Bagaimana untuk mencari contoh selang keyakinan. Selang keyakinan

Selang keyakinan– had nilai nilai statistik, yang dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan γ akan berada dalam selang ini apabila pensampelan volum yang lebih besar. Ditandakan sebagai P(θ - ε. Dalam amalan, kebarangkalian keyakinan γ dipilih daripada nilai yang hampir dengan perpaduan: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Tujuan perkhidmatan. Menggunakan perkhidmatan ini, anda boleh menentukan:

• selang keyakinan untuk min am, selang keyakinan untuk varians;
• selang keyakinan untuk sisihan piawai, selang keyakinan untuk bahagian umum;

Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word (lihat contoh). Di bawah ialah arahan video tentang cara mengisi data awal.

Contoh No. 1. Di ladang kolektif, daripada jumlah kumpulan 1000 biri-biri, 100 biri-biri menjalani ricih kawalan terpilih. Hasilnya, purata keratan bulu sebanyak 4.2 kg setiap ekor biri-biri telah ditubuhkan. Tentukan dengan kebarangkalian 0.99 min ralat kuasa dua sampel apabila menentukan purata ricih bulu bagi setiap biri-biri dan had di mana nilai ricih terkandung jika varians ialah 2.5. Sampel tidak berulang.
Contoh No. 2. Daripada kumpulan produk import di pos Kastam Utara Moscow, 20 sampel produk "A" telah diambil secara persampelan berulang secara rawak. Hasil daripada ujian, kandungan lembapan purata produk "A" dalam sampel telah ditubuhkan, yang ternyata sama dengan 6% dengan sisihan piawai 1%.
Tentukan dengan kebarangkalian 0.683 had purata kandungan lembapan produk dalam keseluruhan kumpulan produk import.
Contoh No. 3. Tinjauan terhadap 36 pelajar menunjukkan bahawa purata bilangan buku teks yang mereka baca setiap tahun tahun akademik, ternyata bersamaan dengan 6. Dengan mengandaikan bahawa bilangan buku teks yang dibaca oleh pelajar setiap semester mempunyai undang-undang taburan normal dengan sisihan piawai sama dengan 6, cari: A) dengan kebolehpercayaan 0.99, anggaran selang untuk matematik jangkaan ini pembolehubah rawak; B) dengan apakah kebarangkalian yang boleh kita katakan bahawa purata bilangan buku teks yang dibaca oleh pelajar setiap semester, yang dikira daripada sampel ini, akan menyimpang daripada jangkaan matematik dalam nilai mutlak tidak lebih daripada 2.

Klasifikasi selang keyakinan

Mengikut jenis parameter yang dinilai:

Mengikut jenis sampel:

1. Selang keyakinan untuk sampel tak terhingga;
2. Selang keyakinan untuk sampel akhir;

Sampel itu dipanggil pensampelan semula, jika objek yang dipilih dikembalikan kepada populasi sebelum memilih yang seterusnya. Sampel dipanggil tidak berulang, jika objek yang dipilih tidak dikembalikan kepada populasi. Dalam amalan, kami biasanya berurusan dengan sampel yang tidak berulang.

Pengiraan ralat persampelan purata untuk persampelan rawak

Percanggahan antara nilai penunjuk yang diperoleh daripada sampel dan parameter yang sepadan bagi populasi umum dipanggil kesilapan perwakilan.
Penetapan parameter utama populasi umum dan sampel.

Formula ralat pensampelan purata
pemilihan semula		pemilihan ulang
untuk purata	untuk perkongsian	untuk purata	untuk perkongsian

Hubungan antara had ralat pensampelan (Δ) dijamin dengan beberapa kebarangkalian Р(t), Dan ralat purata sampel mempunyai bentuk: atau Δ = t·μ, di mana t– pekali keyakinan, ditentukan bergantung pada tahap kebarangkalian P(t) mengikut jadual fungsi kamiran Laplace.

Formula untuk mengira saiz sampel menggunakan kaedah persampelan rawak semata-mata

Dalam subseksyen sebelumnya kami mempertimbangkan isu menganggarkan parameter yang tidak diketahui A satu nombor. Ini dipanggil anggaran "titik". Dalam beberapa tugas, anda bukan sahaja perlu mencari parameter A nilai berangka yang sesuai, tetapi juga untuk menilai ketepatan dan kebolehpercayaannya. Anda perlu tahu apakah ralat yang boleh menyebabkan penggantian parameter A anggaran titiknya A dan dengan tahap keyakinan apakah yang boleh kita jangkakan bahawa kesilapan ini tidak akan melebihi had yang diketahui?

Masalah seperti ini amat relevan dengan sebilangan kecil pemerhatian, apabila anggaran titik dan dalam sebahagian besarnya rawak dan anggaran penggantian a dengan a boleh membawa kepada ralat yang serius.

Untuk memberi gambaran tentang ketepatan dan kebolehpercayaan anggaran A,

V statistik matematik Mereka menggunakan apa yang dipanggil selang keyakinan dan kebarangkalian keyakinan.

Biarkan untuk parameter A anggaran tidak berat sebelah diperoleh daripada pengalaman A. Kami ingin menganggarkan kemungkinan ralat dalam kes ini. Mari kita tetapkan beberapa kebarangkalian p yang cukup besar (contohnya, p = 0.9, 0.95 atau 0.99) supaya peristiwa dengan kebarangkalian p boleh dianggap boleh dipercayai secara praktikal, dan mencari nilai s yang

Kemudian julatnya secara praktikal nilai yang mungkin ralat yang berlaku semasa menggantikan A pada A, akan menjadi ± s; Ralat besar dalam nilai mutlak akan muncul hanya dengan kebarangkalian rendah a = 1 - p. Mari kita tulis semula (14.3.1) sebagai:

Kesamaan (14.3.2) bermakna dengan kebarangkalian p nilai parameter yang tidak diketahui A jatuh dalam selang waktu

Perlu diperhatikan satu keadaan. Sebelum ini, kami telah berulang kali mempertimbangkan kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang bukan rawak yang diberikan. Di sini keadaannya berbeza: magnitud A bukan rawak, tetapi selang / p adalah rawak. Kedudukannya pada paksi-x adalah rawak, ditentukan oleh pusatnya A; Secara umum, panjang selang 2s juga rawak, kerana nilai s dikira, sebagai peraturan, daripada data eksperimen. Oleh itu dalam dalam kes ini adalah lebih baik untuk mentafsir nilai p bukan sebagai kebarangkalian "memukul" mata A dalam selang / p, dan sebagai kebarangkalian bahawa selang rawak / p akan meliputi titik A(Gamb. 14.3.1).

nasi. 14.3.1

Kebarangkalian p biasanya dipanggil kebarangkalian keyakinan, dan selang / p - selang keyakinan. Sempadan selang Jika. a x =a- s dan a 2 = a + dan dipanggil sempadan amanah.

