9. Berterusan nilai rawak, ciri berangkanya
Pembolehubah rawak berterusan boleh ditentukan menggunakan dua fungsi. Fungsi taburan kebarangkalian integral pembolehubah rawak X dipanggil fungsi yang ditakrifkan oleh kesamaan 
.
Fungsi kamiran memberi kaedah umum penetapan kedua-dua pembolehubah rawak diskret dan selanjar. Dalam kes pembolehubah rawak berterusan. Semua peristiwa: mempunyai kebarangkalian yang sama, sama dengan pertambahan fungsi kamiran pada selang ini, iaitu. Contohnya, untuk pembolehubah rawak diskret yang dinyatakan dalam contoh 26, kita mempunyai:
Oleh itu, graf fungsi kamiran bagi fungsi yang sedang dipertimbangkan ialah gabungan dua sinar dan tiga segmen selari dengan paksi Lembu.
Contoh 27. Pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh fungsi taburan kebarangkalian kamiran
.
Bina graf fungsi kamiran dan cari kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian, pembolehubah rawak X akan mengambil nilai dalam selang (0.5;1.5).
Penyelesaian. Pada selang waktu 
graf ialah garis lurus y = 0. Dalam selang 0 hingga 2 terdapat parabola yang diberikan oleh persamaan 
. Pada selang waktu 
Graf ialah garis lurus y = 1.
Kebarangkalian pembolehubah rawak X hasil daripada ujian akan mengambil nilai dalam selang (0.5;1.5) didapati menggunakan formula.
Justeru, .
Sifat fungsi taburan kebarangkalian kamiran:
Adalah mudah untuk menentukan hukum taburan pembolehubah rawak berterusan menggunakan fungsi lain, iaitu, fungsi ketumpatan kebarangkalian
.
Kebarangkalian bahawa nilai yang diandaikan oleh pembolehubah rawak X berada dalam selang 
, ditentukan oleh kesaksamaan 
.
Graf fungsi dipanggil keluk pengedaran. Secara geometri, kebarangkalian pembolehubah rawak X jatuh ke dalam selang adalah sama dengan luas trapezium lengkung yang sepadan yang dibatasi oleh lengkung taburan, paksi Ox dan garis lurus. 
.
Sifat fungsi ketumpatan kebarangkalian:
9.1. Ciri berangka pembolehubah rawak selanjar
Nilai yang dijangkakan(nilai purata) pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh kesamaan 
.
M(X) dilambangkan dengan A. Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan adalah serupa dengan kuantiti diskret, sifat:
Varians pembolehubah rawak diskret X dipanggil nilai yang dijangkakan kuasa dua sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya, i.e. . Untuk pembolehubah rawak berterusan, varians diberikan oleh formula 
.
Penyerakan mempunyai sifat berikut:
Sifat terakhir adalah sangat mudah digunakan untuk mencari varians pembolehubah rawak berterusan.
Konsep sisihan piawai diperkenalkan sama. Sisihan piawai selanjar pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians, i.e. 
.
Contoh 28. Pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian 
dalam selang (10;12), di luar selang ini nilai fungsi ialah 0. Cari 1) nilai parameter A, 2) jangkaan matematik M(X), varians 
, sisihan piawai, 3) fungsi kamiran 
dan membina graf bagi fungsi kamiran dan pembezaan.
1). Untuk mencari parameter A gunakan formula 
. Kami akan dapatkannya. Oleh itu, 
.
2). Untuk mencari jangkaan matematik, kami menggunakan formula: , dari mana ia mengikutinya 
.
Kami akan mencari varians menggunakan formula: 
, iaitu .
Mari cari sisihan piawai menggunakan formula: , dari mana kita mendapatnya 
.
3). Fungsi kamiran dinyatakan melalui fungsi ketumpatan kebarangkalian seperti berikut: 
. Oleh itu, 
di 
, = 0 pada 
u = 1 pada 
.
Graf fungsi ini dibentangkan dalam Rajah. 4. dan rajah. 5.
Rajah.4 Rajah.5.
9.2. Taburan kebarangkalian seragam bagi pembolehubah rawak berterusan
Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan X sama rata pada selang jika ketumpatan kebarangkaliannya adalah malar pada selang ini dan sama dengan sifar di luar selang ini, i.e. . Ia adalah mudah untuk menunjukkan bahawa dalam kes ini 
.
Jika selang 
terkandung dalam selang, kemudian 
.
Contoh 29. Peristiwa isyarat serta-merta mesti berlaku antara pukul satu dan lima. Masa menunggu isyarat ialah pembolehubah rawak X. Cari kebarangkalian isyarat itu akan dikesan antara pukul dua dan tiga petang.
Penyelesaian. Pembolehubah rawak X mempunyai taburan seragam, dan menggunakan formula kita dapati bahawa kebarangkalian isyarat akan berada di antara pukul 2 dan 3 petang adalah sama dengan 
.
Dalam kesusasteraan pendidikan dan lain-lain ia sering dilambangkan dalam kesusasteraan melalui 
.
9.3. Taburan kebarangkalian normal bagi pembolehubah rawak berterusan
Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar dipanggil normal jika hukum taburan kebarangkaliannya ditentukan oleh ketumpatan kebarangkalian 
. Untuk kuantiti sedemikian A- nilai jangkaan, 
- sisihan piawai.
Teorem. Kebarangkalian pembolehubah rawak selanjar taburan normal jatuh ke dalam selang tertentu 
ditentukan oleh formula 
, Di mana 
- Fungsi Laplace.
Akibat daripada teorem ini ialah peraturan tiga sigma, iaitu Hampir pasti bahawa pembolehubah rawak berterusan yang teragih normal X mengambil nilainya dalam selang 
. Peraturan ini boleh diperolehi daripada formula 
, yang merupakan kes khas teorem yang dirumuskan.
Contoh 30. Hayat pengendalian TV ialah pembolehubah rawak X, tertakluk kepada undang-undang taburan normal, dengan tempoh jaminan 15 tahun dan sisihan piawai 3 tahun. Cari kebarangkalian bahawa TV itu akan bertahan dari 10 hingga 20 tahun.
Penyelesaian. Mengikut keadaan masalah, jangkaan matematik A= 15, sisihan piawai.
Jom cari . Oleh itu, kebarangkalian TV beroperasi dari 10 hingga 20 tahun adalah lebih daripada 0.9.
9.4 Ketaksamaan Chebyshev
Berlaku Lemma Chebyshev. Jika pembolehubah rawak X hanya mengambil nilai bukan negatif dan mempunyai jangkaan matematik, maka untuk sebarang nilai positif V
.
Dengan mengambil kira bahawa , sebagai jumlah kebarangkalian peristiwa bertentangan, kita memperolehnya 
.
Teorem Chebyshev. Jika pembolehubah rawak X mempunyai varians terhingga 
dan jangkaan matematik M(X), kemudian bagi sebarang positif 
ketidaksamaan adalah benar
.
Dari mana ia mengikutinya 
.
Contoh 31. Sekumpulan bahagian telah dihasilkan. Panjang purata bahagian ialah 100 cm, dan sisihan piawai ialah 0.4 cm. Anggarkan di bawah kebarangkalian bahawa panjang bahagian yang diambil secara rawak ialah sekurang-kurangnya 99 cm. dan tidak lebih daripada 101cm.
Penyelesaian. Varians. Jangkaan matematik ialah 100. Oleh itu, untuk menganggarkan dari bawah kebarangkalian peristiwa berkenaan 
marilah kita menggunakan ketidaksamaan Chebyshev, di mana 
, Kemudian 
.
10. Elemen statistik matematik
Agregat statistik namakan satu set objek atau fenomena yang homogen. Nombor P elemen set ini dipanggil isipadu koleksi. Nilai yang diperhatikan 
sifat X dipanggil pilihan. Jika pilihan disusun dalam urutan yang semakin meningkat, maka kita dapat siri variasi diskret. Dalam kes pengelompokan, pilihan mengikut selang ternyata siri variasi selang. Di bawah kekerapan t nilai ciri memahami bilangan ahli populasi dengan varian tertentu.
Nisbah kekerapan kepada isipadu populasi statistik dipanggil frekuensi relatif tanda: 
.
Hubungan antara pilihan siri variasi dan frekuensi mereka dipanggil taburan statistik sampel. Perwakilan grafik taburan statistik boleh poligon kekerapan
Contoh 32. Dengan meninjau 25 pelajar tahun satu, data berikut tentang umur mereka diperoleh: 
. Karang taburan statistik pelajar mengikut umur, cari julat variasi, bina poligon frekuensi dan susun satu siri taburan frekuensi relatif.
