Доорх нийтлэлд хэрвээ сегментийн туйлын цэгүүдийн координатууд нь анхны өгөгдөлд байгаа бол түүний дунд хэсгийн координатыг олох асуудлыг авч үзэх болно. Гэхдээ асуудлыг судалж эхлэхээсээ өмнө хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1
Шугамын сегмент– сегментийн төгсгөл гэж нэрлэгддэг дурын хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам. Жишээлбэл, эдгээр нь А ба В цэгүүд ба үүний дагуу А В сегмент байх болно.
Хэрэв А В сегментийг А ба В цэгээс хоёр чиглэлд үргэлжлүүлбэл бид А В шулуун шугамыг авна. Дараа нь А В сегмент нь А ба В цэгүүдээр хязгаарлагдсан шулуун шугамын нэг хэсэг юм. А В сегмент нь түүний төгсгөл болох А ба В цэгүүдийг, мөн тэдгээрийн хооронд байрлах цэгүүдийн багцыг нэгтгэдэг. Жишээлбэл, бид А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах дурын K цэгийг авбал К цэг нь А В сегмент дээр байрладаг гэж хэлж болно.
Тодорхойлолт 2
Хэсгийн урт– өгөгдсөн масштаб дахь сегментийн төгсгөлүүдийн хоорондох зай (нэгж урттай сегмент). А В сегментийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе: A B .
Тодорхойлолт 3
Сегментийн дунд цэг– сегмент дээр байрлах ба түүний төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг. Хэрэв A B сегментийн дунд хэсгийг C цэгээр тэмдэглэсэн бол тэгш байдал үнэн болно: A C = C B
Анхны өгөгдөл: координатын шугам O x ба түүн дээрх давхцахгүй цэгүүд: A ба B. Эдгээр цэгүүд нь бодит тоотой тохирч байна x A ба х Б. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм: координатыг тодорхойлох шаардлагатай x C.
С цэг нь А В сегментийн дунд цэг тул тэгш байдал үнэн болно: | A C | = | C B | . Цэгүүдийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатын зөрүүний модулиар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Дараа нь хоёр тэнцүү байх боломжтой: x C - x A = x B - x C ба x C - x A = - (x B - x C)
Эхний тэгшитгэлээс бид C цэгийн координатын томъёог гаргаж авдаг: x C = x A + x B 2 (сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагас).
Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: x A = x B, энэ нь боломжгүй, учир нь эх өгөгдөлд - давхцаагүй цэгүүд. Тиймээс, A (x A) ба төгсгөлтэй A B сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох томъёо B(xB):
Үүссэн томъёо нь хавтгай эсвэл огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох үндэс суурь болно.
Анхны өгөгдөл: O x y хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем, өгөгдсөн A x A, y A ба B x B, y B координатуудтай дурын давхцдаггүй хоёр цэг. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм. С цэгийн x C ба y C координатыг тодорхойлох шаардлагатай.
А ба В цэгүүд хоорондоо давхцахгүй, нэг координатын шугам эсвэл аль нэг тэнхлэгт перпендикуляр шугам дээр хэвтэхгүй байх тохиолдлыг шинжилье. A x, A y; B x, B y ба C x, C y - координатын тэнхлэг дээрх A, B, C цэгүүдийн проекцууд (O x ба O y шулуунууд).
Барилгын дагуу A A x, B B x, C C x шугамууд зэрэгцээ байна; шугамууд нь мөн бие биетэйгээ зэрэгцээ байна. Үүнтэй хамт Талесийн теоремын дагуу A C = C B тэгшитгэлээс дараахь тэгшитгэлүүд гарч ирдэг: A x C x = C x B x ба A y C y = C y B y ба тэдгээр нь эргээд C x цэг болохыг харуулж байна. A x B x сегментийн дунд, C y нь A y B y сегментийн дунд хэсэг юм. Тэгээд өмнө нь олж авсан томъёонд үндэслэн бид дараахь зүйлийг авна.
x C = x A + x B 2 ба y C = y A + y B 2
А ба В цэгүүд нь ижил координатын шугам эсвэл тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шугам дээр байрлах тохиолдолд ижил томъёог ашиглаж болно. Явц нарийвчилсан шинжилгээБид энэ хэргийг авч үзэхгүй, зөвхөн графикаар авч үзэх болно.
