5.2. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran
Pada pandangan pertama, nampaknya untuk mentakrifkan pembolehubah rawak diskret sudah cukup untuk menyenaraikan semua nilai yang mungkin. Sebenarnya ini tidak begitu: pembolehubah rawak boleh mempunyai senarai yang sama nilai yang mungkin, dan kebarangkalian mereka adalah berbeza. Oleh itu, untuk menentukan pembolehubah rawak diskret, adalah tidak mencukupi untuk menyenaraikan semua nilai yang mungkin anda juga perlu menunjukkan kebarangkaliannya.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret panggil surat-menyurat antara nilai yang mungkin dan kebarangkalian mereka; ia boleh ditentukan secara jadual, analitikal (dalam bentuk formula) dan grafik.
Definisi. Mana-mana peraturan (jadual, fungsi, graf) yang membolehkan anda mencari kebarangkalian peristiwa sewenang-wenangnya A S (S– -algebra peristiwa dalam ruang ), khususnya, menunjukkan kebarangkalian nilai individu bagi pembolehubah rawak atau satu set nilai ini, dipanggil undang-undang taburan pembolehubah rawak(atau ringkasnya: pengedaran). Mengenai s.v. mereka mengatakan bahawa "ia mematuhi undang-undang pengedaran yang diberikan."
biarlah X– d.s.v., yang mengambil nilai X 1 , X 2 , …, x n,… (set nilai ini adalah terhingga atau boleh dikira) dengan beberapa kebarangkalian hlm i, Di mana i = 1,2,…, n,… Undang-undang pengedaran d.s.v. mudah untuk ditetapkan menggunakan formula hlm i = P{X = x i)Di mana i = 1,2,…, n,..., yang menentukan kebarangkalian bahawa akibat daripada eksperimen r.v. X akan mengambil nilai x i. Untuk d.s.v. X undang-undang pengagihan boleh diberikan dalam bentuk jadual pengedaran:
|
x n | |||||
|
R n |
Apabila menentukan hukum taburan pembolehubah rawak diskret dalam jadual, baris pertama jadual mengandungi nilai yang mungkin, dan yang kedua - kebarangkalian mereka. jadual sedemikian dipanggil berhampiran pengedaran.
Dengan mengambil kira bahawa dalam satu percubaan pembolehubah rawak mengambil satu dan hanya satu nilai yang mungkin, kami membuat kesimpulan bahawa peristiwa X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n membentuk kumpulan yang lengkap; oleh itu, jumlah kebarangkalian kejadian ini, i.e. jumlah kebarangkalian baris kedua jadual adalah sama dengan satu, iaitu .
Jika set nilai yang mungkin X tak terhingga (dikira), kemudian siri R 1 + R 2 + ... menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan satu.
Contoh. Terdapat 100 tiket yang dikeluarkan untuk loteri tunai. Satu kemenangan sebanyak 50 rubel diundi. dan sepuluh kemenangan 1 gosok. Cari hukum taburan pembolehubah rawak X– kos kemungkinan kemenangan bagi pemilik satu tiket loteri.
Penyelesaian. Mari kita tulis nilai yang mungkin X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Kebarangkalian nilai yang mungkin ini ialah: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Mari kita tulis undang-undang pengedaran yang diperlukan:
Kawalan: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.
Contoh. Terdapat 8 bola dalam urn, 5 daripadanya berwarna putih, selebihnya berwarna hitam. 3 bola diambil secara rawak daripadanya. Cari hukum taburan bilangan bola putih dalam sampel.
Penyelesaian. Kemungkinan nilai r.v. X– terdapat bilangan bola putih dalam sampel X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Kebarangkalian mereka adalah sewajarnya
;
;
.
Marilah kita menulis hukum taburan dalam bentuk jadual.
|
|
|
|
|
Kawalan: 
.
Undang-undang pengagihan d.s.v. boleh ditentukan secara grafik jika kemungkinan nilai r.v diplot pada paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot pada paksi ordinat. garis putus yang menghubungkan titik berturut-turut ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... dipanggil poligon(atau poligon) pengedaran(lihat Rajah 5.1).
nasi. 5.1. Poligon pengedaran
Sekarang anda boleh memberi lebih banyak definisi yang tepat d.s.v.
