tatatanda algebra nombor kompleks................................................................ | |||
Satah bagi nombor kompleks .............................................. ...................... ................................ ............................ ... | |||
Nombor konjugat kompleks................................................ .................... ................................ .......................... | |||
Operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra............................................. ......... .... | |||
Penambahan nombor kompleks.............................................. .......... ....................................... ................. | |||
Menolak nombor kompleks................................................. .................... ................................ ..................... | |||
Pendaraban nombor kompleks.............................................. ..................... ................................. .................. | |||
Membahagi nombor kompleks.............................................................. .......... ............................................ ................ ... | |||
Bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks............................................. ......... .......... | |||
Operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk trigonometri............................................. ......... | |||
Mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri............................................ ........ | |||
Membahagi nombor kompleks dalam bentuk trigonometri............................................ .......... ... | |||
Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer positif......................................... .......... | |||
Mengeluarkan punca darjah integer positif daripada nombor kompleks.................................... | |||
Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa rasional............................................ .................. ..... | |||
Siri kompleks................................................ ... ................................................... ......... .................... | |||
Siri nombor kompleks .............................................. .................... ................................ .......................... | |||
Siri kuasa dalam satah kompleks............................................ ........ ............................ | |||
Dua belah siri kuasa dalam satah kompleks................................................. ..... | |||
Fungsi pembolehubah kompleks................................................................ ....... ............................................ | |||
Fungsi asas asas .............................................. .......... ............................................ . | |||
Formula Euler................................................ ... ................................................... ......... .................... | |||
Bentuk eksponen bagi mewakili nombor kompleks............................................. ...................... . | |||
Hubungan antara fungsi trigonometri dan hiperbolik.................................... | |||
Fungsi logaritma................................................ ... ................................................... ......... ... | |||
Eksponen am dan fungsi kuasa am ............................................ ........ ............... | |||
Pembezaan fungsi pembolehubah kompleks................................................. ......... ... | |||
Keadaan Cauchy-Riemann.............................................. ..... ................................................... .......... ............ | |||
Formula untuk mengira derivatif ............................................. ....... ................................... | |||
Sifat operasi pembezaan................................................ ...................... .............................. | |||
Sifat bahagian sebenar dan khayalan bagi fungsi analitik................................... | |||
Pembinaan semula fungsi pembolehubah kompleks daripada nyata atau khayalan |
|||
Kaedah nombor 1. Menggunakan kamiran lengkung................................................ ...... ....... | |||
Kaedah nombor 2. Penggunaan langsung syarat Cauchy-Riemann ...................................... | |||
Kaedah No 3. Melalui derivatif fungsi yang dicari .......................................... ........ ......... | |||
Penyepaduan fungsi pembolehubah kompleks.............................................. ......... .......... | |||
Formula Integral Cauchy................................................ ..... ................................................... .......... ... | |||
Peluasan fungsi dalam siri Taylor dan Laurent............................................ .......... .............................. | |||
Sifar dan titik tunggal bagi fungsi pembolehubah kompleks............................................ ............. ..... | |||
Sifar bagi fungsi pembolehubah kompleks............................................ .......... ....................... | |||
Titik tunggal terpencil bagi fungsi pembolehubah kompleks.................................... | |||
14.3 Titik pada infiniti sebagai titik tunggal bagi fungsi pembolehubah kompleks
Potongan................................................. ....... .............................................. ............. ..................................... ... | |||
Potongan pada titik akhir .............................................. ...... ................................................ ............ ...... | |||
Sisa fungsi pada titik pada infiniti......................................... .......... ............... | |||
Pengiraan kamiran menggunakan sisa................................................. ....... ................................ | |||
Soalan ujian kendiri................................................ ..................... ................................. ........................ ....... | |||
Kesusasteraan................................................. ................................................... ...... ................................... | |||
Indeks mata pelajaran................................................ ................................................... ...... .............. | |||
Mukadimah
Mengagihkan masa dan usaha dengan betul semasa membuat persediaan untuk bahagian teori dan praktikal bagi peperiksaan atau pensijilan modul agak sukar, terutamanya kerana sentiasa tidak cukup masa semasa sesi. Dan seperti yang ditunjukkan oleh latihan, tidak semua orang dapat mengatasinya. Akibatnya, semasa peperiksaan, ada pelajar menyelesaikan masalah dengan betul, tetapi sukar untuk menjawab yang paling mudah isu teori, manakala yang lain boleh merumuskan teorem, tetapi tidak boleh menggunakannya.