Дээр дурдсан бүхнийг нэгтгэн дүгнэвэл, Төгсгөлийн координат бүхий хавтгай дээрх А В сегментийн дунд хэсгийн координатууд A (x A, y A) Тэгээд B(xB, yB) гэж тодорхойлсон:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Анхны өгөгдөл: координатын систем O x y z ба өгөгдсөн A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) координатуудтай дурын хоёр цэг. А В сегментийн дунд хэсэг болох С цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.
A x , A y , A z ; B x , B y , B z and C x , C y , C z - бүх проекцууд оноо өгсөнкоординатын системийн тэнхлэг дээр.
Фалесийн теоремоор дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z.
Тиймээс C x , C y , C z цэгүүд нь A x B x , A y B y , A z B z хэрчмүүдийн дунд цэгүүд юм. Дараа нь, Орон зай дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлохын тулд дараах томьёо зөв байна.
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Үүссэн томъёолол нь координатын шугамын аль нэгэнд A ба B цэгүүд байрлах тохиолдолд мөн хамаарна; тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр; координатын нэг хавтгайд эсвэл координатын аль нэг хавтгайд перпендикуляр.
Сегментийн дунд хэсгийн координатыг төгсгөлийн радиус векторуудын координатаар тодорхойлох
Сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог векторуудын алгебрийн тайлбарын дагуу гаргаж болно.
Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт декартын координатын систем O x y, өгөгдсөн координат A (x A, y A) ба B (x B, x B) цэгүүд. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм.
Вектор дээрх үйлдлүүдийн геометрийн тодорхойлолтын дагуу дараахь тэгш байдал үнэн болно: O C → = 1 2 · O A → + O B → . С цэг дээр энэ тохиолдолд– O A → ба O B → векторуудын үндсэн дээр баригдсан параллелограммын диагональуудын огтлолцох цэг, өөрөөр хэлбэл. диагональуудын дундын цэг.Цэгийн радиус векторын координат нь тухайн цэгийн координаттай тэнцүү бол тэгшитгэл нь үнэн болно: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). Координат дээрх векторууд дээр зарим үйлдлүүдийг хийцгээе:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Тиймээс C цэг нь координаттай байна:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Аналогийн дагуу огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог тодорхойлно.
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Дээр олж авсан томьёог ашиглахтай холбоотой асуудлуудын дунд сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох шууд асуулт, өгөгдсөн нөхцөлийг энэ асуултад авчрахтай холбоотой асуудлууд байдаг: "медиан" гэсэн нэр томъёо. Энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг, зорилго нь сегментийн төгсгөлөөс нэг координатыг олох явдал бөгөөд тэгш хэмийн асуудлууд бас нийтлэг байдаг бөгөөд энэ сэдвийг судалсны дараа ерөнхийдөө шийдэл нь хүндрэл учруулах ёсгүй. Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.
Жишээ 1
Анхны өгөгдөл:хавтгай дээр - өгөгдсөн координаттай цэгүүд A (- 7, 3) ба B (2, 4). А В сегментийн дунд цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
Шийдэл
А В сегментийн дунд хэсгийг С цэгээр тэмдэглэе. Түүний координатыг сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. А ба В цэгүүд.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Хариулах: сегментийн дунд хэсгийн координат A B - 5 2, 7 2.
Жишээ 2
Анхны өгөгдөл: A B C гурвалжны координатууд мэдэгдэж байна: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Дундаж A M уртыг олох шаардлагатай.
Шийдэл
- Асуудлын нөхцлийн дагуу A M нь медиан бөгөөд энэ нь M нь B C сегментийн дунд цэг гэсэн үг юм. Юуны өмнө B C сегментийн дунд хэсгийн координатыг олъё, өөрөөр хэлбэл. M оноо:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Бид одоо медианы хоёр төгсгөлийн координатыг (A ба M цэгүүд) мэдэж байгаа тул цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлж, A M медианы уртыг тооцоолохдоо томъёог ашиглаж болно.