Definisi. Nilai rawak X adalah diskret, jika terdapat set nombor terhingga atau boleh dikira X 1 , X 2 , ... seperti itu P{X = x i } = hlm i > 0 (i= 1,2,…) dan hlm 1 + hlm 2 + R 3 +… = 1.
Mari kita takrifkan operasi matematik pada r.v diskret.
Definisi.Jumlah (beza, kerja) d.s.v. X, mengambil nilai x i dengan kebarangkalian hlm i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, dan d.s.v. Y, mengambil nilai y j dengan kebarangkalian hlm j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, dipanggil d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), mengambil nilai z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) dengan kebarangkalian hlm ij = P{X = x i , Y = y j) untuk semua nilai yang ditentukan i Dan j. Jika beberapa jumlah bertepatan x i + y j (perbezaan x i – y j, berfungsi x i y j) kebarangkalian yang sepadan ditambah.
Definisi.Kerja d.s.v. pada nombor s dipanggil d.s.v. cX, mengambil nilai Denganx i dengan kebarangkalian hlm i = P{X = x i }.
Definisi. Dua d.s.v. X Dan Y dipanggil bebas, jika peristiwa ( X = x i } = A i Dan ( Y = y j } = B j bebas untuk mana-mana i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, itu dia
Jika tidak r.v. dipanggil bergantung. Beberapa r.v. dipanggil saling bebas jika undang-undang pengedaran mana-mana daripada mereka tidak bergantung pada nilai yang mungkin diambil oleh kuantiti lain.
Mari kita pertimbangkan beberapa undang-undang pengedaran yang paling biasa digunakan.
Dalam bahagian kursus yang ditumpukan kepada konsep asas teori kebarangkalian, kami telah pun memperkenalkan konsep pembolehubah rawak yang amat penting. Di sini kami akan memberi perkembangan selanjutnya konsep ini dan menunjukkan cara pembolehubah rawak boleh diterangkan dan dicirikan.
Seperti yang telah disebutkan, pembolehubah rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain, ia tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Kami juga bersetuju untuk membezakan antara pembolehubah rawak selanjar (diskrit) dan jenis berterusan. Kemungkinan nilai kuantiti tak selanjar boleh disenaraikan terlebih dahulu. Kemungkinan nilai kuantiti berterusan tidak boleh disenaraikan terlebih dahulu dan secara berterusan mengisi jurang tertentu.
Contoh pembolehubah rawak tak selanjar:
1) bilangan penampilan jata semasa tiga lambungan syiling (nilai yang mungkin 0, 1, 2, 3);
2) kekerapan penampilan jata dalam eksperimen yang sama (nilai yang mungkin);
3) bilangan elemen gagal dalam peranti yang terdiri daripada lima elemen (nilai yang mungkin ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) bilangan pukulan pada pesawat yang mencukupi untuk melumpuhkannya (nilai yang mungkin 1, 2, 3, ..., n, ...);
5) bilangan pesawat yang ditembak jatuh dalam pertempuran udara (nilai yang mungkin 0, 1, 2, ..., N, di mana jumlah bilangan pesawat yang mengambil bahagian dalam pertempuran).
Contoh pembolehubah rawak selanjar:
1) abscissa (ordinat) titik hentaman apabila ditembak;
2) jarak dari titik hentaman ke pusat sasaran;
3) ralat meter ketinggian;
4) masa operasi bebas kegagalan tiub radio.
Marilah kita bersetuju dalam perkara berikut untuk menandakan pembolehubah rawak dengan huruf besar, dan nilai yang mungkin mereka dengan huruf kecil yang sepadan. Sebagai contoh, – bilangan pukulan dengan tiga pukulan; nilai yang mungkin: .