Penyelesaian. Menggunakan data yang diperoleh daripada tinjauan, kami akan membuat taburan statistik sampel
|
Julat sampel variasi ialah 23 – 17 = 6. Untuk membina poligon frekuensi, bina titik dengan koordinat 
dan sambungkannya secara bersiri.
Siri taburan kekerapan relatif mempunyai bentuk:
|
10.1.Ciri berangka siri variasi
Biarkan sampel diberikan oleh satu siri taburan kekerapan ciri X:
|
|
|
|
||
|
|
|
Jumlah semua frekuensi adalah sama P.
Purata aritmetik bagi sampel namakan kuantiti 
.
Varians atau ukuran serakan nilai ciri X berhubung dengan min aritmetiknya dipanggil nilai 
. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians, i.e. .
Nisbah sisihan piawai kepada min aritmetik sampel, dinyatakan sebagai peratusan, dipanggil pekali variasi:
.
Fungsi taburan kekerapan relatif empirikal panggil fungsi yang menentukan bagi setiap nilai kekerapan relatif peristiwa 
, iaitu 
, Di mana 
- bilangan pilihan, lebih kecil X, A P- saiz sampel.
Contoh 33. Di bawah syarat contoh 32, cari ciri berangka 
.
Penyelesaian. Mari cari min aritmetik sampel menggunakan formula, kemudian .
Varians sifat X didapati dengan formula: , iaitu . Sisihan piawai sampel ialah 
. Pekali variasi ialah 
.
10.2. Anggaran kebarangkalian mengikut kekerapan relatif. Selang keyakinan
Biarlah ia dijalankan P percubaan bebas, dalam setiap satu kebarangkalian kejadian A adalah tetap dan sama dengan R. Dalam kes ini, kebarangkalian bahawa kekerapan relatif akan berbeza daripada kebarangkalian berlakunya peristiwa A dalam setiap percubaan dalam nilai mutlak adalah tidak lebih daripada dengan , adalah lebih kurang sama dengan dua kali ganda nilai fungsi kamiran Laplace: 
.
Anggaran selang panggil anggaran sedemikian, yang ditentukan oleh dua nombor yang merupakan penghujung selang yang meliputi parameter anggaran populasi statistik.
Selang keyakinan
dipanggil selang yang dengan diberi kebarangkalian keyakinan 
meliputi parameter anggaran populasi statistik. Memandangkan formula di mana kita menggantikan kuantiti yang tidak diketahui R kepada nilai anggarannya 
diperoleh daripada data sampel, kami memperoleh: 
. Formula ini digunakan untuk menganggar kebarangkalian mengikut kekerapan relatif. Nombor 
Dan 
dipanggil bawah dan, masing-masing, atas sempadan amanah, - ralat maksimum untuk kebarangkalian keyakinan yang diberikan 
.
Contoh 34. Bengkel kilang menghasilkan mentol lampu. Apabila memeriksa 625 lampu, 40 didapati rosak. Cari, dengan kebarangkalian keyakinan 0.95, sempadan di mana peratusan mentol lampu rosak yang dihasilkan oleh bengkel kilang terletak.
Penyelesaian. Mengikut syarat tugas. Kami menggunakan formula 
. Menggunakan Jadual 2 lampiran, kita dapati nilai hujah, di mana nilai fungsi kamiran Laplace adalah sama dengan 0.475. Kami dapat itu 
. Justeru, . Oleh itu, kita boleh mengatakan dengan kebarangkalian 0.95 bahawa bahagian kecacatan yang dihasilkan oleh bengkel adalah tinggi, iaitu, ia berbeza dari 6.2% hingga 6.6%.
10.3. Anggaran parameter dalam statistik
Biarkan ciri kuantitatif X keseluruhan populasi yang dikaji ( penduduk) Ia ada taburan normal.
Jika sisihan piawai diketahui, maka selang keyakinan, meliputi jangkaan matematik A 
, Di mana P- saiz sampel, 
- sampel min aritmetik, t ialah hujah fungsi kamiran Laplace, di mana 
. Dalam kes ini nombor 
dipanggil ketepatan anggaran.
Jika sisihan piawai tidak diketahui, maka daripada data sampel adalah mungkin untuk membina pembolehubah rawak yang mempunyai taburan Pelajar dengan P– 1 darjah kebebasan, yang ditentukan oleh hanya satu parameter P dan tidak bergantung kepada yang tidak diketahui A Dan . Taburan t pelajar walaupun untuk sampel kecil 
memberikan penilaian yang cukup memuaskan. Kemudian selang keyakinan meliputi jangkaan matematik A ciri ini dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan didapati daripada keadaan 
, dengan S ialah min kuasa dua yang dibetulkan, 
- Pekali pelajar, didapati daripada data 
daripada jadual 3 lampiran.
Selang keyakinan yang meliputi sisihan piawai ciri ini dengan kebarangkalian keyakinan didapati menggunakan formula: dan , di mana 
didapati daripada jadual nilai q
mengikut .
10.4. Kaedah statistik untuk mengkaji kebergantungan antara pembolehubah rawak
Kebergantungan korelasi Y pada X ialah kebergantungan fungsi purata bersyarat 
daripada X. Persamaan 
mewakili persamaan regresi Y pada X, dan 
- persamaan regresi X pada Y.
Kebergantungan korelasi boleh menjadi linear atau curvilinear. Dalam kes pergantungan korelasi linear, persamaan garis regresi lurus mempunyai bentuk: 
, di mana cerun A garis lurus regresi Y pada X dipanggil pekali regresi sampel Y pada X dan dilambangkan 
.
Untuk sampel kecil, data tidak dikumpulkan, parameter 
didapati mengikut kaedah petak terkecil daripada sistem persamaan normal:
, Di mana P– bilangan cerapan nilai pasangan kuantiti yang saling berkaitan.
Selektif pekali linear korelasi 
menunjukkan hubungan rapat antara Y dan X. Pekali korelasi didapati menggunakan formula 
, dan 
, iaitu:
Persamaan sampel garis regresi lurus Y pada X mempunyai bentuk:
.
Dengan sejumlah besar pemerhatian ciri X dan Y, jadual korelasi dengan dua input disusun, dengan nilai yang sama X diperhatikan 
kali, maksud yang sama di diperhatikan 
kali, pasangan yang sama 
diperhatikan 
sekali.
Contoh 35. Jadual pemerhatian bagi tanda X dan Y diberikan.
|
Cari persamaan sampel bagi garis regresi lurus Y pada X.
Penyelesaian. Hubungan antara ciri yang dikaji boleh dinyatakan dengan persamaan garis lurus regresi Y pada X: . Untuk mengira pekali persamaan, mari buat jadual pengiraan:
Pemerhatian no. |
|
|
||
Bab 6. Pembolehubah rawak berterusan.
§ 1. Ketumpatan dan fungsi taburan pembolehubah rawak berterusan.
Set nilai pembolehubah rawak berterusan tidak boleh dikira dan biasanya mewakili beberapa selang terhingga atau tak terhingga.
Pembolehubah rawak x(w) yang ditakrifkan dalam ruang kebarangkalian (W, S, P) dipanggil berterusan(berterusan mutlak) W, jika terdapat fungsi bukan negatif supaya bagi mana-mana x fungsi taburan Fx(x) boleh diwakili sebagai kamiran
Fungsi itu dipanggil fungsi ketumpatan taburan kebarangkalian.
Takrifan membayangkan sifat-sifat fungsi ketumpatan taburan:
1..gif" width="97" height="51">
3. Pada titik kesinambungan, ketumpatan taburan adalah sama dengan terbitan fungsi taburan: .
4. Ketumpatan taburan menentukan hukum taburan pembolehubah rawak, kerana ia menentukan kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang:
5. Kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan akan mengambil nilai tertentu ialah sifar: . Oleh itu, persamaan berikut adalah sah:
Graf fungsi ketumpatan taburan dipanggil keluk pengedaran, dan kawasan yang dibatasi oleh lengkung taburan dan paksi-x adalah sama dengan perpaduan. Kemudian, secara geometri, nilai fungsi taburan Fx(x) pada titik x0 ialah kawasan yang dibatasi oleh lengkung taburan dan paksi-x dan terletak di sebelah kiri titik x0.
Tugasan 1. Fungsi ketumpatan pembolehubah rawak selanjar mempunyai bentuk:
Tentukan pemalar C, bina fungsi taburan Fx(x) dan hitung kebarangkalian.
Penyelesaian. Pemalar C didapati daripada keadaan Kami mempunyai:
dari mana C=3/8.
