 орлуулалтыг хийцгээе:

X-ийн оронд π / 4 t-ийг орлуулах (3) өргөтгөлийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь өгөгдсөн функцэд -∞ дээр нийлдэг< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Тиймээс,
, (-∞

Хүч чадлын цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Эрчим хүчний цувааг ойролцоогоор тооцоололд өргөн ашигладаг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та үндэс, тригонометрийн функц, тоон логарифм, тодорхой интегралын утгыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Дифференциал тэгшитгэлийг интеграци хийх үед цувралыг бас ашигладаг.
Хүч чадлын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийг авч үзье.

Өгөгдсөн цэг дэх функцийн ойролцоо утгыг тооцоолохын тулд X, заасан цувралын нэгдэх бүсэд хамаарах эхнийх нь түүний өргөтгөлийн хэсэгт үлддэг. nгишүүд ( n- хязгаарлагдмал тоо), үлдсэн нэр томъёог хасна:

Олж авсан ойролцоо утгын алдааг тооцоолохын тулд хаясан үлдэгдлийг тооцоолох шаардлагатай rn (x) . Үүнийг хийхийн тулд дараах техникийг ашиглана уу.

• Хэрэв үр дүнгийн цуваа ээлжлэн байгаа бол дараах шинж чанарыг ашиглана. Лейбницийн нөхцөлийг хангасан ээлжлэн цувааны хувьд үнэмлэхүй утгын цувралын үлдсэн хэсэг нь хасагдсан эхний гишүүнээс хэтрэхгүй байна..
• хэрэв өгөгдсөн цуваа тогтмол тэмдэгтэй бол хасагдсан гишүүнчлээс бүрдсэн цувааг хязгааргүй багасах геометр прогресстой харьцуулна.
• ерөнхий тохиолдолд, Тейлорын цувралын үлдэгдлийг тооцоолохын тулд та Лагранжийн томъёог ашиглаж болно: a x ).

Жишээ №1. ln(3)-ийг 0.01-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл. x=1/2 гэсэн өргөтгөлийг ашиглая (өмнөх сэдэв дэх жишээ 5-ыг үзнэ үү):

Өргөтгөлийн эхний гурван гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгацгаая; үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг хязгааргүй багасах геометр прогрессийн нийлбэрийг ашиглан үнэлнэ.

Тиймээс бид энэ үлдэгдлийг хаяж, авах боломжтой

Жишээ №2. 0.0001-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл. Хоёр гишүүний цувааг ашиглая. 5 3 нь 130-тай хамгийн ойр бүхэл тооны шоо учраас 130-ын тоог 130 = 5 3 +5 гэж илэрхийлэх нь зүйтэй.



Учир нь Лейбницийн шалгуурыг хангасан ээлжит цувралын дөрөв дэх гишүүн нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байна:
, тиймээс үүнийг болон түүний дараах нэр томъёог хаяж болно.
Практикт шаардлагатай олон тодорхой буюу буруу интегралыг Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тооцоолох боломжгүй, учир нь түүний хэрэглээ нь үндсэн функцүүдэд илэрхийлэлгүй эсрэг деривативыг олохтой холбоотой байдаг. Эсрэг дериватив олох боломжтой боловч энэ нь шаардлагагүй хөдөлмөр шаарддаг. Харин интеграл функцийг зэрэглэлийн цуваа болгон өргөтгөж, интегралын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах бол урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар интегралын ойролцоо тооцоолол хийх боломжтой.

Жишээ №3. ∫ 0 1 4 sin (x) x интегралыг 10 -5 дотор тооцоол.
Шийдэл. Харгалзах тодорхойгүй интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл. "байнгын бус интеграл"-ыг илэрхийлнэ. Ньютон-Лейбницийн томъёог энд хэрэглэх боломжгүй. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолъё.
Нүглийн цувралыг нэр томъёогоор хуваах xдээр x, бид авах:

Энэ цувралыг нэр томъёогоор нэгтгэж (интеграцийн хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах тул энэ нь боломжтой) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь Лейбницийн нөхцлийг хангаж байгаа тул өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар хүссэн утгыг авахын тулд эхний хоёр гишүүний нийлбэрийг авахад хангалттай.
Тиймээс бид олдог
.