Garis panduan untuk persediaan peperiksaan dalam kursus "Teori Fungsi Pembolehubah Kompleks" (TFCP) adalah percubaan untuk menyelesaikan percanggahan ini dan memastikan pengulangan bahan teori dan praktikal kursus secara serentak. Berpandukan prinsip "Teori tanpa amalan adalah mati, amalan tanpa teori adalah buta," ia mengandungi kedua-dua peruntukan teori kursus pada tahap definisi dan rumusan, serta contoh yang menggambarkan aplikasi setiap kedudukan teori yang diberikan, dan dengan itu memudahkan hafalan dan pemahamannya.
Tujuan dicadangkan cadangan metodologi– membantu pelajar bersedia untuk peperiksaan di peringkat asas. Dengan kata lain, buku rujukan kerja lanjutan telah disusun yang mengandungi perkara utama yang digunakan dalam kelas pada kursus TFKP dan perlu semasa melaksanakan kerja rumah dan persediaan untuk acara kawalan. Selain itu kerja bebas pelajar, penerbitan pendidikan elektronik ini boleh digunakan semasa mengendalikan kelas dalam bentuk interaktif menggunakan papan elektronik atau untuk penempatan dalam sistem pembelajaran jarak jauh.
Sila ambil perhatian bahawa kerja ini tidak menggantikan sama ada buku teks atau nota kuliah. Untuk kajian mendalam tentang bahan, adalah disyorkan untuk merujuk kepada bahagian berkaitan yang diterbitkan oleh MSTU. N.E. Buku teks asas Bauman.
Di penghujung manual terdapat senarai literatur yang disyorkan dan indeks subjek, yang merangkumi semua yang diserlahkan dalam teks huruf condong tebal syarat. Indeks ini terdiri daripada hiperpautan ke bahagian di mana istilah ini ditakrifkan atau diterangkan dengan ketat dan di mana contoh diberikan untuk menggambarkan penggunaannya.
Manual ini bertujuan untuk pelajar tahun 2 semua fakulti MSTU. N.E. Bauman.
1. Bentuk algebra untuk menulis nombor kompleks
Tatatanda bentuk z = x + iy, dengan x,y ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan (iaitu i 2 = − 1)
dipanggil bentuk algebra untuk menulis nombor kompleks z. Dalam kes ini, x dipanggil bahagian nyata bagi nombor kompleks dan dilambangkan dengan Re z (x = Re z), y dipanggil bahagian khayalan bagi nombor kompleks dan dilambangkan dengan Im z (y = Im z).
Contoh. Nombor kompleks z = 4− 3i mempunyai bahagian nyata Rez = 4 dan bahagian khayalan Imz = − 3.
2. satah nombor kompleks
DALAM teori fungsi pembolehubah kompleks dipertimbangkansatah nombor kompleks, yang dilambangkan sama ada dengan atau menggunakan huruf yang menunjukkan nombor kompleks z, w, dsb.
Paksi mendatar bagi satah kompleks dipanggil paksi sebenar, nombor nyata z = x + 0i = x diletakkan di atasnya.
Paksi menegak satah kompleks dipanggil paksi khayalan;
3. Nombor konjugat kompleks
Nombor z = x + iy dan z = x − iy dipanggil konjugat kompleks. Pada satah kompleks mereka sepadan dengan titik yang simetri tentang paksi sebenar.
4. Operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra
4.1 Penambahan nombor kompleks
Hasil tambah dua nombor kompleks | z 1= x 1+ iy 1 | dan z 2 = x 2 + iy 2 dipanggil nombor kompleks |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasi | tambahan |
||||||||||
nombor kompleks adalah serupa dengan operasi penambahan binomial algebra. | |||||||||||||
Contoh. Hasil tambah dua nombor kompleks z 1 = 3+ 7i dan z 2 | = −1 +2 i | akan menjadi nombor kompleks |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Jelas sekali, | jumlah keseluruhan | konjugasi | ialah | sebenar | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Penolakan nombor kompleks | |||||||||||||
Perbezaan dua nombor kompleks z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | dipanggil | menyeluruh |
||||||||||
nombor z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Contoh. Perbezaan dua nombor kompleks | z 1 =3 −4 i | dan z 2 | = −1 +2 i | akan ada yang menyeluruh |
|||||||||
nombor z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Dengan perbezaan | konjugat kompleks | ialah | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Pendaraban nombor kompleks | |||||||||||||
Hasil darab dua nombor kompleks | z 1= x 1+ iy 1 | dan z 2= x 2+ iy 2 | dipanggil kompleks |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Oleh itu, operasi mendarab nombor kompleks adalah serupa dengan operasi mendarab binomial algebra, dengan mengambil kira fakta bahawa i 2 = - 1.
Muka surat 2 daripada 3
Bentuk algebra bagi nombor kompleks.
Penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian nombor kompleks.
Kita telah pun mengenali bentuk algebra bagi nombor kompleks - ini ialah bentuk algebra bagi nombor kompleks. Mengapa kita bercakap tentang bentuk? Hakikatnya ialah terdapat juga bentuk trigonometri dan eksponen bagi nombor kompleks, yang akan dibincangkan dalam perenggan seterusnya.
Operasi dengan nombor kompleks tidak begitu sukar dan tidak jauh berbeza daripada algebra biasa.
Penambahan nombor kompleks
Contoh 1
Tambahkan dua nombor kompleks,
Untuk menambah dua nombor kompleks, anda perlu menambah bahagian nyata dan khayalannya:
Mudah, bukan? Tindakan itu sangat jelas sehingga tidak memerlukan ulasan tambahan.
Dengan cara mudah ini anda boleh mencari jumlah sebarang bilangan istilah: jumlah bahagian sebenar dan jumlah bahagian khayalan.
Untuk nombor kompleks, peraturan kelas pertama adalah sah: 
– menyusun semula terma tidak mengubah jumlah.
Menolak Nombor Kompleks
Contoh 2
Cari perbezaan antara nombor kompleks dan , jika ,
Tindakan itu serupa dengan penambahan, satu-satunya keanehan ialah subtrahend mesti dimasukkan ke dalam kurungan, dan kemudian kurungan mesti dibuka dengan cara standard dengan perubahan tanda:
Hasilnya tidak boleh mengelirukan; nombor yang terhasil mempunyai dua, bukan tiga bahagian. Secara mudahnya bahagian sebenar ialah kompaun: . Untuk kejelasan, jawapan boleh ditulis semula seperti berikut: .
Mari kita hitung perbezaan kedua:
Di sini bahagian sebenar juga adalah komposit:
Untuk mengelakkan sebarang pernyataan yang meremehkan, saya akan berikan contoh ringkas dengan bahagian khayalan yang "buruk": . Di sini anda tidak lagi boleh melakukannya tanpa kurungan.
Mendarab nombor kompleks
Masanya telah tiba untuk memperkenalkan anda kepada persamaan yang terkenal:
Contoh 3
Cari hasil darab nombor kompleks,
Jelas sekali, kerja itu harus ditulis seperti ini:
Apakah yang dicadangkan ini? Ia memohon untuk membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial. Itulah yang perlu anda lakukan! Semua operasi algebra anda biasa dengan, perkara utama adalah untuk mengingati itu dan berhati-hati.
Mari kita ulangi, omg, peraturan sekolah untuk mendarab polinomial: Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain.
Saya akan menulisnya secara terperinci:
Saya harap ia jelas kepada semua orang
Perhatian, dan sekali lagi perhatian, selalunya kesilapan dibuat dalam tanda.
Seperti jumlah, hasil darab nombor kompleks boleh diubah, iaitu, kesamaan adalah benar: .
DALAM sastera pendidikan dan di Internet adalah mudah untuk mencari formula khas untuk mengira hasil darab nombor kompleks. Gunakannya jika anda mahu, tetapi nampaknya saya pendekatan dengan mendarab polinomial adalah lebih universal dan lebih jelas. Saya tidak akan memberikan formula, saya fikir begitu dalam kes ini- Ini menyumbat kepala anda dengan habuk papan.
Pembahagian nombor kompleks
Contoh 4
Diberi nombor kompleks, . Cari hasil bagi.
Mari buat quotient:
Pembahagian nombor dijalankan dengan mendarabkan penyebut dan pengangka dengan ungkapan konjugat penyebutnya.
Jom ingat formula berjanggut dan lihat penyebut kita: . Penyebutnya sudah mempunyai , jadi ungkapan konjugat dalam kes ini ialah , iaitu
Mengikut peraturan, penyebut mesti didarab dengan , dan, supaya tiada perubahan, pengangka mesti didarab dengan nombor yang sama:
Saya akan menulisnya secara terperinci:
Saya memilih contoh "baik": jika anda mengambil dua nombor "dari awal", maka sebagai hasil pembahagian anda akan hampir selalu mendapat pecahan, seperti .
Dalam sesetengah kes, sebelum membahagi pecahan, adalah dinasihatkan untuk memudahkannya, sebagai contoh, pertimbangkan hasil bagi nombor: . Sebelum membahagikan, kita menyingkirkan tolak yang tidak perlu: dalam pengangka dan dalam penyebut kita mengambil tolak daripada kurungan dan mengurangkan tolak ini: 
. Bagi mereka yang suka menyelesaikan masalah, berikut adalah jawapan yang betul:
Jarang, tetapi tugas berikut berlaku:
Contoh 5
Nombor kompleks diberikan. Tulis nombor ini dalam bentuk algebra (iaitu dalam bentuk).
Tekniknya adalah sama - kita darabkan penyebut dan pengangka dengan ungkapan konjugasi kepada penyebut. Mari kita lihat semula formulanya. Penyebut sudah mengandungi , jadi penyebut dan pengangka perlu didarab dengan ungkapan konjugat, iaitu dengan:
Dalam amalan, mereka boleh dengan mudah menawarkan contoh yang canggih di mana anda perlu melakukan banyak operasi dengan nombor kompleks. Tiada panik: berhati-hati, ikut peraturan algebra, prosedur algebra yang biasa, dan ingat bahawa .
Bentuk trigonometri dan eksponen bagi nombor kompleks
Terdapat lebih banyak dalam perenggan ini kita akan bercakap tentang bentuk trigonometri nombor kompleks. Borang tunjuk cara dalam tugas amali berlaku lebih kurang kerap. Saya mengesyorkan memuat turun dan, jika boleh, mencetak jadual trigonometri, bahan metodologi boleh didapati di halaman Formula matematik dan meja. Anda tidak boleh pergi jauh tanpa meja.
Mana-mana nombor kompleks (kecuali sifar) boleh ditulis dalam bentuk trigonometri: 
, di mana modulus nombor kompleks, A - hujah nombor kompleks. Jangan kita lari, semuanya lebih mudah daripada yang kelihatan.
