Antiderivatif
Definisi fungsi antiterbitan
- Fungsi y=F(x) dipanggil antiterbitan fungsi y=f(x) pada selang waktu tertentu X, jika untuk semua orang X ∈X kesamarataan memegang: F′(x) = f(x)
Boleh dibaca dalam dua cara:
- f terbitan bagi suatu fungsi F
- F antiterbitan bagi sesuatu fungsi f
Sifat antiderivatif
- Jika F(x)- antiterbitan fungsi f(x) pada selang tertentu, maka fungsi f(x) mempunyai banyak antiderivatif yang tidak terhingga, dan semua antiderivatif ini boleh ditulis dalam bentuk F(x) + C, di mana C ialah pemalar arbitrari.
Tafsiran geometri
- Graf semua antiderivatif bagi fungsi tertentu f(x) diperoleh daripada graf mana-mana satu antiterbitan melalui terjemahan selari di sepanjang paksi O di.
Peraturan untuk mengira antiderivatif
- Antiderivatif hasil tambah adalah sama dengan jumlah antiterbitan. Jika F(x)- antiderivatif untuk f(x), dan G(x) ialah antiterbitan untuk g(x), Itu F(x) + G(x)- antiderivatif untuk f(x) + g(x).
- Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Jika F(x)- antiderivatif untuk f(x), Dan k- tetap, kemudian k·F(x)- antiderivatif untuk k f(x).
- Jika F(x)- antiderivatif untuk f(x), Dan k, b- malar, dan k ≠ 0, Itu 1/k F(kx + b)- antiderivatif untuk f(kx + b).
Ingat!
Apa-apa fungsi F(x) = x 2 + C , dengan C ialah pemalar arbitrari, dan hanya fungsi sedemikian adalah antiterbitan untuk fungsi itu f(x) = 2x.
- Sebagai contoh:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, kerana F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, kerana F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Hubungan antara graf fungsi dan antiterbitannya:
- Jika graf bagi suatu fungsi f(x)>0 F(x) meningkat sepanjang selang ini.
- Jika graf bagi suatu fungsi f(x)<0 pada selang, kemudian graf antiterbitannya F(x) berkurangan sepanjang selang ini.
- Jika f(x)=0, kemudian graf antiterbitannya F(x) pada ketika ini berubah daripada meningkat kepada berkurangan (atau sebaliknya).
Untuk menandakan antiterbitan, tanda kamiran tak tentu digunakan, iaitu kamiran tanpa menunjukkan had kamiran.
Kamiran tak tentu
Definisi:
- Kamiran tak tentu bagi fungsi f(x) ialah ungkapan F(x) + C, iaitu set semua antiterbitan bagi fungsi tertentu f(x). Kamiran tak tentu dilambangkan seperti berikut: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- dipanggil fungsi integrand;
- f(x) dx- dipanggil integrand;
- x- dipanggil pembolehubah penyepaduan;
- F(x)- salah satu antiderivatif bagi fungsi f(x);
- DENGAN- pemalar sewenang-wenangnya.
Sifat kamiran tak tentu
- Terbitan kamiran tak tentu adalah sama dengan kamiran: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Faktor pemalar bagi kamiran dan boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Kamiran bagi hasil tambah (perbezaan) fungsi sama dengan jumlah(perbezaan) kamiran bagi fungsi ini: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Jika k, b ialah pemalar, dan k ≠ 0, maka \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Jadual antiterbitan dan kamiran tak tentu
| Fungsi f(x) | Antiderivatif F(x) + C | Kamiran tak tentu \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\bukan =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \bukan= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Formula Newton–Leibniz
biarlah f(x) fungsi ini F antiterbitan sewenang-wenangnya.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
di mana F(x)- antiderivatif untuk f(x)
Iaitu, kamiran fungsi f(x) pada selang adalah sama dengan perbezaan antiderivatif pada titik b Dan a.
Luas trapezium melengkung
Trapezoid lengkung ialah angka yang dibatasi oleh graf fungsi yang bukan negatif dan berterusan pada selang f, Paksi lembu dan garis lurus x = a Dan x = b.
Luas trapezoid melengkung didapati menggunakan formula Newton-Leibniz:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Menyelesaikan kamiran adalah tugas yang mudah, tetapi hanya untuk beberapa orang terpilih. Artikel ini adalah untuk mereka yang ingin belajar memahami kamiran, tetapi tidak tahu apa-apa atau hampir tiada apa-apa tentangnya. Integral... Mengapa ia diperlukan? Bagaimana untuk mengiranya? Apa yang pasti dan kamiran tak tentu s? Jika satu-satunya kegunaan yang anda ketahui untuk kamiran ialah menggunakan cangkuk mengait berbentuk seperti ikon kamiran untuk mendapatkan sesuatu yang berguna daripada tempat yang sukar dijangkau, maka dialu-alukan! Ketahui cara menyelesaikan kamiran dan mengapa anda tidak boleh melakukannya tanpanya.