Mari kita berikan satu lagi tafsiran kepada konsep selang keyakinan: ia boleh dianggap sebagai selang nilai parameter A, serasi dengan data eksperimen dan tidak bercanggah dengannya. Sesungguhnya, jika kita bersetuju untuk menganggap peristiwa dengan kebarangkalian a = 1-p hampir mustahil, maka nilai-nilai parameter a yang a - a> s mesti diiktiraf sebagai bercanggah dengan data eksperimen, dan data yang |a - A a t na 2 .

Biarkan untuk parameter A terdapat anggaran yang tidak berat sebelah A. Jika kita tahu hukum taburan kuantiti A, tugas mencari selang keyakinan akan menjadi sangat mudah: sudah cukup untuk mencari nilai s yang

Kesukaran adalah bahawa undang-undang pengagihan anggaran A bergantung kepada hukum taburan kuantiti X dan, oleh itu, pada parameter yang tidak diketahui (khususnya, pada parameter itu sendiri A).

Untuk mengatasi kesukaran ini, anda boleh menggunakan teknik anggaran berikut: gantikan parameter yang tidak diketahui dalam ungkapan untuk s dengan anggaran mata mereka. Dengan bilangan eksperimen yang agak besar P(kira-kira 20...30) teknik ini biasanya memberikan hasil yang memuaskan dari segi ketepatan.

Sebagai contoh, pertimbangkan masalah selang keyakinan untuk jangkaan matematik.

Biar terhasil P X, ciri-cirinya ialah nilai yang dijangkakan T dan varians D- tidak diketahui. Anggaran berikut diperoleh untuk parameter ini:

Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan / p sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p untuk jangkaan matematik T kuantiti X.

Apabila menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan fakta bahawa kuantiti T mewakili jumlah P pembolehubah rawak teragih sama bebas X h dan mengikut teorem had pusat, untuk yang cukup besar P undang-undang pengedarannya hampir normal. Dalam amalan, walaupun dengan bilangan istilah yang agak kecil (kira-kira 10...20), undang-undang pengedaran jumlah itu boleh dianggap normal. Kami akan menganggap bahawa nilai T diedarkan mengikut hukum biasa. Ciri-ciri undang-undang ini - jangkaan dan varians matematik - adalah sama, masing-masing T Dan

(lihat bab 13 subseksyen 13.3). Mari kita anggap bahawa nilai D kita tahu dan akan mencari nilai Ep yang

Menggunakan formula (6.3.5) Bab 6, kami menyatakan kebarangkalian di sebelah kiri (14.3.5) melalui fungsi taburan normal

di manakah sisihan piawai anggaran T.

Daripada Pers.

cari nilai Sp:

di mana arg Ф* (х) ialah fungsi songsang bagi Ф* (X), mereka. nilai hujah di mana fungsi normal pengagihan adalah sama dengan X.

Penyerakan D, melalui mana kuantiti dinyatakan A 1P, kita tidak tahu dengan tepat; sebagai nilai anggarannya, anda boleh menggunakan anggaran D(14.3.4) dan letakkan lebih kurang:

Oleh itu, masalah membina selang keyakinan telah lebih kurang diselesaikan, iaitu bersamaan dengan:

di mana gp ditentukan oleh formula (14.3.7).

Untuk mengelakkan interpolasi terbalik dalam jadual fungsi Ф* (l) apabila mengira s p, adalah mudah untuk menyusun jadual khas (Jadual 14.3.1), yang memberikan nilai kuantiti

bergantung kepada r. Nilai (p menentukan untuk hukum biasa bilangan sisihan piawai yang mesti diplot ke kanan dan kiri dari pusat serakan supaya kebarangkalian untuk masuk ke kawasan yang terhasil adalah sama dengan p.

Menggunakan nilai 7 p, selang keyakinan dinyatakan sebagai:

Jadual 14.3.1

Contoh 1. 20 eksperimen telah dijalankan ke atas kuantiti X; keputusan ditunjukkan dalam jadual. 14.3.2.

Jadual 14.3.2

Ia dikehendaki mencari anggaran daripada jangkaan matematik kuantiti X dan bina selang keyakinan sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.8.

Penyelesaian. Kami ada:

Memilih l: = 10 sebagai titik rujukan, menggunakan formula ketiga (14.2.14) kita dapati anggaran tidak berat sebelah D :

Mengikut jadual 14.3.1 kita dapati

Had keyakinan:

Selang keyakinan:

Nilai parameter T, terletak dalam selang ini adalah serasi dengan data eksperimen yang diberikan dalam jadual. 14.3.2.

Selang keyakinan untuk varians boleh dibina dengan cara yang sama.

Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X dengan parameter yang tidak diketahui untuk kedua-dua A dan penyebaran D anggaran tidak berat sebelah diperolehi:

Ia dikehendaki membina kira-kira selang keyakinan untuk varians.

Daripada formula (14.3.11) jelas bahawa kuantiti D mewakili

jumlah P pembolehubah rawak bentuk . Nilai-nilai ini tidak

bebas, kerana mana-mana daripadanya termasuk kuantiti T, bergantung pada orang lain. Walau bagaimanapun, ia boleh ditunjukkan bahawa dengan peningkatan P hukum pengagihan jumlah mereka juga menghampiri normal. Hampir di P= 20...30 dah boleh dianggap biasa.

Mari kita anggap bahawa ini benar, dan mari kita cari ciri-ciri undang-undang ini: jangkaan dan serakan matematik. Sejak penilaian D- tidak berat sebelah, maka M[D] = D.

Pengiraan varians D D dikaitkan dengan pengiraan yang agak kompleks, jadi kami membentangkan ungkapannya tanpa terbitan:

di mana q 4 ialah yang keempat titik pusat kuantiti X.

Untuk menggunakan ungkapan ini, anda perlu menggantikan nilai \u003d 4 dan D(sekurang-kurangnya yang rapat). Sebaliknya D anda boleh menggunakan penilaiannya D. Pada dasarnya, momen tengah keempat juga boleh digantikan dengan anggaran, sebagai contoh, nilai bentuk:

tetapi penggantian sedemikian akan memberikan ketepatan yang sangat rendah, kerana secara umum, dengan bilangan percubaan yang terhad, detik-detik perintah tinggi ditentukan daripada kesilapan besar. Walau bagaimanapun, dalam amalan ia sering berlaku bahawa jenis undang-undang pengagihan kuantiti X diketahui terlebih dahulu: hanya parameternya tidak diketahui. Kemudian anda boleh cuba untuk menyatakan μ 4 melalui D.

Mari kita ambil kes yang paling biasa, apabila nilai X diedarkan mengikut hukum biasa. Kemudian momen pusat keempatnya dinyatakan dalam bentuk serakan (lihat Bab 6, subseksyen 6.2);

dan formula (14.3.12) memberi atau

Menggantikan yang tidak diketahui dalam (14.3.14) D penilaiannya D, kita dapat: dari mana

Momen μ 4 boleh dinyatakan melalui D juga dalam beberapa kes lain, apabila pengagihan nilai X tidak normal, tetapi rupanya diketahui. Sebagai contoh, untuk undang-undang ketumpatan seragam(lihat bab 5) kita ada:

di mana (a, P) ialah selang di mana undang-undang itu ditentukan.

