Танил байх, ... харилцаатай байх
нөгөө хоёр өгөгдсөн тооноос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Хэрэв a ба дараа нь N өгөгдсөн бол тэдгээрийг илтгэгчээр олно. Хэрэв N ба дараа нь a-г х зэрэглэлийн үндсийг авч (эсвэл түүнийг зэрэгт өсгөж) өгвөл. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд бид x-ийг олох хэрэгтэй болсон тохиолдлыг авч үзье.
N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .
Тодорхойлолт. N тооны а суурийн логарифм нь N тоог авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ
Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгчийг N-ийн логарифм гэж олно. Бичлэгүүд
ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; бодит байдал дээр энэ нь логарифмын ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтЛогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифмын тоо N эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь . Энд нөхцөл зайлшгүй чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс x ба y-ийн аль ч утгын хувьд тэгш байдал нь үнэн тул дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно.
Жишээ 1. Хай
Шийдэл. Тоо авахын тулд та 2-р суурийг өсгөх ёстой.
Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр тэмдэглэл хийж болно.
Жишээ 2. Ол.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифмын тоог рационал илтгэгчтэй суурийн зэрэглэлээр дүрслэн хүссэн логарифмийг хялбархан олсон. IN ерөнхий тохиолдол, жишээ нь, for, гэх мэт, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуудалд анхаарлаа хандуулъя. 12-р зүйлд бид өгөгдсөн эерэг тооны бодит хүчийг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг өгсөн. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.
Логарифмын зарим шинж чанарыг харцгаая.
Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.
Баталгаа. Бидэнд байгаа логарифмын тодорхойлолтоор, хаанаас
Үүний эсрэгээр, тодорхойлолтоор Дараа нь үзье
Өмч 2. Аль ч суурийн нэгийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү.
Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс
Q.E.D.
Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .
Логарифмын дараагийн шинж чанарыг томъёолохын өмнө a ба b хоёр тоо нь хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг хэлье. Хэрэв эдгээр тоонуудын нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол тэдгээрийг c-ийн эсрэг талд байрладаг гэж хэлэх болно.
Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын нэг талд орвол логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэгийн эсрэг талд байвал логарифм нь сөрөг байна.
3-р өмчийн нотолгоо нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн чадал нэгээс их байх дээр үндэслэсэн болно. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал хүч нь нэгээс бага байна.
Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээ хийхээр хязгаарлагдах болно, харин уншигч үлдсэнийг нь өөрөө авч үзэх болно.
Тэгэхэд экспонент нь сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тиймээс энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байна.
Жишээ 3. Доорх логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг ол.
Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэг талын нэг талд байрладаг тул;
б) 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; энэ тохиолдолд суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;
в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;
G); Яагаад?
г); Яагаад?
Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, тэдгээрийн коэффициент, зэрэглэлийг олох боломжийг олгодог.
Property 4 (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм энэ үндэс нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмуудыг ижил суурьтай.
Баталгаа. Өгөгдсөн тоонууд эерэг байг.
Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмийг тодорхойлсон тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.
Эндээс бид олох болно
Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.
Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёр сөрөг тооны үржвэрийн логарифм нь утга учиртай боловч энэ тохиолдолд бид олж авна
Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн үнэмлэхүй утгуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
5-р шинж чанар (хэсгийн логарифм авах дүрэм). Эерэг тоонуудын логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмуудын ялгааг ижил суурьтай тэнцүү байна. Баталгаа. Бид байнга олдог
Q.E.D.
Property 6 (чадлын логарифмын дүрэм). Аливаа эерэг тооны чадлын логарифм нь тухайн тооны логарифмыг илтгэгчээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Баталгаа. Тооны үндсэн таних тэмдэгийг (26.1) дахин бичье.
Q.E.D.
Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь радикалын логарифмыг язгуурын илтгэгчид хуваасантай тэнцүү байна.
Энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг өмч 6 хэрхэн, хэрхэн ашиглах талаар төсөөлж нотлох боломжтой.
Жишээ 4. Логарифмыг a үндэс болгон авна уу:
a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);
б) (энэ гэж таамаглаж байна).