Kami mengkaji konsep "integral"
Integrasi dikenali di Mesir Purba. Sudah tentu, bukan dalam bentuk modennya, tetapi masih. Sejak itu, ahli matematik telah menulis banyak buku mengenai topik ini. Terutama membezakan diri mereka Newton Dan Leibniz , tetapi intipati sesuatu tidak berubah. Bagaimana untuk memahami kamiran dari awal? Tidak boleh! Untuk memahami topik ini, anda masih memerlukan pengetahuan asas tentang asas analisis matematik. Maklumat asas inilah yang anda akan dapati di blog kami.
Kamiran tak tentu
Mari kita mempunyai beberapa fungsi f(x) .
Fungsi kamiran tak tentu f(x) fungsi ini dipanggil F(x) , yang derivatifnya sama dengan fungsi f(x) .
Dalam erti kata lain, kamiran ialah terbitan terbalik atau antiterbitan. Dengan cara ini, baca tentang bagaimana dalam artikel kami.
Antiderivatif wujud untuk semua fungsi berterusan. Juga, tanda malar sering ditambah kepada antiderivatif, kerana derivatif fungsi yang berbeza dengan malar bertepatan. Proses mencari kamiran dipanggil kamiran.
Contoh mudah:
Agar tidak sentiasa mengira antiderivatif fungsi asas, adalah mudah untuk meletakkannya dalam jadual dan menggunakan nilai siap pakai:
Kamiran pasti
Apabila berurusan dengan konsep kamiran, kita berurusan dengan kuantiti tak terhingga. Kamiran akan membantu mengira luas rajah, jisim badan tidak seragam, jarak yang dilalui semasa pergerakan tidak sekata, dan banyak lagi. Perlu diingat bahawa kamiran ialah hasil tambah bilangan sebutan tak terhingga yang sangat kecil.
Sebagai contoh, bayangkan graf bagi beberapa fungsi. Bagaimana untuk mencari luas angka yang dibatasi oleh graf fungsi?
Menggunakan integral! Mari kita bahagikan trapezium lengkung, dihadkan oleh paksi koordinat dan graf fungsi, kepada segmen yang sangat kecil. Dengan cara ini angka itu akan dibahagikan kepada lajur nipis. Jumlah kawasan lajur akan menjadi luas trapezoid. Tetapi ingat bahawa pengiraan sedemikian akan memberikan hasil anggaran. Walau bagaimanapun, lebih kecil dan lebih sempit segmen, lebih tepat pengiraan. Jika kita mengurangkannya sehingga ke tahap yang panjangnya cenderung kepada sifar, maka jumlah kawasan segmen akan cenderung kepada luas angka itu. Ini adalah integral pasti, yang ditulis seperti ini:
Titik a dan b dipanggil had pengamiran.
Bari Alibasov dan kumpulan "Integral"
By the way!
Untuk pembaca kami kini terdapat diskaun 10% pada
Peraturan untuk mengira kamiran untuk dummies
Sifat kamiran tak tentu
- Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu? Di sini kita akan melihat sifat kamiran tak tentu, yang akan berguna apabila menyelesaikan contoh.
- Terbitan kamiran adalah sama dengan kamiran dan:
- Pemalar boleh dikeluarkan dari bawah tanda kamiran:
Kamiran hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kamiran. Ini juga benar untuk perbezaan:
- Sifat kamiran pasti
- Kelinearan:
- Tanda kamiran berubah jika had penyepaduan ditukar: Pada mana-mana a, b Dan mata:
Dengan
Kami telah mengetahui bahawa kamiran pasti ialah had jumlah. Tetapi bagaimana untuk mendapatkan nilai tertentu apabila menyelesaikan contoh? Untuk ini terdapat formula Newton-Leibniz:
Contoh penyelesaian kamiran
Untuk mengukuhkan bahan, tonton video tentang cara kamiran diselesaikan dalam amalan. Jangan putus asa jika kamiran tidak diberikan segera. Tanya dan mereka akan memberitahu anda semua yang mereka tahu tentang pengiraan kamiran. Dengan bantuan kami, sebarang kamiran rangkap tiga atau melengkung di atas permukaan tertutup akan berada dalam kuasa anda.
Terdapat tiga peraturan asas untuk mencari fungsi antiterbitan. Mereka sangat serupa dengan peraturan pembezaan yang sepadan.