Oleh itu,

Menggunakan formula (14.3.12) kita dapat: di mana kita dapati lebih kurang

Dalam kes di mana jenis undang-undang pengedaran untuk kuantiti 26 tidak diketahui, apabila membuat anggaran anggaran nilai a/) masih disyorkan untuk menggunakan formula (14.3.16), melainkan terdapat sebab khas untuk mempercayai bahawa undang-undang ini sangat berbeza daripada yang biasa (mempunyai kurtosis positif atau negatif yang ketara) .

Jika nilai anggaran a/) diperolehi dalam satu cara atau yang lain, maka kita boleh membina selang keyakinan untuk varians dengan cara yang sama seperti kita membinanya untuk jangkaan matematik:

di mana nilai bergantung kepada kebarangkalian p yang diberi didapati mengikut jadual. 14.3.1.

Contoh 2. Cari kira-kira 80% selang keyakinan untuk varians pembolehubah rawak X di bawah syarat contoh 1, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan mengikut undang-undang yang hampir normal.

Penyelesaian. Nilai tetap sama seperti dalam jadual. 14.3.1:

Mengikut formula (14.3.16)

Menggunakan formula (14.3.18) kita dapati selang keyakinan:

Selang sepadan nilai purata sisihan segi empat sama: (0,21; 0,29).

14.4. Kaedah Pembinaan Tepat selang keyakinan bagi parameter pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum normal

Dalam subseksyen sebelumnya, kami meneliti kaedah anggaran secara kasar untuk membina selang keyakinan untuk jangkaan dan varians matematik. Di sini kami akan memberikan idea tentang kaedah yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang sama. Kami menekankan bahawa untuk mencari selang keyakinan dengan tepat adalah perlu untuk mengetahui terlebih dahulu bentuk undang-undang taburan kuantiti X, sedangkan untuk penggunaan kaedah anggaran ini tidak perlu.

Idea kaedah yang tepat membina selang keyakinan datang kepada yang berikut. Sebarang selang keyakinan ditemui daripada keadaan yang menyatakan kebarangkalian untuk memenuhi ketaksamaan tertentu, yang termasuk anggaran yang kami minati A. Undang-undang pengagihan penilaian A V kes am bergantung pada parameter kuantiti yang tidak diketahui X. Walau bagaimanapun, kadangkala adalah mungkin untuk lulus dalam ketaksamaan daripada pembolehubah rawak A kepada beberapa fungsi lain bagi nilai yang diperhatikan X p X 2, ..., X hlm. hukum taburan yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, tetapi hanya bergantung pada bilangan eksperimen dan pada jenis hukum taburan kuantiti X. Pembolehubah rawak jenis ini memainkan peranan penting dalam statistik matematik; mereka telah dikaji secara terperinci untuk kes taburan normal kuantiti X.

Sebagai contoh, telah dibuktikan bahawa dengan taburan normal nilai X nilai rawak

mematuhi apa yang dipanggil Undang-undang pengedaran pelajar Dengan P- 1 darjah kebebasan; ketumpatan undang-undang ini mempunyai bentuk

di mana G(x) ialah fungsi gamma yang diketahui:

Ia juga telah dibuktikan bahawa pembolehubah rawak

mempunyai "% 2 pengagihan" dengan P- 1 darjah kebebasan (lihat Bab 7), ketumpatannya dinyatakan oleh formula

Tanpa memikirkan terbitan taburan (14.4.2) dan (14.4.4), kami akan menunjukkan bagaimana ia boleh digunakan semasa membina selang keyakinan untuk parameter ty D.

Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T&P. Untuk parameter ini, anggaran telah diperolehi

Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan untuk kedua-dua parameter yang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p.

Mari mula-mula bina selang keyakinan untuk jangkaan matematik. Adalah wajar untuk mengambil selang ini simetri berkenaan dengan T; biarkan s p menandakan separuh panjang selang itu. Nilai s p mesti dipilih supaya syarat itu dipenuhi

Mari cuba bergerak di sebelah kiri kesamaan (14.4.5) daripada pembolehubah rawak T kepada pembolehubah rawak T, diedarkan mengikut undang-undang Pelajar. Untuk melakukan ini, darab kedua-dua belah ketaksamaan |m-w?|

dengan nilai positif: atau, menggunakan tatatanda (14.4.1),

Mari cari nombor / p supaya nilai / p boleh didapati daripada keadaan

Daripada formula (14.4.2) adalah jelas bahawa (1) - malah berfungsi, jadi (14.4.8) memberi

Kesamaan (14.4.9) menentukan nilai / p bergantung pada p. Jika anda mempunyai jadual nilai kamiran yang anda boleh gunakan

maka nilai /p boleh didapati dengan interpolasi songsang dalam jadual. Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk merangka jadual nilai /p terlebih dahulu. Jadual sedemikian diberikan dalam Lampiran (Jadual 5). Jadual ini menunjukkan nilai bergantung pada tahap keyakinan p dan bilangan darjah kebebasan P- 1. Setelah ditentukan / p daripada jadual. 5 dan andaikan

kita akan dapati separuh lebar selang keyakinan / p dan selang itu sendiri

Contoh 1. 5 eksperimen bebas telah dilakukan ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T dan tentang. Keputusan eksperimen diberikan dalam jadual. 14.4.1.

Jadual 14.4.1

Cari rating T untuk jangkaan matematik dan bina selang keyakinan 90% / p untuknya (iaitu, selang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.9).

Penyelesaian. Kami ada:

Mengikut jadual 5 permohonan untuk P - 1 = 4 dan p = 0.9 kita dapati di mana

Selang keyakinan akan menjadi

Contoh 2. Untuk syarat contoh 1 subseksyen 14.3, dengan andaian nilainya X taburan normal, cari selang keyakinan yang tepat.

Penyelesaian. Menurut jadual 5 lampiran kita dapati apabila P - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; dari sini

Membandingkan dengan penyelesaian contoh 1 subseksyen 14.3 (e p = 0.072), kami yakin bahawa percanggahan itu sangat tidak ketara. Jika kita mengekalkan ketepatan ke tempat perpuluhan kedua, maka selang keyakinan yang ditemui oleh kaedah tepat dan anggaran bertepatan:

Mari kita teruskan untuk membina selang keyakinan untuk varians. Pertimbangkan penganggar varians tidak berat sebelah

dan nyatakan pembolehubah rawak D melalui magnitud V(14.4.3), mempunyai pengedaran x 2 (14.4.4):

Mengetahui hukum taburan kuantiti V, anda boleh mencari selang /(1) di mana ia jatuh dengan kebarangkalian p yang diberikan.

Hukum pengagihan kn_x(v) magnitud I 7 mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 14.4.1.

nasi. 14.4.1

Persoalannya timbul: bagaimana untuk memilih selang / p? Jika hukum taburan magnitud V adalah simetri (seperti undang-undang biasa atau taburan Pelajar), adalah wajar untuk mengambil selang /p simetri berkenaan dengan jangkaan matematik. Dalam hal ini undang-undang k p_x (v) tidak simetri. Marilah kita bersetuju untuk memilih selang /p supaya kebarangkalian nilai itu V di luar selang ke kanan dan kiri (kawasan berlorek dalam Rajah 14.4.1) adalah sama dan sama

Untuk membina selang /p dengan sifat ini, kami menggunakan jadual. 4 aplikasi: ia mengandungi nombor y) seperti itu

untuk nilai V, mempunyai x 2 -taburan dengan r darjah kebebasan. Dalam kes kita r = n- 1. Mari kita betulkan r = n- 1 dan cari dalam baris jadual yang sepadan. 4 dua makna x 2 - satu sepadan dengan kebarangkalian yang lain - kebarangkalian Mari kita nyatakan ini

nilai pukul 2 Dan xl? Selang telah y 2, dengan kiri anda, dan y~ hujung kanan.

Sekarang mari kita cari daripada selang / p selang keyakinan yang diingini /|, untuk serakan dengan sempadan D, dan D2, yang meliputi perkara itu D dengan kebarangkalian p:

Mari kita bina selang / (, = (?> ь А) yang merangkumi titik D jika dan hanya jika nilai V jatuh ke dalam selang /r. Mari kita tunjukkan bahawa selang

memenuhi syarat ini. Sesungguhnya, ketidaksamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan

dan ketaksamaan ini berpuas hati dengan kebarangkalian p. Oleh itu, selang keyakinan bagi varians telah ditemui dan dinyatakan dengan formula (14.4.13).

Contoh 3. Cari selang keyakinan bagi varians di bawah syarat contoh 2 subseksyen 14.3, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan secara normal.

Penyelesaian. Kami ada . Mengikut jadual 4 lampiran

kita dapati di r = n - 1 = 19

Menggunakan formula (14.4.13) kita mencari selang keyakinan bagi varians

Selang yang sepadan untuk sisihan piawai ialah (0.21; 0.32). Selang ini hanya sedikit melebihi selang (0.21; 0.29) yang diperoleh dalam contoh 2 subseksyen 14.3 menggunakan kaedah anggaran.

• Rajah 14.3.1 menganggap simetri selang keyakinan tentang a. Secara umum, seperti yang akan kita lihat kemudian, ini tidak perlu.

Anggaran Selang Keyakinan

Objektif Pembelajaran

Statistik mempertimbangkan perkara berikut dua tugas utama:

Kami mempunyai beberapa anggaran berdasarkan data sampel dan kami ingin membuat beberapa pernyataan kebarangkalian tentang di mana nilai sebenar parameter anggaran terletak.

Kami mempunyai hipotesis khusus yang perlu diuji menggunakan data sampel.

Dalam topik ini kami mempertimbangkan tugas pertama. Marilah kita juga memperkenalkan definisi selang keyakinan.

Selang keyakinan ialah selang yang dibina di sekitar nilai anggaran parameter dan menunjukkan di mana nilai sebenar parameter anggaran terletak dengan kebarangkalian yang ditentukan secara priori.

Selepas mempelajari bahan mengenai topik ini, anda:

pelajari apakah selang keyakinan untuk anggaran;

belajar mengklasifikasikan masalah statistik;

menguasai teknik membina selang keyakinan, kedua-duanya menggunakan formula statistik dan menggunakan alat perisian;

belajar untuk menentukan saiz sampel yang diperlukan untuk mencapai parameter ketepatan anggaran statistik tertentu.

Taburan ciri sampel

pengagihan T

Seperti yang dibincangkan di atas, taburan pembolehubah rawak adalah hampir kepada piawai taburan normal dengan parameter 0 dan 1. Oleh kerana kita tidak mengetahui nilai σ, kita menggantikannya dengan beberapa anggaran s. Kuantiti tersebut sudah mempunyai taburan yang berbeza iaitu atau Pengagihan pelajar, yang ditentukan oleh parameter n -1 (bilangan darjah kebebasan). Taburan ini hampir dengan taburan normal (semakin besar n, semakin hampir taburan).

Dalam Rajah. 95
taburan Pelajar dengan 30 darjah kebebasan dibentangkan. Seperti yang anda lihat, ia sangat hampir dengan taburan normal.

Sama seperti fungsi untuk bekerja dengan taburan normal NORMIDIST dan NORMINV, terdapat fungsi untuk bekerja dengan taburan-t - STUDIST (TDIST) dan STUDRASOBR (TINV). Contoh penggunaan fungsi ini boleh dilihat dalam fail STUDRASP.XLS (template dan penyelesaian) dan dalam Rajah. 96
.

Taburan ciri-ciri lain

Seperti yang kita sedia maklum, untuk menentukan ketepatan menganggar jangkaan matematik, kita memerlukan taburan-t. Untuk menganggarkan parameter lain, seperti varians, taburan berbeza diperlukan. Dua daripadanya ialah taburan-F dan x 2 -agihan.

Selang keyakinan untuk min

Selang keyakinan- ini ialah selang yang dibina di sekitar nilai anggaran parameter dan menunjukkan di mana nilai sebenar parameter anggaran terletak dengan kebarangkalian yang ditentukan secara priori.

Pembinaan selang keyakinan untuk nilai purata berlaku dengan cara berikut:

Contoh

Restoran makanan segera itu merancang untuk mengembangkan pelbagai jenisnya dengan jenis sandwic baharu. Untuk menganggarkan permintaan untuknya, pengurus merancang untuk memilih 40 pelawat secara rawak daripada mereka yang telah mencubanya dan meminta mereka menilai sikap mereka terhadap produk baharu pada skala dari 1 hingga 10. Pengurus ingin menganggarkan jangkaan bilangan mata yang produk baharu akan terima dan membina selang keyakinan 95% untuk anggaran ini. Bagaimana untuk melakukan ini? (lihat fail SANDWICH1.XLS (template dan penyelesaian).

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah ini anda boleh menggunakan . Hasilnya dibentangkan dalam Rajah. 97
.

Selang keyakinan untuk jumlah nilai

Kadang-kadang, menggunakan data sampel, adalah perlu untuk menganggarkan bukan jangkaan matematik, tetapi jumlah keseluruhan nilai. Sebagai contoh, dalam situasi dengan juruaudit, kepentingan mungkin dalam menganggarkan bukan purata saiz akaun, tetapi jumlah semua akaun.

Biarkan N - jumlah elemen, n ialah saiz sampel, T 3 ialah jumlah nilai dalam sampel, T" ialah anggaran untuk jumlah keseluruhan populasi, kemudian , dan selang keyakinan dikira dengan formula , dengan s ialah anggaran sisihan piawai untuk sampel, dan ialah anggaran min bagi sampel.

Contoh

Katakan agensi cukai ingin menganggarkan jumlah bayaran balik cukai untuk 10,000 pembayar cukai. Pembayar cukai sama ada menerima bayaran balik atau membayar cukai tambahan. Cari selang keyakinan 95% untuk jumlah bayaran balik, dengan andaian saiz sampel 500 orang (lihat fail JUMLAH PEMBAYARAN BALIK.XLS (templat dan penyelesaian).

Penyelesaian

StatPro tidak mempunyai prosedur khas untuk kes ini, walau bagaimanapun, boleh diperhatikan bahawa sempadan boleh diperolehi daripada sempadan untuk purata berdasarkan formula di atas (Rajah 98).
).

Selang keyakinan untuk perkadaran

Biarkan p ialah jangkaan matematik bahagian pelanggan, dan biarkan p b ialah anggaran bahagian ini yang diperoleh daripada sampel saiz n. Ia boleh ditunjukkan bahawa untuk cukup besar taburan penilaian akan hampir normal dengan jangkaan matematik p dan sisihan piawai . Ralat piawai anggaran dalam kes ini dinyatakan sebagai , dan selang keyakinan adalah sebagai .

Contoh

Restoran makanan segera itu merancang untuk mengembangkan pelbagai jenisnya dengan jenis sandwic baharu. Untuk menilai permintaan untuknya, pengurus secara rawak memilih 40 pelawat daripada mereka yang telah mencubanya dan meminta mereka menilai sikap mereka terhadap produk baharu itu pada skala dari 1 hingga 10. Pengurus ingin menganggarkan nisbah jangkaan pelanggan yang menilai produk baharu sekurang-kurangnya 6 mata (dia menjangkakan bahawa pelanggan ini akan menjadi pengguna produk baharu).

Penyelesaian

Pada mulanya, kami membuat lajur baharu berdasarkan atribut 1 jika rating pelanggan melebihi 6 mata dan 0 sebaliknya (lihat fail SANDWICH2.XLS (templat dan penyelesaian).

Kaedah 1

Dengan mengira nombor 1, kami menganggarkan bahagian, dan kemudian menggunakan formula.

Nilai zcr diambil daripada jadual taburan normal khas (contohnya, 1.96 untuk selang keyakinan 95%).

Menggunakan pendekatan ini dan data khusus untuk membina selang 95%, kami memperoleh keputusan berikut (Rajah 99).
). Nilai kritikal parameter z cr adalah sama dengan 1.96. Ralat piawai anggaran ialah 0.077. Had bawah selang keyakinan ialah 0.475. Had atas selang keyakinan ialah 0.775. Oleh itu, pengurus mempunyai hak untuk mempercayai dengan keyakinan 95% bahawa peratusan pelanggan yang menilai produk baharu 6 mata atau lebih tinggi adalah antara 47.5 dan 77.5.

Kaedah 2

Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan alat StatPro standard. Untuk melakukan ini, cukup untuk ambil perhatian bahawa bahagian dalam kes ini bertepatan dengan nilai purata lajur Jenis. Seterusnya kami memohon StatPro/Inferens Statistik/Analisis Satu Sampel untuk membina selang keyakinan bagi min (anggaran jangkaan matematik) untuk lajur Jenis. Keputusan yang diperolehi dalam kes ini akan sangat hampir dengan keputusan kaedah pertama (Rajah 99).

Selang keyakinan untuk sisihan piawai

s digunakan sebagai anggaran sisihan piawai (formula diberikan dalam Bahagian 1). Fungsi ketumpatan anggaran s ialah fungsi khi kuasa dua, yang, seperti taburan-t, mempunyai n-1 darjah kebebasan. Terdapat fungsi khas untuk bekerja dengan pengedaran ini CHIDIST dan CHIINV.

Selang keyakinan dalam kes ini tidak lagi simetri. Gambar rajah sempadan konvensional ditunjukkan dalam Rajah. 100 .

Contoh

Mesin mesti menghasilkan bahagian dengan diameter 10 cm Namun, disebabkan pelbagai keadaan, ralat berlaku. Pengawal kualiti mengambil berat tentang dua keadaan: pertama, nilai purata hendaklah 10 cm; kedua, walaupun dalam kes ini, jika penyelewengan besar, maka banyak bahagian akan ditolak. Setiap hari dia membuat sampel sebanyak 50 bahagian (lihat fail KUALITI KAWALAN.XLS (template dan penyelesaian). Apakah kesimpulan yang boleh diberikan oleh sampel sedemikian?

Penyelesaian

Mari bina 95% selang keyakinan untuk min dan sisihan piawai menggunakan StatPro/Inferens Statistik/Analisis Satu Sampel(Gamb. 101
).

Seterusnya, dengan menggunakan andaian taburan normal diameter, kami mengira bahagian produk yang rosak, menetapkan sisihan maksimum 0.065. Menggunakan keupayaan jadual penggantian (kes dua parameter), kami merancang pergantungan bahagian kecacatan pada nilai purata dan sisihan piawai (Rajah 102).
).

Selang keyakinan untuk perbezaan antara dua min

Ini adalah antara yang paling banyak aplikasi penting kaedah statistik. Contoh situasi.

Seorang pengurus kedai pakaian ingin mengetahui berapa banyak lebih atau kurang purata pelanggan wanita berbelanja di kedai berbanding purata pelanggan lelaki.

Kedua-dua syarikat penerbangan itu menggunakan laluan yang sama. Organisasi pengguna ingin membandingkan perbezaan antara purata jangka masa kelewatan penerbangan untuk kedua-dua syarikat penerbangan.

Syarikat menghantar kupon untuk spesies individu barang di satu bandar dan tidak dihantar ke bandar lain. Pengurus ingin membandingkan purata volum pembelian produk ini dalam tempoh dua bulan akan datang.

Seorang peniaga kereta sering berurusan dengan pasangan suami isteri semasa pembentangan. Untuk memahami reaksi peribadi mereka terhadap pembentangan, pasangan sering ditemu bual secara berasingan. Pengurus ingin menilai perbezaan penilaian yang diberikan oleh lelaki dan wanita.

Kes sampel bebas

Perbezaan antara min akan mempunyai taburan-t dengan n 1 + n 2 - 2 darjah kebebasan. Selang keyakinan untuk μ 1 - μ 2 dinyatakan oleh hubungan:

Masalah ini boleh diselesaikan bukan sahaja menggunakan formula di atas, tetapi juga menggunakan alat StatPro standard. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk digunakan

Selang keyakinan untuk perbezaan antara perkadaran

Biarlah jangkaan matematik saham. Biarkan anggaran sampel mereka, dibina daripada sampel bersaiz n 1 dan n 2, masing-masing. Kemudian adalah anggaran untuk perbezaan . Oleh itu, selang keyakinan perbezaan ini dinyatakan sebagai:

Di sini z cr ialah nilai yang diperoleh daripada taburan normal menggunakan jadual khas (contohnya, 1.96 untuk selang keyakinan 95%).

Ralat piawai anggaran dinyatakan dalam kes ini oleh hubungan:

.

Contoh

Kedai itu, bersiap sedia untuk jualan besar, mengambil langkah berikut: penyelidikan pemasaran. 300 telah dipilih pembeli terbaik, yang seterusnya dibahagikan secara rawak kepada dua kumpulan dengan 150 ahli setiap satu. Semua pembeli terpilih telah dihantar jemputan untuk menyertai jualan, tetapi hanya ahli kumpulan pertama menerima kupon yang melayakkan mereka mendapat diskaun 5%. Semasa jualan, pembelian kesemua 300 pembeli terpilih telah direkodkan. Bagaimanakah pengurus boleh mentafsir keputusan dan membuat pertimbangan tentang keberkesanan kupon? (lihat fail COUPONS.XLS (template dan penyelesaian)).