Шийдэл, a) Энэ илэрхийлэлд бутархай тоонд шилжих нь тохиромжтой.
(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:
Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгддэгийг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхэд тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.
Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигладаг (29-р зүйлийг үз).
Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциал гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээс тухайн тоог олох үйлдэл юм. Үндсэндээ потенциаци нь тийм биш юм тусгай арга хэмжээ: энэ нь суурийн хүчийг (тооны логарифмтай тэнцүү) өсгөхөд хүргэдэг. "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.
Потенциацийн үед та логарифмын дүрэмтэй урвуу дүрмийг ашиглах ёстой: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм, логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр солих гэх мэт.. Ялангуяа, хэрэв урд талын хүчин зүйл байвал. логарифмын тэмдгийн дагуу, дараа нь потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор экспонентын зэрэгт шилжих ёстой.
Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол
Шийдэл. Дөнгөж хэлсэн потенциацийн дүрэмтэй холбогдуулан бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгийн өмнө байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч болгон шилжүүлнэ; бид авдаг
Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:
Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р зүйл).
Property 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их байвал илүү их тоотом логарифмтай (мөн бага тоо нь жижиг нь), хэрэв суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн бага тоо нь том хэмжээтэй).
Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифм авах дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд хоёр тал нь эерэг байна.
Тэгш бус байдлыг нэгээс их суурьтай болгоход тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах ба нэгээс бага суурьтай тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).
Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмуудыг авч үзвэл бид гарах тохиолдлыг авч үзье.
(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс
Дараах тохиолдолд уншигч үүнийг өөрөө олох болно.
Зааварчилгаа
Өгөгдсөн логарифм илэрхийллийг бич. Хэрэв илэрхийлэл нь 10-ын логарифмыг ашигладаг бол тэмдэглэгээг богиносгож, дараах байдлаар харагдана: lg b нь аравтын логарифм. Хэрэв логарифмын суурь нь e тоотой бол дараах илэрхийллийг бичнэ үү: ln b – натурал логарифм. Ямар ч үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх ёстой хүчин чадал гэдгийг ойлгодог.
Хоёр функцийн нийлбэрийг олохдоо тэдгээрийг нэг нэгээр нь ялгаж, үр дүнг нэмэхэд хангалттай: (u+v)" = u"+v";
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохдоо эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, хоёрдугаар функцийн деривативыг эхний функцээр үржүүлсэнийг нэмэх шаардлагатай: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг олохын тулд ногдол ашгийн деривативын үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийн үржвэрийг хуваагч функцээр үржүүлсэн үржвэрийг хасаж, хуваах шаардлагатай. энэ бүгдийг хуваагч функцээр квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Өгөгдсөн бол нарийн төвөгтэй функц, дараа нь үүсмэлийг үржүүлэх шаардлагатай дотоод функцба гадаад нэгний дериватив. y=u(v(x)), дараа нь y"(x)=y"(u)*v"(x) гэж үзье.
Дээрх үр дүнг ашиглан та бараг бүх функцийг ялгаж чадна. Тиймээс хэд хэдэн жишээг харцгаая:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Нэг цэгт деривативыг тооцоолоход бас асуудал гардаг. y=e^(x^2+6x+5) функцийг өгье, та x=1 цэг дээрх функцийн утгыг олох хэрэгтэй.
1) Функцийн деривативыг ол: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Функцийн утгыг тооцоол өгсөн оноо y"(1)=8*e^0=8
Сэдвийн талаархи видео
Анхан шатны деривативын хүснэгтийг сур. Энэ нь цагийг ихээхэн хэмнэх болно.
Эх сурвалжууд:
- тогтмолын дериватив
Тэгэхээр, иррационал тэгшитгэл ба оновчтой тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Хэрэв үл мэдэгдэх хувьсагч квадрат язгуур тэмдгийн доор байвал тэгшитгэлийг иррациональ гэж үзнэ.