Peraturan 1
Jika F ialah antiterbitan untuk beberapa fungsi f, dan G ialah antiterbitan untuk beberapa fungsi g, maka F + G akan menjadi antiterbitan untuk f + g.
Mengikut takrifan antiterbitan, F’ = f. G' = g. Dan kerana syarat-syarat ini dipenuhi, maka mengikut peraturan untuk mengira derivatif untuk jumlah fungsi kita akan mempunyai:
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Peraturan 2
Jika F ialah antiterbitan untuk beberapa fungsi f, dan k ialah beberapa pemalar. Maka k*F ialah antiterbitan untuk fungsi k*f. Peraturan ini mengikut peraturan untuk mengira terbitan bagi fungsi kompleks.
Kami ada: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Peraturan 3
Jika F(x) ialah beberapa antiterbitan untuk fungsi f(x), dan k dan b ialah beberapa pemalar, dan k tidak sama dengan sifar, maka (1/k)*F*(k*x+b) akan menjadi antiterbitan untuk fungsi f (k*x+b).
Peraturan ini mengikuti peraturan untuk mengira terbitan fungsi kompleks:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Mari lihat beberapa contoh cara peraturan ini digunakan:
Contoh 1. Cari bentuk umum antiterbitan bagi fungsi f(x) = x^3 +1/x^2. Untuk fungsi x^3 salah satu antiderivatif akan menjadi fungsi (x^4)/4, dan untuk fungsi 1/x^2 salah satu antiderivatif akan menjadi fungsi -1/x. Menggunakan peraturan pertama, kami mempunyai:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Contoh 2. Mari kita cari bentuk umum antiterbitan untuk fungsi f(x) = 5*cos(x). Untuk fungsi cos(x), salah satu antiderivatif ialah fungsi sin(x). Jika kita sekarang menggunakan peraturan kedua, kita akan mempunyai:
F(x) = 5*sin(x).
Contoh 3. Cari salah satu antiterbitan bagi fungsi y = sin(3*x-2). Untuk fungsi sin(x) salah satu antiderivatif ialah fungsi -cos(x). Jika kita sekarang menggunakan peraturan ketiga, kita memperoleh ungkapan untuk antiterbitan:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Contoh 4. Cari antiterbitan bagi fungsi f(x) = 1/(7-3*x)^5
Antiterbitan untuk fungsi 1/x^5 ialah fungsi (-1/(4*x^4)). Sekarang, menggunakan peraturan ketiga, kita dapat.
Kita telah melihat bahawa derivatif mempunyai banyak kegunaan: derivatif ialah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); terbitan ialah kecerunan tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; derivatif membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.
Tetapi dalam kehidupan sebenar kita juga perlu menyelesaikan masalah songsang: sebagai contoh, bersama-sama dengan masalah mencari kelajuan mengikut undang-undang gerakan yang diketahui, kita juga menghadapi masalah memulihkan undang-undang gerakan mengikut kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini.
Contoh 1. Titik bahan bergerak dalam garis lurus, kelajuannya pada masa t diberikan oleh formula u = tg. Cari hukum gerakan.
Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah hukum gerakan yang dikehendaki. Adalah diketahui bahawa s"(t) = u"(t). Ini bermakna untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), yang terbitannya sama dengan tg. Tidak sukar untuk meneka itu
Mari kita segera ambil perhatian bahawa contoh diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapati bahawa, sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi bentuk 
pemalar arbitrari boleh berfungsi sebagai undang-undang gerakan, kerana
Untuk menjadikan tugasan lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu ketika dalam masa, contohnya, pada t=0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka daripada kesamaan kita memperoleh s(0) = 0 + C, iaitu S 0 = C. Sekarang hukum gerakan ditakrifkan secara unik:
Dalam matematik, operasi songsang bersama diberi nama yang berbeza dan tatatanda khas dicipta: contohnya, kuasa dua (x 2) dan mengambil punca kuasa dua sinus (sinх) dan arcsine(arcsin x), dsb. Proses mencari terbitan bagi fungsi tertentu dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, i.e. proses mencari fungsi daripada derivatif tertentu - integrasi.
Istilah “terbitan” itu sendiri boleh dibenarkan “dalam kehidupan seharian”: fungsi y - f(x) “melahirkan” fungsi baharu y"= f"(x) Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "ibu bapa" , tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya "ibu bapa" atau "pengeluar" mereka mengatakan bahawa ini, berhubung dengan fungsi y"=f"(x), ialah imej utama, atau, dalam pendek, antiderivatif.
Definisi 1. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X tertentu jika untuk semua x daripada X kesamaan F"(x)=f(x) dipegang.
Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).
Berikut adalah beberapa contoh:
1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana untuk semua x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar.
2) fungsi y - x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y-3x 2, kerana untuk semua x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar.
3) Fungsi y-sinх adalah antiterbitan untuk fungsi y = cosx, kerana untuk semua x kesamaan (sinx)" = cosx adalah benar.
4) Fungsi adalah antiterbitan untuk fungsi pada selang kerana untuk semua x > 0 kesamaan adalah benar
Secara umum, mengetahui formula untuk mencari derivatif, tidak sukar untuk menyusun jadual formula untuk mencari antiderivatif.
Kami harap anda memahami cara jadual ini disusun: derivatif fungsi, yang ditulis dalam lajur kedua, adalah sama dengan fungsi yang ditulis dalam baris yang sepadan pada lajur pertama (semak ia, jangan malas, ia sangat berguna). Sebagai contoh, untuk fungsi y = x 5 antiterbitan, seperti yang anda akan tetapkan, ialah fungsi (lihat baris keempat jadual).
Nota: 1. Di bawah ini kita akan membuktikan teorem bahawa jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x ) + C. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk menambah istilah C di mana-mana dalam lajur kedua jadual, dengan C ialah nombor nyata arbitrari.
2. Demi ringkasnya, kadangkala bukannya frasa "fungsi y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x)," mereka mengatakan F(x) ialah antiterbitan bagi f(x) .”
2. Peraturan untuk mencari antiderivatif
Apabila mencari antiderivatif, serta apabila mencari derivatif, bukan sahaja formula digunakan (ia disenaraikan dalam jadual pada ms 196), tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.
Kita tahu bahawa terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.
Kami menarik perhatian anda kepada "ringan" rumusan ini. Malah, seseorang harus merumuskan teorem: jika fungsi y = f(x) dan y = g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, masing-masing y-F(x) dan y-G(x), maka jumlah fungsi y = f(x)+g(x) mempunyai antiterbitan pada selang X, dan antiterbitan ini ialah fungsi y = F(x)+G(x). Tetapi biasanya, apabila merumuskan peraturan (dan bukan teorem), mereka meninggalkan sahaja kata kunci- ini menjadikannya lebih mudah untuk menggunakan peraturan dalam amalan
Contoh 2. Cari antiterbitan bagi fungsi y = 2x + cos x.
Penyelesaian. Antiterbitan untuk 2x ialah x"; antiterbitan untuk cox ialah sin x. Ini bermakna antiterbitan untuk fungsi y = 2x + cos x akan menjadi fungsi y = x 2 + sin x (dan secara amnya sebarang fungsi bentuk Y = x 1 + sinx + C) .
Kita tahu bahawa faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 2. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda antiderivatif.
Contoh 3.
Penyelesaian. a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bagi fungsi y = 5 sin x fungsi antiterbitan ialah fungsi y = -5 cos x.
b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi
c) Antiterbitan bagi x 3 ialah antiterbitan bagi x, antiterbitan bagi fungsi y = 1 ialah fungsi y = x. Menggunakan peraturan pertama dan kedua untuk mencari antiterbitan, kita dapati bahawa antiterbitan untuk fungsi y = 12x 3 + 8x-1 ialah fungsi
Komen. Seperti yang diketahui, derivatif produk tidak sama dengan hasil derivatif (peraturan untuk membezakan produk adalah lebih kompleks) dan terbitan hasil bahagi tidak sama dengan hasil bahagi. Oleh itu, tiada peraturan untuk mencari antiterbitan produk atau antiterbitan bagi hasil bagi dua fungsi. Berhati-hati!
Mari kita dapatkan peraturan lain untuk mencari antiderivatif. Kita tahu bahawa terbitan bagi fungsi y = f(kx+m) dikira dengan formula
Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.
Peraturan 3. Jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y=f(kx+m) ialah fungsi
Sesungguhnya,
Ini bermakna ia adalah antiterbitan untuk fungsi y = f(kx+m).
Maksud peraturan ketiga adalah seperti berikut. Jika anda tahu bahawa antiterbitan bagi fungsi y = f(x) ialah fungsi y = F(x), dan anda perlu mencari antiterbitan bagi fungsi y = f(kx+m), kemudian teruskan seperti ini: ambil fungsi yang sama F, tetapi bukannya hujah x, gantikan ungkapan kx+m; sebagai tambahan, jangan lupa untuk menulis "faktor pembetulan" sebelum tanda fungsi
Contoh 4. Cari antiderivatif untuk fungsi tertentu:
Penyelesaian, a) Antiterbitan untuk sin x ialah -soz x; Ini bermakna bahawa untuk fungsi y = sin2x antiterbitan akan menjadi fungsi
b) Antiterbitan bagi cos x ialah sin x; Ini bermakna antiterbitan fungsi ialah fungsi
c) Antiterbitan untuk x 7 bermakna bagi fungsi y = (4-5x) 7 antiterbitan akan menjadi fungsi
3. Kamiran tak tentu
Kami telah menyatakan di atas bahawa masalah mencari antiterbitan untuk fungsi tertentu y = f(x) mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. Mari kita bincangkan isu ini dengan lebih terperinci.
Bukti. 1. Biarkan y = F(x) menjadi antiterbitan bagi fungsi y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x daripada X kesamaan x"(x) = f(x) dipegang. Mari kita cari terbitan sebarang fungsi bagi bentuk y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Jadi, (F(x)+C) = f(x). Ini bermakna y = F(x) + C ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x).
Oleh itu, kita telah membuktikan bahawa jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y=F(x), maka fungsi (f = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, contohnya, sebarang fungsi dalam bentuk y = F(x) +C ialah antiterbitan.
2. Sekarang mari kita buktikan bahawa jenis fungsi yang ditunjukkan menghabiskan keseluruhan set antiderivatif.
Biarkan y=F 1 (x) dan y=F(x) ialah dua antiderivatif untuk fungsi Y = f(x) pada selang X. Ini bermakna bagi semua x dari selang X hubungan berikut dipegang: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Mari kita pertimbangkan fungsi y = F 1 (x) -.F(x) dan cari terbitannya: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Adalah diketahui bahawa jika terbitan fungsi pada selang X adalah sama dengan sifar, maka fungsi itu adalah malar pada selang X (lihat Teorem 3 daripada § 35). Ini bermakna F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.
Teorem telah terbukti.
Contoh 5. Hukum perubahan laju dengan masa diberikan: v = -5sin2t. Cari hukum gerakan s = s(t), jika diketahui bahawa pada masa t=0 koordinat titik adalah sama dengan nombor 1.5 (iaitu s(t) = 1.5).
Penyelesaian. Memandangkan kelajuan ialah terbitan koordinat sebagai fungsi masa, pertama sekali kita perlu mencari antiterbitan kelajuan, i.e. antiterbitan untuk fungsi v = -5sin2t. Salah satu antiderivatif tersebut ialah fungsi , dan set semua antiderivatif mempunyai bentuk:
Untuk mencari nilai khusus pemalar C, kita menggunakan keadaan awal, mengikut mana s(0) = 1.5. Menggantikan nilai t=0, S = 1.5 ke dalam formula (1), kita dapat:
Menggantikan nilai C yang ditemui ke dalam formula (1), kita memperoleh hukum gerakan yang menarik minat kita:
Definisi 2. Jika fungsi y = f(x) mempunyai antiterbitan y = F(x) pada selang X, maka set semua antiterbitan, i.e. set fungsi bentuk y = F(x) + C dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi y = f(x) dan dilambangkan dengan:
(baca: “kamiran tak tentu ef daripada x de x”).
Dalam perenggan seterusnya kita akan mengetahui apa itu maksud tersembunyi sebutan yang ditunjukkan.
Berdasarkan jadual antiterbitan yang terdapat dalam bahagian ini, kami akan menyusun jadual kamiran tak tentu utama:
Berdasarkan tiga peraturan di atas untuk mencari antiderivatif, kita boleh merumuskan peraturan penyepaduan yang sepadan.
Peraturan 1. Kamiran hasil tambah fungsi adalah sama dengan hasil tambah kamiran fungsi ini:
Peraturan 2. Faktor pemalar boleh diambil daripada tanda kamiran:
Peraturan 3. Jika
Contoh 6. Cari kamiran tak tentu:
Penyelesaian, a) Dengan menggunakan peraturan penyepaduan pertama dan kedua, kami memperoleh:
Sekarang mari kita gunakan formula penyepaduan ke-3 dan ke-4:
Hasilnya kami mendapat:
b) Menggunakan peraturan pengamiran ketiga dan formula 8, kita memperoleh:
c) Untuk mencari secara langsung kamiran yang diberikan, kita tidak mempunyai formula yang sepadan mahupun peraturan yang sepadan. Dalam kes sedemikian, transformasi serupa yang dilakukan sebelum ini bagi ungkapan yang terkandung di bawah tanda kamiran kadangkala membantu.
Jom ambil kesempatan formula trigonometri Pengurangan darjah:
Kemudian kita dapati secara berurutan:
A.G. Algebra Mordkovich gred ke-10
Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, Matematik di sekolah