Жишээ № 4. ∫ 0 1 4 e x 2 интегралыг 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл.
. Үр дүнгийн цувралын хоёр дахь гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгацгаая.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Дээд математикийн оюутнууд бидэнд өгөгдсөн цувааг нэгтгэх интервалд хамаарах тодорхой чадлын цувааны нийлбэр нь тасралтгүй, хязгааргүй тооны удаа ялгаатай функц болж хувирдаг гэдгийг мэдэж байх ёстой. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн дурын функц f(x) нь тодорхой чадлын цувааны нийлбэр гэж хэлж болох уу? Өөрөөр хэлбэл, ямар нөхцөлд f(x) функцийг зэрэглэлийн цуваагаар илэрхийлж болох вэ? Энэ асуултын ач холбогдол нь f(x) функцийг зэрэглэлийн цувралын эхний хэдэн гишүүний нийлбэрээр, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтээр орлуулах боломжтойд оршино. Функцийг нэлээд энгийн илэрхийлэл буюу олон гишүүнтээр солих нь тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, тухайлбал: интегралыг шийдвэрлэх, тооцоолох гэх мэт.

Тодорхой f(x) функцийн хувьд (α - R; x 0 + R) ойролцоох (n+1)-р дараалал, түүний дотор сүүлчийнх нь үүсмэлийг тооцоолох боломжтой болох нь батлагдсан. ) зарим цэг x = α бол томъёо нь үнэн юм:

Энэ томъёог нэрт эрдэмтэн Брук Тэйлорын нэрээр нэрлэсэн. Өмнөх цувралаас олж авсан цувралыг Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг.

Маклаурин цувралд өргөтгөл хийх боломжтой болгодог дүрэм:

1. Нэгдүгээр, хоёр, гуравдугаар... дарааллын деривативыг тодорхойлно уу.
2. x=0 дээрх деривативууд хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоол.
3. Энэ функцийн Маклаурины цувралыг бичээд дараа нь түүний нийлэх интервалыг тодорхойл.
4. Маклаурины томъёоны үлдэгдэл байх интервалыг (-R;R) тодорхойлно

R n (x) -> 0 at n -> хязгааргүй. Хэрэв нэг нь байгаа бол түүний доторх f(x) функц нь Маклаурины цувралын нийлбэртэй давхцах ёстой.

Одоо бие даасан функцүүдийн хувьд Маклаурин цувралыг авч үзье.

1. Тэгэхээр эхнийх нь f(x) = e x болно. Мэдээжийн хэрэг, шинж чанараараа ийм функц нь маш өөр эрэмбийн деривативтай бөгөөд f (k) (x) = e x, k нь бүгд тэнцүү байна. x = 0 орлуулна. Бид f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Дээрхээс үндэслэн e x цуврал дараах байдалтай байна.

2. f(x) = sin x функцийн Маклаурины цуваа. Бүх үл мэдэгдэх функц нь деривативтай байх ба үүнээс гадна f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x +) гэдгийг нэн даруй тодруулцгаая. 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), энд k нь дурын натурал тоотой тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, энгийн тооцоолол хийсний дараа бид хүрч болно. f(x) = sin x-ийн цуваа дараах байдалтай байна гэсэн дүгнэлт:

3. Одоо f(x) = cos x функцийг авч үзье. Бүх үл мэдэгдэхийн хувьд энэ нь дурын дарааллын деривативтай ба |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Тиймээс, бид Маклаурины цувралд өргөжүүлж болох хамгийн чухал функцуудыг жагсаасан боловч зарим функцэд зориулж Тэйлорын цувралаар нэмж оруулсан болно. Одоо бид тэдгээрийг жагсаах болно. Тейлор, Маклаурины цувралууд нь дээд математикийн цувралыг шийдвэрлэх практик ажлын чухал хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгэхээр, Тейлорын цуврал.