Зааварчилгаа
Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол хоёр талыг барих арга юм тэгшитгэлдөрвөлжин болгон. Гэсэн хэдий ч. Энэ бол байгалийн зүйл, таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэмдгийг арилгах явдал юм. Энэ арга нь техникийн хувьд хэцүү биш боловч заримдаа асуудалд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь v(2x-5)=v(4x-7). Хоёр талыг квадрат болгосноор 2x-5=4x-7 болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хэцүү биш юм; x=1. Гэхдээ 1-ийн тоог өгөхгүй тэгшитгэл. Яагаад? Тэгшитгэлд x-ийн утгын оронд нэгийг оруулаад баруун, зүүн тал нь утгагүй илэрхийллүүдийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Энэ утга нь квадрат язгуурт тохирохгүй. Тиймээс 1 нь гадны язгуур тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
Тиймээс иррационал тэгшитгэлийг хоёр талыг нь квадрат болгох аргыг ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа үүнийг таслах шаардлагатай болно гадны үндэс. Үүнийг хийхийн тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
Өөр нэгийг авч үзье.
2х+вх-3=0
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийг өмнөхтэй ижил тэгшитгэл ашиглан шийдэж болно. Нэгдлүүдийг зөөх тэгшитгэлязгуургүй , in баруун талдараа нь квадратын аргыг хэрэглэнэ. Үүссэн рационал тэгшитгэл ба язгуурыг шийд. Гэхдээ бас өөр, илүү гоёмсог. Шинэ хувьсагч оруулах; vх=y. Үүний дагуу та 2y2+y-3=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хүлээн авна. Энэ нь ердийн зүйл юм квадрат тэгшитгэл. Түүний үндсийг олох; y1=1 ба y2=-3/2. Дараа нь хоёрыг шийд тэгшитгэл vх=1; vх=-3/2. Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд эхнийхээс бид x=1 болохыг олж мэднэ. Үндэсийг нь шалгахаа бүү мартаарай.
Тодорхойлолтыг шийдвэрлэх нь маш энгийн. Үүнийг хийхийн тулд тавьсан зорилгодоо хүрэх хүртэл ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг хийх шаардлагатай. Тиймээс хамгийн энгийн тусламжтайгаар арифметик үйлдлүүдтулгарч буй ажил шийдэгдэх болно.
Танд хэрэгтэй болно
- - цаас;
- - үзэг.
Зааварчилгаа
Ийм хувиргалтуудын хамгийн энгийн нь алгебрийн товчилсон үржүүлэх (нийлбэрийн квадрат (ялгаа), квадратуудын зөрүү, нийлбэр (ялгаа), нийлбэрийн шоо (ялгаа) гэх мэт) юм. Үүнээс гадна, олон байдаг ба тригонометрийн томъёо, эдгээр нь үндсэндээ ижил таних тэмдэг юм.
Үнэн хэрэгтээ хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат нь эхнийхийн квадрат дээр нэмэх нь эхнийх нь хоёр дахь үржвэрийн үржвэр, хоёр дахьын квадратыг нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Хоёуланг нь хялбарчил
Шийдлийн ерөнхий зарчим
Сурах бичгийн дагуу давт математик шинжилгэээсвэл дээд математик, тодорхой интеграл гэж юу вэ. Мэдэгдэж байгаагаар шийдэл тодорхой интегралДериватив нь интеграл өгдөг функц байдаг. Энэ функцэсрэг дериватив гэж нэрлэдэг. Энэ зарчимд үндэслэн үндсэн интегралуудыг байгуулна.Хүснэгтийн интегралуудын аль нь тохирохыг интеграл хэлбэрээр тодорхойлно энэ тохиолдолд. Үүнийг нэн даруй тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ интегралыг хялбарчлахын тулд хэд хэдэн хувиргалт хийсний дараа хүснэгт хэлбэр нь мэдэгдэхүйц болдог.
