Эрүүгийн байцаан шийтгэх ажиллагааны шийдвэр, түүнчлэн иргэний хэрэг хянан шийдвэрлэх ажиллагааны шийдвэрийг нэрийн өмнөөс гаргадаг
1) Ерөнхийлөгч Оросын Холбооны Улс
2) ОХУ
3) ОХУ-ын Засгийн газар
4) ОХУ-ын Холбооны Хурал
Тайлбар.
Урлагийн 28-р зүйлийн дагуу. Эрүүгийн байцаан шийтгэх хуулийн 5 дугаар зүйлд зааснаар шийтгэх тогтоол гэдэг нь шүүгдэгчийн гэм буруугүй, гэм буруугүй, ял оногдуулах, ялаас чөлөөлөх тухай анхан болон давж заалдах шатны шүүхээс гаргасан шийдвэр юм. Шийдвэрт заасан асуудлуудаас гадна ОХУ-ын Эрүүгийн байцаан шийтгэх хуульд заасан бусад асуудлыг шийдэж болно. Шүүхийн шийдвэр бол шүүхийн эрх мэдлийн илэрхийлэл болох шударга ёсны үйлдэл юм. ОХУ-ын бүх шүүх ОХУ-ын нэрээр шийдвэр гаргадаг.
Хариулт: 2
Гэмт хэргийн улмаас хохирсон хүн хэн бэ?
1) сэжигтэн
2) шүүгдэгчид
3) хохирогч
Тайлбар.
Сэжигтэн - гэмт хэрэг үйлдсэн гэх үндэслэлээр цагдан хоригдсон, яллагдагчаар татахаас өмнө урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээ авсан хүн.
Шүүгдэгч гэдэг нь шүүхээс хэрэг хянан шийдвэрлэх ажиллагаанд хүлээн авсан яллагдагч юм. Шийтгүүлсэн этгээдийг ялтан гэж нэрлэдэг - хэрэв гэм буруутай, эсвэл цагаатгасан - гэм буруугүй бол (Эрүүгийн байцаан шийтгэх хуулийн 46 дугаар зүйлийн 2 дахь хэсэг).
Нэхэмжлэгч нь субъектив эрх ба (эсвэл) хамгаалагдсан ашиг сонирхлоо хамгаалах үүднээс иргэний хэрэг үүсгэсэн иргэний хэрэг хянан шийдвэрлэх ажиллагааны оролцогч юм.
Зөв хариултыг 3 дугаарт жагсаав.
Хариулт: 3
Сэдвийн чиглэл: Хууль. Эрүүгийн процессын онцлог
Эрүүгийн хэрэг шүүхэд шилжсэний дараа яллагдагч нь болдог
1) сэжигтэн
2) шүүгдэгчид
3) гэмт хэрэгтэн
4) шийтгэгдсэн
Тайлбар.
Сэжигтэн - одоог хүртэл мөрдөн байцаалтын шатанд байна
Эрүүгийн - гэм буруу нь бүрэн нотлогдсон үед
Ялтан - шүүхийн шийдвэр гарсны дараа
Зөв хариултыг 2 дугаарт жагсаав.
Хариулт: 2
Сэдвийн чиглэл: Хууль. Эрүүгийн процессын онцлог
Эрүүгийн хуулиар ямар нөхцөл байдлыг зохицуулдаг вэ?
1) галын аюулгүй байдлын дүрмийг зөрчсөн
2) хууль бусаар ажлаас халах тухай нэхэмжлэл гаргасан
3/ шүүхээс эрх зүйн чадамжгүй гэж тооцсон иргэн Д-д асран хамгаалагч тогтоох тухай өргөдөл гаргасан.
4) эрүүл мэндэд санаатайгаар ноцтой хохирол учруулсан
Тайлбар.
Эрүүгийн эрх зүй нь гэмт хэрэг үйлдэх, ял оногдуулах, эрүүгийн эрх зүйн шинжтэй бусад арга хэмжээ хэрэглэхтэй холбогдсон нийгмийн харилцааг зохицуулах, эрүүгийн хариуцлага хүлээлгэх, эрүүгийн хариуцлага, ялаас чөлөөлөх үндэслэлийг тогтоох эрх зүйн салбар юм.
Хариулт: 4
Сэдвийн чиглэл: Хууль. Эрүүгийн процессын онцлог
ОХУ-д хэрэгжиж буй хэргийг хэлэлцэх үед тангарагтны шүүгчдийн оролцоог шүүх ажиллагаанд оролцуулдаг
1) захиргааны
2) арбитр
3) иргэний
4) гэмт хэрэгтэн
Тайлбар.
Тангарагтны шүүх гэдэг нь зөвхөн тухайн хэргийн талаар санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон тангарагтны шүүгчдээс бүрдсэн, бодит байдлын асуудлыг шийдвэрлэх, хуулийн асуудлыг шийдвэрлэх мэргэжлийн нэг шүүгчээс бүрдсэн шүүхийн тогтолцооны институц юм. Тангарагтны шүүх эхний ээлжинд ихэвчлэн хүнд гэмт хэрэг үйлдсэн эрүүгийн хэргийг шүүдэг. Зарим оронд, тэр дундаа ОХУ-д тангарагтны шүүх хуралдааныг зөвхөн эрүүгийн байцаан шийтгэх ажиллагааны хүрээнд л хийх боломжтой. АНУ-ын зарим муж болон зарим оронд тангарагтны шүүгчид зөвхөн санал нэгтэйгээр шийдвэр гаргадаг. Бусад тохиолдолд - энгийн буюу мэргэшсэн олонхийн саналаар. (ОХУ-д тангарагтны шүүх олонхийн саналаар шийдвэр гаргадаг.) Мөн зарим оронд тангарагтны шүүхээс цаазаар авах ялыг хэрэглэх эсвэл хөнгөрүүлэх нөхцөл байдал байгаа эсэх талаар зөвлөмж гаргадаг. Гэхдээ ялыг сонгох асуудлыг зөвхөн шүүгч л шийддэг. (АНУ-д үл хамаарах зүйл бол цаазаар авах ялтай холбоотой хэргийн хувьд тангарагтны шүүхийн шийдвэр эцсийнх бөгөөд давж заалдах боломжгүй.)
Зөв хариултыг 4-р дугаарт жагсаав.
Хариулт: 4
Сэдвийн чиглэл: Хууль. Эрүүгийн процессын онцлог
Захидал, утасны яриа, телеграф мессежийн нууцлалыг хууль ёсны үндэслэлгүйгээр зөрчсөн бол хуулийн хариуцлага хүлээлгэнэ.
1) гэмт хэрэгтэн
2) захиргааны
3) иргэний
4) хөдөлмөр
Тайлбар.
Эрүүгийн эрх зүй нь нийгэмд аюултай ямар үйлдлийг гэмт хэрэгт тооцох, түүнд ямар шийтгэл оногдуулж болохыг тодорхойлсон эрх зүйн хэм хэмжээнээс бүрдсэн эрх зүйн салбар юм. Хуулийн үндэслэлгүйгээр захидал харилцаа, утасны яриа, цахилгаан мэдээний нууцлалыг зөрчсөн тохиолдолд эрүүгийн хуулийн дагуу хариуцлага хүлээлгэнэ.
Зөв хариултыг дараах тоогоор бичнэ: 1.
Нэр: Нийгмийн ухаан - Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш - Хууль.
Энэ ном заавархурдан болон үр дүнтэй бэлтгэлсургуулийн сурагчид болон нийгмийн ухааны чиглэлээр улсын нэгдсэн шалгалт өгөх (USE) өргөдөл гаргагчид нь агуулгаараа тохирч байна. улсын стандартнийгмийн шинжлэх ухааны боловсрол. Энэхүү гарын авлага нь нийгмийн ухааны хичээлийн “Эрх зүй” агуулгын блок дахь мэдлэгийг системчлэх, гүнзгийрүүлэх, ерөнхийд нь оруулахад туслах зорилготой юм.
Энэхүү гарын авлага нь зориулагдсан болно бие даасан сургалтсургуулийн сурагчид болон улсын нэгдсэн шалгалт өгөх өргөдөл гаргагчид.
Үүнд нийгмийн ухааны хичээлийн “Хууль” агуулгын блокийн даалгавар багтсан болно. Хэсэг бүрийн өмнө онолын материалыг товч бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр, жишээлбэл, диаграмм, хүснэгт хэлбэрээр өгсөн болно.
Сургалтын даалгавар нь улсын нэгдсэн шалгалтын форматтай нийцэж байгаа бөгөөд тестийг хурдан, чадварлаг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэхэд чиглэгддэг. Номын төгсгөлд санал болгож буй бүх даалгаврын хариултыг танилцуулсан бөгөөд энэ нь шалгалтанд бэлтгэх түвшинг бодитой үнэлэх боломжийг танд олгоно.