Mari kita wakili nombor pada satah kompleks. Untuk kepastian dan kesederhanaan penjelasan, kami akan meletakkannya dalam kuadran koordinat pertama, i.e. kami percaya bahawa:
Modulus nombor kompleks ialah jarak dari asal ke titik yang sepadan dalam satah kompleks. Hanya meletakkan, modul ialah panjang vektor jejari, yang ditunjukkan dengan warna merah dalam lukisan.
Modulus nombor kompleks biasanya dilambangkan dengan: atau
Dengan menggunakan teorem Pythagoras, mudah untuk mendapatkan formula untuk mencari modulus nombor kompleks: . Formula ini adil bagi apa apa bermaksud "a" dan "menjadi".
Catatan: Modulus nombor kompleks ialah generalisasi konsep modulus nombor nyata, sebagai jarak dari titik ke asal.
Hujah nombor kompleks dipanggil sudut antara separuh paksi positif paksi sebenar dan vektor jejari yang dilukis dari asal ke titik yang sepadan. Hujah tidak ditakrifkan untuk tunggal: .
Prinsip yang dimaksudkan sebenarnya serupa dengan koordinat kutub, di mana jejari kutub dan sudut kutub menentukan titik secara unik.
Argumen nombor kompleks ditandakan secara standard: atau
Daripada pertimbangan geometri, kami memperoleh formula berikut untuk mencari hujah:
. Perhatian! Formula ini hanya berfungsi pada separuh satah yang betul! Jika nombor kompleks tidak terletak dalam kuadran koordinat ke-1 atau ke-4, maka formulanya akan berbeza sedikit. Kami juga akan menganalisis kes-kes ini.
Tetapi pertama, mari kita lihat contoh paling mudah apabila nombor kompleks terletak pada paksi koordinat.
Contoh 7
Mari buat lukisan:
Malah, tugas itu adalah lisan. Untuk kejelasan, saya akan menulis semula bentuk trigonometri nombor kompleks: 
Marilah kita ingat dengan tegas, modul - panjang(yang sentiasa tidak negatif), hujahnya adalah sudut.
1) Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya. Ia adalah jelas bahawa. Pengiraan rasmi menggunakan formula: .
Adalah jelas bahawa (nombor itu terletak terus pada separuh paksi positif sebenar). Jadi nombor dalam bentuk trigonometri ialah: 
.
Tindakan semakan terbalik adalah sejelas hari:
2) Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya. Ia adalah jelas bahawa. Pengiraan rasmi menggunakan formula: .
Jelas sekali (atau 90 darjah). Dalam lukisan, sudut ditunjukkan dengan warna merah. Jadi nombor dalam bentuk trigonometri ialah: 
.
Menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri, adalah mudah untuk mendapatkan kembali bentuk algebra nombor (pada masa yang sama melakukan semakan):
3) Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya. Ia adalah jelas bahawa. Pengiraan rasmi menggunakan formula: .
Jelas sekali (atau 180 darjah). Dalam lukisan sudut ditunjukkan dengan warna biru. Jadi nombor dalam bentuk trigonometri ialah: 
.
Peperiksaan:
4) Dan yang keempat kes yang menarik. Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya. Ia adalah jelas bahawa. Pengiraan rasmi menggunakan formula: .
Hujah boleh ditulis dalam dua cara: Cara pertama: (270 darjah), dan, dengan itu: 
. Peperiksaan:
Walau bagaimanapun, peraturan berikut adalah lebih standard: Jika sudut lebih besar daripada 180 darjah, kemudian ia ditulis dengan tanda tolak dan orientasi bertentangan (“menatal”) sudut: (tolak 90 darjah), sudut ditandakan dalam lukisan hijau. Ia mudah untuk melihatnya dan sudut yang sama.
Oleh itu, penyertaan dalam bentuk: 
Perhatian! Anda tidak boleh menggunakan pariti kosinus, keganjilan sinus, dan seterusnya "memudahkan" tatatanda:
By the way, ia berguna untuk diingati penampilan dan sifat fungsi trigonometri dan songsang, bahan rujukan terdapat dalam perenggan terakhir halaman Graf dan sifat utama fungsi asas . Dan nombor kompleks akan dipelajari dengan lebih mudah!
Dalam reka bentuk contoh yang paling mudah, seseorang harus menulis: "jelas bahawa modul adalah sama ... jelas bahawa hujah adalah sama dengan ...". Ini benar-benar jelas dan mudah diselesaikan secara lisan.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan lebih banyak kes biasa. Seperti yang telah saya nyatakan, tiada masalah dengan modul; anda harus sentiasa menggunakan formula. Tetapi formula untuk mencari hujah akan berbeza, ia bergantung pada suku koordinat mana nombor itu terletak. Dalam kes ini, tiga pilihan adalah mungkin (adalah berguna untuk menyalinnya ke dalam buku nota anda):
1) Jika (suku koordinat ke-1 dan ke-4, atau separuh satah kanan), maka hujah mesti ditemui menggunakan formula.
2) Jika (suku koordinat ke-2), maka hujah mesti dicari menggunakan formula 
.
3) Jika (suku koordinat ke-3), maka hujah mesti dicari menggunakan formula 
.
Contoh 8
Mewakili nombor kompleks dalam bentuk trigonometri: , , , .
Oleh kerana terdapat formula siap pakai, lukisan itu tidak perlu dilengkapkan. Tetapi ada satu perkara: apabila anda diminta untuk mewakili nombor dalam bentuk trigonometri, maka Adalah lebih baik untuk melakukan lukisan itu. Hakikatnya ialah penyelesaian tanpa lukisan sering ditolak oleh guru; ketiadaan lukisan adalah sebab yang serius untuk tolak dan kegagalan.
Eh, saya tidak melukis apa-apa dengan tangan selama seratus tahun, ini dia:
Seperti biasa, ia ternyata agak kotor =)
Saya akan membentangkan nombor dan dalam bentuk kompleks, nombor pertama dan ketiga adalah untuk penyelesaian bebas.
Mari kita wakili nombor dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya.
Pelan pembelajaran.
1. Detik organisasi.
2. Pembentangan bahan.
3. Kerja rumah.
4. Merumuskan pelajaran.
Semasa kelas
I. Detik organisasi.
II. Pembentangan bahan.
Motivasi.
Peluasan set nombor nyata terdiri daripada menambah nombor baru (khayal) kepada nombor nyata. Pengenalan nombor ini adalah disebabkan oleh kemustahilan untuk mengekstrak punca nombor negatif dalam set nombor nyata.
Pengenalan kepada konsep nombor kompleks.
Nombor khayalan, yang dengannya kita melengkapkan nombor nyata, ditulis dalam bentuk bi, Di mana i ialah unit khayalan, dan i 2 = - 1.
Berdasarkan ini, kami memperoleh takrifan nombor kompleks berikut.
Definisi. Nombor kompleks ialah ungkapan bentuk a+bi, Di mana a Dan b- nombor nyata. Dalam kes ini, syarat berikut dipenuhi:
a) Dua nombor kompleks a 1 + b 1 i Dan a 2 + b 2 i sama jika dan hanya jika a 1 = a 2, b 1 =b 2.
b) Penambahan nombor kompleks ditentukan oleh peraturan:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Pendaraban nombor kompleks ditentukan oleh peraturan:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Bentuk algebra bagi nombor kompleks.
Menulis nombor kompleks dalam borang a+bi dipanggil bentuk algebra bagi nombor kompleks, di mana A- bahagian sebenar, bi adalah bahagian khayalan, dan b- nombor sebenar.
Nombor kompleks a+bi dianggap sama dengan sifar jika bahagian nyata dan khayalannya sama dengan sifar: a = b = 0
Nombor kompleks a+bi di b = 0 dianggap sama dengan nombor nyata a: a + 0i = a.
Nombor kompleks a+bi di a = 0 dipanggil khayalan semata-mata dan dilambangkan bi: 0 + bi = bi.