Хувьсагчийг солих арга
Хэрэв интеграл функц нь тригонометрийн функц, аргумент нь олон гишүүнт агуулсан байвал хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглаж үзнэ үү. Үүнийг хийхийн тулд интегралын аргумент дахь олон гишүүнтийг шинэ хувьсагчаар солино. Шинэ болон хуучин хувьсагчдын хоорондын хамаарал дээр үндэслэн интеграцийн шинэ хязгаарыг тодорхойлно. Энэ илэрхийлэлийг ялгаснаар шинэ дифференциалыг . Тиймээс та өмнөх интегралын шинэ хэлбэрийг авах болно, ойрын эсвэл бүр хүснэгтэн хэлбэртэй харгалзах болно.Хоёр дахь төрлийн интегралыг шийдвэрлэх
Хэрэв интеграл нь хоёр дахь төрлийн интеграл, интегралын вектор хэлбэр бол эдгээр интегралаас скаляр руу шилжих дүрмийг ашиглах шаардлагатай болно. Ийм дүрмийн нэг бол Остроградский-Гаусын харилцаа юм. Энэ хууль нь тодорхой векторын функцийн роторын урсгалаас өгөгдсөн векторын талбарын дивергенцийг давсан гурвалсан интеграл руу шилжих боломжийг бидэнд олгодог.Интеграцийн хязгаарыг орлуулах
Эсрэг деривативыг олсны дараа интеграцийн хязгаарыг орлуулах шаардлагатай. Нэгдүгээрт, дээд хязгаарын утгыг эсрэг деривативын илэрхийлэлд орлуулна. Та хэд хэдэн дугаар авах болно. Дараа нь үүссэн тооноос доод хязгаараас олж авсан өөр тоог эсрэг дериватив болгон хасна. Хэрэв интеграцийн хязгаарын нэг нь хязгааргүй бол түүнийг эсрэг дериватив функцэд орлуулахдаа хязгаарт очиж, илэрхийлэл юунд чиглэж байгааг олох шаардлагатай.Хэрэв интеграл нь хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст бол интегралыг хэрхэн үнэлэхийг ойлгохын тулд та интегралын хязгаарыг геометрээр илэрхийлэх шаардлагатай болно. Үнэн хэрэгтээ, гурван хэмжээст интегралын хувьд интегралын хязгаар нь нэгтгэж буй эзлэхүүнийг хязгаарладаг бүхэл бүтэн хавтгай байж болно.
Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарууд, график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, тэлэлт эрчим хүчний цуврал ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх.
Тодорхойлолт
Байгалийн логарифм нь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.
Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.
Үндэслэсэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
y = функцийн график ln x.
Натурал логарифмын график (функц у = ln x) нь y = x шулуун шугамтай харьцуулахад толин тусгалаар экспоненциал графикаас гарна.
Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.
x → дээр 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.
x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. Ямар ч эрчим хүчний функцэерэг үзүүлэлттэй x a логарифмаас хурдан өсдөг.
Натурал логарифмын шинж чанарууд
Тодорхойлолтын талбар, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт
Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.
ln x утгууд
ln 1 = 0
Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:
Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар
Суурь солих томъёо
Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.
Урвуу функц
Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.
Хэрэв бол
Хэрэв тийм бол.
Дериватив ln x
Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >
Интеграл
Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,
Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ
:
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.
Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.
Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Өргөтгөх үед:
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Логарифм гэж юу вэ?
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.
Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Надад итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын дотор та:
1. Та ойлгох болно логарифм гэж юу вэ.
2. Бүтэн ангиллын экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж сур. Та тэдний талаар юу ч сонсоогүй байсан ч гэсэн.
3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.
Түүгээр ч барахгүй, үүний тулд та зөвхөн үржүүлэх хүснэгт болон тоог хэрхэн хүчирхэг болгох талаар мэдэх хэрэгтэй.
Чамд эргэлзэж байх шиг байна... За за, цагаа тэмдэглээрэй! Яв!
Эхлээд энэ тэгшитгэлийг толгой дээрээ шийд:
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Энэ нийтлэлийн гол зүйл бол логарифм. Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг өгч, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг үзүүлж, логарифмын жишээг өгч, натурал ба аравтын логарифмын тухай ярих болно. Үүний дараа бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Логарифмын тодорхойлолт
Логарифмын тухай ойлголт нь асуудлыг шийдвэрлэх үед үүсдэг тодорхой утгаарааурвуу, илтгэгчийг олох шаардлагатай үед мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэзэрэг ба мэдэгдэж буй үндэслэл.