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Хариулт: 58
Жишээ 3
Анхны өгөгдөл:тэгш өнцөгт координатын системд гурван хэмжээст орон зайөгөгдсөн параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . C 1 цэгийн координатуудыг өгсөн (1, 1, 0), мөн M цэгийг тодорхойлсон бөгөөд энэ нь B D 1 диагональын дунд цэг бөгөөд M (4, 2, - 4) координаттай байна. А цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл
Параллелепипедийн диагональууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь бүх диагональуудын дунд байдаг. Энэхүү мэдэгдэлд үндэслэн асуудлын нөхцлөөс мэдэгдэж буй M цэг нь A C 1 сегментийн дунд цэг гэдгийг бид санаж болно. Сансар огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёонд үндэслэн бид А цэгийн координатыг олно: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Хариулт:А цэгийн координат (7, 3, - 8).
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Геометрт гурван үндсэн координатын систем ашигладаг. онолын механик, физикийн бусад салбарууд: Декарт, туйл ба бөмбөрцөг. Эдгээр координатын системд бүх цэг нь гурван координаттай байдаг. 2 цэгийн координатыг мэдсэнээр та эдгээр хоёр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлж болно.
Танд хэрэгтэй болно
- Сегментийн төгсгөлүүдийн декарт, туйл ба бөмбөрцөг координатууд
Зааварчилгаа
1. Эхлээд тэгш өнцөгт декартын координатын системийг авч үзье. Энэ координатын систем дэх орон зайн цэгийн байршлыг тодорхойлно координатууд x,y ба z. Эхлэлээс цэг хүртэл радиус векторыг зурсан. Энэ радиус векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд нь байна координатуудОдоо танд хоёр оноо өгье координатууд x1,y1,z1 ба x2,y2 ба z2 тус тус. Эхний болон 2-р цэгийн радиус векторуудыг r1 ба r2-р тэмдэглэнэ. Энэ хоёр цэгийн хоорондох зай нь r = r1-r2 векторын модультай тэнцүү байх ба энд (r1-r2) нь векторын зөрүү юм. r векторын координат нь дараах байдалтай байх болно: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Дараа нь векторын хэмжээ r буюу хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэнцүү байх болно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Одоо цэгийн координатыг радиаль координат r (XY хавтгай дахь радиус вектор), өнцгийн координатаар өгөх туйлын координатын системийг авч үзье? (вектор r ба X тэнхлэгийн хоорондох өнцөг) ба z координат нь декарт систем дэх z координаттай төстэй.Цэгийн туйлын координатыг дараах байдлаар декарт координат болгон хувиргаж болно: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Дараа нь хоёр цэгийн хоорондох зай координатууд r1, ?1 ,z1 ба r2, ?2, z2 тэнцүү байх болно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Одоо бөмбөрцөг координатын системийг хар. Үүнд цэгийн байршлыг гурваар зааж өгсөн болно координатууд r, ? Тэгээд?. r – эх цэгээс цэг хүртэлх зай, ? Тэгээд? – азимутал ба зенитийн өнцөг тус тус. Булан уу? туйлын координатын систем дэх ижил тэмдэглэгээтэй өнцөгтэй төстэй, тийм үү? – радиус вектор r ба Z тэнхлэгийн хоорондох өнцөг, 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатууд r1, ?1, ?1 ба r2, ?2 ба ?2 нь R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Сэдвийн талаархи видео
Координатын хавтгайтай холбоотой бүхэл бүтэн бүлэг даалгавар (шалгалтын төрлийн асуудалд багтсан) байдаг. Эдгээр нь хамгийн энгийн асуудлуудаас эхлээд амаар шийдэгддэг (өгөгдсөн цэгийн ординат эсвэл абсцисс, эсвэл өгөгдсөн цэг хүртэлх тэгш хэмтэй цэгийг тодорхойлох гэх мэт), өндөр чанартай мэдлэг, ойлголт, мэдлэг шаардсан даалгаврууд юм. сайн ур чадвар (шулуун шугамын өнцгийн коэффициенттэй холбоотой асуудлууд).