Удиртгал. 4
ЗӨВ
Онолын материал (экспресс курс). арван нэгэн
Сэдэв 1. Систем дэх хууль нийгмийн хэм хэмжээ. 11
Сэдэв 2. Эрх зүйн тогтолцоо: үндсэн салбар, институци, харилцаа. 22
Сэдэв 3. Эрх зүйн эх сурвалж. 26
Сэдэв 4. Хууль эрх зүйн актууд. 28
Сэдэв 5. Эрх зүйн харилцаа. 32
Сэдэв 6. Гэмт хэрэг. 36
Сэдэв 7. ОХУ-ын Үндсэн хууль. 39
Сэдэв 8. Төрийн болон хувийн эрх зүй. 50
Сэдэв 9. Хуулийн хариуцлага, түүний төрлүүд. 51
Сэдэв 10. ОХУ-ын төрийн, захиргааны, иргэний, хөдөлмөрийн болон эрүүгийн эрх зүйн үндсэн ойлголт, хэм хэмжээ. 57
Сэдэв 11. Хууль эрх зүйн үндэслэлгэрлэлт ба гэр бүл. 96
Сэдэв 12. Хүний эрхийн талаарх олон улсын баримт бичиг. 106
Сэдэв 13. Хүний эрхийг шүүхээр хамгаалах тогтолцоо. 109
Сэдэв 14. ОХУ-ын үндсэн хуулийн тогтолцооны үндэс. 112
Сэдэв 15. Холбоо, түүний субъектууд. 116
Сэдэв 16. ОХУ-ын хууль тогтоох, гүйцэтгэх, шүүх эрх мэдлийн байгууллагууд. 122
Сэдэв 17. Ерөнхийлөгчийн дэргэдэх хүрээлэн. 135
Сэдэв 18. Хууль сахиулах байгууллага. 140
Сэдэв 19. Энхийн болон дайны үеийн хүний эрхийг олон улсын хэмжээнд хамгаалах. 144
Сэдэв 20. Эрх зүйн соёл. 150
Сургалтын даалгавар. 157
1(A) хэсэг. 157
2(B) хэсэг. 169
3 (C) хэсэг. 178
Хариултууд сургалтын даалгавар. 181
1(A) хэсэг. 181
1(B) хэсэг. 183
3 (C) хэсэг. 184
Уран зохиол. 190
Үнэгүй татах цахим номтохиромжтой форматаар үзэж, уншина уу:
"Нийгмийн судлал" номыг татаж авах - Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш - Хууль - Баранов П.А., Воронцов А.В. - fileskachat.com, хурдан бөгөөд үнэгүй татаж авах.
pdf татаж авах
Та энэ номыг доороос худалдаж авах боломжтой хамгийн сайн үнэОрос даяар хүргэлттэй хямдралтай.
§ 1. ТЭГШИГЧИЛГИЙГ ШИЙДЭХ ҮЕД АЛДАГДСАН, СУУРСАН ҮНДЭС (ЖИШЭЭ)
ЛАВЛАГААНЫ МАТЕРИАЛ
1. VII бүлгийн § 3 дахь хоёр теорем нь тэгшитгэл дээр ямар үйлдлүүд нь тэдгээрийн эквивалентыг зөрчдөггүй талаар өгүүлсэн.
2. Одоо анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү биш шинэ тэгшитгэлд хүргэж болох тэгшитгэлүүд дээрх үйлдлүүдийг авч үзье. Ерөнхий дүгнэлтийн оронд бид зөвхөн тодорхой жишээнүүдийг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.
3. Жишээ 1. Өгөгдсөн тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн хаалтыг нээж, бүх гишүүнийг шилжүүл зүүн талмөн квадрат тэгшитгэлийг шийд. Үүний үндэс нь
Хэрэв та тэгшитгэлийн хоёр талыг нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулбал энэ нь зөвхөн нэг язгууртай тул анхныхтай тэнцүү биш тэгшитгэл авна.
Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг үл мэдэгдэхийг агуулсан хүчин зүйлээр багасгах нь тэгшитгэлийн үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй юм.
4. Жишээ 2. Энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид хоёр язгуурыг олно.
Шинэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү биш гэдгийг бид харж байна. Үндэс нь тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд хоёр талыг квадрат болгосны дараа тэгшитгэлд хүргэдэг
5. Тэгшитгэлийн хоёр талыг үл мэдэгдэх хүчин зүйлээр үржүүлбэл энэ хүчин зүйл x-ийн бодит утгуудад алга болвол гаднах үндэс гарч ирж болно.
Жишээ 3. Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлбэл шинэ тэгшитгэл гарч ирэх бөгөөд энэ нь гишүүнийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, хүчин зүйл ангилсны дараа аль нэгээс нь тэгшитгэл гарна.
Үндэс нь зөвхөн нэг язгууртай тэгшитгэлийг хангахгүй
Эндээс бид дүгнэж байна: тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгохдоо (ерөнхийдөө, жигд зэрэгтэй), түүнчлэн үл мэдэгдэхийг агуулсан хүчин зүйлээр үржүүлж, үл мэдэгдэх бодит утгууд алга болох үед гадны үндэс гарч ирж болно.
Тэгшитгэлийн гаднах язгуур алдагдах, харагдах байдлын талаар энд дурдсан бүх бодол нь аливаа тэгшитгэлд (алгебр, тригонометр гэх мэт) адил хамаарна.
6. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйл дээр зөвхөн алгебрийн үйлдлүүд - нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх, байгалийн илтгэгчээр үндсийг задлах үйлдлүүд хийгдсэн бол тэгшитгэлийг алгебр гэж нэрлэдэг (мөн ийм үйлдлүүдийн тоо хязгаартай).
Жишээлбэл, тэгшитгэлүүд
алгебр, тэгшитгэлүүд
Тригонометрийн тэгшитгэлийн сэдэв нь эвристик харилцан яриа хэлбэрээр зохион байгуулагдсан сургуулийн лекцээс эхэлдэг. Лекц нь онолын материал, төлөвлөгөөний дагуу бүх ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үздэг.
- Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.
- Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.
- Нэг төрлийн тэгшитгэл.
Дараах хичээлүүдэд багш, сурагчийн хамтарсан үйл ажиллагааны зарчмыг баримталсны үндсэн дээр бие даасан ур чадварыг хөгжүүлэх ажил эхэлдэг. Нэгдүгээрт, оюутнуудад зориулсан зорилтуудыг тавьдаг, өөрөөр хэлбэл. улсын стандартад заасан зүйлээс илүүг мэдэхийг хэн хүсэх вэ, хэн илүүг хийхэд бэлэн байна вэ гэдэг нь тодорхойлогддог.
Эцсийн оношийг түвшний ялгааг харгалзан хийдэг бөгөөд энэ нь оюутнуудад "3" үнэлгээ авахад шаардагдах хамгийн бага мэдлэгийг ухамсартайгаар тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүний үндсэн дээр оюутнуудын мэдлэгийг оношлох олон түвшний материалыг сонгодог. Ийм ажил нь оюутнуудад хувь хүн хандах, тэр дундаа хүн бүрийг ухамсартай суралцах үйл ажиллагаанд оролцуулах, өөрийгөө зохион байгуулах, бие даан суралцах чадварыг хөгжүүлэх, идэвхтэй, бие даасан сэтгэлгээнд шилжих боломжийг олгодог.
Семинарыг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн ур чадварт дадлага хийсний дараа явуулдаг. Семинарын өмнө хэд хэдэн хичээлийн үеэр оюутнуудад семинарын үеэр хэлэлцэх асуултуудыг өгдөг.
Семинар гурван хэсгээс бүрдэнэ.
1. Удиртгал хэсэгт онолын бүх материалыг багтаасан бөгөөд нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарах асуудлуудын танилцуулгыг багтаасан болно.
2. Хоёр дахь хэсэгт дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзнэ.
- ба cosx + bsinx = c.
- a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
- градусыг багасгах замаар шийддэг тэгшитгэл.
Эдгээр тэгшитгэлд бүх нийтийн орлуулалт, зэрэг бууруулах томъёо, туслах аргументийн аргыг ашигладаг.
3. Гурав дахь хэсэгт үндэс алдагдах, гадны үндэс олж авах асуудлыг авч үзнэ. Үндэсийг хэрхэн сонгохыг харуулав.
Сурагчид бүлгээрээ ажилладаг. Жишээнүүдийг шийдвэрлэхийн тулд материалыг үзүүлж, тайлбарлаж чадах сайн бэлтгэгдсэн залуусыг дууддаг.