Untuk membina fungsi pengedaran Fx(x), ambil perhatian bahawa selang membahagikan julat nilai argumen x (paksi berangka) kepada tiga bahagian: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
kerana ketumpatan x pada separuh paksi ialah sifar. Dalam kes kedua
Akhirnya, dalam kes terakhir, apabila x>2,
Oleh kerana ketumpatan hilang pada separuh paksi. Jadi, fungsi pengedaran diperoleh
Kebarangkalian Mari kita mengira menggunakan formula. Oleh itu,
§ 2. Ciri berangka pembolehubah rawak selanjar
Nilai yang dijangkakan untuk pembolehubah rawak teragih berterusan ditentukan oleh formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
jika kamiran di sebelah kanan menumpu secara mutlak.
Penyerakan x boleh dikira menggunakan formula 
, dan juga, seperti dalam kes diskret, mengikut formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Semua sifat jangkaan dan serakan matematik yang diberikan dalam Bab 5 untuk pembolehubah rawak diskret juga sah untuk pembolehubah rawak berterusan.
Masalah 2. Untuk pembolehubah rawak x daripada masalah 1, hitung jangkaan dan varians matematik .
Penyelesaian.
Dan itu bermakna
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Graf ketumpatan pengedaran seragam lihat rajah. .
Rajah 6.2. Fungsi pengedaran dan ketumpatan pengedaran. undang-undang seragam
Fungsi taburan Fx(x) pembolehubah rawak teragih seragam adalah sama dengan
Fx(x)= 
Jangkaan dan varians; .
Taburan eksponen (eksponen). Pembolehubah rawak berterusan x mengambil nilai bukan negatif mempunyai taburan eksponen dengan parameter l>0 jika taburan ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak adalah sama dengan
рx(x)= 
nasi. 6.3. Fungsi taburan dan ketumpatan taburan undang-undang eksponen.
Fungsi taburan taburan eksponen mempunyai bentuk
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> dan jika ketumpatan taburannya adalah sama dengan
.
Melalui menandakan set semua pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum biasa dengan parameter parameter dan .
Fungsi taburan pembolehubah rawak taburan normal adalah sama dengan
.
nasi. 6.4. Fungsi taburan dan ketumpatan taburan normal
Parameter taburan normal ialah jangkaan matematik https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Dalam kes khas apabila https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> taburan normal dipanggil standard, dan kelas pengedaran tersebut dilambangkan dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
dan fungsi pengedaran
Kamiran sedemikian tidak boleh dikira secara analitik (ia tidak diambil dalam "kuadrat"), dan oleh itu jadual telah disusun untuk fungsi tersebut. Fungsi ini berkaitan dengan fungsi Laplace yang diperkenalkan dalam Bab 4
,
oleh hubungan berikut 
. Dalam kes nilai parameter sewenang-wenangnya https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> fungsi taburan pembolehubah rawak berkaitan dengan fungsi Laplace menggunakan hubungan:
.
Oleh itu, kebarangkalian pembolehubah rawak taburan normal jatuh ke dalam selang boleh dikira menggunakan formula
.
Pembolehubah rawak bukan negatif x dipanggil log taburan normal jika logaritmanya h=lnx mematuhi hukum normal. Nilai jangkaan dan varians pembolehubah rawak teragih log normal ialah Mx= dan Dx=.
Tugasan 3. Biarkan pembolehubah rawak diberikan https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Penyelesaian. Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Pengedaran Laplace diberikan oleh fungsi fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> dan kurtosis ialah gx=3.
Rajah 6.5. Fungsi ketumpatan pengedaran Laplace.
Pembolehubah rawak x diedarkan ke atas undang-undang Weibull, jika ia mempunyai fungsi ketumpatan pengedaran sama dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Pengedaran Weibull mengawal masa operasi tanpa kegagalan banyak peranti teknikal. Dalam tugasan profil ini ciri penting ialah kadar kegagalan (kadar kematian) l(t) unsur-unsur umur t yang dikaji, ditentukan oleh hubungan l(t)=. Jika a=1, maka taburan Weibull bertukar menjadi taburan eksponen, dan jika a=2 - menjadi taburan yang dipanggil Rayleigh.
Jangkaan matematik taburan Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, dengan Г(а) ialah Euler fungsi. .
DALAM pelbagai tugas Dalam statistik yang digunakan, pengagihan yang dipanggil "dipotong" sering ditemui. Sebagai contoh, pihak berkuasa cukai berminat dalam pengagihan pendapatan individu yang pendapatan tahunannya melebihi ambang tertentu c0 yang ditetapkan oleh undang-undang cukai. Pengedaran ini ternyata lebih kurang bertepatan dengan pengedaran Pareto. Pengagihan pareto diberikan oleh fungsi
Fx(x)=P(x
Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Tugasan 4. Pembolehubah rawak diedarkan secara seragam pada segmen. Cari ketumpatan pembolehubah rawak.
Penyelesaian. Dari keadaan masalah ia mengikuti bahawa
Seterusnya, fungsi ialah fungsi monoton dan boleh dibezakan pada selang dan mempunyai fungsi songsang 
, yang terbitannya bersamaan dengan Oleh itu,
§ 5. Pasangan pembolehubah rawak selanjar
Biarkan dua pembolehubah rawak selanjar x dan h diberi. Kemudian pasangan (x, h) mentakrifkan titik "rawak" pada satah. Pasangan (x, h) dipanggil vektor rawak atau pembolehubah rawak dua dimensi.
Fungsi pengedaran bersama pembolehubah rawak x dan h dan fungsi dipanggil F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. ketumpatan sendi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak x dan h dipanggil fungsi sedemikian 
.
Maksud definisi ketumpatan agihan sendi ini adalah seperti berikut. Kebarangkalian bahawa "titik rawak" (x, h) akan jatuh ke kawasan pada satah dikira sebagai isipadu angka tiga dimensi - silinder "lengkung" yang dibatasi oleh permukaan https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Contoh paling mudah bagi taburan bersama dua pembolehubah rawak ialah dua dimensi pengedaran seragam pada setA. Biarkan set bersempadan M diberi dengan luas. Ia ditakrifkan sebagai taburan pasangan (x, h), ditakrifkan oleh ketumpatan sendi berikut:
Tugasan 5. Biarkan vektor rawak dua dimensi (x, h) teragih seragam di dalam segi tiga. Kira kebarangkalian ketaksamaan x>h.
Penyelesaian. Luas segi tiga yang ditunjukkan adalah sama dengan (lihat Rajah No.?). Berdasarkan takrifan taburan seragam dua dimensi, ketumpatan sendi pembolehubah rawak x, h adalah sama dengan
Peristiwa sepadan dengan set 
di atas kapal terbang, iaitu separuh satah. Kemudian kebarangkalian
Pada separuh satah B, ketumpatan sendi adalah sifar di luar set https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Oleh itu, separuh satah B dibahagikan kepada dua set dan https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> dan , dan kamiran kedua adalah sama dengan sifar, kerana ketumpatan sendi adalah sama dengan sifar. sebab tu
Jika ketumpatan taburan sendi bagi sepasang (x, h) diberikan, maka ketumpatan kedua-dua komponen x dan h dipanggil kepadatan persendirian dan dikira menggunakan formula:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Untuk pembolehubah rawak teragih berterusan dengan ketumpatan рx(х), рh(у), kebebasan bermaksud bahawa
Tugasan 6. Dalam keadaan masalah sebelumnya, tentukan sama ada komponen vektor rawak x dan h adalah bebas?
Penyelesaian. Mari kita mengira ketumpatan separa dan . Kami ada:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Jelas sekali, dalam kes kami https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> ialah ketumpatan bersama bagi kuantiti x dan h, dan j( x, y) ialah fungsi dua hujah, maka
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Tugasan 7. Dalam keadaan masalah sebelumnya, hitung .
Penyelesaian. Menurut formula di atas kita mempunyai:
.
Mewakili segitiga sebagai
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Ketumpatan hasil tambah dua pembolehubah rawak selanjar
Biarkan x dan h menjadi pembolehubah rawak bebas dengan ketumpatan https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Ketumpatan pembolehubah rawak x + h dikira dengan formula lilitan
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Kira ketumpatan jumlah.
Penyelesaian. Oleh kerana x dan h diedarkan mengikut hukum eksponen dengan parameter, ketumpatannya adalah sama
Oleh itu,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Jika x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">adalah negatif, dan oleh itu . Oleh itu, jika https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Maka kami mendapat jawapannya:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> taburan normal dengan parameter 0 dan 1. Pembolehubah rawak x1 dan x2 adalah bebas dan mempunyai taburan normal dengan parameter a1, dan a2, masing-masing. Buktikan bahawa x1 + x2 mempunyai taburan normal. Pembolehubah rawak x1, x2, ... xn diedarkan dan bebas serta mempunyai fungsi ketumpatan yang sama
.
