Hukum pengagihan. Poligon pengedaran

Muka surat 2

Secara grafik undang-undang pengedaran nilai diskret diberikan dalam bentuk poligon taburan yang dipanggil.  

Perwakilan grafik bagi siri pengedaran (lihat Rajah 5) dipanggil poligon pengedaran.  

Untuk mencirikan undang-undang pengedaran, tidak berterusan pembolehubah rawak Selalunya baris (jadual) dan poligon pengedaran digunakan.  

Untuk menggambarkannya, titik (Y Pi) (x - i Pa) dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat dan disambungkan oleh segmen garis. Poligon taburan memberikan gambaran visual anggaran sifat taburan pembolehubah rawak.  

Untuk kejelasan, undang-undang taburan pembolehubah rawak diskret juga boleh digambarkan secara grafik, yang mana titik (x/, p) dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat, dan kemudian disambungkan oleh segmen garisan Angka yang terhasil dipanggil poligon taburan.  

M (xn; pn) (hp - - nilai yang mungkin Xt pi - kebarangkalian yang sepadan) dan sambungkannya dengan segmen lurus. Angka yang terhasil dipanggil poligon taburan.  

Pertimbangkan taburan kebarangkalian jumlah mata pada dadu. Rajah di bawah menunjukkan poligon taburan bagi kes satu, dua dan tiga tulang.  

Dalam kes ini, bukannya poligon taburan pembolehubah rawak, fungsi ketumpatan taburan dibina, yang dipanggil fungsi taburan pembezaan dan mewakili undang-undang taburan pembezaan. Dalam teori kebarangkalian, ketumpatan taburan pembolehubah rawak x (x Xr) difahami sebagai had nisbah kebarangkalian nilai x jatuh ke dalam selang (x, x - Ax) kepada Ax, apabila Al; cenderung kepada sifar. Sebagai tambahan kepada fungsi pembezaan, fungsi taburan kamiran, yang sering dipanggil hanya fungsi taburan atau hukum taburan kamiran, digunakan untuk mencirikan taburan pembolehubah rawak.  

Dengan pembinaan ini, frekuensi relatif jatuh ke dalam selang akan sama dengan kawasan bar histogram yang sepadan, sama seperti kebarangkalian adalah sama dengan kawasan trapezium lengkung yang sepadan Jika taburan teori yang diandaikan sesuai dengan eksperimen, maka dengan n yang cukup besar dan pilihan selang yang berjaya (YJ-I, y. Kadangkala, untuk kejelasan perbandingan, poligon taburan dibina dengan menyambung secara berurutan titik tengah tapak atas bar histogram.  

Dengan memberikan m nilai yang berbeza dari 0 hingga i, kebarangkalian PQ, P RF - Pn diperolehi, yang diplotkan pada graf. Diberi p; z11, bina poligon taburan kebarangkalian.  

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret ialah sebarang korespondensi antara nilai yang mungkin dan kebarangkaliannya. Undang-undang boleh ditentukan secara jadual (siri pengedaran), secara grafik (poligon pengedaran, dll.) dan secara analitik.  

Mencari keluk taburan, dengan kata lain, mewujudkan taburan pembolehubah rawak itu sendiri, memungkinkan untuk mengkaji dengan lebih mendalam fenomena yang jauh daripada dinyatakan sepenuhnya oleh siri taburan tertentu. Dengan melukis kedua-dua lengkung taburan perataan yang ditemui dan poligon taburan yang dibina daripada populasi separa, penyelidik dapat melihat dengan jelas ciri-ciri wujud dalam fenomena yang dikaji. Terima kasih kepada ini, analisis statistik memfokuskan perhatian penyelidik pada sisihan data yang diperhatikan daripada beberapa perubahan semula jadi dalam fenomena, dan penyelidik menghadapi tugas untuk mengetahui sebab penyelewengan ini.  

Kemudian, abscissas (pada skala) diambil dari tengah selang, sepadan dengan bilangan bulan dengan penggunaan dalam selang ini. Hujung abscissas ini disambungkan dan dengan itu poligon, atau poligon taburan, diperolehi.  

Titik yang memberikan gambaran grafik hukum taburan pembolehubah rawak diskret pada satah koordinat nilai kuantiti - kebarangkalian nilai, biasanya disambungkan oleh segmen lurus dan hasil yang terhasil dipanggil angka geometri poligon pengedaran. Dalam Rajah. 3 dalam jadual 46 (serta dalam rajah 4 dan 5) poligon taburan ditunjukkan.  

diskret dipanggil pembolehubah rawak yang boleh mengambil nilai yang berasingan dan terpencil dengan kebarangkalian tertentu.