Семинар нь сайн бэлтгэгдсэн оюутанд зориулагдсан тул... энэ нь хөтөлбөрийн материалын хамрах хүрээнээс арай хэтэрсэн асуудлыг хөнддөг. Энэ нь илүү төвөгтэй хэлбэрийн тэгшитгэлийг багтаасан бөгөөд ялангуяа нийлмэл тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тулгардаг асуудлуудыг авч үздэг.
Семинарыг 10-11 дүгээр ангийн сурагчдад зориулан зохион байгууллаа. Оюутан бүр энэ сэдвээр мэдлэгээ өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх, мэдлэгийнхээ түвшинг зөвхөн сургууль төгсөгчдөд тавигдах шаардлага төдийгүй V.U.Z-д элсэгчдэд тавигдах шаардлагатай харьцуулах боломжтой болсон.
СЕМИНАР
Сэдэв:"Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх"
Зорилго:
- Бүх төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи мэдлэгийг нэгтгэх.
- Асуудал дээр анхаарлаа төвлөрүүлэх: үндэс алдагдах; гадны үндэс; үндэс сонголт.
ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД.
I. Оршил хэсэг
1. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
- Factorization.
- Шинэ хувьсагчийн танилцуулга.
- Функциональ-график арга.
2. Зарим төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
- -ийг бууруулсан тэгшитгэлүүд квадрат тэгшитгэл, cos x = t, sin x = t-тэй харьцуулахад.
Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.
Тэдгээрийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийддэг.
- Нэг ба хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл
Нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл: Asinx + Bcosx = 0 cos x-д хуваагдвал Atg x + B = 0 болно
Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0-ийг cos 2 x-т хуваавал Atg 2 x + Btgx + C = 0 болно.
Тэдгээрийг хүчин зүйлчлэлээр болон шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх замаар шийддэг.
Бүх аргыг хэрэглэнэ.
- Бууруулах:
1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.
Хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийддэг.
2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.
- Маягтын тэгшитгэл: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.
t = sinx + cosx -тэй харьцуулахад квадрат болгон бууруулсан; sin2x = t 2 – 1.
3. Томъёо.
x + 2 n; Шалгах шаардлагатай!
- Буурах зэрэг: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
- Туслах аргумент арга.
Acosx + Bsinx-ийг Csin (x + )-ээр солино, энд sin = a/C; cos=v/c;
- туслах аргумент.
4. Дүрэм.
- Хэрэв та дөрвөлжин харвал градусыг бууруулна уу.
- Хэрэв та хэсэг харвал хэмжээг нь гарга.
- Хэрэв та дүнг харвал ажлаа хий.
5. Үндэс алдагдах, нэмэлт үндэс.
- Үндэс алдагдах: g(x)-д хуваах; аюултай томьёо (бүх нийтийн орлуулах). Эдгээр үйлдлүүдийн тусламжтайгаар бид тодорхойлолтын хамрах хүрээг нарийсгаж байна.
- Нэмэлт үндэс: жигд хүч хүртэл өсгөсөн; g(x)-аар үржүүлнэ (хүлээгчийг арилгана). Эдгээр үйлдлүүдийн тусламжтайгаар бид тодорхойлолтын хүрээг өргөжүүлдэг.
II. Тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ
1. Asinx + Bcosx = C хэлбэрийн тэгшитгэлүүд
1) Бүх нийтийн орлуулалт.O.D.Z. x - дурын.
3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.
tgx = u. x/2 + n;
u = – 1/3.
tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.
Шалгалт: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.
x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс.
Хариулт: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.
2) Функциональ-график арга. О.Д.З. x - дурын.
Синкс - cosx = 1
Sinx = cosx + 1.
y = sinx, y = cosx + 1 гэсэн функцүүдийн графикийг зуръя.
Хариулт: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.
3) Туслах аргументийн танилцуулга. O.D.Z.: x – дурын.
8cosx + 15 sinx = 17.
8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, учир нь (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, тэгвэл нүгэл = 8/17,
cos = 15/17, энэ нь sin cosx + sinx cos = 1 гэсэн үг; = arcsin 8/17.
Хариулт: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.
2. Дарааллыг багасгах: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.
1). нүгэл 2 3х + нүгэл 2 4х + гэм 2 6х + гэм 2 7х = 2. О.Д.З.: х – дурын.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.
Хариулт: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.
| At | k = 1 ба m = 0 k = 4 ба m = 1. |
цувралууд нь адилхан. |
3. Нэг төрлийн байдлыг багасгах. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – дурын.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) -ийг cos 2 x-т хувааж болохгүй, учир нь бид үндсээ алддаг.
cos 2 x = 0 нь тэгшитгэлийг хангана.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.
Хариулт: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z
4. Хэлбэрийн тэгшитгэл: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – дурын.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2т 2 – 2 – 5т = 0, | t | <
2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = нүгэл (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.
Хариулт: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.
5. Factorization.
1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.
1) cosx = 2, үндэс байхгүй.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0
Хариулт: x = arctan(1/2) + n, n Z.
III. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарах асуудлууд
1. Үндэс алдагдах: g(x)-д хуваах; Бид аюултай томъёог ашигладаг.
1) Алдааг ол.
1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 томьёо.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2-ыг 2 sinx-д хуваана 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Алдагдсан үндэс sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.
Зөв шийдэл: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.
| нүгэл 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z. |
1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z. |
2. Гадны үндэс: бид хуваагчаас салах; жигд хүч чадалд хүргэх.
1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.
2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0
| 1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z. |
2). 2sinx - 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z. |
| I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 нүгэл 2/3 = 3/2 битгий ханга. О.Д.З. 2. n = 1 3. n = 2 |
II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.к = 0 нүгэл 2/6 = 3/2 O.D.Z-ийг хангахгүй байх. 2. k = 1 нүгэл 2*5/6 = –3/2 O.D.Z-г хангах |
Хариулт: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0
Дараах хувиргалтыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Бусад өөрчлөлтүүд
Өмнөх догол мөрөнд дурдсан жагсаалтад бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүчин чадал, логарифм, тэгшитгэлийн хоёр талыг потенциал болгох, тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил түвшний үндсийг гаргаж авах зэрэг хувиргалтыг зориуд оруулаагүй болно. тэгшитгэл, чөлөөлөх гадаад функцмөн бусад. Баримт нь эдгээр хувиргалтууд нь тийм ч ерөнхий биш юм: дээрх жагсаалтын хувиргалтыг бүх төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд дээр дурдсан хувиргалтыг тодорхой төрлийн тэгшитгэлийг (иррациональ, экспоненциал, логарифм гэх мэт) шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тэдгээрийг зохих төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх холбогдох аргуудын хүрээнд нарийвчлан авч үзсэн болно. Тэдний дэлгэрэнгүй тайлбарын холбоосууд энд байна:
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүчинд өсгөх.
- Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмуудыг авах.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг потенциалжуулах.
- Тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил чадлын үндсийг гаргаж авах.
- Анхны тэгшитгэлийн аль нэг хэсэгт тохирох илэрхийллийг эх тэгшитгэлийн өөр хэсгийн илэрхийллээр солих.
Өгөгдсөн холбоосууд нь жагсаасан өөрчлөлтүүдийн талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг агуулдаг. Тиймээс бид энэ нийтлэлд тэдгээрийг цаашид авч үзэхгүй. Дараагийн бүх мэдээлэл нь үндсэн өөрчлөлтүүдийн жагсаалтаас хувиргахад хамаарна.
Тэгшитгэлийг хувиргаснаар ямар үр дүн гарах вэ?
Дээрх бүх хувиргалтыг хийснээр анхны тэгшитгэлтэй ижил язгууртай тэгшитгэл, эсвэл язгуур нь анхны тэгшитгэлийн бүх язгуурыг агуулсан тэгшитгэл, эсвэл өөр үндэстэй байж болох тэгшитгэл, эсвэл язгуур нь үл хамаарах тэгшитгэлийг гаргаж болно. хувиргасан тэгшитгэлийн бүх язгуурыг оруулна. Дараах догол мөрүүдэд бид эдгээр хувиргалтын аль нь, ямар нөхцөлд ямар тэгшитгэлд хүргэж байгааг шинжлэх болно. Тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд үүнийг мэдэх нь маш чухал юм.
Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт
Анхны тэгшитгэлтэй ижил язгууртай тэгшитгэлийн үр дүнд эквивалент тэгшитгэлийг бий болгох тэгшитгэлийн хувиргалт нь онцгой анхаарал татаж байна. Ийм хувиргалтыг гэж нэрлэдэг эквивалент хувиргалт. Сургуулийн сурах бичигт холбогдох тодорхойлолтыг тодорхой заагаагүй боловч контекстээс уншихад хялбар байдаг.