Cari fungsi taburan dan ketumpatan taburan nilai:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)
Pembolehubah rawak x1, x2, ... xn adalah bebas dan teragih seragam pada selang [a, b]. Cari fungsi taburan dan fungsi ketumpatan taburan kuantiti
x(1) = min (x1,x2, ... xn) dan x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Buktikan bahawa Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Pembolehubah rawak diedarkan mengikut hukum Cauchy Cari: a) pekali a; b) fungsi pengagihan; c) kebarangkalian jatuh ke dalam selang (-1, 1). Tunjukkan bahawa jangkaan matematik bagi x tidak wujud. Pembolehubah rawak tertakluk kepada hukum Laplace dengan parameter l (l>0): Cari pekali a; membina graf ketumpatan taburan dan fungsi taburan; cari Mx dan Dx; cari kebarangkalian kejadian (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Tulis formula untuk ketumpatan taburan, cari Mx dan Dx.
Tugas pengiraan.
Titik rawak A mempunyai taburan seragam dalam bulatan berjejari R. Cari jangkaan dan varians matematik bagi jarak r titik ke pusat bulatan. Tunjukkan bahawa nilai r2 diagihkan secara seragam pada segmen. 
Ketumpatan taburan pembolehubah rawak mempunyai bentuk: 
Kira pemalar C, fungsi taburan F(x), dan kebarangkalian 
Ketumpatan taburan pembolehubah rawak mempunyai bentuk: 
Kira pemalar C, fungsi taburan F(x), dan kebarangkalian 
Ketumpatan taburan pembolehubah rawak mempunyai bentuk: 
Hitung pemalar C, fungsi taburan F(x), , varians dan kebarangkalian. Pembolehubah rawak mempunyai fungsi taburan 
Kira ketumpatan pembolehubah rawak, jangkaan matematik, varians dan kebarangkalian Semak bahawa fungsi = 
mungkin merupakan fungsi taburan pembolehubah rawak. Cari ciri berangka bagi kuantiti ini: Mx dan Dx. Pembolehubah rawak diedarkan secara seragam pada segmen. Tuliskan ketumpatan taburan. Cari fungsi taburan. Cari kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh pada segmen dan pada segmen. Ketumpatan taburan x adalah sama dengan
.
Cari pemalar c, ketumpatan taburan h = dan kebarangkalian
P (0.25 Masa operasi tanpa kegagalan komputer diedarkan mengikut undang-undang eksponen dengan parameter l = 0.05 (kegagalan sejam), iaitu, ia mempunyai fungsi ketumpatan p(x) = Menyelesaikan masalah tertentu memerlukan pengendalian mesin tanpa masalah selama 15 minit. Jika kegagalan berlaku semasa menyelesaikan masalah, ralat dikesan hanya selepas penyelesaian selesai, dan masalah diselesaikan semula. Cari: a) kebarangkalian bahawa semasa penyelesaian masalah tidak satu kegagalan pun akan berlaku; b) purata masa di mana masalah akan diselesaikan. Batang sepanjang 24 cm dipecahkan kepada dua bahagian; Kami akan menganggap bahawa titik putus diedarkan sama rata di sepanjang keseluruhan batang. Berapakah purata panjang kebanyakan batang itu? Sekeping panjang 12 cm dipotong secara rawak kepada dua bahagian. Titik potong diagihkan sama rata sepanjang keseluruhan segmen. Berapakah purata panjang bahagian kecil segmen itu? Pembolehubah rawak diedarkan secara seragam pada segmen. Cari ketumpatan taburan pembolehubah rawak a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . Tunjukkan bahawa jika x mempunyai fungsi taburan berterusan F(x) = P(x Cari fungsi ketumpatan dan fungsi taburan bagi hasil tambah dua kuantiti tak bersandar x dan h dengan undang-undang taburan seragam pada segmen dan, masing-masing. Pembolehubah rawak x dan h adalah bebas dan teragih seragam pada segmen dan, masing-masing. Kira ketumpatan hasil tambah x+h. Pembolehubah rawak x dan h adalah bebas dan teragih seragam pada segmen dan, masing-masing. Kira ketumpatan hasil tambah x+h. Pembolehubah rawak x dan h adalah bebas dan teragih seragam pada segmen dan, masing-masing. Kira ketumpatan hasil tambah x+h. Pembolehubah rawak adalah bebas dan mempunyai taburan eksponen dengan ketumpatan Fungsi pengedaran pembolehubah rawak X dipanggil fungsi F(X), menyatakan untuk setiap X kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada X:. Fungsi F(X) kadangkala dipanggil fungsi taburan integral, atau hukum integral pengagihan. Nilai rawak X dipanggil berterusan, jika fungsi pengedarannya berterusan pada mana-mana titik dan boleh dibezakan di mana-mana, kecuali, mungkin, pada titik individu. Contoh pembolehubah rawak berterusan: diameter bahagian yang dipusingkan oleh pemutar kepada saiz tertentu, ketinggian seseorang, julat penerbangan peluru, dsb. Teorem. Kebarangkalian mana-mana nilai individu pembolehubah rawak berterusan ialah sifar Akibat. Jika X ialah pembolehubah rawak berterusan, maka kebarangkalian pembolehubah rawak itu jatuh ke dalam selang Jika pembolehubah rawak berterusan X hanya boleh mengambil nilai antara A sebelum ini b(Di mana A Dan b- beberapa pemalar), maka fungsi pengedarannya adalah sama dengan sifar untuk semua nilai Semua sifat fungsi taburan pembolehubah rawak diskret juga berpuas hati untuk fungsi taburan pembolehubah rawak berterusan. Menentukan pembolehubah rawak berterusan menggunakan fungsi taburan bukanlah satu-satunya cara. Ketumpatan kebarangkalian
(ketumpatan pengedaran atau ketumpatan)
R(X) pembolehubah rawak berterusan X dipanggil derivatif fungsi taburannya Ketumpatan Kebarangkalian R(X), serta fungsi pengedaran F(X), ialah salah satu bentuk undang-undang pengedaran, tetapi tidak seperti fungsi pengedaran, ia hanya wujud untuk berterusan pembolehubah rawak. Ketumpatan kebarangkalian kadangkala dipanggil fungsi pembezaan, atau undang-undang pembahagian pembezaan. Graf ketumpatan kebarangkalian dipanggil lengkung taburan. Hartanah ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan: nasi. 8.1 nasi. 8.2 4.
Secara geometri, sifat ketumpatan kebarangkalian bermakna grafnya - lengkung taburan - tidak terletak di bawah paksi absis, dan jumlah luas rajah yang dibatasi oleh lengkung taburan dan paksi absis adalah sama dengan satu. Contoh 8.1. Jarum minit jam elektrik bergerak secara lompat-lompat setiap minit. Awak mengerling jam tangan awak. Mereka sedang menunjukkan A minit. Kemudian untuk anda masa sebenar pada masa tertentu akan menjadi pembolehubah rawak. Cari fungsi pengedarannya. Penyelesaian. Jelas sekali, fungsi pengagihan masa sebenar adalah sama dengan 0 untuk semua TENTANG nasi. 8.3 Contoh 8.2. Adakah fungsi taburan bagi beberapa pembolehubah rawak adalah fungsi Penyelesaian. Semua nilai fungsi ini tergolong dalam segmen Persamaan juga dipegang: Oleh itu, fungsi Contoh 8.3. Adakah fungsi taburan bagi beberapa pembolehubah rawak adalah fungsi Penyelesaian. Fungsi ini bukan fungsi taburan pembolehubah rawak, kerana antara nasi. 8.5 Contoh 8.4. Nilai rawak X diberikan oleh fungsi pengedaran Cari pekali A dan ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak X. Tentukan kebarangkalian ketaksamaan Penyelesaian. Ketumpatan taburan adalah sama dengan terbitan pertama bagi fungsi taburan Pekali A ditentukan menggunakan persamaan Keputusan yang sama boleh didapati menggunakan kesinambungan fungsi Oleh itu, Oleh itu ketumpatan kebarangkalian mempunyai bentuk Kebarangkalian Contoh 8.5. Nilai rawak X mempunyai ketumpatan kebarangkalian (hukum Cauchy) Cari pekali A dan kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil beberapa nilai daripada selang Penyelesaian. Mari cari pekali A daripada kesamarataan Oleh itu, Jadi, Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil beberapa nilai daripada selang Mari cari fungsi taburan pembolehubah rawak ini P nasi. 8.6 Penyelesaian. Dengan menggunakan graf, kami menulis ungkapan analitikal untuk ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak yang diberikan Mari cari fungsi pengedaran. Jika Jika Jika Jika Oleh itu, fungsi pengedaran mempunyai bentuk
Bab 1. Pembolehubah rawak diskret
§
1. Konsep pembolehubah rawak. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Definisi
: Rawak ialah kuantiti yang, hasil daripada ujian, hanya mengambil satu nilai daripada set kemungkinan nilainya, tidak diketahui terlebih dahulu dan bergantung pada sebab rawak. Terdapat dua jenis pembolehubah rawak: diskret dan berterusan. Definisi
: Pembolehubah rawak X dipanggil diskret
(tak berterusan) jika set nilainya adalah terhingga atau tidak terhingga tetapi boleh dikira. Dalam kata lain, nilai yang mungkin Pembolehubah rawak diskret boleh dinomborkan semula. Pembolehubah rawak boleh dihuraikan menggunakan hukum taburannya. Definisi
: Hukum taburan pembolehubah rawak diskret
panggil korespondensi antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X boleh ditentukan dalam bentuk jadual, di baris pertama yang mana semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak ditunjukkan dalam tertib menaik, dan di baris kedua kebarangkalian yang sepadan untuk ini. nilai, i.e. di mana р1+ р2+…+ рn=1 Jadual sedemikian dipanggil siri taburan pembolehubah rawak diskret. Jika set kemungkinan nilai pembolehubah rawak adalah tidak terhingga, maka siri p1+ p2+…+ pn+… menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan 1. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X boleh digambarkan secara grafik, yang mana garis putus dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat, menghubungkan titik secara berurutan dengan koordinat (xi; pi), i=1,2,…n. Barisan yang terhasil dipanggil poligon pengedaran
(Rajah 1). Kimia organik" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kimia organik masing-masing ialah 0.7 dan 0.8. Buat undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak X - bilangan peperiksaan yang akan dilalui oleh pelajar. Penyelesaian.