Аажмаар бид бүгдийг нь авч үзэх болно. Энэ нийтлэлд бид үндсэн ойлголтуудаас эхлэх болно. Эдгээр нь цэгийн абсцисса ба ординат, сегментийн урт, сегментийн дунд цэг, шулуун шугамын налуугийн синус эсвэл косинусыг тодорхойлох энгийн даалгавар юм.Ихэнх хүмүүс эдгээр ажлыг сонирхохгүй байх болно. Гэхдээ би тэдгээрийг танилцуулах шаардлагатай гэж үзэж байна.
Хүн бүр сургуульд сурдаггүй нь үнэн юм. Олон хүмүүс сургуулиа төгсөөд 3-4 ба түүнээс дээш жилийн дараа Улсын нэгдсэн шалгалт өгдөг бөгөөд абсцисс, ординат гэж юу байдгийг бүрхэг санадаг. Бид координатын хавтгайтай холбоотой бусад ажлуудад дүн шинжилгээ хийх болно, үүнийг бүү алдаарай, блогын шинэчлэлтүүдэд бүртгүүлээрэй. Одоо Нбага зэрэг онол.
Х=6, у=3 координаттай координатын хавтгайд А цэгийг байгуулъя.
Тэд А цэгийн абсцисса нь зургаа, А цэгийн ординат нь гуравтай тэнцүү гэж хэлдэг.
Энгийнээр тайлбарлавал үхрийн тэнхлэг нь абсцисса тэнхлэг, у тэнхлэг нь ордны тэнхлэг юм.
Өөрөөр хэлбэл, абсцисса нь координатын хавтгайд өгөгдсөн цэгийг проекцлох х тэнхлэг дээрх цэг юм; Ординат нь заасан цэгийг проекцлох у тэнхлэг дээрх цэг юм.
Координатын хавтгай дээрх сегментийн урт
Төгсгөлийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол сегментийн уртыг тодорхойлох томъёо:
Таны харж байгаагаар сегментийн урт нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь гипотенузын урт юм.
X B - X A ба U B - U A
* * *
Сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд.
Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох томъёо:
Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл
Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд (x 1;y 1) ба (x 2;y 2). ) өгөгдсөн цэгүүдийн координат.
Координатын утгыг томъёонд орлуулснаар энэ нь дараах хэлбэртэй болно.
y = kx + b, энд k нь шугамын налуу юм
Координатын хавтгайтай холбоотой өөр бүлгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд бидэнд энэ мэдээлэл хэрэгтэй болно. Энэ тухай нийтлэл байх болно, бүү алдаарай!
Та өөр юу нэмж чадах вэ?
Шулуун шугамын (эсвэл сегментийн) хазайлтын өнцөг нь oX тэнхлэг ба энэ шулуун шугамын хоорондох өнцөг бөгөөд 0-ээс 180 градусын хооронд хэлбэлздэг.
Даалгавруудыг авч үзье.
(6;8) цэгээс ординатын тэнхлэгт перпендикуляр унасан байна. Перпендикулярын суурийн ординатыг ол.
Ординатын тэнхлэгт буулгасан перпендикулярын суурь нь координаттай (0;8) байна. Ординат нь наймтай тэнцүү байна.
Хариулт: 8
Цэгээс зайг ол Акоординаттай (6;8) ординат хүртэл.
А цэгээс ордны тэнхлэг хүртэлх зай нь А цэгийн абсциссатай тэнцүү байна.
Хариулт: 6.
А(6;8) тэнхлэгтэй харьцуулахад Үхэр.
oX тэнхлэгтэй харьцуулахад А цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай (6;– 8).
Ординат нь хасах наймтай тэнцүү байна.
Хариулт: - 8
Цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол А(6;8) гарал үүсэлтэй харьцуулахад.