Mari kita pertimbangkan pembolehubah rawak tak selanjar dengan nilai yang mungkin. Setiap nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilai X boleh mengambil setiap daripada mereka dengan beberapa kebarangkalian. Hasil daripada eksperimen, nilai X akan mengambil salah satu daripada nilai ini, i.e. Salah satu kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi akan berlaku:
Mari kita nyatakan kebarangkalian kejadian ini dengan huruf p dengan indeks yang sepadan:
Oleh kerana peristiwa yang tidak serasi (5.1.1) membentuk kumpulan yang lengkap, maka
mereka. jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah sama dengan satu. Jumlah kebarangkalian ini entah bagaimana diagihkan antara nilai individu. Pembolehubah rawak akan diterangkan sepenuhnya dari sudut kebarangkalian jika kita menentukan taburan ini, i.e. Mari kita nyatakan dengan tepat kebarangkalian setiap peristiwa (5.1.1). Dengan ini kita akan mewujudkan apa yang dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak.
Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Kami akan mengatakan tentang pembolehubah rawak bahawa ia tertakluk kepada undang-undang pengedaran yang diberikan.
Mari kita wujudkan bentuk di mana hukum taburan pembolehubah rawak tak selanjar boleh ditentukan. Bentuk yang paling mudah Takrifan undang-undang ini ialah jadual yang menyenaraikan kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan:
Kami akan memanggil jadual sedemikian sebagai siri taburan pembolehubah rawak.
Untuk memberikan siri pengedaran penampilan yang lebih visual, mereka sering menggunakan perwakilan grafiknya: nilai kemungkinan pembolehubah rawak diplot di sepanjang paksi absis, dan kebarangkalian nilai ini diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk kejelasan, titik yang terhasil disambungkan oleh segmen lurus. Angka sedemikian dipanggil poligon pengedaran (Rajah 5.1.1). Poligon pengedaran, seperti siri pengedaran, mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak; ia merupakan salah satu bentuk hukum agihan.
Kadang-kadang apa yang dipanggil "mekanikal" tafsiran siri pengedaran adalah mudah. Mari kita bayangkan bahawa jisim tertentu bersamaan dengan satu diedarkan di sepanjang paksi absis dengan cara masing-masing jisim tertumpu pada titik individu. Kemudian siri pengedaran ditafsirkan sebagai sistem titik bahan dengan beberapa jisim terletak pada paksi absis.
Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pembolehubah rawak tak selanjar dengan undang-undang pengedarannya.
Contoh 1. Satu eksperimen dilakukan di mana peristiwa itu mungkin muncul atau tidak. Kebarangkalian kejadian ialah 0.3. Pembolehubah rawak dipertimbangkan - bilangan kejadian peristiwa dalam eksperimen tertentu (iaitu pembolehubah rawak ciri sesuatu peristiwa, mengambil nilai 1 jika ia muncul dan 0 jika ia tidak muncul). Bina siri taburan dan poligon taburan magnitud.
Penyelesaian. Nilai hanya mempunyai dua nilai: 0 dan 1.
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.2.
Contoh 2. Seorang penembak melepaskan tiga das tembakan ke arah sasaran. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan setiap pukulan ialah 0.4. Untuk setiap pukulan penembak mendapat 5 mata. Bina satu siri pengedaran untuk bilangan mata yang diperoleh.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan bilangan mata yang dijaringkan. Nilai yang mungkin: .
Kami mencari kebarangkalian nilai ini menggunakan teorem pada pengulangan eksperimen:
Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.3.
Contoh 3. Kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku dalam satu eksperimen adalah sama dengan . Satu siri eksperimen bebas dijalankan, yang berterusan sehingga kejadian pertama kejadian, selepas itu eksperimen dihentikan. Pembolehubah rawak – bilangan eksperimen yang dilakukan. Bina satu siri taburan nilai.
Penyelesaian. Nilai yang mungkin: 1, 2, 3, ... (secara teorinya mereka tidak dihadkan oleh apa-apa). Untuk kuantiti mengambil nilai 1, adalah perlu bahawa peristiwa itu berlaku dalam eksperimen pertama; kebarangkalian ini adalah sama. Agar kuantiti mengambil nilai 2, adalah perlu bahawa peristiwa itu tidak muncul dalam percubaan pertama, tetapi muncul dalam percubaan kedua; kebarangkalian ini adalah sama dengan , di mana , dsb. Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Lima ordinat pertama poligon taburan bagi kes ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.4.