Pembolehubah rawak X yang dianggap sebagai hasil daripada peperiksaan boleh mengambil salah satu daripada nilai berikut: x1=0, x2=1, x3=2. Mari kita cari kebarangkalian nilai ini. Mari kita nyatakan peristiwa: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src="> Jadi, hukum taburan pembolehubah rawak X diberikan oleh jadual: Kawalan: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. Fungsi pengedaran Penerangan lengkap pembolehubah rawak juga diberikan oleh fungsi taburan. Definisi: Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret X
dipanggil fungsi F(x), yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada x: F(x)=P(X<х) Secara geometri, fungsi taburan ditafsirkan sebagai kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai yang diwakili pada garis nombor dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) ialah fungsi tidak menurun pada (-∞;+∞); 3) F(x) - selanjar di sebelah kiri pada titik x= xi (i=1,2,...n) dan selanjar pada semua titik lain; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Jika hukum taburan pembolehubah rawak diskret X diberikan dalam bentuk jadual: maka fungsi taburan F(x) ditentukan oleh formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 0 untuk x≤ x1, р1 pada x1< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 pada x2< х≤ х3 1 untuk x> xn. Grafnya ditunjukkan dalam Rajah 2: §
3. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret. Salah satu ciri berangka yang penting ialah jangkaan matematik. Definisi: Jangkaan matematik M(X)
pembolehubah rawak diskret X ialah hasil tambah semua nilainya dan kebarangkalian sepadannya: M(X) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Jangkaan matematik berfungsi sebagai ciri nilai purata pembolehubah rawak. Sifat jangkaan matematik:
1)M(C)=C, dengan C ialah nilai malar; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), dengan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas; 5)M(X±C)=M(X)±C, dengan C ialah nilai malar; Untuk mencirikan tahap serakan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret di sekeliling nilai min, serakan digunakan. Definisi:
Varians
D
(
X
)
pembolehubah rawak X ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya:
Sifat serakan:
1)D(C)=0, dengan C ialah nilai malar; 2)D(X)>0, dengan X ialah pembolehubah rawak; 3)D(C X)=C2 D(X), dengan C ialah nilai tetap; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dengan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas; Untuk mengira varians selalunya mudah untuk menggunakan formula: D(X)=M(X2)-(M(X))2, di mana M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn Varians D(X) mempunyai dimensi pembolehubah rawak kuasa dua, yang tidak selalunya mudah. Oleh itu, nilai √D(X) juga digunakan sebagai penunjuk serakan kemungkinan nilai pembolehubah rawak. Definisi: Sisihan piawai σ(X)
pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians: Tugasan No. 2. Pembolehubah rawak diskret X ditentukan oleh undang-undang taburan: Cari P2, fungsi taburan F(x) dan plot grafnya, serta M(X), D(X), σ(X). Penyelesaian:
Oleh kerana jumlah kebarangkalian nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak X adalah sama dengan 1, maka Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 Mari cari fungsi taburan F(x)=P(X Secara geometri, kesamaan ini boleh ditafsirkan seperti berikut: F(x) ialah kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai yang diwakili pada paksi nombor dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik x. Jika x≤-1, maka F(x)=0, kerana tiada nilai tunggal pembolehubah rawak ini pada (-∞;x); Jika -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Jika 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) terdapat dua nilai x1=-1 dan x2=0; Jika 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Jika 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Jika x>3, maka F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, kerana empat nilai x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 jatuh ke dalam selang (-∞;x) dan x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pada x≤-1, 0.1 pada -1<х≤0, 0.2 pada 0<х≤1, F(x)= 0.5 pada 1<х≤2, 0.7 pada 2<х≤3, 1 pada x>3 Mari kita wakili fungsi F(x) secara grafik (Rajah 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Undang-undang taburan binomial pembolehubah rawak diskret, hukum Poisson. Definisi: Binomial
dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak diskret X - bilangan kejadian peristiwa A dalam n percubaan berulang bebas, dalam setiap peristiwa A mungkin berlaku dengan kebarangkalian p atau tidak berlaku dengan kebarangkalian q = 1-p. Kemudian P(X=m) - kebarangkalian kejadian A tepat m kali dalam n percubaan dikira menggunakan formula Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai pembolehubah rawak X yang diedarkan mengikut hukum binari didapati, masing-masing, menggunakan formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Kebarangkalian peristiwa A - “melancarkan lima” dalam setiap percubaan adalah sama dan sama dengan 1/6 , iaitu P(A)=p=1/6, kemudian P(A)=1-p=q=5/6, di mana - "gagal mendapat A." Pembolehubah rawak X boleh mengambil nilai berikut: 0;1;2;3. Kami mencari kebarangkalian setiap nilai kemungkinan X menggunakan formula Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Itu. hukum taburan pembolehubah rawak X mempunyai bentuk: Kawalan: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Mari kita cari ciri berangka pembolehubah rawak X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tugasan No. 4. Mesin automatik mengecap bahagian. Kebarangkalian bahawa bahagian yang dikilang akan rosak ialah 0.002. Cari kebarangkalian bahawa antara 1000 bahagian terpilih akan ada: a) 5 rosak; b) sekurang-kurangnya satu rosak. Penyelesaian:
Nombor n=1000 adalah besar, kebarangkalian untuk menghasilkan bahagian yang rosak p=0.002 adalah kecil, dan peristiwa yang sedang dipertimbangkan (bahagian tersebut ternyata rosak) adalah bebas, oleh itu formula Poisson memegang: Рn(m)= e-
λ
λm Mari cari λ=np=1000 0.002=2. a) Cari kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Cari kebarangkalian bahawa terdapat sekurang-kurangnya satu bahagian yang rosak. Peristiwa A - "sekurang-kurangnya satu daripada bahagian yang dipilih rosak" ialah peristiwa bertentangan- “semua bahagian yang dipilih tidak rosak.” Oleh itu, P(A) = 1-P(). Oleh itu kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. Tugas untuk kerja bebas.
1.1
1.2.
Pembolehubah rawak tersebar X ditentukan oleh undang-undang taburan: Cari p4, fungsi taburan F(X) dan plot grafnya, serta M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Terdapat 9 penanda di dalam kotak, 2 daripadanya tidak lagi menulis. Ambil 3 penanda secara rawak. Pembolehubah rawak X ialah bilangan penanda penulisan antara yang diambil. Lukiskan hukum taburan pembolehubah rawak. 1.4.
Terdapat 6 buku teks yang disusun secara rawak di atas rak perpustakaan, 4 daripadanya dijilid. Pustakawan mengambil 4 buku teks secara rawak. Pembolehubah rawak X ialah bilangan buku teks terikat antara yang diambil. Lukiskan hukum taburan pembolehubah rawak. 1.5.