Эхтэй харьцуулахад А цэгт тэгш хэмтэй цэг нь координаттай (– 6;– 8).
Түүний ординат нь - 8.
Хариулт: -8
Цэгүүдийг холбосон сегментийн дунд хэсгийн абсциссыг олО(0;0) ба А(6;8).
Асуудлыг шийдэхийн тулд сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох шаардлагатай. Манай сегментийн төгсгөлүүдийн координатууд нь (0;0) ба (6;8) юм.
Бид томъёог ашиглан тооцоолно:
Бид (3;4) авсан. Абсцисса нь гуравтай тэнцүү байна.
Хариулт: 3
*Кординатын хавтгайд энэ сегментийг дөрвөлжин цаасан дээр барьж байгуулах замаар сегментийн дунд хэсгийн абсциссыг томьёо ашиглан тооцоололгүйгээр тодорхойлж болно. Сегментийн дунд хэсгийг нүдээр тодорхойлоход хялбар байх болно.
Цэгүүдийг холбосон сегментийн дунд хэсгийн абсциссыг ол А(6;8) ба Б(–2;2).
Асуудлыг шийдэхийн тулд сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох шаардлагатай. Манай сегментийн төгсгөлүүдийн координатууд нь (–2;2) ба (6;8) юм.
Бид томъёог ашиглан тооцоолно:
Бид (2;5) авсан. Абсцисса нь хоёртой тэнцүү байна.
Хариулт: 2
*Кординатын хавтгайд энэ сегментийг дөрвөлжин цаасан дээр барьж байгуулах замаар сегментийн дунд хэсгийн абсциссыг томьёо ашиглан тооцоололгүйгээр тодорхойлж болно.
(0;0) ба (6;8) цэгүүдийг холбосон хэрчмийн уртыг ол.
Төгсгөлийн өгөгдсөн координат дахь сегментийн уртыг дараахь томъёогоор тооцоолно.
бидний тохиолдолд O(0;0) ба A(6;8) байна. гэсэн үг,
*Хасах үед координатын дараалал хамаагүй. Та О цэгийн абсцисса ба ординатаас А цэгийн абсцисса ба ординатыг хасаж болно.
Хариулт: 10
Цэгүүдийг холбосон сегментийн налуугийн косинусыг ол О(0;0) ба А(6;8), x тэнхлэгтэй.
Сегментийн налуу өнцөг нь энэ сегмент ба oX тэнхлэгийн хоорондох өнцөг юм.
А цэгээс бид oX тэнхлэгт перпендикуляр буулгана.
Өөрөөр хэлбэл, сегментийн налуу өнцөг нь өнцөг юмSAIАВО тэгш өнцөгт гурвалжинд.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинус нь
зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа
Бид гипотенузыг олох хэрэгтэйО.А.
Пифагорын теоремын дагуу:Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тиймээс налуу өнцгийн косинус 0.6 байна
Хариулт: 0.6
(6;8) цэгээс абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр унана. Перпендикуляр суурийн абсциссыг ол.
(6;8) цэгээр абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татагдана. Түүний тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн ординатыг ол OU.
Цэгээс зайг ол Акоординаттай (6;8) абсцисса тэнхлэгт.
Цэгээс зайг ол Акоординатууд (6;8) нь гарал үүсэл.
Хэрэв та дэвтрийн хуудсан дээр сайн хурцалсан харандаагаар хүрвэл цэгийн талаархи ойлголтыг өгөх ул мөр үлдэх болно. (Зураг 3).
Цаасан дээр А ба В хоёр цэгийг тэмдэглэе.Эдгээр цэгүүдийг янз бүрийн шугамаар холбож болно (Зураг 4). А ба В цэгүүдийг хамгийн богино шугамаар хэрхэн холбох вэ? Үүнийг захирагч ашиглан хийж болно (Зураг 5). Үүссэн мөрийг дуудна сегмент.
Цэг ба шугам - жишээнүүд геометрийн хэлбэрүүд.
А ба В цэгүүдийг дуудна сегментийн төгсгөлүүд.