Contoh 4. Penembak menembak sasaran sehingga terkena pertama, mempunyai 4 butir peluru. Kebarangkalian pukulan untuk setiap pukulan ialah 0.6. Bina satu siri pengedaran untuk jumlah peluru yang masih belum dibelanjakan.
Penyelesaian. Pembolehubah rawak - bilangan kartrij yang tidak digunakan - mempunyai empat nilai yang mungkin: 0, 1, 2 dan 3. Kebarangkalian nilai ini adalah sama, masing-masing:
Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.5.
Contoh 5. Peranti teknikal boleh digunakan dalam pelbagai keadaan dan, bergantung pada ini, memerlukan pelarasan dari semasa ke semasa. Apabila menggunakan peranti sekali, ia mungkin secara rawak jatuh ke dalam mod yang menguntungkan atau tidak menguntungkan. Dalam mod yang menggalakkan, peranti boleh menahan tiga kegunaan tanpa pelarasan; sebelum yang keempat ia perlu diselaraskan. Dalam mod yang tidak menguntungkan, peranti mesti dilaraskan selepas penggunaan pertama. Kebarangkalian bahawa peranti akan jatuh ke dalam mod yang menguntungkan ialah 0.7, dan bahawa ia akan jatuh ke dalam mod yang tidak menguntungkan ialah 0.3. Pembolehubah rawak dipertimbangkan - bilangan penggunaan peranti sebelum pelarasan. Bina siri pengedarannya.
Penyelesaian. Pembolehubah rawak mempunyai tiga nilai yang mungkin: 1, 2 dan 3. Kebarangkalian bahawa , adalah sama dengan kebarangkalian bahawa pada kali pertama peranti digunakan, ia akan jatuh ke dalam mod yang tidak menguntungkan, i.e. . Agar nilai mengambil nilai 2, peranti mesti berada dalam mod yang menggalakkan semasa penggunaan pertama, dan dalam mod yang tidak menguntungkan semasa penggunaan kedua; kemungkinan ini 
. Untuk nilai mengambil nilai 3, peranti mesti berada dalam mod yang menggalakkan dua kali pertama (selepas kali ketiga ia masih perlu dilaraskan). Kebarangkalian ini adalah sama 
.
Siri pengedaran nilai mempunyai bentuk:
Poligon taburan ditunjukkan dalam Rajah. 5.1.6.
Fungsi pengedaran
Dalam n° sebelumnya kami memperkenalkan siri taburan sebagai ciri lengkap (undang-undang taburan) pembolehubah rawak tak selanjar. Walau bagaimanapun, ciri ini tidak universal; ia wujud hanya untuk pembolehubah rawak tak selanjar. Adalah mudah untuk melihat bahawa adalah mustahil untuk membina ciri sedemikian untuk pembolehubah rawak berterusan. Sesungguhnya, pembolehubah rawak berterusan mempunyai bilangan nilai yang mungkin tidak terhingga, mengisi sepenuhnya selang tertentu (yang dipanggil "set boleh dikira"). Adalah mustahil untuk membuat jadual yang menyenaraikan semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak tersebut. Selain itu, seperti yang akan kita lihat kemudian, setiap nilai individu pembolehubah rawak berterusan biasanya tidak mempunyai sebarang kebarangkalian bukan sifar. Akibatnya, untuk pembolehubah rawak berterusan tidak ada siri taburan dalam erti kata di mana ia wujud untuk pembolehubah tak selanjar. Walau bagaimanapun, kawasan yang berbeza bagi kemungkinan nilai pembolehubah rawak masih tidak sama kemungkinannya, dan untuk pembolehubah berterusan terdapat "taburan kebarangkalian", walaupun tidak dalam erti kata yang sama seperti pembolehubah tidak selanjar.
Untuk mencirikan secara kuantitatif taburan kebarangkalian ini, adalah mudah untuk menggunakan ketakmungkinan kejadian , dan kebarangkalian kejadian , di mana terdapat beberapa pembolehubah semasa. Kebarangkalian kejadian ini jelas bergantung kepada , terdapat beberapa fungsi . Fungsi ini dipanggil fungsi taburan pembolehubah rawak dan dilambangkan dengan:
. (5.2.1)
Fungsi pengagihan kadangkala juga dipanggil fungsi pengagihan kumulatif atau undang-undang pengagihan kumulatif.
Fungsi taburan ialah ciri paling universal bagi pembolehubah rawak. Ia wujud untuk semua pembolehubah rawak: tidak selanjar dan berterusan. Fungsi taburan mencirikan sepenuhnya pembolehubah rawak dari sudut kebarangkalian, i.e. merupakan salah satu bentuk hukum pengagihan.
Mari kita rumuskan beberapa sifat umum fungsi taburan.
1. Fungsi pengedaran ialah fungsi tidak menurun bagi hujahnya, i.e. di .
2. Pada infiniti tolak, fungsi taburan adalah sama dengan sifar: .
3. Pada tambah infiniti, fungsi taburan adalah sama dengan satu: .
Tanpa memberikan bukti yang kukuh tentang sifat-sifat ini, kami akan menggambarkannya menggunakan tafsiran geometri visual. Untuk melakukan ini, kami akan mempertimbangkan pembolehubah rawak sebagai titik rawak pada paksi Lembu (Rajah 5.2.1), yang sebagai hasil percubaan boleh mengambil satu kedudukan atau yang lain. Kemudian fungsi taburan ialah kebarangkalian bahawa titik rawak hasil eksperimen akan jatuh ke kiri titik.
Kami akan meningkatkan , iaitu, gerakkan titik ke kanan di sepanjang paksi abscissa. Jelas sekali, dalam kes ini, kebarangkalian bahawa titik rawak akan jatuh ke kiri tidak boleh berkurangan; oleh itu, fungsi taburan tidak boleh berkurangan dengan peningkatan.
Untuk memastikan bahawa , kami akan mengalihkan titik ke kiri sepanjang abscissa selama-lamanya. Dalam kes ini, memukul titik rawak ke kiri dalam had menjadi peristiwa yang mustahil; Adalah wajar untuk mempercayai bahawa kebarangkalian peristiwa ini cenderung kepada sifar, i.e. .
Dengan cara yang sama, mengalihkan titik ke kanan tanpa had, kami memastikan bahawa , memandangkan acara itu boleh dipercayai dalam had.
Graf fungsi taburan dalam kes am ialah graf bagi fungsi tidak menurun (Rajah 5.2.2), yang nilainya bermula dari 0 dan mencapai 1, dan pada titik tertentu fungsi itu mungkin mempunyai lompatan (ketakselanjaran).
Mengetahui siri taburan pembolehubah rawak tak selanjar, seseorang boleh membina fungsi taburan pembolehubah ini dengan mudah. sungguh,
,
di mana ketaksamaan di bawah tanda jumlah menunjukkan bahawa penjumlahan digunakan untuk semua nilai yang kurang daripada .
Apabila pembolehubah semasa melalui mana-mana nilai yang mungkin bagi nilai tak selanjar, fungsi pengedaran berubah secara mendadak, dan magnitud lompatan adalah sama dengan kebarangkalian nilai ini.
Contoh 1. Satu eksperimen dilakukan di mana peristiwa itu mungkin muncul atau tidak. Kebarangkalian kejadian ialah 0.3. Pembolehubah rawak – bilangan kejadian peristiwa dalam eksperimen (pembolehubah rawak ciri sesuatu peristiwa). Bina fungsi pengedarannya.
Pengalaman ialah sebarang pelaksanaan syarat dan tindakan tertentu di mana fenomena rawak yang sedang dikaji diperhatikan. Eksperimen boleh dicirikan secara kualitatif dan kuantitatif. Kuantiti rawak ialah kuantiti yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu.