CONTOH 1. Bilangan kali jata itu muncul dalam tiga lambungan syiling. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, kebarangkalian mereka adalah sama:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

CONTOH 2. Bilangan elemen gagal dalam peranti yang terdiri daripada lima elemen. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5; kebarangkalian mereka bergantung kepada kebolehpercayaan setiap elemen.

Pembolehubah rawak diskret X boleh diberikan oleh siri pengagihan atau fungsi pengagihan (undang-undang pengagihan kamiran).

Dekat pengedaran ialah set semua nilai yang mungkin Xi dan kebarangkalian yang sepadan Ri = P(X = xi), ia boleh dinyatakan sebagai jadual:

x i				x n
p i				р n

Pada masa yang sama, kebarangkalian Ri memenuhi syarat

Ri= 1 kerana

di manakah bilangan nilai yang mungkin n mungkin terhingga atau tidak terhingga.

Perwakilan grafik siri pengedaran dipanggil poligon taburan . Untuk membinanya, kemungkinan nilai pembolehubah rawak ( Xi) diplotkan sepanjang paksi-x, dan kebarangkalian Ri- sepanjang paksi ordinat; mata Ai dengan koordinat ( Xi,рi) disambungkan dengan garis putus.

Fungsi pengedaran pembolehubah rawak X dipanggil fungsi F(X), yang nilainya pada titik itu X adalah sama dengan kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan kurang daripada nilai ini X, itu dia

F(x) = P(X< х).

Fungsi F(X) Untuk pembolehubah rawak diskret dikira dengan formula

F(X) = Ri , (1.10.1)

di mana penjumlahan dijalankan ke atas semua nilai i, untuk yang mana Xi< х.

CONTOH 3. Daripada kumpulan yang mengandungi 100 produk, yang mana terdapat 10 produk yang rosak, lima produk dipilih secara rawak untuk menyemak kualitinya. Bina satu siri pengedaran nombor rawak X produk rosak yang terkandung dalam sampel.

Penyelesaian. Oleh kerana dalam sampel bilangan produk yang rosak boleh terdiri daripada sebarang integer antara 0 hingga 5 termasuk, maka nilai yang mungkin Xi pembolehubah rawak X adalah sama:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Kebarangkalian R(X = k) bahawa sampel mengandungi dengan tepat k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produk yang rosak, sama

P (X = k) = .

Hasil daripada pengiraan menggunakan formula ini dengan ketepatan 0.001, kami memperoleh:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Menggunakan kesaksamaan untuk menyemak Rk=1, kami memastikan bahawa pengiraan dan pembundaran telah dilakukan dengan betul (lihat jadual).

x i
p i

CONTOH 4. Diberi satu siri taburan pembolehubah rawak X :

x i
p i

Cari fungsi taburan kebarangkalian F(X) pembolehubah rawak ini dan binanya.

Penyelesaian. Jika X£10 kemudian F(X)= P(X<X) = 0;

jika 10<X£20 kemudian F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jika 20<X£30 kemudian F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jika 30<X£40 kemudian F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jika 40<X£50 kemudian F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jika X> 50, kemudian F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Jawapan: Pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar X dengan nilai yang mungkin. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilainya X boleh menerima setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, iaitu salah satu daripada kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku:

Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf R dengan indeks yang sepadan:

Iaitu, taburan kebarangkalian pelbagai nilai boleh ditentukan oleh jadual taburan, di mana semua nilai yang diambil oleh pembolehubah rawak diskret yang diberikan ditunjukkan dalam baris atas, dan kebarangkalian nilai yang sepadan ditunjukkan di baris bawah. Oleh kerana peristiwa tidak serasi (3.1) membentuk kumpulan lengkap, maka, iaitu, jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan satu. Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan tidak boleh dibentangkan dalam bentuk jadual, kerana bilangan nilai pembolehubah rawak tersebut adalah tidak terhingga walaupun dalam selang masa yang terhad. Selain itu, kebarangkalian mendapat sebarang nilai tertentu adalah sifar. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita menentukan taburan ini, iaitu, kita menunjukkan dengan tepat kebarangkalian yang ada pada setiap peristiwa. Dengan ini kita akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan. Mari kita wujudkan bentuk di mana hukum taburan pembolehubah rawak tak selanjar boleh ditentukan X. Bentuk paling mudah untuk menentukan undang-undang ini ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian sepadannya:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	hlm 1	hlm 2	× × ×	p n

Kami akan memanggil jadual sedemikian satu siri taburan pembolehubah rawak X.

nasi. 3.1

Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka sering menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen garis lurus. Angka sedemikian dipanggil poligon pengedaran (Rajah 3.1). Poligon taburan, serta siri taburan, mencirikan pembolehubah rawak sepenuhnya. ia merupakan salah satu bentuk hukum pengagihan. Kadang-kadang apa yang dipanggil "mekanikal" tafsiran siri pengedaran adalah mudah. Mari kita bayangkan bahawa jisim tertentu sama dengan perpaduan diagihkan di sepanjang paksi absis supaya masuk n jisim tertumpu pada titik individu, masing-masing . Kemudian siri pengedaran ditafsirkan sebagai sistem titik bahan dengan beberapa jisim terletak pada paksi absis.

Pembolehubah rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain yang tidak diketahui terlebih dahulu. Terdapat pembolehubah rawak tidak berterusan (discrete) Dan berterusan taip. Kemungkinan nilai kuantiti tak selanjar boleh disenaraikan terlebih dahulu. Kemungkinan nilai kuantiti berterusan tidak boleh disenaraikan terlebih dahulu dan secara berterusan mengisi jurang tertentu.

Contoh pembolehubah rawak diskret:

1) Bilangan kali jata itu muncul dalam tiga lambungan syiling. (nilai yang mungkin 0;1;2;3)

2) Kekerapan penampilan jata dalam eksperimen yang sama. (nilai yang mungkin)

3) Bilangan elemen gagal dalam peranti yang terdiri daripada lima elemen. (Nilai yang mungkin 0;1;2;3;4;5)

Contoh pembolehubah rawak selanjar:

1) Abscissa (ordinat) titik hentaman apabila ditembak.

2) Jarak dari titik impak ke pusat sasaran.

3) Masa aktif peranti (tiub radio).

Pembolehubah rawak dilambangkan dengan huruf besar, dan kemungkinan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sepadan. Sebagai contoh, X ialah bilangan pukulan dengan tiga pukulan; nilai yang mungkin: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar X dengan kemungkinan nilai X 1, X 2, ..., X n. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilai X boleh mengambil setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, iaitu, satu daripada kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku.

Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf p dengan indeks yang sepadan:

Oleh kerana peristiwa yang tidak serasi membentuk kumpulan yang lengkap, maka

iaitu jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan 1. Jumlah kebarangkalian ini entah bagaimana diagihkan di antara nilai individu. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita mentakrifkan taburan ini, iaitu, kita menunjukkan dengan tepat kebarangkalian yang ada pada setiap peristiwa. (Ini akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak.)

Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. (Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan)

Bentuk paling mudah untuk menentukan hukum taburan pembolehubah rawak ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan.

Jadual 1.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

Jadual ini dipanggil berhampiran pengedaran pembolehubah rawak.

Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. (Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen garis lurus.)

Rajah 1 – poligon taburan

Angka ini dipanggil poligon pengedaran. Poligon pengedaran, seperti siri pengedaran, mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak; ia merupakan salah satu bentuk hukum agihan.

Contoh:

satu eksperimen dilakukan di mana peristiwa A mungkin muncul atau tidak Kebarangkalian peristiwa A = 0.3. Kami menganggap pembolehubah rawak X - bilangan kejadian A dalam eksperimen tertentu. Ia adalah perlu untuk membina satu siri dan poligon bagi taburan nilai X.

Jadual 2.

X i
P i	0,7	0,3

Rajah 2 - Fungsi pengedaran

Fungsi pengedaran ialah ciri sejagat bagi pembolehubah rawak. Ia wujud untuk semua pembolehubah rawak: tidak selanjar dan tidak selanjar. Fungsi taburan mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak dari sudut kebarangkalian, iaitu, ia adalah salah satu bentuk undang-undang taburan.

Untuk mencirikan secara kuantitatif taburan kebarangkalian ini, adalah mudah untuk menggunakan bukan kebarangkalian peristiwa X=x, tetapi kebarangkalian peristiwa X

Fungsi taburan F(x) kadangkala juga dipanggil fungsi taburan kumulatif atau hukum taburan kumulatif.

Sifat fungsi taburan pembolehubah rawak

1. Fungsi taburan F(x) ialah fungsi tidak menurun bagi hujahnya, iaitu untuk ;

2. Pada infiniti tolak:

3. Pada tambah infiniti:

Rajah 3 – graf fungsi taburan

Graf fungsi taburan secara umum, ia adalah graf bagi fungsi tidak menurun yang nilainya bermula dari 0 dan pergi ke 1.