Төгсгөл нь А ба В цэгүүд болох нэг хэрчим байдаг. Иймээс хэрчмийг түүний төгсгөл болох цэгүүдийг бичиж тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, 5-р зураг дээрх сегментийг AB эсвэл BA гэсэн хоёр аргын аль нэгээр тодорхойлно. Унших: "segment AB" эсвэл "segment BA".
Зураг 6-д гурван сегментийг харуулав. AB сегментийн урт нь 1 см. MN сегментэд яг 3 удаа, EF сегментэд яг 4 удаа таарч байна. Ингэж хэлье сегментийн урт MN нь 3 см-тэй тэнцүү, EF сегментийн урт нь 4 см байна.
Мөн "MN сегмент нь 3 см-тэй тэнцүү", "EF сегмент нь 4 см-тэй тэнцүү" гэж хэлдэг заншилтай. Тэд бичнэ: MN = 3 см, EF = 4 см.
Бид MN ба EF сегментүүдийн уртыг хэмжсэн нэг сегмент, урт нь 1 см. Сегментүүдийг хэмжихийн тулд та бусад хэсгийг сонгож болно уртын нэгж, жишээ нь: 1 мм, 1 дм, 1 км. Зураг 7-д сегментийн урт нь 17 мм байна. Энэ нь нэг сегментээр хэмжигддэг бөгөөд урт нь 1 мм, төгссөн захирагч ашиглана. Түүнчлэн, захирагч ашиглан та өгөгдсөн урттай сегментийг барьж (зурах) боломжтой (7-р зургийг үз).
Бүх, сегментийг хэмжих гэдэг нь түүнд хэдэн нэгж сегмент багтахыг тоолох гэсэн үг юм.
Сегментийн урт нь дараах шинж чанартай байна.
Хэрэв та AB сегмент дээр С цэгийг тэмдэглэвэл AB сегментийн урт нь AC ба CB сегментүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна.(Зураг 8).
Бичих: AB = AC + CB.
Зураг 9-д AB ба CD гэсэн хоёр сегментийг үзүүлэв. Эдгээр сегментүүд нь давхарласан үед давхцах болно.
Хоёр сегментийг давхарласан үед давхцаж байвал тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Тиймээс AB ба CD сегментүүд тэнцүү байна. Тэд бичдэг: AB = CD.
Тэнцүү сегментүүд ижил урттай байна.
Хоёр тэгш бус сегментээс бид илүү урттай хэсгийг илүү том гэж үзэх болно. Жишээлбэл, Зураг 6-д EF сегмент нь MN сегментээс том байна.
AB сегментийн уртыг нэрлэнэ зайА ба В цэгүүдийн хооронд.
Хэрэв хэд хэдэн сегментийг 10-р зурагт үзүүлсэн шиг байрлуулсан бол та геометрийн дүрсийг авах болно эвдэрсэн шугам. Зураг 11-ийн бүх сегментүүд нь тасархай шугам үүсгэдэггүй гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв эхний сегментийн төгсгөл нь хоёр дахь хэсгийн төгсгөлтэй, хоёр дахь сегментийн нөгөө төгсгөл нь гурав дахь хэсгийн төгсгөлтэй давхцаж байвал сегментийг тасархай шугам үүсгэдэг гэж үзнэ.
A, B, C, D, E - цэгүүд тасархай шугамын оройнууд ABCDE, A ба E - цэгүүд полилинийн төгсгөлүүд, мөн AB, BC, CD, DE сегментүүд нь түүний байна холбоосууд(10-р зургийг үз).
Шугамын урттүүний бүх холбоосын уртын нийлбэр гэж нэрлэнэ.
Зураг 12-т төгсгөлүүд нь давхцаж буй хоёр тасархай шугамыг үзүүлэв. Ийм тасархай шугамыг нэрлэдэг хаалттай.
Жишээ 1 . BC сегмент нь AB сегментээс 3 см бага, урт нь 8 см (Зураг 13). AC сегментийн уртыг ол.
Шийдэл. Бидэнд: BC = 8 - 3 = 5 (см).