Тодорхойлолт
Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтэквивалент тэгшитгэл өгөх хувиргалтууд юм.
Тэгэхээр ижил төстэй хувиргалт яагаад сонирхолтой байдаг вэ? Баримт нь хэрэв тэдний тусламжтайгаар шийдэж буй тэгшитгэлээс нэлээд энгийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжтой бол энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь анхны тэгшитгэлийн хүссэн шийдлийг өгөх болно.
Өмнөх догол мөрөнд жагсаасан өөрчлөлтүүдээс бүгд ижил тэнцүү байдаггүй. Зарим өөрчлөлтүүд нь зөвхөн тодорхой нөхцөлд л тэнцүү байдаг. Ямар хувиргалт, ямар нөхцөлд тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг тодорхойлох мэдэгдлүүдийн жагсаалтыг гаргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид дээрх жагсаалтыг үндэс болгон авч, үргэлж тэнцүү байдаггүй хувиргалтуудад бид тэдгээрийг тэнцүүлэх нөхцөлүүдийг нэмнэ. Энд жагсаалт байна:
- Тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийллийг тухайн тэгшитгэлийн хувьсагчийг өөрчлөхгүй илэрхийллээр солих нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт болно.
Яагаад ийм байдгийг тайлбарлая. Үүнийг хийхийн тулд бид A(x)=B(x) хэлбэрийн нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг (хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг гаргаж болно) авч, түүний зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллийг A( гэж тэмдэглэв. x) ба B(x) тус тус . C(x) илэрхийлэл нь A(x) илэрхийлэлтэй ижил тэнцүү байх ба C(x)=B(x) тэгшитгэлийн х хувьсагчийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн х хувьсагчийн ODZ-тай давхцаж байна. A(x)=B(x) тэгшитгэлийг C(x)=B(x) тэгшитгэлд хувиргах нь эквивалент хувирал гэдгийг баталъя, өөрөөр хэлбэл A(x)=B тэгшитгэлүүд болохыг баталъя. (x) ба C(x) =B(x) нь тэнцүү байна.
Үүний тулд анхны тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур, харин C(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь язгуур болохыг харуулахад хангалттай. анхны тэгшитгэлийн.
Эхний хэсгээс эхэлцгээе. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байг, тэгвэл бид үүнийг x-ээр орлуулахад A(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэлийг авна. A(x) ба C(x) илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү бөгөөд C(q) илэрхийлэл нь утга учиртай (энэ нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн OD нь OD-тай давхцах нөхцөлөөс үүдэлтэй. анхны тэгшитгэл) , тэгвэл A(q)=C(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. Дараа нь бид тоон тэгш байдлын шинж чанаруудыг ашигладаг. Тэгш хэмийн шинж чанараас шалтгаалан A(q)=C(q) тэгшитгэлийг C(q)=A(q) гэж дахин бичиж болно. Тэгвэл шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан C(q)=A(q) ба A(q)=B(q) тэгшитгэлүүд нь C(q)=B(q) тэгш байдлыг илэрхийлнэ. Энэ нь q нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байна.
Хоёрдахь хэсэг, түүнтэй хамт бүхэл бүтэн мэдэгдэл нь туйлын ижил төстэй байдлаар нотлогддог.
Шинжилгээнд хамрагдсан эквивалент хувиргалтын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: энэ нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдтэй тусад нь ажиллах боломжийг олгодог бөгөөд тэдгээрийг хувьсагчийн анхны ODZ дээр ижил тэнцүү илэрхийллүүдээр сольж өгдөг.
Хамгийн түгээмэл жишээ: бид x=2+1 тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонуудын нийлбэрийг түүний утгаар сольж болох бөгөөд ингэснээр x=3 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл гарч ирнэ. Үнэхээр бид 2+1 илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийлэл 3-аар сольсон бөгөөд тэгшитгэлийн ODZ өөрчлөгдөөгүй. Өөр нэг жишээ: тэгшитгэлийн зүүн талд 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1, баруун талд – 3·x+ тэнцэтгэл рүү хөтөлнө. 6=5·x+ 3. Бид илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж, анхны тэгшитгэлийн OD-той давхцах OD-тай тэгшитгэлийг олж авсан тул үүссэн тэгшитгэл нь үнэхээр тэнцүү юм.
- Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт юм.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талд ижил c тоог нэмбэл A(x)+c=B(x)+c тэнцүү тэгшитгэл гарах ба тэгшитгэлийн хоёр талаас хасах нь баталъя. Ижил тооны c A(x) =B(x) нь A(x)−c=B(x)−c эквивалент тэгшитгэлийг өгнө.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)=B(q) тэгшитгэл үнэн болно. Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд нь жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талд нэмэх эсвэл түүний хэсгүүдээс ижил тоог хасах боломжийг олгодог. Энэ тоог c гэж тэмдэглэвэл A(q)+c=B(q)+c ба A(q)−c=B(q)−c тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна. Эдгээр тэгшитгэлээс q нь A(x)+c=B(x)+c тэгшитгэлийн үндэс ба A(x)−c=B(x)−c тэгшитгэлийн үндэс болно.
Одоо буцаж. A(x)+c=B(x)+c тэгшитгэл ба A(x)−c=B(x)−c тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)+c=B(q) болно. +c ба A (q)−c=B(q)−c . Жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талаас ижил тоог хасах нь жинхэнэ тоон тэгш байдлыг бий болгодог гэдгийг бид мэднэ. Хоёр талдаа зөв тоон тэгшитгэлийг нэмэх нь зөв тоон тэгш байдлыг өгдөг гэдгийг бид бас мэднэ. Зөв тоон тэгшитгэлийн A(q)+c=B(q)+c хоёр талаас c тоог хасаад A(x)−c=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талд c тоог нэмье. −c. Энэ нь A(q)+c−c=B(q)+c−c ба A(q)−c+c=B(q)+c−c зөв тоон тэгшитгэлүүдийг өгөх бөгөөд үүнээс бид А гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. (q) =B(q) . Сүүлийн тэгшитгэлээс харахад q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур юм.
Энэ нь анхны мэдэгдлийг бүхэлд нь нотолж байна.
Тэгшитгэлийг ийм хувиргах жишээг өгье. x−3=1 тэгшитгэлийг авч, 2 талдаа 3-ын тоог нэмж хувиргасны дараа анхныхтай тэнцэх x−3+3=1+3 тэгшитгэл гарна. Үүссэн тэгшитгэлд та тоонуудтай үйлдлүүдийг хийж болох нь тодорхой байна, бид жагсаалтын өмнөх зүйлд хэлэлцсэний үр дүнд бид x=4 тэгшитгэлтэй болно. Тиймээс, эквивалент хувиргалтыг хийснээр бид санамсаргүйгээр x−3=1 тэгшитгэлийг шийдсэн бөгөөд түүний үндэс нь 4 тоо юм. Ижил төстэй тоон нэр томъёоноос салахын тулд авч үзсэн эквивалент хувиргалтыг ихэвчлэн ашигладаг өөр өөр хэсгүүдтэгшитгэл Жишээлбэл, зүүн болон дотогшоо аль алинд нь зөв хэсгүүдтэгшитгэл x 2 +1=x+1 ижил гишүүн 1 байна, тэгшитгэлийн хоёр талаас 1-ийн тоог хасвал x 2 +1−1=x+1−1 тэнцүү тэгшитгэл рүү очоод дараа нь эквивалент тэгшитгэл x 2 =x, тиймээс эдгээр ижил нэр томъёоноос сал.
- ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш илэрхийллийг тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх эсвэл хоёр талаас нь хасах нь тэнцүү хувиргалт болно.
Энэ мэдэгдлийг баталъя. Өөрөөр хэлбэл, C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлүүд тэнцүү болохыг баталж байна. ) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд ODZ-ээс аль хэдийн биш байна.
Эхлээд бид нэг туслах цэгийг нотолж байна. Тодорхойлсон нөхцөлд хувиргалтаас өмнөх ба дараах OD тэгшитгэлүүд ижил байдгийг баталцгаая. Үнэн хэрэгтээ A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ ба ODZ-ийн огтлолцол гэж үзэж болно. C(x) илэрхийллийн хувьд. Үүнээс болон C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нөхцлөөр нарийсдаггүйгээс A(x)= B(x) ба A (x)+C(x)=B(x)+C(x) ижил байна.
Одоо бид A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлүүдийн тэгшитгэлийг батлах болно. тэгшитгэлүүд ижил байна. А(x)=B(x) ба A(x)−C(x)=B(x)−C(x) тэгшитгэлүүд нь ижил төстэй тул заасан нөхцлийн дагуу тэнцүү байх баталгааг бид өгөхгүй. .