Mengetahui siri taburan pembolehubah rawak, adalah mungkin untuk membina fungsi taburan pembolehubah rawak.

Contoh:

untuk keadaan contoh sebelumnya, bina fungsi taburan pembolehubah rawak.

Mari bina fungsi taburan X:

Rajah 4 – fungsi taburan X

Fungsi pengedaran mana-mana pembolehubah rawak diskret tak selanjar sentiasa ada fungsi langkah tak selanjar, lompatannya berlaku pada titik yang sepadan dengan nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan sama dengan kebarangkalian nilai ini. Jumlah semua lompatan fungsi pengedaran adalah sama dengan 1.

Apabila bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak meningkat dan selang antara mereka berkurangan, bilangan lompatan menjadi lebih besar, dan lompatan itu sendiri menjadi lebih kecil:

Rajah 5

Lengkung yang dilangkah menjadi lebih lancar:

Rajah 6

Pembolehubah rawak secara beransur-ansur menghampiri nilai selanjar, dan fungsi taburannya menghampiri fungsi selanjar. Terdapat juga pembolehubah rawak yang kemungkinan nilainya secara berterusan mengisi selang tertentu, tetapi yang mana fungsi pengedaran tidak berterusan di mana-mana. Dan pada titik tertentu ia pecah. Pembolehubah rawak sedemikian dipanggil bercampur.

Rajah 7

Konsep pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak

Pembolehubah rawak (disingkat: r.v.) dilambangkan dengan huruf Latin besar X, Y, Z,...(atau huruf Yunani huruf kecil ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi), dsb.), dan nilai yang mereka ambil adalah sepadan dalam huruf kecil x 1 , x 2 ,…, pada 1 , pukul 2 , pukul 3 …

Contoh Dengan. V. boleh hidangkan: 1) X- bilangan mata yang muncul semasa melontar dadu; 2) Y - bilangan pukulan sebelum pukulan pertama pada sasaran; 3) Z- masa operasi peranti tanpa masalah, dsb. (ketinggian seseorang, kadar pertukaran dolar, bilangan bahagian yang rosak dalam satu kelompok, suhu udara, kemenangan pemain, koordinat mata jika ia dipilih secara rawak pada, keuntungan syarikat, . ..).

Pembolehubah rawak XΏ w

X(w), i.e. X= X(w), wО Ώ (atau X = f(w)) (31)

Contoh 1. Percubaan terdiri daripada melambung syiling 2 kali. Pada PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), dengan w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, anda boleh pertimbangkan p. V. X- bilangan penampilan jata. S.v. X ialah fungsi acara asas w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. dengan nilai x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p i , di mana i = 1,2,3, ...,n,… .

Hukum pengagihan d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

Dengan. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	p 1	p 2	….	p n	…

Sejak peristiwa (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), iaitu .

(x 1 , p 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) dipanggil poligon(atau poligon) taburan(lihat Rajah 17).

Nilai rawak X adalah diskret, jika terdapat set nombor terhingga atau boleh dikira x 1 , x 2 , ..., x n begitu P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) hlm 1 + p 2 + p 3 +…= 1 (32)

Jumlah d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan kebarangkalian p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan kebarangkalian p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, dipanggil d.s. V. Z = X + Y, mengambil nilai z ij = x i + y j dengan kebarangkalian p ij = P( X = x i,Y = y j), untuk semua nilai yang ditentukan i dan j. Jika beberapa jumlah x i + y j bertepatan, kebarangkalian yang sepadan ditambah.

Dengan perbezaan d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan kebarangkalian p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan kebarangkalian p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, dipanggil d.s. V. Z = X - Y, mengambil nilai z ij = x i – y j dengan kebarangkalian p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), untuk semua nilai yang ditentukan i dan j. Jika beberapa perbezaan x i – y j bertepatan, kebarangkalian yang sepadan ditambah.

Kerja d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan kebarangkalian p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan kebarangkalian p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, dipanggil d.s. V. Z = X × Y, mengambil nilai z ij = x i × y j dengan kebarangkalian p ij = P( X = x i,Y = y j), untuk semua nilai yang ditentukan i dan j. Jika sesetengah produk x i × y j bertepatan, kebarangkalian yang sepadan ditambah.

d.s. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

Kejadian X dan Y (X = x i) = A i dan (Y = y j) = B j adalah bebas untuk sebarang i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Contoh 2. Terdapat 8 bola dalam urn, 5 daripadanya berwarna putih, selebihnya berwarna hitam. 3 bola diambil secara rawak daripadanya. Cari hukum taburan bilangan bola putih dalam sampel.