Хэсгийн уртын шинж чанарыг ашиглан бид AC = AB + BC гэж бичиж болно. Тиймээс AC = 8 + 5 = 13 (см).
Хариулт: 13 см.
Жишээ 2 . Мэдэгдэж байгаагаар MK = 24 см, NP = 32 см, MP = 50 см (Зураг 14). NK сегментийн уртыг ол.
Шийдэл. Бидэнд: MN = MP − NP.
Эндээс MN = 50 − 32 = 18 (см) болно.
Бидэнд: NK = MK − MN байна.
Эндээс NK = 24 − 18 = 6 (см) байна.
Хариулт: 6 см.
СегментээрЭдгээр хоёр цэгийн хооронд байрлах энэ шугамын бүх цэгүүдээс бүрдсэн шулуун шугамын хэсгийг дуудна - тэдгээрийг сегментийн төгсгөл гэж нэрлэдэг.
Эхний жишээг харцгаая. Тодорхой сегментийг координатын хавтгайд хоёр цэгээр тодорхойл. Энэ тохиолдолд бид түүний уртыг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно.
Тиймээс, координатын системд бид түүний төгсгөлүүдийн өгөгдсөн координат бүхий сегментийг зурдаг(x1; y1) Тэгээд (x2; y2) . Тэнхлэг дээр X Тэгээд Ю Сегментийн төгсгөлөөс перпендикуляр зур. Координатын тэнхлэг дээрх анхны сегментээс проекц болох сегментүүдийг улаанаар тэмдэглэе. Үүний дараа бид проекцын сегментүүдийг сегментүүдийн төгсгөлд параллель шилжүүлдэг. Бид гурвалжин (тэгш өнцөгт) авдаг. Энэ гурвалжны гипотенуз нь өөрөө AB сегмент байх ба түүний хөлүүд нь шилжүүлсэн проекцууд юм.
Эдгээр төсөөллийн уртыг тооцоолъё. Тиймээс, тэнхлэг рүү Ю проекцын урт байна y2-y1 , мөн тэнхлэг дээр X проекцын урт байна x2-x1 . Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлье: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Энэ тохиолдолд |AB| сегментийн урт юм.
Хэрэв та сегментийн уртыг тооцоолохдоо энэ диаграммыг ашиглавал сегментийг бүтээх шаардлагагүй болно. Одоо сегментийн уртыг координатаар тооцоолъё (1;3) Тэгээд (2;5) . Пифагорын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна. |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Энэ нь бидний сегментийн урт нь тэнцүү байна гэсэн үг юм 5:1/2 .
Хэсгийн уртыг олох дараах аргыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид зарим системийн хоёр цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй. Хоёр хэмжээст декартын координатын системийг ашиглан энэ сонголтыг авч үзье.
Тиймээс хоёр хэмжээст координатын системд сегментийн туйлын цэгүүдийн координатуудыг өгсөн болно. Хэрэв бид эдгээр цэгүүдээр шулуун шугам татах юм бол тэдгээр нь координатын тэнхлэгт перпендикуляр байх ёстой, тэгвэл бид тэгш өнцөгт гурвалжин болно. Анхны сегмент нь үүссэн гурвалжны гипотенуз болно. Гурвалжны хөл нь сегментүүдийг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх гипотенузын проекцтой тэнцүү байна. Пифагорын теорем дээр үндэслэн бид дүгнэж байна: өгөгдсөн сегментийн уртыг олохын тулд хоёр координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртыг олох хэрэгтэй.
Проекцын уртыг олцгооё (X ба Y) анхны сегментийг координатын тэнхлэгүүд рүү шилжүүлнэ. Бид тэдгээрийг тусдаа тэнхлэгийн дагуух цэгүүдийн координатын зөрүүг олох замаар тооцоолно. X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Сегментийн уртыг тооцоол А , үүний тулд бид квадрат язгуурыг олно:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Хэрэв бидний сегмент координат нь цэгүүдийн хооронд байрладаг бол 2;4 Тэгээд 4;1 , дараа нь түүний урт нь харгалзах тэнцүү байна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .