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)=B(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн ODZ ижил тул C(x) илэрхийлэл нь x дээр утга учиртай болно. =q, энэ нь C(q) нь ямар нэгэн тоо гэсэн үг. Хэрэв бид A(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэлийн хоёр талд C(q)-г нэмбэл A(q)+C(q)=B(q)+C(q) зөв тоон тэгш бус байдал гарна. ) , үүнээс q нь A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.
Буцах. A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)+C(q)=B(q)+C(q) нь жинхэнэ тоон тэгш байдал. Жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талаас ижил тоог хасах нь жинхэнэ тоон тэгш байдлыг бий болгодог гэдгийг бид мэднэ. A(q)+C(q)=B(q)+C(q) тэгшитгэлийн хоёр талаас C(q) хасвал энэ нь гарна. A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Иймд q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.
Тиймээс, тухайн мэдэгдэл бүрэн нотлогдсон.
Энэ өөрчлөлтийн жишээг өгье. 2 x+1=5 x+2 тэгшитгэлийг авч үзье. Бид хоёр талд нэмж болно, жишээ нь −x−1 илэрхийлэл. Энэ илэрхийлэлийг нэмснээр ODZ өөрчлөгдөхгүй бөгөөд энэ нь ийм хувиргалт нь тэнцүү байна гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид ижил тэгшитгэлийг олж авна 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Энэ тэгшитгэлийг цаашид өөрчилж болно: хаалтуудыг нээж, зүүн ба баруун талд ижил төстэй нэр томъёог багасга (жагсаалтын эхний зүйлийг үзнэ үү). Эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид x=4·x+1 тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна. Хэлэлцэж буй тэгшитгэлийн хувиргалтыг ихэвчлэн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд нэгэн зэрэг байгаа ижил нэр томъёоноос ангижруулахад ашигладаг.
- Хэрэв та тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, энэ гишүүний тэмдгийг эсрэгээр нь сольж байвал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирнэ.
Энэ мэдэгдэл нь өмнөх мэдэгдлүүдийн үр дагавар юм.
Тэгшитгэлийн энэхүү эквивалент хувиргалт хэрхэн явагддагийг харцгаая. 3·x−1=2·x+3 тэгшитгэлийг авч үзье. Нэр томьёог, жишээлбэл, 2 х-г баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилье. Энэ тохиолдолд бид 3·x−1−2·x=3 эквивалент тэгшитгэлийг олж авна. Мөн та тэгшитгэлийн зүүн талаас хасах нэгийг баруун тийш шилжүүлж, тэмдгийг нэмэх болгон өөрчилж болно: 3 x−2 x=3+1. Эцэст нь ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрах нь биднийг x=4 тэнцүү тэгшитгэл рүү хөтөлнө.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь тэнцүү хувиргалт юм.
Нотлох баримтаа өгье.
A(x)=B(x) нь ямар нэг тэгшитгэл, в нь тэгээс ялгаатай тоо байг. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талыг c тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь тэгшитгэлийн эквивалент хувирал гэдгийг баталъя. Үүний тулд бид A(x)=B(x) ба A(x) c=B(x) c тэгшитгэл, мөн A(x)=B(x) ба A(x) тэгшитгэлүүд болохыг нотолж байна. :c= B(x):c - тэнцүү. Үүнийг дараах байдлаар хийж болно: A(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн язгуур, A(x) тэгшитгэлийн язгуур болохыг батал. :c=B(x) :c , тэгээд A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн дурын язгуур нь A(x):c=B(x):c тэгшитгэлийн язгууртай адил болохыг батал. , нь A(x) =B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм. Энийг хийцгээе.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. Тоон тэгш байдлын шинж чанарыг судалсны дараа бид жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс өөр ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлд хүргэдэг болохыг олж мэдсэн. A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг c-ээр үржүүлснээр A(q) c=B(q) c зөв тоон тэгшитгэлийг олж авах ба үүнээс q нь A( тэгшитгэлийн үндэс болно. x) c= B(x)·c . Мөн A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг c-д хуваахад бид зөв тоон тэгшитгэл A(q):c=B(q):c гарна, үүнээс q нь язгуур юм. тэгшитгэл A(x):c =B(x):c .
Одоо нөгөө чиглэлд. A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)·c=B(q)·c нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Үүний хоёр хэсгийг тэгээс өөр c тоонд хуваахад бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна A(q)·c:c:c=B(q)·c:c, цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв q нь A(x):c=B(x):c тэгшитгэлийн үндэс бол. Тэгвэл A(q):c=B(q):c нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Үүний хоёр хэсгийг 0 биш c тоогоор үржүүлснээр бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна A(q):c·c=B(q):c·c ба цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.
Энэ өөрчлөлтийн жишээг өгье. Үүний тусламжтайгаар та жишээ нь тэгшитгэл дэх бутархай хэсгүүдээс салж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 12-оор үржүүлж болно. Үр дүн нь маягтын эквивалент тэгшитгэл юм 
, дараа нь тэмдэглэгээнд бутархайг агуулаагүй 7 x−3=10 эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах нь OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийсдаггүй бөгөөд анхны тэгшитгэлийн хувьд OD-оор арилдаггүй бол эквивалент хувиргалт болно.
Энэ мэдэгдлийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсахгүй, C(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр алга болохгүй гэдгийг бид баталж байна. A(x)=B( x) , дараа нь A(x)=B(x) ба A(x) C(x)=B(x) C(x), түүнчлэн A(x) тэгшитгэлүүд болно. =B(x) ба A( x):C(x)=B(x):C(x) - тэнцүү.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-тай ижил биш байгаагаас үзэхэд C(x) илэрхийлэл x=q үед утга учиртай болно. Энэ нь C(q) нь ямар нэгэн тоо гэсэн үг. Цаашилбал, C(q) нь тэг биш бөгөөд энэ нь C(x) илэрхийлэл алга болохгүй гэсэн нөхцлөөс үүдэлтэй. A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоогоор үржүүлбэл A(q)·C(q)=B(q)· тооны зөв тэгшитгэл гарна. C(q) , үүнээс q нь A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв бид A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоонд хуваавал A(q):C(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэл гарна: C(q) , үүнээс q нь A(x):C(x)=B(x):C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.
Буцах. A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)·C(q)=B(q)·C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(x) C(x)=B(x) C(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-тай ижил болохыг анхаарна уу (бид үүнийг дараах аль нэгээр зөвтгөсөн. өмнөх догол мөрүүдийн одоогийн жагсаалт). A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд нөхцөлөөр C(x) нь ODZ дээр арилдаггүй тул C(q) нь тэгээс өөр тоо болно. A(q) C(q)=B(q) C(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоонд хуваах нь зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв q нь тэгшитгэлийн үндэс бол A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тэгвэл A(q):C(q)=B(q):C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(q):C(q)=B(q):C(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоогоор үржүүлбэл зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна. A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.
Тодорхой болгохын тулд бид задалсан хувиргалтыг хийх жишээг өгдөг. x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) тэгшитгэлийн хоёр талыг х 2 +1 илэрхийллээр хуваая. Анхны тэгшитгэлийн OD дээр x 2+1 илэрхийлэл алга болохгүй бөгөөд энэ илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийсдаггүй тул энэхүү хувиргалт нь тэнцүү байна. Энэхүү хувиргалтын үр дүнд бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), цаашид x 3 =8 эквивалент тэгшитгэлд хувиргаж болно.
Үр дагаврын тэгшитгэлд хүргэдэг өөрчлөлтүүд
Өмнөх догол мөрөнд бид үндсэн хувиргалтын жагсаалтаас ямар өөрчлөлтүүд, ямар нөхцөлд тэнцүү болохыг судалж үзсэн. Одоо эдгээр хувиргалтуудын аль нь, ямар нөхцөлд үр дүнд хүрсэн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хувирсан тэгшитгэлийн бүх язгуурыг агуулсан тэгшитгэлд хүргэж байгааг харцгаая, гэхдээ тэдгээрээс гадна анхны тэгшитгэлийн бусад үндэстэй байж болно.
Үр дүнгийн тэгшитгэлд хүргэдэг өөрчлөлтүүд нь ижил төстэй хувиргалтаас багагүй эрэлт хэрэгцээтэй байдаг. Хэрэв тэдгээрийн тусламжтайгаар шийдлийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлийг олж авах боломжтой бол түүний шийдэл, дараа нь гадны үндэсийг арилгах нь анхны тэгшитгэлийн шийдлийг өгөх болно.
Бүх эквивалент хувиргалтыг үр дагавар тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалтын онцгой тохиолдол гэж үзэж болохыг анхаарна уу. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь түүнтэй адил тэгшитгэл байдаг онцгой тохиолдолүр дагаврын тэгшитгэл. Гэхдээ практик талаас нь авч үзвэл, авч үзэж буй хувиргалт нь яг ижил тэнцүү бөгөөд үр дагаварт хүргэх тэгшитгэлд хүргэхгүй гэдгийг мэдэх нь илүү ашигтай юм. Яагаад ийм байдгийг тайлбарлая. Хэрэв бид хувиргалт нь эквивалент гэдгийг мэдэж байвал үүссэн тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлээс гадуурх үндэсгүй байх нь гарцаагүй. Үүний үр дүнд үүссэн тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалт нь гадны үндэс үүсэх шалтгаан байж болох бөгөөд энэ нь биднийг ирээдүйд нэмэлт арга хэмжээ авахыг шаарддаг - гадны үндсийг шигших. Тиймээс, нийтлэлийн энэ хэсэгт бид хувиргалтуудад анхаарлаа хандуулах болно, үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлд гадны үндэс гарч ирж магадгүй юм. Гадны үндсийг шүүж, шаардлагагүй үед нь тодорхой ойлгохын тулд ийм өөрчлөлтийг ижил төстэй хувиргуудаас ялгах чадвартай байх нь үнэхээр чухал юм.
Хөрвүүлэлтийг хайхын тулд энэ зүйлийн хоёр дахь догол мөрөнд өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтын жагсаалтыг бүхэлд нь задлан шинжилж үзье, үүний үр дүнд гадны үндэс гарч болзошгүй.
- Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих.
Хэрэв түүний хэрэгжилт нь ОД-ыг өөрчлөхгүй бол энэ хувиргалт нь тэнцүү гэдгийг бид нотолсон. Хэрэв DL өөрчлөгдвөл юу болох вэ? ODZ-ийн нарийсал нь үндэс алдагдахад хүргэдэг, энэ талаар дэлгэрэнгүй бид ярилцанадараагийн догол мөрөнд. Мөн ODZ-ийн тэлэлттэй хамт гадны үндэс гарч ирж магадгүй юм. Үүнийг зөвтгөхөд хэцүү биш юм. Холбогдох үндэслэлийг танилцуулъя.
C(x) илэрхийлэл нь A(x) илэрхийлэлтэй ижил тэнцүү байх ба C(x)=B(x) тэгшитгэлийн OD нь A(x)=B тэгшитгэлийн OD-ээс өргөн байхаар илэрхийлье. (x). C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар бөгөөд C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгууруудын дунд байж болохыг баталцгаая. A( x)=B(x) тэгшитгэлд харь үндэс байх.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс өргөн байх тул C(x) илэрхийлэл нь x=q дээр тодорхойлогдоно. Дараа нь C(x) ба A(x) илэрхийллүүдийн ижил тэгш байдлыг харгалзан C(q)=A(q) гэж дүгнэнэ. С(q)=A(q) ба A(q)=B(q) тэгшитгэлүүдээс шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан C(q)=B(q) тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ тэгшитгэлээс харахад q нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур юм. Энэ нь заасан нөхцөлд C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар болохыг баталж байна.
C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуураас өөр язгууртай болохыг батлах л үлдлээ. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ОДЗ-аас C(x)=B(x) тэгшитгэлийн дурын язгуур нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур болохыг баталъя. P зам нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах C(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгвэл C(p)=B(p) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд p нь ODZ-д хамаарах тул x=p-д A(x) илэрхийлэл тодорхойлогдоно. Үүнээс болон A(x) ба C(x) илэрхийллүүдийн ижил тэгш байдлаас A(p)=C(p) гарна. A(p)=C(p) ба C(p)=B(p) тэгшитгэлээс шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан A(p)=B(p) гэсэн үг гарч ирнэ, энэ нь p нь язгуур юм. тэгшитгэл A(x)= B(x) . Энэ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс C(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль нэг язгуур нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байна. Өөрөөр хэлбэл, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур байж болохгүй, тэдгээр нь A(x)=B( тэгшитгэлийн гаднах язгуурууд болно. x). Харин нөхцөлийн дагуу C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс өргөн байна. Мөн энэ нь язгуур болох C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарахгүй r тоо байхыг зөвшөөрнө. тэгшитгэлийн C(x)=B(x). Өөрөөр хэлбэл, C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлд харь үндэстэй байж болох ба тэдгээр нь бүгд A тэгшитгэлийн ODZ олонлогт хамаарах болно. (x)=B нь үүн доторх A(x) илэрхийллийг ижил тэнцүү C(x) илэрхийллээр солих үед (x) өргөтгөгдөнө.
Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийлэлүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж, үүний үр дүнд ODZ нь өргөжиж байна. ерөнхий тохиолдолүр дүнд нь тэгшитгэлд хүргэдэг (өөрөөр хэлбэл энэ нь гадны үндэс гарч ирэхэд хүргэдэг) бөгөөд зөвхөн тодорхой тохиолдолд ижил тэгшитгэлд хүргэдэг (үр дүнд үүссэн тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлээс гадуурх үндэсгүй бол).
Шинжилсэн хувиргалт хийх жишээг өгье. Тэгшитгэлийн зүүн талын илэрхийлэлийг орлуулах 
x·(x−1) илэрхийллээр үүнтэй ижил тэнцүү байх нь x·(x−1)=0 тэгшитгэлд хүргэдэг бөгөөд энэ тохиолдолд ODZ-ийн тэлэлт үүснэ - түүнд 0 тоог нэмнэ. Үүссэн тэгшитгэл нь 0 ба 1 гэсэн хоёр язгууртай бөгөөд эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулах нь 0 нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур, 1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулж байна. Үнэн хэрэгтээ анхны тэгшитгэлд тэгийг орлуулах нь утгагүй илэрхийлэл болно 
, учир нь энэ нь тэг хуваахыг агуулдаг бөгөөд нэгийг орлуулах нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг 
, энэ нь 0=0-тэй ижил байна.
Ижил төстэй тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалт гэдгийг анхаарна уу 
(x−1)·(x−2)=0 тэгшитгэлд оруулах ба үүний үр дүнд ODZ нь бас тэлэх нь гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэггүй. Үнэн хэрэгтээ үүссэн тэгшитгэлийн (x−1)·(x−2)=0 - 1 ба 2-ын язгуур хоёр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд үүнийг орлуулах замаар шалгахад хялбар байдаг. Эдгээр жишээн дээр бид тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийлэлийг ODZ-ийг өргөжүүлдэг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь гадны үндэс гарч ирэх шаардлагагүй гэдгийг дахин онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна. Гэхдээ энэ нь тэдний гадаад төрх байдалд хүргэж болзошгүй юм. Тиймээс, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ийм хувиргалт хийгдсэн бол гадны үндсийг тодорхойлж, шүүж шалгахын тулд шалгалт хийх шаардлагатай болно.
Ихэнхдээ ижил илэрхийллийн зөрүү эсвэл илэрхийллийн нийлбэрийг тэгээр сольсны улмаас ODZ тэгшитгэл өргөжиж, гаднах үндэс гарч ирж болно. эсрэг шинж тэмдэг, нэг буюу хэд хэдэн тэг хүчин зүйл бүхий бүтээгдэхүүнийг тэгээр солих, бутархайн бууралт, үндэс, хүч, логарифм гэх мэт шинж чанаруудыг ашигласны улмаас.
- Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах.
Энэ хувиргалт нь үргэлж эквивалент, өөрөөр хэлбэл эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг гэдгийг бид дээр харуулсан. Үргэлжлүүл.
- Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил илэрхийллийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг хасах.
Өмнөх догол мөрөнд бид нэмж, хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь хувиргаж буй тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн байх ёсгүй гэсэн нөхцөлийг нэмсэн. Энэ нөхцөл нь тухайн өөрчлөлтийг тэнцүү болгосон. Эквивалент тэгшитгэл нь дагалдах тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бөгөөд хувиргалтын эквивалентийн талаарх мэдлэг нь ижил зүйлийн талаархи мэдлэгээс илүү ашигтай байдаг гэсэн өгүүллийн энэ хэсгийн эхэнд өгсөнтэй төстэй аргументууд энд байна. хувиргалт, гэхдээ энэ нь үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг гэсэн үүднээс авч үзвэл.
Тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг нэмж эсвэл ижил илэрхийллийг хассаны үр дүнд анхны тэгшитгэлийн бүх язгуураас гадна өөр язгууртай тэгшитгэлийг олж авах боломжтой юу? Үгүй ээ тэр чадахгүй. Хэрэв нэмж, хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш бол нэмэх, хасах үйл ажиллагааны үр дүнд ижил тэгшитгэл гарна. Хэрэв нэмж эсвэл хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан бол энэ нь гадны үндэс гарч ирэхгүй харин үндэс алдагдахад хүргэдэг. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрөнд дэлгэрэнгүй ярих болно.
- Тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилсөн нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх.
Тэгшитгэлийн энэ хувиргалт нь үргэлж тэнцүү байна. Тиймээс дээр дурдсан шалтгааны улмаас үүнийг тэгшитгэл-үр дагаварт хүргэдэг хувиргалт гэж үзэх нь утгагүй юм.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.
Өмнөх догол мөрөнд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваах нь тэгээс өөр тоогоор хийгдсэн бол энэ нь тэгшитгэлийн эквивалент хувирал гэдгийг нотолсон. Иймд дахин, үүнийг үр дагавар тэгшитгэлд хүргэх хувирал гэж ярих нь утгагүй юм.
Гэхдээ энд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваах тооноос тэгээс зөрүүтэй байх тухай мэдэгдэлд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Хуваалтын хувьд энэ заалт тодорхой байна - хамт анхан шатны ангиудбид үүнийг ойлгосон Та тэгээр хувааж болохгүй. Яагаад энэ үржүүлэх заалт байдаг вэ? Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлбэл юу гарахыг бодоцгооё. Тодорхой болгохын тулд тодорхой тэгшитгэлийг авч үзье, жишээлбэл, 2 x+1=x+5. Энэ бол нэг язгууртай шугаман тэгшитгэл бөгөөд энэ нь 4 гэсэн тоо юм. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлээд гарах тэгшитгэлийг бичье: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь дурын тоо байх нь ойлгомжтой, учир нь энэ тэгшитгэлд x хувьсагчийн оронд дурын тоог орлуулахад 0=0 зөв тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. Өөрөөр хэлбэл, бидний жишээн дээр тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлснээр анхны тэгшитгэлийн хязгааргүй тооны гаднах язгуур гарч ирэх үр дагавартай тэгшитгэлийг бий болгосон. Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд гадны үндсийг илрүүлэх ердийн аргууд нь тэдний даалгаврыг даван туулж чадахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь хийсэн хувиргалт нь анхны тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиггүй гэсэн үг юм. Мөн энэ нь хэлэлцэж буй өөрчлөлтийн ердийн нөхцөл байдал юм. Ийм учраас тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлэх гэх мэт хувиргалтыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаггүй. Сүүлийн догол мөрөнд тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах ёсгүй энэхүү хувиргалт болон бусад хувиргалтыг бид харах ёстой хэвээр байна.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах.
Өмнөх догол мөрөнд бид хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ хувиргалт нь тэнцүү гэдгийг нотолсон. Тэдэнд сануулъя. Эхний нөхцөл: Энэ илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийн байх ёсгүй. Хоёрдахь нөхцөл: үржүүлэх эсвэл хуваах илэрхийлэл нь анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ дээр алга болохгүй.
Эхний нөхцөлийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваахаар төлөвлөж буй илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийхан байна гэж үзье. Ийм хувирлын үр дүнд ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан байх тэгшитгэлийг олж авна. Ийм өөрчлөлтүүд нь үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй тул бид дараагийн догол мөрөнд ярих болно.
Хэрэв бид анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээр тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлж эсвэл хуваах илэрхийллийн тэг биш утгуудын хоёр дахь нөхцөлийг хасвал юу болох вэ?
Анхны тэгшитгэлийн хувьд OD-оор алга болох ижил илэрхийлэлд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахад OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-аас нарийхан тэгшитгэл үүснэ. Үнэн хэрэгтээ үүнээс тоо гарч, хуваагдлыг хийсэн илэрхийлэлийг тэг болгон хувиргах болно. Энэ нь үндэс алдагдахад хүргэдэг.
Анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ дээр алга болох ижил илэрхийллээр тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх талаар юу хэлэх вэ? A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талыг C(x) илэрхийллээр үржүүлэхэд ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан биш, аль нь алга болдог болохыг харуулж болно. Анхны тэгшитгэлийн ODZ нь тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн бүх язгуураас гадна өөр язгууртай байж болох үр дагавар юм. Үүнийг хийцгээе, ялангуяа өгүүллийн энэ догол мөр нь үндсэн тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалтанд зориулагдсан болно.
C(x) илэрхийлэл нь түүний ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсахгүй, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр алга болно. ). Энэ тохиолдолд A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар болохыг баталъя.
A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан биш тул C(x) илэрхийлэл нь x=q дээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь C(q) гэсэн үг юм. тодорхой тоо юм. Жинхэнэ тоон тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын тоогоор үржүүлэхэд жинхэнэ тоон тэгш байдал гарах тул A(q)·C(q)=B(q)·C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Энэ нь q нь A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг. Энэ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь A(x) C(x)=B(x) C(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байгаа нь A(x) тэгшитгэлийн язгуур юм. C (x)=B(x)·C(x) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар юм.
Заасан нөхцөлд A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэл нь анхны A(x)=B(x) тэгшитгэлд харь үндэстэй байж болохыг анхаарна уу. Эдгээр нь C(x) илэрхийллийг тэг болгон хувиргадаг анхны тэгшитгэлийн ODZ-ийн тоонууд юм (C(x) илэрхийллийг тэг болгон хувиргасан бүх тоо нь A(x) C(x)=B тэгшитгэлийн үндэс юм. (x) C(x) , учир нь тэдгээрийг заасан тэгшитгэлд орлуулснаар A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс биш 0=0 ) зөв тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. A(x)=B(x) ба A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн хувьд A(x) тэгшитгэлийн ODZ-ийн бүх тоо тэнцүү байх болно. C(x) илэрхийллийг алга болгодог )=B (x) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм.
Тэгэхээр тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлбэл ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсдаггүй, мөн анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ-ээр алга болдог нь ерөнхий тохиолдолд үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг. нь, энэ нь гадаад үндэс харагдах хүргэж болно.
Тодорхой болгохын тулд жишээ татъя. x+3=4 тэгшитгэлийг авч үзье. Үүний цорын ганц үндэс нь 1 тоо юм. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг анхны тэгшитгэлийн ODZ-аар алга болох ижил илэрхийллээр, жишээлбэл, x·(x−1) -ээр үржүүлье. Энэ илэрхийлэл x=0 ба x=1 үед алга болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ илэрхийллээр үржүүлбэл тэгшитгэл гарч ирнэ (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Үүссэн тэгшитгэл нь 1 ба 0 гэсэн хоёр үндэстэй. 0 тоо нь өөрчлөлтийн үр дүнд үүссэн анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм.
Үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй өөрчлөлтүүд
Тодорхой нөхцлөөс зарим хөрвүүлэлт нь үндэс алдагдахад хүргэдэг. Жишээ нь: x·(x−2)=x−2 тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил x−2 илэрхийллээр хуваахад үндэс алдагдана. Үнэн хэрэгтээ ийм хувирлын үр дүнд x=1 тэгшитгэл нь 1-ийн тоо болох нэг язгууртай бөгөөд анхны тэгшитгэл нь 1 ба 2 гэсэн хоёр язгууртай болно.
Та тэгшитгэлийг шийдэхдээ үндсээ алдахгүйн тулд хувиргалтын үр дүнд үндэс алдагдахыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Үүнийг олж мэдье.
Эдгээр хувиргалтын үр дүнд хувирсан тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тохиолдолд л үндэс алдагдах боломжтой.
Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд хоёр зүйлийг нотлох шаардлагатай. Нэгдүгээрт, хэрэв тэгшитгэлийн заасан хувиргалтын үр дүнд ODZ нарийссан бол үндэс алдагдах боломжтой гэдгийг батлах шаардлагатай. Хоёрдугаарт, хэрэв эдгээр хувиргалтын үр дүнд үндэс алдагдах юм бол үүссэн тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан байна гэдгийг зөвтгөх шаардлагатай.
Хэрэв хувиргалтын үр дүнд олж авсан тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан бол үүссэн тэгшитгэлийн ODZ-ийн гадна байрлах анхны тэгшитгэлийн нэг ч язгуур нь тэгшитгэлийн үндэс болж чадахгүй. хувиргасны үр дүнд олж авсан. Энэ нь анхны тэгшитгэлээс ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тэгшитгэл рүү шилжихэд эдгээр бүх үндэс алдагдана гэсэн үг юм.