Terdapat dua tugas pada tiket. Kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah pertama dengan betul ialah 0.9, yang kedua ialah 0.7. Pembolehubah rawak X ialah bilangan masalah yang diselesaikan dengan betul dalam tiket. Buat undang-undang taburan, hitung jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini, dan juga cari fungsi taburan F(x) dan bina grafnya. 1.6.
Tiga penembak menembak sasaran. Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.5 untuk penembak pertama, 0.8 untuk penembak kedua, dan 0.7 untuk penembak ketiga. Pembolehubah rawak X ialah bilangan pukulan pada sasaran jika penembak melepaskan satu pukulan pada satu masa. Cari hukum taburan, M(X),D(X). 1.7.
Seorang pemain bola keranjang membaling bola ke dalam bakul dengan kebarangkalian untuk memukul setiap pukulan 0.8. Untuk setiap pukulan, dia menerima 10 mata, dan jika dia terlepas, tiada mata diberikan kepadanya. Buat undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak X - bilangan mata yang diterima oleh pemain bola keranjang dalam 3 pukulan. Cari M(X),D(X), serta kebarangkalian dia mendapat lebih daripada 10 mata. 1.8.
Huruf ditulis pada kad, jumlah 5 vokal dan 3 konsonan. 3 kad dipilih secara rawak, dan setiap kali kad yang diambil dikembalikan semula. Pembolehubah rawak X ialah bilangan vokal antara yang diambil. Lukiskan hukum taburan dan cari M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Secara purata, 60% daripada kontrak Syarikat insurans membayar jumlah insurans berkaitan dengan kejadian kejadian yang diinsuranskan. Wujudkan undang-undang pengedaran untuk pembolehubah rawak X - bilangan kontrak yang mana amaun insurans telah dibayar antara empat kontrak yang dipilih secara rawak. Cari ciri berangka bagi kuantiti ini. 1.10.
Stesen radio menghantar tanda panggilan (tidak lebih daripada empat) pada selang waktu tertentu sehingga komunikasi dua hala diwujudkan. Kebarangkalian untuk menerima respons kepada tanda panggilan ialah 0.3. Pembolehubah rawak X ialah bilangan tanda panggilan yang dihantar. Buat satu undang-undang taburan dan cari F(x). 1.11.
Terdapat 3 kunci, yang mana hanya satu yang sesuai dengan kunci. Wujudkan undang-undang untuk pengagihan pembolehubah rawak X-bilangan percubaan untuk membuka kunci, jika kunci yang dicuba tidak menyertai percubaan berikutnya. Cari M(X),D(X). 1.12.
Ujian bebas berturut-turut bagi tiga peranti dijalankan untuk kebolehpercayaan. Setiap peranti seterusnya diuji hanya jika yang sebelumnya ternyata boleh dipercayai. Kebarangkalian untuk lulus ujian bagi setiap peranti ialah 0.9. Buat undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak nombor X peranti yang diuji. 1.13
.Pembolehubah rawak diskret X mempunyai tiga nilai yang mungkin: x1=1, x2, x3 dan x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok peranti elektronik mengandungi 100 elemen yang sama. Kebarangkalian kegagalan setiap elemen dalam masa T ialah 0.002. Unsur-unsur berfungsi secara bebas. Cari kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada dua elemen akan gagal dalam masa T. 1.15.
Buku teks itu diterbitkan dalam edaran sebanyak 50,000 naskhah. Kebarangkalian buku teks dijilid secara salah ialah 0.0002. Cari kebarangkalian bahawa edaran itu mengandungi: a) empat buku yang rosak, b) kurang daripada dua buku yang rosak. 1
.16.
Bilangan panggilan yang tiba di PBX setiap minit diedarkan mengikut hukum Poisson dengan parameter λ=1.5. Cari kebarangkalian bahawa dalam satu minit perkara berikut akan tiba: a) dua panggilan; b) sekurang-kurangnya satu panggilan. 1.17.
Cari M(Z),D(Z) jika Z=3X+Y. 1.18.
Hukum taburan dua pembolehubah rawak bebas diberikan: Cari M(Z),D(Z) jika Z=X+2Y. Jawapan:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; 0 pada x≤-2, 0.3 pada -2<х≤0, F(x)= 0.5 pada 0<х≤2, 0.9 pada 2<х≤5, 1 pada x>5 0.3 pada -1<х≤0, 0.4 pada 0<х≤1, F(x)= 0.6 pada 1<х≤2, 0.7 pada 2<х≤3, 1 pada x>3 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 pada x≤0, 0.03 pada 0<х≤1, F(x)= 0.37 pada 1<х≤2, 1 untuk x>2 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 e-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; b) 0.00049 1.16.
a)0.0702; b)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Bab 2. Pembolehubah rawak berterusan
Definisi: Berterusan
Mereka memanggil kuantiti semua nilai yang mungkin yang mengisi sepenuhnya rentang terhingga atau tak terhingga garis nombor. Jelas sekali, bilangan kemungkinan nilai pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga. Pembolehubah rawak berterusan boleh ditentukan menggunakan fungsi taburan. Definisi: F fungsi pengagihan
pembolehubah rawak berterusan X dipanggil fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Fungsi pengedaran kadangkala dipanggil fungsi pengedaran kumulatif. Ciri-ciri fungsi pengedaran:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Untuk pembolehubah rawak berterusan, fungsi taburan adalah berterusan pada mana-mana titik dan boleh dibezakan di mana-mana, kecuali, mungkin, pada titik individu. 3) Kebarangkalian pembolehubah rawak X jatuh ke dalam salah satu selang (a;b), [a;b], [a;b], adalah sama dengan perbezaan antara nilai fungsi F(x) pada titik a dan b, i.e. R(a)<Х 4) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak berterusan X akan mengambil satu nilai berasingan ialah 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Menentukan pembolehubah rawak berterusan menggunakan fungsi taburan bukanlah satu-satunya cara. Mari kita perkenalkan konsep ketumpatan taburan kebarangkalian (ketumpatan taburan). Definisi
:
Ketumpatan taburan kebarangkalian
f
(
x
)
pembolehubah rawak selanjar X ialah terbitan bagi fungsi taburannya, iaitu: Fungsi ketumpatan kebarangkalian kadangkala dipanggil fungsi taburan pembezaan atau hukum taburan pembezaan. Graf taburan ketumpatan kebarangkalian f(x) dipanggil keluk taburan kebarangkalian
.
Sifat taburan ketumpatan kebarangkalian:
1) f(x) ≥0, di xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 pada x≤2, f(x)= c(x-2) pada 2<х≤6, 0 untuk x>6. Cari: a) nilai c; b) fungsi taburan F(x) dan plotkannya; c) P(3≤x<5) Penyelesaian:
+
∞ a) Kami mencari nilai c daripada keadaan normalisasi: ∫ f(x)dx=1. Oleh itu, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x jika 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 pada x≤2, F(x)= (x-2)2/16 pada 2<х≤6, 1 untuk x>6. Graf bagi fungsi F(x) ditunjukkan dalam Rajah 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 pada x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π pada 0<х≤√3, 1 untuk x>√3. Cari fungsi taburan pembezaan f(x) Penyelesaian:
Oleh kerana f(x)= F’(x), maka https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" lebar="118" ketinggian="24"> Semua sifat jangkaan dan serakan matematik, yang dibincangkan sebelum ini untuk pembolehubah rawak tersebar, juga sah untuk pembolehubah berterusan. Tugasan No. 3. Pembolehubah rawak X ditentukan oleh fungsi pembezaan f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Masalah untuk penyelesaian bebas.
2.1.
Pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh fungsi taburan: 0 pada x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pada π/6<х≤ π/3, 1 untuk x> π/3. Cari fungsi taburan pembezaan f(x), dan juga Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 pada x≤2, f(x)= c x pada 2<х≤4, 0 untuk x>4. 2.4.
Pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh ketumpatan taburan: 0 pada x≤0, f(x)= c √x pada 0<х≤1, 0 untuk x>1. Cari: a) nombor c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> pada x, 0 pada x. Cari: a) F(x) dan bina grafnya; b) M(X),D(X), σ(X); c) kebarangkalian bahawa dalam empat ujian bebas nilai X akan mengambil tepat 2 kali ganda nilai kepunyaan selang (1;4). 2.6.
Ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan X diberikan: f(x)= 2(x-2) pada x, 0 pada x. Cari: a) F(x) dan bina grafnya; b) M(X),D(X), σ (X); c) kebarangkalian bahawa dalam tiga percubaan bebas nilai X akan mengambil tepat 2 kali ganda nilai kepunyaan segmen . 2.7.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Fungsi f(x) diberikan sebagai: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Cari: a) nilai pemalar c di mana fungsi itu akan menjadi ketumpatan kebarangkalian bagi beberapa pembolehubah rawak X; b) fungsi taburan F(x). 2.9.