Penyelesaian

Untuk kes khusus kami, daripada 150 pelanggan yang menerima kupon diskaun, 55 membuat pembelian untuk jualan, dan antara 150 yang tidak menerima kupon, hanya 35 yang membuat pembelian (Gamb. 103
). Kemudian nilai perkadaran sampel ialah 0.3667 dan 0.2333, masing-masing. Dan perbezaan sampel di antara mereka adalah sama dengan 0.1333, masing-masing. Dengan mengandaikan selang keyakinan 95%, kita dapati daripada jadual taburan normal z cr = 1.96. Pengiraan ralat piawai perbezaan sampel ialah 0.0524. Kami akhirnya mendapati bahawa had bawah selang keyakinan 95% ialah 0.0307, ​​dan had atas 0.2359 masing-masing. Keputusan yang diperoleh boleh ditafsirkan sedemikian rupa sehingga bagi setiap 100 pelanggan yang menerima kupon diskaun, kita boleh menjangkakan daripada 3 hingga 23 pelanggan baharu. Walau bagaimanapun, kita mesti ingat bahawa kesimpulan ini sendiri tidak bermakna keberkesanan menggunakan kupon (kerana dengan memberikan diskaun, kita kehilangan keuntungan!). Mari kita tunjukkan ini dengan data tertentu. Mari kita berpura-pura itu saiz purata pembelian adalah sama dengan 400 rubel, di mana 50 rubel. ada untung kedai. Kemudian jangkaan keuntungan pada 100 pelanggan yang tidak menerima kupon ialah:

50 0.2333 100 = 1166.50 gosok.

Pengiraan yang sama untuk 100 pelanggan yang menerima pemberian kupon:

30 0.3667 100 = 1100.10 gosok.

Penurunan keuntungan purata kepada 30 dijelaskan oleh fakta bahawa, menggunakan diskaun, pelanggan yang menerima kupon secara purata akan membuat pembelian untuk 380 rubel.

Oleh itu, kesimpulan akhir menunjukkan ketidakberkesanan menggunakan kupon sedemikian dalam keadaan tertentu ini.

Komen. Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan alat StatPro standard. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengurangkan tugasan ini kepada masalah menganggar perbezaan antara dua purata menggunakan kaedah, dan kemudian memohon StatPro/Inferens Statistik/Analisis Dua Sampel untuk membina selang keyakinan bagi perbezaan antara dua nilai purata.

Mengawal Panjang Selang Keyakinan

Panjang selang keyakinan bergantung pada syarat berikut :

data secara langsung (sisihan piawai);

tahap kepentingan;

saiz sampel.

Saiz sampel untuk menganggar min

Pertama, mari kita pertimbangkan masalah dalam kes umum. Mari kita nyatakan nilai separuh panjang selang keyakinan yang diberikan kepada kita sebagai B (Rajah 104
). Kita tahu bahawa selang keyakinan bagi nilai min bagi beberapa pembolehubah rawak X dinyatakan sebagai , Di mana . Percaya:

dan menyatakan n, kita dapat .

Malangnya, nilai sebenar Kita tidak tahu varians pembolehubah rawak X. Di samping itu, kita tidak tahu nilai tcr, kerana ia bergantung pada n melalui bilangan darjah kebebasan. Dalam keadaan ini, kita boleh melakukan perkara berikut. Daripada varians s, kami menggunakan beberapa anggaran varians berdasarkan sebarang pelaksanaan yang tersedia bagi pembolehubah rawak yang dikaji. Daripada nilai t cr, kami menggunakan nilai z cr untuk taburan normal. Ini agak boleh diterima, kerana fungsi ketumpatan taburan untuk taburan normal dan t adalah sangat rapat (kecuali untuk kes n kecil). Oleh itu, formula yang diperlukan dalam bentuk:

.

Oleh kerana formula memberikan, secara amnya, keputusan bukan integer, pembundaran dengan lebihan keputusan diambil sebagai saiz sampel yang diingini.

Contoh

Restoran makanan segera itu merancang untuk mengembangkan pelbagai jenisnya dengan jenis sandwic baharu. Untuk menilai permintaan untuknya, pengurus merancang untuk memilih secara rawak beberapa pelawat daripada mereka yang telah mencubanya dan meminta mereka menilai sikap mereka terhadap produk baharu pada skala dari 1 hingga 10. Pengurus ingin menganggarkan jangkaan bilangan mata yang produk baharu akan menerima produk dan membina selang keyakinan 95% untuk anggaran ini. Pada masa yang sama, dia mahukan separuh lebar selang keyakinan tidak melebihi 0.3. Berapa ramai pelawat yang perlu dia temuduga?

seperti berikut:

Di sini r ots ialah anggaran bahagian p, dan B ialah separuh panjang selang keyakinan tertentu. Anggaran terlalu tinggi untuk n boleh diperoleh menggunakan nilai r ots= 0.5. Dalam kes ini, panjang selang keyakinan tidak akan melebihi nilai B yang ditentukan untuk sebarang nilai sebenar p.

Contoh

Biarkan pengurus daripada contoh terdahulu merancang untuk menganggarkan bahagian pelanggan yang memilih jenis produk baharu. Dia mahu membina selang keyakinan 90% yang separuh panjangnya tidak melebihi 0.05. Berapakah bilangan pelanggan yang perlu dimasukkan ke dalam sampel rawak?

Penyelesaian

Dalam kes kami, nilai z cr = 1.645. Oleh itu, kuantiti yang diperlukan dikira sebagai .

Jika pengurus mempunyai sebab untuk mempercayai bahawa nilai p yang dikehendaki adalah, sebagai contoh, lebih kurang 0.3, maka dengan menggantikan nilai ini ke dalam formula di atas, kita akan mendapat nilai sampel rawak yang lebih kecil, iaitu 228.

Formula untuk menentukan saiz sampel rawak sekiranya terdapat perbezaan antara dua min ditulis sebagai:

.

Contoh

Sesetengah syarikat komputer mempunyai pusat khidmat pelanggan. DALAM Kebelakangan ini bilangan aduan pelanggan tentang kualiti perkhidmatan yang kurang baik telah meningkat. DALAM Pusat servis Terdapat terutamanya dua jenis pekerja: mereka yang tidak mempunyai banyak pengalaman, tetapi telah menyelesaikan kursus persediaan khas, dan mereka yang mempunyai pengalaman praktikal yang luas, tetapi belum menyelesaikan kursus khas. Syarikat itu ingin menganalisis aduan pelanggan sejak enam bulan lalu dan membandingkan purata bilangan aduan bagi setiap dua kumpulan pekerja. Diandaikan bahawa nombor dalam sampel untuk kedua-dua kumpulan adalah sama. Berapa ramai pekerja mesti dimasukkan ke dalam sampel untuk mendapatkan selang 95% dengan separuh panjang tidak lebih daripada 2?