Одоо буцаж. Хэрэв эдгээр хувиргалтын үр дүнд язгуурууд алдагдах юм бол үүссэн тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан болохыг баталцгаая. Үүнийг эсрэг аргаар хийж болно. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн үр дүнд үндэс нь алдагдах боловч ODZ нарийсаагүй гэсэн таамаглал нь өмнөх догол мөрөнд нотлогдсон мэдэгдлүүдтэй зөрчилдөж байна. Үнэн хэрэгтээ эдгээр мэдэгдлээс харахад хэрэв заасан хувиргалтыг хийхдээ ODZ-ийг нарийсгахгүй бол эквивалент тэгшитгэл эсвэл үр дагавар тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь үндэс алдагдах боломжгүй гэсэн үг юм.
Тиймээс тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтыг хийхдээ үндэс алдаж болзошгүй шалтгаан нь ODZ-ийн нарийсалт юм. Тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид үндсээ алдах ёсгүй нь ойлгомжтой. Эндээс мэдээжийн хэрэг, "Тэгшитгэлийг хувиргахдаа үндсээ алдахгүйн тулд бид юу хийх ёстой вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирнэ. Бид дараагийн догол мөрөнд хариулах болно. Одоо тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтуудын жагсаалтыг авч үзье, ямар хувиргалт нь үндсээ алдахад хүргэж болохыг илүү нарийвчлан харцгаая.
- Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих.
Хэрэв та тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийлэлийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольсон бол OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийссан бол энэ нь OD нарийсч, үүнээс болж үндэс алдаж магадгүй. Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийлэлүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллүүдээр солих нь үндэс, хүч, логарифм болон зарим шинж чанаруудын үндсэн дээр хийгддэг. тригонометрийн томъёо. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь ODZ-ийг нарийсгаж, язгуур −16 алдагдахад хүргэдэг. Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр орлуулснаар ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тэгшитгэлд хүргэдэг бөгөөд энэ нь язгуур -3 алдагдахад хүргэдэг.
- Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах.
Энэхүү хувиргалт нь тэнцүү тул түүнийг хэрэгжүүлэх явцад үндсийг нь алдаж болохгүй.
- Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил илэрхийллийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг хасах.
Хэрэв та ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан илэрхийлэлийг нэмэх буюу хасах юм бол энэ нь ODZ-ийн нарийсалт, үр дүнд нь үндэс алдагдахад хүргэнэ. Үүнийг санаж байх нь зүйтэй. Гэхдээ энд практик дээр ихэвчлэн анхны тэгшитгэлийн бичлэгт байгаа илэрхийлэлүүдийг нэмэх, хасах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ODZ-ийн өөрчлөлтөд хүргэдэггүй бөгөөд үндсийг нь алдахад хүргэдэггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
- Тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилсөн нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх.
Тэгшитгэлийн энэхүү хувиргалт нь тэнцүү тул түүнийг хэрэгжүүлсний үр дүнд үндэс нь алдагдахгүй.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.
Энэ хувиргалт нь мөн адил тэнцүү бөгөөд үүнээс болж үндэс алдагдахгүй.
- Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах.
Энэ хувиргалт нь хоёр тохиолдолд OD-ийг нарийсгахад хүргэж болно: үржүүлэх эсвэл хуваах илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийссан үед, мөн хуваагдах илэрхийллээр хуваагдах үед. Анхны тэгшитгэлийн OD дээр тэг. Практикт тэгшитгэлийн хоёр талыг нарийн VA-тай илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Гэхдээ та анхны тэгшитгэлийн хувьд тэг болж хувирах илэрхийлэлд хуваах хэрэгтэй. Ийм хуваах явцад үндсээ алдахыг даван туулах боломжийг олгодог арга байдаг бөгөөд бид энэ зүйлийн дараагийн догол мөрөнд энэ тухай ярих болно.
Үндэс алдагдахаас хэрхэн сэргийлэх вэ?
Хэрэв та тэгшитгэлийг хувиргахдаа зөвхөн хувиргалтыг ашигладаг бөгөөд ODZ-ийг нарийсгах боломжийг олгодоггүй бол үндэс алдагдахгүй.
Энэ нь тэгшитгэлийн өөр хувиргалтыг хийх боломжгүй гэсэн үг үү? Үгүй ээ, тийм гэсэн үг биш. Хэрэв та тэгшитгэлийн өөр өөрчлөлтийг гаргаж ирэн, түүнийг бүрэн тайлбарлавал, өөрөөр хэлбэл энэ нь хэзээд хүргэж байгааг зааж өгнө үү. эквивалент тэгшитгэл, хэзээ - тэгшитгэл-үр дагаварт, мөн энэ нь үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй тохиолдолд үүнийг сайн ашиглаж болно.
АН-ыг хумих шинэчлэлийг бид бүрмөсөн орхих ёстой юу? Ийм зүйл хийх ёсгүй. Анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ-аас хязгаарлагдмал тооны тоо хасагдсан хувиргалтыг зэвсэглэлдээ хадгалах нь гэмтээхгүй байх болно. Яагаад ийм өөрчлөлтийг орхиж болохгүй гэж? Учир нь ийм тохиолдолд үндэс алдахгүй байх арга байдаг. Энэ нь тэдний дунд анхны тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэхийг шалгахын тулд ODZ-ээс унасан тоонуудыг тусад нь шалгахаас бүрдэнэ. Та эдгээр тоог анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар үүнийг шалгаж болно. Тэдгээрийг орлуулахдаа зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэднийг хариултанд оруулах шаардлагатай. Ийм шалгалтын дараа та үндсээ алдахаас айхгүйгээр төлөвлөсөн өөрчлөлтийг аюулгүй хийж чадна.
Тэгшитгэлийн ODZ-ийг хэд хэдэн тоо болгон нарийсгах ердийн хувиргалт нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах явдал бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс хэд хэдэн цэг дээр тэг болно. Энэхүү хувиргалт нь шийдлийн аргын үндэс юм харилцан тэгшитгэл. Гэхдээ энэ нь бусад төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг. Нэг жишээ хэлье.
Тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 1+x-д хуваах хэрэгтэй. Гэхдээ ийм хуваагдлаар үндэс алдагдаж болзошгүй, учир нь 1+x илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш боловч x=−1 үед 1+x илэрхийлэл тэг болж, энэ тоо анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарна. Энэ нь язгуур −1 алдаж болзошгүй гэсэн үг юм. Үндэс алдагдлыг арилгахын тулд −1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг тусад нь шалгах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та анхны тэгшитгэлд −1-ийг орлуулж, ямар тэгшитгэлтэй болохыг харж болно. Манай тохиолдолд орлуулалт нь тэгш байдлыг өгдөг бөгөөд энэ нь 4=0-тэй ижил байна. Энэ тэгшитгэл нь худал бөгөөд −1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг. Ийм шалгалтын дараа та тэгшитгэлийн хоёр талыг 1 + x-ээр хуваах боломжтой бөгөөд үндэс алдагдах вий гэж айхгүйгээр хийж болно.
Энэ догол мөрний төгсгөлд өмнөх догол мөрийн тэгшитгэл рүү дахин нэг удаа хандъя. Эдгээр тэгшитгэлийг таних тэмдэг дээр үндэслэн хувиргах ба 
ODZ-ийн нарийсалт хүргэдэг бөгөөд энэ нь үндэс алдагдахад хүргэдэг. Энэ үед бид үндсээ алдахгүйн тулд ДЗ-г нарийсгасан шинэчлэлээс татгалзах хэрэгтэй гэж хэлсэн. Энэ нь эдгээр өөрчлөлтийг орхих ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ бид яах ёстой вэ? Баримтлал дээр тулгуурлаагүй өөрчлөлтийг хийх боломжтой , үүнээс болж ODZ нарийсч, мөн үндсэн дээр таних болон 
. Анхны тэгшитгэлээс болон тэгшитгэлд шилжсэний үр дүнд ба 
ODZ-ийн нарийсалт байхгүй, энэ нь үндэс нь алдагдахгүй гэсэн үг юм.
Энд бид илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солихдоо илэрхийллүүд нь яг ижил тэнцүү байх ёстойг анхаарна уу. Жишээлбэл, Eq. 
зүүн талын харагдах байдлыг хялбаршуулахын тулд x+3 илэрхийллийг илэрхийллээр солих боломжгүй 
, учир нь x+3 илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш, учир нь тэдгээрийн утга нь x+3 дээр давхцдаггүй.<0
. В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.
Ашиглах ёсгүй тэгшитгэлийн хувиргалтууд
Энэ нийтлэлд дурдсан өөрчлөлтүүд нь ихэвчлэн практик хэрэгцээнд хангалттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, та өөр ямар нэгэн өөрчлөлт хийхдээ санаа зовох хэрэггүй, аль хэдийн батлагдсан хувилбаруудыг зөв ашиглахад анхаарлаа хандуулах нь дээр.
Уран зохиол
- Мордкович A.G.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х.: илл.-ISBN 978-5-09-022771-1.