Pembolehubah rawak X, tertumpu pada selang (3;7), ditentukan oleh fungsi taburan F(x)= . Cari kebarangkalian itu pembolehubah rawak X akan mengambil nilai: a) kurang daripada 5, b) tidak kurang daripada 7. 2.10.
Pembolehubah rawak X, tertumpu pada selang (-1;4), diberikan oleh fungsi taburan F(x)= . Cari kebarangkalian itu pembolehubah rawak X akan mengambil nilai: a) kurang daripada 2, b) tidak kurang daripada 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Cari: a) nombor c; b) M(X); c) kebarangkalian P(X> M(X)). 2.12.
Pembolehubah rawak ditentukan oleh fungsi taburan pembezaan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Cari: a) M(X); b) kebarangkalian P(X≤M(X)) 2.13.
Taburan Rem diberikan oleh ketumpatan kebarangkalian: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> untuk x ≥0. Buktikan bahawa f(x) sememangnya fungsi ketumpatan kebarangkalian. 2.14.
Ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan X diberikan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Gamb. 4) 2.16.
Pembolehubah rawak X diedarkan mengikut hukum “ segi tiga tepat"dalam selang (0;4) (Rajah 5). Cari ungkapan analitikal untuk ketumpatan kebarangkalian f(x) pada keseluruhan garis nombor. Jawapan
0 pada x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pada π/6<х≤ π/3, 0 untuk x> π/3. Pembolehubah rawak selanjar X mempunyai undang-undang seragam pengedaran pada selang tertentu (a;b), yang mengandungi semua kemungkinan nilai X, jika ketumpatan taburan kebarangkalian f(x) adalah malar pada selang ini dan sama dengan 0 di luarnya, i.e. 0 untuk x≤a, f(x)= untuk a<х 0 untuk x≥b. Graf bagi fungsi f(x) ditunjukkan dalam Rajah. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" lebar="30" tinggi="37">, D(X)=, σ(X)=. Tugasan No 1. Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam pada segmen. Cari: a) ketumpatan taburan kebarangkalian f(x) dan plotkannya; b) fungsi taburan F(x) dan plotkannya; c) M(X),D(X), σ(X). Penyelesaian:
Menggunakan formula yang dibincangkan di atas, dengan a=3, b=7, kita dapati: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> pada 3≤х≤7, 0 untuk x>7 Mari bina grafnya (Gamb. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 pada x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Gamb. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" lebar="37" ketinggian="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 pada x<0, f(x)= λе-λх untuk x≥0. Fungsi taburan pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut hukum eksponen, diberikan oleh formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Oleh itu, jangkaan matematik dan sisihan piawai bagi taburan eksponen adalah sama antara satu sama lain. Kebarangkalian X jatuh ke dalam selang (a;b) dikira dengan formula: P(a<Х Tugasan No. 2. Purata masa operasi tanpa kegagalan peranti ialah 100 jam. Dengan mengandaikan bahawa masa operasi tanpa kegagalan peranti mempunyai undang-undang pengedaran eksponen, cari: a) ketumpatan taburan kebarangkalian; b) fungsi pengagihan; c) kebarangkalian bahawa masa operasi tanpa kegagalan peranti akan melebihi 120 jam. Penyelesaian:
Mengikut syarat, taburan matematik M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) f(x)= 0.01e -0.01x untuk x≥0. b) F(x)= 0 pada x<0, 1-e -0.01x pada x≥0. c) Kami mencari kebarangkalian yang diingini menggunakan fungsi taburan: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Undang-undang pengedaran biasa Definisi:
Pembolehubah rawak selanjar X mempunyai undang-undang taburan normal (undang-undang Gauss),
jika ketumpatan pengedarannya mempunyai bentuk: dengan m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Keluk taburan normal dipanggil lengkung normal atau Gaussian
(Gamb.7) Fungsi taburan pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut hukum normal, dinyatakan melalui fungsi Laplace Ф (x) mengikut formula: di manakah fungsi Laplace. Ulasan:
Fungsi Ф(x) adalah ganjil (Ф(-х)=-Ф(х)), sebagai tambahan, untuk x>5 kita boleh andaikan Ф(х) ≈1/2. Graf bagi fungsi taburan F(x) ditunjukkan dalam Rajah. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Kebarangkalian itu nilai mutlak sisihan kurang daripada nombor positif δ dikira dengan formula: Khususnya, untuk m=0 persamaan berikut berlaku: "Peraturan Tiga Sigma"
Jika pembolehubah rawak X mempunyai hukum taburan normal dengan parameter m dan σ, maka hampir pasti nilainya terletak pada selang (a-3σ; a+3σ), kerana https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" lebar="157" ketinggian="57 src=">a) b) Mari kita gunakan formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Daripada jadual nilai fungsi Ф(х) kita dapati Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Jadi, kebarangkalian yang dikehendaki: P(28 Tugas untuk kerja bebas
3.1.
Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam dalam selang (-3;5). Cari: b) fungsi pengagihan F(x); c) ciri berangka; d) kebarangkalian P(4<х<6). 3.2.
Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam pada segmen. Cari: a) ketumpatan taburan f(x); b) fungsi pengagihan F(x); c) ciri berangka; d) kebarangkalian P(3≤х≤6). 3.3.
Terdapat lampu isyarat automatik di lebuh raya, di mana lampu hijau menyala selama 2 minit, kuning selama 3 saat, merah selama 30 saat, dll. Sebuah kereta memandu di sepanjang lebuh raya pada masa yang rawak. Cari kebarangkalian bahawa sebuah kereta akan melepasi lampu isyarat tanpa berhenti. 3.4.
Kereta api bawah tanah berjalan dengan kerap pada selang waktu 2 minit. Seorang penumpang memasuki platform secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa penumpang perlu menunggu lebih daripada 50 saat untuk kereta api? Cari jangkaan matematik pembolehubah rawak X - masa menunggu kereta api. 3.5.
Cari varians dan sisihan piawai bagi taburan eksponen yang diberikan oleh fungsi taburan: F(x)= 0 pada x<0, 1-8x untuk x≥0. 3.6.
Pembolehubah rawak berterusan X ditentukan oleh ketumpatan taburan kebarangkalian: f(x)= 0 pada x<0, 0.7 e-0.7x pada x≥0. a) Namakan hukum taburan pembolehubah rawak yang sedang dipertimbangkan. b) Cari fungsi taburan F(X) dan ciri berangka pembolehubah rawak X. 3.7.
Pembolehubah rawak X diedarkan mengikut hukum eksponen yang ditentukan oleh ketumpatan taburan kebarangkalian: f(x)= 0 pada x<0, 0.4 e-0.4 x pada x≥0. Cari kebarangkalian bahawa hasil daripada ujian X akan mengambil nilai daripada selang (2.5;5). 3.8.
Pembolehubah rawak berterusan X diedarkan mengikut hukum eksponen yang ditentukan oleh fungsi taburan: F(x)= 0 pada x<0, 1-0.6x pada x≥0 Cari kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian itu, X akan mengambil nilai daripada segmen itu. 3.9.
Nilai jangkaan dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak taburan normal masing-masing ialah 8 dan 2. Cari: a) ketumpatan taburan f(x); b) kebarangkalian bahawa hasil daripada ujian X akan mengambil nilai daripada selang (10;14). 3.10.
Pembolehubah rawak X bertaburan normal dengan jangkaan matematik 3.5 dan varians 0.04. Cari: a) ketumpatan taburan f(x); b) kebarangkalian bahawa hasil daripada ujian X akan mengambil nilai daripada segmen . 3.11.
Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Antara peristiwa: |X|≤0.6 atau |X|≥0.6 yang manakah lebih berkemungkinan? 3.12.
Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Dari selang (-0.5;-0.1) atau (1;2) yang manakah lebih berkemungkinan untuk mengambil nilai semasa satu ujian? 3.13.
Harga semasa sesaham boleh dimodelkan menggunakan hukum taburan normal dengan M(X)=10 den. unit dan σ (X)=0.3 den. unit Cari: a) kebarangkalian bahawa harga saham semasa adalah daripada 9.8 den. unit sehingga 10.4 hari unit; b) menggunakan "peraturan tiga sigma", cari sempadan di mana harga saham semasa akan ditempatkan. 3.14.