Penyelesaian

Di sini σ ots ialah anggaran sisihan piawai bagi kedua-dua pembolehubah rawak di bawah andaian bahawa ia hampir. Oleh itu, dalam masalah kita, kita perlu mendapatkan anggaran ini. Ini boleh dilakukan, sebagai contoh, seperti berikut. Setelah melihat data tentang aduan pelanggan sepanjang enam bulan yang lalu, pengurus mungkin menyedari bahawa setiap pekerja biasanya menerima 6 hingga 36 aduan. Mengetahui bahawa untuk taburan normal hampir semua nilai tidak lebih daripada tiga kali dikeluarkan daripada min sisihan piawai, dia mungkin secara munasabah percaya bahawa:

, dari mana σ ots = 5.

Menggantikan nilai ini ke dalam formula, kita dapat .

Formula untuk menentukan saiz sampel rawak sekiranya menganggar perbezaan antara perkadaran mempunyai bentuk:

Contoh

Sesetengah syarikat mempunyai dua kilang yang mengeluarkan produk yang serupa. Seorang pengurus syarikat ingin membandingkan peratusan produk yang rosak di kedua-dua kilang. Mengikut maklumat yang ada, kadar kecacatan di kedua-dua kilang adalah antara 3 hingga 5%. Ia bertujuan untuk membina selang keyakinan 99% dengan separuh panjang tidak lebih daripada 0.005 (atau 0.5%). Berapa banyak produk mesti dipilih dari setiap kilang?

Penyelesaian

Di sini p 1ots dan p 2ots ialah anggaran dua bahagian kecacatan yang tidak diketahui di kilang pertama dan kedua. Jika kita meletakkan p 1ots = p 2ots = 0.5, maka kita mendapat nilai yang terlalu tinggi untuk n. Tetapi oleh kerana dalam kes kami, kami mempunyai beberapa maklumat apriori tentang saham ini, kami mengambil anggaran atas saham ini, iaitu 0.05. Kita mendapatkan

Apabila menganggar beberapa parameter populasi daripada data sampel, adalah berguna untuk memberikan bukan sahaja anggaran mata parameter, tetapi juga menunjukkan selang keyakinan yang menunjukkan di mana nilai tepat parameter anggaran mungkin terletak.

Dalam bab ini, kami juga berkenalan dengan hubungan kuantitatif yang membolehkan kami membina selang sedemikian untuk pelbagai parameter; mempelajari cara untuk mengawal panjang selang keyakinan.

Perhatikan juga bahawa masalah menganggar saiz sampel (masalah merancang eksperimen) boleh diselesaikan menggunakan alat StatPro standard, iaitu StatPro/Inferens Statistik/Pemilihan Saiz Sampel.

"Katren-Style" meneruskan penerbitan kitaran Konstantin Kravchik tentang statistik perubatan. Dalam dua artikel sebelum ini, penulis membincangkan tentang penjelasan konsep seperti dan.

Konstantin Kravchik

Ahli matematik-penganalisis. Pakar dalam bidang penyelidikan statistik dalam bidang perubatan dan kemanusiaan

bandar Moscow

Selalunya dalam artikel mengenai kajian klinikal anda boleh menemui frasa misteri: "selang keyakinan" (95 % CI atau 95 % CI - selang keyakinan). Sebagai contoh, artikel itu mungkin menulis: “Untuk menilai kepentingan perbezaan, kami menggunakan Ujian-t pelajar dengan pengiraan 95 % selang keyakinan.”

Apakah nilai "95 % selang keyakinan" dan mengapa mengiranya?

Apakah selang keyakinan? - Ini ialah julat di mana populasi sebenar bermaksud berbohong. Adakah terdapat purata "tidak benar"? Dari satu segi, ya, mereka lakukan. Dalam kami menjelaskan bahawa adalah mustahil untuk mengukur parameter minat dalam keseluruhan populasi, jadi penyelidik berpuas hati dengan sampel yang terhad. Dalam sampel ini (contohnya, berdasarkan berat badan) terdapat satu nilai purata (berat tertentu), yang mana kami menilai nilai purata dalam keseluruhan populasi. Walau bagaimanapun, tidak mungkin purata berat dalam sampel (terutama yang kecil) akan bertepatan dengan purata berat dalam populasi umum. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk mengira dan menggunakan julat nilai purata populasi.

Sebagai contoh, bayangkan bahawa selang keyakinan 95% (95% CI) untuk hemoglobin ialah 110 hingga 122 g/L. Ini bermakna terdapat 95% kemungkinan bahawa nilai min hemoglobin sebenar dalam populasi adalah antara 110 dan 122 g/L. Dengan kata lain, kita tidak tahu purata hemoglobin dalam populasi umum, tetapi kita boleh menunjukkan julat nilai untuk ciri ini dengan kebarangkalian 95 %.

Selang keyakinan amat relevan untuk perbezaan cara antara kumpulan, atau saiz kesan seperti yang dipanggil.

Katakan kita membandingkan keberkesanan dua persediaan besi: satu yang telah lama berada di pasaran dan satu yang baru didaftarkan. Selepas kursus terapi, kami menilai kepekatan hemoglobin dalam kumpulan pesakit yang dikaji, dan program statistik mengira bahawa perbezaan antara nilai purata kedua-dua kumpulan adalah, dengan kebarangkalian 95 %, dalam julat dari 1.72 hingga 14.36 g/l (Jadual 1).

Jadual 1. Uji untuk sampel bebas
(kumpulan dibandingkan dengan tahap hemoglobin)

Ini harus ditafsirkan seperti berikut: dalam sesetengah pesakit dalam populasi umum yang mengambil ubat baru, hemoglobin akan lebih tinggi secara purata sebanyak 1.72–14.36 g/l berbanding mereka yang mengambil ubat yang telah diketahui.

Dalam erti kata lain, dalam populasi umum, perbezaan dalam nilai hemoglobin purata antara kumpulan berada dalam had ini dengan kebarangkalian 95%. Terpulang kepada pengkaji untuk menilai sama ada ini banyak atau sedikit. Inti dari semua ini ialah kami tidak bekerja dengan satu nilai purata, tetapi dengan julat nilai, oleh itu, kami lebih pasti menganggarkan perbezaan dalam parameter antara kumpulan.

Dalam pakej statistik, mengikut budi bicara penyelidik, anda boleh secara bebas menyempitkan atau mengembangkan sempadan selang keyakinan. Dengan menurunkan kebarangkalian selang keyakinan, kami menyempitkan julat cara. Sebagai contoh, pada 90 % CI julat min (atau perbezaan min) akan lebih sempit daripada pada 95 %.

Sebaliknya, meningkatkan kebarangkalian kepada 99 % mengembangkan julat nilai. Apabila membandingkan kumpulan, had bawah CI mungkin melepasi tanda sifar. Sebagai contoh, jika kita mengembangkan sempadan selang keyakinan kepada 99 %, maka sempadan selang adalah antara -1 hingga 16 g/l. Ini bermakna dalam populasi umum terdapat kumpulan, perbezaan min antara yang untuk ciri yang dikaji adalah sama dengan 0 (M = 0).