"Логарифм гэж юу вэ" гэсэн асуултанд хариулах цаг нь хангалттай оршил үг юм уу? Холбогдох тодорхойлолтыг өгье.
Тодорхойлолт.
b-ийн логарифм нь a суурь, энд a>0, a≠1 ба b>0 нь үр дүнд нь b авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.
Энэ үе шатанд "логарифм" гэсэн үг нь "ямар тоо" ба "ямар үндэслэлээр" гэсэн хоёр асуултыг нэн даруй гаргах ёстойг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, зүгээр л логарифм гэж байдаггүй, зөвхөн тоон зарим суурь хүртэлх логарифм байдаг.
Шууд орцгооё логарифмын тэмдэглэгээ: b тооны а суурьтай байх логарифмыг ихэвчлэн log a b гэж тэмдэглэдэг. b тооны суурь e ба 10 суурьтай логарифм нь lnb ба logb гэсэн тусгай тэмдэглэгээтэй, өөрөөр хэлбэл log e b биш, харин lnb, log 10 b биш, харин lgb гэж бичдэг.
Одоо бид өгч болно: .
Мөн бичлэгүүд 
Энэ нь утгагүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор байдаг сөрөг тоо, хоёр дахь нь үндсэн дээр сөрөг тоо, гурав дахь нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурийн нэгж байна.
Одоо ярилцъя логарифм унших дүрэм. Log a b нь "b-ийн логарифмыг a суурь" гэж уншина. Жишээлбэл, log 2 3 нь 2 суурьтай гурвын логарифм бөгөөд 2 суурьтай хоёрын гуравны хоёрын логарифм юм. Квадрат язгууртаваас. e суурийн логарифм гэж нэрлэдэг байгалийн логарифм, мөн lnb тэмдэглэгээ нь "b-ийн натурал логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, ln7 нь долоон тооны натурал логарифм бөгөөд бид үүнийг pi-ийн натурал логарифм гэж унших болно. Үндсэн 10 логарифм нь мөн тусгай нэртэй байдаг - аравтын логарифм, мөн lgb нь "b-ийн аравтын логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, lg1 нь нэгийн аравтын логарифм, lg2.75 нь хоёр цэгийн долоон таван зуутын аравтын логарифм юм.
Логарифмын тодорхойлолтыг өгсөн a>0, a≠1 ба b>0 нөхцлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. Эдгээр хязгаарлалтууд хаанаас ирснийг тайлбарлая. Дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарах хэлбэрийн тэгш байдал нь бидэнд үүнийг хийхэд тусална.
a≠1-ээс эхэлцгээе. Нэг нь нэгтэй тэнцүү тул тэгш байдал нь b=1 үед л үнэн байх боловч log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийхийн тулд a≠1 гэж үзнэ.
a>0 нөхцлийн тохиромжтойг зөвтгөж үзье. a=0 байхад логарифмын тодорхойлолтоор бид тэгш эрхтэй байх ба энэ нь зөвхөн b=0 байхад л боломжтой. Харин тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг байх тул log 0 0 нь тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. a≠0 нөхцөл нь энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгээд хэзээ а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Эцэст нь a>0 тэгш бус байдлаас b>0 нөхцөл үүснэ, учир нь , эерэг суурьтай a зэрэглэлийн утга үргэлж эерэг байна.
Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд логарифмын тодорхойлсон тодорхойлолт нь логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой хүч байх үед логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг танд олгоно гэж бодъё. Үнэн хэрэгтээ логарифмын тодорхойлолт нь b=a p бол b тооны логарифм нь a суурьтай тэнцүү гэдгийг хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Өөрөөр хэлбэл log a a p =p тэгш байдал үнэн байна. Жишээлбэл, бид 2 3 =8, дараа нь log 2 8=3 гэдгийг мэднэ. Энэ талаар бид нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.