Pembolehubah rawak biasanya dilambangkan (X,Y,Z), dan nilai yang sepadan (x,y,z)
Diskret ialah pembolehubah rawak yang mengambil nilai individu yang diasingkan antara satu sama lain yang boleh dianggarkan terlalu tinggi. Kuantiti berterusan nilai yang mungkin secara berterusan mengisi julat tertentu. Hukum taburan pembolehubah rawak ialah sebarang hubungan yang mewujudkan hubungan antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian yang sepadan. Barisan pengedaran dan poligon. Bentuk termudah undang-undang pengagihan nilai diskret ialah siri pengedaran. Tafsiran grafik siri pengedaran ialah poligon pengedaran.
Anda juga boleh mendapatkan maklumat yang anda minati dalam enjin carian saintifik Otvety.Online. Gunakan borang carian:
Lebih lanjut mengenai topik 13. Pembolehubah rawak diskret. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak, contoh:
- 13. Pembolehubah rawak diskret dan hukum taburannya. Poligon pengedaran. Operasi dengan pembolehubah rawak. Contoh.
- Konsep "pembolehubah rawak" dan penerangannya. Pembolehubah rawak diskret dan hukumnya (siri) taburan. Pembolehubah rawak bebas. Contoh.
- 14. Pembolehubah rawak, jenisnya. Hukum taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak diskret (DRV). Kaedah untuk membina pembolehubah rawak (SV).
- 16. Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret: jangkaan matematik, serakan dan sisihan piawai.
- Operasi matematik ke atas pembolehubah rawak diskret dan contoh membina hukum taburan untuk KX, X"1, X + K, XV berdasarkan taburan pembolehubah rawak bebas X dan Y yang diberi.
- Konsep pembolehubah rawak. Undang-undang pengagihan kes diskret. kuantiti. Operasi matematik secara rawak. kuantiti.
Pembolehubah rawak: diskret dan berterusan.
Apabila menjalankan eksperimen stokastik, ruang peristiwa asas terbentuk - kemungkinan hasil eksperimen ini. Adalah dipercayai bahawa pada ruang ini acara asas ada diberikan nilai rawak X, jika undang-undang (peraturan) diberikan mengikut mana setiap peristiwa asas dikaitkan dengan nombor. Oleh itu, pembolehubah rawak X boleh dianggap sebagai fungsi yang ditakrifkan pada ruang peristiwa asas.
■ Pembolehubah rawak- kuantiti yang mengambil satu atau satu lagi untuk setiap ujian nilai angka(tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu), bergantung kepada sebab rawak yang tidak boleh diambil kira terlebih dahulu. Pembolehubah rawak ditunjukkan dalam huruf besar abjad Latin, dan kemungkinan nilai pembolehubah rawak adalah kecil. Jadi, apabila melontar dadu, satu peristiwa berlaku dikaitkan dengan nombor x, di mana x ialah bilangan mata yang digulung. Bilangan mata adalah pembolehubah rawak, dan nombor 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah nilai yang mungkin untuk nilai ini. Jarak yang akan ditempuh oleh peluru apabila ditembak dari pistol juga merupakan pembolehubah rawak (bergantung pada pemasangan penglihatan, kekuatan dan arah angin, suhu dan faktor lain), dan nilai kemungkinan nilai ini tergolong. kepada selang waktu tertentu (a; b).
■ Pembolehubah rawak diskret– pembolehubah rawak yang mengambil nilai yang mungkin berasingan dan terpencil dengan kebarangkalian tertentu. Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh menjadi terhingga atau tidak terhingga.
■ Pembolehubah rawak berterusan– pembolehubah rawak yang boleh mengambil semua nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.
Sebagai contoh, bilangan mata yang dibaling semasa membaling dadu, markah untuk ujian adalah pembolehubah rawak diskret; jarak peluru terbang apabila menembak dari pistol, ralat pengukuran penunjuk masa untuk menguasai bahan pendidikan, ketinggian dan berat seseorang adalah pembolehubah rawak berterusan.
Hukum taburan pembolehubah rawak– korespondensi antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya, i.e. Setiap nilai yang mungkin x i dikaitkan dengan kebarangkalian p i yang mana pembolehubah rawak boleh mengambil nilai ini. Hukum taburan pembolehubah rawak boleh ditentukan secara jadual (dalam bentuk jadual), analitikal (dalam bentuk formula), dan grafik.