Bahan ditimbang tanpa ralat sistematik. Ralat penimbang rawak tertakluk kepada hukum biasa dengan nisbah min kuasa dua σ=5g. Cari kebarangkalian bahawa dalam empat eksperimen bebas ralat dalam tiga penimbang tidak akan berlaku dalam nilai mutlak 3r. 3.15.
Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=12.6. Kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang (11.4;13.8) ialah 0.6826. Cari sisihan piawai σ. 3.16.
Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=12 dan D(X)=36. Cari selang di mana pembolehubah rawak X akan jatuh hasil daripada ujian dengan kebarangkalian 0.9973. 3.17.
Bahagian yang dikeluarkan oleh mesin automatik dianggap rosak jika sisihan X parameter terkawalnya daripada nilai nominal melebihi modulo 2 unit ukuran. Diandaikan bahawa pembolehubah rawak X bertaburan secara normal dengan M(X)=0 dan σ(X)=0.7. Berapakah peratus bahagian yang rosak yang dihasilkan oleh mesin itu? 3.18.
Parameter X bahagian diedarkan secara normal dengan jangkaan matematik 2 sama dengan nilai nominal dan sisihan piawai 0.014. Cari kebarangkalian bahawa sisihan X daripada nilai nominal tidak akan melebihi 1% daripada nilai nominal. Jawapan
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 untuk x≤-3, F(x)= kiri"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Penyerakan pembolehubah rawak berterusan X, nilai yang mungkin dimiliki oleh keseluruhan paksi Ox, ditentukan oleh kesamaan: Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka untuk menyelesaikan masalah di mana sama ada ketumpatan pengedaran f(x) atau fungsi taburan F(x) (lihat contoh). Biasanya dalam tugas sedemikian anda perlu mencari jangkaan matematik, sisihan piawai, fungsi plot f(x) dan F(x). Arahan. Pilih jenis data sumber: ketumpatan taburan f(x) atau fungsi taburan F(x). Ketumpatan taburan f(x) diberikan: Fungsi taburan F(x) diberikan: Pembolehubah rawak berterusan ditentukan oleh ketumpatan kebarangkalian Pembolehubah rawak X dipanggil berterusan
, jika fungsi taburannya F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Cari ketumpatan taburan jumlahnya. Cari taburan hasil tambah pembolehubah rawak bebas x dan h, di mana x mempunyai taburan seragam pada selang, dan h mempunyai taburan eksponen dengan parameter l. Cari P 
, jika x mempunyai: a) taburan normal dengan parameter a dan s2; b) taburan eksponen dengan parameter l; c) pengedaran seragam pada segmen [-1;1]. Taburan bersama bagi x, h ialah seragam kuasa dua
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Cari kebarangkalian 
. Adakah x dan h bebas? Sepasang pembolehubah rawak x dan h diedarkan secara seragam di dalam segitiga K=. Hitung ketumpatan x dan h. Adakah pembolehubah rawak ini bebas? Cari kebarangkalian. Pembolehubah rawak x dan h adalah bebas dan teragih seragam pada segmen dan [-1,1]. Cari kebarangkalian. Pembolehubah rawak dua dimensi (x, h) diedarkan secara seragam dalam segi empat sama dengan bucu (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Cari nilai fungsi taburan bersama pada titik (1, -1). Vektor rawak (x, h) diedarkan secara seragam di dalam bulatan jejari 3 berpusat pada asalan. Tulis ungkapan untuk ketumpatan taburan sendi. Tentukan sama ada pembolehubah rawak ini bersandar. Kira kebarangkalian. Sepasang pembolehubah rawak x dan h diedarkan secara seragam di dalam trapezium dengan bucu pada titik (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Cari ketumpatan taburan bersama untuk pasangan pembolehubah rawak ini dan ketumpatan komponen. Adakah x dan h bergantung? Sepasang rawak (x, h) diedarkan secara seragam di dalam separuh bulatan. Cari ketumpatan x dan h, siasat persoalan pergantungan mereka. Ketumpatan gabungan dua pembolehubah rawak x dan h adalah sama dengan 
.
Cari ketumpatan x, h. Menyiasat persoalan pergantungan x dan h. Sepasang rawak (x, h) diedarkan secara seragam pada set. Cari ketumpatan x dan h, siasat persoalan pergantungan mereka. Cari M(xh). Pembolehubah rawak x dan h adalah bebas dan diedarkan mengikut hukum eksponen dengan parameter Cari
.
tidak bergantung pada sama ada selang ini terbuka atau tertutup, i.e.
dan unit untuk nilai 
.Untuk pembolehubah rawak berterusan
.
.
dan unit untuk 
. Masa mengalir sama rata. Oleh itu, kebarangkalian bahawa masa sebenar adalah kurang A+ 0.5 min, bersamaan dengan 0.5, kerana ia berkemungkinan sama sama ada ia lulus selepas itu A kurang atau lebih daripada setengah minit. Kebarangkalian bahawa masa sebenar adalah kurang A+ 0.25 min, bersamaan dengan 0.25 (kebarangkalian masa ini adalah tiga kali kurang daripada kebarangkalian bahawa masa sebenar lebih besar A+ 0.25 min, dan jumlahnya adalah sama dengan satu, sebagai jumlah kebarangkalian peristiwa bertentangan). Menaakul yang sama, kami mendapati bahawa kebarangkalian bahawa masa sebenar adalah kurang A+ 0.6 min, sama dengan 0.6. Secara umum, kebarangkalian bahawa masa sebenar adalah kurang A
+ + α
min 
, adalah sama α
. Oleh itu, fungsi taburan masa sebenar mempunyai ungkapan berikut:
on adalah berterusan di mana-mana, dan terbitannya berterusan di semua titik, kecuali dua: x = a Dan x = a+ 1. Graf fungsi ini kelihatan seperti (Rajah 8.3):
, iaitu 
. Fungsi F(X) tidak berkurangan: dalam selang waktu 
ia adalah malar, sama dengan sifar, dalam selang waktu 
meningkat di antara 
juga malar, sama dengan perpaduan (lihat Rajah 8.4). Fungsi ini berterusan pada setiap titik X 0 kawasan definisinya - selang 
, oleh itu berterusan di sebelah kiri, i.e. kesaksamaan dipegang
,
.
,
.
memenuhi semua ciri ciri fungsi taburan. Jadi fungsi ini 
ialah fungsi taburan bagi beberapa pembolehubah rawak X.
ia berkurangan dan tidak berterusan. Graf fungsi ditunjukkan dalam Rajah. 8.5.
.
,
.
pada titik 
,
.
.
hits pembolehubah rawak X dalam tempoh tertentu dikira dengan formula
.
. Cari fungsi taburan pembolehubah rawak ini.
,
.
.
, adalah sama
Contoh 8.6. Plot ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak X ditunjukkan dalam Rajah. 8.6 (undang-undang Simpson). Tulis ungkapan untuk ketumpatan kebarangkalian dan fungsi taburan pembolehubah rawak ini.
, Itu 
.
, Itu .
, Itu
, Itu
1.2.
p4=0.1; 0 pada x≤-1,
(Gamb.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤a,
,
Lengkung normal adalah simetri berkenaan dengan garis lurus x=m, mempunyai maksimum pada x=a, sama dengan .
,
(Undang-undang pengedaran Rayleigh - digunakan dalam kejuruteraan radio). Cari M(x) , D(x) .
Fungsi taburan pembolehubah rawak selanjar digunakan untuk mengira kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang tertentu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Selain itu, untuk pembolehubah rawak berterusan, tidak kira sama ada sempadannya dimasukkan dalam selang ini atau tidak:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Ketumpatan pengedaran
pembolehubah rawak selanjar dipanggil fungsi
f(x)=F’(x) , terbitan bagi fungsi taburan.Sifat ketumpatan pengedaran
1. Ketumpatan taburan pembolehubah rawak adalah bukan negatif (f(x) ≥ 0) untuk semua nilai x.
2. Keadaan normalisasi:
Makna geometri keadaan normalisasi: kawasan di bawah lengkung ketumpatan taburan adalah sama dengan perpaduan.
3. Kebarangkalian pembolehubah rawak X jatuh ke dalam selang dari α ke β boleh dikira menggunakan formula 
Secara geometri, kebarangkalian pembolehubah rawak berterusan X jatuh ke dalam selang (α, β) adalah sama dengan luas trapezium lengkung di bawah lengkung ketumpatan taburan berdasarkan selang ini.
4. Fungsi taburan dinyatakan dari segi ketumpatan seperti berikut:
Nilai ketumpatan taburan pada titik x tidak sama dengan kebarangkalian menerima nilai ini; untuk pembolehubah rawak berterusan kita hanya boleh bercakap tentang kebarangkalian jatuh ke dalam selang tertentu. biarkan )