Menggunakan selang keyakinan, anda boleh menyemak hipotesis statistik. Jika selang keyakinan melepasi nilai sifar, maka hipotesis nol, yang menganggap bahawa kumpulan tidak berbeza pada parameter yang dikaji, adalah benar. Contoh diterangkan di atas di mana kami mengembangkan sempadan kepada 99 %. Di suatu tempat dalam populasi umum kami menemui kumpulan yang tidak berbeza dalam apa jua cara.

95% selang keyakinan perbezaan hemoglobin, (g/l)

Angka tersebut menunjukkan selang keyakinan 95% untuk perbezaan nilai hemoglobin min antara kedua-dua kumpulan. Garis melepasi tanda sifar, oleh itu terdapat perbezaan antara cara sifar, yang mengesahkan hipotesis nol bahawa kumpulan tidak berbeza. Julat perbezaan antara kumpulan adalah dari –2 hingga 5 g/L. Ini bermakna hemoglobin boleh sama ada menurun sebanyak 2 g/L atau meningkat sebanyak 5 g/L.

Selang keyakinan sangat penunjuk penting. Terima kasih kepadanya, anda boleh melihat sama ada perbezaan dalam kumpulan itu benar-benar disebabkan oleh perbezaan cara atau disebabkan oleh sampel yang besar, kerana dengan sampel yang besar peluang untuk mencari perbezaan adalah lebih besar daripada dengan sampel yang kecil.

Dalam amalan ia mungkin kelihatan seperti ini. Kami mengambil sampel 1000 orang, mengukur tahap hemoglobin dan mendapati bahawa selang keyakinan untuk perbezaan min adalah antara 1.2 hingga 1.5 g/l. Tahap kepentingan statistik dalam kes ini p

Kami melihat bahawa kepekatan hemoglobin telah meningkat, tetapi hampir tidak dapat dilihat, oleh itu, kepentingan statistik muncul dengan tepat kerana saiz sampel.

Selang keyakinan boleh dikira bukan sahaja untuk cara, tetapi juga untuk perkadaran (dan nisbah risiko). Sebagai contoh, kami berminat dengan selang keyakinan perkadaran pesakit yang mencapai remisi semasa mengambil ubat yang dibangunkan. Mari kita anggap bahawa 95 % CI untuk perkadaran, iaitu, untuk perkadaran pesakit sedemikian, terletak dalam julat 0.60-0.80. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa ubat kita mempunyai kesan terapeutik daripada 60 hingga 80 % kes.

Katakan kita mempunyai sejumlah besar item dengan taburan normal beberapa ciri (contohnya, gudang penuh sayur-sayuran jenis yang sama, saiz dan beratnya berbeza-beza). Anda ingin mengetahui ciri-ciri purata keseluruhan kumpulan barangan, tetapi anda tidak mempunyai masa atau keinginan untuk mengukur dan menimbang setiap sayuran. Anda faham bahawa ini tidak perlu. Tetapi berapa banyak keping yang perlu diambil untuk pemeriksaan mengejut?

Sebelum memberikan beberapa formula yang berguna untuk situasi ini, mari kita ingat beberapa notasi.

Pertama, jika kami mengukur keseluruhan gudang sayur-sayuran (set elemen ini dipanggil populasi umum), maka kami akan mengetahui dengan semua ketepatan yang tersedia kepada kami purata berat keseluruhan kumpulan. Mari kita panggil purata ini X purata .g en . - purata am. Kita sudah tahu apa yang ditentukan sepenuhnya jika nilai min dan sisihan s diketahui . Benar, walaupun kami bukan gen purata X mahupun s Kami tidak tahu populasi umum. Kami hanya boleh mengambil sampel tertentu, mengukur nilai yang kami perlukan dan mengira untuk sampel ini kedua-dua nilai purata X purata dan sisihan piawai S pilih.

Adalah diketahui bahawa jika semakan sampel kami mengandungi sejumlah besar elemen (biasanya n lebih besar daripada 30), dan ia diambil rambang sungguh, kemudian s populasi umum hampir tidak akan berbeza daripada pemilihan S ..

Di samping itu, untuk kes taburan normal kita boleh menggunakan formula berikut:

Dengan kebarangkalian 95%

Dengan kebarangkalian 99%

DALAM Pandangan umum dengan kebarangkalian P (t)

Hubungan antara nilai t dan nilai kebarangkalian P (t), yang mana kita ingin mengetahui selang keyakinan, boleh diambil daripada jadual berikut:

Oleh itu, kami telah menentukan di mana julat nilai purata untuk populasi terletak (dengan kebarangkalian tertentu).

Melainkan kami mempunyai sampel yang cukup besar, kami tidak boleh mengatakannya penduduk mempunyai s = S pilih Di samping itu, dalam kes ini, kedekatan sampel dengan taburan normal adalah bermasalah. Dalam kes ini, kami juga menggunakan S pilih sebaliknya s dalam formula:

tetapi nilai t untuk kebarangkalian tetap P(t) akan bergantung kepada bilangan unsur dalam sampel n. Semakin besar n, semakin hampir selang keyakinan yang terhasil dengan nilai yang diberikan oleh formula (1). Nilai t dalam kes ini diambil dari jadual lain (ujian-t Pelajar), yang kami bentangkan di bawah:

Nilai ujian-t pelajar untuk kebarangkalian 0.95 dan 0.99

Contoh 3. 30 orang telah dipilih secara rawak daripada pekerja syarikat. Menurut sampel, ternyata gaji purata (sebulan) adalah 30 ribu rubel dengan sisihan piawai 5 ribu rubel. Tentukan purata gaji dalam syarikat dengan kebarangkalian 0.99.

Penyelesaian: Dengan syarat kita mempunyai n = 30, X purata. =30000, S=5000, P = 0.99. Untuk mencari selang keyakinan, kami akan menggunakan formula yang sepadan dengan ujian t Pelajar. Daripada jadual untuk n = 30 dan P = 0.99 kita dapati t = 2.756, oleh itu,

mereka. pemegang amanah yang dicari selang 27484< Х ср.ген < 32516.

Jadi, dengan kebarangkalian 0.99 kita boleh mengatakan bahawa selang (27484; 32516) mengandungi dalam dirinya sendiri purata gaji dalam syarikat.

Kami berharap anda akan menggunakan kaedah ini, dan tidak semestinya anda mempunyai meja setiap kali. Pengiraan boleh dilakukan secara automatik dalam Excel. Semasa dalam fail Excel, klik butang fx di menu atas. Kemudian, pilih jenis "statistik" di antara fungsi, dan dari senarai yang dicadangkan dalam tetingkap - STUDAR DISCOVER. Kemudian, pada gesaan, meletakkan kursor dalam medan "kebarangkalian", masukkan nilai kebarangkalian songsang (iaitu dalam kes kami, bukannya kebarangkalian 0.95, anda perlu menaip kebarangkalian 0.05). nampaknya hamparan disusun sedemikian rupa sehingga hasilnya menjawab soalan dengan kemungkinan besar kita boleh melakukan kesilapan. Begitu juga, dalam medan Ijazah Kebebasan, masukkan nilai (n-1) untuk sampel anda.