Biarkan pembolehubah rawak diskret X mengambil nilai x 1 , x 2 , …, x n dengan kebarangkalian p 1 , p 2 , …, p n masing-masing, i.e. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Apabila menentukan hukum taburan kuantiti ini dalam jadual, baris pertama jadual mengandungi nilai yang mungkin x 1 , x 2 , ..., x n , dan baris kedua mengandungi kebarangkaliannya
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| hlm | p 1 | p2 | … | p n |
Hasil daripada ujian, pembolehubah rawak diskret X mengambil satu dan hanya satu daripada nilai yang mungkin, oleh itu peristiwa X=x 1, X=x 2, ..., X=x n membentuk kumpulan lengkap yang tidak serasi berpasangan peristiwa, dan, oleh itu, jumlah kebarangkalian peristiwa ini adalah sama dengan satu , i.e. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Poligon taburan (poligon).
Seperti yang anda ketahui, pembolehubah rawak ialah pembolehubah yang boleh mengambil nilai tertentu bergantung pada kes itu. Pembolehubah rawak menandakan dalam huruf besar Abjad Latin (X, Y, Z), dan maknanya - dalam huruf kecil yang sepadan (x, y, z). Pembolehubah rawak dibahagikan kepada tak selanjar (discrete) dan selanjar.
Pembolehubah rawak diskret ialah pembolehubah rawak yang hanya mengambil set nilai terhingga atau tak terhingga (boleh dikira) dengan kebarangkalian bukan sifar tertentu.
Hukum taburan pembolehubah rawak diskret ialah fungsi yang menghubungkan nilai pembolehubah rawak dengan kebarangkalian sepadannya. Undang-undang pengedaran boleh dinyatakan dalam salah satu cara berikut.
1. Undang-undang pengedaran boleh diberikan oleh jadual:
di mana λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) menggunakan fungsi taburan F(x), yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada x, i.e. F(x) = P(X< x).
 |
Sifat fungsi F(x)
3. Undang-undang pengedaran boleh ditentukan secara grafik - oleh poligon pengedaran (poligon) (lihat tugasan 3).
Ambil perhatian bahawa untuk menyelesaikan beberapa masalah adalah tidak perlu mengetahui undang-undang pengedaran. Dalam sesetengah kes, cukup untuk mengetahui satu atau lebih nombor yang paling mencerminkan ciri penting undang-undang pengedaran. Ini mungkin nombor yang mempunyai maksud "purata" pembolehubah rawak, atau nombor yang menunjukkan saiz purata sisihan pembolehubah rawak daripada nilai minnya. Nombor jenis ini dipanggil ciri berangka pembolehubah rawak.
Ciri berangka asas pembolehubah rawak diskret:
- Jangkaan matematik (nilai purata) pembolehubah rawak diskret M(X)=Σ x i p i .
Untuk taburan binomial M(X)=np, untuk taburan Poisson M(X)=λ - Serakan pembolehubah rawak diskret D(X)= M 2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Perbezaan X–M(X) dipanggil sisihan pembolehubah rawak daripadanya jangkaan matematik.
Untuk taburan binomial D(X)=npq, untuk taburan Poisson D(X)=λ - Sisihan piawai ( sisihan piawai) σ(X)=√D(X).
· Untuk kejelasan persembahan siri variasi sangat penting mempunyai imej grafiknya. Secara grafik, siri variasi boleh digambarkan sebagai poligon, histogram dan terkumpul.
· Poligon taburan (secara literal poligon taburan) dipanggil garis putus-putus, yang dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat. Nilai atribut diplot pada abscissa, frekuensi yang sepadan (atau frekuensi relatif) - pada ordinat. Titik (atau) disambungkan oleh segmen garis lurus dan poligon taburan diperoleh. Selalunya, poligon digunakan untuk menggambarkan diskret siri variasi, tetapi ia juga boleh digunakan untuk siri selang. Dalam kes ini, titik yang sepadan dengan titik tengah selang ini diplot pada paksi absis.