1. Эхнийх нь f(x) = ln(1+x) функцийн цуваа болно. Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил өгөгдсөн f(x) = ln(1+x)-ийн хувьд Маклаурин цувралын ерөнхий хэлбэрийг ашиглан цуваа нэмж болно. Гэсэн хэдий ч, энэ функцийн хувьд Маклаурин цувралыг илүү хялбараар олж авах боломжтой. Тодорхой геометрийн цувралыг нэгтгэсний дараа бид ийм түүврийн f(x) = ln(1+x)-ийн цувралыг олж авна.

2. Манай нийтлэлийн эцсийнх болох хоёр дахь нь f(x) = arctan x-ийн цувралууд байх болно. [-1;1] интервалд хамаарах x-ийн хувьд өргөтгөл хүчинтэй байна:

Тэгээд л болоо. Энэ нийтлэлд дээд математик, ялангуяа эдийн засаг, техникийн их сургуулиудад хамгийн их хэрэглэгддэг Тейлор, Маклаурин цувралуудыг авч үзсэн.

Хэрэв функц бол f(x)цэгийг агуулсан зарим интервалтай байна А, бүх дарааллын дериватив, дараа нь Тэйлорын томъёог түүнд хэрэглэж болно:

Хаана r n– цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.

, энд x тоо хоёрын хооронд байна XТэгээд А.

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд x r n®0 цагт n®¥, тэгвэл хязгаарт Тейлорын томъёо нь энэ утгыг нэгтгэх томьёо болж хувирна Тейлорын цуврал:

Тиймээс функц f(x)тухайн цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно X, Хэрэв:

1) бүх захиалгын деривативтай;

2) баригдсан цуваа энэ цэг дээр нийлнэ.

At А=0 гэж нэрлэгддэг цуврал гарч ирнэ Маклаурины ойролцоо:

Жишээ 1 f(x)= 2x.

Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -¥-д хүчинтэй байна.<x<+¥.

Жишээ 2 X+4) функцийн хувьд f(x)=д x.

Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e xболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Тиймээс функцийн шаардлагатай Тейлор цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ өргөтгөл нь -¥-д мөн хүчинтэй<x<+¥.

Жишээ 3 . Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln xэрх мэдлийн цувралд ( X- 1),

(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).

Шийдэл. Энэ функцийн деривативуудыг ол.

Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлор цувралыг олж авна.

d'Alembert-ийн тестийг ашигласнаар цувралууд хэзээ нэгдэж байгааг шалгаж болно

½ X- 1½<1. Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Бид Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. At X=0 функц тодорхойлогдоогүй байна. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Энэ аргаар олж авсан өргөтгөлүүдийг Маклаурин цувралд (жишээ нь цэгийн ойролцоо) танилцуулъя. X=0) зарим энгийн функцүүдийн хувьд:

(2) ,

(3) ,

(сүүлчийн задрал гэж нэрлэдэг бином цуврал)

Жишээ 4 . Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү

Шийдэл. Өргөтгөх хэсэгт (1) бид солино Xдээр - X 2, бид авна:

Жишээ 5 . Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл. Бидэнд байгаа

Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

оронд нь орлуулах Xтомъёонд оруулна -Х, бид авах:

Эндээс бид олж мэднэ:

Хаалтуудыг нээж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид олж авна

Энэ цуврал интервалд нийлдэг

(-1;1), учир нь тус бүр нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас авсан.

Сэтгэгдэл .

Формула (1)-(5) нь харгалзах функцуудыг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэхэд ашиглаж болно, жишээлбэл. эерэг бүхэл тоонд функцийг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1)-(5) функцүүдийн аль нэгийг олж авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь функцын зэрэглэлийн цуваа тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теоремыг харуулж байна. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ 6 . Тейлорын цувралын функцийг цэгийн ойролцоо өргөжүүл X=3.

Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох хэрэгтэй. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа өргөтгөлийг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):

Үр дүнд нь цуваа нийлдэг эсвэл -3<х- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Жишээ 7 . Тейлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( X-1) функцууд .

Шийдэл.

Цуврал нэгдэн нийлдэг , эсвэл 2< x£5.