Dua nombor kompleks z = a + bi Dan = a – bi, berbeza hanya dalam tanda bahagian khayalan, dipanggil konjugat.
Operasi pada nombor kompleks dalam bentuk algebra.
Anda boleh melakukan operasi berikut pada nombor kompleks dalam bentuk algebra.
1) Penambahan.
Definisi. Jumlah nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dan z 2 = a 2 + b 2 i dipanggil nombor kompleks z, bahagian sebenar yang sama dengan jumlah bahagian sebenar z 1 Dan z 2, dan bahagian khayalan ialah jumlah bahagian khayalan nombor z 1 Dan z 2, itu dia z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Nombor z 1 Dan z 2 dipanggil istilah.
Penambahan nombor kompleks mempunyai sifat berikut:
1º. Komutatif: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. pergaulan: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Nombor kompleks –a –bi dipanggil berlawanan dengan nombor kompleks z = a + bi. Nombor kompleks, bertentangan dengan nombor kompleks z, dilambangkan -z. Jumlah nombor kompleks z Dan -z sama dengan sifar: z + (-z) = 0
Contoh 1: Lakukan penambahan (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Penolakan.
Definisi. Tolak daripada nombor kompleks z 1 nombor kompleks z 2 z, Apa z + z 2 = z 1.
Teorem. Perbezaan antara nombor kompleks wujud dan unik.
Contoh 2: Lakukan penolakan (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Pendaraban.
Definisi. Hasil darab nombor kompleks z 1 =a 1 +b 1 i Dan z 2 =a 2 +b 2 i dipanggil nombor kompleks z, ditakrifkan oleh kesaksamaan: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Nombor z 1 Dan z 2 dipanggil faktor.
Pendaraban nombor kompleks mempunyai sifat berikut:
1º. Komutatif: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. pergaulan: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Pengagihan pendaraban berbanding penambahan:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- nombor sebenar.
Dalam amalan, pendaraban nombor kompleks dijalankan mengikut peraturan mendarab jumlah dengan jumlah dan memisahkan bahagian nyata dan khayalan.
Dalam contoh berikut, kita akan mempertimbangkan untuk mendarab nombor kompleks dalam dua cara: mengikut peraturan dan dengan mendarab jumlah dengan jumlah.
Contoh 3: Lakukan pendaraban (2 + 3i) (5 – 7i).
1 cara. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Kaedah 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Pembahagian.
Definisi. Bahagikan nombor kompleks z 1 kepada nombor kompleks z 2, bermakna mencari nombor kompleks sedemikian z, Apa z · z 2 = z 1.
Teorem. Hasil bagi nombor kompleks wujud dan unik jika z 2 ≠ 0 + 0i.
Dalam praktiknya, hasil bagi nombor kompleks didapati dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebutnya.
biarlah z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Kemudian
.
Dalam contoh berikut, kita akan melakukan pembahagian menggunakan formula dan peraturan pendaraban dengan konjugat nombor kepada penyebut.
Contoh 4. Cari hasil bagi 
.
5) Meningkatkan kuasa keseluruhan yang positif.
a) Kuasa unit khayalan.
Mengambil kesempatan daripada kesamarataan i 2 = -1, adalah mudah untuk menentukan sebarang kuasa integer positif unit khayalan. Kami ada:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 dan lain-lain.
Ini menunjukkan bahawa nilai darjah i n, Di mana n– integer positif, berulang secara berkala apabila penunjuk bertambah sebanyak 4 .
Oleh itu, untuk meningkatkan bilangan i kepada kuasa keseluruhan yang positif, kita mesti membahagikan eksponen dengan 4 dan membina i kepada kuasa yang eksponennya sama dengan baki bahagian.
Contoh 5: Kira: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer positif dijalankan mengikut peraturan menaikkan binomial kepada kuasa yang sepadan, kerana ia mewakili kes istimewa pendaraban faktor kompleks yang sama.
Contoh 6: Kira: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
